![C`alcul. Aeron`autica EETAC. 2015/2016 Tema 2. Derivaci´o 5
9. Trobeu les equacions de les rectes tangent i normal a la corba x2
− y2
= 7 en el punt (4, −3).
Dibuixeu conjuntament la corba i les rectes.
10. Calculeu els seg¨uents l´ımits:
(a) lim
x→+∞
√
x + 1 −
√
2x − 7
(b) lim
x→+∞
√
x2 + x − 1 −
√
x2 + 9
(c) lim
x→+∞
√
x2 + 1 −
√
x2 + 9
(d) lim
x→+∞
√
x2 + x + 1
2x − 1
(e) lim
x→+∞
3x
− 2x
3x + 2x
(f) lim
x→−∞
3x
+ 2
3x + 6
11. Calculeu els seg¨uents l´ımits, usant la regla de l’Hˆopital:
(a) lim
x→0
sin x
x
(b) lim
x→+∞
ln x
x
(c) lim
x→−∞
xex
(d) lim
x→0
tan x
x
(e) lim
x→0
x
arcsin x
(f) lim
x→+∞
ex
x2
12. El polinomi de Taylor de grau ≤ 2 de la funci´o f(x) = sin(x) al voltant de l’origen ´es P2(x) = x.
A l’adre¸ca http://www.calculusapplets.com/linearapprox.html trobareu un applet que us permetr`a
comparar aquestes dues funcions.
(a) Useu l’applet per comprovar que sin(0.01) ∼ 0.01 ´es una aproximaci´o amb 6 decimals correctes.
(b) Useu la f´ormula del residu de Lagrange per trobar una estimaci´o de l’error com`es en aproximar
sin(0.01) per 0.01.
(c) Useu l’applet per representar gr`aficament la funci´o g(x) = sin(x) − x en l’interval [-0.1,0.1] i
observeu-ne el valor en x = 0.01. Compareu aquest resultat amb el de l’apartat anterior.
(d) Qu`e se’n pot deduir del valor de lim
x→0
sin x
x
?
13. Determineu el polinomi de Taylor de grau N de la funci´o f en el punt a. Escriviu-ne tamb´e
l’expressi´o del residu de Lagrange.
(a) f(x) = 3 sin 2x − 2 cos 3x, a = 0, N = 5
(b) f(x) = x5
, a = 1, N = 5
(c) f(x) = e2x
, a = −1, N = 4
(d) f(x) = x2
ex
− xe−x
, a = 0, N = 5
(e) f(x) = 3
√
x, a = 8, N = 2
(f) f(x) = sin x, a = π
2 , N = 6
14. Trobeu el polinomi P, de grau m´ınim, tal que P(−1) = 3, P′
(−1) = 2,P′′
(−1) = −2, P′′′
(−1) = 12.
15. Calculeu l’equaci´o de la par`abola que millor aproxima, al voltant de l’origen, la corba d’equaci´o
y = ex
ln(x + 1).
16. Trobeu els valors a, b ∈ R per als quals f(x) = a ln x + bx2
+ x − 2 t´e extrems relatius en els punts
x = 1 i x = 2. Determineu si s´on m`axims o m´ınims.
17. Estudieu els extrems absoluts de les funcions seg¨uents en els intervals donats:
(a) f(x) = −x2
en [−2, 2]
(b) f(x) =
√
25 − 4x2 en [−2, 2]
(c) f(x) = 3x4
− 4x3
− 12x2
+ 1 en [−2, 3]
(d) f(x) =
√
x − 4 en [4, 29]
18. Trobeu l’equaci´o de la recta que passa pel punt (3, 4) i talla el primer quadrant en un triangle d’`area
m´ınima.
19. Volem inscriure un rectangle a l’el·lipse x2
/400 + y2
/225 = 1, de manera que els costats siguin
paral·lels als eixos de l’el·lipse. Calculeu les dimensions del rectangle en cadascun dels casos seg¨uents:
(a) La seva `area sigui m`axima (b) El seu per´ımetre sigui m`axim](https://image.slidesharecdn.com/ejercicioscalcul-160228210010/85/Ejercicios-calcul-7-320.jpg)
![C`alcul. Aeron`autica EETAC. 2015/2016 Tema 2. Derivaci´o 7
29. Quin angle formen, en el punt de tall, la hip`erbola y =
1
x
i la par`abola y =
√
x?
30. Calculeu els l´ımits seg¨uents:
(a) lim
x→0
x − tan x
sin3
x
(b) lim
x→0+
x ln x
(c) lim
x→0+
xx
(d) lim
x→0+
tan x ln x
(e) lim
x→0
cosh x − 1
1 − cos x
(f) lim
x→0
xn
ex
, on n ∈ N
(g) lim
x→+∞
x − sin x
x + sin x
(h) lim
x→0
x2
sin2
x
(1 − cos2 x)2
(i) lim
x→1
(
x
x − 1
−
1
ln x
)
(j) lim
x→+∞
cos x
x2
(k) lim
x→0
sin
(
1
x
)
· sin x
(l) lim
x→1
(x − 1) sin
(
1
x−1
)
sin x
.
31. Donats α ∈ (0, +∞) i β ∈ (0, 1), calculeu els l´ımits seg¨uents:
(a) lim
x→+∞
xα
ex
(b) lim
x→+∞
lnα
x
x
(c) lim
x→+∞
ln x
xβ
32. Calculeu, en funci´o de n ∈ N, el polinomi de Taylor de grau ≤ n de f(x) a l’origen:
(a) f(x) = ln(1 + x) (b) f(x) =
x + 1
x − 1
(c) f(x) =
1
3x + 2
(d) f(x) = cos x (e) f(x) =
1
1 + x
33. En cadascun dels seg¨uents apartats, calculeu el polinomi de Taylor de grau n de la funci´o f centrat
en el punt x = a, useu-lo per calcular un valor aproximat de V i determineu, mitjan¸cant la f´ormula
del residu de Lagrange, una fita de l’error en l’aproximaci´o.
(a) f(x) = sin x, n = 3, a = 0, V = sin(1).
(b) f(x) = ln(1 + x), n = 3, a = 0, V = ln(3/2).
(c) f(x) = 3
√
x, n = 2, a = 8, V = 3
√
10.
(d) f(x) =
√
4 + x, n = 2, a = 0, V =
√
4.1.
(e) f(x) = ex
, n = 3, a = 0, V = 4
√
e.
34. Estudieu els extrems relatius de les funcions seg¨uents:
(a) f(x) = x3
+ 48/x
(b) f(x) = (x − 1)1/3
(x + 2)2/3
(c) f(x) = |x2
− 1| + 1
(d) f(x) = x3
− x + 2|x − 1| + 1
(e) f(x) = 2x + 3
3
√
x2 − 1
(f) f(x) = 2x6
+ 3x4
− 2
(g) f(x) = 1 − e−x
x4
(h) f(x) = sin3
x
35. Estudieu els extrems absoluts de les funcions seg¨uents en els intervals donats:
(a) f(x) = |x − 3| en [0, 4]
(b) f(x) = x5
+ x3
en R
(c) f(x) =
1
1 + x2
en R
(d) f(x) = 3x4
+ 16x3
+ 6x2
− 72x en [0, +∞)
(e) f(x) =
x
1 + x2
en R
(f) f(x) = ln
(
1
sin x
)
en (0, π)
36. Trobeu la dist`ancia m´ınima pel punt (4, 2) a la par`abola y2
= 8x.
37. Calculeu els punts de la corba d’equaci´o y2
= 2xy + x +
1
2
, tals que el quadrat de la difer`encia de
les seves coordenades sigui m´ınim.
38. Raoneu si la funci´o f(x) = 1 + x8
e−x
t´e un extrem relatiu a l’origen, de dues maneres diferents:
estudiant-ne el creixement, i a partir dels polinomis de Taylor de la funcio e−x
.](https://image.slidesharecdn.com/ejercicioscalcul-160228210010/85/Ejercicios-calcul-9-320.jpg)
![8 C`alcul. Aeron`autica EETAC. 2015/2016 Tema 2. Derivaci´o
Exercicis avan¸cats
39. Considerem la funci´o f(x) = 2 arctan x + arcsin
(
2x
1 + x2
)
.
(a) Demostreu que ´es constant a cadascun dels interval (−∞, −1] i [1, +∞). Quins valor pren?
(b) ´Es f constant a l’interval (−1, 1)?
40. Determineu el m´ınim K ∈ R tal que x − x2
≤ Kex
, per tot x ∈ R.
41. Sigui P = (a, b) un punt del primer quadrant (a, b > 0). Considerem la recta que passa per P
i t´e pendent m ∈ (−∞, 0), i anomenem A i B els punts on aquesta recta talla a l’eix OX i OY
respectivament.
(a) Doneu una funci´o S : (−∞, 0) −→ R tal que S(m) sigui l’`area del triangle de v`ertexs A, B i
l’origen.
(b) Doneu una funci´o L : (−∞, 0) −→ R tal que L(m) sigui la longitud del segment AB.
(c) Raoneu si aquestes funcions tenen extrems absoluts i, en cas afirmatiu, calculeu-los.
42. Considerem la funci´o definida per f(x) = x2
sin
(
1
x
)
+ 2x2
(si x ̸= 0), f(0) = 0.
(a) ´Es f derivable en x = 0?
(b) T´e f un extrem relatiu en x = 0?
43. En cadascun dels seg¨uents apartats, volem usar polinomis de Taylor per calcular el valor h amb un
error inferior a ϵ. Determineu de quina funci´o, en quin punt i de quin grau ser`a el polinomi m´es
adient.
(a) h = 4
√
e, ϵ = 3 × 10−4
(b) h = ln(0.8), ϵ = 10−3
(c) h = sin(0.1), ϵ = 10−6
(d) h = cos(−0.3), ϵ = 2 × 10−3](https://image.slidesharecdn.com/ejercicioscalcul-160228210010/85/Ejercicios-calcul-10-320.jpg)
![C`alcul. Aeron`autica EETAC. 2015/2016 Tema 3. Integraci´o (II) 11
3 Integraci´o de funcions d’una variable (2a. part)
Exercicis introductoris
1. Useu les f´ormules de l’angle doble i la relaci´o sin2
x + cos2
x = 1 per calcular les integrals seg¨uents:
(a)
∫
sin2
x dx (b)
∫
cos3
x sin2
x dx (c)
∫
cos2
x sin2
x dx (d)
∫
sin4
(2x) dx (e)
∫
cos7
x sin9
x dx
2. Calculeu les seg¨uents integrals indefinides:
(a)
∫
sinh2
x dx (b)
∫
cosh3
x sinh2
x dx (c)
∫
cosh2
x sinh2
x dx (d)
∫
cosh7
x sinh9
x dx
Indicaci´o: useu f´ormules an`alogues a les de l’exercici anterior.
3. Calculeu les seg¨uents integrals quasi-immediates, emprant canvis de variable adients:
(a)
∫
x cos(x2
) sin(x2
) dx (b)
∫
arctg x
(1 + x2)(2 + arctg2
x)
dx (c)
∫
x ln(1 + x2
)
1 + x2
dx
4. Calculeu les integrals definides seg¨uents, utilitzant les propietats de funci´o parell o senar.
(a)
∫ 2
−2
1
x2 + 4
dx (b)
∫ 2
−2
x cos( 3
√
x) dx (c)
∫ 3
−3
sin3
(
x5
5
)
dx (d)
∫ π/2
−π/2
cos2
x dx
5. Calculeu el valor mitj`a de les funcions seg¨uents en els intervals indicats:
(a) f(x) = x 4
√
x2 + 1, en [0, 3/4] (b) f(x) =
sin x
cos2 x
, en [0, π/3]
6. Calculeu
∫ 2π
0
x sin(nx) dx, en funci´o de n ∈ N.
