Giáo trình Điện động lực học

VÕ TÌNH
ĐIỆN ĐỘNG LỰC HỌC
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM - ĐẠI HỌC HUẾ
Khi xuất bản sẽ thay bằng Tên Nhà xuất bản
Huế, tháng....., năm......
Khi xuất bản sẽ bỏ mục này

Giáo trình được viết bởi Võ Tình, giảng viên Khoa
Vật lý, Trường ĐHSP - Đại học Huế và được dùng
để giảng dạy, học tập học phần Điện động lực học
mã số: VLY3384.

LỜI NÓI ĐẦU
Bài giảng điện động lực này được viết cho sinh viên khoa vật lý, Đại học
Sư phạm, Đại học Huế. Để có thể dễ dàng hiểu được môn học này người học
cần phải hoàn tất chương trình học vật lý đại cương, chương trình toán cao
cấp dành cho sinh viên khoa vật lý trong đó có giải tích vec-tơ, phương trình
vật lý toán. Nội dung của chương trình được trình bày xuất phát từ chương 1
xây dựng hệ phương trình Maxwell dành cho các điện tích chuyển động chậm
so với vận tốc ánh sáng trong chân không làm hệ tiên đề của lý thuyết trường
điện từ cổ điển. Từ đó, các phương trình mô tả định luật bảo toàn năng lượng,
xung lượng và các biểu thức tổng quát mô tả các đại lượng động lực như lực,
xung lượng, vec-tơ mật độ dòng xung lượng,... của trường điện từ được thiết
lập thông qua các vec-tơ trường. Các đại lượng thế vô hướng, thế vec-tơ và
các phương trình thế của trường điện từ cũng được định nghĩa, thiết lập như
là một cách mô tả khác các tính chất động lực học của trường điện từ. Các
phương trình thế này tương đương với hệ phương trình Maxwell được biểu diễn
theo các vec-tơ trường. Ngoài ra, các điều kiện biên cho các vec-tơ trường cũng
được thiết lập trong chương này. Từ chương 2 đến chương 5 khảo sát cụ thể
những tính chất, quy luật động lực học của trường điện từ trong trường hợp
cổ điển ứng với thể hiện của trường điện từ đối với quan sát viên trong các hệ
quy chiếu khác nhau. Chương 6 trình bày ngắn gọn thuyết tương đối hẹp của
Albert Einstein, đủ để mô tả nội dung chương 7: Điện động lực học tương đối
tính. Trong chương 7, các vec-tơ trường điện từ 4 chiều tương đối tính được
thiết lập cùng với những phương trình tương đối tính của trường điện từ trong
không gian 4 chiều Minkowski có phép quay Lorentz tương đương với phép
biến đổi tọa độ giữa hai hệ quy chiếu quán tính. Các phương trình này được
dùng để mô tả phương trình chuyển động của các hạt mang điện chuyển động
trong trường điện từ với vận tốc rất lớn gần bằng vận tốc ánh sáng trong chân
không. Theo đó một số hệ quả mới so với thuyết điện từ cổ điển được rút ra.
Với điện động lực học tương đối tính, tính chất tương đối của điện trường và
từ trường đã được thể hiện rất rõ, chúng chỉ là các mặt thể hiện của một thực
thể thống nhất không thể nào phân chia được là trường điện từ. Chương 8 ôn
ii

tập các phép tính cơ bản của giải tích vec-tơ đủ sử dụng để trình bày được nội
dung môn học.
Đây là tài liệu biên soạn phục vụ cho việc giảng dạy của tác giả theo tinh
thần đổi mới, chắc chắn vẫn còn nhiều thiếu sót. Rất mong sự góp ý của quý
đồng nghiệp, các bạn sinh viên để bài giảng này ngày càng hoàn thiện hơn,
đáp ứng được nhu cầu học tập của sinh viên khoa vật lý, Đại học Sư phạm,
Đại học Huế.
Huế, ngày 25 tháng 7 năm 2012
Võ Tình
iii

MỤC LỤC
LỜI NÓI ĐẦU ii
1 Các phương trình cơ bản của trường điện từ 1
1.1 Các đại lượng cơ bản của trường điện từ . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.1 Bốn vec-tơ trường điện từ . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.2 Điện tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.3 Dòng điện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Các phương trình Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.1 Phương trình Maxwell 1: . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.4 Phương trình Maxwell 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.5 Các phương trình liên hệ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2.6 Hệ đủ các phương trình Maxwell . . . . . . . . . . . . . 15
1.3 Dạng vi phân của định luật Ohm và định luật Joule-Lenz . . . . 17
1.3.1 Định luật Ohm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3.2 Định luật Joule-Lenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.4 Các điều kiện biên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.4.1 Thành phần pháp tuyến của vec-tơ B, H . . . . . . . . 20
1.4.2 Thành phần pháp tuyến của vec-tơ D, E . . . . . . . . . 22
1.4.3 Thành phần tiếp tuyến của vec-tơ E, D . . . . . . . . . . 23
1.4.4 Thành phần tiếp tuyến của vec-tơ H, B . . . . . . . . . 24
1.4.5 Điều kiện biên của vec-tơ mật độ dòng điện j . . . . . . 25
v

1.5 Mật độ năng lượng và vec-tơ mật độ dòng năng lượng. Định
luật bảo toàn năng lượng của trường điện từ . . . . . . . . . . . 26
1.6 Lực tác dụng trong điện từ trường . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.7 Xung lượng và áp suất của trường điện từ . . . . . . . . . . . . 31
1.7.1 Xung lượng trường điện từ. . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.7.2 Mômen xung lượng của trường điện từ . . . . . . . . . . 32
1.7.3 Áp suất trường điện từ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.8 Thế vec-tơ và thế vô hướng của trường điện từ . . . . . . . . . . 33
1.8.1 Thế vec-tơ của trường điện từ . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.8.2 Thế vô hướng của trường điện từ . . . . . . . . . . . . . 35
1.8.3 Các phương trình thế của trường điện từ . . . . . . . . . 36
1.9 Bài tập chương 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2 TRƯỜNG TĨNH ĐIỆN 45
2.1 Các phương trình Maxwell của trường tĩnh điện trong chân không 46
2.2 Thế vô hướng và các phương trình thế . . . . . . . . . . . . . . 47
2.2.1 Định nghĩa điện thế và tính chất: . . . . . . . . . . . . . 47
2.2.2 Các phương trình thế của trường tĩnh điện: . . . . . . . 48
2.3 Vật dẫn trong trường tĩnh điện . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.4 Điện dung của vật dẫn cô lập. Hệ số điện dung và hệ số cảm
ứng của hệ vật dẫn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.4.1 Điện dung của vật dẫn cô lập . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.4.2 Điện dung của hệ hai vật dẫn . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.4.3 Hệ n vật dẫn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.5 Điện môi trong trường tĩnh điện . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.5.1 Sự phân cực của các điện môi. . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.5.2 Thế vô hướng của điện trường trong điện môi. . . . . . . 59
2.6 Năng lượng của trường tĩnh điện . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.6.1 Mật độ năng lượng của trường tĩnh điện: . . . . . . . . . 63
2.6.2 Năng lượng của trường tĩnh điện tạo bởi hệ phân bố liên
tục: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
2.6.3 Phân bố điện tích điểm: . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
2.6.4 Hệ vật dẫn tích điện: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
vi

2.6.5 Năng lượng hệ điện tích đặt trong tĩnh điện trường: . . 66
2.7 Lực tác dụng trong tĩnh điện trường . . . . . . . . . . . . . . . 67
2.8 Bài tập chương 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3 TRƯỜNG ĐIỆN TỪ DỪNG 75
3.1 Hệ phương trình Maxwell trong trường điện từ dừng . . . . . . 76
3.2 Thế điện động ngoại lai - Các định luật cơ bản của dòng điện
không đổi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.2.1 Nguồn điện một chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.2.2 Các định luật cơ bản của dòng điện không đổi: . . . . . . 80
3.3 Thế vô hướng và thế vec-tơ của trường điện từ dừng . . . . . . 84
3.3.1 Thế vô hướng: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3.3.2 Thế vec-tơ: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3.4 Từ trường dừng trong môi trường đồng nhất . . . . . . . . . . . 85
3.4.1 Từ trường của các dòng điện không đổi: . . . . . . . . . 85
3.4.2 Từ trường dòng nguyên tố . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
3.5 Vật dẫn trong từ trường dừng. Hiệu ứng Hall . . . . . . . . . . 89
3.6 Từ môi trong từ trường dừng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
3.6.1 Sự từ hoá các từ môi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
3.6.2 Thế vec-tơ của từ trường khi có từ môi . . . . . . . . . . 92
3.6.3 Mối liên hệ giữa độ cảm ứng từ môi và độ từ thẩm: . . . 93
3.7 Năng lượng từ trường dừng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
3.7.1 Năng lượng của hệ dòng dừng: . . . . . . . . . . . . . . . 95
3.7.2 Năng lượng momen từ nguyên tố trong từ trường ngoài . 97
3.7.3 Lực tác dụng trong từ trường: . . . . . . . . . . . . . . . 98
3.8 Bài tập chương 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
4 TRƯỜNG ĐIỆN TỪ CHUẨN DỪNG 113
4.1 Các phương trình của trường điện từ chuẩn dừng . . . . . . . . 114
4.1.1 Các phương trình trường điện từ chuẩn dừng . . . . . . . 116
4.1.2 Các thế của trường điện từ chuẩn dừng . . . . . . . . . . 116
4.2 Các mạch điện chuẩn dừng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
4.2.1 Các phương trình mạch điện . . . . . . . . . . . . . . . . 118
vii

4.2.2 Mạch điện R, L, C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
4.2.3 Mạch điện liên kết hỗ cảm: . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
4.2.4 Các mạch điện rẽ: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
4.3 Dòng điện chuẩn dừng trong vật dẫn. Hiệu ứng lớp da . . . . . 125
4.4 Trường điện từ trong các vật dẫn chuyển động . . . . . . . . . . 129
4.5 Bài tập chương 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
5 SÓNG ĐIỆN TỪ - LÝ THUYẾT BỨC XẠ 141
5.1 Trường điện từ tự do - Sóng phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . 142
5.2 Sóng điện từ phẳng đơn sắc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
5.3 Sóng điện từ trong chất dẫn điện . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
5.4 Sóng điện từ trong chất dị hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
5.5 Sự phân cực của sóng phẳng đơn sắc . . . . . . . . . . . . . . . 151
5.5.1 Định nghĩa: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
5.5.2 Các trạng thái phân cực khác nhau của sóng điện từ
phẳng đơn sắc: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
5.5.3 Biểu diễn Jones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
5.6 Phản xạ và khúc xạ của sóng điện từ ở mặt giới hạn hai điện môi159
5.7 Sự bức xạ ra sóng điện từ. Thế trễ . . . . . . . . . . . . . . . . 166
5.7.1 Thế vô hướng và thế vec-tơ: . . . . . . . . . . . . . . . . 166
5.7.2 Các phương trình thế vec-tơ và thế vô hướng: . . . . . . 167
5.7.3 Nghiệm của các phương trình thế. Thế trễ: . . . . . . . . 168
5.8 Bức xạ của lưỡng cực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
5.8.1 Thế vô hướng của lưỡng cực bức xạ: . . . . . . . . . . . 170
5.8.2 Thế vec-tơ của lưỡng cực bức xạ . . . . . . . . . . . . . . 171
5.8.3 Điện từ trường của dao động tử tuyến tính: . . . . . . . 172
5.8.4 Tính chất của điện từ trường tạo bởi dao động tử tuyến
tính: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
5.8.5 Lưỡng cực bức xạ tuần hoàn: . . . . . . . . . . . . . . . 176
5.9 Ống dẫn sóng và hộp cộng hưởng . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
5.9.1 Ống dẫn sóng chữ nhật: . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
5.9.2 Hộp cộng hưởng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
5.10 Bài tập chương 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
viii

6 THUYẾT TƯƠNG ĐỐI HẸP CỦA EINSTEIN 193
6.1 Những tiên đề của thuyết tương đối . . . . . . . . . . . . . . . . 194
6.1.1 Nguyên lý tương đối Galileo. Phép biến đổi tọa độ . . . . 195
6.1.2 Lượng bất biến và phương trình bất biến. Tính bất biến
của các định luật cơ học cổ điển . . . . . . . . . . . . . . 196
6.1.3 Những tiên đề của thuyết tương đối hẹp của Einstein . . 197
6.2 Động học tương đối tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
6.2.1 Phép biến đổi Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
6.2.2 Thành lập các công thức biến đổi . . . . . . . . . . . . . 198
6.2.3 Sự rút ngắn chiều dài trong hệ chuyển động . . . . . . . 200
6.2.4 Sự chậm của thời gian trong hệ chuyển động . . . . . . 201
6.2.5 Định luật cộng vận tốc Einstein . . . . . . . . . . . . . . 201
6.2.6 Các lượng bất biến trong thuyết tương đối. Khoảng . . . 202
6.2.7 Hình học bốn chiều Minkowski. Cách biểu diễn bốn chiều
của thuyết tương đối . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
6.2.8 Vận tốc bốn chiều và gia tốc bốn chiều tương đối tính . . 208
6.3 Động lực học tương đối tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
6.3.1 Khối lượng và xung lượng tương đối tính của chất điểm . 210
6.3.2 Phương trình động lực học chất điểm . . . . . . . . . . . 211
6.3.3 Xung lượng, năng lượng và khối lượng trong thuyết tương
đối . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
6.3.4 Thuyết lượng tử ánh sáng . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
6.4 Bài tập chương 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
7 ĐIỆN ĐỘNG LỰC HỌC TƯƠNG ĐỐI TÍNH 219
7.1 Tính bất biến của điện tích. Mật độ dòng bốn chiều . . . . . . . 220
7.2 Cách biểu diễn tương đối tính các phương trình cơ bản của
trường điện từ. Thế 4 chiều tương đối tính . . . . . . . . . . . . 221
7.3 Công thức biến đổi các vec-tơ điện trường và từ trường . . . . . 223
7.4 Các bất biến tương đối tính cơ bản của điện từ trường . . . . . 224
7.5 Hiệu ứng Doppler đối với điện từ trường . . . . . . . . . . . . . 225
7.6 Bài tập chương 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
ix

8 ÔN TẬP GIẢI TÍCH VEC-TƠ 231
8.1 Đại số vec-tơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
8.1.1 Các phép tính vec-tơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
8.2 Đại lượng vec-tơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
8.2.1 Vectơ tọa độ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
8.2.2 Vectơ hàm: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
8.3 Tích vô hướng của hai vec-tơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
8.3.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
8.3.2 Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
8.3.3 Thông lượng của vec-tơ hàm qua một mặt S: . . . . . . . 234
8.4 Tích hữu hướng của hai vec-tơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
8.4.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
8.4.2 Tích hỗn hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
8.5 Tích kép của ba vec-tơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
8.6 Các phép tính đạo hàm riêng phần của vec-tơ hàm theo tọa độ . 235
8.6.1 Toán tử nabla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
8.6.2 Định nghĩa và tính chất của gradient . . . . . . . . . . . 236
8.6.3 Định nghĩa và tính chất của divergence (ký hiệu là div) . 236
8.6.4 Định nghĩa và tính chất của rotationel (curl) (ký hiệu là
rot) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
8.6.5 Áp dụng toán tử nabla trong các phép tính vec-tơ cơ bản 238
8.6.6 Toán tử Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
8.6.7 Tóm tắt các phép tính đạo hàm riêng phần của vec-tơ
hàm theo tọa độ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
8.7 Grad, rot, div và 2
trong tọa độ cầu . . . . . . . . . . . . . . . 241
trong tọa độ trụ . . . . . . . . . . . . . . . 242
8.9 Định lý Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
x

Danh sách hình vẽ
1.1 (a): Vectơ mật độ dòng điện khối; (b) Vectơ mật độ dòng điện
mặt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Mật độ dòng điện mặt của dòng điện ống dây dài vô hạn . . . . 8
1.3 Định luật Ohm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.4 Điều kiện biên cho thành phần pháp tuyến của B và H. . . . . . 21
1.5 Điều kiện biên cho thành phần tiếp tuyến của vec-tơ E, D. . . . 23
1.6 Thế vec-tơ và thế vô hướng trường điện từ của một hệ phân bố
hữu hạn điện tích và dòng điện trong thể tích V . . . . . . . . . 37
2.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
2.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
3.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
3.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
3.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
3.9 Một chuỗi điện trở. Điện trở tương đương là Rn, trong đó n là
số điện trở R nối từ đoạn mạch trên xuống đoạn mạch dưới.
Trên hình vẽ số n = 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
xi

3.10 Hiệu ứng Hall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
3.11 Tiết diện của một dây cáp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
3.12 Một quả cầu rỗng với mật độ điện mặt σ quay quanh trục z với
vận tốc góc ω. Điểm tính từ trường P có tọa độ R; bề mặt dS
mang điện tích σdS có tọa độ r . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
3.13 Magnetron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
3.14 Cuộn dây trong từ trường không đổi . . . . . . . . . . . . . . . . 111
4.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
4.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
4.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
4.4 Chuyển động thanh dẫn trong từ trường. . . . . . . . . . . . . . 133
4.5 Betatron. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
4.6 Mặt cắt ngang của hai bản phẳng song song dài với bề rộng w
và cách nhau d, mang hai dòng điện toàn phần +I và −I. . . . 137
4.7 Cầu xoay chiều. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
5.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
5.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
5.3 Phân cực ellip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
5.4 Phân cực thẳng (Polarization rectiligne) . . . . . . . . . . . . . 155
5.5 Sóng điện từ phân cực thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
5.6 Sóng điện từ phân cực tròn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
5.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
5.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
5.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
5.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
5.11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
5.12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
5.13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
5.14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
xii

Chương 1
Các phương trình cơ bản của
trường điện từ
Mở đầu
Đây là chương cơ bản nhất của giáo trình Điện động lực học, một trong những
giáo trình Vật lý lý thuyết cơ sở. Nó bao gồm các tiên đề của lý thuyết điện
từ cổ điển do James Clerk Maxwell đề xướng vào những năm của thập niên
1850-1860 và được Hertz kiểm chứng bằng thí nghiệm bức xạ điện từ vào năm
1888. Các tiên đề đó chính là hệ phương trình Maxwell viết dưới dạng phương
trình vi phân theo không gian và thời gian được rút ra từ các định luật thực
nghiệm trước đó cho các trường điện từ cụ thể và được Maxwell bằng thiên tài
của mình đã khái quát lên cho trường điện từ nói chung. Những phương trình
Maxwell có tính chất rất tổng quát và ý nghĩa của chúng vượt xa các sự kiện
thực nghiệm mà ta dùng để rút ra chúng. Từ hệ tiên đề này, Maxwell đã rút ra
được các định luật bảo toàn năng lượng, xung lượng trường điện từ cũng như
các biểu thức mô tả các đại lượng động lực của trường như lực, xung lượng
của trường thông qua các vec-tơ trường và các phân bố điện tích, dòng điện.
Đây là sự nhận thức đúng đắn của con người về sự thống nhất của trường điện
từ, theo đó điện trường, từ trường, sóng điện từ (bao gồm cả ánh sáng) chỉ là
các mặt thể hiện của một trường điện từ thống nhất tạo bởi hệ phân bố điện
tích và dòng điện đối với quan sát viên trong một hệ quy chiếu cụ thể nào đó
mà thôi.
1

2 Chương 1. Các phương trình cơ bản của trường điện từ
Mục tiêu học tập của chương
Học xong chương này, người học sẽ nắm được các tiên đề của thuyết điện từ
cổ điển của Maxwell, từ đó suy ra các phương trình vi phân, tích phân mô tả
định luật bảo toàn năng lượng, bảo toàn xung lượng trường điện từ, các biểu
thức mô tả các đại lượng động lực học như lực, năng lượng, xung lượng, ... của
trường điện từ theo các vec-tơ trường và các đại lượng mô tả phân bố điện
tích, dòng điện (là các nguồn tạo nên trường). Từ hệ phương trình Maxwell,
người học cũng sẽ nắm được điều kiện biên của các vec-tơ trường, định nghĩa
về thế vô hướng, thế vec-tơ của trường điện từ; phép biến đổi định cỡ thể hiện
tính chất không đơn trị của các đại lượng mới này và phương trình thế dùng để
mô tả những định luật cơ bản của trường điện từ thay cho các vec-tơ trường.
1.1 Các đại lượng cơ bản của trường điện từ
1.1.1 Bốn vec-tơ trường điện từ
Trường điện từ tại mỗi điểm trong không gian được đặc trưng bởi bốn vec-tơ
trường điện từ: vec-tơ cường độ điện trường E, vec-tơ cảm ứng điện D, vec-tơ
cường độ từ trường H và vec-tơ cảm ứng từ B. Chúng là hàm của không-thời
gian, xác định mọi quá trình động lực học của trường điện từ. Trong môi
trường đẳng hướng, ta có hai phương trình liên hệ:
D = E; B = µH. (1.1)
Hai đại lượng , µ theo thứ tự được gọi là hệ số điện thẩm, hệ số từ thẩm của
môi trường.
Trong hệ đơn vị đo lường quốc tế S. I., các đại lượng trên có đơn vị và thứ
nguyên như sau:
Võ Tình -Trường ĐHSP Huê

§ 1.1. Các đại lượng cơ bản của trường điện từ 3
Đại lượng Đơn vị Thứ nguyên
|E| Vôn trên mét (V/m) [m.kg.s−3
.A−1
]
|D| Coulomb trên mét vuông (C/m2
) [m−2
.s.A]
|H| Ampère trên mét (A/m) [m−1
.A]
|B| Tesla (T) hay Wb/m2
[kg.s−2
.A−1
]
Fara trên mét (F/m) [m−3
.kg−1
.s4
.A2
]
µ Henry trên mét (H/m) [m.kg.s−2
.A−2
].
Trong chân không = 0 = (36π)−1
.10−9
(F/m) và µ = µ0 = 4π.10−7
(H/m).
Thực nghiệm chứng tỏ rằng
0µ0 =
1
c2
; c = 3.108
m/s : vận tốc ánh sáng trong chân không.
1.1.2 Điện tích
Thuộc tính cơ bản của trường điện từ là điện tích. Điện tích là nguồn sinh ra
trường điện từ. Thực nghiệm đã chứng tỏ rằng chỉ có hai loại điện tích, ta quy
ước là hai loại điện tích trái dấu nhau được gọi là điện tích âm mang dấu trừ
và điện tích dương mang dấu cộng. Chẳng hạn như trong các nguyên tử trung
hòa điện, hạt nhân mang điện tích dương còn các điện tử quay chung quanh
hạt nhân mang điện tích âm. Đối với các vật thể tự do, điện tích nhỏ nhất mà
vật có thể có được là điện tích nguyên tố e = 1, 6.10−19
C. Điện tích bất kỳ q
là một số nguyên lần điện tích nguyên tố: q = Ne, N là số nguyên dương hoặc
âm.
+ Nếu q có kích thước bé so với khoảng cách quan sát, ta có điện tích điểm
q(C). Một hệ n điện tích điểm qi (i = 1, 2, ..., n) nằm rải rác và cách xa nhau
với những khoảng cách rất lớn so với kích thước của chúng được gọi là hệ phân
bố điện tích điểm rời rạc.
+ Nếu vật mang điện tích có kích thước lớn và bao gồm rất nhiều điện tích
điểm với mật độ phân bố dày đặc trong thể tích V của vật, ta có thể xem như
điện tích phân bố liên tục theo tọa độ trong khối thể tích V . Người ta định

nghĩa đại lượng vi phân mật độ điện tích khối tại điểm P có tọa độ r :
ρ ≡
dq
dV
= lim
∆q
∆V
(C/m3
) =⇒ dq = ρdV.
∆V →0
(1.2)
+ Nếu vật mang điện tích có kích thước lớn và bao gồm rất nhiều điện tích
điểm với mật độ phân bố dày đặc trên bề mặt có diện tích S của vật, ta có thể
xem như điện tích phân bố liên tục theo tọa độ trên bề mặt S. Trong trường
hợp này, đại lượng vi phân mật độ điện tích mặt tại điểm P có tọa độ r được
định nghĩa như sau:
σ ≡
dq
dS
= lim
∆q
∆S
(C/m2
) =⇒ dq = σdS.
∆S→0
(1.3)
+ Còn khi vật mang điện tích có kích thước lớn theo chiều dài và bao gồm
rất nhiều điện tích điểm với mật độ phân bố dày đặc trên đường cong L của
vật, ta có thể xem như điện tích phân bố liên tục theo tọa độ trên chiều dài
L. Tương ứng, đại lượng vi phân mật độ điện tích dài tại điểm P có tọa độ r
được định nghĩa:
λ ≡
dq
d
= lim
∆q
∆
(C/m) =⇒ dq = λd .
∆ →0
(1.4)
Các điện tích vi cấp dq có kích thước rất bé nên được xem là các điện tích
điểm trong các phân bố điện tích liên tục.
Như vậy tổng đại số các điện tích trong thể tích V của phân bố điện tích
rời rạc là
q =
n
i=1
qi. (1.5)
Còn đối với các phân bố điện tích liên tục, ta thay qi bằng dq, để tính tổng
đại số điện tích của các phân bố, ta thay dấu tổng
n
i=1
bằng dấu tích phân
V
, S
, L
tuần tự cho các phân bố khối, mặt và đường
qV =
V
ρdV, qS =
S
σdS, qL =
L
λd . (1.6)

Ví dụ 1.1: Tính điện tích q của một phân bố khối cầu tâm O, bán kính R
có mật độ điện tích khối ρ(r)(C/m3
) = q0[1 − exp(−r/R)]/R3
, q0(C) là một
điện tích không đổi.
Lời giải: Theo (1.6), q = V
ρdV ; vì phân bố khối cầu nên trong hệ tọa độ
cầu (r, θ, φ) với gốc tọa độ O, ta có
q =
V
ρdV =
V
ρ(r)r2
sin θdφdθdr
q =
R
0
ρ(r)r2
dr
π
0
sin θdθ
2π
0
dφ =
q0
R3
4π
R
0
r2
1 − er/R
dr.
Ta tính tích phân bằng phương pháp lấy tích phân từng phần, kết quả cho
R
0
r2
1 − er/R
dr = 2 −
5
e
R3
,
theo đó
q =
q04π
R3
2 −
5
e
R3
= 4π 2 −
5
e
q0 = 2, 018q0(C).
Ví dụ 1.2: Chứng minh rằng hệ điện tích điểm qi phân bố rời rạc tại các
tọa độ ri tương ứng có thể được mô tả bằng hàm mật độ điện tích khối
ρ(r) = qiδ(r − ri),
trong đó hàm delta Dirac được định nghĩa như sau:
δ(r − ri) ≡



∞, nếu r = ri
0, nếu r = ri.
Hàm delta δ(r − ri) có tính chất:
∆Vi
δ(r − ri)dV = 1
và ∆Vi là một thể tích bất kỳ bao quanh điểm có tọa độ ri.
Lời giải:

Ta tính điện tích ∆q của phân bố điện tích bao quanh điểm có tọa độ r
bất kỳ, theo công thức tính điện tích của một phân bố khối thì lượng điện tích
trong thể tích bé ∆V bao quanh điểm có tọa độ r
∆q(r) =
∆V
ρ(r − r)dV (r ) = qi
∆V
δ(r − r)dV (r ) = 0 khi r = ri,
∆V không chứa qi,
∆q(r) =
∆V
ρ(r −r)dV (r ) = qi
∆V
δ(r −r)dV (r ) = qi khi r = ri, ∆V chứa qi.
Nghĩa là với một thể tích ∆V đủ bé bao quanh điện tích điểm qi để xem như
là điện tích điểm thì điện tích tương ứng ∆q = qi. Còn ngoài điểm ri (có điện
tích qi), ta luôn có ρ(r) = 0. Đây là điều ta phải chứng minh.
1.1.3 Dòng điện
Dòng điện là dòng của các điện tích chuyển động có hướng. Người ta quy ước
chiều của dòng điện là chiều của các điện tích dương chuyển động và do đó là
chiều ngược với chiều của các điện tích âm chuyển động. Cường độ dòng điện
khối I đi qua một tiết diện S là số lượng điện tích đi qua S trong một đơn vị
thời gian, nghĩa là nếu gọi dq(t) là số lượng điện tích đi qua tiết diện S trong
khoảng thời gian từ thời điểm t đến thời điểm t + dt thì
I = −
dq
dt
(A = C.s−1
). (1.7)
- Phân bố dòng điện khối: Để biểu diễn dạng vi phân của dòng điện khối
tại một điểm bất kỳ P, người ta định nghĩa vec-tơ mật độ dòng điện khối j
với
|j| =
dI
dSn
(A/m2
) hay dI = j
−→
dS = jdS cos α (1.8)
trong đó dI là cường độ dòng điện khối đi qua tiết diện vi cấp dSn = dS cos α,
−→
dS = dSn, n là vec-tơ đơn vị thẳng góc với bề mặt vi cấp dS, góc α = j,
−→
dS.
Theo đó
I =
S
dI =
S
jdS.

- Phân bố dòng điện mặt: Tương tự, ta có dòng điện vi cấp dI chảy ngang
qua đoạn thẳng d trên bề mặt bất kỳ S. Vectơ mật độ dòng điện mặt i được
định nghĩa là vec-tơ có cường độ
|i| =
dI
d
(A/m) hay dI = id = id cos α =⇒ I =
C
dI =
C
id . (1.9)
Như vậy mật độ dòng điện khối tại một điểm P là cường độ dòng điện đi
qua một đơn vị tiết diện tại điểm đó, chiều của mật độ dòng điện là chiều của
dòng điện. Tương tự, mật độ dòng điện mặt tại một điểm Q bất kỳ trên bề
mặt S là cường độ dòng điện đi ngang qua một đơn vị chiều dài tại điểm đó
theo phương thẳng góc với chiều dòng điện (xem hình 1.1).
Hình 1.1: (a): Vectơ mật độ dòng điện khối; (b) Vectơ mật độ dòng điện mặt.
Ví dụ 1.3: Bề mặt của một ống dây hình trụ dài vô hạn bán kính tiết
diện R được quấn một lớp gồm các vòng tròn dây đồng thẳng góc với trục ống,
dây đồng có bọc cách điện với bán kính tiết diện a R, với mật độ vòng dây
là n = vòng/m. Cho dòng điện I(A) chạy trong dây của ống. Xác định vec-tơ
mật độ dòng điện trên mặt ống dây.
Lời giải: Các dòng điện I chạy trong các vòng dây đồng luôn thẳng góc
với các đường sinh của ống dây, do đó vec-tơ mật độ dòng điện mặt trên ống
dây có chiều của các dòng điện I, phương tiếp tuyến của các vòng tròn dây
điện, và có độ lớn i = nI(A/m) (hình 1.2).

Hình 1.2: Mật độ dòng điện mặt của dòng điện ống dây dài vô hạn
1.2 Các phương trình Maxwell
1.2.1 Phương trình Maxwell 1:
Từ định luật Coulomb trong trường tĩnh điện, kết hợp với nguyên lý chồng
chất điện trường, người ta rút ra được định lý Ostrogradski-Gauss (O-G) cho
trường tĩnh điện, theo đó, thông lượng của vec-tơ cảm ứng điện D đi qua một
bề mặt kín S bằng tổng đại số các điện tích q = V
ρdV chứa trong thể tích
V được giới hạn bởi bề mặt kín S:
S
DdS =
V
ρdV.
Đồng thời, theo giải tích vec-tơ
S
DdS =
V
divDdV,
nên suy ra
V
divDdV =
V
ρdV.
Phương trình trên luôn đúng với mọi thể tích V , do đó:
divD = ρ. (1.10)

§ 1.2. Các phương trình Maxwell 9
Đây là một trong các phương trình Maxwell, nó cho thấy điện tích là nguồn
tạo ra điện trường. Cần nhấn mạnh rằng tuy phương trình được rút ra từ định
lý O-G trong trường tĩnh điện nhưng Maxwell đã khái quát hóa cho rằng nó
vẫn hoàn toàn đúng cho trường điện từ nói chung.
Ví dụ 1.4: Vectơ cảm ứng điện trường của trường điện từ có dạng
(a) Di(r) =
α
3
r; (b) Do(r) =
Q
4
r
r3
, r = 0, α, Q là các hằng số.
Tìm mật độ điện tích khối trong trường điện từ ứng với các trường hợp
trên.
Lời giải: Áp dụng phương trình Maxwell (1.10), ta có
Trường hợp (a): Mật độ điện tích khối
ρi(r) = divDi = div
αr
3
=
α
3
divr = α(C/m3
).
Trường hợp (b): Mật độ điện tích khối
ρo(r) = divDo = div
Q
4
r
r3
=
Q
4
div
r
r3
,
với
div
r
r3
=
1
r3
divr + rgrad
1
r3
=
3
r3
+ r −3r−4 r
r
=
3
r3
−
3
r3
= 0.
Do đó:
ρo(r) = 0.
Định luật về tính liên tục của đường sức cảm ứng từ trường: Thực nghiệm cho
thấy rằng các đường sức của vec-tơ cảm ứng từ trường B luôn khép kín hoặc
xuất phát ở vô cùng và kết thúc ở vô cùng. Do đó thông lượng của vec-tơ cảm
ứng từ trường đi qua một mặt kín luôn bằng không:
S
B
−→
dS = 0.

