Clase 15 dsp
0 likes351 views
The document discusses the Fast Fourier Transform (FFT) algorithm. It begins with an introduction to the Discrete Fourier Transform (DFT) and compares the computational complexity of directly calculating the DFT versus using the FFT algorithm. The FFT algorithm reduces the computation time of the DFT from O(N2) to O(NlogN) operations. The document then derives the radix-2 FFT algorithm, showing how it decomposes the DFT calculation into interleaved even and odd numbered terms. This allows computation of the DFT using primarily additions and multiplications by complex roots of unity.
Clase 15 dsp
- 2. PROCESAMIENTO DIGITAL DE SEÑALES SEÑALES Y SISTEMAS EN TIEMPO DISCRETO Marcelo Fernando Valdiviezo Condolo Quinto ‘A’ Carrera de Telecomunicaciones
- 4. INTRODUCCIÓN Existen varios algoritmos para el cálculo eficiente de la DFT Función matemática o Transformación Familia específica de algoritmos para el cálculo de la DFT DFT FFT
- 5. INTRODUCCIÓN OPERACIONES PARA LA EVALUACIÓN DIRECTA OPERACIONES MEDIANTE EL ALGORITMO DE FFT ( )2 o N ( )2logo N N
- 6. RELACIÓN DE LA FFT CON LA DFT La transformada rápida de Fourier (Fast Fourier Transform -FFT) es un algoritmo que reduce el tiempo de cálculo de la DFT. 3 ( ) sin(2 1000 ) 0.5sin 2 2000 4 s sx n nt nt = + + 1 2 / 0 ( ) ( ) N j nk N n X k x n e − − = = ( ) 1 0 Re ( ) ( )Cos 2 / N n X k x n nk N − = = ( ) 1 0 Im ( ) ( )Sin 2 / N n X k x n nk N − = = −
- 7. CÁLCULO DE LA DFT ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (1) 0.3535 1.0 0.3535 0.0 0 0.3535 0.707 0.3535 0.707 1 0.6464 0.0 0.6464 1.00 2 1.0607 0.707 1.0607 0.707 3 0.3535 1.0 0.3535 0.0 4 1.0607 0.707 1.0607 0.707 5 1.3535 0.0 1 X j n j n j n j n j n j n j = − = + − = + − = + − − − = + − − = − − − − − = − − −( ) ( ) .3535 1.0 6 0.3535 0.707 0.3535 0.707 7 n j n − = − − − − = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (2) 0.3535 1.0 0.3535 0.0 0 0.3535 0.0 0.3535 1.0 1 0.6464 1.0 0.6464 0.0 2 1.0607 0.0 1.0607 1.0 3 0.3535 1.0 0.3535 0.0 4 1.0607 0.0 1.0607 1.0 5 1.3535 1.0 1.3535 0.0 6 0 X j n j n j n j n j n j n j n = − = + − = + − − = + − − = + − = − − − = − − − − = − ( ).3535 0.0 0.3535 1.0 7j n − − − = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (3) 0.3535 1.0 0.3535 0.0 0 0.3535 0.707 0.3535 0.707 1 0.6464 0.0 0.6464 1.0 2 1.0607 0.707 1.0607 0.707 3 0.3535 1.0 0.3535 0.0 4 1.0607 0.707 1.0607 0.707 5 1.3535 0.0 1. X j n j n j n j n j n j n j = − = + − − = + − − − = + − = + − − = − − − − = − − −( ) ( ) 3535 1.0 6 0.3535 0.707 0.3535 0.707 7 n j n = − − − − − =
- 8. CÁLCULO DE LA DFT ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (4) 0.3535 1.0 0.3535 0.0 0 0.3535 1.0 0.3535 0.0 1 0.6464 1.0 0.6464 0.0 2 1.0607 1.0 1.0607 0.0 3 0.3535 1.0 0.3535 0.0 4 1.0607 1.0 1.0607 0.0 5 1.3535 1.0 1.3535 0.0 6 0 X j n j n j n j n j n j n j n = − = + − − = + − = + − − = + − = − − − − = − − − = − ( ).3535 1.0 0.3535 0.0 7j n− − − = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (5) 0.3535 1.0 0.3535 0.0 0 0.3535 0.707 0.3535 0.707 1 0.6464 0.0 0.6464 1.0 2 1.0607 0.707 1.0607 0.707 3 0.3535 1.0 0.3535 0.0 4 1.0607 0.707 1.0607 0.707 5 1.3535 0.0 1.3 X j n j n j n j n j n j n j = − = + − − − = + − = + − − = + − − = − − − = − − −( ) ( ) 535 1.0 6 0.3535 0.707 0.3535 0.707 7 n j n − = − − − − = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (6) 0.3535 1.0 0.3535 0.0 0 0.3535 0.0 0.3535 1.0 1 0.6464 1.0 0.6464 0.0 2 1.0607 0.0 1.0607 1.0 3 0.3535 1.0 0.3535 0.0 4 1.0607 0.0 1.0607 1.0 5 1.3535 1.0 1.3535 0.0 6 X j n j n j n j n j n j n j n = − = + − − = + − − = + − = + − = − − − − = − − − − = − ( )0.3535 0.0 0.3535 1.0 7j n − − =