7. Calculeu l’`area de la regi´o fitada limitada per les corbes seg¨uents:
(a) y = 9 − x2
, y = x + 3
(b) y = x2
− 4, y = 8 − 2x2
(c) y = ex
, y = e−x
, x = 0, x = 2
(d) y = tg x, x = 0, x = π/4
Exercicis b`asics
8. Calculeu les seg¨uents integrals de funcions trigonom`etriques, sense usar canvis de variable:
(a)
∫
sin5
x cos5
x dx
(b)
∫
sin3
(2x) dx
(c)
∫
cos6
(x
2
)
dx
(d)
∫
sin3
x cos2
x dx
(e)
∫
sin2
x dx
1 + cos x
dx
(f)
∫
cos3
x dx
sin4
x
9. Calculeu les seg¨uents integrals de funcions trigonom`etriques, sense usar canvis de variable:
(a)
∫
x(cos3
(x2
) − sin(x2
)) dx
(b)
∫
tg3
x dx
(c)
∫
cos3
x dx
1 − sin x
10. Calculeu les integrals seg¨uents, aplicant canvis de variable trigonom`etrics o hiperb`olics adients:
(a)
∫
dx
(4 − x2)3/2
(b)
∫ √
25 − x2
x
dx
(c)
∫ √
x2 + 4 dx
(d)
∫
x2
dx
√
x2 − 16
(e)
∫
x4
dx
√
(1 − x2)3
(f)
∫ √
−x2 + 2x dx
(g)
∫ √
x6 + x4 dx
(h)
∫ √
x2 + 2x dx](https://image.slidesharecdn.com/ejercicioscalcul-160228210010/85/Ejercicios-calcul-13-320.jpg)
![C`alcul. Aeron`autica EETAC. 2015/2016 Tema 4. Funcions de diverses variables 13
4 Funcions de diverses variables
Exercicis introductoris
1. Dibuixeu les corbes de nivell de les funcions seg¨uents:
(a) f(x, y) = x + y
(b) f(x, y) =
√
xy
(c) f(x, y) = x2
+ y2
(d) f(x, y) =
y
√
x
2. Useu seccions planes per identificar les superf´ıcies seg¨uents:
(a) x + 2y + 3z = 1.
(b) x2
+ y2
+ z2
= 5
(c) 36y2
− x2
+ 36z2
= 9
(d) 5y = −z2
+ x2
(e) 9x2
+ 4y2
+ 36z2
= 36
(f) 9x2
+ 4y2
− 36z2
= 36
(g) x2
+ 4y2
− 4z2
+ 4 = 0
(h) x2
+ 4y2
= 1
(i) x2
+ y2
+ 2y = z2
− 1
(j) x2
+ 4y2
+ 2z2
− 6x − 16y − 16z + 53 = 0
3. Doneu una parametritzaci´o de cadascuna de les seg¨uents corbes de R2
:
(a) Segment que uneix els punts (a1, b1) i (a2, b2).
(b) Circumfer`encia de centre (a, b) i radi R.
(c) El·lipse de centre (0, 0) i semieixos a, b > 0.
(d) Par`abola d’equaci´o x = ay2
+ by + c.
4. En cadascuna de les seg¨uents corbes parametritzades, elimineu el par`ametre t, representeu la corba
i determineu-ne el sentit de recorregut.
(a) γ(t) = (t − 1, 3t + 2), t ∈ (−∞, 2]
(b) γ(t) = (t − 1, t3
), t ∈ R
(c) γ(t) = (t − 1, t(t + 4)), t ∈ R
(d) γ(t) = (a cos t, b sin t), t ∈ [0, π], a, b > 0
(e) γ(t) = (a cos t, b sin t), t ∈ [0, 6π], a, b > 0
(f) γ(t) = (a sin t, b cos t), t ∈ [0, π], a, b > 0
(g) γ(t) = (a cosh t, b sinh t), t ∈ R, a, b > 0
(h) γ(t) = (−a cosh t, b sinh t), t ∈ [0, +∞), a, b > 0
5. Quina ´es la difer`encia entre les corbes parametritzades α(t) = (t, t, t2
), β(t) = (t2
, t2
, t4
) i
γ(t) = (sin t, sin t, sin2
t), quan t recorre la recta real?
6. Calculeu el vector tangent i l’equaci´o cartesiana de la recta tangent a les seg¨uents corbes parametritzades,
per als valors indicats del par`ametre:
(a) γ(t) = (t − 1, t3
), t ∈ R, per t0 = 0 i t1 = 1.
(b) γ(t) = (2 cos t, 3 sin t), t ∈ [0, 2π], per t0 = 0, t1 =
π
4
i t2 =
π
2
.
(c) γ(t) = (cosh t, sinh t), t ∈ R, per t0 = 0, t1 = ln 2 i t2 = − ln 2.
(d) γ(t) = (sinh t, − cosh t), t ∈ R, per t0 = 0, t1 = ln 3.
(e) γ(t) = (t cos t, t sin t), t ∈ R, per t0 = 0, t1 =
π
2
, t2 = π i t3 = 2π.](https://image.slidesharecdn.com/ejercicioscalcul-160228210010/85/Ejercicios-calcul-15-320.jpg)
![14 C`alcul. Aeron`autica EETAC. 2015/2016 Tema 4. Funcions de diverses variables
Exercicis b`asics
7. Determineu el domini i el recorregut (imatge) de les funcions seg¨uents:
(a) f(x, y) = ln(y − x)
(b) f(x, y) = arcsin(x/y)
(c) f(x, y) = 1 − |x| − |y|
(d) f(x, y) =
√
cos(2πx) − 1
(e) f(t) =
(
cos
1
t
, sin
1
t
)
8. Descriviu les corbes de nivell de les funcions seg¨uents:
(a) f(x, y) = x + 5y − 7
(b) f(x, y) = 3x2
+ 2y2
(c) f(x, y) = xy
(d) f(x, y) = (xy)1/2
(e) f(x, y) = y/x1/2
(f) f(x, y) = 1 − |x| − |y|
(g) f(x, y) = x2
+ y2
+ 2x
(h) f(x, y) = x2
− y2
+ 4y
(i) f(x, y) = 4x2
+ y2
+ 16x + 2y
9. Descriviu les superf´ıcies de nivell de les funcions seg¨uents:
(a) f(x, y, z) = x + 2y + 3z
(b) f(x, y, z) = −x2
− y2
− z2
(c) f(x, y, z) = x2
+ 2y2
+ 3z2
(d) f(x, y, z) = y2
+ z2
(e) f(x, y, z) = x2
+ y2
− z2
(f) f(x, y, z) = z/(x2
+ y2
)
10. Considerem la superf´ıcie S = {(x, y, z) ∈ R3
| 3x2
+ 3y2
+ 12y + 12 = z2
}.
(a) Determineu les seccions de S amb els plans d’equaci´o z = k, per tot k ∈ R.
(b) Useu aquestes seccions (i d’altres, si us cal) per identificar la superf´ıcie.
(c) Doneu una parametritzaci´o de la corba intersecci´o de S amb el pla z = 3
√
3.
11. Identifiqueu les seg¨uents corbes parametritzades, tot expressant-les com a intersecci´o de dues
superf´ıcies a l’espai, i calculeu-ne el vector tangent per als valors indicats del par`ametre:
(a) γ(t) = (t, t2
, 2t2
), t ∈ R, per t0 = 0, i t1 = −1.
(b) γ(t) = (cos t, sin t, −4), t ∈ [0, 2π], per t0 = 0, t1 =
π
2
i t2 = π.
(c) γ(t) = (cos t, sin t, cos t), t ∈ [0, 2π], per t0 = 0, t1 =
π
2
i t2 = π.
(d) γ(t) = (1, sin t, cos t), t ∈ [0, 2π], per t0 = 0, t1 =
π
2
i t2 = π.
(e) γ(t) = (sin t, cos t, t), t ∈ R, per t0 = 0, t1 =
π
2
i t2 = 2π.
12. Identifiqueu les superf´ıcies S1 i S2, dibuixeu-ne la corba intersecci´o i parametritzeu-la:
(a) S1 = {x2
+ y2
= 9}, S2 = {y + z = 2}
(b) S1 = {x2
+ y2
+ z2
= 1}, S2 = {x2
+ y2
+ (z − 1)2
= 1}
(c) S1 = {x2
+ y2
= 1}, S2 = {z = x2
− y2
}
(d) S1 = {z2
− x2
− y2
= 1
2 }, S2 = {y = 1√
2
}
13. En cadascuna de les seg¨uents corbes parametritzades, elimineu el par`ametre t, representeu la corba
i determineu-ne el sentit de recorregut.
(a) γ(t) = (sin2
t, 3 cos2
t), t ∈ R
(b) γ(t) =
(
1
cos2 t
, tg2
t
)
, t ∈
(
−π
2 , π
2
)
(c) γ(t) =
(
1
cos t
, tg t
)
, t ∈
(π
2 , 3π
2
)
(d) γ(t) = (x0 +(x1 −x0)t, y0 +(y1 −y0)t, z0 +(z1 −z0)t), t ∈ [0, 1], on (x0, y0, z0), (x1, y1, z1) ∈ R3
14. (a) Considereu el segment que uneix els punts (x1, y1) i (x2, y2), doneu dues parametritzacions
que, per t ∈ [0, 1], recorrin el mateix segment per`o en sentits oposats l’una respecte de l’altra.](https://image.slidesharecdn.com/ejercicioscalcul-160228210010/85/Ejercicios-calcul-16-320.jpg)
![C`alcul. Aeron`autica EETAC. 2015/2016 Tema 4. Funcions de diverses variables 15
(b) Considerem dues funcions cont´ınues f, g i una corba parametritzada γ(t) = (f(t), g(t)),
t ∈ [0, 1]. Comproveu que ν(t) = (f(1 − t), g(1 − t)), t ∈ [0, 1] ´es una parametritzaci´o de la
mateixa corba recorreguda en sentit contrari.
(c) Donada una funci´o cont´ınua i invertible f : I → R, on I interval, doneu una parametritzaci´o
de la gr`afica de la funci´o inversa f−1
.
15. Determineu els punts de la corba parametritzada γ(t) = (3t − t3
, 3t2
, 3t + t3
), t ∈ R, amb recta
tangent paral·lela al pla d’equaci´o 3x + y + z + 2 = 0.
16. Considerem les corbes parametritzades α(t) = (cos t, sin t, 2t) i β(t) = (1, t2
− 1, t + 1 − 12π), t ∈ R.
(a) Expresseu la corba parametritzada β com la intersecci´o de dues superf´ıcies. Demostreu que
descriu una par`abola i trobeu-ne el v`ertex.
(b) Calculeu la recta tangent (en un punt gen`eric) a l’h`elix descrita per α.
(c) Calculeu els punts d’interseccio de la par`abola amb l’h`elix. Quin ´es l’angle d’intersecci´o?
17. Considerem la corba parametritzada γ(t) = (t − sin t, 1 − cos t, 4 sin(t/2)), t ∈ R.
(a) Demostreu que la corba no ´es fitada i que est`a continguda en el cilindre parab`olic z2
= 8y.
(b) Calculeu l’equaci´o de la recta tangent a la corba, en un punt gen`eric γ(t).
(c) Calculeu els punts d’intersecci´o de la corba amb l’eix OX.
(d) Demostreu que l’angle format pel vector tangent a un punt gen`eric de la corba, γ(t0), i l’eix
OZ ´es equivalent a
t0
2
.
Exercicis complementaris
18. Sigui σ: I → Rn
una corba parametritzada diferenciable tal que ∥σ(t)∥ ´es constant (´es a dir, ´es dins
una superf´ıcie esf`erica amb centre l’origen). Proveu que els vectors posici´o σ(t) i velocitat σ′
(t) s´on
ortogonals en cada instant. (Indicaci´o: Partiu de σ(t) · σ(t) = a2
(constant) i deriveu.)
´Es cert el rec´ıproc?](https://image.slidesharecdn.com/ejercicioscalcul-160228210010/85/Ejercicios-calcul-17-320.jpg)
![18 C`alcul. Aeron`autica EETAC. 2015/2016 Tema 5. C`alcul diferencial en diverses variables
20. (a) Considerem la funci´o f(x, y) = (sin(y ln x), (y ln x)2
) definida a D = {x > 0} ⊆ R2
.
Determineu dues funcions g : R −→ R2
i h : D −→ R tals que f = g ◦ h i useu la regla de la
cadena per calcular Df(x, y).
(b) Considerem la funci´o f(x, y) = (ex−y2
,
1
y2 − x
) definida a D = {(x, y) ∈ R2
| x < y2
} ⊆ R2
.
Determineu dues funcions g : R −→ R2
i h : D −→ R tals que f = g ◦ h i useu la regla de la
cadena per calcular Df(x, y).
21. (a) Sigui σ: R → R2
una corba parametritzada diferenciable tal que σ(0) = (0, 0) i σ′
(0) = (1, 0).