Kết hợp với định lý O-G trong giải tích vec-tơ
S
B
−→
dS =
V
divBdV,
suy ra
V
divBdV = 0.
Vì thể tích V bất kỳ nên phải có
divB = ρ. (1.11)
Phương trình này cho thấy rằng không có khái niệm từ tích là nguồn sinh ra
tiếp các đường sức từ tại điểm quan sát. Điều này trái với việc thừa nhận từ
tích để khảo sát từ trường của các nam châm vĩnh cửu. Việc bác bỏ khái niệm
từ tích là hoàn toàn đúng đắn và đã được khẳng định bởi thực nghiệm và lý
thuyết hiện đại sau này.
Ví dụ 1.5: Vectơ cảm ứng từ trường của từ trường dừng tạo bởi dòng điện
không đổi I hình trụ bán kính tiết diện R dài vô hạn trong chân không có
dạng
Bi =
µ0Ir
2πR2
eφ khi 0 ≤ r ≤ R; Bo =
µ0I
2πr
eφ khi r R
Vì Bi và Bo chỉ có thành phần trên trục φ nên
divBi =
1
r
∂Biφ
∂φ
=
∂
∂φ
µ0Ir
2πR2
= 0; divBo =
1
r
∂Boφ
∂φ
=
∂
∂φ
µ0I
2πr
= 0.
Rõ ràng chúng thỏa mãn phương trình Maxwell 2 (1.11).
Theo định luật cảm ứng điện từ Faraday, khi từ thông Φ qua một mặt S được
giới hạn bởi vòng dây dẫn kín L biến thiên theo thời gian thì trong vòng dây
sẽ xuất hiện một thế điện động cảm ứng
Ec =
L
Edl = −
∂Φ
∂t

trong đó E là vec-tơ cường độ điện trường cảm ứng. Theo định lý Stokes trong
giải tích vec-tơ
L
Edl =
S
rotE
−→
dS
và
∂Φ
∂t
=
∂
∂t S
B
−→
dS =
S
∂B
∂t
−→
dS.
Kết hợp cả hai biểu thức trên, ta có hệ thức
∀S,
S
rotE
−→
dS =
S
−
∂B
∂t
−→
dS.
Theo đó rút ra được
rotE = −
∂B
∂t
. (1.12)
Định luật cảm ứng điện từ chỉ được phát hiện bởi M. Faraday đối với dây
dẫn kín kín đặt trong từ trường biến thiên. Còn đối với phương trình vi phân
Maxwell 3 (1.12) thì khẳng định rằng tại một điểm bất kỳ trong bất cứ môi
trường nào, nếu có từ trường biến thiên theo thời gian thì ở điểm đó có xuất
hiện điện trường xoáy (rotE = 0), không cần phải có dây dẫn kín. Điều này
được khẳng định hoàn toàn trong trường sóng điện từ tự do.
Ví dụ 1.6: Vectơ cường độ điện trường và vec-tơ cảm ứng từ trường của
sóng điện từ tự do có dạng
E(r, t) = iE0 cos(ωt − kor + α); B(r, t) = k
E0
c
cos(ωt − kor + α),
trong đó c = 1/
√
0µ0, ko = (ω/c)j; ω, α = const.
Chúng ta kiểm chứng xem chúng có thỏa mãn phương trình Maxwell 3
(1.12) hay không?
Lời giải: Trước tiên tính
rotE =
1.2.4 Phương trình Maxwell 4
Trong mục này chúng ta sẽ dựa vào phương trình liên tục mô tả định luật bảo
toàn điện tích để đưa ra khái niệm dòng điện dịch và kết hợp với định luật

Ampère về lưu thông của vec-tơ cường độ từ trường theo một đường cong kín
trong từ trường dừng và khái quát hóa lên cho trường điện từ để rút ra phương
trình Maxwell 4.
a) Định luật bảo toàn điện tích
Trên cơ sở thực nghiệm, người ta đã rút ra định luật bảo toàn điện tích phát
biểu như sau:
“Sự biến thiên của điện lượng q chứa trong thể tích V bất kỳ trong một
đơn vị thời gian sẽ sinh ra một dòng điện tích chảy qua bề mặt kín S bao bọc
thể tích V với cường độ
I = −
∂q
∂t
, hay
S
j
−→
dS = −
∂
∂t V
ρdV.” (1.13)
Biểu thức này có dấu trừ ở vế phải tương ứng với quy ước chọn chiều pháp
tuyến của bề mặt kín S hướng từ trong ra ngoài. Nó phù hợp với khi q giảm,
dòng I chảy ra ngoài mặt kín S và ngược lại. Theo định lý O-G trong giải tích
vec-tơ,
S
j
−→
dS =
V
divjdV,
thay vào (1.13), ta rút ra
V
divjdV = −
∂
∂t V
ρdV =
V
−
∂ρ
∂t
dV.
Do V bất kỳ, nên phải có
divj = −
∂ρ
∂t
⇒ divj +
∂ρ
∂t
= 0. (1.14)
Đây là dạng vi phân của định luật bảo toàn điện tích hay còn gọi là phương
trình liên tục của điện tích trong trường điện từ.
b) Dòng điện dịch
Đối với dòng điện không đổi ∂ρ/∂t = 0, nên phương trình liên tục có dạng
divj = 0. Biểu thức này chứng tỏ đường sức của dòng điện không đổi hoặc

khép kín, hoặc xuất phát ở vô cùng và kết thúc ở vô cùng. Mật độ dòng điện j
liên quan đến chuyển động của các điện tích tự do nên ta gọi nó là vec-tơ mật
độ dòng điện dẫn. Đối với dòng điện biến thiên theo thời gian, ρ = ρ(r, t) nên
∂ρ/∂t = 0, dòng điện dẫn có đường sức không khép kín mà bắt đầu hoặc kết
thúc ở những nơi có điện tích biến thiên.
Kết hợp phương trình liên tục (1.14) với phương trình Maxwell 1 (1.10),
lưu ý phép lấy đạo hàm theo thời gian và theo không gian hoàn toàn độc lập
nhau nên không phụ thuộc vào thứ tự lấy đạo hàm, ta suy ra
div j +
∂D
∂t
= 0. (1.15)
Biểu thức này chứng tỏ muốn khép kín dòng điện trong mạch điện biến thiên
theo thời gian, ta phải chấp nhận sự tồn tại dòng điện
jd =
∂D
∂t
(1.16)
ở trong lớp điện môi (ví dụ: lớp điện môi ở giữa hai bản của tụ điện trong
mạch điện xoay chiều) do sự biến thiên của vec-tơ cảm ứng điện D theo thời
gian và gọi là mật độ dòng điện dịch. Còn dòng điện tổng
jt = j + jd = j +
∂D
∂t
(1.17)
được gọi là vec-tơ mật độ dòng điện toàn phần.
Dòng điện dịch jd và dòng điện dẫn j có bản chất vật lý hoàn toàn khác
nhau, nhưng thực nghiệm cho thấy rằng dòng điện dịch cũng do điện tích
chuyển động nên cũng gây ra một từ trường hoàn toàn giống như từ trường
của dòng điện dẫn bằng nó.
c) Phương trình Maxwell 4 về định luật dòng toàn phần
Đối với dòng điện không đổi trong điện từ trường dừng, ta có định luật Ampère
về lưu thông của vec-tơ cường độ từ trường: Lưu thông của vec-tơ cường độ
từ trường theo một đường cong kín L bằng tổng đại số các dòng điện được

bao quanh bởi đường cong đó
L
Hdl =
S
j
−→
dS
trong đó S là bề mặt tựa trên đường cong kín L.
Theo định lý Stokes trong giải tích vec-tơ
L
Hdl =
S
rotH
−→
dS.
So sánh hai phương trình trên, ta suy ra
S
rotH
−→
dS =
S
j
−→
dS.
Biểu thức này đúng với mọi bề mặt S nên phải có:
rotH = j. (1.18)
Trong trường hợp tổng quát của trường điện từ, thay vì dòng điện dẫn j có
divj = 0 dẫn đến rotH = j, ta có dòng điện toàn phần jt = j + ∂D/∂t, nói
chung là biến thiên theo thời gian, có divjt = 0 và do đó Maxwell đã mở rộng
phương trình (1.18) cho trường hợp trường điện từ tổng quát
rotH = j +
∂D
∂t
. (1.19)
Đây là dạng vi phân của định luật dòng toàn phần và cũng chính là phương
trình Maxwell 4. Phương trình này cho thấy ở đâu có dòng điện dịch chuyển
hoặc điện trường biến thiên thì ở đó có xuất hiện từ trường xoáy (rotH = 0).
Các phương trình Maxwell 3 và Maxwell 4 cho thấy sự quan hệ gắn bó giữa
điện trường và từ trường, chúng là hai mặt thể hiện của một dạng vật chất gọi
là trường điện từ.
1.2.5 Các phương trình liên hệ
Trong môi trường đồng chất, đẳng hướng, giữa các cặp vec-tơ trường E và D,
H và B có mối liên hệ đơn giản:
D = E và B = µH

trong đó các hằng số , µ theo thứ tự là hệ số điện thẩm, hệ số từ thẩm của môi
trường. Đơn vị của là (Fara/mét) viết tắt là (F/m) và của µ là Henry/mét
viết tắt là (H/m).
Trong môi trường không đồng chất và dị hướng thì nói chung D với E và
B với H không còn song song với nhau nữa, mối liên hệ giữa các thành phần
của chúng được mô tả bằng các tenxơ điện thẩm j
i , tenxơ từ thẩm µj
i
Di = j
i Ej, Bi = µj
i Hj, i, j = x, y, z.
1.2.6 Hệ đủ các phương trình Maxwell
Như vậy từ các định luật thực nghiệm về điện từ trường, ta đã rút ra được
hệ phương trình Maxwell cơ bản gồm các phương trình (1.10),(1.11),(1.12) và
(1.19)
divD = ρ, (1.10)
divB = 0, (1.11)
rotE = −
∂B
∂t
, (1.12)
rotH = j +
∂D
∂t
. (1.19)
Hai phương trình vec-tơ cuối (1.12) và (1.19) cho 6 phương trình vô hướng khi
chiếu chúng trên ba trục tọa độ của hệ quy chiếu và cùng với hai phương trình
vô hướng (1.10), (1.11) ta có 8 phương trình vô hướng. Tuy nhiên 8 phương
trình này khi xét mối quan hệ
∀A, div(rotA) = 0,
thay A bằng E, H thì ta chỉ có 6 phương trình độc lập tuyến tính. Ngoài ra,
còn có hai phương trình vec-tơ mô tả mối quan hệ giữa các vec-tơ trường
D = E (1.20)
và
B = µH, (1.21)

chúng cho ta thêm 6 phương trình vô hướng độc lập tuyến tính. Tổng cộng hệ
phương trình Maxwell cơ bản (1.10), (1.11), (1.12), (1.19) và hai phương trình
(1.20), (1.21) cho ta 12 phương trình vô hướng độc lập tuyến tính tương ứng
với 12 nghiệm phải tìm là 12 thành phần của 4 vec-tơ E, D, H và B trên 3
trục tọa độ.
Như vậy ta có hệ đủ các phương trình Maxwell gồm các phương trình từ
(1.10) đến (1.21). Với các tham số cho trước , µ, ρ, j, và các điều kiện biên
tương ứng (sẽ đề cập đến trong tiết 1.4) ta có thể giải hệ phương trình Maxwell
để xác định các nghiệm E, D, H và B một cách đơn giá.
Ví dụ 1.7: Xét trường sóng điện từ tự do trong chân không, có mật
độ điện tích khối ρ(r, t) = 0 và mật độ dòng điện dẫn j(r, t) = 0. Viết hệ
phương trình Maxwell cho trường sóng này và chứng minh rằng các vec-tơ
E(r, t) = E0 cos(ωt − kr + α) và H(r, t) = H0 cos(ωt − kr + α) là nghiệm
của hệ phương trình Maxwell thì các đại lượng không đổi E0, H0, k, ω và
c = 1/
√
0µ0 phải thỏa mãn một số điều kiện nhất định.
Lời giải: Điều kiện không có điện tích và dòng điện (ρ(r, t) = 0, j(r, t) = 0)
làm cho hệ phương trình Maxwell của trường sóng điện từ trong chân không
có dạng đơn giản:
divE = 0 (a); divH = 0 (b); rotE = −µ0
∂H
∂t
(c)và rotH = 0
∂E
∂t
(d).
Giả sử các vec-tơ E(r, t) = E0 cos(ωt − kr + α) và H(r, t) = H0 cos(ωt −
kr + α) là nghiệm của hệ phương trình Maxwell mới này thì:
Phương trình (a) cho
E0grad(cos u) = 0, trong đó u ≡ ωt − kr + α
vì k = const và r là vec-tơ tọa độ nên
grad(kr) = k × rotr + r × rotk + (k )r + (r )k = k,
grad(cos u) =
∂(cos u)
∂u
gradu = − sin ugrad(−kr) = k sin u,
theo đó
E0k sin u = 0 =⇒ E0k = 0.

§ 1.3. Dạng vi phân của định luật Ohm và định luật Joule-Lenz 17
Kết quả này cho ta biết điều kiện đầu tiên là E0⊥k.
Tương tự, phương trình (b) cho ta điều kiện thứ hai H0k = 0 hay H0⊥k.
Phương trình (c) cho
−E0 × grad(cos u) = −µ0
∂(cos u)
∂u
∂u
∂t
H0 =⇒ k × E0 = µ0ωH0.
Tương tự, phương trình (d) cho
H0 × k = 0ωE0.
Hai kết quả cuối này cho ta điều kiện thứ ba là H0⊥E0. Như vậy ba vec-tơ
k, E0, H0 thẳng góc với nhau từng đôi một và theo thứ tự lập thành một tam
diện thuận. Ngoài ra độ lớn của chúng phải thỏa mãn điều kiện thứ tư
E0k = µ0ωH0 (c ); và H0k = 0E0 (d ) =⇒ k = ω
√
0µ0 = ω/c,
từ đó suy ra điều kiện thứ năm
√
0E0 =
√
µ0H0.
1.3 Dạng vi phân của định luật Ohm và định
luật Joule-Lenz
Trong trường hợp trường điện từ trong vật dẫn, ta có thêm định luật Ohm
và định luật Joule-Lenz, để khảo sát trường ta phải tìm dạng vi phân của các
định luật này từ dạng tích phân của chúng.
1.3.1 Định luật Ohm
Xét đoạn dây dẫn có chiều dài ∆ , tiết diện ∆S có cường độ dòng điện
chạy qua là ∆I (hình 1.3). Hiệu điện thế hai đầu đoạn dây dẫn là ∆ϕ và điện
dẫn suất của dây dẫn là σ∗
(S/m) (Siemen/mét). Theo định luật Ohm, ta có:
∆ϕ = ∆I∆R = ∆I
∆
σ∗∆S
,

Hình 1.3: Định luật Ohm
trong đó ta đã sử dụng công thức tính điện trở của đoạn dây dẫn ∆R =
∆
σ∗∆S
.
Vì
∆ϕ = E∆ ; j =
I
∆S
nên ta có
E∆ = j∆S
∆
σ∗∆S
,
suy ra
j = σ∗
E.
Vì dòng điện và vec-tơ cường độ điện trường trong vật dẫn cùng phương chiều
nên ta có thể viết phương trình trên dưới dạng vec-tơ
j = σ∗
E. (1.22)
Đây là dạng vi phân của định luật Ohm, nó được viết cho mỗi một điểm
trong vật dẫn có điện dẫn suất σ∗
(S/m) hay điện trở suất ρ∗
(Ω.m), mật độ
dòng điện j và vec-tơ cường độ điện trường E.
Dưới đây là điện trở suất và điện dẫn suất của một số vật liệu thường gặp
trong thực tế:

§ 1.3. Dạng vi phân của định luật Ohm và định luật Joule-Lenz 19
Vật liệu Điện trở suất Vật liệu Điện trở suất
(Ω.m) (Ω.m)
Bạc 1.59 × 10−8
Than chì 1.4 × 10−5
Đồng 1.68 × 10−8
Nước muối bão hòa 4.4 × 10−2
Vàng 2.21 × 10−8
Germanium 4.6 × 10−1
Nhôm 2.65 × 10−8
Kim cương 2.7
Sắt 9.61 × 10−8
Silicon 2.5 × 103
Thủy ngân 9.58 × 10−7
Nước nguyên chất 2.5 × 105
Nicrom 1.00 × 10−6
Gỗ 108
− 1011
Mangan 1.44 × 10−6
Thạch anh nóng chảy ∼ 1016
Bảng 1.2: Điện trở suất và điện dẫn suất của một số vật liệu dẫn điện, bán
dẫn và cách điện ở áp suất 1atm, nhiệt độ 20o
C. Nguồn tham khảo: Handbook
of Chemistry and Physics, 78th ed. (Boca Raton: CRC Press, Inc., 1997).
1.3.2 Định luật Joule-Lenz
Trong khoảng thời gian từ t đến t + ∆t, nhiệt lượng Joule-Lenz toả ra trong
đoạn dây dẫn trên
∆Q = ∆R(∆I)2
∆t =
∆
σ∗∆S
(j∆S)2
∆t =
∆ ∆S
σ∗
j2
∆t,
lưu ý thể tích đoạn dây dẫn ∆V = ∆ ∆S và công thức (1.22), ta có nhiệt
lượng toả ra trong một đơn vị thể tích bao quanh điểm quan sát bất kỳ ở vật
dẫn ứng với một đơn vị thời gian hay mật độ công suất tỏa nhiệt Joule-Lenz
tại điểm quan sát trong vật dẫn có mật độ dòng điện j
q =
∆Q
∆V ∆t
=
j2
σ∗
= j
j
σ∗
= jE.
q = jE
J
m3.s
. (1.23)
Đây chính là dạng vi phân của định luật Joule-Lenz trong vật dẫn có dòng
điện.

1.4 Các điều kiện biên
Các đại lượng vô hướng , µ, σ∗
, ... đặc trưng cho tính chất của môi trường và
nói chung là hàm của tọa độ. Chúng thường bị gián đoạn tại biên giới của hai
môi trường khác nhau. Do đó, các vec-tơ trường E, D, H, B, ... và mật độ dòng
điện j cũng biến thiên gián đoạn theo. Các hệ thức mô tả mối liên hệ giữa
các vec-tơ trường với các đại lượng vô hướng nói trên tại biên giới của hai môi
trường khác nhau gọi là điều kiện biên. Các điều kiện biên có thể được rút ra
từ hệ phương trình Maxwell thông qua các định lý Ostrogratski-Gauss (O-G)
và định lý Stokes. Vì các định lý này yêu cầu các hàm vec-tơ E, D, H, B, j, ...
phải hữu hạn và biến thiên liên tục trong khi tại biên chúng lại biến thiên
gián đoạn, do đó phải giả thiết rằng thay cho mặt biên ta có một vùng mỏng
chuyển tiếp, trong đó các đại lượng vô hướng , µ, σ∗
, ... biến thiên rất nhanh
nhưng vẫn còn biến thiên liên tục, nghĩa là vẫn áp dụng được các định lý O-G
và Stokes cho các vec-tơ trường. Sau khi thực hiện xong các phép biến đổi
cần thiết, chúng ta cho bề dày lớp mỏng chuyển tiếp tiến đến không và thu
được các điều kiện biên mong muốn. Sử dụng điều kiện cho các vec-tơ trường
E, D, H, B, ..., chúng ta sẽ xác định được các nghiệm này khi giải hệ phương
trình Maxwell.
1.4.1 Thành phần pháp tuyến của vec-tơ B, H
Cho hai môi trường 1 và 2 theo thứ tự có các đại lượng vô hướng đặc trưng cho
trường là 1, µ1 và 2 = 1, µ2 = µ1, các vec-tơ trường tương ứng E1, D1, H1, B1,
và E2, D2, H2, B2. Hai môi trường có chung một mặt phân cách (P). Xét một
mặt trụ kín tròn xoay S với hai đáy S1, S2 theo thứ tự nằm ở hai bên mặt
phân cách (hình 1.4) và mặt bên Sb. Từ phương trình Maxwell divB = 0, lấy
tích phân theo thể tích hình trụ
V
divBdV = 0.
Vận dụng định lý O-G
V
divBdV =
S
B
−→
dS =
S1
B1
−→
dS1 +
S2
B2
−→
dS2 +
Sb
Bb
−→
dSb = 0.

§ 1.4. Các điều kiện biên 21
Hình 1.4: Điều kiện biên cho thành phần pháp tuyến của B và H.
Ta chọn V đủ nhỏ sao cho B1, B2 xem như không đổi đối với mọi điểm trên
hai đáy tương ứng. Theo đó, biểu thức trên trở thành
B1S1 + B2S2 + BbSb = 0
trong đó Bb là trị trung bình của hình chiếu vec-tơ B trên phương pháp tuyến
của
−→
dSb lấy trên toàn bộ mặt bên Sb. Gọi B1n, B2n theo thứ tự là thành phần
pháp tuyến của hai vec-tơ B1, B2, biểu thức trên trở thành
−B1nS1 + B2nS2 + BbSb = 0.
Bây giờ, ta cho hai đáy tiến dần đến mặt phân cách và có S1 = S2 = S0, Sb → 0,
Bb hữu hạn, nên dẫn đến kết quả
(B2n − B1n) S0 = 0
hay
B2n = B1n. (1.24)
Mặt khác, ta có B2n = µ2H2n và B1n = µ2H1n nên từ (1.24) rút ra được
H2n =
µ1
µ2
H1n = H1n vì µ1 = µ2. (1.25)
Thành phần pháp tuyến của vec-tơ cảm ứng từ trường B biến thiên liên
tục khi đi qua mặt phân cách hai từ môi khác nhau. Còn thành phần pháp
tuyến của vec-tơ cường độ từ trường H lại biến thiên gián đoạn.

1.4.2 Thành phần pháp tuyến của vec-tơ D, E
Điều kiện biên của thành phần pháp tuyến của D, E có thể được rút ra từ
phương trình Maxwell divD = ρ. Thực vậy, gọi Di, i = 1, 2 là thành phần pháp
tuyến của Di và thực hiện như trường hợp trên, chỉ thay B bằng D và lưu ý
vế phải của phương trình có mật độ điện tích khối ρ, ta có
S1
D1ds1 +
S2
D2ds2 +
Sb
Dbdsb =
V
ρdV ≡ q.
và từ đó rút ra
−D1nS1 + D2nS2 + DbSb = q.
Cho hai đáy tiến đến mặt phân cách, thì
(D2n − D1n) S0 = qS,
ở đây qS là điện tích trên bề mặt S0 bao quanh điểm quan sát của mặt biên.
Gọi σ = qS/S0 là mật độ điện tích mặt trên mặt phân cách, ta có
D2n − D1n = σ. (1.26)
Nếu σ = 0, thì
D2n = D1n. (1.27)
Như vậy, thành phần pháp tuyến của vec-tơ cảm ứng điện D biến thiên gián
đoạn khi đi qua mặt phân cách hai môi trường có chứa điện tích mặt (σ = 0)
và nó biến thiên liên tục khi mặt phân cách không có điện tích (σ = 0).
Từ hai phương trình (1.26), (1.27), kết hợp với phương trình Di = iEi, i =
1, 2, ta suy ra điều kiện biên cho vec-tơ cường độ điện trường
µ2E2n − µ1E1n = σ, khi σ = 0, (1.28)
µ2E2n − µ1E1n = 0, khi σ = 0. (1.29)
Rõ ràng thành phần pháp tuyến của vec-tơ cường độ điện trường E luôn
biến thiên gián đoạn khi đi qua mặt phân cách hai môi trường điện môi khác
nhau ( 1 = 2).

1.4.3 Thành phần tiếp tuyến của vec-tơ E, D
Điều kiện biên của thành phần tiếp tuyến của E, D có thể được rút ra từ
phương trình Maxwell rotE = −(∂B)/(∂t).
Hình 1.5: Điều kiện biên cho thành phần tiếp tuyến của vec-tơ E, D.
Thực vậy, gọi Eit, i = 1, 2 là thành phần tiếp tuyến của Ei. Xét hình
chữ nhật ABCD nằm trong mặt phẳng chứa Ei và trực giao với mặt phân
cách tại điểm quan sát (hình 1.5). Hình chữ nhật và mặt phân cách cắt nhau
theo đoạn thẳng IJ = o, hai cạnh AB và CD song song và bằng IJ. Xét tích
phân lấy theo mặt S của hình chữ nhật
S
rotE
−→
dS = −
S
∂B
∂t
−→
dS,
Vế trái theo định lý Stokes trong giải tích vec-tơ
S
rotE
−→
dS =
ABCD
Edl =
B
A
E1dl1 +
D
C
E2dl2 +
C
B
Edl +
A
D
Edl
trong đó ta có thể xem các tích phân
C
B
Edl = EBC và
A
D
Edl = E DA
trong đó E và E là một giá trị hữu hạn nào đó của vec-tơ cường độ điện
trường trrung bình trên đoạn BC và DA. Chọn chiều lấy tích phân như hình
1.5 và giả thiết 1, 2 đủ nhỏ để E1 không đổi trên 1, E2 không đổi trên 2. Ta
có:
B
A
E1d 1 = E1 1 = −E1t 1,

D
C
E2d 2 = E2 2 = E2t 2,
C
B
Ebd b +
A
D
Ebd b = Eb ( 3 + 4) ;
S
∂B
∂t
−→
dS =
∂B
∂t
S,
trong đó ∂B
∂t
, Eb là giá trị trung bình hữu hạn của |Eb| trong khoảng lấy
tích phân. Suy ra
−E1t 1 + E2t 2 + Eb ( 3 + 4) =
∂B
∂t
S.
Cho 1, 2 → o, 1, 2 → 0 =⇒ S → 0, ta suy ra
(E2t − E1t) o = 0 hay E2t − E1t = 0 vì o = 0.
Vậy
E2t = E1t hay n × E2 − E1 = 0. (1.30)
Thành phần tiếp tuyến của vec-tơ cường độ điện trường biến thiên liên tục
khi đi qua mặt phân cách hai môi trường điện môi khác nhau.
Từ biểu thức D1t = 1E1t, D2t = 2E2t, 1 = 2 ta sự gián đoạn của
thành phần tiếp tuyến của vec-tơ cảm ứng điện khi đi qua mặt phân cách hai
điện môi khác nhau:
D2t
2
=
D1t
1
hay D2t =
2
1
D1t. (1.31)
1.4.4 Thành phần tiếp tuyến của vec-tơ H, B
Từ phương trình Maxwell
rotH = j +
∂D
∂t
,
lý luận như trên ta có
o (H2t − H1t) = IS, (1.32)
trong đó IS là dòng điện mặt chảy trên mặt phân cách hai từ môi khác nhau
và ngang qua đoạn o. Gọi jS = IS
o
, ta có:
H2t − H1t = jS, (1.33)

jS = IS/ o là mật độ dòng điện mặt chảy theo phương vuông góc với phương
của thành phần tiếp tuyến của vec-tơ cường độ từ trường.
Như vậy, thành phần tiếp tuyến của vec-tơ cường độ từ trường chỉ biến
thiên liên tục qua mặt phân cách hai từ môi khi jS = 0. Ta có thể viết (1.33)
dưới dạng vec-tơ:
n × H2 − H1 = jS. (1.34)
1.4.5 Điều kiện biên của vec-tơ mật độ dòng điện j
Từ phương trình liên hệ j = σ∗
E, ta có:
j2t = σ∗
2E2t; j1t = σ∗
1E1t và vì E2t = E1t,
do đó
j2t
j1t
=
σ∗
2
σ∗
1
. (1.35)
Như vậy nếu độ dẫn điện hai từ môi khác nhau thì thành phần tiếp tuyến
của vec-tơ mật độ dòng điện sẽ biến thiên gián đoạn qua mặt phân cách hai
môi trường.
Còn đối với thành phần pháp tuyến của vec-tơ mật độ dòng điện, ta đi từ
phương trình liên tục:
divj = −
∂ρ
∂t
và vận dụng định lý O-G, dễ dàng thu được:
j2n − j1n = −
∂σ∗
S
∂t
. (1.36)
Như vậy, thành phần pháp tuyến của vec-tơ mật độ dòng điện chỉ gián
đoạn khi trên mặt biên của hai vật dẫn có mật độ điện tích mặt biến thiên
theo thời gian.
Điều kiện biên (1.36) có thể viết dưới dạng tích vô hướng
n j2 − j1 = −
∂σ∗
S
∂t
. (1.37)

1.5 Mật độ năng lượng và vec-tơ mật độ dòng
năng lượng. Định luật bảo toàn năng lượng
của trường điện từ
Để so sánh hệ quả của hệ phương trình Maxwell với thực nghiệm, ta cần biết
biểu thức năng lượng của trường điện từ và năng lượng của trường điện từ
được bảo toàn như thế nào.
Nhân vô hướng hai vế phương trình (1.12) với H và phương trình (1.19)
với E rồi trừ cho nhau, sau đó chuyển toàn bộ các số hạng ở vế phải sang vế
trái, ta có:
H rotE − E rotH + E
∂D
∂t
+ H
∂B
∂t
+ jE = 0, (1.38)
theo giải tích vec-tơ
H rotE − E rotH = div E × H ,
mặt khác
E
∂D
∂t
= E
∂E
∂t
=
2
∂E2
∂t
=
∂
∂t
EE
2
=
∂
∂t
ED
2
.
Tương tự cho H và B:
H
∂B
∂t
=
∂
∂t
HB
2
.
Thế các kết quả này vào (1.38), ta thu được
∂
∂t
ED + HB
2
+ div E × H + jE = 0. (1.39)
Ta đã biết số hạng jE = q là nhiệt lượng toả ra trong một đơn vị thể tích
vật dẫn trong một đơn vị thời gian nên thứ nguyên của nó phải là
[năng lượng]
[thể tích][thời gian]
=
[mật độ năng lượng]
[thời gian]

§ 1.5. Mật độ năng lượng và vec-tơ mật độ dòng năng lượng. Định luật bảo
toàn năng lượng của trường điện từ 27
[năng lượng]
[thể tích][thời gian]
=
[mật độ năng lượng][vận tốc]
[độ dài]
.
Lưu ý rằng, nếu dòng các điện tích q với mật độ dòng j = n0v gồm n0 hạt
chuyển động với vận tốc v trong trường điện từ thì
jE = ρvE = n0qvE = n0Fv =
dWc
dt
n0 ký hiệu mật độ hạt mang điện, còn F = qE = q E + v × B mô tả lực
tác dụng của điện từ trường lên hạt mang điện q. Theo đó n0Fv chính là công
lực điện từ cung cấp cho n0 điện tích q chuyển động với vận tốc v trong một
đơn vị thời gian.
Vậy một cách tổng quát jE = dWc/dt mô tả năng lượng trường điện từ
cung cấp cho các điện tích trong một đơn vị thể tích bao quanh điểm quan
sát để chúng chuyển động với vận tốc v trong một đơn vị thời gian. Trường
hợp riêng trong vật dẫn, toàn bộ năng lượng điện tích thu được từ trường điện
từ đều được chúng chuyển cho các nút mạng tinh thể kim loại mà chúng va
chạm, vì vậy mật độ công suất này chuyển hóa thành mật độ công suất tỏa
nhiệt Joule-Lenz.
Như vậy w = 1
2
(ED + HB) có thứ nguyên mật độ năng lượng nên được
gọi là mật độ năng lượng trường điện từ.
Π = E × H có thứ nguyên [mật độ năng lượng × vận tốc], nên được gọi là
vec-tơ mật độ dòng năng lượng hay vec-tơ Poynting.
Lấy tích phân toàn bộ thể tích V chứa trường điện từ được bao bọc bởi
mặt kín S, ta có:
V
dWc
dt
dV = −
∂
∂t V
wdV −
V
divΠdV.
Theo định lý O-G, ta có
V
divΠdV =
S
Π
−→
dS,
nên
V
dWc
dt
dV = −
∂W
∂t
−
S
Π
−→
dS, (1.40)

trong đó W = V
wdV là năng lượng của trường điện từ trong thể tích V ;
V
(dWc/dt)dV = V
jEdV là công suất trường điện từ cung cấp cho các điện
tích chuyển động trong thể tích V của trường điện từ.
Đây là dạng tích phân của định luật bảo toàn năng lượng của trường điện
từ và cũng được gọi là định lý Poynting về công-năng lượng trong trường điện
từ. Nó cho thấy rằng công được thực hiện trên các điện tích bởi lực điện từ
bằng năng lượng bị giảm của trường điện từ trừ đi năng lượng đi ra khỏi bề
mặt kín S bao bọc thể tích V của trường. Nói khác đi, năng lượng trường điện
từ biến thiên hoặc chuyển dời đi nơi khác hoặc chuyển hoá thành động năng
hay nhiệt năng.
Phương trình vi phân (1.39) được viết lại
∂w
∂t
+ divΠ +
dWc
dt
= 0 (1.41)
chính là dạng vi phân của định lý Poynting hay định luật bảo toàn năng
lượng trường điện từ.
1.6 Lực tác dụng trong điện từ trường
Cho hàm năng lượng của một hệ vật lý W phụ thuộc vào các tham số độc
lập qi. Khi các tham số thay đổi một lượng vô cùng nhỏ một cách bất kỳ:
qi → qi + δqi, thì W cũng thay đổi một lượng δW gọi là biến phân của năng
lượng. Sự biến thiên của năng lượng sinh công δA với
δW = −δA.
Dấu trừ chứng tỏ khi sinh công dương, năng lượng của hệ phải giảm đi. Nếu
hệ kín và các tham số qi là độc lập, ta có:
δW =
n
i=1
∂W
∂qi
δqi và δA =
n
i=1
Fiδqi,
trong đó, Fi là lực tổng quát. Nếu qi là các tọa độ thông thường (x, y, z) thì
Fi cũng là các lực thông thường (cơ học) tác động lên hệ (Fx, Fy, Fz). So sánh

§ 1.6. Lực tác dụng trong điện từ trường 29
hai phương trình trên, ta rút ra được:
Fi = −
∂W
∂qi
.
Đối với trường điện từ, ta có:
Fα = −
∂
∂α Vt
1
2
ED + HB dVt, α = x, y, z,
hay
F = Fxi + Fyj + Fzk = −
Vt
1
2
grad ED + HB dVt, (1.42)
ở đây F là lực trọng động trong trường điện từ, Vt là thể tích toàn bộ trường
điện từ.
Sử dụng công thức giải tích vec-tơ
grad AB = A × rotB + B × rotA + A B + B A,
cùng với các phương trình Maxwell của trường
rotE = −
∂B
∂t
rotH = j +
∂D
∂t
và lưu ý D = E, B = µH, ta rút ra được từ phương trình (1.43):
F = −
Vt
D E + B H − j × B −
∂
∂t
D × B dVt
Chiếu xuống trục α = x, y, z, ta có:
Fα = −
Vt
D Eα + B Hα − j × B
α
−
∂
∂t
D × B
α
dVt.
Lưu ý
div DEα = D (gradEα) + Eα divD = D Eα + Eα divD
div BHα = B Hα + Hα divB và divD = ρ, divB = 0.

Ta rút ra được
Fα =
Vt
ρEα + j × B
α
+
∂
∂t
D × B
α
dVt−
Vt
div DEα + BHα dVt.
Áp dụng định lý O-G cho số hạng cuối, ta có:
Fα =
Vt
ρEα + j × B
α
+
∂
∂t
D × B
α
dVt −
S
DEα + BHα
−→
dS.
Vì thể tích Vt lấy hết toàn bộ không gian có trường điện từ, nên trên bề mặt
kín S bao bọc thể tích Vt không còn có trường, nghĩa là các vec-tơ trường bằng
không, theo đó số hạng
S
DEα + BHα
−→
dS = 0,
nên
Fα =
Vt
ρEα + j × B
α
+
∂
∂t
D × B
α
dVt.
Thế α = x, y, z và lưu ý F = Fxi + Fyj + Fzk, ta thu được kết quả cuối cùng
F =
Vt
ρE + j × B dVt +
∂
∂t Vt
D × B dVt, (1.43)
hay
F = FL + Fđt, (1.44)
trong đó
FL =
Vt
ρE + j × B dVt (1.45)
đặc trưng cho tương tác giữa điện tích với trường điện từ và được gọi là lực
Lorentz. Còn
Fđt =
∂
∂t Vt
D × B dVt (1.46)
chỉ phụ thuộc vào sự biến thiên theo thời gian của các vec-tơ trường điện từ
nên được gọi là lực điện từ.

§ 1.7. Xung lượng và áp suất của trường điện từ 31
Trên đây ta khảo sát lực tác dụng lên thể tích V chứa toàn bộ trường điện
từ. Và dựa vào biểu thức của các lực (1.45), (1.46), ta có thể suy ra các vec-tơ
mật độ lực Lorentz và mật độ lực điện từ theo thứ tự là
fL = ρE + j × B (1.47)
fđt =
∂
∂t
D × B . (1.48)
Theo đó, nếu V là thể tích bất kỳ của trường thì lực tác dụng lên V của trường
điện từ cũng có dạng tương tự
F =
V
fLdV +
V
fđtdV =
V
ρE + j × B dV +
∂
∂t V
D × B dV, (1.49)
Đây là dạng tổng quát nhất của lực tác dụng lên một thể tích V bất kỳ
của trường điện từ.
1.7 Xung lượng và áp suất của trường điện từ
1.7.1 Xung lượng trường điện từ.
Theo định luật II Newton, ta có:
FL =
∂Pc
∂t
, Fđt =
∂Pđt
∂t
, (1.50)
ở đây, Pc là xung lượng cơ học toàn phần của tất cả các hạt mang điện và
Pđt là xung lượng toàn phần của trường điện từ trong thể tích V . Kết hợp với
(1.44), ta có
F =
∂
∂t
Pc + Pđt . (1.51)
Nếu hệ cô lập, nghĩa là hệ chỉ gồm có điện tích và trường điện từ tương tác
với nhau thì ngoại lực F = 0, nghĩa là
∂
∂t
Pc + Pđt = 0 hay Pc + Pđt =
−−−→
Const. (1.52)
Rõ ràng xung lượng toàn phần của hệ cô lập được bảo toàn. Đây chính là
biểu thức của định luật bảo toàn xung lượng của hệ.

So sánh (1.49) với (1.51), ta rút ra được biểu thức xung lượng của trường
điện từ
Pđt ≡
V
pđtdV =
V
D × B dV. (1.53)
Tương ứng, ta có mật độ xung lượng của trường điện từ
pđt = D × B = µ E × H =
1
v2
Π, (1.54)
trong đó, v = 1/
√
µ là vận tốc truyền tương tác điện từ trong môi trường
đang xét; Π là vec-tơ mật độ dòng năng lượng. Trong chân không, v =
1/
√
oµo = c là vận tốc ánh sáng trong chân không.
1.7.2 Mômen xung lượng của trường điện từ
Nhân hữu hướng biểu thức (1.52) với r và lấy tích phân trên toàn bộ thể tích
Vt của trường, ta có
∂
∂t Vt
r × Pc + Pđt dVt =
∂
∂t
Mc + Mđt = 0
hay
Mc + Mđt =
−−−→
Const, (1.55)
trong đó
Mc =
Vt
r × Pc dVt (1.56)
là mômen xung lượng cơ học của điện tích, và
Mđt =
Vt
r × Pđt dVt (1.57)
là mômen xung lượng điện từ.
Biểu thức (1.55) mô tả định luật bảo toàn mômen xung lượng của trường
điện từ.

