Integrals indefinides
0 likes544 views
Presentació de les integrals indefinides per a 2n de Batxillerat
![1. Concepte de primitiva i d'integral
F(x) és primitiva de f(x) si F'(x) = f(x)
∫ f (x)dx=F (x)+ k
f(x)=x2, f(x)=x+4, f(x)=sinx + 1/x, p266 1 i 2
La integral d'una funció és el conjunt de totes les seves primitives
diferencial d'x
constant d'integració
f(x) = 2x F(x) = x2
F(x) = x2
+ k
Propietats: ∫[ f (x)±g (x)]dx=∫ f (x)dx±∫g(x)dx
∫[k · f (x)]dx=k ·∫ f (x)dx p267 3](https://image.slidesharecdn.com/4integralsindefinides-170113185431/85/Integrals-indefinides-2-320.jpg)
![3. Mètodes d'integració
3.1 Integració per parts
∫u(x)·v' (x)dx=
[u(x)·v(x)]'=u' (x)·v(x)+ u(x)·v '(x)
Polinomi
ln
ex
sin x
cos x
(fàcils d'integrar)
u(x)·v(x)−∫v(x)·u' (x)dx
Pels amics,
∫u·dv=u ·v−∫v ·du
Demostració:
u(x)·v(x)=∫u' (x)·v(x)dx+∫u(x)·v '(x)dx
Integro
∫u(x)·v' (x)dx=u(x)·v(x)−∫v(x)·u'(x)dx](https://image.slidesharecdn.com/4integralsindefinides-170113185431/85/Integrals-indefinides-6-320.jpg)
Integrals indefinides
- 1. Tema 4(11): Integrals indefinides 1. Concepte de primitiva i d'integral 2. Integrals de funcions elementals 3. Mètodes d'integració 3.1 Integració per parts 3.2 Integrals de funcions racionals 3.3 Integració per canvi de variable
- 2. 1. Concepte de primitiva i d'integral F(x) és primitiva de f(x) si F'(x) = f(x) ∫ f (x)dx=F (x)+ k f(x)=x2, f(x)=x+4, f(x)=sinx + 1/x, p266 1 i 2 La integral d'una funció és el conjunt de totes les seves primitives diferencial d'x constant d'integració f(x) = 2x F(x) = x2 F(x) = x2 + k Propietats: ∫[ f (x)±g (x)]dx=∫ f (x)dx±∫g(x)dx ∫[k · f (x)]dx=k ·∫ f (x)dx p267 3
- 3. 2. Integrals de funcions elementals ∫c dx=cx+ k "Truquillu" del factor numèric: Petits exemples + E7abcd, 5 ∫xn dx= x n+ 1 n+ 1 + k ∫ f (x)n · f ' (x)dx= f (x)n+ 1 n+ 1 + k E7ef, 6c ∫(3x4 −2)3 x3 dx= "Em falta un 12!!" 1 12 ∫(3x4 −2)3 12x3 dx E8, 6ab, 7, 8, 51deures per n=-1
- 4. ∫ 1 x dx=ln∣x∣+ k p270: E9, saber fer, 9, 10 per n=-1 ∫ f '(x) f (x) dx=ln∣f (x)∣+ k ∫ax dx= ax ln a + k ∫ex dx=ex + k ∫a f (x) · f ' (x)dx= a f (x) ln a + k ∫e f ( x) · f ' (x)dx=e f (x) + k p271: E10, 11,12
- 5. ∫sin x dx=−cos x+ k p272: E11, 13, 14 ∫sin f (x)· f ' (x)dx=−cos f (x)+ k ∫cos x dx=sin x+ k ∫cos f (x)· f ' (x)dx=sin f (x)+ k ∫(1+ tg2 x)dx=tg x+ k ∫(1+ tg2 f (x))· f ' (x)dx=tg f (x)+ k ∫ 1 cos2 x dx=tg x+ k ∫ 1 cos 2 f (x) · f ' (x)dx=tg f (x)+ k 52, 53, 54, 55, 57
- 6. 3. Mètodes d'integració 3.1 Integració per parts ∫u(x)·v' (x)dx= [u(x)·v(x)]'=u' (x)·v(x)+ u(x)·v '(x) Polinomi ln ex sin x cos x (fàcils d'integrar) u(x)·v(x)−∫v(x)·u' (x)dx Pels amics, ∫u·dv=u ·v−∫v ·du Demostració: u(x)·v(x)=∫u' (x)·v(x)dx+∫u(x)·v '(x)dx Integro ∫u(x)·v' (x)dx=u(x)·v(x)−∫v(x)·u'(x)dx
- 7. ∫2x ·ex dx= u dv u=2x Exemple 1: d dv=e x dx i du=2dx v=e x 2x·e x −∫e x ·2dx= 2x·ex −2ex + k= =2ex (x−1)+ k int(x2+1)sinx, int x2lnxdx entre tots ∫ln x dx= u dv u=ln x Exemple 4: d dv=1dx i du= 1 x dx v=x x ·ln x−∫x· 1 x dx= x ·ln x−x+ k 17a entre tots (2), 17b, 18, 69
- 8. 3. Mètodes d'integració 3.2 Integració de funcions racionals P(x) Q(x) = A x−a + B x−b + ...+ N x−n Grau numerador >= Grau denominador Grau numerador < Grau denominador Fer la divisió 1r pas: Factoritzar denominador (Ruffini/Eq 2n g) Exemple: ∫ 2x+ 1 x 2 −5x+ 4 dx x 2 −5x+ 4=(x−4)(x−1) Exemples meus (x3+x2+x+1/x+1, x2+3x-4/x+1) (només per arrels simples)
- 9. 2n pas: Descompondre la fracció en altres fraccions i desenvolupar expressió 2x+ 1 x2 −5x+ 4 = A x−4 + B x−1 = A(x−1)+ B(x−4) (x−4)(x−1) 3r pas: Trobar A i B mitjançant la igualació dels numeradors 2x+ 1=A(x−1)+ B(x−4)=Ax−A+ Bx−4B 2x+ 1=Ax+ Bx−A−4B 2x 1 A+B=2 -A-4B=1 B=-1,A=3 4t pas: Resoldre nova integral ∫ 2x+ 1 x 2 −5x+ 4 dx=∫( 3 x−4 + −1 x−1 )dx=3·ln∣x−4∣−1·ln∣x−1∣+ k 2x+1/x2-3x+2, 1/x2+2x-3, 19, 80, x2-x+1/x2-3x+2
- 10. 3. Mètodes d'integració 3.3 Integració per canvi de variable ∫ 1 x·ln x dx= 29, 30ab, 88, 89 t=ln x d dt= 1 x dx ∫ 1 ln x · 1 x dx=∫1 t dt= ln∣t∣+ k=ln∣ln x∣+ k ∫ x √1+ 3x2 dx= t=1+ 3x2 d dt=6x dx 1 6 ∫ 1 √1+ 3x2 ·6x dx= 1 6 ∫ 1 √t dt= √t 3 + k= = √1+ 3x2 3 + k