Sigui f: R2
→ R2
donada per f(x, y) = (x + y + 1, 2x − y). Calculeu l’equaci´o de la recta
tangent a la corba f ◦ σ en l’instant t = 0.
(b) Considereu f(x, y) = (ex+y
, ex−y
) i sigui σ una corba parametritzada de R2
, diferenciable, tal
que σ(0) = (0, 0) i σ′
(0) = (1, 1). Calculeu l’equaci´o de la recta tangent a la corba f ◦ σ en
l’instant t = 0.
22. Considereu la funci´o f: R2
→ R2
donada per f(x, y) = (ex
sin y, ex
cos y).
Sigui g: R2
→ R una funci´o diferenciable. Si el pla tangent a la gr`afica de g en el punt (0, 1, 3) t´e
equaci´o 2x + y − z = −2, trobeu l’equaci´o del pla tangent a la gr`afica de (g ◦ f) en el punt (0, 0, 3).
23. Estudieu els extrems locals de les funcions f(x, y) definides per les seg¨uents expressions:
(a) x3
+ y3
− 3xy
(b) (x − y)(1 − xy)
(c) xy(2x + 4y + 1)
(d) x4
+ y4
− 2y2
+ 4xy − 2x2
(e) ln(1 + x2
+ y2
)
(f) x5
y + xy5
+ xy
24. Calculeu els punts cr´ıtics de les funcions seg¨uents:
(a) f(x, y, z) = x2
− yz − sin(xz)
(b) f(x, y, z) = x4
− y2
+ z2
− 2z
(c) f(x, y, z) = xy − 2y + z4
− 2
(d) f(x, y, z) = xy + yz
(e) f(x, y, z) = 3 ln x + 2 ln y + 5 ln z + ln(22 − x − y − z)
(f) f(x, y, z) = x2
z + y2
z +
2
3
z3
− 4x − 4y − 10z + 1
(g) f(x, y, z, t) = x4
+ z2
− (t − 1)2
(h) f(x, y, z, t) = (x − 2)2
− 2(y − 3)2
+ t2
(i) f(x, y, z, t) = (x − 2)2
+ 2(y − 3)2
+ t2
25. Estudieu, en funci´o de k ∈ R, el car`acter dels punts cr´ıtics de f(x, y) = 1
2 (x2
+ y2
) + kxy.
26. Trobeu i classifiqueu tots els punts cr´ıtics de les seg¨uents funcions:
(a) f(x, y) = −x4
− y6
+ 2
(b) g(x, y) = x4
− y6
27. Representeu els seg¨uents conjunts, determineu-ne la frontera i estudieu si s´on compactes:
(a) A = {(x, y, z) ∈ R3
| x + y = 1, x2
+ y2
= 9, z = 0}
(b) B = {(x, y, z) ∈ R3
| x = 2, y = 3, z ∈ (−1, 1)}
(c) C = {(x, y, z) ∈ R3
| x = 2, y = 3, z ∈ [−1, 1]}
(d) D = {(x, y, z) ∈ R3
| x2
+ y2
+ 9z2
= 1, z ≥ 0}
(e) E = {(x, y, z) ∈ R3
| x2
+ y2
≤ 1, | z | < 1}
(f) F = {(x, y) ∈ R2
| x2
+ y = 5}
(g) G = {(x, y) ∈ R2
| x2
− y2
= 1, x ≤ 0}
(h) H = {(x, y) ∈ R2
| x2
+ 4y2
= 4, y ≥ 0, x ≤ 1}
(i) I = {(x, y) ∈ R2
| 3x2
+ 3y2
+ 12y ≤ 4}
(j) J = {(x, y) ∈ R2
| x − 2y ≤ 2, y ≤ x}
(k) K = {(x, y) ∈ R2
| x2
≤ y ≤ 9}
(l) L = {(x, y) ∈ R2
| 0 ≤ 3x2
+ 3y2
+ 12y ≤ 4}](https://image.slidesharecdn.com/ejercicioscalcul-160228210010/85/Ejercicios-calcul-20-320.jpg)
![C`alcul. Aeron`autica EETAC. 2015/2016 Tema 5. C`alcul diferencial en diverses variables 19
(m) M = {(x, y) ∈ R2
| x2
− y2
= 1, x > 0}
(n) N = {(x, y) ∈ R2
| x2
− y2
≤ 1, y ≤ x}
28. Estudieu l’exist`encia d’extrems absoluts de la funci´o f en el conjunt A. Calculeu-los, quan existeixin.
(a) f(x, y) = x2
+ y2
− 2xy, A = {(x, y) ∈ R2
| x2
+ y2
≤ 1}
(b) f(x, y) = x2
y, A = {(x, y) ∈ R2
| xy = 1}
(c) f(x, y, z) = x + y + z, A = {(x, y, z) ∈ R3
| x2
− y2
= 1, 2x + z = 1}
29. Estudieu l’exist`encia d’extrems absoluts de la funci´o f en el conjunt B. Calculeu-los, quan existeixin.
(a) f(x, y) = x2
+ y2
− 2x − 2y, B = {(x, y) ∈ R2
| x2
+ y2
≤ 8, x ≥ 0, y ≥ 0}.
(b) f(x, y) = x4
+ y4
− 4(x − y)2
, B = {(x, y) ∈ R2
| 0 ≤ x ≤ 2 , 0 ≤ y ≤ x}.
(c) f(x, y) = x(1 − y2
) +
1
2
x2
(y − 1), C = [0, 2] × [0, 2].
30. Suposem que la superf´ıcie de la lluna es modelitza per l’esfera d’equaci´o x2
+ y2
+ z2
= 1. Si la
temperatura T en un punt (x, y, z) de la lluna en un cert instant de temps ´es
T(x, y, z) = 200xy + z2
,
calculeu quina ´es la temperatura m`axima i la temperatura m´ınima a la superf´ıcie llunar segons
aquest model.
31. Calculeu de dues maneres diferents els extrems absoluts de f(x, y) = x2
− y2
+ 2xy en la circum-
fer`encia d’equaci´o x2
+ y2
= 1.
32. Considerem el conjunt D = {(x, y) ∈ R2
| (x + 3)2
+ y2
≤ 16, y2
≤ 2x + 14}.
(a) Dibuixeu el conjunt D i determineu si ´es compacte.
(b) Calculeu, si existeixen, els extrems absoluts de f(x, y) = (x + 4)2
+ y2
en el conjunt D.
(c) Calculeu, si existeixen, els extrems absoluts de f(x, y) = (x + 4)2
+ y2
en el conjunt Fr (D).
(d) Calculeu, si existeixen, els extrems absoluts de g(x, y) = (x + 1)2
+ y2
en el conjunt Fr (D).
33. Siguin P = (a, b) un punt de R2
i γ(t) = (x(t), y(t)), t ∈ I ⊆ R, una parametritzaci´o diferenciable
d’una corba C.
(a) Doneu una funci´o f, d’una variable, que expressi la dist`ancia de P a un punt arbitrari de C.
(b) Doneu una interpretaci´o geom`etrica dels extrems absoluts de f.
(c) Raoneu que, si f t´e extrems absoluts, llavors f2
tamb´e i s´on els mateixos.
(d) Calculeu els punts de la par`abola x = y2
+ 1 a dist`ancia m´ınima del punt
(
3
4
, 1
)
.
Quina ´es aquesta dist`ancia?
34. Tres pa¨ısos del sudest asi`atic han concertat la seva producci´o d’arr`os en com´u. Si x, y, z s´on les
quantitats que ha de produir cada pa´ıs (en milions de tones), la relaci´o entre elles segons l’acord
concertat ´es x2
+ 2y2
+ 6z2
= 32000. Volem calcular la major quantitat d’arr`os que poden produir
entre tots tres.
(a) Determineu una funci´o cont´ınua f i un conjunt compacte D, i plantegeu l’enunciat com un
problema d’extrems absoluts de f en D.
(b) Resoleu el problemes d’extrems absoluts i determineu quina ´es la major quantitat d’arr`os que
poden produir entre tots tres pa¨ısos.](https://image.slidesharecdn.com/ejercicioscalcul-160228210010/85/Ejercicios-calcul-21-320.jpg)
Ejercicios calcul
- 1. Exercicis de C`alcul Enginyeria Aeron`autica EETAC Departament de Matem`atica Aplicada IV Curs 2015-2016
- 3. C`alcul. Aeron`autica EETAC 2015/2016 Tema 1. Introducci´o. Funcions 1 1 Introducci´o. Funcions Exercicis introductoris 1. Resoleu les seg¨uents inequacions: (a) −6x + 7 3 ≤ 3 2 x + 1 (b) 4 3 x + 1 2 > −x (c) x2 + x > 6 (d) 4x2 − 4x + 1 ≤ 0 (e) |x| < 1 (f) |x| ≥ 1 (g) |x + 1| ≤ 3 (h) |x + 1| > 3 2. Estudieu els l´ımits laterals de les seg¨uents funcions, en els punts que s’indiquen: (a) 1 x − 1 en x = 1 (b) 1 ln(1 + x) en x = 0 (c) |x| x en x = 0 (d) e 1 x en x = 0 (e) e 1 |x| en x = 0 (f) e− 1 |x| en x = 0 3. Estudieu la continu¨ıtat de les seg¨uents funcions i classifiqueu-ne les eventuals discontinu¨ıtats: (a) f(x) = { e 1 |x| si x ̸= 0 0 si x = 0 (b) f(x) = { |x| x si x ̸= 0 0 si x = 0 (c) f(x) = x2 − x x2 − 1 si x ̸= ±1 0 si x = ±1 (d) f(x) = { e1+ln |x| si x ̸= 0 0 si x = 0 4. Doneu una equaci´o de cadascuna de les seg¨uents c`oniques: (a) Circumfer`encia de centre (4, −1) i radi 1. (b) Circumfer`encia de centre (−2, −2) i radi 5 √ 2. (c) El·lipse de centre (4, −3) i semieixos de longitud √ 3 i 2. (d) Par`abola de v`ertex (1, −4) que passa pel punt (−5, 1). (e) Par`abola de v`ertex (1, 4) que passa pel punt (−5, 1). (f) Hip`erbola de centre (0, 0), v`ertexs (±2, 0) i as´ımptotes d’equaci´o y = ±3x. 5. Identifiqueu i dibuixeu les corbes seg¨uents: (a) y2 − x2 = 1 (b) 25x2 + 36y2 = 900 (c) 2x2 − y2 = 4 (d) xy = 4 (e) 4x2 + 4y2 = 1 (f) 8x = y2 (g) 10y = x2 (h) 4x2 + 9y2 = 16 (i) xy = −1 (j) 3y2 − x2 = 9 (k) xy = 0 Exercicis b`asics 6. Resoleu les seg¨uents inequacions: (a) x + 2 3x − 4 < 0 (b) (x + 1)(x + 2)(x − 4) < 0 (c) 2x + x x + 1 − 3 > 0 (d) x − 1 x2 − x − 12 < 1 x + 2 (e) |1 − x| < 4x + 1 (f) |x − 1| x ≤ 0 (g) (1 + x)2 ≥ |1 − x2 | (h) |34 + 21x − x2 | ≤ −1 (i) 1 − x2 ≤ |x − 1| (j) 3e−x x3 − x ≤ 0 (k) x2 − 1 4 − x > 0
- 4. 2 C`alcul. Aeron`autica EETAC 2015/2016 Tema 1. Introducci´o. Funcions 7. Calculeu el domini de les funcions definides per les seg¨uents expressions: (a) f(x) = √ x(x2 − 1) (b) g(x) = ln(1 − ln x) (c) h(x) = arcsin x 1 − x (d) j(x) = x sin x − cos x (e) m(x) = √ ln ( x − 2 x − 1 ) (f) n(x) = ln(ln(ln x)) 8. Estudieu els l´ımits laterals de les seg¨uents funcions, en els punts que s’indiquen: (a) 1 1 + 2 1 1−x en x = 1 (b) sin ( 1 x ) en x = 0 (c) arctg ( 1 x ) en x = 0 (d) tg x en x = 3π 2 9. Doneu una expressi´o simplificada de sinh(ln 2) i cosh(ln 3). 10. Demostreu que (cosh x + sinh x)n = cosh(nx) + sinh(nx), per tot x ∈ R i n ∈ N. 11. Determineu les equacions de les seg¨uents c`oniques i dibuixeu-les: (a) Circumfer`encia de centre (6, 1) que passa per l’origen. (b) El·lipse de centre (−1, 2) amb v`ertexs als punts (1, 2) i (−1, 1). (c) El·lipse de centre (0, 5) amb v`ertexs als punts (0, 2) i (−1, 5). (d) Par`abola de v`ertex (1, −2), eix de simetria paral·lel a l’eix OX i que passa pel punt (4, 3). (e) Par`abola de v`ertex (1, −2), eix de simetria paral·lel a l’eix OX i que passa per l’origen. (f) Hip`erbola de centre (−1, −3) amb un v`ertex al punt (0, −3) i una as´ımptota d’equaci´o y = 2x − 1. (g) Hip`erbola de centre (−1, −3) amb un v`ertex al punt (0, −3) i una as´ımptota de pendent −2. (h) Hip`erbola de centre (−1, −3) amb un v`ertex al punt (−1, 0) i una as´ımptota de pendent 2. (i) Hip`erbola equil`atera de centre (1, 6) que passa pel punt (2, 4). 12. Identifiqueu i dibuixeu les corbes seg¨uents: (a) x2 + y2 + 16x − 12y + 10 = 0 (b) x2 + y2 − 4x + 5y + 10 = 0 (c) x2 + y2 + x − y = 0 (d) 4x2 + 4y2 + 8y − 3 = 0 (e) x2 + y2 − x − 2y + 3 = 0 (f) x2 + y2 + √ 2x − 2 = 0 13. Identifiqueu i dibuixeu les corbes seg¨uents: (a) xy − y = 0 (b) x2 + 2y2 + 4x + 4y = 2 (c) x2 − y2 + 2x + 2y = 1 (d) 3x2 − 6x − y2 + 4y = 4 (e) y2 − 4y + 4 − x = 0 (f) (x + y)2 − 1 = 0 (g) 2x2 + 2x + y2 − y = 1/4 (h) −4x2 + y2 − 2y = 0 14. Considerem la corba d’equaci´o ax2 + 2x + 3y2 + by + 1 = 0. Determineu per a quins valors de a i b es tracta de: (a) Una circumfer`encia de radi 1 (b) Una el·lipse de centre (−2, 1) (c) Una par`abola de v`ertex (1, 1) (d) Una hip`erbola amb centre a l’eix OX Quina corba es t´e quan a = −3 i b = −4?