§ 1.8. Thế vec-tơ và thế vô hướng của trường điện từ 33
1.7.3 Áp suất trường điện từ
Nếu trường điện từ có xung lượng thì khi truyền tới một vật nào đó, nó sẽ tác
động lên vật và gây ra một áp suất lên vật đó. Áp suất này có thể tính được
theo hệ thức:
dpđt
dt
=
d
dt
D × B = g, (1.58)
ở đây, g là áp suất trường điện từ. Nếu xung lượng trường điện từ truyền hoàn
toàn cho vật thể (hấp thụ hoàn toàn) thì phương trình (1.58) cho nghiệm
g =
pđt
0
vdpđt, (1.59)
trong đó, v là tốc độ trường điện từ. Trong chân không v = c và song song với
pđt nên ta có:
g = cpđt = c
Π
c2
=
Π
c
, hay Π = gc,
mặt khác, ta có Π = wc, w là mật độ năng lượng trường điện từ, nên
g = w =
ED + HB
2
,
nghĩa là trong chân không, giá trị của áp suất trường điện từ bằng giá trị của
mật độ năng lượng trường.
Nếu phản xạ toàn phần, xung lượng đổi dấu, trường điện từ truyền cho vật
một áp suất gấp hai lần trường hợp hấp thụ hoàn toàn. Nếu trường điện từ
phản xạ trên mặt vật thể với một góc nào đó thì ta chỉ xét thành phần pháp
tuyến của vật đó.
1.8 Thế vec-tơ và thế vô hướng của trường
điện từ
Ngoài các vec-tơ trường E, D, H, B, người ta còn dùng thế vec-tơ và thế vô
hướng để mô tả các quá trình động lực học của trường điện từ. Do đó, thay
cho hệ phương trình Maxwell là các phương trình thế tương đương. Trong mục

này, dựa vào hệ phương trình Maxwell, chúng ta định nghĩa thế vec-tơ và thế
vô hướng, nêu những tính chất của chúng và suy ra các phương trình thế tương
ứng. Việc sử dụng thế vec-tơ, thế vô hướng trong việc mô tả các tính chất động
lực học của trường điện từ trong nhiều bài toán lại tỏ ra có hiệu quả hơn so
với việc sử dụng các vec-tơ trường và hệ phương trình Maxwell. Lý do là nhờ
tính chất đa trị của chúng và việc chuyển đổi từ thế sang vec-tơ trường là việc
tính đạo hàm đơn giản theo tọa độ. Tuy nhiên, cần phải lưu ý rằng hệ vec-tơ
trường với các phương trình Maxwell và hệ các thế với các phương trình thế
là hai phương pháp mô tả trường điện từ, ta có thể dùng hệ này mà không
cần hệ kia và ngược lại.
1.8.1 Thế vec-tơ của trường điện từ
Từ phương trình Maxwell divB = 0 và hệ thức trong giải tích vec-tơ divrotA =
0, ta có thể định nghĩa thế vec-tơ A của trường điện từ là đại lượng vec-tơ
hàm theo tọa độ và thời gian thỏa mãn điều kiện
B = rotA. (1.60)
thế vec-tơ A được định nghĩa như trên không xác định đơn trị. Thực vậy, ta
dùng phép biến đổi định cỡ của thế vec-tơ
A = A + gradu, ∀u(r, t), (1.61)
thì ta có
rotA = rotA + rotgradu = rotA = B
vì theo giải tích vec-tơ
rotgradu = 0.
Vì hàm u(r, t) được chọn tuỳ ý nên ta có vô số các hàm thế vec-tơ A thoả mãn
định nghĩa (1.60) và nói chung nó là hàm theo tọa độ và thời gian.

1.8.2 Thế vô hướng của trường điện từ
Từ phương trình Maxwell rotE = −(∂B/∂t) và thay thế B = rotA, ta có:
rotE = −
∂ rotA
∂t
= −rot
∂A
∂t
,
chuyển toàn bộ sang vế trái thì thu được
rot E +
∂A
∂t
= 0.
Vì trong giải tích vec-tơ với mọi hàm ϕ theo tọa độ, luôn có rot (−gradϕ) = 0
nên ta có thể đặt
E +
∂A
∂t
= −gradϕ hay E = −gradϕ −
∂A
∂t
, (1.62)
hàm vô hướng ϕ theo định nghĩa (1.62) được gọi là thế vô hướng của trường
điện từ. Nói chung, nó là hàm theo tọa độ và thời gian. Cũng như thế vec-tơ,
thế vô hướng ϕ là đại lượng không xác định đơn giá mà nó có thể biến đổi
theo phép biến đổi định cỡ cho thế vô hướng với hàm u(r, t) đã chọn ở (1.61)
ϕ = ϕ −
∂u
∂t
. (1.63)
Thực vậy, có thể thấy
−gradϕ −
∂A
∂t
= −gradϕ + grad
∂u
∂t
−
∂A
∂t
−
∂(gradu)
∂t
−gradϕ −
∂A
∂t
= −gradϕ + grad
∂u
∂t
−
∂A
∂t
− grad
∂u
∂t
,
−gradϕ −
∂A
∂t
= −gradϕ −
∂A
∂t
= E.
Rõ ràng cặp hàm ϕ , A cũng thoả mãn định nghĩa (1.62) nên ϕ cũng được
gọi là thế vô hướng của trường điện từ.

1.8.3 Các phương trình thế của trường điện từ
Dựa vào các phương trình Maxwell còn lại chưa được sử dụng, ta có thể rút
ra các phương trình cho thế vô hướng và thế vec-tơ. Thực vậy, nhân hai vế
phương trình Maxwell rotH = j + ∂D/∂t cho µ và lưu ý B = µH, D =
E, B = rotA, ta thu được
rot(rotA) = µj + µ
∂E
∂t
,
hay
grad(divA) − 2
A = µj + µ
∂
∂t
−gradϕ −
∂A
∂t
,
chuyển vế và biến đổi, ta thu được
grad divA + µ
∂ϕ
∂t
− 2
A + µ
∂2
A
∂t2
= µj,
Do tính chất không đơn trị của A và ϕ nên ta có thể chọn điều kiện định cỡ
Lorentz
divA + µ
∂ϕ
∂t
= 0, (1.64)
ta có số hạng đầu của vế trái phương trình trên bằng không, nhân hai vế cho
−1, ta được phương trình cho thế vec-tơ A
2
A − µ
∂2
A
∂t2
= −µj. (1.65)
Tương tự, từ phương trình Maxwell còn lại divD = ρ, ta suy ra divE = ρ/ .
Thế biểu thức định nghĩa thế vô hướng (1.62) vào để thu được
div −gradϕ −
∂A
∂t
=
ρ
,
hay
− 2
ϕ −
∂
∂t
divA =
ρ
,

nhân hai vế cho −1 và theo điều kiện định cỡ Lorentz thì divA = − µ(∂ϕ/∂t),
ta thu được phương trình cho thế vô hướng của trường điện từ
2
ϕ − µ
∂2
ϕ
∂t2
= −
ρ
. (1.66)
Với điều kiện định cỡ Lorentz, việc xây dựng các phương trình thế trở nên
rất thuận lợi và hoàn toàn độc lập nhau như ta thấy ở trên. Ngoài ra, để phép
biến đổi Lorentz cũng được thoả mãn cho A và ϕ thì ta phải có
divA + µ
∂ϕ
∂t
= 0.
Thế biểu thức của A và ϕ ở (1.61) và (1.63) vào hệ thức trên và lưu ý (1.64),
ta thu được điều kiện
2
u − µ
∂2
u
∂t2
= 0. (1.67)
Hình 1.6: Thế vec-tơ và thế vô hướng trường điện từ của một hệ phân bố hữu
hạn điện tích và dòng điện trong thể tích V
Rõ ràng để thoả mãn điều kiện Lorentz, hàm u trong các phép biến đổi
định cỡ (1.61) và (1.63) không còn tuỳ ý nữa mà phải là các hàm sóng dao động
tuần hoàn theo tọa độ và thời gian, nghiệm của phương trình sóng d’Alembert
không có vế sau (1.67).
Như vậy, do cách chọn điều kiện định cỡ Lorentz, ta có phương trình thế
vec-tơ và thế vô hướng có cùng dạng toán học như nhau. Do đó, trong trường
hợp các phân bố điện tích ρ(r, t) và dòng điện j(r, t) hữu hạn trong thể tích

V , người ta đã tìm được nghiệm tổng quát cho các phương trình d’Alembert
có vế sau (1.65), (1.66) như sau:
ϕ(R, t) =
1
4π V
ρ r , t ± r
v
R − r
dV. (1.68)
A(R, t) =
µ
4π V
j r , t ± r
v
R − r
dV. (1.69)
Trong đó, R = OM là vec-tơ tọa độ của điểm quan sát M có thế vô hướng
và thế vec-tơ cần tìm so với gốc tọa độ O; r là bán kính vec-tơ có gốc ở phần
tử điện tích ρdV hoặc phần tử dòng điện jdV đến điểm quan sát M và r là
tọa độ của dV so với gốc tọa độ O.
Trong điện động lực học, người ta chỉ lấy thế vô hướng trễ và thế vec-tơ
trễ của trường điện từ tương ứng với dấu − trong biểu thức trên tử số của tỉ
số dưới dấu tích phân ở vế phải của hai nghiệm trên. Còn thế sớm ứng với dấu
(+) không sử dụng vì chưa có trong thực tế.

TÓM TẮT CHƯƠNG
• Hệ phương trình Maxwell đầy đủ trong môi trường đồng chất đẳng hướng:
divD = ρ, divB = 0, rotE = −
∂B
∂t
,
rotH = j +
∂D
∂t
, D = E, B = µH.
là các tiên đề của thuyết điện từ Maxwell cổ điển phi tương đối tính.
• Dựa vào hệ phương trình Maxwell và dạng vi phân của định luật Ohm
j = σ∗
E, định luật Joule-Lenz qJ = je, ta rút ra được phương trình mô tả
định luật bảo toàn năng lượng
divΠ +
∂w
∂t
+ jE = 0
trong đó Π = E × H và w = (ED + HB)/2 theo thứ tự là vec-tơ mật độ dòng
năng lượng (vec-tơ Poynting) và mật độ năng lượng trường điện từ.
• Dựa vào hệ phương trình Maxwell đầy đủ, ta suy ra được lực tác dụng
của trường điện từ lên một thể tích V bất kỳ trong trường
F = FL + Fđt =
V
(ρE + j × B)dV +
∂
∂t V
D × BdV
trong đó FL = V
(ρE + j × B)dV là lực Lorentz mô tả lực tương tác giữa hạt
mang điện và trường điện từ trường, Fđt = ∂ V
D × BdV /∂t mô tả lực
tương tác giữa trường với trường.
• Ta cũng suy ra được định luật bảo toàn xung lượng trong trường điện từ
Mc + Mđt =
−−−→
Const,
trong đó Mc = Vt
r × Pc dVt là mômen xung lượng cơ học của điện tích, và
Mđt = Vt
r × Pđt dVt là mômen xung lượng điện từ.
• Để giải được nghiệm xác định đơn trị của hệ phương trình Maxwell, ta
sử dụng các điều kiện biên cho các vec-tơ trường
D2n − D1n = σ; D2t =
2
1
D1t; E2t = E1t; E2n =
1
2
E1n +
σ
2
.

B2n = B1n; B2t =
µ2
µ1
B1t + µ2jS; H2t = H1t + jS; H2n =
µ1
µ2
H1n.
• Thay vì dùng các vec-tơ trường để mô tả các định luật của cơ bản của
trường điện từ bằng hệ phương trình Maxwell, ta có thể dùng công cụ thế
vec-tơ A(r, t) và thế vô hướng ϕ(r, t) và các phương trình thế để thay thế:
2
A − µ
∂2
A
∂t2
= −µj,
2
ϕ − µ
∂2
ϕ
∂t2
= −
ρ
.
Các phương trình này được thiết lập khi A(r, t) và ϕ(r, t) thỏa mãn điều kiện
định cỡ Lorentz
divA + µ
∂ϕ
∂t
= 0.
1.9 Bài tập chương 1
1.1. Cho trường sóng điện từ tự do trong môi trường đồng chất, đẳng hướng,
không có điện tích tự do và dòng điện dẫn (ρ(r, t) = 0, j(r, t) = 0), vec-tơ
cường độ điện trường và cường độ từ trường của sóng điện từ có dạng:
E(r, t) = E0 cos(ωt − kr + α); H(r, t) = H0 cos(ωt − kr + α).
(a) Tìm mối liên hệ giữa các vec-tơ không đổi E0, H0, k, tần số góc ω, các
hằng số , µ để hai vec-tơ E(r, t) và H(r, t) thỏa mãn hệ phương trình Maxwell
của trường sóng điện từ này.
(b) Tính trung bình mật độ năng lượng và vec-tơ mật độ dòng năng lượng
của trường sóng điện từ tại điểm có tọa độ r trong một chu kỳ dao động.
1.2. Cho một vec-tơ trường là hàm theo tọa độ có biểu thức
A(r) = a
r
r3
, a = const.
a) Tính divA trong hệ tọa độ cầu tâm O.
b) Tìm thông lượng của trường này đi qua mặt cầu tâm O, bán kính r.
c) Nếu áp dụng định lý O-G để tính thông lượng của A qua mặt cầu thì
kết quả có mâu thuẩn với kết quả câu b) không?

§ 1.9. Bài tập chương 1 41
1.3. Cho một ống dây hình trụ tròn rất dài có quấn n vòng dây dẫn trên một
đơn vị dài của ống. Ống có bán kính tiết diện a rất lớn so với bán kính tiết
diện của dây dẫn. Trục của ống là z Oz. Xác định điện trường cảm ứng bởi
một dòng điện biến thiên i(t) chạy trong dây dẫn của ống.
Đáp số:
E(r, t) = E(r, t)uφ = −µ0n
di(t)
dt
r
2
uφ khi r a,
E(r, t) = E(r, t)uφ = −µ0n
di(t)
dt
a2
2r
uφ khi r a.
1.4. Một vật có điện dẫn suất σ∗
và hằng số điện môi . Tại thời điểm t = 0,
mật độ điện tích khối của vật là ρ(t = 0) = ρ0.
Xác định biểu thức của ρ ở thời điểm bất kỳ t 0.
Đáp số: ρ(t) = ρ0e−σ∗
t
.
1.5. Tìm quy luật suy giảm năng lượng W(t) theo thời gian của hệ điện tích
và dòng điện. Biết rằng hệ bức xạ với công suất J = αW.
Đáp số: W(t) = W0e−αt
; W0 ≡ W(t = 0).
1.6. Tìm điều kiện biên cho các thành phần của E và H trong hệ tọa độ
Descartes khi mật độ dòng năng lượng trường điện từ đi qua mặt biên z = 0
không bị tiêu hao.
Đáp số: E1x = E2x; E1y = E2y; H1x = H2x; H1y = H2y hay E1t =
E2t; H1t = H2t.
1.7. Một tụ điện phẳng ghép nối tiếp với một nguồn điện xoay chiều có hiệu
điện thế u(t) = U0 sin ωt. Tụ điện có diện tích mỗi bản tụ là S, khoảng cách
giữa hai bản tụ d và lớp điện môi có hằng số điện môi là . Xác định dòng điện
dẫn iC(t) và dòng điện dịch id(t) trong mạch. Rút ra nhận xét gì?
Đáp số: iC(t) = id(t) = ωCU0 cos ωt; C ≡ S/d.
1.8. Cho một dòng điện không đổi I chạy qua đoạn dây dẫn hình trụ tiết diện
S, chiều dài . Chứng minh rằng thông lượng vec-tơ mật độ dòng năng lượng
đi qua bề mặt ngoài của đoạn dây đúng bằng công suất tỏa nhiệt Joule-Lenz
trong đoạn dây đó.
Hướng dẫn giải bài tập chương 1
1.1. Vận dụng các ý sau:

a) Dùng các biểu thức của E và H, ta tính được
divE = kE0 sin(ωt−kr+α), divH = kH0 sin(ωt−kr+α),
∂E
∂t
= −ωE0 sin(ωt−kr+α),
rotE = k×E0 sin(ωt−kr+α), rotH = k×H0 sin(ωt−kr+α),
∂H
∂t
= −ωH0 sin(ωt−kr+α).
Thế vào các phương trình Maxwell của trường: divE = 0, divH = 0, rotE =
−µ(∂H)/∂t, rotH = (∂E)/∂t, ta suy ra được
kE0 = 0, kH0 = 0, k × E0 = ωµH0, H0 × k = ω E0.
Hai công thức cuối cho ta
k =
ω
v
= ω
√
µ,
√
E0 =
√
µH0.
b) Ta có các trị trung bình của mật độ năng lượng và vec-tơ mật độ dòng
năng lượng trong một chu kỳ dao động T = 2π/ω:
w =
1
2T
T
0
E2
+ µH2
dt =
1
4
E2
0 + µH2
0 =
1
2
wmax,
Π =
1
T
T
0
E × Hdt =
1
2
E0 × H0 =
1
2
Πmax = wv
trong đó v = vn, v = ( µ)−1/2
, n = k/k là vec-tơ đơn vị theo phương
truyền sóng.
1.2.a) Vận dụng biểu thức của divA trong hệ tọa độ cầu (r, θ, φ) với lưu ý
A = Arur, Ar = a/r2
, ta tính được divA = 0.
b) Tính được thông lượng S
AdS = 4πa.
c) Vì A tại tâm O không xác định hữu hạn nên ta không áp dụng định lý
O-G trong toàn thể khối cầu (O, r) được mà chỉ áp dụng trong miền thể tích
V nằm giữa hai mặt cầu S(O, r) và S (O, r ) rất bé bao quanh O. A xác định
hữu hạn trong miền V nên có thể định lý O-G. Kết quả tính cho thấy
S+S
AdS =
V
divAdV = 0 =⇒
S
AdS = −
S
AdS = 4πa. (đpcm)

1.3. Giả thiết chiều dài ống dây rất lớn so với bán kính tiết diện a của ống
và dòng điện biến thiên chậm theo thời gian. Vận dụng tính chất đối xứng trụ
dài vô hạn của trường tạo bởi hệ phân bố dòng điện, xét trong hệ tọa độ trụ
(r, φ, z) lấy trục của ống dây làm trục z Oz, gốc tọa độ tại trung điểm của
trục. Vận dụng hệ phương trình Maxwell với ρ = 0, j = 0, các điều kiện biên
tại r = a cho H, E, ta có
H = H(r, t) = −ni(t)uz, khi 0 ≤ r ≤ a; H = 0khi r a,
E(r, t) = E(r, t)uφ = −µ0n
di(t)
dt
r
2
uφ khi r a,
E(r, t) = E(r, t)uφ = −µ0n
di(t)
dt
a2
2r
uφ khi r a.
1.4. Vận dụng phương trình liên tục trong trường điện từ và dạng vi phân
của định luật Ohm để giải bài toán.
1.5. Vận dụng phương trình vi phân mô tả định luật bảo toàn năng lượng
trường điện từ, trong bài toán này giả thiết cho J = S
ΠdS = αW và không
có tỏa nhiệt Joule-Lenz.
1.6. Theo giả thiết của bài toán, ta có thành phần trên trục z của vec-tơ
Poynting Πz(z = 0) biến thiên liên tục khi đi qua mặt phẳng xOy ở tọa độ
z = 0. Khai triển Πz(z = 0) theo thành phần của các vec-tơ trường E, H và
vận dụng điều kiện liên tục của thành phần tiếp tuyến của vec-tơ cường độ
điện trường, ta suy ra kết quả của bài toán.
1.7. Vận dụng các công thức tụ điện: C = S/d, dòng điện dẫn ic(t) =
dQ/dt = Cdu(t)/dt, dòng điện dịch id(t) = jdS = S (∂E/∂t) = (S/d) (∂u(t)/∂t),
ta chứng minh được iC(t) = id(t)ωCU0 cos ωt; C ≡ S/d.
1.8. Ta có thông lượng vec-tơ mật độ dòng năng lượng qua mặt trụ kín S
S
ΠdS =
V
divΠdV =
V
div(E × H)dV =
V
(HrotE − ErotH)dV.
Do rotE = 0 và rotH = j, nên
S
ΠdS = −
V
jEdV = −Q
Thông lượng vec-tơ mật độ dòng năng lượng qua mặt kín S của mặt trụ bằng
nhiệt lượng tỏa ra trong khối trụ ấy.

Chương 2
TRƯỜNG TĨNH ĐIỆN
Mở đầu
Trường tĩnh điện là trường điện từ đối với quan sát viên ở trong hệ quy chiếu
thấy toàn bộ hệ điện tích của trường đứng yên, các vec-tơ trường không biến
thiên theo thời gian. Đây là biểu hiện đơn giản nhất của trường điện từ, trong
đó điện tích đứng yên nên không có dòng điện và cũng vì vậy không có từ
trường. Trong chương này, chúng ta sẽ khảo sát các tính chất động lực học của
trường tĩnh điện, vật dẫn, điện môi trong trường và một số tính chất đặc biệt.
Điện trường của lưỡng cực điện và lưỡng cực điện trong điện trường ngoài sẽ
được quan tâm khảo sát vì tính chất quan trọng của nó khi khảo sát điện môi
và bức xạ lưỡng cực cũng như các bài toán cơ bản khác liên quan đến tương
tác nguyên tử với trường điện từ nói chung.
Mục tiêu của chương
Học xong chương này người học phải nắm được cách vận dụng tính chất trường
tĩnh điện vào hệ phương trình Maxwell, các phương trình thế và các đại lượng
động lực của trường điện từ tổng quát đã học ở chương 1 để rút ra hệ phương
trình Maxwell, phương trình thế vô hướng và các đại lượng động lực của trường
tĩnh điện. Từ đó khảo sát chi tiết các tính chất cơ bản của trường, tương tác
của trường tĩnh điện trong vật dẫn, trong điện môi và rút ra các biểu thức của
trường điện từ sau khi đạt đến trạng thái cân bằng điện mới trong chúng. Bài
toán lưỡng cực điện và tụ điện sẽ được khảo sát như là hai ví dụ cơ bản đối
với trường tĩnh điện của phân bố điện tích gián đoạn và liên tục trong chân
45

46 Chương 2. TRƯỜNG TĨNH ĐIỆN
không và cả trong điện môi, vật dẫn. Thông qua hệ thống các ví dụ và các bài
tập của chương người học cũng phải nắm được kỹ năng và phương pháp giải
các bài toán liên quan đến việc tìm điện trường, thế vô hướng, các đại lượng
động lực của trường tĩnh điện tạo bởi các phân bố điện tích trong chân không
và trong vật dẫn, điện môi. Việc vận dụng tính đối xứng của phân bố điện tích
để sử dụng các hệ quy chiếu phù hợp sẽ được quan tâm rèn luyện trong khi
giải các bài toán.
2.1 Các phương trình Maxwell của trường tĩnh
điện trong chân không
Từ tính chất của trường tĩnh điện, ta không có dòng điện j = 0, H = B = 0,
tất cả các đại lượng đặc trưng cho trường không biến thiên theo thời gian nên
đạo hàm của chúng triệt tiêu. Theo đó, từ hệ phương trình Maxwell tổng quát
cho trường điện từ
divD = ρ, (1.10) divB = 0, (1.11)
rotE = −
∂B
∂t
, (1.12) rotH = j +
∂D
∂t
. (1.19)
D = oE, (1.20) B = µoH, (1.21)
hệ phương trình Maxwell của trường tĩnh điện trong môi trường đồng chất
đẳng hướng trở thành
divD = ρ, (2.1)
rotE = 0, (2.2)
D = oE. (2.3)
Rõ ràng hệ phương trình chỉ hoàn toàn mô tả điện trường của hệ điện tích
đứng yên không biến đổi theo thời gian. Nguồn tạo ra trường là các phân bố
điện tích. Ta tiếp tục xem xét đến thế vô hướng và các phương trình thế của
trường.

§ 2.2. Thế vô hướng và các phương trình thế 47
2.2 Thế vô hướng và các phương trình thế
2.2.1 Định nghĩa điện thế và tính chất:
Trong trường tĩnh điện, ta không có thế vec-tơ A nên định nghĩa cho thế vô
hướng của trường điện từ (1.62) trở thành
E = −gradϕ. (2.4)
Phép biến đổi định cỡ (1.63) của thế vô hướng trong trường tĩnh điện có
số hạng ∂u/∂t không phụ thuộc thời gian nên trở thành
ϕ = ϕ + C, với C là hằng số bất kỳ. (2.5)
Theo đó, điện thế tại mỗi một điểm bất kỳ trong trường có thể xác định
với sai kém một hằng số cộng, nhưng hiệu điện thế giữa hai điểm bất kỳ A, B
ϕ (A) − ϕ (B) = ϕ(A) + C − (ϕ(B) + C) = ϕ(A) − ϕ(B)
lại hoàn toàn xác định đơn trị.
Đồng thời từ phương trình (2.2), ta suy ra lưu thông của vec-tơ cường độ
điện trường theo đường cong kín (C)
(C)
Ed =
S
rotE
−→
dS = 0, (2.6)
trong đó S là bề mặt bất kỳ tựa trên đường cong kín (C). Ngoài ra, vì vi phân
toàn phần của thế vô hướng trong hệ tọa độ Descartes
dϕ =
∂ϕ
∂x
dx +
∂ϕ
∂y
dy +
∂ϕ
∂z
dz = gradϕd ,
nên ta luôn có
B
A
Ed = −
B
A
gradϕd = −
B
A
dϕ = ϕ(A) − ϕ(B). (2.7)
Hai kết quả ở (2.6) và (2.7) cho thấy rằng trường tĩnh điện là một trường
thế, lưu thông của vec-tơ cường độ điện trường theo một đường cong bất kỳ
đi từ điểm A đến điểm B trong trường không phụ thuộc vào dạng đường đi
mà chỉ phụ thuộc vào hiệu điện thế giữa hai điểm đầu và cuối A, B.

2.2.2 Các phương trình thế của trường tĩnh điện:
Trong chân không, từ phương trình của thế vô hướng (1.66) trong trường điện
từ tổng quát
2
ϕ − µ o
∂2
ϕ
∂t2
= −
ρ
o
,
với trường tĩnh điện vì thế vô hướng không phụ thuộc thời gian nên số hạng
∂2
ϕ
∂t2
= 0
suy ra ta có phương trình Poisson cho thế vô hướng trong trường tĩnh điện tại
những điểm có điện tích (ρ = 0):
2
ϕ = −
ρ
o
, (2.8)
còn tại những điểm không có điện tích, ta thu được phương trình Laplace cho
thế vô hướng:
2
ϕ = 0, (2.9)
Nghiệm tổng quát là thế vô hướng tạo bởi hệ cũng có thể được suy ra từ
nghiệm thế vô hướng của trường điện từ tổng quát (1.68) với lưu ý mật độ
điện tích khối không chứa biến thời gian (t ± r/v):
ϕ(R) =
1
4π o V
ρ
r
dV.
Trong trường hợp tổng quát có cả các loại phân bố điện tích, nghiệm thế
vô hướng của trường tĩnh điện tạo bởi hệ phân bố này là
ϕ(R) =
1
4π o V
ρ
r
dV +
S
σ
r
dS +
(C)
λ
r
d +
n
i=1
qi
ri
, (2.10)
trong đó R là tọa độ của điểm quan sát so với gốc O; r và ri theo thứ tự là
khoảng cách từ các điện tích điểm ρdV, σdS, λd và của điện tích điểm qi đến
điểm quan sát. Nếu gọi r , ri là vec-tơ có gốc ở O, ngọn ở các điện tích điểm
trên thì (xem hình 2.1)
R = r + r hay r = R − r

Ví dụ 2.1: Từ biểu thức điện thế của một điện tích điểm q đặt tại gốc tọa
độ O theo vec-tơ tọa độ R, hãy suy ra biểu thức vec-tơ cường độ điện trường
tại điểm đó.
Điện thế của điện tích điểm q được viết theo công thức (2.10) chỉ có phân
bố điện tích rời rạc với một điện tích duy nhất (n = 1):
ϕ(R) =
1
4π o
q
R
theo đó, biểu thức vec-tơ cường độ điện trường của điện tích điểm q
E(R) = −gradϕ(R) = −
q
4π o
grad
1
R
=
q
4π o
R
R3
.
Ví dụ 2.2: Tính điện thế của một lưỡng cực điện
Hình 2.1 Hình 2.2
Lưỡng cực điện là một hệ điện tích trung hoà, nghĩa là, nếu hệ phân bố n
điện tích rời rạc qi thì
n
i=1
qi = 0, có mômen lưỡng cực điện p =
n
i=1
qiri, (2.11)
trong đó ri có gốc là gốc tọa độ O, ngọn là điểm đặt điện tích qi. Còn nếu
phân bố điện tích liên tục với mật độ điện tích ρ trong thể tích V thì
V
ρdV = 0, có mômen lưỡng cực điện p =
V
ρr dV. (2.12)

Ta xét trường hợp lưỡng cực điện đơn giản nhất gồm hai điện tích q+ =
q 0 và q− = −q 0 cách nhau một đoạn . Theo (2.11), mômen của lưỡng
cực điện sẽ là
p = q r+ − r− = q (2.13)
Ta tính điện thế tạo bởi lưỡng cực điện tại một điểm M theo công thức
tính (2.10) với cách chọn gốc tọa độ O ở trung điểm của đoạn nối liền hai
điện tích (xem hình 2.2).
ϕ =
q
4π o
1
r+
−
1
r−
=
q
4π o
r− − r+
r−r+
,
bằng cách nhân tử và mẫu của phân số ở vế phải của biểu thức vừa tính trên
với r− + r+, ta thu được
ϕ =
q
4π o
r2
− − r2
+
r−r+(r− + r+)
=
q
4π o
r−
2
− r+
2
r−r+(r− + r+)
.
Mặt khác
r−
2
− r+
2
= (r− + r+) (r− − r+) = (r− + r+)
Và xét trong trường hợp điểm M ở rất xa so với lưỡng cực, nghĩa là
r+ ≈ r− ≈ r và do đó r+ ≈ r− ≈ r,
thì
ϕ =
q
4π o
r
r3
=
1
4π o
pr
r3
. (2.14)
Từ đó suy ra vec-tơ cường độ điện trường
E = −gradϕ = −
1
4π o
grad
pr
r3
.
Vận dụng các công thức tính giải tích vec-tơ, dễ dàng tính được kết quả
E =
1
4π o
3(pr)r
r5
−
p
r3
. (2.15)
Kết quả (2.14) và (2.15) cho thấy rằng mặt phẳng trung trực của lưỡng cực
điện là mặt đẳng thế vì pr = 0 và do đó, vec-tơ E = −p/(4π or3
) ở trên mặt

này luôn song song và ngược chiều với p. Còn tại những điểm trên phương của
lưỡng cực điện thì E = p/(2π or3
) lại cùng phương với p.
Ví dụ 2.3: Dùng phương trình Poisson và Laplace để tính thế vô hướng,
vec-tơ cường độ điện trường ở trong và ngoài một quả cầu bán kính R, tích
điện đều với mật độ điện tích ρ là hằng số, hằng số điện môi là ở trong và
ngoài quả cầu.
Trước hết ta nhận xét: Phân bố điện tích có tính đối xứng cầu. Do đó,
E = E(r)er có hướng xuyên tâm, độ lớn E = |E| và ϕ = ϕ(r) đều chỉ phụ
thuộc vào r là khoảng cách từ tâm O của quả cầu đến điểm đang xét. Như
vậy, bài toán sẽ đơn giản khi ta chọn hệ tọa cầu để giải.
Thật vậy,
Nếu 0 ≤ r ≤ R ta có phương trình Poisson:
2
ϕi = −
ρ
,
trong hệ tọa độ cầu (r, θ, φ), vì thế vô hướng không phụ thuộc các góc θ, φ
nên phương trình trở thành
1
r2
∂
∂r
r2 ∂ϕi
∂
= −
ρ
.
Nếu r R ta có phương trình Laplace:
2
ϕo = 0,
trong hệ tọa độ cầu, phương trình trở thành
1
r2
∂
∂r
r2 ∂ϕi
∂
= 0.
Ta lần lượt giải các phương trình trên.
Phương trình Poisson cho:
d
dr
r2 dϕi
dr
= −
ρr2
.
Lấy nguyên hàm hai vế ta được:
r2 dϕi
dr
= −
ρr3
3
+ C1

hay
dϕi
dr
= −
ρr3
3
+
C1
r2
= −Ei,
tiếp tục lấy nguyên hàm hai vế, ta được:
ϕi = −
ρr2
6
+
C1
r
+ C2.
Phương trình Laplace cho:
r2 dϕo
dr
= C3,
hay
dϕo
dr
=
C3
r2
= −Eo,
lấy nguyên hàm hai vế, ta được:
ϕo = −
C3
r
+ C4.
Để xác định 4 hằng số Ci, i = 1, 2, 3, 4 trên ta áp dụng các điều kiện sau:
a) Ei và ϕi hữu hạn khi r tiến đến 0.
b) Điều kiện định cỡ cho thế ϕo = 0 khi r tiến ra vô cùng.
c) Điều kiện biên Eo − Ei = 0 hay Eo = Ei.
d) Điều kiện liên tục cho thế vô hướng tại r = R cho ta ϕo(R) = ϕi(R).
Điều kiện (a) cho ta C1 = 0 nên ϕi = −ρr2
6
+ C2 và Ei = ρr
3
.
Điều kiện (b) cho ta C4 = 0 nên ϕo = −C3
r
và −C3
r2 = Eo.
Điều kiện (c) cho ta ρr
3
= −C3
r2 . Suy ra C3 = −ρR3
3
.
Điều kiện (d) cho ta C2 = ρR2
6
.
Vậy, cuối cùng ta sẽ được kết quả cho thế ϕ và vec-tơ cường độ điện trường E
ở bên trong và ngoài quả cầu:
ϕi(r) = −
ρr2
6
+
ρR2
2
,
Ei(r) =
ρr
3
,
ϕo(r) =
ρR3
3 r
,
Eo(r) =
ρR3
r
3 r3
.

§ 2.3. Vật dẫn trong trường tĩnh điện 53
2.3 Vật dẫn trong trường tĩnh điện
Xét vật dẫn có thể tích V được bao bọc bởi bề mặt kín S, khi đã đạt đến
trạng thái cân bằng điện trong điện trường ngoài thì không có dòng điện chạy
trong vật dẫn nên j = σ∗
Ei = 0, theo đó vec-tơ cường độ điện trường trong
vật dẫn triệt tiêu Ei = 0. Đây chính là điều kiện cân bằng của vật dẫn.
Từ điều kiện cân bằng, vật dẫn đã cân bằng điện trong trường tĩnh điện
có các đặc điểm sau:
1. Từ các phương trình Maxwell:
divDi = ρi và Di = oEi = 0,
ta suy ra rằng không có mật độ điện tích khối (ρi = 0) trong thể tích V của
vật dẫn, nghĩa là nó chỉ tích điện trên bề mặt ngoài S với một lớp mỏng kích
thước nguyên tử.
Hiện tượng xuất hiện các điện tích mặt của vật dẫn sao cho vec-tơ cường
độ điện trường trong vật dẫn triệt tiêu khi đặt nó trong trường tĩnh điện được
gọi là hiện tượng hưởng ứng điện.
2. Vì Ei = −gradϕi = 0 nên ϕi(r) = const : điện thế tại mọi điểm bên
trong và trên bề mặt vật dẫn là không đổi, hay vật dẫn cân bằng điện là một
vật đẳng thế. Kết quả này không thay đổi đối với vật dẫn rỗng, do đó, người
ta dùng vật dẫn rỗng để làm màn chắn tĩnh điện trong các thí nghiệm về tĩnh
điện không cho điện trường ngoài ảnh hưởng đến các kết quả thí nghiệm.
3. Gọi σ là mật độ điện tích trên bề mặt vật dẫn, xét hai điểm gần nhau
ở trong và ngoài, ngay sát bề mặt vật dẫn. Gọi Eit, Ein theo thứ tự là thành
phần tiếp tuyến và thành phần pháp tuyến của vec-tơ cường độ điện trường Ei
tại điểm bên trong còn Et, En theo thứ tự là thành phần tiếp tuyến và thành
phần pháp tuyến của vec-tơ cường độ điện trường E tại điểm bên ngoài và sát
bề mặt vật dẫn. Ta có điều kiện biên
oEn − oEin = σ,
Et = Eit.
Vì
Ei = Eit + Ein = 0 ⇒ Eit = Ein = 0 =⇒ Et = 0,

nên vec-tơ cường độ điện trường tại một điểm sát và ở ngoài bề mặt vật dẫn
không có thành phần tiếp tuyến
E =
σ
o
n, (2.16)
trong đó n là vec-tơ đơn vị theo phương pháp tuyến của bề mặt vật dẫn tại
điểm quan sát, vec-tơ này luôn hướng từ trong ra ngoài mặt kín S, nghĩa là
vec-tơ cường độ điện trường tại một điểm ngoài và sát bề mặt vật dẫn thì luôn
có phương thẳng góc với bề mặt vật dẫn. Nếu σ 0 thì vec-tơ cường độ điện
trường hướng từ mặt vật dẫn ra ngoài, còn nếu σ 0 thì nó lại hướng từ ngoài
vào trong.
2.4 Điện dung của vật dẫn cô lập. Hệ số điện
dung và hệ số cảm ứng của hệ vật dẫn
2.4.1 Điện dung của vật dẫn cô lập
Xét vật dẫn cô lập có thể tích V được bao bọc bởi mặt kín S với phân bố điện
tích mặt σ và điện thế ϕ ở trong chân không. Ta có
σ = oEn = − o
∂ϕ
∂n
,
điện tích của vật dẫn
q =
S
σdS = − o
S
∂ϕ
∂n
dS, (2.17)
Phương trình cho thế vô hướng ϕ tạo bởi vật dẫn tích điện
2
ϕ = 0.
Điện thế bên trong và trên bề mặt vật dẫn
ϕi = ϕ(S) = V = const. và ở vô cùng ϕ(∞) = 0.
Gọi ϕ1 là một hàm không thứ nguyên thoả mãn điều kiện:
ϕ1(S) = 1,
ϕ1(∞) = 0, 2
ϕ1 = 0,

§ 2.4. Điện dung của vật dẫn cô lập. Hệ số điện dung và hệ số cảm ứng của hệ
vật dẫn 55
thì ta có thể viết
ϕ = ϕ1V.
Theo đó, (2.17) có thể được viết lại
q = − o
S
∂ϕ1
∂n
dS V = CV,
với
C ≡ − o
S
∂ϕ1
∂n
dS : điện dung của vật dẫn cô lập. (2.18)
Điện dung có đơn vị là farad, ký hiệu là F, giá trị điện dung phụ thuộc hình
dạng, kích thước và tính chất điện của môi trường quanh vật dẫn. Trong thực
tế, người ta không tính trực tiếp điện dung của vật dẫn cô lập theo công thức
(2.18) mà theo công thức thực nghiệm
C =
q
V
. (2.19)
Ví dụ 2.4: Tính điện dung của một quả cầu dẫn điện tâm O, bán kính R
đặt trong chân không.
Điện thế trên bề mặt S của quả cầu tích điện q có mật độ điện tích mặt σ
V =
1
4π o S
σ
R
dS =
1
4π oR S
σdS =
q
4π oR
,
do đó điện dung của quả cầu dẫn điện này được tính theo công thức (2.19)
C =
q
V
= 4π R(F).
Rõ ràng điện dung C quả cầu tỷ lệ thuận với bán kính R, bán kính quả cầu
càng lớn thì khả năng tích điện của nó càng cao.
2.4.2 Điện dung của hệ hai vật dẫn
Xét hai vật dẫn tích điện bất kỳ có các mặt kín S1 và S2 với mật độ điện mặt
theo thứ tự là σ1 và σ2 đặt trong chân không. Gọi ϕ là điện thế của hệ hai vật
dẫn tích điện trên với giả thiết
ϕ(S1) = V1 ϕ(S2) = V2
ϕ(∞) = 0.

