![Полярный угол точки
• Дана точка
Необходимо вычислить угол между точкой и осью OX
можно воспользоваться функцией atan2,
которая вычисляет угол в диапазоне (- π; π].
А если нужен угол в диапазоне [0; 2* π) ?
double polar_angle (Point p) {
double alpha = atan2(p.y, p.x);
if (alpha < 0) alpha += pi;
return alpha;
}](https://image.slidesharecdn.com/geometry-230524135235-a8d5aa9a/85/geometry-pdf-6-320.jpg)
geometry.pdf
- 1. Вычислительная геометрия Беркунский Е.Ю., кафедра ИУСТ, НУК eugeny.berkunsky@gmail.com http://www.berkut.mk.ua
- 2. Расстояние между точками • Даны две точки на плоскости. Найти расстояние между ними: r = hypot(xa-xb,ya-yb)
- 3. Принадлежность точки прямоугольнику boolean pointInBox (Point t, Point p1, Point p2) { return (abs (t.x - min(p1.x, p2.x)) <= eps || min(p1.x, p2.x) <= t.x) && (abs (max(p1.x, p2.x) - t.x) <= eps || max(p1.x, p2.x) >= t.x) && (abs (t.y - min(p1.y, p2.y)) <= eps || min(p1.y, p2.y) <= t.y) && (abs (max(p1.y, p2.y) - t.y) <= eps || max(p1.y, p2.y) >= t.y); } Примечание. Нужно учитывать особенности арифметики с плавающей точкой.
- 4. Взаимное расположение точек • Даны две точки. Определить «самую левую», «самую правую», «самую верхнюю», «самую нижнюю» // наиболее левая из двух точек Point min_px (Point a, Point b) { return a.x<b.x || (abs(a.x-b.x)<=eps && a.y<b.y) ? a : b; } // наиболее правая из двух точек Point max_px (Point a, Point b) { return a.x>b.x || (abs(a.x-b.x)<=eps && a.y>b.y) ? a : b; }
- 5. Полярный угол точки • Дана точка Необходимо вычислить угол между точкой и осью OX Для вычисления используем формулу: alpha = arctg (y / x) Необходимо рассматривать отдельно случай когда x = 0
- 6. Полярный угол точки • Дана точка Необходимо вычислить угол между точкой и осью OX можно воспользоваться функцией atan2, которая вычисляет угол в диапазоне (- π; π]. А если нужен угол в диапазоне [0; 2* π) ? double polar_angle (Point p) { double alpha = atan2(p.y, p.x); if (alpha < 0) alpha += pi; return alpha; }
- 7. Полярное расстояние • Необходимо найти расстояние между двумя точками в полярной системе координат Переводим точки из полярной системы координат в декартову и вычисляем расстояние. Используем формулы: x = r * cos (alpha) y = r * sin (alpha)
- 8. Деление отрезка в заданном соотношении • Даны координаты концов отрезка и два числа m и n. Необходимо разделить отрезок на две части в отношении длин m:n и найти точку раздела.
- 9. Поворот точки против часовой стрелки • Даны точка и угол поворота против часовой стрелки Найти точку на которую наложится данная при повороте
- 10. Поворот точки вокруг заданной оси • Дано точка, угол поворота против часовой стрелки, и центр поворота Найти точку на которую наложится данная при повороте
- 11. Уравнение прямой • Даны две точки Необходимо найти уравнение прямой a*x + b*y = c, проходящей через них a = y2 - y1; b = x1 - x2; c = a * x1 + b * y1;
- 12. Положение точки относительно прямой • Дана точка и прямая Необходимо определить знак, получаемый при подстановке точки в уравнение прямой int pointInLine (Line l, Point p) { double s = l.a * p.x + l.b * p.y - l.c; return s < -eps ? -1 : s > eps ? 1 : 0; }
- 13. Перпендикуляр • Дана прямая и точка Необходимо найти уравнение прямой, перпендикулярной данной и проходящей через заданную точку
- 14. Перпендикуляр Для уравнения прямой a*x + b*y = с существует единственный вектор перпендикулярный этой прямой с началом в точке (0, 0). Это вектор нормали. Второй конец вектора имеет координаты (a, b). Следовательно, у перпендикулярного ему вектора будут координаты (b, - a), и коэффициенты уравнения будут такими. b*x - a*y = b*xt - a*yt
- 15. Расстояние от точки до прямой • Дана точка (xt ,yt ) и прямая a*x + b*y = с Необходимо найти длину перпендикуляра, опущенного из точки к прямой 𝑑 = 𝑎 ∗ 𝑥𝑡 + 𝑏 ∗ 𝑦𝑡 − 𝑐 𝑎2 + 𝑏2
- 16. Проекция точки на прямую • Дана точка (xt ,yt ) и прямая a*x + b*y = с Необходимо найти точку на этой прямой, расстояние до которой от данной минимально Найдём расстояние от точки до прямой, разделим его на длину вектора нормали. Прибавим полученное число раз вектор нормали к точке.
- 17. Расстояние между двумя параллельными прямыми • Даны две параллельные прямые a1*x + b1*y = c1 a1*x + b1*y = c2 Найти расстояние между ними 𝑑 = 𝑐1 − 𝑐2 𝑎1 2 + 𝑏1 2
- 18. Прямая, параллельная данной и лежащая на расстоянии d от неё • Дана прямая и число Необходимо найти прямую, параллельную данной и лежащую на расстоянии равном данному числу
- 19. Пересечение прямых • Даны две прямые Необходимо найти точку их пересечения Решаем систему уравнений:
- 20. Принадлежность точки отрезку • Дана точка и отрезок Необходимо определить принадлежит ли точка отрезку Точка принадлежит отрезку только если выполняются два условия: 1) Точка принадлежит прямой, проходящей через отрезок. 2) Точка принадлежит прямоугольной области, образуемой отрезком.