- 5. C`alcul. Aeron`autica EETAC 2015/2016 Tema 1. Introducci´o. Funcions 3 Exercicis avan¸cats 15. Proveu que el per´ımetre d’un pol´ıgon regular de n costats inscrit en una circumfer`encia de radi r ´es 2rn sin (π n ) . A quin valor tendeix aquest per´ımetre quan n ´es gran? 16. Considerem les funcions f(x) = x sin2 x, g(x) = x2 (1 + sin2 x), h(x) = x + sin x , j(x) = sin ( 1 x ) . Raoneu l’exist`encia dels seg¨uents l´ımits: (a) lim x→+∞ f(x) (b) lim x→+∞ g(x) (c) lim x→+∞ h(x) (d) lim x→+∞ g(x) h2(x) (e) lim x→0 j(x) (f) lim x→+∞ h(x) · j(x) (g) lim x→0 j(x) · h(x) (h) lim x→0 j(x) x 17. Resoleu les equacions seg¨uents: (a) cosh2 x + 3 4 sinh x = 1 (b) cosh(2x) + sinh x = 7
- 6. 4 C`alcul. Aeron`autica EETAC. 2015/2016 Tema 2. Derivaci´o 2 Derivaci´o de funcions d’una variable Exercicis introductoris 1. Calculeu la derivada de les seg¨uents funcions i simplifiqueu per expressar-la en la forma indicada: (a) f(x) = (1 − x)p (1 + x)q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . f′ (x) = ((q − p)x − p − q) (1 − x)p−1 (1 + x)q+1 (b) f(x) = 1 4 ln x2 − 1 x2 + 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . f′ (x) = x x4 − 1 (c) f(x) = ln ( x + √ x2 + 1 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . f′ (x) = 1 √ x2 + 1 (d) f(x) = cos x sin2 x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . f′ (x) = − 1 + cos2 x sin3 x (e) f(x) = 1 2 x √ a2 − x2 + 1 2 a2 arcsin x a (a > 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . f′ (x) = √ a2 − x2 (f) f(x) = 2 arctan x 1 + √ 1 − x2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . f′ (x) = 1 √ 1 − x2 (g) f(x) = 2 tan x 2 − x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . f′ (x) = 1 − cos x 1 + cos x (h) f(x) = 1 a2 + b2 (a cos bx + b sin bx) eax . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . f′ (x) = eax cos bx 2. Calculeu i simplifiqueu la derivada de les seg¨uents funcions: (a) cosh2 x + sinh2 x (b) tanh x + tan x (c) ln(cosh x) + ln(cos x) (d) xln x 3. Estudieu la derivabilitat de les funcions seg¨uents en els punts que s’indiquen: (a) f(x) = { x2 − 4 si x ≤ 2, 4 − x2 si x > 2 en x = 2 (b) f(x) = |x − 4| en x = 4 (c) f(x) = (x − 3)2/3 en x = 3 (d) f(x) = (x − 3)3/2 en x = 3 (e) f(x) = √ x − 5 en x = 2 (f) f(x) = √ x − 5 en x = 5 4. Calculeu les equacions de les rectes tangents a les seg¨uents corbes, als punts que s’indiquen: (a) f(x) = xx en el punt d’abcissa 1 (b) g(x) = ln ( sin x − cos x sin x + cos x ) en el punt d’abcissa π 3 5. Calculeu l’equaci´o de la recta tangent a la gr`afica de f(x) = x3 − 9x en el punt d’abcissa a. ´Es possible que aquesta recta tangent talli la gr`afica de la funci´o en algun altre punt? Comproveu-ho per a = √ 3. 6. Determineu les equacions de totes les rectes tangents a la gr`afica de la funci´o f(x) = ln x. Donat k ∈ R, determineu quina d’elles passa pel punt (0, k). 7. Per cadascuna de les seg¨uents corbes, trobeu l’expressi´o de y′ (x) derivant impl´ıcitament. (a) cos(xy) = 2y (b) y3 = ln(x3 + y3 ) (c) exy − x + y2 = 1 8. Calculeu les equacions de les rectes tangents a les seg¨uents corbes, als punts que s’indiquen: (a) Hip`erbola d’equaci´o x2 − y2 − x = 1, en el punt (2, 1) (b) C´ubica d’equaci´o x3 + 3x2 y − 6xy2 + 2y3 = 0, en el punt (1, 1) (c) Lemniscata d’equaci´o 3(x2 + y2 )2 = 100xy en el punt (3, 1).
- 7. C`alcul. Aeron`autica EETAC. 2015/2016 Tema 2. Derivaci´o 5 9. Trobeu les equacions de les rectes tangent i normal a la corba x2 − y2 = 7 en el punt (4, −3). Dibuixeu conjuntament la corba i les rectes. 10. Calculeu els seg¨uents l´ımits: (a) lim x→+∞ √ x + 1 − √ 2x − 7 (b) lim x→+∞ √ x2 + x − 1 − √ x2 + 9 (c) lim x→+∞ √ x2 + 1 − √ x2 + 9 (d) lim x→+∞ √ x2 + x + 1 2x − 1 (e) lim x→+∞ 3x − 2x 3x + 2x (f) lim x→−∞ 3x + 2 3x + 6 11. Calculeu els seg¨uents l´ımits, usant la regla de l’Hˆopital: (a) lim x→0 sin x x (b) lim x→+∞ ln x x (c) lim x→−∞ xex (d) lim x→0 tan x x (e) lim x→0 x arcsin x (f) lim x→+∞ ex x2 12. El polinomi de Taylor de grau ≤ 2 de la funci´o f(x) = sin(x) al voltant de l’origen ´es P2(x) = x. A l’adre¸ca http://www.calculusapplets.com/linearapprox.html trobareu un applet que us permetr`a comparar aquestes dues funcions. (a) Useu l’applet per comprovar que sin(0.01) ∼ 0.01 ´es una aproximaci´o amb 6 decimals correctes. (b) Useu la f´ormula del residu de Lagrange per trobar una estimaci´o de l’error com`es en aproximar sin(0.01) per 0.01. (c) Useu l’applet per representar gr`aficament la funci´o g(x) = sin(x) − x en l’interval [-0.1,0.1] i observeu-ne el valor en x = 0.01. Compareu aquest resultat amb el de l’apartat anterior. (d) Qu`e se’n pot deduir del valor de lim x→0 sin x x ? 13. Determineu el polinomi de Taylor de grau N de la funci´o f en el punt a. Escriviu-ne tamb´e l’expressi´o del residu de Lagrange. (a) f(x) = 3 sin 2x − 2 cos 3x, a = 0, N = 5 (b) f(x) = x5 , a = 1, N = 5 (c) f(x) = e2x , a = −1, N = 4 (d) f(x) = x2 ex − xe−x , a = 0, N = 5 (e) f(x) = 3 √ x, a = 8, N = 2 (f) f(x) = sin x, a = π 2 , N = 6 14. Trobeu el polinomi P, de grau m´ınim, tal que P(−1) = 3, P′ (−1) = 2,P′′ (−1) = −2, P′′′ (−1) = 12. 15. Calculeu l’equaci´o de la par`abola que millor aproxima, al voltant de l’origen, la corba d’equaci´o y = ex ln(x + 1). 16. Trobeu els valors a, b ∈ R per als quals f(x) = a ln x + bx2 + x − 2 t´e extrems relatius en els punts x = 1 i x = 2. Determineu si s´on m`axims o m´ınims. 17. Estudieu els extrems absoluts de les funcions seg¨uents en els intervals donats: (a) f(x) = −x2 en [−2, 2] (b) f(x) = √ 25 − 4x2 en [−2, 2] (c) f(x) = 3x4 − 4x3 − 12x2 + 1 en [−2, 3] (d) f(x) = √ x − 4 en [4, 29] 18. Trobeu l’equaci´o de la recta que passa pel punt (3, 4) i talla el primer quadrant en un triangle d’`area m´ınima. 19. Volem inscriure un rectangle a l’el·lipse x2 /400 + y2 /225 = 1, de manera que els costats siguin paral·lels als eixos de l’el·lipse. Calculeu les dimensions del rectangle en cadascun dels casos seg¨uents: (a) La seva `area sigui m`axima (b) El seu per´ımetre sigui m`axim
- 8. 6 C`alcul. Aeron`autica EETAC. 2015/2016 Tema 2. Derivaci´o Exercicis b`asics 20. A continuaci´o teniu dos resultats d’aspecte molt semblant. Un fa refer`encia al c`alcul de la pot`encia n-`esima d’un binomi, l’altre al c`alcul de la derivada n-`esima del producte de dues funcions. S’anomenen, respectivament, Teorema del Binomi de Newton i F´ormula de Leibniz. El coeficient ( n k ) , nombre combinatori n sobre k, es defineix com: ( n k ) = n(n − 1) · · · (n − k + 1) k! , on k! = k(k −1) · · · 3·2·1. Els enunciats s´on: (a + b)n = n∑ k=0 ( n k ) an−k bk = (Binomi de Newton) ( n 0 ) an + ( n 1 ) an−1 b + · · · + ( n k ) an−k bk + · · · + ( n n − 1 ) abn−1 + ( n n ) bn (fg)(n) = n∑ k=0 ( n k ) f(n−k) g(k) = (F´ormula de Leibniz) ( n 0 ) f(n) g + ( n 1 ) f(n−1) g′ + · · · + ( n k ) f(n−k) g(k) + · · · + ( n n − 1 ) f′ g(n−1) + ( n n ) fg(n) Useu-los per calcular: (a) (1 + x)4 (b) (1 − x)5 (c) ( x2 − 2 √ x )5 (d) La derivada cinquena de f(x) = x cos x (e) La derivada n-`esima de g(x) = (ax2 + bx + c)ex (f) f(n) (0), g(n) (0), on f(x) = x cos x i g(x) = x sin x 21. Per a quin valor de λ ∈ R la corba y = eλx i la recta y = x s´on tangents? 22. Hi ha alguna recta que sigui tangent, simult`aniament, a les par`aboles d’equacions y = −x2 i y = x2 − 2x + 5? 23. Trobeu l’equaci´o de la par`abola amb eix de simetria horitzontal, que passa pel punt (1, 0) i ´es tangent a la recta y = 2x en el punt (2, 4). Doneu-ne tamb´e les coordenades del v`ertex. 24. Calculeu les equacions de les rectes tangents a la circumfer`encia de centre (3, −1) i radi 2, paral·leles a la recta d’equaci´o y = √ 3x. Doneu tamb´e els punts de tang`encia. 25. Trobeu les equacions de les rectes tangents a 9x2 + 16y2 = 52 paral·leles a la recta 9x − 8y = 1. 26. Considerem la corba C d’equaci´o ln ( x x2 + y2 ) + y arctan(x) = tan(2xy) (a) Determineu els punts de tall de C amb l’eix OX. (b) Calculeu l’equaci´o de la recta perpendicular a C en el punt (o punts) de l’apartat anterior. 27. Calculeu l’`area del triangle format per l’eix OX i les rectes tangent i normal a la c´ubica d’equaci´o x3 + y3 = 9 2 xy, en el punt (1, 2). 28. Quin angle formen les rectes tangents en (0, 0) a les corbes d’equaci´o 5y − 2x + y3 − x2 y = 0 i 2y + 5x + x4 − x3 y2 = 0?