Điện thế của hệ thoả mãn phương trình Laplace ở ngoài hai vật dẫn
2
ϕ = 0,
Do đó, ta có thể chọn hai hàm không thứ nguyên ϕ1, ϕ2 thoả mãn điều kiện
ϕ1(S1) = ϕ2(S2) = 1,
ϕ1(S2) = ϕ2(S1) = ϕ1(∞) = ϕ2(∞) = 0,
2
ϕ1 = 2
ϕ2 = 0 ở ngoài vật dẫn,
sao cho:
ϕ = ϕ1V1 + ϕ2V2.
Theo đó, điện tích của mỗi vật dẫn là
q1 = − o
S1
∂ϕ
∂n1
dS1 = − o
S1
∂ϕ1
∂n1
dS1 V1 + − o
S1
∂ϕ2
∂n1
dS1 V2,
q2 = − o
S2
∂ϕ
∂n2
dS2 = − o
S2
∂ϕ1
∂n2
dS2 V1 + − o
S2
∂ϕ2
∂n2
dS2 V2.
Nếu đặt
C11 ≡ − o
S1
∂ϕ1
∂n1
dS1; C12 ≡ − o
S1
∂ϕ2
∂n1
dS1, (2.20)
C21 ≡ − o
S2
∂ϕ1
∂n2
dS2; C22 ≡ − o
S2
∂ϕ2
∂n2
dS2, (2.21)
thì ta có
q1=C11V1 + C12V2,
q2=C21V1 + C22V2.
(2.22)
Các hệ số C11, C22 theo thứ tự là hệ số điện dung của vật dẫn 1 và 2; C12, C21
là hệ số cảm ứng của các vật dẫn 1 và 2. Chúng phụ thuộc vào vị trí tương
đối, hình dạng, kích thước của các vật dẫn. Đơn vị của chúng cũng là farad
(F).
Ta tìm quan hệ giữa C12 và C21. Áp dụng định lý Green cho hai hàm u = ϕ1
và v = ϕ2 và lấy tích phân trên toàn thể tích V ngoài hai vật dẫn
V
ϕ1
2
ϕ2 − ϕ2
2
ϕ1 dV =
S
ϕ1
∂ϕ2
∂n
− ϕ2
∂ϕ1
∂n
dS,

§ 2.4. Điện dung của vật dẫn cô lập. Hệ số điện dung và hệ số cảm ứng của hệ
vật dẫn 57
trong đó S = S∞ + S1 + S2. Vì 2
ϕ1 = 2
ϕ2 = 0 và ϕ1(∞) = ϕ2(∞) =
0; ϕ1(S2) = ϕ2(S1) = 0 và ϕ1(S1) = ϕ2(S2) = 1, nên phương trình trên
trở thành
S1
∂ϕ2
∂n1
dS1 =
S2
∂ϕ1
∂n2
dS2 ⇒ C12 = C21. (2.23)
Ta xét dấu hệ số điện dung và hệ số cảm ứng.
Theo các điều kiện ϕ1(S1) = ϕ2(S2) = 1 và ϕ1(S2) = ϕ1(∞) = 0 nên ϕ1
giảm theo chiều dương của n1, tăng hoặc bằng 0 theo chiều dương của n2. Do
đó,
∂ϕ1
∂n1
0,
∂ϕ1
∂n2
≥ 0,
suy ra
C11 = − o
S1
∂ϕ1
∂n1
dS1 0 C21 = − o
S2
∂ϕ1
∂n2
dS2 0.
Tương tự cho ϕ2, ta có C22 0 và C12 0.
Trường hợp tụ điện, ta có q1 = −q2. Do đó
C11V1 + C12V2 = −C21V1 − C22V2,
hay
(C11 + C21) V1 + (C12 + C22) V2 = 0,
Đẳng thức nghiệm đúng với mọi V1 và V2 nên
C11 = −C21
C22 = −C12
⇒ C11 = C22 = −C21 = −C12 = C : điện dung tụ điện.
Theo đó, (2.21) trở thành
q1 = −q2 = q = C (V1 − V2) . (2.24)
Ví dụ 2.5: Tính điện dung của một tụ điện phẳng tiết diện S, khoảng cách d
giữa hai bản tụ có điện môi với hằng số điện môi .
Giả thiết tụ điện được tích điện đến điện tích q. Gọi C là điện dung của
tụ điện phẳng, ta có hiệu điện thế giữa hai bản tụ
U = ϕ+ − ϕ− = Ed =
σ
d =
qd
S
,

suy ra điện dung của tụ điện phẳng theo công thức
C =
q
U
=
S
d
.
2.4.3 Hệ n vật dẫn
Trường hợp hệ n vật dẫn tích điện có điện tích qi và điện thế tương ứng Vi,
với i = 1, 2, ..., n, tương tự, ta có điện tích thứ i
qi =
n
k=1
CikVk, k = 1, 2, ..., n,
hay





q1
q2
...
qn





=





C11 C12 ... C1n
C21 C22 ... C2n
... ... ... ...
Cn1 Cn2 ... Cnn










V1
V2
...
Vn





⇐⇒ [q] = [C][V ] , (2.25)
trong đó, [C] = (Cij) : ma trận điện dung đối xứng qua đường chéo (Cij = Cji).
2.5 Điện môi trong trường tĩnh điện
Trong tiết này chúng ta sẽ khảo sát điện thế của trường tĩnh điện trong vật
dẫn đặt trong điện trường ngoài tạo bởi phân bố điện tích tự do trong chân
không. Dưới tác dụng của trường ngoài, các phân tử trong điện môi ban đầu
ở trạng thái trung hòa điện sẽ bị phân cực và tạo thành các mômen lưỡng cực
điện phân tử. Các mômen lưỡng cực phân tử này vừa chịu tác động của dao
động nhiệt hỗn loạn vừa chịu tác dụng của điện trường ngoài có hướng xác
định làm cho chúng có khuynh hướng dao động quanh phương của điện trường
ngoài với góc lệch trung bình α. Theo đó hiện tượng phân cực điện môi xuất
hiện khi đặt nó trong điện trường ngoài. Hệ quả của hiện tượng phân cực điện
môi là sự xuất hiện của các điện tích liên kết khối ρ và điện tích liên kết mặt
σ trong thể tích V và trên bề mặt S của điện môi. Do đó, nếu xét trong môi
trường chân không thì khi có điện môi, mật độ điện tích khối là tổng hợp của

§ 2.5. Điện môi trong trường tĩnh điện 59
hai phân bố: mật độ điện tích khối của các điện tích tự do ρt và mật độ điện
tích liên kết ρ ; còn mật độ điện tích mặt là tổng hợp của mật độ điện tích mặt
các điện tích tự do σt và mật độ điện tích mặt các điện tích liên kết σ . Tuy
nhiên, nếu xét trong môi trường điện môi có hằng số điện môi thì các điện
tích liên kết không còn được tính đến trong biểu thức của điện thế và vec-tơ
cường độ điện trường vì chúng đã được tính đến trong rồi.
2.5.1 Sự phân cực của các điện môi.
Vectơ phân cực là mômen lưỡng cực của một đơn vị thể tích bao quanh điểm
quan sát:
P = lim
∆V →0
∆p
∆V
≡
dp
dV
, (2.26)
hay
dp = PdV.
Thông thường, khi các vec-tơ cường độ điện trường E tổng hợp trong điện môi
không lớn thì
P = α oE, (2.27)
trong đó α là hệ số không có thứ nguyên được gọi là độ cảm điện môi, trong
điện môi rắn và lỏng thông thường thì α cỡ vài đơn vị; trong các chất sắt điện
α cỡ vài ngàn đơn vị.
2.5.2 Thế vô hướng của điện trường trong điện môi.
Khi đặt điện môi trong trường tĩnh điện thì điện môi sẽ bị phân cực với vec-tơ
phân cực P, do đó, điện trường ở mỗi một điểm trong điện môi là tổng của
hai điện trường:
- Điện trường ngoài có điện thế ϕt do các điện tích tự do gây ra trong chân
không.
- Điện trường có điện thế ϕf do sự phân cực điện môi khi ở trong điện
trường ngoài gây ra.
ϕ = ϕt + ϕf , với ϕt =
1
4π o V
ρdV
r
+
S
σdS
r
. (2.28)

Còn ϕf được tính như sau: Theo (2.14), điện thế tạo bởi mômen lưỡng cực
điện nguyên tố dp = PdV là
dϕf =
1
4π o
P r
r3
dV,
do đó, điện thế của toàn hệ
ϕf =
1
4π o V
Pr
r3
dV..3 (2.29)
Hình 2.3:
Lưu ý rằng tích phân lấy theo các nguyên tố thể tích dV . Theo hình vẽ
(2.3), nếu chọn gốc tọa độ O thì r = R − r và tích phân trên tính theo r . Ta
có
r
1
r
=
∂
∂r
1
r
=
∂r
∂r
∂
∂r
1
r
= (−1) −
r
r3
=
r
r3
.
Như vậy,
Pr
r3
= P r
1
r
= r
P
r
−
1
r
r P,
và (2.26) trở thành
ϕf =
1
4π o V
− P
r
dV +
1
4π o V
P
r
dV.
Giả thiết S là mặt phân cách, ở đó có sự biến thiên không liên tục từ (1) sang
(2) (xem hình 2.3), ta có:
V
P
r
dV =
S
P
r
−→
dS +
S”
P
r
−→
dS”,

§ 2.5. Điện môi trong trường tĩnh điện 61
S
P
r
−→
dS =
S1
P1
r
−→
dS1 +
S2
P2
r
−→
dS2 −→
S → S
S
P1n − P2n
r
dS,
còn
S”
P
r
−→
dS” = 0
vì S” bao trùm toàn thể không gian có trường. Do đó
ϕf =
1
4π o V
− P
r
dV +
1
4π o S
P1n − P2n
r
dS. (2.30)
So sánh với biểu thức của ϕt trong (2.27), ta có thể đặt
ρ = − P : Mật độ điện tích liên kết khối, (2.31)
σ = − (P2n − P1n) : Mật độ điện tích liên kết mặt. (2.32)
Rõ ràng sự xuất hiện ρ và σ là do sự sắp xếp không đều của mômen lưỡng
cực điện trong điện môi theo không gian và do sự tồn tại các bề mặt phân
cách hai điện môi khác nhau.
Ta dùng khái niệm điện tích liên kết để xét quan hệ giữa độ cảm điện môi
và hệ số điện môi.
Trong chân không, ta có phương trình Maxwell
oE = ρ.
Trong điện môi, ta sẽ xem môi trường là chân không nếu viết phương trình
Maxwell dưới dạng
oE = ρ + ρ = ρ − P, (2.33)
trong đó, E là vec-tơ cường độ điện trường tổng hợp. Còn nếu xem môi trường
có hệ số điện môi là thì (2.32) tương đương với phương trình
E = ρ. ≤≤ (2.34)
Từ (2.32), ta suy ra
oE + P = ρ ⇒ oE + α oE = ρ ⇒ (1 + α) oE = ρ.

So sánh với (2.33), ta được
= (1 + α) o, do đó hệ số điện môi tương đối r =
o
= 1 + α. (2.35)
Trong thực tế, o ⇒ α 0. Vectơ P luôn cùng chiều với E.
Ví dụ 2.6: Tính mật độ điện tích liên kết và điện trường của một quả cầu
điện môi phân cực đều.
Hình 2.4:
Hình 2.4 mô tả quả cầu bán kính a được phân cực theo phương trục z. Vì
vậy khi r a, vec-tơ phân cực P(r) là P0k trong đó P0 = const. Do đó mật
độ điện tích khối liên kết ρ = −divP = 0. Mật độ điện tích mặt trên mặt cầu
(r = a) là σ (θ) = rP = P0 cos θ.
Hình vẽ mô tả sự phân cực tạo nên phân bố điện tích mặt liên kết như
thế nào trong ví dụ này. Ứng với 0 ≤ r ≤ π/2 mật độ điện tích mặt liên kết
dương vì tại những vị trí này có các đầu dương của các lưỡng cực điện; còn
với π/2 r ≤ π mật độ điện tích mặt liên kết âm vì tại những vị trí này có
các đuôi âm của các lưỡng cực điện.
Chúng ta có thể thiết lập thế vô hướng phân cực cho quả cầu phân cực
bằng cách tính điện thế của mặt cầu tích điện với mật độ điện tích mặt
σb(θ) = P0 cos θ. Thế vô hướng bên trong là ϕi(r, θ) = C1r cos θ, thế vô hướng
bên ngoài là ϕo(r, θ) = C2r−2
cos θ, C1 và C2 là các hằng số. Các thế này thỏa
mãn phương trình Laplace tương ứng theo thứ tự với r a và r a. Các hằng
số C1 và C2 được xác định từ các điều kiện biên tại r = a. Điều kiện biên đầu

§ 2.6. Năng lượng của trường tĩnh điện 63
tiên là thế vô hướng phải liên tục tại mặt cầu (r = a):
ϕi(a, θ) = ϕo(a, θ) ⇐⇒ C1a cos θ = C2a−2
cos θ =⇒ C2 = C1a3
.
Điều kiện biên thứ hai cho thành phần pháp tuyến của vec-tơ cảm ứng điện
D: Don − Din = σb(θ) = P0 cos θ cho ta
0∂ϕo(a, θ)/∂r − 0∂ϕi(a, θ)/∂r = σb(θ),
kết quả tính cho ta
C1 =
P0
3 0
, C2 =
P0a3
3 0
.
Do đó thế vô hướng phân cực tạo bởi quả cầu là
ϕi(r, θ) =
P0r
3 0
cos θ khi r ≤ a,
ϕo(r, θ) =
P0a3
3 0r2
cos θ khi r ≥ a.
Vec-tơ cường độ điện trường E = −gradϕ. Bên trong quả cầu Ei(r, θ) =
−P0k/(3 0) là điện trường đều theo hướng ngược với k. Bên ngoài quả cầu là
điện trường của một lưỡng cực điện. thế vô hướng lưỡng cực điện là p cos θ/(4π 0r2
),
nên so sánh với kết quả tính ϕo(r, θ) ta biết được mômen lưỡng cực điện của
quả cầu là
p = 4π 0
P0a3
3 0
k =
4
3
πa3
P.
Kết quả này cho ta ý nghĩa: mômen lưỡng cực điện của quả cầu điện môi bị
phân cực đều bằng vec-tơ phân cực P nhân với thể tích quả cầu.
2.6 Năng lượng của trường tĩnh điện
2.6.1 Mật độ năng lượng của trường tĩnh điện:
Trong chương 1, ta đã biết mật độ năng lượng của trường điện từ tổng quát
có dạng
w =
1
2
ED + HB .

Do không có từ trường nên mật độ năng lượng của trường tĩnh điện viết dưới
dạng các vec-tơ trường có dạng
w =
1
2
ED. (2.36)
Nên năng lượng của trường tĩnh điện trong thể tích V bao trùm toàn bộ trường
tĩnh điện
W =
V
1
2
EDdV. (2.37)
Bây giờ, ta chứng minh rằng năng lượng của trường tĩnh điện chính là năng
lượng tương tác giữa các điện tích trong trường. Thực vậy, từ biểu thức định
nghĩa về thế vô hướng của trường tĩnh điện E = − ϕ và D = ρ, ta biến đổi
ED = (− ϕ)D = − ϕD + ϕ D = − ϕD + ρϕ,
theo đó
W = −
1
2 V
ϕD dV +
1
2 V
ρϕdV
vận dụng định lý O-G và điều kiện biên cho thành phần pháp tuyến của vec-tơ
cảm ứng điện D tại bề mặt S có tích điện mặt với mật độ điện tích mặt σ, ta
tính số hạng
−
1
2 V
ϕD dV =
S +S
ϕD
−→
dS =
S
ϕD
−→
dS +
S
ϕ(D1n − D2n)dS,
trong đó, S là mặt kín bao quanh mặt S có chứa điện tích mặt và S là mặt
kín bao bọc toàn bộ thể tích V của toàn bộ trường, do đó trên S vec-tơ trường
D = 0 làm cho số hạng đầu tiên của vế phải biểu thức trên triệt tiêu.
Theo điều kiện biên (1.28), D2n − D1n = σ nên
−
1
2 V
ϕD dV =
1
2 S
ϕσdS,
2.6.2 Năng lượng của trường tĩnh điện tạo bởi hệ phân
bố liên tục:
Ta thu được biểu thức của năng lượng dưới dạng thế vô hướng
W =
1
2 V
ρϕdV +
1
2 S
ϕσdS. (2.38)

§ 2.6. Năng lượng của trường tĩnh điện 65
Biểu thức (2.37) cho thấy rằng năng lượng toàn bộ trường tĩnh điện bằng
năng lượng tương tác giữa các điện tích của trường. Tuy nhiên, biểu thức này
không thể hiện đầy đủ ý nghĩa vật lý của năng lượng trường, nó dễ làm cho
người ta hiểu nhầm rằng ở đâu có điện tích thì nơi đó mới có năng lượng. Thực
tế chứng minh rằng, chỉ cần ở đâu có vec-tơ trường (E = 0) thì ở đó có năng
lượng trường tĩnh điện với mật độ năng lượng w = (ED)/2.
2.6.3 Phân bố điện tích điểm:
Trong trường hợp tổng quát có đầy đủ các phân bố rời rạc với n điện
tích điểm qi, i = 1, 2, ..., n và các phân bố điện tích liên tục khối, mặt, đường
thì biểu thức năng lượng của trường tĩnh điện được viết
W =
1
2 V
ρϕdV +
1
2 S
ϕσdS +
1
2 C
ϕλdl +
1
2
n
i=1
ϕiqi. (2.39)
2.6.4 Hệ vật dẫn tích điện:
Trường hợp hệ n vật dẫn tích điện, ta lưu ý các vật dẫn là các vật đẳng
thế, nghĩa là ϕi(Si) = const., i = 1, 2, ..., n và có thể xem hệ các vật dẫn như
là hệ các phân bố điện tích mặt Si với mật độ điện tích mặt σi nên năng lượng
trường tĩnh điện của hệ vật dẫn tích điện sẽ là
W =
1
2
n
i=1 Si
ϕi(Si)σidSi =
1
2
n
i=1
ϕi(Si)
Si
σidSi.
Gọi qi = Si
σidSi là điện tích trên toàn bề mặt vật dẫn thứ i, ta có năng lượng
của hệ vật dẫn
W =
1
2
n
i=1
qiϕi (2.40)
Nếu hệ vật dẫn là tụ điện thì
W =
1
2
(q+ϕ+ + q−ϕ−) =
q
2
(ϕ+ − ϕ−) =
q
2
U,
với U = ϕ+ − ϕ− là hiệu điện thế giữa hai bản tụ. Vận dụng công thức
q = CU của tụ điện, trong đó C là điện dung của tụ điện, ta thu được biểu

thức năng lượng của tụ điện
W =
1
2
CU2
=
1
2
q2
C
. (2.41)
2.6.5 Năng lượng hệ điện tích đặt trong tĩnh điện trường:
Xét một hệ điện tích không biến dạng và trường của hệ gây ra rất nhỏ
so với trường ngoài. Năng lượng của hệ điện tích này trong điện trường ngoài
chính là thế năng của chúng trong trường này, do đó biểu thức năng lượng
của chúng không có thừa số 1/2 vì trong biểu thức điện thế của trường ngoài
không có sự tham gia của chúng. Vậy năng lượng của hệ điện tích đặt trong
điện trường ngoài
W = U =
n
i=1
qiϕi +
V
ρϕdV +
S
ρϕdS (2.42)
Trường hợp lưỡng cực điện:
U = q{ϕ(r + l) − ϕ(r)} (2.43)
vì |l| |r| nên ta có thể khai triển (2.42) theo công thức khai triển Taylor:
ϕ(r + l) = ϕ(r) +
∞
n=1
(l )n
n!
ϕ (2.44)
nếu ta chỉ lấy đến số hạng gần đúng bậc nhất thì:
ϕ(r + l) = ϕ(r) + (l )ϕ (2.45)
suy ra:
U = q{ϕ(r + l) − ϕ(r)} = q(l )ϕ = (p )ϕ = p( ϕ) = p(−E) (2.46)
U = −pE (2.47)
vì E = − ϕ: cường độ điện trường ngoài tại nơi có p.
Ví dụ 2.7: Tính năng lượng điện trường của một quả cầu bán kính R, tích
điện đều theo thể tích V . Hằng số điện môi trong quả cầu là , của môi trường
xung quanh là o, điện tích của toàn quả cầu là q.

§ 2.7. Lực tác dụng trong tĩnh điện trường 67
Gọi ρ = q/(4πR3
/3)(C/m3
) là mật độ điện tích khối của quả cầu, năng
lượng của nó là năng lượng tĩnh điện W:
W =
V
1
2
EDdV
Với dV = 4πr2
dr.
Vì E chỉ phụ thuộc theo vec-tơ bán kính r và hằng số điện môi bên trong quả
cầu và bên ngoài khác nhau nên:
W =
R
0
1
2
E2
i dV +
∞
R
1
2
oE2
o dV
Theo kết quả của bài trên:
Ei =
ρr
3
,
Eo =
ρR3
3 or2
,
thế vào biểu thức của W
W =
R
0
2
9
πρ2
r4
dr +
∞
R
2
9
πρ2
R6
0
r−2
dr
W =
2
9
πρ2
R5
5
+
2
9
πρ2
R5
0
(J)
Ta tính ra được năng lượng của trường tĩnh điện tạo bởi quả cầu tích điện là:
W =
2πρ2
R5
9
1
5
+
1
0
=
q2
8πR
1
5
+
1
0
(J).
2.7 Lực tác dụng trong tĩnh điện trường
Trong chương 1, theo (1.57) và (1.58), lực tác dụng trong trường điện
từ:
F = FL + Fđt =
V
(ρE + [j × B])dV +
d
dt V
D × BdV (2.48)
Trong tĩnh điện trường, B = 0, j = 0 nên:
F = FL = ρEdV (2.49)

Trong trường hợp phân bố mặt:
F =
S
σEdS (2.50)
Còn phân bố rời rạc của hệ điện tích điểm:
F =
V
ρEdV =
V
(
i
qiδ(r − ri))EdV =
i V
qδ(r − ri)EdV
F =
i
qiEi (2.51)
Trường hợp lưỡng cực điện:
F = q{E(r + l)} = q(l )E = (ql )E
F = (p )E (2.52)
Theo công thức này nếu E = const. thì F = 0 và khi E càng không đều thì F
càng lớn.
Tuy nhiên ngay cả trong trường hợp trường đều F = 0 nhưng momen lực
tác dụng lên lưỡng cực điện vẫn khác 0. Điều này được thể hiện qua biểu thức:
N = [l × F] = [l × qE] = [p × E] (2.53)
Momen lực N bắt lưỡng cực phải quay sao cho chiều của p trùng với E thì thế
năng của lưỡng cực là cực tiểu: lưỡng cực ở trạng thái bền nhất trong trường
tĩnh điện.
TÓM TẮT CHƯƠNG 2
• Trường tĩnh điện là trường điện từ đối với quan sát viên trong hệ quy
chiếu thấy toàn bộ các điện tích đứng yên. Do đó không có dòng điện trong
trường (j = 0) và tất cả các đại lượng của trường đều không phụ thuộc thời
gian
∂
∂t
E, D, ρ, σ, W, ϕ, F, ... = 0.

§ 2.7. Lực tác dụng trong tĩnh điện trường 69
Hệ quả là trường chỉ biểu hiện dưới dạng điện trường tĩnh, không có từ trường.
Hệ phương trình Maxwell của trường có dạng
divD = ρ, rotE = 0, D = E.
• Trường tĩnh điện là trường thế (rotE = 0), biểu thức định nghĩa điện
thế, phép biến đổi định cỡ
E = −gradϕ(r); ϕ = ϕ + Const,
và phương trình thế tại những điểm có mật độ điện tích khối là phương trình
Poisson
2
ϕ = −
ρ
,
phương trình thế tại những điểm không có mật độ điện tích khối là phương
trình Laplace
2
ϕ = 0.
• Mật độ năng lượng, vec-tơ Poynting và năng lượng của trường tĩnh điện
trong thể tích V
w =
1
2
(ED); P i = 0; W =
V
EDdV.
• Lực của trường tĩnh điện tác dụng lên thể tích V của trường là lực
Coulomb
F =
V
ρdV
• Vật dẫn đặt trong trường tĩnh điện nhanh chóng đạt đến trạng thái cân
bằng điện, ta có hiện tượng điện hưởng. Lúc này điện trường bên trong vật
dẫn triệt tiêu (Ei = 0), bên trong vật dẫn không có phân bố điện tích khối
(ρ = 0), điện tích chỉ phân bố trên bề mặt vật dẫn, toàn bộ điện trường là
khối đẳng thế và bằng điện thế trên bề mặt vật dẫn. Điện trường tại điểm bên
ngoài và sát mặt đẳng thế thẳng góc với bề mặt vật dẫn tại điểm đó.
• Điện môi đặt trong trường tĩnh điện cho ta hiện tượng phân cực điện
môi. Điện trường bên trong điện môi là tổng hợp của hai trường: điện trường
ngoài E0, ϕt tạo bởi các điện tích tự do và điện trường phụ E , ϕf tạo bởi các
điện tích liên kết xuất hiện khi điện môi bị phân cực
E = E0 + E ; ϕ = ϕt + ϕf ; ρ = −divP; σ = −(P2n − P1n).

2.1. Cho một phân bố điện tích gồm 6 điện tích điểm giống nhau q nằm trên
6 đỉnh của một lục giác đều tâm O trong mặt phẳng xOy sao cho trục Ox đi
qua một đỉnh và do đó trục Oy là đường trung trực của một cạnh lục giác.
Khoảng cách từ tâm O đến các đỉnh là a.Tính thế vô hướng ϕ và vec-tơ cường
độ điện trường tại một điểm bất kỳ có tọa độ R trong mặt phẳng xOy.
Đáp số:
(a) ϕ(R) =
q
4π o
6
n=1
1
(x − a cos nπ/3)2 + (y − a sin nπ/3)2
;
(b) E(R) =
q
4π o
6
n=1
(x − a cos nπ/3)ex + (y − a sin nπ/3)ey
[(x − a cos nπ/3)2 + (y − a sin nπ/3)2]3/2
.
2.2 Thế của trường tĩnh điện trong chân không là:
ϕ(r) =
−ax
0
(x 0)
ax
0
(x 0)
Xác định sự phân bố điện tích tạo ra trường.
Đáp số: ρ(r) = 0; σ = 2a trên mặt phẳng x = 0.
2.3. Xác định sự phân bố điện tích tạo ra thế Yukawa trong chân không:
ϕ(r) = q
e−r/a
0r
.
Đáp số:
ρ(r) = − 0
2
ϕ = −
0
r2
d
dr
r2 dϕ
dr
= −
qe−r/s
a2r
.
2.4. Dùng các phương trình Poisson, Laplace để tính điện thế và vec-tơ cường
độ điện trường ở trong và ngoài một phân bố khối cầu bán kính R với mật độ
điện tích ρ(r) = ρor/R trong chân không.
Đáp số:
ϕi(r) = −
αr3
12 0
+
αR3
3 0
; Ei(r) =
αr2
4 0
er,

ϕ0(r) =
αR4
4 0
1
r
; E0(r) =
αR4
4 0
r
r3
.
2.5. Dùng các phương trình Poisson, Laplace để tính điện thế và vec-tơ cường
độ điện trường ở trong và ngoài một phân bố trụ dài vô tận, bán kính tiết
diện R, có mật độ điện tích khối ρ = const. trong chân không. Biết điện thế
tại trục triệt tiêu.
Đáp số:
a) ϕi(r) = −
ρr2
4 o
; ϕo(r) =
ρR2
2 o
ln
R
r
−
ρR2
2 o
;
b) Ei(r) =
ρr
2 o
; Eo(r) =
ρR2
r
2 or2
.
Hình 2.5:
2.6. Cho một phân bố mặt phẳng rộng vô hạn với mật độ điện tích mặt
σ = Const. 0. Biết môi trường là chân không. Giải các phương trình Poisson-
Laplace để tìm biểu thức của thế vô hướng ϕ và vec-tơ cường độ điện trường
E tại một điểm bất kỳ M trên trục z Oz thẳng góc với mặt phẳng phân bố
tại gốc O (xem hình 2.5). Biết điện thế triệt tiêu tại mọi điểm trên mặt phẳng
z = 0.
Đáp số:
a) ϕ(z) =
− σz
2 o
(z 0)
σz
2 o
(z 0);
b) E(z) =
σ
2 o
ez (z 0)
− σ
2 o
ez (z 0).

2.7. Giải các phương trình Poisson, Laplace để xác định điện thế và vec-tơ
cường độ điện trường tại điểm bất kỳ M của một phân bố mặt cầu tâm O,
bán kính R đặt trong chân không. Cho biết mật độ điện tích mặt của phân bố
σ = const. 0. Biết điện thế ở vô cùng triệt tiêu.
Đáp số:
ϕi(r) =
σR
o
=
Q
4π oR
,
Ei(r) = 0,
ϕo(r) =
σR2
o
1
r
=
Q
4π o
1
r
,
Eo(r) =
σR2
o
r
r3
=
Q
4π o
r
r3
.
trong đó, Q = 4πR2
σ là điện tích của quả cầu.
2.8. Cho dây thẳng dài 2 tích điện đều với mật độ điện tích λ(C/m). Dây
nằm trên trục z Oz với trung điểm của nó nằm tại gốc tọa độ O. Tính biểu
thức thế vô hướng và vec-tơ cường độ điện trường tạo bởi dây tại một điểm
M(x, y) bất kỳ nằm trong mặt phẳng trung trực của dây (mặt phẳng xOy).
Có nhận xét gì khi → ∞?
Đáp số:
ϕ(r) =
λ
4π 0
ln
+
√
r2 + 2
− +
√
r2 + 2
, r = x2 + y2,
E(r) = −
∂ϕ
∂r
r
r
=
λ
2π 0r
√
r2 + 2
.
2.9. Tính thế vô hướng và vec-tơ cường độ điện trường tại một điểm M bất kỳ
trên trục đối xứng z Oz tạo bởi một phân bố điện tích đều với mật độ điện tích
mặt σ(C/m2
) = const có dạng đĩa tròn tâm O, bán kính a. Biết môi trường
là chân không. Có nhận xét gì khi a → ∞?
Đáp số:
V (0, 0, z) =
σ
2 0
√
a2 + z2 − |z| ; E(0, 0, z) = −k
σk
2 0
1 −
z
√
a2 + z2
.

2.10. Thế năng của hai điện tích điểm q1 và q2 cách nhau một khoảng r12 trong
chân không là U12 = q1q2/(4π 0r12). Thế năng này có mối liên hệ thế nào với
năng lượng tĩnh điện trường toàn phần tạo bởi hai điện tích điểm này?
Đáp số: Dùng biểu thức năng lượng tĩnh điện trường toàn phần V 0E2
dV ,
E = E1 + E2 để so sánh. Trong đó E1, E2 theo thứ tự là vec-tơ cường độ điện
trường tạo bởi q1 và q2 tại một điểm bất kỳ có tọa độ R.
2.11. Tính năng lượng tĩnh điện trường trên một đơn vị dài tạo bởi hai mặt
trụ đồng trục dài vô hạn, bán kính tiết diện a, b (b a), mặt trụ trong và
ngoài theo thứ tự tích điện đều với mật độ điện tích mặt σa = λ/(2πa) 0 và
σb = −λ/(2πb) 0.
Đáp số:
2.12. Cho hai bản kim loại phẳng song song được bố trí như hình 2.6a môi
trường là chân không. Giả thiết ban đầu hai bản kim loại hoàn toàn cô lập và
được tích điện với điện tích toàn phần Q trên vật dẫn 1, Q trên vật dẫn 2. (a)
Hỏi các điện tích Q1u, Q1 , Q2u, Q2 được phân bố như thế nào trên bốn mặt của
hai vật dẫn? Tính biểu thức của vec-tơ cường độ điện trường trong mỗi miền
của hệ. (b) Nếu ban đầu hai bản kim loại được nối với hai cực của một nguồn
điện không đổi, thế vô hướng một bản là ϕ(S1) = V1 = 0, ϕ(S2) = V2 = V0,
thì phân bố điện tích trên các bề mặt sẽ như thế nào?
Đáp số:
(a) Q1 = Q2u = (Q + Q )/2; Q1u = −Q2 = (Q − Q )/2;
(b) Q = −Q =⇒ Q1 = Q2u = 0; Q1u = −Q2 = Q = −Q
Hình 2.6:

2.13. Phương pháp ảnh điện: Cho một vật dẫn phẳng rộng vô hạn và một
điện tích điểm q nằm mặt phẳng dẫn một đoạn zo (Hình 2.6b). Tìm biểu thức
điện thế và điện trường tại một điểm bất kỳ tạo nên bởi hệ.
Đáp số: Hệ có hiện điện hưởng toàn phần, mặt đẳng thế tại bề mặt vật
dẫn và các đường sức đến mặt vật dẫn đều trực giao với nó. Do đó toàn bộ vật
dẫn tương đương với một điện tích điểm −q đặt tại (0, 0, −z0) đối xứng với q
qua mặt vật dẫn. Toàn bộ điện trường ở một nửa không gian z 0 giống hệ
điện trường của một lưỡng cực điện có momen lưỡng cực điện p = q2z0k, nửa
không gian còn lại không có điện trường nên, khi z 0
V (x, y, z) =
q
4π 0
1
x2 + y2 + (z − z0)2
−
1
x2 + y2 + (z + z0)2
,
E(x, y, z) =
q
4π 0
xi + yj + (z − z0)k
(x2 + y2 + (z − z0)2)3/2
−
xi + yj + (z + z0)k
(x2 + y2 + (z + z0)2)3/2
.
Khi z ≤ 0 thì V (x, y, z) và E(x, y, z) đều triệt tiêu.
2.14. Một lưỡng cực điện p = p0j đặt tại điểm có tọa độ (0, 0, z0) song song
với mặt phẳng dẫn điện z = 0 nối đất rộng vô hạn. Tính vec-tơ cường độ điện
trường tại điểm trên trục z với z z0.
Đáp số: Dùng phương pháp ảnh điện, ta thu được
E(0, 0, z) = Ey(z)j =
p0j
4π 0
−
1
(z − z0)3
+
1
(z + z0)3
→ −
3p0z0j
2π 0z4
khi z z0.