- 21. Пересекаются ли отрезки? • Даны два отрезка Необходимо проверить, пересекаются ли они
- 22. Пересекаются ли отрезки? • Даны два отрезка Необходимо проверить, пересекаются ли они • Если два конца первого отрезка имеют разные знаки положения относительно прямой, проходящей через второй отрезок, и аналогичное условие выполняется для второго отрезка, то отрезки пересекаются. • Если оба отрезка лежат на одной прямой, то отрезки будут пересекаться, если граница одного отрезка принадлежит другому.
- 23. Расстояние от точки до отрезка • Дан отрезок и точка Необходимо найти расстояние от точки до отрезка Найдём прямую, проходящую через отрезок. • Если проекция точки на эту прямую принадлежит нашему отрезку, то расстояние будет равно расстоянию до проекции. • Иначе расстояние равно минимальному из расстояний между точкой и границами отрезка.
- 24. Пересечение отрезка с прямой • Дан отрезок и прямая Необходимо определить пересекаются ли они • Если концы отрезка имеют разные знаки относительно прямой, то они пересекаются. • Если концы отрезка принадлежат прямой, то отрезок лежит на прямой.
- 25. Угол между тремя точками • Даны три точки. Необходимо найти угол между ними. Используем скалярное произведение векторов:
- 26. Положение точки относительно вектора в обходе против часовой стрелки • Даны координаты начала и конца вектора и координаты точки. Необходимо определить лежит ли эта точка справа от этого вектора.
- 29. Высота, медиана, биссектриса • Дан треугольник Необходимо • Найти уравнение прямой проходящей через его высоту • Найти уравнение прямой проходящей через его медиану • Найти уравнение прямой проходящей через его биссектрису
- 30. Вписанная в треугольник окружность • Дан треугольник Необходимо найти окружность, вписанную в него • Центр окружности - это точка пересечения биссектрис углов треугольника. • Радиус окружности равен расстоянию от центра до любой стороны треугольника.
- 31. Описанная окружность • Дан треугольник Необходимо найти описанную вокруг него окружность • Центр окружности - точка пересечения серединных перпендикуляров. • Радиус окружности - расстояние от центра до вершины треугольника.
- 32. Положение точки относительно окружности • Дана точка и окружность Необходимо выяснить, лежит ли точка внутри окружности, снаружи или на самой окружности? • Если расстояние от точки до центра окружности больше радиуса, то точка лежит вне нашего круга. • Если расстояние до центра меньше радиуса, то точка лежит внутри нашего круга. • Если расстояние до центра равно радиусу, то точка лежит на окружности.
- 33. Минимальная окружность, покрывающая множество точек • Дано n точек Необходимо найти окружность минимального радиуса такую, чтобы все точки лежали либо внутри, либо на границе этой окружности • Очевидно, что на искомой окружности должны лежать точки, так как если они на ней не лежат, то радиус окружности можно уменьшить и, значит, эта окружность не была минимальной.
- 34. Минимальная окружность, покрывающая множество точек • Будем перебирать все тройки точек и строить минимальную окружность, покрывающую их. • После этого будем проверять, принадлежать ли все точки найденной окружности. Из всех подходящих окружностей выберем ту, у которой минимальный радиус.
- 35. Пересечение прямой с окружностью • Дано прямая и окружность Найти точки пересечения окружности и прямой • Идея заключается в повороте окружности и прямой, чтоб прямая совпала с осью абсцисс. • Находим точки пересечения окружности и оси абсцисс, а потом поворачиваем их обратно.
- 36. Точки пересечения двух окружностей • Даны две окружности Найти точки их пересечения
- 37. Точки пересечения двух окружностей • Даны две окружности Найти точки их пересечения Если попробовать решить аналитически эту задачу, то после сокращений можно получить уравнение прямой, проходящей через две точки пересечения окружностей.
- 38. Касательные к окружности • Дана окружность и точка. Необходимо найти точки касания касательных, проведённых к окружности из заданной точки.
- 39. Площадь многоугольника • Каким-либо образом разбить на непересекающиеся треугольники • Вычислить сумму площадей треугольников
- 40. Площадь многоугольника • Каким-либо образом разбить на непересекающиеся треугольники • Вычислить сумму площадей треугольников
- 42. Находится ли точка в многоугольнике? • Дан многоугольник и точка. Необходимо проверить, располагается ли наша точка внутри многоугольника. • Если провести горизонтальную прямую проходящую через заданную точку, то могут возникнуть пересечения прямой с многоугольником. • Рассмотрим все точки пересечения, у которых абсцисса меньше, чем у заданной точки. • Если этих точек нечётное число, то исходная точка лежит внутри многоугольника, иначе нет.
- 43. Является ли многоугольник выпуклым • Дан многоугольник. Необходимо проверить, является ли он выпуклым Собственно, вопрос – что значит «выпуклый многоугольник»?
- 44. Является ли многоугольник выпуклым • Дан многоугольник. Необходимо проверить, является ли он выпуклым • Если пройти по всем вершинам выпуклого многоугольника против часовой стрелки, то можно заметить, что каждая вершина лежит слева от предыдущей стороны. • Значит, достаточно пройти по всем трём смежным вершинам многоугольника и установить, что знак ориентированной площади треугольника этих трёх вершин всегда одинаков. • Если это так, то перед нами выпуклый многоугольник, иначе нет.
- 45. Выпуклая оболочка • Дано множество точек Найти минимальный многоугольник (по периметру), содержащий все эти точки • алгоритм Джарвиса • алгоритм Грэхема
- 47. Вопросы?