- 9. C`alcul. Aeron`autica EETAC. 2015/2016 Tema 2. Derivaci´o 7 29. Quin angle formen, en el punt de tall, la hip`erbola y = 1 x i la par`abola y = √ x? 30. Calculeu els l´ımits seg¨uents: (a) lim x→0 x − tan x sin3 x (b) lim x→0+ x ln x (c) lim x→0+ xx (d) lim x→0+ tan x ln x (e) lim x→0 cosh x − 1 1 − cos x (f) lim x→0 xn ex , on n ∈ N (g) lim x→+∞ x − sin x x + sin x (h) lim x→0 x2 sin2 x (1 − cos2 x)2 (i) lim x→1 ( x x − 1 − 1 ln x ) (j) lim x→+∞ cos x x2 (k) lim x→0 sin ( 1 x ) · sin x (l) lim x→1 (x − 1) sin ( 1 x−1 ) sin x . 31. Donats α ∈ (0, +∞) i β ∈ (0, 1), calculeu els l´ımits seg¨uents: (a) lim x→+∞ xα ex (b) lim x→+∞ lnα x x (c) lim x→+∞ ln x xβ 32. Calculeu, en funci´o de n ∈ N, el polinomi de Taylor de grau ≤ n de f(x) a l’origen: (a) f(x) = ln(1 + x) (b) f(x) = x + 1 x − 1 (c) f(x) = 1 3x + 2 (d) f(x) = cos x (e) f(x) = 1 1 + x 33. En cadascun dels seg¨uents apartats, calculeu el polinomi de Taylor de grau n de la funci´o f centrat en el punt x = a, useu-lo per calcular un valor aproximat de V i determineu, mitjan¸cant la f´ormula del residu de Lagrange, una fita de l’error en l’aproximaci´o. (a) f(x) = sin x, n = 3, a = 0, V = sin(1). (b) f(x) = ln(1 + x), n = 3, a = 0, V = ln(3/2). (c) f(x) = 3 √ x, n = 2, a = 8, V = 3 √ 10. (d) f(x) = √ 4 + x, n = 2, a = 0, V = √ 4.1. (e) f(x) = ex , n = 3, a = 0, V = 4 √ e. 34. Estudieu els extrems relatius de les funcions seg¨uents: (a) f(x) = x3 + 48/x (b) f(x) = (x − 1)1/3 (x + 2)2/3 (c) f(x) = |x2 − 1| + 1 (d) f(x) = x3 − x + 2|x − 1| + 1 (e) f(x) = 2x + 3 3 √ x2 − 1 (f) f(x) = 2x6 + 3x4 − 2 (g) f(x) = 1 − e−x x4 (h) f(x) = sin3 x 35. Estudieu els extrems absoluts de les funcions seg¨uents en els intervals donats: (a) f(x) = |x − 3| en [0, 4] (b) f(x) = x5 + x3 en R (c) f(x) = 1 1 + x2 en R (d) f(x) = 3x4 + 16x3 + 6x2 − 72x en [0, +∞) (e) f(x) = x 1 + x2 en R (f) f(x) = ln ( 1 sin x ) en (0, π) 36. Trobeu la dist`ancia m´ınima pel punt (4, 2) a la par`abola y2 = 8x. 37. Calculeu els punts de la corba d’equaci´o y2 = 2xy + x + 1 2 , tals que el quadrat de la difer`encia de les seves coordenades sigui m´ınim. 38. Raoneu si la funci´o f(x) = 1 + x8 e−x t´e un extrem relatiu a l’origen, de dues maneres diferents: estudiant-ne el creixement, i a partir dels polinomis de Taylor de la funcio e−x .
- 10. 8 C`alcul. Aeron`autica EETAC. 2015/2016 Tema 2. Derivaci´o Exercicis avan¸cats 39. Considerem la funci´o f(x) = 2 arctan x + arcsin ( 2x 1 + x2 ) . (a) Demostreu que ´es constant a cadascun dels interval (−∞, −1] i [1, +∞). Quins valor pren? (b) ´Es f constant a l’interval (−1, 1)? 40. Determineu el m´ınim K ∈ R tal que x − x2 ≤ Kex , per tot x ∈ R. 41. Sigui P = (a, b) un punt del primer quadrant (a, b > 0). Considerem la recta que passa per P i t´e pendent m ∈ (−∞, 0), i anomenem A i B els punts on aquesta recta talla a l’eix OX i OY respectivament. (a) Doneu una funci´o S : (−∞, 0) −→ R tal que S(m) sigui l’`area del triangle de v`ertexs A, B i l’origen. (b) Doneu una funci´o L : (−∞, 0) −→ R tal que L(m) sigui la longitud del segment AB. (c) Raoneu si aquestes funcions tenen extrems absoluts i, en cas afirmatiu, calculeu-los. 42. Considerem la funci´o definida per f(x) = x2 sin ( 1 x ) + 2x2 (si x ̸= 0), f(0) = 0. (a) ´Es f derivable en x = 0? (b) T´e f un extrem relatiu en x = 0? 43. En cadascun dels seg¨uents apartats, volem usar polinomis de Taylor per calcular el valor h amb un error inferior a ϵ. Determineu de quina funci´o, en quin punt i de quin grau ser`a el polinomi m´es adient. (a) h = 4 √ e, ϵ = 3 × 10−4 (b) h = ln(0.8), ϵ = 10−3 (c) h = sin(0.1), ϵ = 10−6 (d) h = cos(−0.3), ϵ = 2 × 10−3
- 11. C`alcul. Aeron`autica EETAC. 2015/2016 Tema 3. Integraci´o (I) 9 3 Integraci´o de funcions d’una variable (1a. part) Exercicis introductoris 1. Calculeu, com a quasi-immediates, les primitives seg¨uents: (a) ∫ (x − 2)3/2 dx (b) ∫ dx (x − 1)3 (c) ∫ dx √ x + 3 (d) ∫ √ 3x − 1 dx (e) ∫ √ 2 − 3x dx (f) ∫ x 3 √ 2x2 + 3 dx (g) ∫ y3 √ 1 + y4 dy (h) ∫ xdx (x2 + 4)3 2. Calculeu, com a quasi-immediates, les primitives seg¨uents: (a) ∫ cos 3x dx (b) ∫ sin y cos2 y dy (c) ∫ dx √ 4 − x2 (d) ∫ dx 9 + x2 (e) ∫ dx √ 25 − 16x2 (f) ∫ dx 4x2 + 9 (g) ∫ (x2 − x)4 (2x − 1) dx (h) ∫ (x + 1) √ x2 + 2x − 4 dx (i) ∫ (1 + √ x)2 √ x dx (j) ∫ (x + 1)(x − 2) √ x dx (k) ∫ cos4 x sin x dx (l) ∫ ln x x dx 3. Calculeu, com a quasi-immediates, les primitives seg¨uents: (a) ∫ x8 x9 − 1 dx (b) ∫ √ ln x + 3 x dx (c) ∫ sin 3x 1 − cos 3x dx (d) ∫ e1/x x2 dx (e) ∫ (ex + 1)2 dx (f) ∫ (ex − xe ) dx (g) ∫ e2x e2x + 3 dx (h) ∫ x tan(x2 ) dx 4. Calculeu les seg¨uents primitives pel m`etode d’integraci´o per parts: (a) ∫ x cos x dx (b) ∫ arccos 2x dx (c) ∫ x arctan x dx (d) ∫ x2 e−3x dx (e) ∫ ln x x2 dx (f) ∫ x cosh x dx 5. Calculeu les integrals racionals seg¨uents: (a) ∫ x4 − 8 x + 2 dx (b) ∫ x3 + 6x2 + 4x − 7 x2 + 2x − 1 dx (c) ∫ 3x3 − 4x2 + 3x x2 + 1 dx (d) ∫ dx x2 − 9 6. Calculeu les integrals racionals seg¨uents: (a) ∫ x2 + 3x − 4 x2 − 2x − 8 dx (b) ∫ 2x − 1 x2 + x dx (c) ∫ x dx (x − 2)2 (d) ∫ x4 dx (1 − x)3 Exercicis b`asics 7. Calculeu, com a quasi-immediates, les primitives seg¨uents: (a) ∫ (1 + x)2 √ x dx (b) ∫ x2 √ 1 − x6 dx (c) ∫ x x4 + 3 dx (d) ∫ 1 x ln x dx (e) ∫ dx √ x(1 − √ x) (f) ∫ ex+1 ex + 1 dx (g) ∫ ex √ 1 − e2x dx (h) ∫ ex 4 + e2x dx
- 12. 10 C`alcul. Aeron`autica EETAC. 2015/2016 Tema 3. Integraci´o (I) 8. Calculeu, com a quasi-immediates, les primitives seg¨uents: (a) ∫ sin 3x cos5 3x dx (b) ∫ (x + 1)(x2 + 2x)10 dx (c) ∫ x2 sin(x3 ) dx (d) ∫ x cos2(x2) dx (e) ∫ sin 2x √ sin x dx (f) ∫ tg x dx (g) ∫ tg x − 1 tg x + 1 dx (h) ∫ dx a2 + b2x2 (i) ∫ dx ex + e−x (j) ∫ dx √ a2 − b2x2 (k) ∫ dx x ln2 x (l) ∫ dx x ln x ln ln x 9. Calculeu les seg¨uents primitives pel m`etode d’integraci´o per parts: (a) ∫ x cos2(3x) dx (b) ∫ x3 sin x dx (c) ∫ x3 ex2 dx (d) ∫ sin √ x dx 10. Calculeu les integrals seg¨uents pel m`etode d’integraci´o per parts: (a) ∫ eax cos(bx) dx, on a, b ∈ R. (b) ∫ eax sin(bx) dx, on a, b ∈ R. (c) ∫ xn ln x dx, on n ∈ Z . (d) ∫ xe3x sin x dx 11. Donada una constant a ∈ R, considerem per cada n ∈ N la integral In = ∫ xn eax dx. (a) Useu el m`etode d’integraci´o per parts a fi d’establir la igualtat In = xn eax a − n a In−1. (b) Utilitzeu l’expressi´o anterior per calcular ∫ x2 e2x dx. 12. Calculeu les integrals racionals seg¨uents: (a) ∫ 1 x4 − 2x2 + 1 dx (b) ∫ x3 + x2 − x − 1 x3 + x dx (c) ∫ x3 + x2 + x + 2 x4 + 3x2 + 2 dx (d) ∫ 1 x4 + 3x2 + 2 dx 13. Calculeu les integrals racionals seg¨uents: (a) ∫ x + 3 x2 + x + 2 dx (b) ∫ x3 dx (x2 + x − 2)(x2 + x + 2) (c) ∫ 1 x3 − 1 dx (d) ∫ 1 x3 + 1 dx (e) ∫ (x − 1)2 (x + 1)(x2 + 4x + 9) dx Exercicis avan¸cats 14. Sigui a ∈ R una constant i P un polinomi. Indiquem HP = ∫ P(x)eax dx. (a) Useu el m`etode d’integraci´o per parts a fi d’establir la seg¨uent relaci´o: HP = eax a P(x) − 1 a HP ′ (b) Iterant aquesta igualtat obteniu l’expressi´o: ∫ P(x)eax dx = eax a ( P(x) − P′ (x) a + P′′ (x) a2 − P′′′ (x) a3 + · · · ) (c) Apliqueu-ho a calcular primitives de f(x) = x5 e2x i g(x) = (x2 − 3x + 11)e−x .