- 9. CÁLCULO DE LA DFT ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (7) 0.3535 1.0 0.3535 0.0 0 0.3535 0.707 0.3535 0.707 1 0.6464 0.0 0.6464 1.0 2 1.0607 0.707 1.0607 0.707 3 0.3535 1.0 0.3535 0.0 4 1.0607 0.707 1.0607 0.707 5 1.3535 0.0 1 X j n j n j n j n j n j n j = − = + − − = + − − = + − − − = + − − = − − − − = − − −( ) ( ) .3535 1.0 6 0.3535 0.707 0.3535 0.707 7 n j n = − − − = ( ) ( ) 1 1 0 0 (0) ( ) Cos 0 Sin 0 ( ) N N n n X x n j x n − − = = = − =
- 10. CÁLCULO DE LA DFT OPERACIONES PARA LA EVALUACIÓN DIRECTA OPERACIONES MEDIANTE EL ALGORITMO DE FFT ( )2 o N ( )2logo N N 2 N Multiplicaciones→ ( )1N N Sumas− → 2 64N →
- 11. DERIVACIÓN DEL ALGORITMO FFT RADIX-2 1 2 / 0 ( ) ( ) N j nk N n X k x n e − − = = ( ) ( ) ( ) ( )2 1 2 1 2 2 / 2 2 1 / 0 0 ( ) (2 ) (2 1) N N j n k N j n k N n n X k x n e x n e − − − − + = = = + + ( ) ( ) ( ) ( )2 1 2 1 2 2 / 2 2 /2 / 0 0 ( ) (2 ) (2 1) N N j n k N j n k Nj k N n n X k x n e e x n e − − − −− = = = + +
- 12. DERIVACIÓN DEL ALGORITMO FFT RADIX-2 2 /j N NW e − = ( ) ( )2 1 2 1 2 2 0 0 ( ) (2 ) (2 1) N N nk k nk N N N n n X k x n W W x n W − − = = = + + FACTOR DE ÁNGULO DE FASE COMPLEJO 2 2 2 2/ 2 N j j N NW e e − − = = 2 2 N NW W
- 13. DERIVACIÓN DEL ALGORITMO FFT RADIX-2 ( ) ( )2 1 2 1 0 02 2 ( ) (2 ) (2 1) N N nk k nk N N N n n X k x n W W x n W − − = = = + + 2 2 N NW W :0 1 2 N k a − 2 N k k+ → ( ) ( )2 1 2 1 2 2 2 0 02 2 (2 ) (2 1) 2 N N NN Nn k k n k N N N n n N X k x n W W x n W − −+ + + = = + = + +
- 14. DERIVACIÓN DEL ALGORITMO FFT RADIX-2 ( ) 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 1 N N j n Nn k n nk nk nk nkN N N N N N NW W W W e W W + − = = = = ( ) ( )2 1 2 1 2 2 2 0 02 2 (2 ) (2 1) 2 N N NN Nn k k n k N N N n n N X k x n W W x n W − −+ + + = = + = + + ( ) ( )2 22 2 1 N Nk k k j N N k k N N N N N NW W W W e W W + − = = = − = − ( ) ( )2 1 2 1 0 02 2 (2 ) (2 1) 2 N N nk k nk N N N n n N X k x n W W x n W − − = = + = − +
- 15. DERIVACIÓN DEL ALGORITMO FFT RADIX-2 ( ) ( )2 1 2 1 0 02 2 (2 ) (2 1) 2 N N nk k nk N N N n n N X k x n W W x n W − − = = + = − + ( ) ( )2 1 2 1 0 02 2 ( ) (2 ) (2 1) N N nk k nk N N N n n X k x n W W x n W − − = = = + +
- 16. DERIVACIÓN DEL ALGORITMO FFT RADIX-2
- 17. DERIVACIÓN DEL ALGORITMO FFT RADIX-2 ( ) ( )2 1 2 1 0 02 2 (2 ) (2 1) 2 N N nk k nk N N N n n N X k x n W W x n W − − = = + = − + ( ) ( )2 1 2 1 0 02 2 ( ) (2 ) (2 1) N N nk k nk N N N n n X k x n W W x n W − − = = = + + ( ) ( ) ( )k NX k A k W B k= + ( ) ( ) 2 k N N X k A k W B k + = − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 2 4 4 2 12 0 0 02 2 2 2 4 4 2 N N N n knk nk N N N n n n A k x n W x n W x n W − − − + = = = = = + +
- 18. DERIVACIÓN DEL ALGORITMO FFT RADIX-2 2 2 4 nk nk N NW W= ( ) ( ) ( ) 1 1 4 4 0 04 2 4 4 4 2 N N nk k nk N N N n n A k x n W W x n W − − = = = + + ( ) ( )2 1 2 1 0 02 2 (2 ) (2 1) 2 N N nk k nk N N N n n N X k x n W W x n W − − = = + = − + SIMILARES
- 19. DERIVACIÓN DEL ALGORITMO FFT RADIX-2 ( ) ( ) ( ) 1 1 4 4 0 04 2 4 4 1 4 3 N N nk k nk N N N n n B k x n W W x n W − − = = = + + + ( ) ( ) ( ) 1 1 4 4 0 04 2 4 4 4 2 N N nk k nk N N N n n A k x n W W x n W − − = = = + +
- 20. DERIVACIÓN DEL ALGORITMO FFT RADIX-2 ( ) ( ) ( ) 1 1 4 4 0 04 2 4 4 1 4 3 N N nk k nk N N N n n B k x n W W x n W − − = = = + + + ( ) ( ) ( ) 1 1 4 4 0 04 2 4 4 4 2 N N nk k nk N N N n n A k x n W W x n W − − = = = + + ( ) ( ) ( )k NX k A k W B k= +
- 22. PREGUNTAS
- 23. GRACIAS…