Chương 3
TRƯỜNG ĐIỆN TỪ DỪNG
Mở đầu:
Trường điện từ dừng là trường điện từ đối với quan sát viên trong hệ quy chiếu
thấy điện tích và dòng điện không biến thiên theo thời gian. Dòng điện xuất
hiện chỉ tạo ra từ trường, do tính chất không đổi của dòng điện, từ trường
được tạo ra cũng không biến thiên theo thời gian. Điện trường và từ trường
độc lập nhau, vẫn chưa có mối liên hệ chặt chẽ. Do đó ta có thể tách ra từng
trường để khảo sát. Điện trường trong điện môi hoàn toàn tương tự trường
tĩnh điện nên không xét nữa, điện trường dừng trong vật dẫn cho ta lý thuyết
mạch điện của các dòng điện không đổi, và từ trường dừng của các dòng điện
không đổi sẽ được khảo sát chi tiết.
Mục tiêu học tập của chương:
Sau khi học xong chương này, người học sẽ phải nắm được về cơ bản lý thuyết
mạch điện của các dòng điện không đổi, vận dụng được định luật Ohm tổng
quát, định luật Joule-Lenz để giải các bài toán mạch điện không phân nhánh.
Vận dụng được hai định luật Kirchoff để giải các bài toán mạch điện có phân
nhánh. Nắm được nguyên tắc cơ bản của nguồn điện không đổi. Sang phần
từ trường dừng, sau khi học xong học viên phải nắm được các công thức tính
vec-tơ cảm ứng từ trường, các phương pháp giải để tìm vec-tơ trường của một
số phân bố dòng điện điển hình, tính được lực tác dụng của từ trường lên dòng
điện và năng lượng của hệ dòng điện dừng. Nắm được hiện tượng từ hóa và
tính chất của các loại từ môi.
75

76 Chương 3. TRƯỜNG ĐIỆN TỪ DỪNG
3.1 Hệ phương trình Maxwell trong trường
điện từ dừng
Trường điện từ dừng thoả mãn các điều kiện sau:
a. Các đại lượng điện từ không biến đổi theo thời gian: ∂
∂t
(E, D, B, H, j) =
0.
b. Có các dòng điện dừng: j = 0.
Từ các điều kiện này ta có hệ các phương trình của trường điện từ dừng:
divD = ρ, (3.1) divB = 0, (3.2)
rotE = 0, (3.3) rotH = j, (3.4)
D = E, (3.5) B = µH, (3.6)
j = σ∗
E, (3.7) qJ = jE. (3.8)
Ở đây phương trình (3.4) và ∂j/∂t = 0 cho thấy sự xuất hiện dòng điện
tích chuyển động đã phát sinh ra từ trường xoáy. Và các phương trình (3.1),
(3.2), (3.3) chứng tỏ rằng trong điện môi không có dòng điện (j = 0), nên
trường điện vẫn là trường tĩnh điện. Chỉ có trong vật dẫn j = σ∗
E = 0 và hệ
dòng điện trong vật dẫn tạo ra chung quanh nó một từ trường không đổi. Do
đó trong chương này ta chỉ khảo sát trường điện dừng trong môi trường vật
dẫn thoả mãn hệ phương trình:
divD = ρ, (3.1) rotE = 0, (3.3)
D = E, (3.5) j = σ∗
E, (3.7)
Và từ trường dừng tạo bởi dòng điện không đổi tồn tại xung quanh dòng điện:
divB = 0, (3.2) rotH = j, (3.4) B = µH (3.6).

§ 3.2. Thế điện động ngoại lai - Các định luật cơ bản của dòng điện không đổi77
3.2 Thế điện động ngoại lai - Các định luật cơ
bản của dòng điện không đổi
3.2.1 Nguồn điện một chiều
Vì ∂ρ/∂t = 0 nên phương trình liên tục trong điện từ trường:
divj +
∂
∂t
= 0 trở thành divj = 0, (3.9)
ngoài ra trong vật dẫn
j = σ∗
E (3.10)
nhưng theo phương trình Maxwell 1:
div( E) = ρ hay divE =
ρ
. (3.11)
Hai phương trình (3.9) và (3.10) chứng tỏ rằng j và E có đường sức liên
tục và khép kín trong vật dẫn. Điều này mâu thuẫn với (3.11) vì theo đó E có
đường sức liên tục và kết thúc hoặc xuất phát ở những nơi có điện tích. Như
vậy hoặc ρ = 0: không đúng trong thực tế mạch điện có nguồn điện không
đổi luôn có điện tích âm và dương ở hai điện cực (-) và (+) của nguồn điện
không đổi. Chỉ còn lại điều kiện có thể thỏa mãn là phương trình (3.10) phải
mở rộng ra bằng cách chấp nhận ngoài trường tĩnh điện còn có một trường lạ
khác không có nguồn gốc tĩnh điện. Ta gọi vec-tơ cường độ trường lực lạ là
E0. Do đó ta viết lại định luật Ohm dưới dạng suy rộng:
j = σ∗
(E + E0). (3.12)
Theo đó thì mặc dù divE = 0 nhưng vẫn có:
divj = σ∗
(E + E0) = 0, (3.13)
vì σ∗
= 0 nên suy ra:
divE = −divE0. (3.14)
Ta định nghĩa mật độ điện tích lạ:
ρ0 = − divE0 (3.15)

thì:
divE0 = −
ρ0
. (3.16)
Hình 3.1:
Trong mạch điện kín trường lực lạ chỉ xuất hiện ở bên trong nguồn điện
một chiều. Gọi V là thể tích của nguồn điện một chiều được giới hạn bởi bề
mặt kín S. Ta có điện tích lạ toàn phần trong thể tích V:
q0 =
V
ρ0dV = −
V
divE0dV = −
S
E0dS = 0 (3.17)
vì trường lực lạ chỉ ở trong nguồn nên trên bề mặt giới hạn E0 = 0, do đó
q0 = 0, điện tích lạ toàn phần trong thể tích V của nguồn điện luôn bằng
không.
* Trường hợp E0 = const ⇒ ρ0 = − divE0 = 0: không có phân bố điện
tích khối. Nếu nguồn có dạng hình trụ với E0 song song với trục hình trụ thì
tất cả điện tích lạ tập trung ở hai đáy hình trụ với mật độ điện tích mặt lạ σ0.
Xét một mặt đáy bất kỳ trong hai mặt đáy. Vectơ pháp tuyến luôn hướng
từ trong ra ngoài. Chọn mặt Gauss là mặt trụ S’ bé có mặt bên Sb và hai đáy
S1, S2 nằm hai bên mặt S . Áp dụng định lý O.G:
S
divE0dV = −
ρ0
V = −
q0
S
divE0dV =
Sb
E0dSb +
S1+ S2
E0dS = E0n2 S − E0n1 S = −
q0
,
vì E0n2 = 0 và q0/ S = σ0 nên:
E0n1 = E0 =
σ0
. (3.18)

Từ (3.24) ta thấy rằng:
+ Ở mặt đáy của nguồn có điện tích lạ σ0 0 thì E0 0, nghĩa là E0
ngược chiều với pháp tuyến n hướng từ trong ra ngoài.
+ Ở mặt đáy có σ0 0 thì E0 0: E0 cùng chiều n (hình vẽ 3.2).
Hình 3.2:
Rõ ràng E0 ngược chiều tĩnh điện trường tạo bởi điện tích ở hai cực nguồn.
Khi chưa nối với mạch ngoài: E0 = −E khi nguồn cân bằng điện. Trong trường
hợp này lưu thông của E0 = −E theo một đường dòng đi cực âm đến cực dương
bên trong nguồn điện sẽ cho ta E0 = ϕ+ − ϕ− = U: suất điện động của nguồn
điện bằng hiệu điện thế giữa cực dương và cực âm của nguồn điện. Khi nối
với mạch ngoài, điện tích dịch chuyển từ cực (+) sang cực (-) ở mạch ngoài
làm giảm độ lớn của vec-tơ cường độ điện trường E trong nguồn, điện trường
này là điện trường tổng hợp trong nguồn E + E0 khác không và cùng phương
chiều với E0 (vì E0 E). Điện trường này làm cho điện tích dương từ cực (-)
tiếp tục chuyển sang cực (+) bên trong nguồn để bù vào các điện tích đã mất.
Hay nói khác đi, điện tích (+) đến cực (-) từ mạch ngoài lại được đưa về cực
(+) trở lại nhờ trường lực lạ. Do đó khi đạt đến trạng thái cân bằng động, ta
có dòng điện một chiều không đổi chạy trong mạch điện kín.
Vì j liên tục và có đường sức khép kín nên chiều của đường sức của j đi
từ cực (+) sang cực (-) ở mạch ngoài và từ (-) sang (+) ở trong nguồn.
Vec-tơ cường độ điện trường E của trường tĩnh điện bị gián đoạn ở các
điện cực của nguồn là nơi có các điện tích mặt. Đường sức của E có chiều
trùng với j = σ∗
E bên ngoài nguồn điện và ngược chiều với j = σ∗
(E + E0)
bên trong nguồn. Còn E0 chỉ tồn tại bên trong nguồn và cùng phương chiều
với j (hình vẽ 3.2).

3.2.2 Các định luật cơ bản của dòng điện không đổi:
a) Định luật Ohm tổng quát. Thế điện động lạ
Từ (3.12):
j = σ∗
(E + E0),
xét mạch điện kín có đoạn mạch điện AB không phân nhánh chứa nguồn điện
như hình 3.3, ta tính lưu thông:
B
A
j
σ∗
dl =
B
A
(E + E0)dl, (3.19)
B
A
Edl = −
B
A
dϕ = ϕ(A) − ϕ(B) : hiệu điện thế của điện trường (3.20)
B
A
E0dl = E0 (3.21)
là sức điện động của nguồn điện trên toàn bộ mạch AB, E0 0 nếu chiều lấy
tích phân trùng với chiều dòng điện j đi từ cực (-) sang cực (+) bên trong
nguồn, trường hợp này nguồn điện được gọi là máy phát điện; còn trường hợp
chiều lấy tích phân đi từ cực (+) sang cực (-) bên trong nguồn điện thì E0 0:
nguồn điện được gọi là máy thu điện.
Hình 3.3:
Cuối cùng
B
A
jdl
σ∗
=
B
A
jdl
σ∗
=
B
A
jSρ∗ dl
S
=
B
A
IdR = RABI

trong đó:
S là tiết diện của dây dẫn,
ρ∗
= 1
σ∗ : điện trở suất dây dẫn (Ω · m),
I = jS : cường độ dòng điện không đổi trong mạch,
dR = ρ∗ dl
S
: điện trở của đoạn mạch vi cấp.
Suy ra
IRAB = ϕ(A) − ϕ(B) + E0, (3.22)
đây là định luật Ohm tổng quát trong trường hợp mạch điện không phân
nhánh.
Nếu mạch kín không phân nhánh: A ≡ B ⇒ ϕ(A) − ϕ(B) = 0 thì
IRAB = E0. (3.23)
Hình 3.4:
b) Định luật Kirchoff I:
Xét một nút của mạch điện (hình 3.4), từ divj = 0 suy ra:
divjdV =
S
jdS = 0. (3.24)
Trong trường hợp có n dòng điện chạy qua mặt kín S
Ta biến đổi:
S
jdS =
n
i=1 Si
jidSi =
n
i=1
Ii.
Theo (3.24) ta suy ra
n
i=1
Ii = 0. (3.25)

Theo quy ước jidSi 0 khi j hướng từ trong ra ngoài và jidSi 0 khi j
hướng từ ngoài vào trong, do đó dòng chảy vào nút có giá trị âm và chảy ra
khỏi nút mang giá trị dương. Vì thế, định luật Kirchoff I được phát biểu: Ở
một nút gồm nhiều nhánh của mạng điện, tổng đại số các dòng điện tại nút
đó bằng 0.
Tuy nhiên về nguồn gốc thì định luật này là hệ quả của định luật bảo toàn
điện tích (phương trình liên tục) divj + ∂ρ/∂t = 0.
c) Định luật Kirchoff II:
Điện trường dừng là trường thế :
rotE = 0
nên:
C
Edl = 0. (3.26)
Hình 3.5:
Chọn đường cong kín là một mắt mạng gồm n đoạn mạch i (i = 1,2...,n)
(hình 3.5)
(C)
Ed =
n
i=1 i
Ed i =
n
i=1
c
đ
dϕi =
n
i=1
(ϕđ − ϕc)i, (3.27)
rõ ràng ở đây i
Ed i = (ϕđ − ϕc)i có giá trị âm hay dương theo thứ tự khi
E ( và do đó Ii) ngược chiều hay cùng chiều lấy tích phân d i kết hợp (3.26)

và (3.27), ta có:
n
i=1
(ϕđ − ϕc)i = 0. (3.28)
Vì trên mỗi đoạn mạch không phân nhánh ta có thể áp dụng định luật
Ohm tổng quát, nên (3.28) có thể viết:
n
i=1
[(IR)i − E0i] = 0 (3.29)
hay
n
i=1
(IR)i =
n
i=1
E0i. (3.30)
Đây là định luật Kirchoff II, nó được phát biểu như sau:
Trong một mạch điện kín bất kỳ tổng các tích số IR trên tất cả các đoạn
mạch bằng tổng đại số các thế điện động lạ trên mạch kín đó.
Định luật Joule- Lenz:
Ta xét một thể tích bất kỳ V chứa các dòng dừng kín (không có dòng
chảy ra, vào thể tích V).
Công suất tỏa nhiệt Joule - Lenz trong thể tích V là PJ = V
qdV =
V
j(E + E0)dV trong trường điện dừng.:
PJ =
V
jEdV +
V
jE0dV. (3.31)
Với tích phân thứ nhất:
V
jEdV = j(− ϕ) = −
V
(jϕ)dV +
V
ϕ
=0
divj dV =
S
jϕdS,
vì mặt S không có dòng jn nên :
jϕdS = jnϕdS = 0.
Do đó:
V
jEdV = 0,

nên:
PJ =
V
jE0dV. (3.32)
Như vậy nhiệt lượng Joule - Lenz toả ra trong thể tích vật dẫn tiêu hao
năng lượng của trường lạ và không tiêu thụ năng lượng của tĩnh điện trường
hoặc từ trường dừng. Vì vậy nên trong quá trình toả nhiệt từ trường tạo bởi
dòng dừng không thay đổi.
3.3 Thế vô hướng và thế vec-tơ của trường
điện từ dừng
3.3.1 Thế vô hướng:
Từ rotE = 0 ⇒ E ≡ −gradϕ: Trường thế có các tính chất hoàn toàn giống
như tĩnh điện trường.
3.3.2 Thế vec-tơ:
Trong từ trường dừng, ta luôn có phương trình Maxwell:
divB = 0
mà theo giải tích vec-tơ ta luôn có ∀A, div(rotA) = 0. Do đó ta có thể đặt :
B = rotA. (3.33)
Như vậy ta đã định nghĩa hàm A xác định như trên là hàm thế vec-tơ của từ
trường dừng.
Bây giờ ta xét hàm A = A + gradf(r), ∀f(r) thì
rotA = rotA + rotgradf = rotA = B, (3.34)
vì rotgradf = 0 theo giải tích vec-tơ. Rõ ràng thế vec-tơ là hàm không xác
định đơn trị, nó có thể có giá trị sai kém một gradf(r), ∀f(r).
Điều này không có gì trở ngại vì A chỉ là đại lượng trung gian. Trong thực
tế người ta chỉ xác định B chứ không xác định A. Tuy nhiên lợi dụng tính

§ 3.4. Từ trường dừng trong môi trường đồng nhất 85
không xác định của A, người ta đưa vào điều kiện phụ gọi là điều kiện định
cỡ (hay chuẩn hoá)
divA = 0. (3.35)
Từ phương trình rotH = j hay rotB = µj
Ta có
rotB = rot(rotA) = (
0
divA) − 2
A = µj
Suy ra
2
A = −µj (3.36)
gọi là phương trình Poisson cho thế vec-tơ A ở những điểm có dòng j.
Còn ở những nơi không có dòng điện (j = 0) ta có phương trình Laplace:
2
A = 0. (3.37)
Từ điều kiện định cỡ divA = 0, tương tự divB = 0, ta có điều kiện biên:
A2n − A1n = 0
(rotA)2n − (rotA)1n = 0
1
µ2
[rotA]2t −
1
µ1
[rotA]1t = js. (3.38)
3.4 Từ trường dừng trong môi trường đồng
nhất
3.4.1 Từ trường của các dòng điện không đổi:
Trong môi trường đồng nhất phương trình của thế vec-tơ A có dạng:
2
A = −µj (3.39)
có thể tách ra làm ba phương trình:
2
Ax = −µjx ; 2
Ay = −µjy ; 2
Az = −µjz (3.40)

Các phương trình này có dạng hoàn toàn giống như phương trình thế vô hướng
của trường tĩnh điện:
2
ϕ = −
ρ
.
Do đó, giải nghiệm của (3.40) có dạng của thế vô hướng ϕ, gộp cả ba nghiệm
này, ta có nghiệm của phương trình (3.39)
A =
µ
4π V
jdV
r
+
µ
4π S
idS
r
, (3.41)
A =
µ
4π V
jdV
|R − r |
+
µ
4π S
idS
|R − r |
. (3.42)
Biết được A, ta tính B = rotA
B = rotA = rot
µ
4π V
jdV
r
=
µ
4π
rot
V
jdV
r
, (3.43)
rot lấy theo R, còn V
()dV lấy theo r nên hoàn toàn độc lập. Do đó ta lấy
phép nào trước cũng được, nghĩa là ta có thể viết:
B =
µ
4π V
rot
j
r
dV =
µ
4π V
rotj
r
− j ×
1
r
dV. (3.44)
Hình 3.6:
Sự biến thiên của j không phụ thuộc vào phép lấy R, do đó
rotj = 0,

§ 3.4. Từ trường dừng trong môi trường đồng nhất 87
còn
R
1
r
= r
1
r
= −
r
r3
,
vì r = R − r , biểu thức trên trở thành:
B =
µ
4π V
j × r
r3
dV
và H =
1
4π V
j × r
r3
dV. (3.45)
Trong trường hợp dòng điện dây, jdV = jSdl = Idl,
B =
µI
4π L
dl × r
r3
và H =
I
4π L
dl × r
r3
. (3.46)
3.4.2 Từ trường dòng nguyên tố
Ta gọi dòng nguyên tố (khác với nguyên tố dòng) là những dòng điện
khép kín chảy trong một miền có kích thước rất nhỏ so với khoảng cách từ
dòng đến điểm quan sát (hình 3.7).
Theo định nghĩa này, hệ thức (3.42) trở thành:
A =
µI
4π L
dl
|R − r |
=
µI
4π L
dr
|R − r |
. (3.47)
Lấy gốc toạ độ O ở trong vùng chứa dòng điện nguyên tố, ta có r R,
có thể khai triển gần đúng ở dấu tích phân theo phép tính gần đúng:
1
|R − r |
=
1
R
1
|R
R
− r
R
|
=
1
R
(1 − 2
Rr
R2
+
r 2
R2
)−1/2
≈
1
R
+
Rr
R3
. (3.48)
Vậy:
A =
µ
4πR V
jdV +
µ
4πR3
V
j(Rr )dV. (3.49)
Mặt khác, V
jdV = I L
dl = 0, còn j(Rr ), ta sử dụng công thức:
R × (r × j) = r (Rj) − j(Rr )

Hình 3.7:
nên
j(Rr ) = r (Rj) − R × (r × j).
Hay
j(Rr ) =
1
2
r (Rj) − R × (r × j) +
1
2
j(Rr )
=
1
2
(r × j) × R +
1
2
j(Rr ) + r (Rj) .
Vậy
A =
µ
8πR3
V
(r × j) × RdV +
µ
8πR3
V
j(Rr ) + r (Rj) dV.
Xét K = V
j(Rr ) + r (Rj) dV, ∀a = const..
Ta có:
aK =
V
(aj)(Rr ) + (ar )(Rj) dV,
(aj)(Rr ) + (ar )(Rj) = j (ar )(Rr ) = j(ar )(Rr ) − (ar )(Rr )divj.
Vì divj = 0 nên:
aK =
V
j(ar )(Rr ) dV =
S
j(ar )(Rr )dS.
Tích phân trên bằng 0 vì không có dòng chảy j đi xuyên qua S, và vì a là
vec-tơ hằng bất kỳ nên aK = 0 ⇒ K = 0.
Vậy
A =
µ
8πR3
V
(r × j) × RdV =
µI
8πR3
L
(r × dr ) × R

§ 3.5. Vật dẫn trong từ trường dừng. Hiệu ứng Hall 89
A =
µI
8πR3
L
r × dr × R.
Gọi vec-tơ
m =
I
2 L
r × dr = IS
là momen từ của dòng nguyên tố.
Ta có
A =
µ
4π
m × R
R3
, (3.50)
B = rotA =
µ
4π
3(mR)R
R5
−
m
R3
. (3.51)
3.5 Vật dẫn trong từ trường dừng. Hiệu ứng
Hall
Nếu vật dẫn có dòng điện chảy qua không ở trong từ trường ngoài thì mối liên
hệ giữa mật độ dòng điện và cường độ điện trường được cho bởi hệ thức:
jα
= σ∗αβ
Eβ. (3.52)
Nhân hai vế với Eα, ta được:
Q = jα
Eα = σ∗αβ
EβEα α, β = 1, 2, 3.
Từ đó suy ra
σ∗αβ
=
∂2
Q
∂Eβ∂Eα
(3.53)
rõ ràng đối xứng theo α, β. Nhưng khi đặt vật dẫn vào từ trường ngoài, σ∗αβ
không còn đối xứng nữa. Tương tự với tenxơ điện trở suất được định nghĩa:
Eβ = ρβαjα
, (3.54)
ρβα là tenxơ nghịch đảo của tenxơ σ∗αβ
, nó cũng không đối xứng khi có từ
trường ngoài.
Do tính không đối xứng của ρβα, ta có thể viết:
ρβα = aβα + bβα (3.55)

trong đó aβα là hàm phân bố đối xứng của ρβα,
aβα =
1
2
(ρβα + ραβ). (3.56)
Còn
bβα =
1
2
(ρβα − ραβ) : thành phần phản xứng của ρβα. (3.57)
Tenxơ aβα nói chung có 6 thành phần độc lập, nhưng nếu chọn hệ toạ độ thích
hợp thì nó chỉ còn 3 thành phần trên đường chéo. Đối với vật đẳng hướng:
aβα = δβαa (3.58)
trong đó δβα là tenxơ Kronecker. Theo đó (3.54) có thể viết dưới dạng sau:
Eβ = aβαjα
+ bβαjα
= ajβ + bβαjα
. (3.59)
Tenxơ phản đối xứng bβα phụ thuộc vào từ trường ngoài. Nó có 3 thành phần
độc lập là:
bx = b23 = −b32
by = b31 = −b13
bz = b12 = −b23, (3.60)
các thành phần khác bằng không. Ba thành phần đó hợp thành vec-tơ b và
(3.59) có thể viết lại dưới dạng vec-tơ:
E = aj + j × b. (3.61)
Vectơ b phụ thuộc vào từ trường ngoài H. Nếu từ trường ngoài yếu và vật dẫn
đẳng hướng, ta có mối liên hệ tuyến tính:
b = −RH, (3.62)
R là đại lượng gọi là hằng số Hall chỉ phụ thuộc vào bản chất vật dẫn mà
không phụ thuộc vào từ trường ngoài. Khi đó:
E = aj + R H × j . (3.63)

§ 3.6. Từ môi trong từ trường dừng 91
Rõ ràng khi H = 0 thì
E = aj = ρj
và số hạng mới:
R H × j = E − aj
chỉ xuất hiện khi có H = 0. Nó vuông góc với H và j. Sự xuất hiện điện trường
mới này gọi là hiệu ứng Hall.
3.6 Từ môi trong từ trường dừng
3.6.1 Sự từ hoá các từ môi
Khi đặt từ môi vào trong từ trường dừng, trong từ môi xuất hiện các momen
từ. Ta nói rằng từ môi đã bị từ hoá. Mức độ từ hoá tại mỗi điểm của từ môi
được đo bằng vec-tơ từ hoá J là momen từ của một đơn vị thể tích bao quanh
điểm ta xét:
J = lim m
V
= dm
dV
.
V →0
(3.64)
Như vậy momen từ của một phần tử thể tích dV là:
m = JdV. (3.65)
Momen từ của từ môi gây ra một từ trường phụ bổ sung vào từ trường ngoài.
Thực nghiệm cho thấy rằng từ trường phụ này có thể cùng hoặc ngược chiều
với từ trường ngoài.
Từ môi có từ trường phụ cùng chiều với từ trường ngoài gọi là chất thuận
từ.
Từ môi có từ trường phụ ngược chiều với từ trường ngoài gọi là chất nghịch
từ.
Còn một loại từ môi có từ trường phụ rất lớn so với từ trường ngoài và có
thể không mất đi khi từ trường ngoài triệt tiêu. Đó là chất sắt từ.
Khi từ trường ngoài không quá mạnh, sự liên hệ giữa vec-tơ từ hoá và
cường độ từ trường H là tuyến tính:
J = βH, (3.66)

β : độ cảm ứng từ của từ môi, nó có thể âm hoặc dương và là đại lượng không
có thứ nguyên.
3.6.2 Thế vec-tơ của từ trường khi có từ môi
Khi ta đặt một từ môi vào trong từ trường, tại mỗi điểm của từ môi từ trường
tổng hợp là tổng của hai trường:
a) Từ trường ngoài do hệ dòng điện gây ra.
b) Từ trường phụ do sự từ hoá của từ môi gây ra.
Do đó thế vec-tơ tại mỗi điểm trong từ môi bằng:
A = Ad + At
với
Ad =
µ0
4π
jdV
r
+
µ0
4π
idS
r
là thế vec-tơ do dòng điện dẫn gây ra đã biết trước.
Ta phải tìm biểu thức của At là thế vec-tơ do sự từ hoá từ môi của từ
trường dẫn gây ra.
Ứng với mỗi momen từ nguyên tố dm = JdV , theo (3.50) ta có thế vec-tơ
tương ứng:
dAt =
µ0
4π
dm × r
r3
=
µ0
4π
J × r
r3
dV (3.67)
và do đó:
At =
V
dAt =
µ0
4π V
J × r
r3
dV (3.68)
Ở đây V
lấy theo thể tích từ môi. Áp dụng công thức giải tích vec-tơ:
rot
J
r
=
1
r
rotJ +
1
r
× J =
1
r
rotJ −
J × r
r3
,
ta được:
At =
µ0
4π V
rotJ
r
dV −
µ0
4π V
rot
J
r
dV. (3.69)

§ 3.6. Từ môi trong từ trường dừng 93
Áp dụng công thức (17) ở phần giải tích vec-tơ, ta có:
V
rot
J
r
dV = −
S
J × dS
r
.
Lý luận hoàn toàn tương tự như ở phần điện môi trong tĩnh điện trường, ta
thu được:
V
rot
J
r
dV =
n × (J2 − J1)
r
dS.
trong đó J2, J1 là các vec-tơ từ hoá tại mặt gián đoạn S và biểu thức của thế
vec-tơ:
At =
µ0
4π V
rotJ
r
dV +
µ0
4π V
n × (J2 − J1)
r
dS. (3.70)
Gọi j = rotJ là vec-tơ mật độ dòng liên kết,
i = n × (J2 − J1) là vec-tơ mật độ dòng mặt liên kết. Ta có thể viết:
At =
µ0
4π V
j
r
dV +
µ0
4π
i
r
dS (3.71)
và
A = Ad + At =
µ0
4π V
j + j
r
dV +
µ0
4π S
i + i
r
dS. (3.72)
Trong thuyết electron, các dòng điện liên kết được coi như là giá trị trung bình
của các dòng electron dưới tác dụng của từ trường ngoài và do đó từ trường
phụ xuất hiện trong từ môi là do momen từ của các electron này gây ra.
3.6.3 Mối liên hệ giữa độ cảm ứng từ môi và độ từ thẩm:
Trong chân không: rotB = µ0j.
Trong từ môi: rotB = µ0(j + j ) = µ0(j + rotJ) cho ta
rot
B
µ0
− J = j,
đồng thời
rotH = j

cho ta thu được
H =
B
µ0
− J hay B = µ0(H + J). (3.73)
Kết hợp với J = βH, ta có: B = µ0(1 + β)H = µH. Suy ra
µ = µ0(1 + β). (3.74)
Đối với chất thuận từ β 0 và có giá trị từ vài đơn vị đến vài trăm đơn vị,
chất nghịch từ có −1 ≤ β 0, chất nghịch từ lý tưởng có β = −1, còn chất
sắt từ có giá trị β từ năm trăm đến vài chục ngàn đơn vị.
3.7 Năng lượng từ trường dừng
Trong trường hợp điện từ dừng, trường điện dừng trong điện môi vẫn là trường
thế, kết quả tính năng lượng hoàn toàn giống như tĩnh điện trường. Do đó ở
đây ta chỉ xét năng lượng của từ trường dừng. Mật độ năng lượng từ trường
dừng:
w =
1
2
HB,
vec-tơ mật độ dòng năng lượng Poynting tại một điểm bên trong dòng điện
j = E/ρ∗
Π = E × H = ρ∗
j × H.
Bên ngoài dòng điện, j = 0 nên Π = 0.
Năng lượng từ trường trong thể tích V
W =
V
wdV =
1
2 V
HBdV. (3.75)
Đưa thế vec-tơ vào và áp dụng công thức về giải tích vec-tơ :
H(rotA) = (A × H) + A(rotH)
= (A × H) + Aj.

§ 3.7. Năng lượng từ trường dừng 95
Thay vào (3.75) ta có:
W =
V
wdV =
1
2 V
(A × H)dV +
1
2 V
AjdV.
Áp dụng định lý Gauss:
W =
1
2 S
A × HdS +
1
2 V
AjdV. (3.76)
Hình 3.8:
Nếu trong V có các mặt gián đoạn H là S , ta cô lập S bằng cách tách ra
khỏi vùng lấy tích phân và làm tương tự như trường hợp tĩnh điện trường, ta
được:
W =
1
2 S
AidS +
1
2 V
AjdV (3.77)
trong đó
i = n × (H2 − H1). (3.78)
Nếu chỉ có các dòng tuyến tính chảy trong V thì:
W =
1
2
n
i=1
Ii
Li
Aidli. (3.79)
3.7.1 Năng lượng của hệ dòng dừng:
Đối với hệ dòng dừng theo (3.79)
W =
1
2
n
i=1
Ii
Li
Aidli =
1
2
n
i=1
Ii
Si
(rotAi)dSi

W =
1
2
n
i=1
Ii
Si
BidSi (3.80)
trong đó φi = Si
BidSi là thông lượng cảm ứng từ của hệ qua mặt Si giới hạn
bởi đường cong Li. Ta có
W =
1
2
n
i=1
φiIi. (3.81)
Nếu ta lấy
Ai =
n
i=1 Lj
µIj
4πrij
dlj (3.82)
thế vào (3.79) sẽ thu được
W =
n
i=1
n
j=1
µIiIj
8π Li Lj
dlidlj
rij
. (3.83)
Đặt
Lij =
µ
4π Li Lj
dlidlj
rij
= Lji, (3.84)
ta có:
W =
1
2
n
i=1
n
j=1
LijIiIj. (3.85)
Lij là hệ số chỉ phụ thuộc hình dạng, kích thước và vị trí tương đối giữa các
dây dẫn và được gọi là hệ số hỗ cảm giữa dây thứ i và dây thứ j. Còn Lii gọi
là hệ số tự cảm của dây thứ i (đơn vị Henry).
Đối chiếu (3.85) với (3.81), ta suy ra:
φi =
n
j=1
LijIj (3.86)
Đối với một dây dẫn có hệ số tự cảm L, ta có:
φ = LI và W =
1
2
LI2
. (3.87)
Các công thức này dùng để tính hệ số tự cảm.

3.7.2 Năng lượng momen từ nguyên tố trong từ trường
ngoài
Năng lượng tương tác của hệ các dòng điện được tính theo công thức
W =
1
2 k Vk
jkAkdVk.
Sử dụng thế vec-tơ A của dòng nguyên tố theo (3.50)
A =
µ
4π
m × R
R3
và lưu ý
Ak =
j
µ
4π
mj × Rjk
R3
jk
là thế vec-tơ của hệ dòng điện tạo nên tại phần tử dòng điện jkdVk công thức
trên trở thành
W =
µ
8π k j
jk
mj × Rjk
R3
jk
dVk,
trong đó Rjk là khoảng cách từ tâm dòng điện có mômen từ mj đến phần tử
dòng điện jkdVk. Vì theo tính chất hoán vị vòng tròn của tích hỗn hợp và tính
chất phản giao hoán của tích vec-tơ, ta có jk(mj × Rjk) = mj(Rjk × jk) =
−mj(jk × Rjk) nên
jk(mj × Rjk)
R3
jk
= −
mj(jk × Rjk)
R3
jk
theo đó, ta có thể viết lại
W = −
µ
8π k j
mj
jk × Rjk
R3
jk
dVk,
hay
W = −
1
2 j
mj
k
µ
4π
jk × Rjk
R3
jk
dVk = −
1
2 j
mjBj

trong đó
Bj ≡
µ
4π
jk × Rjk
R3
jk
dVk
chính là vec-tơ cảm ứng từ trường của hệ dòng dừng tạo nên tại dòng nguyên
tố có mômen từ mj. Trong trường hợp mômen từ nguyên tố m đặt trong từ
trường ngoài B, thế năng của nó là biểu thức vừa mới tìm được bỏ đi dấu
tổng và không có hệ số 1/2 vì không tham gia tương tác hai lần, nghĩa là năng
lượng của mômen từ trong từ trường ngoài có dạng
W = −mB. (3.88)
3.7.3 Lực tác dụng trong từ trường:
a) Lực tác dụng của từ trường
Từ biểu thức tổng quát của lực tác dụng trong trường điện từ :
F =
V
ρE + (j × B) dV +
d
dt V
(D × B)dV. (3.89)
Trong từ trường dừng số hạng thứ hai vế phải bằng 0. Còn số hạng điện trường
dừng hoàn toàn giống như tĩnh điện trường. Do đó ta chỉ cần xét lực tác dụng
của từ trường dừng lên dòng điện:
F =
V
j × BdV. (3.90)
Nếu xét dòng tuyến tính thì:
F = I
L
(dl × B). (3.91)
Nếu điện tích điểm q chuyển động với vận tốc v thì j = qv và lực từ tác dụng
lên điện tích điểm q
Fq = qv × B. (3.92)
Rõ ràng từ trường không tác dụng lên điện tích đứng yên mà chỉ tác dụng lên
điện tích chuyển động và lực này không phải là lực xuyên tâm như trường tĩnh
điện và có phương luôn thẳng góc với phương chuyển động nên nó không tạo
công.

b) Lực tác dụng lên dòng nguyên tố trong từ trường ngoài
Ta đã biết trong cơ học mối liên hệ giữa lực tác dụng F và năng lượng
W của cơ hệ là F = −gradW. Trong từ trường ngoài B, năng lượng của
mômen từ nguyên tố có mômen lưỡng cực từ m theo kết quả (3.88) đã tìm
được ở mục trước là W = −mB nên lực tác dụng của từ trường ngoài lên
mômen từ nguyên tố là
F = −gradW = grad(mB), m ≡ IS. (3.93)
d) Momen lực tác dụng lên dòng nguyên tố:
Gọi θ = (m, B), momen lực L là lực suy rộng tác dụng lên dòng nguyên tố
trong từ trường ngoài B có khuynh hướng làm quay m một góc θ so với B:
L = −
∂W
∂θ
eθ = −
∂
∂θ
(mBcosθ)eθ = mBsinθeθ,
hay
L = m × B. (3.94)
Momen lực tác dụng như một ngẫu lực lên dòng nguyên tố. Nó có xu hướng
xoay momen từ của dòng nguyên tố m sao cho nó trùng với từ trường ngoài
B. Khi m//B và cùng chiều thì L = 0 và thế năng dòng nguyên tố trong từ
trường ngoài cực tiểu W = Wmin = −|m||B|: dòng nguyên tố đạt đến trạng
thái cân bằng bền trong từ trường ngoài và không quay nữa.
• Trường điện từ dừng là trường điện từ đối với quan sát viên trong hệ quy
chiếu thấy trường thoả mãn các điều kiện sau:
a. Các đại lượng điện từ không biến đổi theo thời gian: ∂
∂t
(E, D, B, H, j) =
0.
b. Có các dòng điện dừng: j = 0.