- 13. C`alcul. Aeron`autica EETAC. 2015/2016 Tema 3. Integraci´o (II) 11 3 Integraci´o de funcions d’una variable (2a. part) Exercicis introductoris 1. Useu les f´ormules de l’angle doble i la relaci´o sin2 x + cos2 x = 1 per calcular les integrals seg¨uents: (a) ∫ sin2 x dx (b) ∫ cos3 x sin2 x dx (c) ∫ cos2 x sin2 x dx (d) ∫ sin4 (2x) dx (e) ∫ cos7 x sin9 x dx 2. Calculeu les seg¨uents integrals indefinides: (a) ∫ sinh2 x dx (b) ∫ cosh3 x sinh2 x dx (c) ∫ cosh2 x sinh2 x dx (d) ∫ cosh7 x sinh9 x dx Indicaci´o: useu f´ormules an`alogues a les de l’exercici anterior. 3. Calculeu les seg¨uents integrals quasi-immediates, emprant canvis de variable adients: (a) ∫ x cos(x2 ) sin(x2 ) dx (b) ∫ arctg x (1 + x2)(2 + arctg2 x) dx (c) ∫ x ln(1 + x2 ) 1 + x2 dx 4. Calculeu les integrals definides seg¨uents, utilitzant les propietats de funci´o parell o senar. (a) ∫ 2 −2 1 x2 + 4 dx (b) ∫ 2 −2 x cos( 3 √ x) dx (c) ∫ 3 −3 sin3 ( x5 5 ) dx (d) ∫ π/2 −π/2 cos2 x dx 5. Calculeu el valor mitj`a de les funcions seg¨uents en els intervals indicats: (a) f(x) = x 4 √ x2 + 1, en [0, 3/4] (b) f(x) = sin x cos2 x , en [0, π/3] 6. Calculeu ∫ 2π 0 x sin(nx) dx, en funci´o de n ∈ N. 7. Calculeu l’`area de la regi´o fitada limitada per les corbes seg¨uents: (a) y = 9 − x2 , y = x + 3 (b) y = x2 − 4, y = 8 − 2x2 (c) y = ex , y = e−x , x = 0, x = 2 (d) y = tg x, x = 0, x = π/4 Exercicis b`asics 8. Calculeu les seg¨uents integrals de funcions trigonom`etriques, sense usar canvis de variable: (a) ∫ sin5 x cos5 x dx (b) ∫ sin3 (2x) dx (c) ∫ cos6 (x 2 ) dx (d) ∫ sin3 x cos2 x dx (e) ∫ sin2 x dx 1 + cos x dx (f) ∫ cos3 x dx sin4 x 9. Calculeu les seg¨uents integrals de funcions trigonom`etriques, sense usar canvis de variable: (a) ∫ x(cos3 (x2 ) − sin(x2 )) dx (b) ∫ tg3 x dx (c) ∫ cos3 x dx 1 − sin x 10. Calculeu les integrals seg¨uents, aplicant canvis de variable trigonom`etrics o hiperb`olics adients: (a) ∫ dx (4 − x2)3/2 (b) ∫ √ 25 − x2 x dx (c) ∫ √ x2 + 4 dx (d) ∫ x2 dx √ x2 − 16 (e) ∫ x4 dx √ (1 − x2)3 (f) ∫ √ −x2 + 2x dx (g) ∫ √ x6 + x4 dx (h) ∫ √ x2 + 2x dx
- 14. 12 C`alcul. Aeron`autica EETAC. 2015/2016 Tema 3. Integraci´o (II) 11. Calculeu les integrals seg¨uents, aplicant un canvi trigonom`etric despr´es d’integrar per parts. (a) ∫ x arcsin x dx (b) ∫ x arccos x dx 12. Calculeu les integrals seg¨uents, fent un canvi adequat per convertir-les en integrals racionals. (a) ∫ dx sin x (b) ∫ dx cos x (c) ∫ tg4 x dx (d) ∫ sin2 x cos x dx (e) ∫ 1 1 + tg x dx (f) ∫ sin x cos x 1 − cos x dx (g) ∫ sin x cos2 x − sin2 x dx (h) ∫ (2 + tg2 x) dx cos2 x (1 + tg3 x) 13. Calculeu les integrals seg¨uents, mitjan¸cant un canvi de variable adient: (a) ∫ √ x 1 + x dx (b) ∫ dx √ x(1 + √ x) (c) ∫ dx 3 + √ x + 2 (d) ∫ 1 − √ 3x + 2 1 + √ 3x + 2 dx (e) ∫ sin √ x dx (f) ∫ √ 1 + √ x dx (g) ∫ 4 √ x 1 + √ x dx (h) ∫ √ x 1 + 3 √ x dx 14. Calculeu les integrals seg¨uents, mitjan¸cant un canvi de variable adequat: (a) ∫ dx e2x − 3ex (b) ∫ (ex − 2)ex ex + 1 dx (c) ∫ ln(3x) x ln(6x) dx 15. Calculeu l’`area de la regi´o fitada limitada per les corbes seg¨uents: (a) x = 1 + y2 , x = 10 (b) x = 3y2 − 9, x = 0, y = 0, y = 1 (c) xy = 12, y = 0, x = 1, x = e2 (d) y2 = 4x, 4x − 4y + 3 = 0 (e) x = 6y − y2 , x = y2 − 2y 16. Calculeu l’`area de la regi´o limitada per les gr`afiques de les funcions seg¨uents: (a) f(x) = 2x − x2 , g(x) = x3 (b) f(x) = x3 − 3x2 + 2x, g(x) = 0 (c) f(x) = x4 − 5x2 + x + 5, g(x) = x + 1 (d) f(x) = x3 − x2 , g(x) = 4x − 4 17. Calculeu l’`area de la regi´o fitada limitada per les corbes y = sin x, y = 3x 5π i y = 0. Indicaci´o: observeu que els punts de tall es poden calcular a ull. 18. Calculeu el volum dels s`olids de revoluci´o obtinguts fent girar les regions del pla limitades per les corbes donades, respecte dels eixos indicats. (a) y2 = 8x i x = 2; eix OY (b) y = 2x2 , x = 0, y = 0 i x = 5; eix OX (c) y = 2x2 , y = 0, x = 0 i x = 5; eix OY (d) x2 − y2 = 16, y = 0 i x = 8; eix OX (e) x2 − y2 = 16, y = 0 i x = 8; eix OY (f) 4x2 + 9y2 = 36; eix OX (g) 4x2 + 9y2 = 36; eix OY (h) y = x2 , y = 4x − x2 ; eix OX (i) y = x2 − 5x + 6 i y = 0; eix OY (j) y = 2x, y = 0 i x = 1; eix OY 19. Determineu, a partir de la definici´o, quines de les integrals impr`opies seg¨uents s´on convergents i, en tal cas, calculeu-ne el valor. (a) ∫ −3 −∞ 1 (2 + x)3 dx (b) ∫ +∞ 2 e−3x dx (c) ∫ 1 −∞ xe−x dx (d) ∫ +∞ π/12 e−x cos(3x) dx (e) ∫ +∞ −∞ xe−x2 dx (f) ∫ 0 −∞ xex dx Exercicis complementaris 20. Estudieu la converg`encia de les seg¨uents integrals impr`opies: (a) ∫ +∞ 1 ln(x2 + 1) x dx (b) ∫ +∞ 3 1 √ 1 + x3 dx (c) ∫ +∞ 1 1 x2 + √ x dx (d) ∫ +∞ 2 1 x + sin x dx (e) ∫ +∞ 2 4 − 4 sin(2x) x3 + x1/3 dx (f) ∫ +∞ −∞ e−x2 dx
- 15. C`alcul. Aeron`autica EETAC. 2015/2016 Tema 4. Funcions de diverses variables 13 4 Funcions de diverses variables Exercicis introductoris 1. Dibuixeu les corbes de nivell de les funcions seg¨uents: (a) f(x, y) = x + y (b) f(x, y) = √ xy (c) f(x, y) = x2 + y2 (d) f(x, y) = y √ x 2. Useu seccions planes per identificar les superf´ıcies seg¨uents: (a) x + 2y + 3z = 1. (b) x2 + y2 + z2 = 5 (c) 36y2 − x2 + 36z2 = 9 (d) 5y = −z2 + x2 (e) 9x2 + 4y2 + 36z2 = 36 (f) 9x2 + 4y2 − 36z2 = 36 (g) x2 + 4y2 − 4z2 + 4 = 0 (h) x2 + 4y2 = 1 (i) x2 + y2 + 2y = z2 − 1 (j) x2 + 4y2 + 2z2 − 6x − 16y − 16z + 53 = 0 3. Doneu una parametritzaci´o de cadascuna de les seg¨uents corbes de R2 : (a) Segment que uneix els punts (a1, b1) i (a2, b2). (b) Circumfer`encia de centre (a, b) i radi R. (c) El·lipse de centre (0, 0) i semieixos a, b > 0. (d) Par`abola d’equaci´o x = ay2 + by + c. 4. En cadascuna de les seg¨uents corbes parametritzades, elimineu el par`ametre t, representeu la corba i determineu-ne el sentit de recorregut. (a) γ(t) = (t − 1, 3t + 2), t ∈ (−∞, 2] (b) γ(t) = (t − 1, t3 ), t ∈ R (c) γ(t) = (t − 1, t(t + 4)), t ∈ R (d) γ(t) = (a cos t, b sin t), t ∈ [0, π], a, b > 0 (e) γ(t) = (a cos t, b sin t), t ∈ [0, 6π], a, b > 0 (f) γ(t) = (a sin t, b cos t), t ∈ [0, π], a, b > 0 (g) γ(t) = (a cosh t, b sinh t), t ∈ R, a, b > 0 (h) γ(t) = (−a cosh t, b sinh t), t ∈ [0, +∞), a, b > 0 5. Quina ´es la difer`encia entre les corbes parametritzades α(t) = (t, t, t2 ), β(t) = (t2 , t2 , t4 ) i γ(t) = (sin t, sin t, sin2 t), quan t recorre la recta real? 6. Calculeu el vector tangent i l’equaci´o cartesiana de la recta tangent a les seg¨uents corbes parametritzades, per als valors indicats del par`ametre: (a) γ(t) = (t − 1, t3 ), t ∈ R, per t0 = 0 i t1 = 1. (b) γ(t) = (2 cos t, 3 sin t), t ∈ [0, 2π], per t0 = 0, t1 = π 4 i t2 = π 2 . (c) γ(t) = (cosh t, sinh t), t ∈ R, per t0 = 0, t1 = ln 2 i t2 = − ln 2. (d) γ(t) = (sinh t, − cosh t), t ∈ R, per t0 = 0, t1 = ln 3. (e) γ(t) = (t cos t, t sin t), t ∈ R, per t0 = 0, t1 = π 2 , t2 = π i t3 = 2π.
- 16. 14 C`alcul. Aeron`autica EETAC. 2015/2016 Tema 4. Funcions de diverses variables Exercicis b`asics 7. Determineu el domini i el recorregut (imatge) de les funcions seg¨uents: (a) f(x, y) = ln(y − x) (b) f(x, y) = arcsin(x/y) (c) f(x, y) = 1 − |x| − |y| (d) f(x, y) = √ cos(2πx) − 1 (e) f(t) = ( cos 1 t , sin 1 t ) 8. Descriviu les corbes de nivell de les funcions seg¨uents: (a) f(x, y) = x + 5y − 7 (b) f(x, y) = 3x2 + 2y2 (c) f(x, y) = xy (d) f(x, y) = (xy)1/2 (e) f(x, y) = y/x1/2 (f) f(x, y) = 1 − |x| − |y| (g) f(x, y) = x2 + y2 + 2x (h) f(x, y) = x2 − y2 + 4y (i) f(x, y) = 4x2 + y2 + 16x + 2y 9. Descriviu les superf´ıcies de nivell de les funcions seg¨uents: (a) f(x, y, z) = x + 2y + 3z (b) f(x, y, z) = −x2 − y2 − z2 (c) f(x, y, z) = x2 + 2y2 + 3z2 (d) f(x, y, z) = y2 + z2 (e) f(x, y, z) = x2 + y2 − z2 (f) f(x, y, z) = z/(x2 + y2 ) 10. Considerem la superf´ıcie S = {(x, y, z) ∈ R3 | 3x2 + 3y2 + 12y + 12 = z2 }. (a) Determineu les seccions de S amb els plans d’equaci´o z = k, per tot k ∈ R. (b) Useu aquestes seccions (i d’altres, si us cal) per identificar la superf´ıcie. (c) Doneu una parametritzaci´o de la corba intersecci´o de S amb el pla z = 3 √ 3. 11. Identifiqueu les seg¨uents corbes parametritzades, tot expressant-les com a intersecci´o de dues superf´ıcies a l’espai, i calculeu-ne el vector tangent per als valors indicats del par`ametre: (a) γ(t) = (t, t2 , 2t2 ), t ∈ R, per t0 = 0, i t1 = −1. (b) γ(t) = (cos t, sin t, −4), t ∈ [0, 2π], per t0 = 0, t1 = π 2 i t2 = π. (c) γ(t) = (cos t, sin t, cos t), t ∈ [0, 2π], per t0 = 0, t1 = π 2 i t2 = π. (d) γ(t) = (1, sin t, cos t), t ∈ [0, 2π], per t0 = 0, t1 = π 2 i t2 = π. (e) γ(t) = (sin t, cos t, t), t ∈ R, per t0 = 0, t1 = π 2 i t2 = 2π. 12. Identifiqueu les superf´ıcies S1 i S2, dibuixeu-ne la corba intersecci´o i parametritzeu-la: (a) S1 = {x2 + y2 = 9}, S2 = {y + z = 2} (b) S1 = {x2 + y2 + z2 = 1}, S2 = {x2 + y2 + (z − 1)2 = 1} (c) S1 = {x2 + y2 = 1}, S2 = {z = x2 − y2 } (d) S1 = {z2 − x2 − y2 = 1 2 }, S2 = {y = 1√ 2 } 13. En cadascuna de les seg¨uents corbes parametritzades, elimineu el par`ametre t, representeu la corba i determineu-ne el sentit de recorregut. (a) γ(t) = (sin2 t, 3 cos2 t), t ∈ R (b) γ(t) = ( 1 cos2 t , tg2 t ) , t ∈ ( −π 2 , π 2 ) (c) γ(t) = ( 1 cos t , tg t ) , t ∈ (π 2 , 3π 2 ) (d) γ(t) = (x0 +(x1 −x0)t, y0 +(y1 −y0)t, z0 +(z1 −z0)t), t ∈ [0, 1], on (x0, y0, z0), (x1, y1, z1) ∈ R3 14. (a) Considereu el segment que uneix els punts (x1, y1) i (x2, y2), doneu dues parametritzacions que, per t ∈ [0, 1], recorrin el mateix segment per`o en sentits oposats l’una respecte de l’altra.
- 17. C`alcul. Aeron`autica EETAC. 2015/2016 Tema 4. Funcions de diverses variables 15 (b) Considerem dues funcions cont´ınues f, g i una corba parametritzada γ(t) = (f(t), g(t)), t ∈ [0, 1]. Comproveu que ν(t) = (f(1 − t), g(1 − t)), t ∈ [0, 1] ´es una parametritzaci´o de la mateixa corba recorreguda en sentit contrari. (c) Donada una funci´o cont´ınua i invertible f : I → R, on I interval, doneu una parametritzaci´o de la gr`afica de la funci´o inversa f−1 . 15. Determineu els punts de la corba parametritzada γ(t) = (3t − t3 , 3t2 , 3t + t3 ), t ∈ R, amb recta tangent paral·lela al pla d’equaci´o 3x + y + z + 2 = 0. 16. Considerem les corbes parametritzades α(t) = (cos t, sin t, 2t) i β(t) = (1, t2 − 1, t + 1 − 12π), t ∈ R. (a) Expresseu la corba parametritzada β com la intersecci´o de dues superf´ıcies. Demostreu que descriu una par`abola i trobeu-ne el v`ertex. (b) Calculeu la recta tangent (en un punt gen`eric) a l’h`elix descrita per α. (c) Calculeu els punts d’interseccio de la par`abola amb l’h`elix. Quin ´es l’angle d’intersecci´o? 17. Considerem la corba parametritzada γ(t) = (t − sin t, 1 − cos t, 4 sin(t/2)), t ∈ R. (a) Demostreu que la corba no ´es fitada i que est`a continguda en el cilindre parab`olic z2 = 8y. (b) Calculeu l’equaci´o de la recta tangent a la corba, en un punt gen`eric γ(t). (c) Calculeu els punts d’intersecci´o de la corba amb l’eix OX. (d) Demostreu que l’angle format pel vector tangent a un punt gen`eric de la corba, γ(t0), i l’eix OZ ´es equivalent a t0 2 . Exercicis complementaris 18. Sigui σ: I → Rn una corba parametritzada diferenciable tal que ∥σ(t)∥ ´es constant (´es a dir, ´es dins una superf´ıcie esf`erica amb centre l’origen). Proveu que els vectors posici´o σ(t) i velocitat σ′ (t) s´on ortogonals en cada instant. (Indicaci´o: Partiu de σ(t) · σ(t) = a2 (constant) i deriveu.) ´Es cert el rec´ıproc?
- 18. 16 C`alcul. Aeron`autica EETAC. 2015/2016 Tema 5. C`alcul diferencial en diverses variables 5 C`alcul diferencial en diverses variables Exercicis introductoris 1. Calculeu les derivades parcials i la matriu jacobiana de les funcions seg¨uents en un punt arbitrari del seu domini: (a) f(x, y) = x2 + 3xy + y2 (b) f(x, y) = x y2 − y x2 (c) f(x, y) = sin(3x) cos(4y) (d) c(t) = (cos t, sin t) (e) f(x, y) = arctg(y/x) (f) F(x, y) = (x2 − y, 3x + y3 , xy) (g) f(x, y) = x2 + y2 x2 − y2 (h) F(x, y) = ( √ 1 − y2, √ 1 − x2) 2. Calculeu les derivades direccionals Duf(a) seg¨uents: (a) f(x, y) = x2 − 3y3 + 5xy, a = (1, −1), u = (−4, 3) (b) f(x, y, z) = x + xy + xyz, a = (1, 2, −1), u = (3, 2, −2) (c) f(x, y) = y + x cos xy, a = (0, 0), u = (1, √ 3) (d) f(x, y) = 2x2 + 3xy − y2 , a = (1, −1), u = (2, 1) 3. Calculeu el pla tangent i la recta normal a les superf´ıcies seg¨uents en els punts indicats. (a) x2 + y2 + 2z2 = 7, en el punt (1, −2, −1) (b) 2z3 − x2 = 3y2 , en el punt (2, −2, 2) (c) 2x2 + 2xy + y2 + z + 1 = 0, en el punt (1, −2, −3) (d) z = xy, en el punt (3, −4, −12) 4. Calculeu el gradient de les seg¨uents funcions en els punts indicats: (a) √ x2 + 2y2, (1, 2) (b) arctan (y x ) , (1, 1) (c) ln √ x2 + y2 cos ( x y ) , (π, 3) 5. La temperatura d’un punt del pla ve donada per T(x, y) = 10 + 6 cos x cos y + 3 cos(2x) + 4 cos(3y). Trobeu la direcci´o de m`axim increment de la temperatura, la de m`axima disminuci´o i la de no variaci´o, en el punt P = (π/3, π/3). 6. Donada f(x, y) = (x2 + arctg y)e−x (a) Calculeu la direcci´o i sentit de m`axim decreixement de la funci´o f en el punt (1, 0). (b) Quin ´es l’angle que forma la direcci´o anterior amb el vector (1, 0)? (c) Calculeu un vector tangent a la corba de nivell de f que passa pel punt (1, 0). (d) Trobeu el pla tangent a la gr`afica de la funci´o f en el punt amb coordenades x = 1 i y = 0. 7. Donada f(x, y) = x arctg y (a) Trobeu un vector perpendicular a la corba de nivell de f que passa pel punt (0, 1). (b) Determineu la direcci´o de m`axim decreixement de la funci´o f en el punt (0, 1). (c) Calculeu el pendent de la recta tangent a la gr`afica de f en el punt (0, 1, 0), en la direcci´o del vector (3, 4). 8. (a) Considereu les funcions f(x, y, z) = xyz i g(t) = (2 + t, 1 − t, 1 + t). Calculeu (f ◦ g)′ (0) de dues maneres diferents.
- 19. C`alcul. Aeron`autica EETAC. 2015/2016 Tema 5. C`alcul diferencial en diverses variables 17 (b) Donades f(x, y) = (ex , x + y) i g(u, v) = (u − v, cos(uv), u − v), calculeu la diferencial de g ◦ f en (0, 0) de dues formes diferents. 9. Calculeu les derivades parcials segones de les funcions seg¨uents: (a) f(x, y) = sin ( x + 1 y ) (b) g(x, y) = xy (c) h(x, y) = x sin xy + y cos xy (d) k(x, y) = √ x2 + y2 10. Calculeu el polinomi de Taylor de grau ≤ 2 de f(x, y) centrat en el punt P: (a) f(x, y) = ex cos y, P = (0, 0) (b) f(x, y) = xy , P = (1, 1) (c) f(x, y) = ln(2 + x − 3y), P = (0, 0) (d) f(x, y) = sin(xy) + cos(xy), P = (0, 0) (e) f(x, y) = ex2 +sin y , P = (0, 0) (f) f(x, y) = sin(xy2 ), P = (1, 0) 11. Estudieu els extrems locals de les seg¨uents funcions: (a) f(x, y) = 2x + 4y − x2 − y2 − 3 (b) f(x, y) = x2 + 2xy + 2y2 (c) f(x, y) = 2x2 + y2 + 6xy + 10x − 6y + 5 (d) f(x, y) = 3x2 + 2xy + 2x + y2 + y + 4 (e) f(x, y) = e1−x2 −y2 (f) f(x, y) = −x3 + 4xy − 2y2 + 1 12. Estudieu l’exist`encia d’extrems absoluts de la funci´o f en el conjunt C. Calculeu-los, quan existeixin. (a) f(x, y) = x2 + y2 , C = {(x, y) ∈ R2 | x2 + y2 = 1}. (b) f(x, y) = x, C = {(x, y) ∈ R2 | x2 + 2y2 = 3}. (c) f(x, y) = 2x2 + 2y2 − x4 , C = {(x, y) ∈ R2 | x2 + y2 ≤ 3}. (d) f(x, y, z) = x − y + z, C = {(x, y, z) ∈ R3 | x2 + y2 + z2 = 2}. Exercicis b`asics 13. Calculeu les derivades parcials de la funci´o v(x1, . . . , xn) = ∑n i=1 xi + ∑n i=1 x2 i . 14. Donada f(x, y) = y + x(ln x)(arctan(sin(cos(xy)))) , calculeu ∂f ∂y (1, 1). (Indicaci´o: en comptes d’usar les regles de derivaci´o, penseu en la definici´o de derivada parcial ). 15. Donada f(x, y) = y sin2 (x2 + xexy ) (x2 + y2 + 1)3 i a ∈ R, calculeu ∂2 f ∂x2 (a, 0). (Indicaci´o: en comptes d’usar les regles de derivaci´o, penseu en la definici´o de derivada parcial ). 16. (a) Demostreu que les superf´ıcies d’equacions x2 + y2 + z2 = 18 i xy = 9 s´on tangents en el punt (3, 3, 0). (b) Demostreu que les superf´ıcies d’equacions x2 +y2 +z2 −8x−8y−6z+24 = 0 i x2 +3y2 +2z2 = 9 s´on tangents en el punt (2, 1, 1). 17. Calculeu tots els punts de R2 on la gr`afica de la funci´o f(x, y) = (1−sin x) y +y3 +1 t´e pla tangent paral·lel al pla XY. Escriviu tamb´e l’equaci´o d’aquests plans tangents. 18. Calculeu les derivades parcials de les funcions compostes indicades. (a) F = f ◦ g, amb f(x, y, z) = x2 y + y2 z − xyz, g(u, v) = (u + v, u − v, u). (b) F = f ◦ g, amb f(x, y) = x + y 1 − xy , g(u, v) = (tg u, tg v) 19. Sigui f: R3 → R3 diferenciable, i definim g(x, y, z) = f(3x−y +2z, x+ y − 2z, 2x+5y −z). Raoneu que g ´es diferenciable i expresseu en termes de f la seva matriu jacobiana en el punt (1, 1, 3).