Từ các điều kiện này ta có hệ các phương trình của trường điện từ dừng:
divD = ρ, (3.1) divB = 0, (3.2)
rotE = 0, (3.3) rotH = j, (3.4)
D = E, (3.5) B = µH, (3.6)
j = σ∗
E, (3.7) qJ = jE. (3.8)
• Điện trường dừng trong điện môi có hệ phương trình Maxwell hoàn toàn
giống với trường tĩnh điện nên ta xem như đã xét rồi.
• Điện trường dừng trong vật dẫn có hệ phương trình Maxwell và định luật
Ohm
divD = ρ, rotE = 0, D = E, j = σ∗
E.
Hệ phương trình này cho ta rút ra được định luật Ohm tổng quát cho đoạn
mạch AB không phân nhánh có nguồn điện
IRAB = ϕ(A) − ϕ(B) + E0
và kết hợp với định luật bảo toàn điện tích ta suy ra hai định luật Kirchhoff.
Định luật Kirchhoff I: Tổng đại số các dòng điện qua một nút mạng bằng
không.
n
i=1
Ii = 0.
Định luật Kirchhoff II: Trong một mạch điện kín bất kỳ tổng các tích số IR
trên tất cả các đoạn mạch bằng tổng đại số các thế điện động lạ trên mạch kín
đó
n
i=1
(IR)i =
n
i=1
E0i.
Định luật Joule-Lenz: Công suất tỏa nhiệt trong một mạch điện kín có
nguồn điện
PJ =
V
jE0dV.
Như vậy nhiệt lượng Joule - Lenz toả ra trong thể tích vật dẫn làm tiêu hao
năng lượng của trường lạ và không tiêu thụ năng lượng của tĩnh điện trường

hoặc từ trường dừng. Vì vậy nên trong quá trình toả nhiệt từ trường tạo bởi
dòng dừng không thay đổi.
• Từ trường dừng tạo bởi dòng điện không đổi tồn tại xung quanh dòng
điện có hệ phương trình Maxwell:
divB = 0, rotH = j, B = µH.
• Thế vec-tơ của từ trường dừng và phép biến đổi định cỡ
B = rotA; A = A + gradu, ∀u(r, t) ∈ R.
• Với điều kiện định cỡ divA = 0, ta có thể chuyển phương trình Maxwell-
Faraday rotH = j thành phương trình thế Poisson tại những điểm có dòng
điện
2
A = −µj,
và phương trình Laplace tại những điểm không có dòng điện
2
A = 0,
• Thế vec-tơ của một phân bố dòng điện hữu hạn trong thể tích V
A =
µ
4π V
jdV
r
+
µ
4π S
idS
r
, r = R − r .
• Vec-tơ cảm ứng từ trường theo định luật Biot-Savart-Laplace
B = rotA =
µ
4π V
j × r
r3
dV.
• Mật độ năng lượng, năng lượng và vec-tơ mật độ dòng năng lượng từ
trường dừng
w =
1
2
BH; W =
V
wdV =
1
2 V
HBdV ; Π = ρ∗
j × H.
• Từ đó suy ra năng lượng từ trường của hệ dòng dừng
W =
n
i=1
n
j=1
µIiIj
8π Li Lj
dlidlj
rij
=
1
2
n
i=1
φiIi

trong đó
Lij =
µ
4π Li Lj
dlidlj
rij
= Lji
là hệ số hỗ cảm giữa hai dây dẫn thứ i và thứ j. Còn Lii = Li là hệ số tự cảm
của dây dẫn thứ i.
φi =
n
j=1
LijIj : từ thông qua bề mặt Si tựa trên dây dẫn thứ i
Thế năng của dòng nguyên tố trong từ trường ngoài: W = −mB, trong đó
m = I
2 L
r × dr = IS là momen từ của dòng nguyên tố.
• Từ lực của từ trường dừng tác dụng lên một thể tích V của trường
F =
V
j × BdV
hoặc tác dụng lên một dòng điện kín F = L
Id × B, hoặc tác dụng lên dòng
nguyên tố F = −gradW = grad(mB).
I. Điện trường dừng
3.1. Một vòng tròn tâm O, bán kính a tích điện đều với mật độ điện tích dài
λ, quay quanh trục của nó với vận tốc góc ω. Tìm cường độ dòng điện tạo bởi
vòng.
3.2. Một khối cầu tâm O, bán kính a có điện tích toàn phần là Q tích điện đều
trong thể tích của nó. Khối cầu quay quanh trục đối xứng của nó với vận tốc
ω = ωez. Tìm vec-tơ mật độ dòng j(r) tại một điểm bất kỳ trong khối cầu.
3.3. Chứng minh rằng điện trở tương đương của hai điện trở R1 và R2 mắc
nối tiếp là R1 + R2; và điện trở tương đương của hai điện trở mắc song song
là R1R2/(R1 + R2).
3.4. Một dây dẫn hình trụ đồng chất, tiết diện đều, có điện trở R. Tính điện
trở của một dây dẫn có chiều dài gấp đôi, bán kính bằng một nửa và làm cùng
vật liệu với dây kia.

3.5. Một quả cầu dẫn điện bán kính a được nhúng trong một khối cầu đồng
tâm lớn hơn chứa đầy vật liệu có điện dẫn suất σ∗
. Quả cầu được giữ ở điện
thế V0 so với mặt ngoài của khối cầu lớn được xem như ở vô cùng. Hãy xác
định vec-tơ mật độ dòng j(r), dòng điện toàn phần I và điện trở của hệ. Hãy
chứng tỏ rằng phương trình liên tục được thỏa mãn.
3.6. Hai quả cầu dẫn điện nhỏ bán kính a và b được nhúng trong môi trường
có điện trở suất ρ∗
và hằng số điện môi . hai tâm của chúng cách nhau một
khoảng d a, b.
a) Tính điện trở R giữa hai quả cầu. Lưu ý rằng kết quả tính không phụ
thuộc vào .
b) Nếu a = b = 1cm và d = 10m, môi trường là nước biển có ρ∗
= 0, 21Ωm,
tính giá trị của R.
3.7. Xét hai mặt trụ dẫn điện đồng trục bán kính a và 3a có chiều dài . Miền
không gian a ≤ r ≤ 2a được lấp đầy vật liệu có điện dẫn suất σ∗
1, và miền
2a ≤ r ≤ 3a được lấp đầy vật liệu có điện dẫn suất σ∗
2. (Giả thiết 1 = 2 = 0).
Mặt trụ trong được giữ ở điện thế V0 và mặt trụ ngoài ở V = 0, vì vậy có một
dòng điện theo phương bán kính I.
a) Tính điện trở của hệ.
b) Tính mật độ điện tích mặt trên bề mặt biên ở r = 2a.
3.8. Một tụ điện phẳng, hai bản tụ có diện tích mỗi bản là S, cách nhau khoảng
d được nhúng trong một môi trường có thể tích lớn, điện dẫn suất σ∗
. Hãy xác
định cường độ dòng điện toàn phần I nếu giữa hai bản tụ phẳng được duy trì
một hiệu điện thế U0. Hãy giải thích tại sao một dụng cụ như thế có thể được
dùng để đo độ mặn của nước muối?
3.9. Một vật dẫn rắn hình trụ có chiều dài L, tiết diện S có điện trở suất ρ∗
1 ở
một nửa chiều dài và điện trở suất ρ∗
2 ở nửa còn lại của nó. Có một dòng điện
I chạy dọc theo trục của hình trụ và được phân bố đều trên tiết diện của nó.
Tìm mật độ điện tích mặt σ trên mặt phân cách giữa hai miền ρ∗
1 và ρ∗
2. Cho
hằng số điện môi trong cả hai vật liệu đều là 0.
3.10. Ở bề mặt trái đất (bán kính 6.400km) có một điện trường trung bình
Er = −100V/m và mật độ dòng điện tương ứng jr ≈ −3, 5.10−12
A/m2
mang
điện tử rời mặt đất lên thượng tầng khí quyển. Hiệu điện thế giữa mặt đất và
thượng tầng khí quyển là 400kV . Hỏi dòng điện toàn phần đạt được ở bề mặt

trái đất là bao nhiêu? Năng lượng cần để duy trì dòng điện này? Năng lượng
này như thế nào so với năng lượng phát ra của nhà máy điện? Điện tích bề
mặt trái đất được liên tục được cung cấp bởi sét mang điện tích âm từ thượng
tầng khí quyển xuống mặt đất. Một tia sét điển hình có một dòng điện đỉnh
là 104
A và mang đến một điện lượng 20C.Trung bình có bao nhiêu tia sét xảy
ra mỗi trên toàn thế giới?
3.11. Cho 3 điện trở 1Ω, 2Ω và 3Ω. Hỏi người ta có thể sắp đặt để tạo ra bao
nhiêu điện trở tương đương từ một, hai hoặc ba điện trở trên ghép lại?
ĐS: Có 17 cách sắp đặt.
3.13. Xét mạng điện trở như hình 3.9. Có n điện trở nối từ đoạn mạch trên
xuống đoạn mạch dưới và n − 1 điện trở nối dọc theo đoạn mạch trên và dọc
theo đoạn mạch dưới. Tổng số điện trở trong mạng là 3n − 2. Tất cả các điện
trở đều có cùng giá trị R. Đặt Rn là điện trở tương đương của mạng. Tính
R1, R2, R3 và R∞.
ĐS: R1 = R, R2 = 3R/4, R3 = 11R/15, Rn = (2R + Rn−1)R/(3R +
Rn−1), R∞ = R(
√
3 − 1).
Hình 3.9: Một chuỗi điện trở. Điện trở tương đương là Rn, trong đó n là số điện
trở R nối từ đoạn mạch trên xuống đoạn mạch dưới. Trên hình vẽ số n = 5.
3.14. Một dây dẫn chiều dài L, tiết diện S nằm dọc theo trục x dương. Điện
trở suất của dây biến đổi theo x theo hệ thức
ρ∗
(x) = ρ∗
0 + ρ∗
1e−x/d
.
Đầu dây ở x = 0 được giữ ở điện thế V0 và đầu kia nối đất (VL = 0). Xác định
cường độ dòng điện I và công suất tỏa nhiệt trên một đơn vị độ dài dP(x)/dx.
Vẽ sự biến thiên của dP(x)/dx theo x.
3.15. Điện trở suất của một dây dẫn tăng theo nhiệt độ theo quy luật ρ(T) =
ρ0 exp{α(T − T0)}, trong đó T0 là nhiệt độ phòng. (Thông số α được gọi là hệ

số nhiệt điện trở.) Đặt C là nhiệt dung của dây dẫn theo đơn vị J/K. Dây có
chiều dài , tiết diện S. Ở thời điểm t = 0 dây được nối với một bình điện có
suất điện động không đổi V0. Giả thiết rằng tất cả nhiệt lượng Joule-Lenz đều
được dùng để làm tăng nhiệt độ. Hãy xác định nhiệt độ T như là một hàm
theo thời gian t. Chứng minh rằng T = T0 + α−1
ln(1 + αβt), trong đó β là
một hằng số phụ thuộc vào các thông số của bài toán, tìm β.
3.16. Miền giữa hai mặt cầu dẫn điện đồng tâm được lấp đầy bằng một vật
liệu có điện dẫn suất σ∗
và hằng số điện môi . Mặt cầu bên trong (bán kính
a) được nối với cực dương của ắc-quy có suất điện động V0, mặt cầu bên ngoài
(bán kính b) được nối với cực âm. Ở thời điểm t = 0 ắc-quy bị ngắt điện.
a) Tính điện tích Q(t) trên mặt cầu dẫn điện trong và vẽ đồ thị của hàm
này theo t. Chứng minh rằng hằng số phóng điện là /σ∗
.
b) Tính I(t).
II. Từ trường dừng
3.17. Đầu dò Hall là một dụng cụ đo từ trường. Trong một dụng cụ điển hình,
một dòng điện I chạy qua một bản mỏng bán dẫn pha tạp loại n được đặt
trong từ trường. Trong bán dẫn pha tạp loại n, hạt mang điện là điện tử. Trong
trạng thái dừng, có một hiệu điện thế VH giữa hai mặt bên của bản mỏng,
theo đó lực trực giao cuối cùng trên một hạt mang điện qE⊥ + q(v × B) = 0.
Từ VH , người ta có thể xác định B.
Hình 3.10: Hiệu ứng Hall
a) Giả thiết dạng hình học được trình bày ở hình 3.10 với kích thước
1, 0cm × 0.2cm × 0, 005cm. Vật liệu đo là Si pha tạp As có mật độ electron

dẫn là 2 × 1015
cm−3
, điện trở suất là 1, 6Ωcm. Dòng điện được điều khiển bởi
một ắc-quy 3V đi qua độ dài 1, 0cm. Hỏi hiệu thế Hall sẽ đo được đi qua chiều
rộng 0, 2cm nếu cảm ứng từ trường có độ lớn 0, 1T?
b) Chứng minh rằng dấu của VH phụ thuộc vào dấu của hạt mang điện.
Edwin H. Hall đã đo VH trong kim loại năm 1879 và đã phát hiện thấy rằng
các hạt mang điện là âm.
3.18. Thí nghiệm mà Thomson khám phá ra điện tử gồm một chùm tia cathode
đi ngang qua vùng điện trường đều giữa hai bản tụ của một tụ điện phẳng và
trong một từ trường đều. Các điện tử ban đầu có vận tốc song song với hai
bản tụ và B thẳng góc với cả hai E và v. Hãy rút ra điều kiện liên quan đến
hiệu điện thế giữa hai bản tụ U, độ lớn cảm ứng từ B cùng với các thông số
có liên quan để cho chùm tia cathode không bị lệch, giả thiết rằng chùm tia
cathode là chùm điện tử. (Đây là nguyên lý chọn lọc vận tốc trong một khối
phổ kế.)
3.19. Các cuộn dây Helmholtz. Hai vòng dây dẫn tròn bán kính a, mỗi dây có
một dòng điện I chạy qua theo cùng một chiều giống nhau, cùng song song
với mặt phẳng xy và có tâm ở hai vị trí có tọa độ (0, 0, ±s/2). vec-tơ cảm ứng
từ trường B = B(z)ez song song trục z, ez là vec-tơ đơn vị trên trục z; và tại
z = 0 ta có ∂B(z)/∂z = 0.
a) Hãy xác định s để ∂2
B(z)/∂z2
= 0 tại z = 0 trên trục z. Cấu hình này
được gọi là các cuộn Helmholtz, nó cho ta một từ trường rất đều ở vùng lân
cận gốc tọa độ. Chứng minh rằng với cấu hình này thì đạo hàm bậc ba theo
z cũng bằng không tại z = 0.
b) Dùng một chương trình máy tính để vẽ từ trường như là một hàm theo
vị trí z dọc theo trục của các cuộn dây Helmholtz. Các cuộn Helmholtz có thể
được dùng để tạo ra từ trường đều với một vùng không gian rộng lớn quanh
gốc tọa độ được không?
3.20. Tính vec-tơ cường độ từ trường tại tâm O của một khung dây dẫn hình
vuông cạnh 2a có dòng điện cường độ I chạy qua. Lặp lại phép tính cho đa
giác đều có n cạnh, tính theo a là khoảng cách từ tâm O đến mỗi cạnh. Chứng
minh rằng từ kết quả này ta có thể tính được vec-tơ cường độ từ trường tại
tâm O của vòng tròn bán kính a bằng cách cho n → ∞.
3.21. Một dây dẫn kín hình vuông cạnh 2a nằm trong mặt phẳng xy có tâm

là gốc tọa độ O, các cạnh song song với các trục x và y.Trong khung dây có
dòng điện không đổi cường độ I chạy theo chiều kim đồng hồ.
a) Tìm vec-tơ từ trường tạo bởi dòng điện tại một điểm trên trục z.
b) Chứng tỏ rằng khi z/a 1 thì vec-tơ cường độ từ trường trở thành
vec-tơ cường độ từ trường của một lưỡng cực từ. Tính mômen lưỡng cực từ
của dòng điện.
Đáp số: (a) B = B(z)ez = 2Ia2
ez/[π(a2
+ z2
)(2a2
+ z2
)1/2
];
c) So sánh cường độ từ trường tại tâm của vòng kín hình vuông này với
với cường độ từ trường tại tâm của vòng tròn đường kính 2a.
3.22. Xét một ống dây solenoide chiều dài L, bán kính tiết diện a, gồm N vòng
dây có dòng điện I0 chạy trong đó. Dòng điện có thể xem gần đúng là dòng
điện mặt với mật độ dòng jS = NI0/L(A/m).
a) Tính vec-tơ cường độ từ trường tại trung điểm o trên trục z của ống
(Hướng dẫn: Chia ống solenoide thành các dòng điện tròn vi cấp dI = jSdz để
tính cường độ từ trường dH tại tâm O tạo bởi dòng điện đó, sau đó áp dụng
nguyên lý chồng chất trường để tính H(O) = L
dH).
b) Tính cường độ từ trường tại một điểm A trên trục tại một trong hai
đầu ống.
c) Chứng tỏ rằng H(A)/H(O) → 1/2 khi L/a → ∞.
3.23. Xét từ trường có vec-tơ cảm ứng từ B(r) = axyex + by2
ey.
a) Hỏi hệ thức giữa các hằng số a và b?
b) Hỏi biểu thức vec-tơ mật độ dòng j tạo ra từ trường? Mô tả sự phân bố
dòng điện bằng chữ và bằng hình vẽ.
3.24. Xét dòng điện tròn trong mặt phẳng xy, bán kính a, tâm tại gốc tọa
độ O, cường độ dòng điện I. Trên trục z vec-tơ cảm ứng từ trường có dạng
B = Bz(z)ez. Xác định Bz(z) và tính
∞
−∞
Bzdz. Theo định lý Ampère tích
phân đó phải có giá trị µ0I. Tại sao?
3.25. Hình 3.11 cho thấy tiết diện của một dây cáp đồng trục dài. Dây dẫn
bên trong (r ≤ a) cho dòng điện chạy qua dọc theo trục của dây theo chiều
từ trong ra ngoài trang giấy. Dây dẫn ngoài (a ≤ r ≤ c) cho dòng điện quay
trở lại I0 vào trong trang giấy. Các dòng điện được phân bố đều trong các dây
dẫn. Vùng không gian giữa hai dây dẫn là một chất cách điện có hằng số điện

môi 0 và độ từ thẩm µo.
Tìm B tại một điểm bất kỳ có khoảng cách đến trục là 0 ≤ r ∞. Vẽ
đường biểu diễn của B(r) theo r.
Hình 3.11: Tiết diện của một dây cáp
3.26. Gọi B là vec-tơ cảm ứng từ trường tạo bởi một dòng điện thẳng dài vô
hạn cường độ dòng điện I song song và cùng chiều trục tọa độ z, dòng điện
này cắt mặt phẳng xy tại điểm có tọa độ (x = a, y = 0). Tính lưu số của vec-tơ
B theo vòng tròn tâm O, bán kính R a, O là gốc của trục tọa độ, bằng:
a) Tính trực tiếp tích phân
C
Bd .
b) Áp dụng định lý Ampère.
3.27. Xét thế vec-tơ A(r) = c × r/2, trong đó c là vec-tơ hằng. Hỏi thế vec-tơ
như vậy có thỏa mãn điều kiện định cỡ divA = 0 không? Tính vec-tơ cảm ứng
từ B ứng với thế vec-tơ trên.
3.28. Cho một quả cầu rỗng tâm O, bán kính a tích điện mặt với mật độ điện
tích mặt σ = const tự quay quanh trục z của nó với vận tốc góc không đổi
ω = ωez (hình 3.12) trong chân không.
a) Xác định biểu thức thế vec-tơ của từ trường tạo bởi quả cầu tại một
điểm M bất kỳ có tọa độ OM = R.
b) Tính vec-tơ cảm ứng từ trường B(R).
(Hướng dẫn:
A(R) =
µ0
4π S
(σω × r )dS
|R − r
từ đó, ta tính được A(R) = µ0σa
3
ω × R nếu r a; và A(R) = µ0σa4
3r3 ω × R nếu
r a.
Ta tính được B = rotA).
3.29. a) Giải phương trình thế Poisson và Laplace để tìm biểu thức của vec-tơ

Hình 3.12: Một quả cầu rỗng với mật độ điện mặt σ quay quanh trục z với vận
tốc góc ω. Điểm tính từ trường P có tọa độ R; bề mặt dS mang điện tích σdS
có tọa độ r .
cảm ứng từ trường tại một điểm bất kỳ trên trục Ox tạo bởi một dòng điện
không đổi I hình trụ dài vô hạn bán kính tiết diện R có trục đối xứng trùng
với trục tọa độ z, chiều dòng điện là chiều dương của trục z.
b) Nếu có một hình trụ rỗng bên trong hình trụ, bán kính tiết diện b, có
trục song song với trục z và cắt trục Ox ở x = a và cường độ dòng điện vẫn
là I chạy trong dây dẫn. Hãy xác định vectơ cảm ứng từ trường trong phần
rỗng, từ trường bên trong phần rỗng này có đều không?
3.30. Một chùm đồng vị hydrogen bay vào một khối phổ kế. Các proton và
deuteron đã được gia tốc từ vị trí ban đầu đứng yên bởi một một độ sụt thế
V0. Bán kính quỹ đạo của các proton là 10cm. Tính bán kính quỹ đạo của các
deuteron.
3.31. Magnetron là một dụng cụ ống chân không được dùng tạo ra dòng điện
cao tần trong các nguồn vi sóng, như lò vi sóng hoặc máy phát sóng radar. Vùng
giới hạn tần số là từ 109
Hz đến 1011
Hz. Một sơ đồ thiết kế cho magnetron
được mô tả ở hình ??. Một chùm điện tử chuyển động tròn trong một từ trường
không đổi B đi ngang qua các điện cực[r các đầu đối diện nhau của một đường
kính của quỹ đạo. Điện thế V tại hai điện cực dao động theo khoảng cách đến
dòng điện tử.
a) Xác định tần số của thế xoay chiều.
b) Xác định B để cho tần số vi sóng là 1010
Hz.
ĐS: a) fV = |e|B/(πme); b) B = 2πfme/|e|.
3.32. Một đĩa mỏng tâm O, bán kính R tích điện đều với mật độ điện tích mặt

Hình 3.13: Magnetron
σ = const. Đĩa quay quanh trục z với vận tốc góc ω, trục này đi ngang qua
tâm O và thẳng góc với đĩa.
a) Xác định B tại một điểm nằm trên trục của đĩa.
b) Mômen từ của đĩa quay này là bao nhiêu?
ĐS: a) B(z) = ez(µ0ωσz)(cos α0 + cos α−1
0 − 2)/2; cos α0 = z/
√
z2 + R2.
b) m = πσωR4
ez/4.
3.33. Một vành đĩa tích điện đều có bán kính trong a, bán kính ngoài b với
mật độ điện tích mặt σ, nằm trong mặt phẳng xy, tâm của vành đĩa là gốc
tọa độ O. Vành đĩa quay quanh trục z với vận tốc góc ω.
a) Tính mômen từ m của vành đĩa đang quay.
b) Tính vec-tơ cảm ứng từ trường B tại một điểm trong mặt phẳng xy
cách gốc O một đoạn OM = ρ a, b.
c) Tính B tại một điểm bất kỳ trên trục z.
3.34. Một cuộn dây tròn bán kính R, khối lượng M có N vòng dây dẫn có
dòng điện I0 chạy qua. Cuộn dây quay tự do quanh trục z đi qua tâm O và
nằm trong mặt phẳng của cuộn dây (xem hình 3.14). Có một từ trường không
đổi có vec-tơ cảm ứng từ B = B0ex. Ban đầu cuộn dây ở vị trí cân bằng với
mômen từ song song, cùng chiều với cảm ứng từ B.
a) Hỏi tần số dao động góc nhỏ φ quanh vị trí cân bằng?
b) Bây giờ cho M = 0, 10kg, N = 100 vòng, I0 = 0, 1A, và B0 = 0, 05T.
Ứơc tính tần số của dao động góc nhỏ.
c) Nếu cuộn dây lệch ra khỏi vị trí cân bằng một góc nhỏ φ0 = 150
, hỏi
vận tốc góc khi nó quay quanh vị trí cân bằng?
3.35. Một ống dây điện có chiều dài hữu hạn, bán kính tiết diện a. Trục của

Hình 3.14: Cuộn dây trong từ trường không đổi
ống dây là trục z, ống được quấn các vòng dây tròn bắt đầu từ z = − /2 đến
z = /2 với n vòng dây trên một đơn vị dài. Trong ống dây có dòng điện I
chạy qua. Chứng tỏ rằng cảm ứng từ trường trên trục của ống dây là
B(z) =
µ0nI
2
/2 − z
a2 + ( /2 − z)2
+
/2 + z
a2 + ( /2 + z)2
ez.

Chương 4
TRƯỜNG ĐIỆN TỪ CHUẨN
DỪNG
Mở đầu:
Trường điện từ chuẩn dừng là trường điện từ đối với quan sát viên trong hệ
quy chiếu thấy điện tích và dòng điện biến thiên chậm theo thời gian đủ để
thỏa mãn các điều kiện chuẩn dừng: bỏ qua dòng điện dịch và hiệu ứng trễ
theo không gian. Theo đó, ta chỉ thấy mối liên hệ là từ trường biến thiên sinh
ra điện trường xoáy và dòng điện dẫn tạo ra từ trường xoáy và các phương
trình thế vẫn có dạng như phương trình thế cho trường điện từ dừng, chỉ khác
là có thêm sự phụ thuộc thời gian trong các đại lượng động lực của trường. Do
đó việc giải phương trình thế và tìm các đại lượng động lực hoàn toàn tương
tự như trong trường điện từ dừng. Do đó chúng ta chỉ tập trung khảo sát các
mạch điện chuẩn dừng với các thông số tập trung R, L, C và hiệu ứng mặt
ngoài, trường điện từ cho các vật dẫn chuyển động,... đặc trưng cho trường
điện từ chuẩn dừng.
Mục tiêu học tập của chương:
Sau khi học tập chương trường điện từ chuẩn dừng, người học phải biết vận
dụng các điều kiện chuẩn dừng để suy ra hệ phương trình Maxwell của trường
và nắm được mối liên hệ giữa điện thế và dòng điện của các mạch điện chuẩn
dừng, của hiệu ứng mặt ngoài và các tính chất của trường điện từ chuẩn dừng
trong vật dẫn chuyển động. Người học phải biết vận dụng các kiến thức đã
113

114 Chương 4. TRƯỜNG ĐIỆN TỪ CHUẨN DỪNG
thu nhận được để giải các bài toán liên quan đến mạch điện trong trường điện
từ chuẩn dừng, giải thích các hiện tượng liên quan đến trường này.
4.1 Các phương trình của trường điện từ chuẩn
dừng
Trường điện từ chuẩn dừng là trường biến thiên đủ chậm theo thời
gian, tức là thỏa mãn các điều kiện sau:
a) Mật độ dòng điện dịch rất bé so với mật độ dòng điện dẫn
∂D
∂t
max
|j|max. (4.1)
Nếu trường biến thiên điều hoà với tần số ω
E = E0eiωt
(4.2)
thì:
∂D
∂t
= iω E0eiωt
và
j = σ∗
E = σ∗
E0eiωt
.
Khi đó (4.1) trở thành:
ω σ∗
hay ω
σ∗
. (4.3)
Với kim loại: ≈ 0 = 8, 85.10−12
F/m và σ∗
≈ 107
Ω−1
m−1
. Do đó:
σ∗
≈ 1018
sec−1
, ω 1018
s−1
.
Dòng điện xoay chiều thông dụng (ω = 314s−1
) và sóng hồng ngoại (ω ≈
3.1015
s−1
) đều thoả mãn điều kiện chuẩn dừng thứ nhất.
b) Trong miền quan sát có thể bỏ qua các hiệu ứng trễ theo không gian
phụ thuộc vào vận tốc truyền hữu hạn của sóng điện từ. Giả sử ta có một điện
trường biến thiên theo quy luật:
E(0, t) = E0eiωt

§ 4.1. Các phương trình của trường điện từ chuẩn dừng 115
tại điểm O, gốc tọa độ thì cũng tại thời điểm t, một điểm P cách O một
khoảng OP = x sẽ có điện trường:
E(x, t) = E0eiω(t−x
c
)
E(x, t) = E0eiωt
e−iωx
c
c là vận tốc truyền sóng điện từ.
Khai triển số mũ:
e−iωx
c =
∞
i=1
(−1)n
n!
i
ωx
c
n
= 1 − i
ωx
c
−
ω2
x2
c2
+ ...
e−iωx
c ≈ 1 − i
ωx
c
Do đó:
E(x, t) = E0eiωt
1 − i
ωx
c
≈ E0eiωt
nếu
ωx
c
1 hay x
c
ω
=
c
2πf
=
cT
2π
=
λ
2π
, (4.4)
nghĩa là kích thước mạch điện khảo sát phải rất bé so với bước sóng dao động
của trường. Với sóng vô tuyến điện:
f = 1MHz, x 50m
λ
2π
=
c
2πf
≈
3.108
6, 28.106
≈ 0, 5.102
= 50m.
Còn đối với dòng điện công nghiệp có tần số 50Hz, λ ≈ 6.106
m rất lớn so với
kích thước mạng điện cả thành phố.
c) Các đại lượng điện động lực học đặc trưng cho mỗi trường , µ, σ∗
nói
chung vẫn có giá trị như ở trường dừng, nghĩa là trường biến đổi đủ chậm (tần
số bé) sao cho chu kỳ dao động của chúng lớn hơn nhiều so với thời gian chạy
tự do trung bình của electron trong môi trường thì sự biến thiên của trường
sẽ không ảnh hưởng đến quỹ đạo chuyển động của các electron này và do đó
, µ, σ∗
sẽ không bị ảnh hưởng. Các phép tính cho thấy điều kiện này tương
ứng ngay cả đối với giải hồng ngoại trong kim loại.

4.1.1 Các phương trình trường điện từ chuẩn dừng
Sử dụng điều kiện chuẩn dừng thứ nhất (4.1), các phương trình Maxwell
có dạng:
rotE = −
∂B
∂t
, rotH = j, (4.5)
D = ρ, B = 0, (4.6)
D = E, B = µH, (4.7)
j = σ∗
(E + E0). (4.8)
Phương trình liên tục có dạng:
j +
∂ρ
∂t
= j +
∂
∂t
D = j +
∂D
∂t
≈ j = 0. (4.9)
4.1.2 Các thế của trường điện từ chuẩn dừng
a) Thế vec-tơ
Từ divB = 0 ta cũng định nghĩa được thế vec-tơ
B ≡ rotA. (4.10)
và phép biến đổi định cỡ
A = A + gradu(r, t), ∀u(r, t).
b) Thế vô hướng
Thế định nghĩa (4.10) vào trong phương trình (4.5):
rotE =
∂B
∂t
= −rot
∂A
∂t
chuyển vế và gộp lại, ta thu được
rot E +
∂A
∂t
= 0. (4.11)

§ 4.1. Các phương trình của trường điện từ chuẩn dừng 117
Điều này cho định nghĩa thế vô hướng ϕ:
E +
∂A
∂t
≡ − ϕ, (4.12)
từ đó ta có thể viết:
E = − ϕ −
∂A
∂t
. (4.13)
Biểu thức này cho thấy E không còn là trường thế nữa, nghĩa là công do trường
thực hiện khi dịch chuyển điện tích giữa hai điểm phụ thuộc vào dạng đường
đi.
c) Các phương trình thế
+ Phương trình thế vô hướng
Thay D = E vào D = ρ để có E = ρ/ , sử dụng (4.13) thế vào và
biến đổi, ta được:
− 2
ϕ −
∂
∂t
divA =
ρ
Chọn điều kiện định cỡ:
A = 0, (4.14)
ta có phương trình thế vô hướng:
2
ϕ = −
ρ
. (4.15)
+ Phương trình thế vec-tơ
Nhân rotH = j với µ rồi thay B = µH và B = rotA vào phương trình vừa
mới biến đổi, ta có:
rot(rotA) = µj ⇒ grad(divA) − 2
A = µj,
với điều kiện (4.14), ta thu được phương trình thế vec-tơ
2
A = −µj. (4.16)
Như vậy ta có các phương trình Laplace, Poisson cho A và ϕ hoàn toàn giống
như trong từ trường dừng, cũng như các điều kiện biên tương ứng.

Sỡ dĩ như vậy vì chúng ta đã bỏ qua hiệu ứng trễ trong không gian của
trường điện từ chuẩn dừng. Và do đó ta đã xem rằng tại một thời điểm bất kỳ
t, điện tích ρ và dòng điện j của toàn bộ không gian trường xác định thế ϕ và
thế vec-tơ A của trường cho x λ = cT. Tuy nhiên để tính vec-tơ cường độ
điện trường E thì lại không làm như vậy được vì E phụ thuộc vào đạo hàm
theo thời gian của A. Để tính được E ta phải biết A(t) và = A(t + dt) ứng với
hai thời điểm rất gần nhau t và t + dt.
Vì có sự tương đồng với trường điện từ dừng về phương trình thế nên nếu
ta chọn hàm j(r, t) = j(r).f(t), ρ(r, t) = ρ(r).g(t) thì các nghiệm A(r, t) =
A(r).f(t), ϕ(r, t) = ϕ(r).g(t). Từ đó suy ra các đại lượng động lực của trường
sẽ được tìm thấy tương tự như trong trường điện từ dừng. Với lý do này chúng
ta không khảo sát lại các đại lượng đó mà chỉ tập trung trình bày lý thuyết về
các mạch điện chuẩn dừng và các hiệu ứng đặc biệt chỉ có trong trường điện
từ chuẩn dừng như sau đây.
4.2 Các mạch điện chuẩn dừng
4.2.1 Các phương trình mạch điện
Xét hệ các dòng điện dây và áp dụng định luật Ohm dưới dạng vi phân
cho dòng thứ k:
jk = σ∗
(Ek + E0k) hay
jk
σ∗
= Ek + E0k, (4.17)
E0k là trường lạ tác dụng lên dòng điện thứ k.
Hình 4.1:

§ 4.2. Các mạch điện chuẩn dừng 119
Lấy tích phân theo toàn bộ chiều dài dòng thứ k:
2
1
jk
σ∗
d k =
2
1
(Ek + E0k)d k.
Ở đây:
2
1
jk
σ∗
d k =
2
1
Skjkd k
σ∗Sk
= Ik
2
1
ρ∗ d k
Sk
= Ik
2
1
dRk = IkRk (4.18)
Rk là điện trở thuần của mạch thứ k.
2
1
E0kd = Ek là thế điện động lạ trong mạch (4.19)
2
1
Ekd k =
2
1
− ϕk −
∂Ak
∂t
d k = (ϕ1 − ϕ2)k −
d
dt
2
1
Akd k
2
1
Akd k ≈
L
Akd k
Stokes
=
S
(rotAk)
−→
dSk =
S
Bk
−→
dSk = φk (4.20)
là từ thông qua mạch kín. Vậy ta có:
IkRk = (ϕ1 − ϕ2)k −
dφk
dt
+ Ek,
hay
IkRk + (ϕ2 − ϕ1)k +
dφk
dt
= Ek, (4.21)
với
(ϕ2 − ϕ1)k =
qk
Ck
(4.22)
là thế hiệu giữa hai bản tụ điện có điện dung Ck và điện tích qk(t) ở thời điểm
t, còn
φk =
n
i=1
LkiIi (4.23)
là từ thông cảm ứng qua cuộn k tạo bởi các dòng Ik có hệ số cảm ứng Lki với
dòng k. Theo điều kiện chuẩn dừng, chiều dài các dòng Ii rất bé so với bước

sóng của dòng điện (Li λ = cT) nên các hệ số cảm ứng Lki không đổi theo
thời gian. Ta thu được phương trình mạch điện chuẩn dừng thứ k
n
i=1
Lki
dIi
dt
+
qk
Ck
+ RkIk = Ek. (4.24)
Lấy đạo hàm theo thời gian cả hai vế sẽ thu được phương trình bậc hai theo
thời gian cho mạch điện:
n
i=1
Lki
d2
Ii
dt2
+ Rk
dIk
dt
+
Ik
Ck
=
dEk
dt
(4.25)
trong đó ta đã lấy
Ik =
dqk
dt
. (4.26)
Nếu biễu diễn qua biến số qk, thì thay (4.26) vào (4.24), ta lại có phương trình
khác theo qk:
n
i=1
Lki
d2
qi
dt2
+ Rk
dqk
dt
+
qk
Ck
= Ek. (4.27)
4.2.2 Mạch điện R, L, C
Xét một mạch điện cô lập có hệ số tự cảm L, điện trở R và điện dung
C trong trường hợp nguồn điện có thế điện động là
E = E0eiωt
= E0(cosωt + isinωt). (4.28)
Phương trình (4.25) có dạng:
L
d2
I
dt2
+ R
dI
dt
+
I
C
+ =
dE
dt
. (4.29)
Vì đây là mạch điện dao động cưỡng bức bởi thế điện động nguồn điện có dạng
(4.28) nên ta tìm I dưới dạng I = I0ei(ωt+β)
. Thay vào (4.29) ta được:
−ω2
L + iωR +
1
C
I = iωE. (4.30)
Hệ thức này có thể viết dưới dạng định luật Ohm:
E = ZI (4.31)

trong đó
Z = R + i ωL −
1
ωC
= |Z|eiα
là tổng trở phức của mạch điện,
(4.32)
e(Z) = R điện trở thuần của mạch điện,
m(Z) = ωL −
1
ωC
điện trở kháng của mạch,
iLω : cảm kháng phức, − i/(Cω) : dung kháng phức của mạch điện,
|Z| = R2 + (ωL −
1
ωC
)2 Tổng trở của mạch.
Tất cả đại lượng trên đều có đơn vị điện trở là Ohm (Ω). Ta có thể viết:
R/|Z| = cos α, ωL −
1
ωC
/|Z| = sin α,
α = Arctg
1
R
(ωL −
1
ωC
) pha của dao động điện của mạch. (4.33)
Như vậy từ (4.30) ta có:
I =
E0
|Z|
ei(ωt−α)
. (4.34)
Dòng điện trong mạch bị lệch pha so với thế điện động lạ đặt lên mạch. Góc
pha α phụ thuộc vào các yếu tố R, L, C của mạch và tần số ω của thế điện
động lạ. Độ lệch pha bằng không (α = 0) khi có hiện tượng cộng hưởng
ωL −
1
ωC
= 0.
Trong trường hợp cộng hưởng, ta có
ω =
1
√
LC
= ω0 : Tần số cộng hưởng. (4.35)
Trường hợp không có nguồn dao động điện, E = 0, phương trình (4.29) trở
thành:
L
d2
I
dt2
+ R
dI
dt
+
I
C
= 0 (4.36)

theo (4.30) ta có: R + i(ωL − 1/ωC) = 0. Hay
ω2
− i
R
L
ω −
1
LC
= 0.
Giải phương trình bậc hai theo ω, ta được hai nghiệm
ω = i
R
2L
±
1
LC
−
R
2L
2
. (4.37)
Nghĩa là dòng điện vẫn tiếp tục dao động trong mạch với tần số phức (4.37).
Xét hai trường hợp:
a) Nếu
1
LC
−
R
2L
2
≡ −β2
0, β 0 (4.38)
thì
ω = i
R
2L
± β , (4.39)
dòng điện trong mạch:
I = I01e−( R
2L
−β)t
+ I02e−( R
2L
+β)t
, I01, I02 = const. (4.40)
Vì R, L, C và β đều là số thực dương nên theo (4.38):
R
2L
= β2 +
1
LC
β ⇒
R
2L
± β 0, (4.41)
dòng điện không còn tuần hoàn nữa, nó giảm dần theo hàm mũ (4.40).
b) Nếu
1
LC
−
R
2L
2
≡ γ2
0 γ 0 (4.42)
ω = i
R
2L
± γ. (4.43)
Dòng điện trong mạch có dạng:
I = e− R
2L
t
(I01e−iγt
+ I02eiγt
) ; I01, I02 = const, (4.44)
I = ae− Rt
2L sin(γt − δ) ; a, δ phụ thuộc vào I01, I02.

Trong trường hợp này, dòng điện trong mạch vẫn tiếp tục dao động với tần số
γ và biên độ của nó giảm dần theo quy luật hàm mũ.
Đại lượng R
2L
: độ tắt dần của dao động. Nếu R = 0, ta có dao động tự do
với tần số là tần số riêng của mạch điện L, C:
ω = ω0 =
1
√
LC
: công thức Thomson đối với dao động tự do. (4.45)
4.2.3 Mạch điện liên kết hỗ cảm:
Chúng ta xét hai mạch điện L, C được liên kết hỗ cảm với nhau (hình
4.2).
Hình 4.2:
Các mạch như vậy gọi là mạch liên kết từ: đối với mạch này, theo (4.25),
các phương trình liên hệ có dạng:
L11
d2
I1
dt2
+ L12
d2
I2
dt2
+ R1
dI1
dt
+
I1
C1
=
dE1
dt
(4.46)
L21
d2
I1
dt2
+ L22
d2
I2
dt2
+ R2
dI2
dt
+
I2
C2
=
dE2
dt
(4.47)
Để đơn giản nhưng không làm mất ý nghĩa vật lý, ta chọn L11 = L22 = L; L12 =
L21, R1 = R2 = R, C1 = C2 = C, E1 = E2 = 0. Các phương trình trở thành:
L
d2
I1
dt2
+ L12
d2
I2
dt2
+ R
dI1
dt
+
I1
C
= 0
L21
d2
I1
dt2
+ L
d2
I2
dt2
+ R
dI2
dt
+
I2
C
= 0 (4.48)
Cộng và trừ hai phương trình vế theo vế, ta được:
L
d2
I1
dt2
(I1 + I2) + L12
d2
I2
dt2
(I1 + I2) + R
dI1
dt
(I1 + I2) +
I1
C
(I1 + I2) = 0

L
d2
I1
dt2
(I1 − I2) + L12
d2
I2
dt2
(I1 − I2) + R
dI1
dt
(I1 − I2) +
I1
C
(I1 − I2) = 0
Đặt
x = I1 + I2 , y = I1 − I2 (4.49)
Ta thu được các phương trình đối với x và y:
L + L12
d2
x
dt2
+ R
dx
dt
+
x
C
= 0 (4.50)
L − L12
d2
y
dt2
+ R
dy
dt
+
y
C
= 0 (4.51)
Bài toán lại đưa về dạng như mục trước. Với E = 0 kết quả hai phương trình
trên đều có nghiệm tuần hoàn và nghiệm không tuần hoàn tuỳ theo giá trị
của các đại lượng thông số mạch. Ta xét trong trường hợp nghiệm tuần hoàn.
Theo (4.44), ta có:
x = a1e
− Rt
2(L12+L)
sin(γ1t − δ1) (4.52)
y = a2e
− Rt
2(L−L12) sin(γ2t − δ2) (4.53)
Thế kết quả này vào (4.49), ta suy ra:
I1 =
a1
2
e
− Rt
2(L+L12 ) sin(γ1t − δ1) +
a2
2
e
− Rt
2(L−L12) sin(γ2t − δ2)
I2 =
a1
2
e
− Rt
2(L+L12)
sin(γ1t − δ1) −
a2
2
e
− Rt
2(L−L12)
sin(γ2t − δ2) (4.54)
Trong đó các tần số dao động γ1 và γ2 trong mạch được xác định bởi hệ thức:
γ2
1 =
1
(L + L12)C
−
R
2(L + L12)
2
γ2
2 =
1
(L − L12)C
−
R
2(L − L12)
2
(4.55)
4.2.4 Các mạch điện rẽ:
Đối với các khung dây có mạch rẽ, dòng trong các đoạn mạch rẽ là
khác nhau. Trong đoạn mạch không phân nhánh thứ i, do điều kiện chuẩn
dừng x λ/(2π), định luật Ohm tổng quát của dòng một chiều vẫn áp dụng

§ 4.3. Dòng điện chuẩn dừng trong vật dẫn. Hiệu ứng lớp da 125
được trong trường chuẩn dừng ở mỗi một thời điểm bất kỳ t. Gọi Zi là tổng
trở phức của mạch có dòng I, thế điện động là Ei và độ giảm điện thế hai đầu
đoạn mạch Ui, ta có:
ZiIi = Ui + Ei ⇔ ZiIi − Ei = Ui. (4.56)
Trong một mắt mạng, độ giảm điện thế trên toàn khung dây cũng bằng không
n
i=1
Ui = 0 ⇒
n
i=1
(ZiIi − Ei) = 0 : Định luật Kirchoff II (4.57)
Vì phương trình liên tục trong trường chuẩn dừng cũng có j = 0 nên ta cũng
được cho mỗi nút mạng biểu thức của định luật Kirchoff I:
n
i=1
Ii = 0 (4.58)
4.3 Dòng điện chuẩn dừng trong vật dẫn. Hiệu
ứng lớp da
Xét dòng điện chuẩn dừng chạy dọc theo dây dẫn hình trụ tròn xoay,
dài vô hạn, trục z trùng với trục hình trụ. Theo đó điện trường E chỉ có thành
phần E = Ez và phụ thuộc vào r (hình vẽ 4.3).
Từ phương trình
rotE = −
∂B
∂t
= −µ
∂H
∂t
Lấy rot hai vế:
rot(rotE) = −µ
∂
∂t
(rotH), mà rotH = j = σ∗
E,
nên ta có phương trình
( E) − 2
E = −µσ∗ ∂
∂t
E.
Giả thiết trong vật dẫn không có điện tích tự do ρ = 0, nên E = ρ/ = 0.
Ta có:
2
E − µσ∗ ∂E
∂t
= 0. (4.59)

Hình 4.3:
Trong tọa độ trụ, phương trình trên được viết:
1
r
∂
∂r
r
∂E
∂r
− µσ∗ ∂E
∂t
= 0, (4.60)
mà
E = E(r, t)ez ≡ E0(r)eiωt
ez (4.61)
nên phương trình (4.60) trở thành:
1
r
∂
∂r
r
∂E0
∂r
− k2
E0 = 0, k2
= −iωσ∗
µ.
Phương trình này có nghiệm:
E0 = aJ0(kr) = a
∞
n=0
(−1)n 1
(n!)2
kr
2
2n
, (4.62)
còn
k =
√
k2 = −iωσ∗µ = ±
ωσ∗µ
2
(i − 1), a = const, J0 : hàm Bessel.

§ 4.3. Dòng điện chuẩn dừng trong vật dẫn. Hiệu ứng lớp da 127
Duy ra E = Ez = aJ0(kr)eiωt
, theo đó j = σ∗
E cho ta
j(r, t) = jz(r, t) = σ∗
aJ0(kr)eiωt
. (4.63)
Còn cường độ từ trường H = Hϕeϕ được tính từ phương trình:
rotE = −µ
∂H
∂t
⇔ −
∂Ez
∂r
eϕ = −iωµHϕeϕ.
∂E
∂r
= −iωµH. (4.64)
Vì J 0(x) = −J1(x) nên:
dJ0(kr)
dr
= −kJ1(kr) (4.65)
∂E
∂r
=
∂
∂r
aJ0(kr)eiωt
= −kaeiωt
J1(kr) = i2
kaeiωt
J1(kr)
nên (4.64) cho ta:
H = Hϕ =
iak
ωµ
J1(kr)eiωt
. (4.66)
Hằng số a có thể xác định được bằng cách cho rằng trên mặt dây dẫn
H = Hϕ(r = R) =
I
2πR
, I: dòng điện qua dây.
Để xét tính chất phân bố của mật độ dòng điện trong dây dẫn, ta cần lưu ý
rằng hàm Bessel:
J0(iZ) =
eZ
√
2πZ
(|Z| 1). (4.67)
Nếu Z = x(1 + i) thì ta có:
J0 [x(i − 1)] =
ex(1+i)
2π(1 + i)x
≈
ex(1+i)
√
x
.
Áp dụng hàm Bessel trong biểu thức của E(r), ta có:
J0(kr) = J0 [pr(i − 1)] ≈
epr(1+i)
√
pr
,

với
p =
ωσ∗µ
2
. (4.68)
Xét hai trường hợp r = R và r = R − 1
p
, do từ điều kiện |Z| = |pr(i − 1)| 1,
ta được:
|J0(kR)|
J0 k(R − 1
p
)
= e 1 −
1
pR
≈ e vì pr 1.
Công thức này chứng tỏ rằng khi tần số đủ cao, nghĩa là pr 1 thì mật độ
dòng điện ở mặt ngoài dây dẫn lớn hơn mật độ dòng điện cách mặt ngoài một
khoảng 1/p là e lần, đại lượng:
δ =
1
p
=
2
ωσ∗p
(4.69)
được gọi là độ dày lớp da của dây dẫn.
Với kim loại µ = µ0 = 4π10−7
H/m, σ∗
= 107
δ =
1
√
2πa
=
1
2π
√
f
. (4.70)
Nếu f = 106
Hz = 1MHz thì δ = 0, 16mm. Dòng điện hầu như tập trung tại
mặt ngoài của dây dẫn.
Nhận xét:
1) Điện trở dây dẫn:
R = ρ
dl
dS
=
dl
σdS
trong đó S là tiết diện dây dẫn. Ở tần số cao, do hiệu ứng lớp da nên S giảm
⇒ R khi ω càng lớn.
2) Năng lượng của từ trường chuẩn dừng biễu diễn qua hệ số tự cảm của dây
dẫn với dòng điện chạy trong nó là:
W =
1
2
LI2
Nếu I = const thì năng lượng bên ngoài không thay đổi nhưng năng lượng
trong dòng thay đổi khi ω thay đổi. Khi ω tăng thì thể tích của dây dẫn có
trường = 0 càng lớn. Do đó năng lượng bên trong càng giảm. Kết quả là năng
lượng W = 1
2
LI2
giảm nhưng I = const. Do đó L phải giảm khi ω .

§ 4.4. Trường điện từ trong các vật dẫn chuyển động 129
4.4 Trường điện từ trong các vật dẫn chuyển
động
Từ phương trình:
rotE = −
∂B
∂t
Lấy thông lượng rotE qua mặt S tựa trên đường cong kín C với lưu ý
S
rotE
−→
dS = C
E
−→
d = E và φ = S
B
−→
dS là từ thông qua mặt S giới hạn
bởi vật dẫn, ta thu được
E = −
dφ
dt
.
Nếu xét đến chuyển động của vật dẫn (khung dây chẳng hạn), ta phải có:
dφ
dt
=
d
dt S
B
−→
dS =
∂B
∂t
+ (v )B dS (4.71)
vì
dB
dt
=
∂B
∂t
+
∂r
∂t
∂B
∂r
=
∂B
∂t
+ (v )B
Sử dụng công thức giải tích vec-tơ:
rot(v × B) = (B )v − (v )B + (v )B − B( v) (4.72)
Giả thiết rằng v =
−−−→
const, với lưu ý divB = 0 thì:
rot(v × B) = (B )v − B(divv) + v(divB) − (v )B = −(v )B (4.73)
Nên thế vào (4.71) ta có:
dφ
dt
=
S
∂B
∂t
− rot(v × B) dS
Do đó:
E = −
S
∂B
∂t
− rot(v × B)
−→
dS

Mặt khác, gọi E là vec-tơ điện trường trong vật dẫn khi vật dẫn chuyển động,
ta có:
E =
E
E dl =
S
(rotE )
−→
dS.
Do đó:
S
∂B
∂t
+ rot E − v × B dS = 0,
vì S bất kỳ nên
∂B
∂t
+ rot E − v × B = 0,
hay
−
∂B
∂t
= rot E − v × B .
Nếu xét hệ quy chiếu gắn liền khung dây (hệ quy chiếu chuyển động): v = 0,
nên
rotE = −
∂B
∂t
: phương trình Maxwell thông thường.
Trong hệ quy chiếu không chuyển động (hay hệ quy chiếu thấy vật chuyển
động) thì:
E = E + (v × B),
và dòng điện cảm ứng trong khung dây:
j = σ∗
E = σ∗
E + (v × B) .
Theo đó trường điện từ trong vật dẫn chuyển động được xác định bởi các hệ
thức:
rotE = −
∂B
∂t
, B = 0,
rotH = j, và j = σ E + v × B .
Lấy rot hai vế phương trình rotH = j và sử dụng các phương trình còn lại, ta
suy ra:
2
H − µσ∗ ∂H
∂t
+ µσ∗
rot(v × H) = 0
Hay 2
B − µσ∗ ∂B
∂t
+ µσ∗
rot(v × B) = 0.

§ 4.4. Trường điện từ trong các vật dẫn chuyển động 131
• Trường điện từ chuẩn dừng là trường điện từ biến thiên đủ chậm theo
thời gian, tức là thỏa mãn các điều kiện chuẩn dừng sau:
a) Mật độ dòng điện dịch rất bé so với mật độ dòng điện dẫn ∂D
∂t
max
|j|max,
b) Bỏ qua hiệu ứng trễ theo không gian, nghĩa là kích thước miền khảo sát
phải rất bé so với bước sóng dao động của trường: x λ.
c) Các đại lượng điện động lực học đặc trưng cho mỗi trường , µ, σ∗
nói
chung vẫn có giá trị như ở trường dừng.
• Theo đó hệ phương trình Maxwell của trường điện từ chuẩn dừng là
D = ρ, B = 0, rotE = −
∂B
∂t
, rotH = j, D = E, B = µH.
Dạng suy rộng của định luật Ohm và phương trình liên tục:
j = σ∗
(E + E0), j = 0.
Lưu ý rằng các đại lượng của trường phụ thuộc tọa độ và thời gian.
• Thế vec-tơ và thế vô hướng của trường điện từ chuẩn dừng
B = rotA, E = −gradϕ −
∂A
∂t
với các phép biến đổi định cỡ
A = A + gradu, ∀u(r, t); ϕ = ϕ −
∂u
∂t
.
• Với điều kiện định cỡ divA = 0, ta có các phương trình thế Poisson tại
những điểm có dòng điện và điện tích
2
A = −µj; 2
ϕ = −
ρ
;
tại những điểm không có dòng điện và điện tích, ta có phương trình thế Laplace
2
A = 0; 2
ϕ = 0;

• Phương trình cho n mạch điện chuẩn dừng
n
i=1
Lki
d2
qi
dt2
+ Rk
dqk
dt
+
qk
Ck
= Ek.
Mạch điện R, L, C với nguồn điện xoay chiều hình sin ghép nối tiếp E(t) =
E0eiωt
có phương trình cho dòng điện
L
d2
I
dt2
+ R
dI
dt
+
I
C
+ =
dE
dt
.
Nghiệm của phương trình
I(t) =
E0
|Z|
ei(ωt−α)
; |Z| = R2 + Lω −
1
Cω
2
,
R/|Z| = cos α, ωL −
1
ωC
/|Z| = sin α.
Nếu mạch điện không có nguồn điện và ban đầu có dòng điện trong mạch thì
dòng điện sẽ tiếp tục dao động với biên độ giảm dần theo quy luật hàm mũ
khi thỏa mãn điều kiện R 2 L/C. Nếu không thỏa mãn điều kiện đó thì
dòng điện sẽ giảm dần về không theo hàm mũ mà không dao động.
• Các mạch điện có phân nhánh vẫn theo đúng định luật Ohm tổng quát,
hai định luật Kirchhoff nhưng các số hạng trong công thức là các đại lượng
phức.
• Dòng điện chuẩn dừng chỉ chạy ở một lớp mỏng bên ngoài dây dẫn, biên
độ của mật độ dòng điện giảm đi e lần khi nó đi vào sâu bên trong trục của
dây một đoạn δ = 2/ωσ∗µ gọi là độ dày của lớp da. Độ dày lớp da càng
mỏng khi tần số dao động ω của dòng điện, điện dẫn suất σ∗
, độ từ thẩm µ
của dây càng lớn. Theo đó tần số càng cao, điện trở R càng lớn, hệ số tự cảm
của dây L giảm.
• Trường điện từ chuẩn dừng trong vật dẫn chuyển động với vận tốc v có
hệ phương trình Maxwell
rotE = −
∂B
∂t
, divB = 0, rotH = j, j = σ∗
(E + v × B).

4.1. Một đoạn dây dẫn thẳng có chiều dài dịch chuyển với vận tốc v trong từ
trường đều B. Gọi α là góc giữa v và B. Tính suất điện động cảm ứng xuất
hiện trong dây.
4.2. Một thanh dây dẫn được cho trượt với vận tốc không đổi trên hai đường
ray kim loại thẳng, song song (hình 4.4). Một từ trường không đổi B hướng
theo phương z, thẳng góc với mặt phẳng (x, y) của mạch điện. Giả thiết rằng
điện trở R có giá trị không quá bé.
a) Hãy xác định hiệu điện thế mạch hở giữa hai đầu a, b.
b) Chứng tỏ rằng điện năng hao phí trong điện trở R nối a với b bằng cơ
năng cần để giữ cho thanh chuyển động đều với tốc độ v.
Hình 4.4: Chuyển động thanh dẫn trong từ trường.
4.3. Hai dây dẫn song song, dài vô hạn cho hai dòng điện cùng chiều, cường
độ I1, I2 chạy qua. Khoảng cách giữa chúng là d. Tính lực tác dụng lên một
đơn vị độ dài giữa hai dây.
4.4. Một đĩa đồng bán kính 5cm quay quanh trục thẳng góc đi qua tâm O của
đĩa với vận tốc 20 vòng/s và trong từ trường đều có vec-tơ B = 0.5n(T) thẳng
góc với đĩa. Tâm và mép đĩa được nối với mạch điện ngoài bởi các dây dẫn có
các tiếp điểm trượt. Điện trở toàn phần của mạch điện là 10Ω. Tính dòng điện
cảm ứng.
4.5. Một máy phát từ thủy động lực học (MHD) là một dụng cụ được thiết
kế để tạo ra năng lượng từ dòng plasma bị ion hóa, chẳng hạn như trong các
lò phân hủy hạt nhân. Dòng plasma chảy theo phương z qua một ống hình
hộp chữ nhật có tiết diện song song với mặt phẳng xy và có một từ trường

B = Bex trong plasma, kích thước của ống theo các chiều x, y, z theo thứ tự
là w, h, . Các mặt ống ở x = ±w/2 là các mặt cách điện, và các mặt ống ở
y = ±h/2là các mặt dẫn điện.
a) Chứng tỏ rằng hiệu điện thế giữa các mặt dẫn điện là V = vBh, trong
đó v là vận tốc chất lỏng.
b) Giả sử các mặt dẫn điện được nối với một dây dẫn có điện trở R. Hãy xác
định dòng điện chạy trong dây điện trở nếu ρ là điện trở suất của plasma.(Gợi
ý: Có các dòng nối tiếp trong dây và trong plasma.)
ĐS: (a) V = vBh; (b) I = V/(R + r) = vBh/[R + ρh/(w )].
4.6. Một phương pháp đo từ trường trái đất là dùng một cuộn dây đảo hướng
và điện kế xung kích. Cuộn dây dẫn có bán kính a quay nhanh 1800
quanh một
đường kính của nó. Điện kế đo điện tích toàn phần chạy qua cuộn dây khi nó
quay.
a) Hãy giải thích vec-tơ B được đo bằng cách nào?
b) Giả sử ban đầu mặt phẳng của cuộn dây thẳng góc với từ trường B có
độ lớn B = 0, 5.10−4
T, a = 5cm và điện trở của cuộn dây R = 0.1Ω. Hỏi điện
lượng toàn phần đi qua cuộn dây khi nó quay là bao nhiêu?
4.6. Có một dòng điện phụ thuộc thời gian chạy trong một ống dây solenoid
dài quấn các vòng dây sít nhau dày đặc.
a) Hãy xác định điện trường ở tại bán kính r trên mặt phẳng trung tuyến
của solenoid, cả bên trong cũng như bên ngoài solenoid. (Gợi ý: phương của
E là phương tiếp tuyến.) Bài toán này là một ví dụ về phép gần đúng chuẩn
dừng. Dùng từ trường dừng để rút ra công thức cho B theo dòng điện không
đổi và dùng công thức tương tự cho dòng điện biến thiên.
b) Từ kết quả tính được của câu (a) để tính rotE ở bán kính r.
4.7. Làm thế nào để điện trường hoàn toàn theo phương độ phương vị E =
Eφeφ = −(E0r/a)eφ được tạo ra trong miền khối trụ bán kính tiết diện a?
4.8 Một dây dẫn điện thẳng dài có dòng điện xoay chiều I(t) = I0 cos ωt chạy
qua.bên cạnh nó là một khung dây dần kín hình vuông. Dây dẫn thẳng nằm
trong mặt phẳng và song song với hai cạnh của khung dây hình vuông và cách
hai cạnh này các khoảng cách a và b. Cạnh của khung hình vuông là b − a.
Hãy xác định dòng điện cảm ứng trong khung dây kín hình vuông nếu điện
trở của khung là R.

4.9. Cho một dây dẫn tròn, bán kính a, điện trở R, nằm trong mặt phẳng xy.
Một từ trường đều xuất hiện ở thời điểm t = 0; khi t 0 vec-tơ cảm ứng từ
trường là
B(t) =
B0
√
2
1 − e−λt
(ey + ez).
a) Xác định dòng điện cảm ứng I(t) trong dây dẫn tròn.
b) Vẽ đường biến thiên của I(t) theo t.
4.10. Một đĩa kim loại tròn bán kính a, bề dày d, điện dẫn suất σ nằm trong
mặt phẳng xy, tâm ở gốc tạ độ O.Có một từ trường đều phụ thuộc thời gian
B(t) = B(t)ez. Hãy xác định mật độ dòng điện cảm ứng j(r, t) trong đĩa.
4.11. Một thí nghiệm chứng minh trong lớp học về các dòng điện xoáy và phanh
từ trường đó là thả một nam châm hình trụ rơi xuống dọc theo một ống đồng
thẳng đứng có đường kính tiết diện lớn hơn tiết diện của nam châm một chút
ít. Hãy phân tích các dòng điện xoáy cảm ứng và lực tác dụng lên nam châm.
Hãy giải thích vì sao nam châm rơi xuống với một tốc độ cuối chậm.
4.12. Máy phát điện xoay chiều trong một xe hơi gồm có một cuộn dây hình
chữ nhật có 250 vòng dây và diện tích 0.01m2
, quay trong một từ trường 0, 1T.
( Từ trường được cung cấp bởi một nam châm điện một chiều.) Nếu tốc độ
quay của cuộn dây là 103
rpm, hỏi thế điện động ra cực đại là bao nhiêu?
Hình 4.5: Betatron.
4.13. Một betatron là một máy gia tốc điện tử dùng điện trường được cảm
ứng bởi một từ trường biến thiên để gia tốc điện tử đến năng lượng tương đối
tính. (Trong vật lý hạt nhân, một điện tử được gọi là một hạt beta vì điện tử
là sản phẩm của quá trình phân hủy beta nào đó.) Betatron đầu tiên được xây

dựng bởi Kerst vào năm 1940 cho các thí nghiệm tán xạ điện tử trong vật lý
hạt nhân. Các betatron ngày nay vẫn được dùng để sản xuất tia X cứng trong
nghiên cứu cấu trúc vật rắn và cho các mục đích y học.
Một sơ đồ betatron được trình bày trong hình 4.5 Các điện tử được cho
chuyển động tròn trong một buồng chân không hình vòng xuyến bán kính r0
giữa các cực từ của một nam châm điện. Từ trường trong mặt phẳng của vòng
xuyến B(r, t)ez. Hỏi điều kiện cho B(r, t) là gì để bán kính quỹ đạo điện tử r0
vẫn giữ nguyên trong khi nó đang thu thêm động năng?
ĐS: B(r0, t) = B(t)/2, B(t) là trị trung bình của Bz lấy trên toàn miền
diện tích bên trong quỹ đạo.
4.14. Xét betatron với các thông số: bán kính quỹ đạo điện tử 0, 5m; động
năng của một điện tử được phóng vào trong máy gia tốc là 2, 0MeV ; và tốc
độ gia tăng của thông lượng cảm ứng từ qua diện tích của buồng chân không
vòng xuyến là 25Wb/s. Các điện tử được phóng ra ngoài sau 4ms được gia
tốc.
a) Tính biên độ điện trường cảm ứng.
b) Tính công mà một điện tử thu được sau khi quay một vòng quanh quỹ
đạo.
c) Tính số vòng quay mà điện tử thực hiện được trước khi phóng ra ngoài.
(Tính gần đúng vận tốc của điện tử theo c.)
d) Tính động năng cuối cùng của điện tử.
e) Để giữ cho bán kính quỹ đạo của điện tử không đổi, B tại r phải bằng
một nửa trị trung bình của B lấy trên toàn diện tích được giới hạn bởi quỹ
đạo tròn. Hỏi dB/dt tại r trong quá trình gia tốc là bao nhiêu?
4.15. Hãy chứng tỏ rằng mạch điện LC mắc nối tiếp không có điện trở là một
dao động điều hòa. Tính tần số dao động nếu L = 300mH và C = 1µF.
4.16. Xét một dây cáp đồng trục bao gồm hai khối hình trụ rỗng dẫn điện bán
kính a và b. Một dòng điện I chạy lên ở khối trụ bên trong và chạy xuống ở
khối trụ ngoài. Hãy xác định hệ số tự cảm trên một đơn vị dài của dây cáp
bằng cả hai cách tính: từ định nghĩa L = Φ/I, và từ năng lượng từ trường
LI2
/2.
4.17. Một mạch điện không phân nhánh bao gồm một ngắt điện, cuộn cảm,
bóng đèn nung tim và một nguồn điện không đổi. Giả sử R = 10Ω và L =

10mH. Ngắt điện đóng lại vào thời điểm t = 0. Đến thời điểm nào thì bóng
đèn đạt 90% của độ sáng cuối cùng? (Để trả lời câu hỏi này người ta phải
thực hiện một vài giả định về nhiệt dẫn suất của dây tóc bóng đèn. Giả thiết
nhiệt dẫn suất là vô hạn, nghĩa là không có thời gian trễ giữa năng lượng nhiệt
Joule-Lenz và cường độ sáng.)
4.18. Cho một dây dẫn tam giác đều kín, có chiều cao a và một dây dẫn dài
trong cùng mặt phẳng với tam giác. Dây song song và cách cạnh đáy tam giác
một đoạn b. Tìm hệ số hỗ cảm của hai dây? Giả thiết rằng phần quay trở lại
của dây dẫn dài là rất xa.
ĐS:
M =
µ0
π
√
3
(a + b)ln 1 +
a
b
− a .
4.19. Một cuộn bô-bin đánh lửa xe hơi cung cấp một hiệu điện thế 20kV cho
bugi Giả sử cường độ dòng điện trong cuộn sơ cấp của bô-bin là 4.0A, và dòng
được ngắt 100 lần trong một giây (bởi các điểm phân phối). Ước tính hệ số hỗ
cảm của hai cuộn dây sơ và thứ cấp. (Gợi ý: Bạn sẽ phải tạo một mẫu hợp lý
cho hàm I(t).)
Hình 4.6: Mặt cắt ngang của hai bản phẳng song song dài với bề rộng w và
cách nhau d, mang hai dòng điện toàn phần +I và −I.
4.20. Trong chân không, cho hai dòng điện +I và −I chạy trong mặt phẳng
song song dài như hình vẽ 4.6. Các mặt phẳng có bề rộng w và cách nhau một
khoảng d bé.
a) Bỏ qua các hiệu ứng mép, tìm vec-tơ cường độ từ trường giữa hai bản
phẳng từ định lý Ampère.
b) Tính năng lượng từ trường trên một đơn vị dài theo phương dòng điện.
c) Dùng kết quả (b) để chứng tỏ rằng hệ số tự cảm trên một đơn vị dài là
µ0d/w.

4.21. Xét mạch điện như hình vẽ 4.7. Giả thiết đảo điện ở vị trí 1 như trên
hình vẽ đủ lâu để trạng thái dừng được thiết lập ở trong mạch điện. Bây giờ,
ở thời điểm t = 0, đảo điện chuyển sang vị trí 2.
a) Hãy xác định dòng điện I(t) ở thời điểm t 0.
b) Tính toàn bộ năng lượng tỏa ra trong điện trở sau khi t = 0.
c) Chứng tỏ rằng kết quả câu (b) bằng năng lượng tích trữ trong cuộn cảm
ở thời điểm t = 0.
4.27. Sau đây là hai bài tập về về năng lượng từ trường trong vật lý thiên văn.
a) Từ trường trung bình trong không gian giữa các vì sao trong dải ngân
hà của chúng ta khoảng 3.10−10
T. Nếu ngân hà là một khối dạng đĩa tròn bán
kính 1021
m và bề dày 1019
m thì năng lượng từ trường toàn phần của ngân hà
là bao nhiêu? Công suất toàn phần được bức xạ ra từ các tất cả các vì sao
trong ngân hà vào khoảng 1037
W. Hỏi cần bao nhiêu năm các ngôi sao phát
sáng để có năng lượng tương đương với từ trường tích lũy được?
b) Từ trường ở bề mặt của một ngôi sao neutron, hay sao pulsar, vào
khoảng 108
T. Hỏi mật độ năng lượng từ trường cho trường này là bao nhiêu?
Dùng hệ thức năng lượng E = mc2
, tìm mật độ khối lượng tương ứng với mật
độ năng lượng từ trường. So sánh mật độ này với mật độ khối lượng của sao
neutron với giả thiết rằng ngôi sao này có khối lượng của mặt trời và có kích
thước của quả cầu bán kính 10 km.
4.28. Một ống dây solenoid dài và có n vòng dây trên 1m dài, tiết diện của
ống là A. Ống dây đâm xuyên thẳng góc qua mặt phẳng của một mạch điện
kín có điện trở thuần R.
a) Nếu dòng điện trong ống solenoid biến thiên từ I1 đến I2, hỏi có bao
nhiêu điện tích chạy qua điện trở R?
b) Nếu dòng điện trong solenoid là hàm theo thời gian
I(t) = I1e−t/τ
+ I2 1 − e−t/τ
,
hỏi dòng điện IR trong mạch kín điện trở R có biểu thức như thế nào?
c) Vẽ đồ thị I và IR theo x = t/τ, cho I1 = 1A và I2 = 2A. Mô tả bằng lời
những gì xảy ra.
4.29. Một mạch dao động gồm một cuộn dây có hệ số tự cảm L và một tụ điện
phẳng có diện tích mỗi bản tụ bằng S. Môi trường giữa các bản có bề dày d

và hằng số điện môi . Tính chu kỳ dao động của mạch, cho biết L = 0, 1H,
S = 500cm2
, d = 1mm, = 2 0, R = 0.
ĐS: T = 2π L S/d ≈ 2, 2.10−2
s
4.30. Một cuộn dây có hệ số tự cảm L = 100mH và điện trở R = 5Ω. Sau
thời gian bao lâu, kể từ khi nối cuộn dây với nguồn điện không đổi, dòng điện
trong cuộn dây bằng nửa dòng ổn định?
ĐS: t = Lln2/R ≈ 0, 014s.
Hình 4.7: Cầu xoay chiều.
4.31. Cầu xoay chiều: Muốn đo điện trở Rx và điện dung Cx (hoặc hệ số tự
cảm Jx của cuộn dây), người ta dùng một cầu xoay chiều như hình vẽ 4.7.
Trên nhánh Z1 là tụ điện Cx (hoặc cuộn dây Lx). Trên nhánh Z2 mắc điện
dung chuẩn C2 (hoặc cuộn dây chuẩn có điện trở R2 và hệ số tự cảm L2) đã
biết. Chứng minh rằng, nếu các điện trở R3 và R4 có giá trị thích hợp để dòng
điện qua điện kế G triệt tiêu thì ta thu được kết quả
Rx =
R3
R4
R2, Lx =
R3
R4
L2, Cx =
R4
R3
C2.

Chương 5
SÓNG ĐIỆN TỪ - LÝ
THUYẾT BỨC XẠ
Mở đầu:
Từ chương 2 đến chương 4 chúng ta đã khảo sát trường điện từ không biến thiên
hoặc biến thiên chậm theo thời gian. Tất cả những hệ quả, định luật được rút
ra từ hệ phương trình Maxwell của trường đều đã được tìm thấy trước Maxwell
bằng thực nghiệm. Điều này chứng tỏ tính đúng đắn của thuyết điện từ được
xây dựng trên cơ sở hệ phương trình Maxwell. Đến chương này chúng ta sẽ
khảo sát trường điện từ biến thiên nhanh theo thời gian, nghĩa là vượt quá
điều kiện chuẩn dừng. Maxwell đã đặt vấn đề như sau: nếu trong vùng không
gian rộng lớn, đồng nhất, đẳng hướng trường điện từ được truyền đi như thế
nào nếu không có phân bố điện tích và dòng điện? Và trong trường hợp có
trường điện từ như vậy thì nó được sinh ra như thế nào? Bằng tư duy toán
học, Maxwell đã giả thiết nếu có trường điện từ truyền đi trong môi trường
không có điện tích và dòng điện (chân không chẳng hạn) thì hệ phương trình
Maxwell tương ứng dùng mô tả chúng sẽ không có mật độ điện tích (ρ = 0)
và mật độ dòng điện (j = 0). Ông đã giải hệ phương trình Mawxell này và
nghiệm của hệ là các vec-tơ trường điện từ dao động tuần hoàn biến thiên
nhanh theo thời gian và không gian gọi là trường sóng điện từ tự do. Phải mất
nhiều năm sau đó sóng điện từ mới được thực nghiệm xác nhận. Với sóng điện
từ phẳng đơn sắc là một nghiệm riêng cơ bản của trường sóng điện từ tự do,
141

142 Chương 5. SÓNG ĐIỆN TỪ - LÝ THUYẾT BỨC XẠ
Maxwell đã rút ra được các định luật cơ bản trong quang học như định luật
phản xạ, khúc xạ, định luật Fresnel,...Điều này chứng tỏ ánh sáng là sóng điện
từ. Điều đó đồng nghĩa với việc chứng tỏ trường điện từ là trường thống nhất
nó bao gồm điện trường, từ trường và quang học thành một thực thể thống
nhất. Để tìm cơ chế bức xạ sóng điện từ, Maxwell tiếp tục giải bài toán tổng
quát với vùng không gian khảo sát có nguồn phát sóng điện từ là mật độ điện
tích và mật độ dòng điện biến thiên nhanh theo không gian và thời gian và
hình thành lý thuyết bức xạ sóng điện từ cổ điển. Trong chương này chúng ta
sẽ khảo sát trường sóng điện từ tự do, sóng phẳng đơn sắc như là một trường
hợp riêng cơ bản của trường sóng điện từ này. Sau đó khảo sát sự truyền sóng
điện từ trong vật dẫn, trong chất dị hướng, định luật phản xạ, khúc xạ sóng
điện từ ở mặt phân cách hai môi trường khác nhau, ... Ngoài ra lý thuyết bức
xạ sóng điện từ cũng được khảo sát tổng quát và cụ thể cho mô hình lưỡng
cực bức xạ, dao động tử tuyến tính và lưỡng cực bức xạ tuần hoàn.
Sau khi học xong chương này, người học sẽ biết được một dạng trường điện từ
tự do quen thuộc trong đời sống: sóng điện từ tự do-sóng phẳng với một ví dụ
sinh động là sóng điện từ phẳng đơn sắc cùng những quy luật, tính chất đặc
biệt cơ bản của nó. Người học cũng phải nắm được cơ chế bức xạ sóng điện từ
thông qua thế vec-tơ trễ và thế vô hướng trễ tổng quát cũng như cụ thể thông
qua các bài toán tìm thế và vec-tơ trường của các lưỡng cực bức xạ dao động
tuần hoàn và tìm ra mối liên hệ giữa mật độ năng lượng sóng điện từ bức xạ
với tần số và khoảng cách đến nguồn phát (lưỡng cực). Để hiểu sâu sắc hơn về
trường sóng điện từ người học phải làm một số các ví dụ và bài tập kèm theo
ở cuối chương.
5.1 Trường điện từ tự do - Sóng phẳng
Trường điện từ tự do là trường điện từ tồn tại độc lập với điện tích và dòng
điện. Nói chung nó cũng do một hệ điện tích và dòng điện nào đó biến thiên
gây ra. Tuy nhiên, khi được tạo ra, chúng tách rời khỏi hệ điện tích và dòng
điện, vận động theo những quy luật riêng của chúng, không phụ thuộc vào

§ 5.1. Trường điện từ tự do - Sóng phẳng 143
nguồn gốc sinh ra chúng nữa. Các phương trình của trường điện từ tự do là
các phương trình Maxwell thỏa mãn điều kiện ρ = 0 và j = 0. Các điều kiện
này có thể có trong điện môi đồng chất, rộng vô hạn.
Ta có hệ phương trình Maxwell của trường điện từ tự do:
rotE = −
∂B
∂t
, (5.1)
rotH =
∂D
∂t
, (5.2)
divD = 0, (5.3)
divB = 0, (5.4)
D = E, (5.5)
B = µH. (5.6)
Thế hai phương trình (5.5), (5.6) vào các phương trình trên, ta có:
rotE = −µ
∂H
∂t
, (5.7)
rotH =
∂E
∂t
, (5.8)
divE = 0, (5.9)
divH = 0. (5.10)
Rõ ràng E và H trong trường điện từ tự do quan hệ gắn bó, chặt chẽ không
tách rời nhau. Có thể nói rằng từ trường biến thiên sinh ra điện trường và
ngược lại. Điện trường và từ trường đều là những trường xoáy.
Lấy rot (5.7) và kết hợp với (5.8) ta có:
rot(rotE) = − µ
∂2
E
∂t2
hay grad(divE) − 2
E = − µ
∂2
E
∂t2
,
mà theo (5.9), divE = 0 nên phương trình trở thành
2
E − µ
∂2
E
∂t2
= 0. (5.11)

Tương tự, lấy rot (5.8), kết hợp với (5.7) và (5.10), ta thu được
2
H − µ
∂2
H
∂t2
= 0. (5.12)
Rõ ràng E và H đều thoả mãn một phương trình sóng như nhau và gọi là
phương trình sóng hay phương trình d’ Alembert không có vế sau.
Vậy: Trường điện từ tự do chỉ tồn tại dưới dạng sóng điện từ, không có
trường điện từ tự do tĩnh.
Đặt ψ(r, t) là các thành phần của E(r, t) và H(r, t) trên ba trục tọa độ. Ở
đây để đơn giản, ta xét trường điện từ tự do E, H chỉ là một hàm theo tọa độ
x và thời gian t. Phương trình d’ Alembert trở thành
∂2
ψ
∂x2
− µ
∂2
ψ
∂t2
= 0.
Nghiệm của nó là
ψ = f1 t −
x
v
+ f2 t +
x
v
trong đó f1 và f2 là hai hàm bất kì của t và x và v = 1/
√
µ
Hình 5.1:
Chúng ta xét ý nghĩa của nghiệm thứ nhất f1 (t − x/v) trong mặt phẳng
x = x1, trường biến thiên theo thời gian. Ở cùng thời điểm t = t1, ψ =
f1 (t − x/v) tại mọi điểm trong mặt phẳng x = x1. Vì thế mặt phẳng x = x1
vuông góc với Ox tại x1 được gọi là một mặt đồng pha hay mặt sóng và sóng
được gọi là sóng điện từ phẳng (hình 5.1).
Giả sử tại x = x2 x1 vào thời điểm t2 trường cũng có giá trị như tại mặt
x1 vào lúc t1. Ta phải có:
t2 −
x2
v
= t1 −
x1
v
⇒ t2 = t1 +
x2 − x1
v
t1 và (x2 − x1) = v(t2 − t1).