- 20. 18 C`alcul. Aeron`autica EETAC. 2015/2016 Tema 5. C`alcul diferencial en diverses variables 20. (a) Considerem la funci´o f(x, y) = (sin(y ln x), (y ln x)2 ) definida a D = {x > 0} ⊆ R2 . Determineu dues funcions g : R −→ R2 i h : D −→ R tals que f = g ◦ h i useu la regla de la cadena per calcular Df(x, y). (b) Considerem la funci´o f(x, y) = (ex−y2 , 1 y2 − x ) definida a D = {(x, y) ∈ R2 | x < y2 } ⊆ R2 . Determineu dues funcions g : R −→ R2 i h : D −→ R tals que f = g ◦ h i useu la regla de la cadena per calcular Df(x, y). 21. (a) Sigui σ: R → R2 una corba parametritzada diferenciable tal que σ(0) = (0, 0) i σ′ (0) = (1, 0). Sigui f: R2 → R2 donada per f(x, y) = (x + y + 1, 2x − y). Calculeu l’equaci´o de la recta tangent a la corba f ◦ σ en l’instant t = 0. (b) Considereu f(x, y) = (ex+y , ex−y ) i sigui σ una corba parametritzada de R2 , diferenciable, tal que σ(0) = (0, 0) i σ′ (0) = (1, 1). Calculeu l’equaci´o de la recta tangent a la corba f ◦ σ en l’instant t = 0. 22. Considereu la funci´o f: R2 → R2 donada per f(x, y) = (ex sin y, ex cos y). Sigui g: R2 → R una funci´o diferenciable. Si el pla tangent a la gr`afica de g en el punt (0, 1, 3) t´e equaci´o 2x + y − z = −2, trobeu l’equaci´o del pla tangent a la gr`afica de (g ◦ f) en el punt (0, 0, 3). 23. Estudieu els extrems locals de les funcions f(x, y) definides per les seg¨uents expressions: (a) x3 + y3 − 3xy (b) (x − y)(1 − xy) (c) xy(2x + 4y + 1) (d) x4 + y4 − 2y2 + 4xy − 2x2 (e) ln(1 + x2 + y2 ) (f) x5 y + xy5 + xy 24. Calculeu els punts cr´ıtics de les funcions seg¨uents: (a) f(x, y, z) = x2 − yz − sin(xz) (b) f(x, y, z) = x4 − y2 + z2 − 2z (c) f(x, y, z) = xy − 2y + z4 − 2 (d) f(x, y, z) = xy + yz (e) f(x, y, z) = 3 ln x + 2 ln y + 5 ln z + ln(22 − x − y − z) (f) f(x, y, z) = x2 z + y2 z + 2 3 z3 − 4x − 4y − 10z + 1 (g) f(x, y, z, t) = x4 + z2 − (t − 1)2 (h) f(x, y, z, t) = (x − 2)2 − 2(y − 3)2 + t2 (i) f(x, y, z, t) = (x − 2)2 + 2(y − 3)2 + t2 25. Estudieu, en funci´o de k ∈ R, el car`acter dels punts cr´ıtics de f(x, y) = 1 2 (x2 + y2 ) + kxy. 26. Trobeu i classifiqueu tots els punts cr´ıtics de les seg¨uents funcions: (a) f(x, y) = −x4 − y6 + 2 (b) g(x, y) = x4 − y6 27. Representeu els seg¨uents conjunts, determineu-ne la frontera i estudieu si s´on compactes: (a) A = {(x, y, z) ∈ R3 | x + y = 1, x2 + y2 = 9, z = 0} (b) B = {(x, y, z) ∈ R3 | x = 2, y = 3, z ∈ (−1, 1)} (c) C = {(x, y, z) ∈ R3 | x = 2, y = 3, z ∈ [−1, 1]} (d) D = {(x, y, z) ∈ R3 | x2 + y2 + 9z2 = 1, z ≥ 0} (e) E = {(x, y, z) ∈ R3 | x2 + y2 ≤ 1, | z | < 1} (f) F = {(x, y) ∈ R2 | x2 + y = 5} (g) G = {(x, y) ∈ R2 | x2 − y2 = 1, x ≤ 0} (h) H = {(x, y) ∈ R2 | x2 + 4y2 = 4, y ≥ 0, x ≤ 1} (i) I = {(x, y) ∈ R2 | 3x2 + 3y2 + 12y ≤ 4} (j) J = {(x, y) ∈ R2 | x − 2y ≤ 2, y ≤ x} (k) K = {(x, y) ∈ R2 | x2 ≤ y ≤ 9} (l) L = {(x, y) ∈ R2 | 0 ≤ 3x2 + 3y2 + 12y ≤ 4}
- 21. C`alcul. Aeron`autica EETAC. 2015/2016 Tema 5. C`alcul diferencial en diverses variables 19 (m) M = {(x, y) ∈ R2 | x2 − y2 = 1, x > 0} (n) N = {(x, y) ∈ R2 | x2 − y2 ≤ 1, y ≤ x} 28. Estudieu l’exist`encia d’extrems absoluts de la funci´o f en el conjunt A. Calculeu-los, quan existeixin. (a) f(x, y) = x2 + y2 − 2xy, A = {(x, y) ∈ R2 | x2 + y2 ≤ 1} (b) f(x, y) = x2 y, A = {(x, y) ∈ R2 | xy = 1} (c) f(x, y, z) = x + y + z, A = {(x, y, z) ∈ R3 | x2 − y2 = 1, 2x + z = 1} 29. Estudieu l’exist`encia d’extrems absoluts de la funci´o f en el conjunt B. Calculeu-los, quan existeixin. (a) f(x, y) = x2 + y2 − 2x − 2y, B = {(x, y) ∈ R2 | x2 + y2 ≤ 8, x ≥ 0, y ≥ 0}. (b) f(x, y) = x4 + y4 − 4(x − y)2 , B = {(x, y) ∈ R2 | 0 ≤ x ≤ 2 , 0 ≤ y ≤ x}. (c) f(x, y) = x(1 − y2 ) + 1 2 x2 (y − 1), C = [0, 2] × [0, 2]. 30. Suposem que la superf´ıcie de la lluna es modelitza per l’esfera d’equaci´o x2 + y2 + z2 = 1. Si la temperatura T en un punt (x, y, z) de la lluna en un cert instant de temps ´es T(x, y, z) = 200xy + z2 , calculeu quina ´es la temperatura m`axima i la temperatura m´ınima a la superf´ıcie llunar segons aquest model. 31. Calculeu de dues maneres diferents els extrems absoluts de f(x, y) = x2 − y2 + 2xy en la circum- fer`encia d’equaci´o x2 + y2 = 1. 32. Considerem el conjunt D = {(x, y) ∈ R2 | (x + 3)2 + y2 ≤ 16, y2 ≤ 2x + 14}. (a) Dibuixeu el conjunt D i determineu si ´es compacte. (b) Calculeu, si existeixen, els extrems absoluts de f(x, y) = (x + 4)2 + y2 en el conjunt D. (c) Calculeu, si existeixen, els extrems absoluts de f(x, y) = (x + 4)2 + y2 en el conjunt Fr (D). (d) Calculeu, si existeixen, els extrems absoluts de g(x, y) = (x + 1)2 + y2 en el conjunt Fr (D). 33. Siguin P = (a, b) un punt de R2 i γ(t) = (x(t), y(t)), t ∈ I ⊆ R, una parametritzaci´o diferenciable d’una corba C. (a) Doneu una funci´o f, d’una variable, que expressi la dist`ancia de P a un punt arbitrari de C. (b) Doneu una interpretaci´o geom`etrica dels extrems absoluts de f. (c) Raoneu que, si f t´e extrems absoluts, llavors f2 tamb´e i s´on els mateixos. (d) Calculeu els punts de la par`abola x = y2 + 1 a dist`ancia m´ınima del punt ( 3 4 , 1 ) . Quina ´es aquesta dist`ancia? 34. Tres pa¨ısos del sudest asi`atic han concertat la seva producci´o d’arr`os en com´u. Si x, y, z s´on les quantitats que ha de produir cada pa´ıs (en milions de tones), la relaci´o entre elles segons l’acord concertat ´es x2 + 2y2 + 6z2 = 32000. Volem calcular la major quantitat d’arr`os que poden produir entre tots tres. (a) Determineu una funci´o cont´ınua f i un conjunt compacte D, i plantegeu l’enunciat com un problema d’extrems absoluts de f en D. (b) Resoleu el problemes d’extrems absoluts i determineu quina ´es la major quantitat d’arr`os que poden produir entre tots tres pa¨ısos.
- 22. 20 C`alcul. Aeron`autica EETAC. 2015/2016 Tema 5. C`alcul diferencial en diverses variables Exercicis complementaris 35. (a) Obteniu l’aproximaci´o lineal de F(x, y) = (x sin y, y cos x) en els punts (0, 0) i (π 2 , π). (b) Calculeu una aproximaci´o de F ( π + 1 2 , π − 1 2 ) sense usar calculadora. 36. Considerem la funci´o F(x, y) = (xy3/2 , x3/2 − y2 ). Justifiqueu que ´es diferenciable en un entorn del punt (4, 1), calculeu l’aproximaci´o lineal de F en el punt (4, 1), i useu-la per calcular una aproximaci´o de F(4.2, 1.1). 37. Estudieu els punts cr´ıtics de les funcions seg¨uents: (a) f(x, y, z) = cos(2x) sin y + z2 (b) f(x, y) = x5 y + y5 x + xy − 1 Exercicis avan¸cats 38. Sigui f ∈ C1 (R2 ) tal que f(x, x) = 0 per tot x ∈ R i ∂f ∂x (0, 0) = 1. Determineu un vector v, de norma 1, de manera que Dvf(0, 0) sigui m`axima. 39. Siguin F ∈ C2 (R2 ) i f ∈ C2 (R). Definim G : R2 −→ R per G(x, y) = F(ex + ey , f(x + y)). Suposem DiF(2, 0) = DijF(2, 0) = λ ̸= 0 per a tot i, j ∈ {1, 2}, f(0) = 0, f′ (0) = −1 i f′′ (0) ̸= −1 2 . Determineu per a quins valors de f′′ (0) t´e G un extrem local en (0, 0). 40. Considerem la funci´o f(x, y) = −3x2 y2 + x3 y3 . (a) Calculeu-ne els punts cr´ıtics i representeu-los gr`aficament. (b) Estudieu el car`acter dels punts cr´ıtics de f(x, y) que es troben sobre els eixos coordenats. (c) Estudieu el car`acter de la resta de punts cr´ıtics de f(x, y). 41. Estudieu si s´on compactes els seg¨uents conjunts: (a) A = {(x, y, z) ∈ R3 | 2x2 − z2 = 2, y2 + 2z2 ≤ 10, |x| ≥ |z| } (b) B = {(x, y, z) ∈ R3 | x3 = y2 , z = x} 42. Donades les constants a, b, c > 0, trobeu els extrems absoluts de f(x, y, z) = x a + y b + z c en la regi´o H = { (x, y, z) x2 a2 + y2 b2 + z2 c2 = 1, z ≥ 0 } 43. Considerem la funci´o f(x, y) = −y4 − e−x2 + 2y2 √ ex + e−x2 . (a) Proveu que el seu ´unic punt cr´ıtic ´es l’origen. (0, 0). (b) Determineu el car`acter del punt cr´ıtic de f. (c) Proveu que f no t´e m´ınim absolut. Indicaci´o: considereu els valors de f sobre l’eix 0Y . 44. Considerem la funci´o f(x, y) = (x + 1)2 + y2 i el conjunt C = {(x, y) ∈ R2 | x3 = y2 }. (a) Raoneu l’exist`encia d’extrems absoluts de f en C. (Indicaci´o: f(x, y) = d2 ((x, y), (−1, 0))) (b) Dibuixeu C i dedu¨ıu gr`aficament el m´ınim absolut de f en C. (c) Useu la t`ecnica dels multiplicadors de Lagrange per calcular aquest m´ınim i raoneu perqu`e no obtenim cap resultat. 45. Calculeu la m´ınima dist`ancia entre punts de les corbes d’equacions x + y = 4 i x2 + 4y2 = 4. Feu-ho de dues maneres diferents 46. Trobeu els extrems absoluts de la funci´o f(x, y, z) = x2 + y2 + z2 + x + y + z en el conjunt A = {(x, y, z) ∈ R3 | x2 + y2 + z2 ≤ 4, z ≤ 1}.