§ 5.2. Sóng điện từ phẳng đơn sắc 145
Như vậy, pha của sóng đã truyền đi theo chiều dương của trục Ox với vận tốc
v = 1/
√
µ (vận tốc pha). Trong chân không, vận tốc truyền sóng điện từ là
c = 1/
√
oµo = 3.108
m/s.
Tương tự, nghiệm thứ hai f2(t + x/v) là một sóng điện từ phẳng truyền
theo chiều âm của trục Ox với vận tốc bằng −v.
5.2 Sóng điện từ phẳng đơn sắc
Nếu điện từ trường là một sóng phẳng truyền theo chiều dương trục x và biến
thiên tuần hoàn với tần số góc ω = 2π/T, T là chu kỳ dao động sóng, thì
nghiệm của phương trình sóng có dạng:
E = Eo cos ω(t −
x
v
) + α , (5.13)
H = Ho cos ω(t −
x
v
) + α .
Hay dưới dạng phức:
E = Eo exp i(ωt − kx + α), (5.14)
H = Ho exp i(ωt − kx + α).
Nếu phương truyền sóng k không trùng với phương Ox, ta có phương trình
tổng quát:
E = Eo exp i(ωt − kr + α), (5.15)
H = Ho exp i(ωt − kr + α).
Vectơ sóng k = k.n = (ω/v)n = ω
√
µn = (2π/T)
√
µn.
Ta gọi
k =
ω
v
=
2π
T
√
µ là số sóng. (5.16)
Ta có: ∂H/∂t = iωH ; rotE = rot[Eo expi(ωt − kr + α)].
Theo giải tích vec-tơ, rot(uA) = gradu × A + u.rotA, lưu ý E0 = const, ta
suy ra
rotE = grad[expi(ωt − kr + α)] × Eo = −ik × E.

Ta có
divE = graduEo + udivEo = −ikuEo = −ikE.
Với H cũng như trên, do đó:
rotE = −µ
∂H
∂t
⇔ k × E = µωH; divE = 0 ⇒ kE = 0,
rotH =
∂E
∂t
⇔ k × H = − ωE; divH = 0 ⇒ kH = 0.
Vậy trong trường điện từ của sóng phẳng đơn sắc, hệ phương trình Maxwell
trở thành hệ phương trình
k × E = µωH, (5.17)
k × H = − ωE, (5.18)
kE = 0, (5.19)
kH = 0. (5.20)
Rõ ràng (5.17) cho ta thấy k, E, H theo thứ tự lập thành một tam diện
thuận. Nghĩa là E và H lập thành mặt phẳng vuông góc với phương truyền
sóng k: sóng phẳng đơn sắc là sóng ngang.
Vì k = k.n = (ω/v)n = ω
√
µn, nên ta có thể viết
(5.17) ⇒
√
(n × E) =
√
µH ⇒
√
E =
√
µH. (5.21)
Xét vec-tơ Poynting
Π = [E × H] ⇒ Π = E.H = E
µ
E = H
µ
H
Π = E.H = E
µ
E =
E.E
√
µ
=
E.D
√
µ
= H
µ
H =
H.H
√
µ
=
B.H
√
µ
Π =
1
√
µ
.
E.D + B.H
2
= vw
Π = wv. (5.22)

§ 5.3. Sóng điện từ trong chất dẫn điện 147
Trong chân không
Π = wc
Vậy năng lượng sóng điện từ phẳng đơn sắc truyền đi với vận tốc bằng vận
tốc pha của sóng. Sóng truyền đến đâu năng lượng truyền đến đấy và đối với
sóng phẳng đơn sắc truyền trong điện môi, năng lượng không bị hấp thụ, mất
mát.
Trong thực tế không có sóng điện từ hoàn toàn phẳng và đơn sắc, nhưng
trong nhiều trường hợp có thể coi sóng gần như là phẳng và đơn sắc. Ngoài
ra theo định lí Fourrier, bất kỳ một sóng nào tuần hoàn cũng là tổng hợp của
nhiều sóng phẳng đơn sắc có tần số là bội của số sóng. Do đó việc nghiên cứu
sóng phẳng đơn sắc có ý nghĩa cả về lý thuyết lẫn thực tế.
Nếu E⊥H và cùng vuông góc với phương truyền sóng nhưng không giữ
một phương cố định nào. Ta có sóng không phân cực (ánh sáng thiên nhiên).
Nếu E⊥H và cùng vuông góc với phương truyền sóng nhưng luôn giữ một
phương cố định. Ta có sóng phân cực phẳng. Vectơ đơn vị e theo phương E
trong trường hợp này được gọi là vec-tơ phân cực e//E.
5.3 Sóng điện từ trong chất dẫn điện
Xét sóng điện từ đơn sắc truyền trong vật dẫn đồng chất và vô tận.
Trong vật dẫn, µ, và σ∗
đều khác 0. Do đó có dòng điện dẫn theo định luật
Ohm:
j = σ∗
E.
Nên hai phương trình Maxwell cơ bản của sóng điện từ tự do trong vật dẫn sẽ
có dạng:
rotE = −µ
∂H
∂t
và rotH = j +
∂E
∂t
= σ∗
E +
∂E
∂t
.
Do đó phương trình (5.17) và (5.18) trở thành
k × E = µωH (5.23)
và k × H = −ω − i
σ∗
ω
E vì − i(k × H) = (σ∗
+ iω )E

Đặt
∗
= − i
σ∗
ω
: hệ số điện môi phức (5.24)
và do đó ta cũng có số sóng phức
k∗
=
ω
v
= ω
√ ∗µ ⇒ k∗2
= ω2 ∗
µ = ω2
µ − iω ∗
µ.
Nếu ta viết k∗
= k − is ⇒ k∗2
= k2
− s2
− 2isk
Suy ra 


k2
− s2
= ω2
µ,
2ks = ωσ∗
µ.
(5.25)
Giải hệ phương trình hai ẩn k và s, ta có:
k2
=
ω2
µ
2

1 + 1 +
σ∗
ω
2

 ,
s2
=
ω2
µ
2

−1 + 1 +
σ∗
ω
2

 .
Đối với kim loại ≈ o, σ∗
≈ 107
s/m với ω 5.1015
s−1
thì (σ∗
/( ω))2
1 do
đó
k2
≈
ωµσ∗
2
≈ s2
, (5.26)
s2
≈ s ≈
1
2
ωσ∗µ. (5.27)
Ta viết biểu thức của sóng phẳng trong kim loại:
E = Eo exp i(ωt − k∗
x + α) = Eo exp(−sx) exp i(ωt − kx + α). (5.28)
Như vậy sóng điện từ truyền trong vật dẫn có biên độ giảm dần theo hàm
mũ khi sóng xuyên sâu vào trong vật dẫn.
Tốc độ giảm biên độ đựơc xác định bởi độ xuyên thấu của sóng
d =
1
s
=
2
ωσ∗µ
. (5.29)

§ 5.4. Sóng điện từ trong chất dị hướng 149
Khi sóng truyền qua một quãng đường bằng d, biên độ nó bị giảm đi e =
2,7183 lần tức là cường độ nó giảm e2
≈ 9 lần. Do đó nếu một sóng truyền từ
môi trường ngoài đến mặt ngoài của một vật dẫn có thể coi như là nó bị hấp
thụ hoàn toàn ở độ sâu bằng d = 1
s
. Rõ ràng theo (5.27) tần số sóng càng lớn
tức bước sóng càng ngắn, sóng càng bị hấp thụ nhanh. Năng lượng sóng bị hấp
thụ được dùng để sinh ra dòng điện trong vật dẫn và toả nhiệt Joule-Lenz.
5.4 Sóng điện từ trong chất dị hướng
Trong mọi tinh thể dị hướng bao giờ ta cũng có ba phương theo đó
D//E. Ba phương đó gọi là ba trục chính của tenxơ điện thẩm.
ij =



x 0 0
0 y 0
0 0 z


 . (5.30)
Để đơn giản ta xét bài toán sóng điện từ trong tinh thể dị hướng về E và
đẳng hướng về H. Và ta sẽ sử dụng hệ tọa độ gồm các trục song song với các
trục chính của tenxơ mn. Theo đó phương trình Maxwell có thể viết thành:
k × E = µoωH, (5.31)
k × H = −ωD, (5.32)
kD = 0, (5.33)
kH = 0. (5.34)
Chia hai vế cả 4 phương trình cho k = ω/v, ta có:
n × E − µovH = 0 (5.35)
n × H + vD, = 0 (5.36)
nD = 0, (5.37)
nH = 0. (5.38)
Theo (5.37) và (5.38) mặt phẳng (D, H) vuông góc với phương truyền n
(k). Phương trình (5.35) cho thấy E⊥H và (5.36) cho thấy H⊥D. Do đó

Hình 5.2:
H⊥mp(E, D) hay nói cách khác đi E nằm trong mặt phẳng (D, n) và nó chỉ
vuông góc với n khi D//E, nghĩa là E trùng phương với một trong ba trục
chính.
Rút H từ (5.35) thế vào (5.36) ta được phương trình
n(nE) − E + µov2
D = 0. (5.39)
Ta sẽ dùng phương trình này để nghiên cứu sự truyền sóng điện từ trong chất
dị hướng. Xét các trường hợp sau đây:
1) Trường hợp thứ nhất: D trùng với một trục chính, ta có D = E.
Giả sử D = Dx = xEx, Dy = Ey = Dz = Ez = 0.
Chiếu phương trình (5.39) xuống các trục tọa độ, ta có
(nE)nx − Ex + µov2
xEx = 0, (5.40)
(nE)ny = 0, (5.41)
(nE)nz = 0. (5.42)
Hai phương trình sau cho ta các điều kiện:
-Hoặc ny = nz = o
-Hoặc nE = 0
a) Nếu ny = nz = o: n//E, D (vì D = Dx, E = Ex): sóng dọc.
(5.40) và (nE)nx = Ex ⇒ µov2
xEx = o ⇒ v = 0 hoặc Ex = E = 0 : không có
sóng điện từ.
b) Nếu nE = 0 ⇒ n⊥E: sóng ngang
(5.40) ⇒ µov2
Ex = 1 ⇒ v = 1/
√
µo x: giống trường hợp chất đẳng hướng có

§ 5.5. Sự phân cực của sóng phẳng đơn sắc 151
hằng số điện môi = x
Do đó khi D = Dy ⇒ v = 1/
√
µo y: D trùng với trục chính Oy.
D = Dz ⇒ v = 1/
√
µo z: D trùng với trục chính Oz.
Như vậy vận tốc truyền sóng phụ thuộc phương dao động của vec-tơ D
2) Trường hợp thứ hai: Sóng truyền theo phương của một trục chính. Giả
thiết n = nx(nx = 1, ny = nz = 0). Chiếu xuống các trục tọa độ ta được
µov2
xEx = 0, (5.43)
−Ey + µov2
yEy = 0, (5.44)
−Ez + µov2
zEz = 0. (5.45)
Theo (5.43) Ex = 0: sóng là sóng ngang
Muốn cho hai phương trình sau đồng thời được nghiệm đúng, ta phải có
hoặc Ey = 0 và Ez = 0 ⇒ v =
1
√
µo z
,
hoặc Ey = 0 và Ez = 0 ⇒ v =
1
√
µo y
.
Kết quả tương tự cho trường hợp n trùng với hai trục chính còn lại.
Như vậy, dọc theo một trục chính có thể có hai sóng truyền đi với hai vận
tốc khác nhau. Đó là các sóng có vec-tơ D trùng phương với một trong hai
trục chính còn lại.
Ngược lại, nếu một sóng có vec-tơ D trùng phương với một trục chính, nó
có thể truyền đi theo hai trục chính khác với cùng một vận tốc.
3) Trường hợp tổng quát: Sóng truyền theo một phương bất kỳ. Các vec-tơ
E và D không song song với nhau. Người ta chứng minh được rằng sóng phải
là sóng ngang và ứng với mỗi phương truyền sóng có hai sóng vuông góc với
nhau, lệch pha với nhau và truyền hai vận tốc khác nhau.
5.5 Sự phân cực của sóng phẳng đơn sắc
5.5.1 Định nghĩa:
Chọn Oz là phương truyền sóng: k = kez với k = 2π/λ0. Các vec-tơ trường sóng
điện từ phẳng đơn sắc trực giao với vec-tơ sóng nên nằm trong mặt phẳng sóng

z = const và biểu thức tường minh của E trong hệ tọa độ Descartes (ex, ey, ez)
là
E
Emx cos(ωt − kz + αx)
Emy cos(ωt − kz + αy)
0
ở đây để biểu diễn hướng phân cực tùy ý ta sẽ cho pha ban đầu trong mỗi
phương ex, ey mỗi khác nên ta có biểu thức như trên; theo đó vec-tơ cảm ứng
từ trường B = k × E/ω = ez × E/c, nên có các thành phần trên ba trục tọa
độ
B
−(Emy/c) cos(ωt − kz + αy)
(Emx/c) cos(ωt − kz + αx)
0
Theo định nghĩa, hướng phân cực là hướng của vec-tơ cường độ điện trường.
Theo ký hiệu phức, ta viết:
E = Emei(ωt−kr)
với Em = Emxeiαx
ex + Emyeiαy
ey
Ta ký hiệu
Emx = Emxeiαx
và Emy = Emyeiαy
ta rút ra được tỷ số:
r =
Emy
Emx
=
Emy
Emx
ei(αy−αx)
≡ reiα
r = |r| =
Emy
Emx
và α = arg r = αy − αx
theo thứ tự là tỷ số các biên độ thực và độ lệch pha giữa các thành phần của
E trên hai trục tọa độ Ey và Ex.
5.5.2 Các trạng thái phân cực khác nhau của sóng điện
từ phẳng đơn sắc:
Một trạng thái phân cực được đặc trưng bởi sự biến thiên theo thời gian của
điện trường trong mặt phẳng sóng. Một cách chính xác hơn, người ta khảo sát

chuyển động của biên độ E của vec-tơ điện trường E tại một điểm bất kỳ M
có tọa độ z0 trên trục truyền sóng sao cho kz0 +αx = 0; nếu αx = 0 thì z0 = 0.
Ta có:
E(z0, t) = Emx cos(ωt)ex + Emy cos(ωt − α)ey
Hình 5.3: Phân cực ellip
α) Phân cực ellip
Khi số phức r có giá trị bất kỳ, đó là khi các đại lượng Emx, Emy và α
không có các giá trị đặc biệt, thì phân cực là ellip vì ngọn M của vec-tơ cường
độ điện trường vạch nên trong mặt phẳng sóng Oxy một quỹ đạo ellip nội tiếp
một hình chữ nhật có các cạnh là 2Emx và 2Emy (xem hình 5.3a).
Ta biến đổi tìm phương trình quỹ đạo bằng cách biến đổi khử t giữa hai
thành phần
Ex = Emx cos(ωt) và Ey = Emy cos(ωt−α) =⇒ cos(ωt) =
Ex
Emx
, cos(ωt−α) =
Ey
Emy
Ta có hệ thức biến đổi lượng giác
cos(ωt − α) = cos ωt cos α + sin ωt sin α
suy ra
Ey
Emy
=
Ex
Emx
cos α + 1 −
E2
x
E2
mx
1/2
sin α
chuyển vế số hạng thứ nhất vế phải sang vế trái rồi bình phương hai vế, biến
đổi, ta rút ra được
E2
x
E2
mx
+
E2
y
E2
my
−
2ExEy
EmxEmy
cos α = sin2
α

Như vậy thành phần dao động hình sin có cùng tần số góc trên hai trục tọa
độ cho ta một dao động ellip; kết quả này được thể hiện rất rõ trên một dao
động ký.
Chiều quay của đường ellip có thể thu được bằng cách lấy đạo hàm ở thời
điểm ban đầu
dE
dt
z0,0
= ωEmy sin αey
Nếu α ∈]0, π[, chiều quay trùng với chiều quay lượng giác (tức là từ ex sang
ey). Trong quang học người ta gọi là sóng phân cực trái, vì vec-tơ E quay về
phía trái của quan sát viên đang nhìn sóng; trường hợp vec-tơ điện trường E
quay theo chiều ngược lại, ta có sóng phân cực phải. Chiều này cũng có liên
hệ với hướng của vec-tơ (E × dE/dt) so với hướng của vec-tơ sóng k
E ×
dE
dt
z0,0
ez = ωEmy sin α
Nếu α ∈]o, π[, độ xoắn được gọi là dương (hình 5.3b). Nếu α ∈]π, 2π[, sóng
phân cực phải và độ xoắn âm (hình 5.3c).
β) Phân cực thẳng
Khi α = 0 hay π, tỷ số biên độ phức là thực:
r =
Emy
Emx
= ±
Emy
Emx
= ±r
Hai thành phần biến thiên đồng pha (α = 0) hoặc ngược pha nhau (α = π) và
vec-tơ cường độ điện trường luôn giữ một phương cố định trong không gian
(xem hình 5.4). Người ta nói rằng sự phân cực là thẳng hay sóng được phân
cực thẳng.
Cấu trúc của một sóng phẳng chạy hình sin phân cực thẳng rất đơn giản
vì các vec-tơ trường E, H luôn giữ một phương không đổi trong không gian
đối với phương truyền sóng. Mặt phẳng được tạo nên bởi hai vec-tơ E và k
được gọi là mặt phẳng phân cực.
Chọn phương vec-tơ cường độ điện trường là phương Ox (Emx = Em, Emy =
0), ta có
E = Emex cos(ωt − kz) và B =
ez × E
c
=
Emey
c
cos(ωt − kz)

Hình 5.4: Phân cực thẳng (Polarization rectiligne)
Cấu trúc của sóng được thể hiện trên hình 5.5.
Hình 5.5: Sóng điện từ phân cực thẳng
γ) Phân cực tròn
Khi α = ±π/2, tỷ số biên độ phức các thành phần của điện trường là một
số ảo:
r =
Emy
Emx
= ±i
Emy
Emx
= ±ir
Hai thành phần này là trễ pha một góc vuông nếu α = π/2 và sớm pha một
góc vuông nếu α = −π/2. Các trục chính của ellip trùng với các trục Ox và
Oy (hình 5.6)
Hình 5.6: Sóng điện từ phân cực tròn

Em
Emx
±irEmx
0
E
Emx cos(ωt − kz)
±rEmx sin(ωt − kz)
0
Nếu các biên độ thực của các thành phần bằng nhau: Emx = Emy = E0 hay
r = ±i, suy ra
E(z0, t) = Em cos(ωt)ex+Em cos ωt ±
π
2
ey hay E(z0, t) = Em cos(ωt)ex±Em sin (ωt) ey
E2
x + E2
y = E2
m
Điểm M vạch nên một vòng tròn bán kính E0 trong mặt phẳng sóng. Sự phân
cực được gọi là tròn: phân cực là tròn trái nếu α = π/2 (độ xoắn dương) và
phân cực tròn phải nếu α = −π/2 (độ xoắn âm) (xem hình 5.6).
5.5.3 Biểu diễn Jones
a) Vec-tơ Jones của trạng thái phân cực sóng điện từ phẳng chạy
đơn sắc.
Trạng thái của của một sóng phẳng đơn sắc được đặc trưng hoàn toàn bởi
việc cho hai thành phần của điện trường trong mặt phẳng sóng, chẳng hạn
như z = z0. Theo đề xuất của R. C. Jones (1941), trạng thái này có thể được
biểu diễn bởi một ma trận cột hai hàng tỉ lệ với các biên độ phức của điện
trường:
Emx
Emy
=
Emxeiαx
Emyeiαy
= Emxeiαx
1
reiα
Ta định nghĩa tích vô hướng với giá trị phức giữa hai vec-tơ phức E, F bằng
hệ thức
EF
∗
= ExF∗
x + EyF∗
y = EmxF∗
mx + EmyF∗
my
Hai vec-tơ này biểu diễn hai trạng thái phân cực trực giao nếu EF
∗
= 0.
Mô-đun của vec-tơ phức E là
E0 = E = (EE
∗
)1/2
= (E2
mx + E2
my)1/2
= Emx(1 + r2
)1/2

Không nên lẫn lộn đại lượng này với mô-đun của vec-tơ thực là đại lượng có
giá trị
E = (E2
x + E2
y )1/2
Thực vậy, đối với phân cực tròn ta có
Emx = Emy = Em theo đó E0 = E = (E2
mx + E2
my)1/2
= 2E2
m = Em
√
2
trong khi đó mô-đun của E có giá trị
E = E = (E2
x + E2
y)1/2
= Em
Trong trường hợp đặc biệt của sóng phân cực thẳng, hai đại lượng này trùng
nhau: E = E . Thật vậy, vì
Emx = Em và Emy = 0
nên
E0 = E = (E2
mx + E2
my)1/2
= Em và E = E = (E2
x + E2
y )1/2
= Em
Một cách tổng quát, người ta chuẩn hóa ma trận cột được hình thành bởi
các thành phần phức của vec-tơ cường độ điện trường và thu được một vec-tơ
phức e có độ lớn bằng đơn vị, được gọi là vec-tơ Jones, và được biểu diễn dưới
dạng ma trận cột hai thành phần dưới đây
ex
ey
=
1
E0
Emx
Emy
=
Emx
E0
1
reiα
=
eiαx
√
1 + r2
1
reiα
nếu chọn αx = 0, ta có
ex
ey
=
1
√
1 + r2
1
reiα
Cũng vậy, một trạng thái phân cực thẳng (α = 0, π) được biểu diễn trong mặt
phẳng sóng bởi
1
√
1 + r2
1
±r
=
cos β
sin β
với β = Arctg(±r)

b) Các hệ cơ sở khác nhau của biểu diễn
Hai trạng thái phân cực thẳng đặc biệt eh theo phương Ox và ev theo
phương Oy được viết bằng
eh =
1
0
và ev =
0
1
chúng tạo thành một hệ trực giao vì: ehe∗
h = eve∗
v = 1 và ehe∗
v = 0. Trong hệ
vec-tơ cơ sở này, một trạng thái phân cực bất kỳ là tổ hợp tuyến tính của hai
trạng thái đó. Chẳng hạn
Emx
E0
1
reiα
=
eiαx
√
1 + r2
1
reiα
=
eiφx
√
1 + r2
1
0
+
eiφy
√
1 + r2
0
1
Khi phân cực tròn, hai trạng thái phân cực: tròn trái eg(α = +π/2, r = 1) và
tròn phải ed(α = −π/2, r = 1) được biểu diễn bởi các vec-tơ Jones sau:
1
√
2
1
i
và
1
√
2
1
−i
Ta có thể biểu diễn chúng thành tổ hợp tuyến tính của hai trạng thái phân
cực thẳng eh và ev như sau:
1
√
2
1
±i
=
1
√
2
1
0
±
i
√
2
0
1
hay
eg =
1
√
2
(eh + iev) và ed =
1
√
2
(eh − iev)
Việc biểu diễn một trạng thái phân cực bất kỳ bằng sự chồng chất tuyến tính
hai trạng thái phân cực thẳng được sử dụng rộng rãi để khảo sát sự phẩn xạ
của một sóng trên một bề mặt phân cách hai môi trường. Các vec-tơ cơ sở eg
và ed cũng tạo thành một hệ cơ sở trực giao (ege∗
g = ede∗
d = 1 và ede∗
g = 0) cho
phép biểu diễn một trạng thái phân cực bất kỳ. Đặc biệt là:
eh =
1
√
2
(ed + eg) và ev =
i
√
2
(ed − eg)

§ 5.6. Phản xạ và khúc xạ của sóng điện từ ở mặt giới hạn hai điện môi 159
Hệ vec-tơ cơ sở này cho phép ta diễn tả hiện tượng phân cực quay, đó là sự
quay mặt phẳng phân cực của của sóng phân cực thẳng khi đi qua một chất
nào đó. Trong vật lý lượng tử, hai trạng thái phân cực tròn g và d tương ứng
với hai trạng thái của mômen động lượng của spin (+ và − ) của các photon
liên kết với sóng điện từ phẳng đơn sắc.
Ký hiệu Jones tỏ ra rất thuận lợi để khảo sát ảnh hưởng của các bản tinh
thể lên lên đường đi của chùm tia sáng để tạo ra và phân tích ánh sáng bị
phân cực. Hoạt động của bản tinh thể cũng được biểu thị bằng ma trận vuông
2 × 2.
5.6 Phản xạ và khúc xạ của sóng điện từ ở
mặt giới hạn hai điện môi
Giả sử có hai điện môi 1 và 2 giới hạn bằng một mặt phẳng và có một
sóng điện từ phẳng đơn sắc truyền từ điện môi 1 theo phương k1 tới điểm P và
phản xạ theo phương k1 trở lại điện môi 1 đồng thời khúc xạ một phần theo
phương k2 vào điện môi 2.
Vì ta đã biết sự liên hệ giữa các thành phần E và H nên ở đây để đơn giản
ta chỉ xét E.
Hình 5.7:
Gọi r là bán kính vec-tơ của điểm P (chú ý rằng gốc O khác P) và chọn
gốc thời gian thích hợp để pha ban đầu của sóng α = 0. Ta có được phương

trình các sóng k1, k1, k2:
E1 = E1 expi(ω1t − k1r), (5.46)
E2 = E2 expi(ω2t − k2r), (5.47)
E1 = E1 expi(ω1t − k1r), (5.48)
trong đó E1, E2, E1: biên độ các sóng; ω1, ω2, ω1: tần số góc của các sóng.
Vì không có điện tích nên điều kiện biên tổng quát E1t = E2t trong trường
hợp này được viết:
E1t + E1t = E2t. (5.49)
Chọn mặt giới hạn là mặt xOy, ta viết điều kiện biên (5.49) bằng cách
chiếu xuống mặt phẳng xOy với lưu ý: r = xi + yj vì OP ∈ xOy.
E1t exp i(ω1t − xk1 cos a1 − yk1 cos b1) + E1t exp i(ω1t − xk1 cos a1 − yk1 cos b1)
= E2t exp i(ω2t − xk2 cos a2 − yk2 cos b2) (5.50)
trong đó cos a1, cos b1, ... là cosin chỉ phương của các vec-tơ sóng k1, k2, ....
Lưu ý rằng điều kiện biên không phụ thuộc vào thời gian và tọa độ r. Do
đó (5.50) nghiệm đúng khi các hàm mũ luôn bằng nhau với mọi t, x, y. Muốn
thế ta phải có
ω1 = ω1 = ω2 ≡ ω, (5.51)
k1 cos a1 = k1 cos a1 = k2 cos a2, (5.52)
k1 cos b1 = k1 cos b1 = k2 cos b2. (5.53)
Điều kiện (5.51) cho kết quả là tần số sóng không thay đổi khi phản xạ hoặc
khúc xạ và bằng ω.
Biết k = ω/v nên (5.52) và (5.53) cho ta:
ω
v1
cos a1 =
ω
v1
cos a1 =
ω
v2
cos a2 ⇒ a1 = a1, (5.54)
ω
v1
cos b1 =
ω
v1
cos b1 =
ω
v2
cos b2 ⇒ b1 = b1. (5.55)
Chọn mặt xOz chứa k1, thì cos b1 = 0. Theo (5.55) cos b1 = cos b2 = 0,
nghĩa là k1 và k2 nằm trong mặt phẳng xOz.

Hình 5.8:
Hình 5.9:
Vậy: Sóng tới, sóng phản xạ và sóng khúc xạ đều nằm trong mặt phẳng
tới.
Theo hình vẽ 5.5 thì a1 = a1. Suy ra định luật Descartes về phản xạ
α1 = α1 : góc tới bằng góc phản xạ. (5.56)
Theo (5.55) vế còn lại
ω
v1
cos a1 =
ω
v2
cos a2 ⇔
ω
v1
sin α1 =
ω
v2
sin α2,
cho ta định luật khúc xạ của Descartes
sin α1
sin α2
=
v1
v2
=
2µo
1µo
=
2
1
= n12, (5.57)

α1: góc tới, α1: góc phản xạ, α2: góc khúc xạ, n12: chiết suất của điện môi 2
đối với điện môi 1.
Vậy Tỉ số sin góc tới với sin góc khúc xạ bằng chiết suất của điện môi 2
đối với điện môi 1.
Rõ ràng các định luật phản xạ và khúc xạ sóng điện từ giống như các định
luật phản xạ và khúc xạ ánh sáng mà trước đó đã được phát hiện bằng thực
nghiệm.
Chúng ta tiếp tục xét kỹ hơn sự phản xạ của sóng điện từ ở mặt giới hạn.
Theo (5.35) thì
√
(n × E) =
√
µH ⇒
√
E =
√
µH. (5.58)
Ta thường gọi vec-tơ điện trường E là vec-tơ ánh sáng. Ta xét hai trường hợp
riêng của sóng phân cực phẳng
- Vectơ ánh sáng của sóng tới nằm trong mặt phẳng tới,
- Vectơ ánh sáng của sóng tới thẳng góc mặt phẳng tới.
1) Trường hợp E nằm trong mặt phẳng tới
Giả sử k1 và E1 có chiều như hình 5.6. Vectơ từ trường H hướng theo chiều
dương trục Oy (vuông góc hình vẽ hướng từ ngoài vào trong).
Vì k, E, H làm thành một tam diện thuận nên chúng phải có phương, chiều
như hình 5.10.
Hình 5.10:

Điều kiện biên cho điện trường
E1x + E1x = E2x
−E1 cos α1 + E1 cos α1 = −E2 cos α2
hay E1 cos α1 − E1 cos α1 = E2 cos α2
(E1 − E1) cos α1 = E2 cos α2. (5.59)
Điều kiện biên cho từ trường
H1x + H1x = H2x với 1 = 2 và µ1 = µ2 = µo,
√
1(E1 + E1) =
√
2E2. (5.60)
Áp dụng
sin α1
sin α2
=
2
1
= n12,
ta có 


E1 − E1 = E2
cos α2
cos α1
E1 + E1 = E2
2
1
= E2
sin α1
sin α2
(5.61)
Từ đó suy ra
2E1 = E2
sin α2 cos α2 + sin α1 cos α1
cos α1 sin α2
,
2E1 = E2
sin α1 cos α1 − sin α2 cos α2
sin α2 cos α1
. (5.62)
Suy ra
E1
E1
=
=
tg(α1 − α2)
tg(α1 + α2)
.
Lưu ý rằng
tg(α1 − α2) =
sin(α1 − α2)
cos(α1 − α2)
=
cos α1 cos α2 + sin α1 sin α2
,
tg(α1 + α2) =
sin(α1 + α2)
cos(α1 + α2)
=
cos α1 cos α2 − sin α1 sin α2
,

tg(α1 − α2)
tg(α1 + α2)
=
(sin α1 cos α2 − sin α2 cos α1)(cos α1 cos α2 − sin α1 sin α2)
(cos α1 cos α2 + sin α1 sin α2)(sin α1 cos α2 + sin α2 cos α1)
,
=
.
Vậy
E1 = E1
tg(α1 − α2)
tg(α1 + α2)
. (5.63)
2) Trong trường hợp thứ hai: E vuông góc với mp tới, nghĩa là nếu thay H
cho E trong hình vẽ 5.10 thì E sẽ có hướng từ trong ra ngoài mặt phẳng hình
vẽ, tức hướng theo chiều âm của trục y.
Ta có điều kiện biên cho điện trường ở đây:
E1x + E1x = E2x. (5.64)
Điều kiện biên cho từ trường
H1x + H1x = H2x, (5.65)
hay H1 cos α1 − H1 cos α1 = H2 cos α2,
(H1 − H1) cos α1 = H2 cos α2 lưu ý
√
µoHi =
√
iEi,
√
1(E1 − E1) cos α1 =
√
2E2 cos α2 và vì
√
2 sin α2 =
√
1 sin α1,
(E1 − E1) sin α2 cos α1 = E2 cos α2 sin α1. (5.66)
Từ (5.64) và (5.66) ta suy ra
E1 = −E1
sin(α1 − α2)
sin(α1 + α2)
. (5.67)
Vì cường độ sáng tỉ lệ với mật độ năng lượng, nghĩa là tỉ lệ với bình phương
biên độ điện trường, nên người ta đặc trưng cho sự phản xạ bằng hệ số phản
xạ
R =
E 2
1
E2
1
≤ 1. (5.68)
Đối với trường hợp thứ nhất
R// =
tg2
(α1 − α2)
tg2(α1 + α2)
. (5.69)

Đối với trường hợp thứ hai
R⊥ =
sin2
(α1 − α2)
sin2
(α1 + α2)
. (5.70)
Đây là các công thức của Fresnel về sự phản xạ ánh sáng.
Ta xét sự biến thiên của R theo α1 ∈ [0, π/2]
* Khi α1 = 0 ⇒ α2 = 0,
sin(α1 − α2)
sin(α1 + α2)
=
sin α1
sin α2
−
cos α1
cos α2
sin α1
sin α2
+
cos α1
cos α2
→
n12 − 1
n12 + 1
.
Do đó khi α1 = 0 thì R// = R⊥ = Ro = (n12 − 1)2
/(n12 + 1)2
.
Khi α1 = π/2 thì R// = R⊥ = 1.
Khi α1 tăng dần từ 0 → π/2 thì R⊥ tăng dần từ Ro đến 1 nhưng R// biến
thiên từ Ro đến 1 qua cực tiểu bằng 0 khi α1 = α2 = π/2. Khi đó α1 = αo ứng
với tgαo = n12, góc α1 = αo gọi là góc phân cực hoàn toàn hay góc Brewster.
Như vậy trong trường hợp vec-tơ ánh sáng nằm trong mặt phẳng tới, khi
góc tới bằng góc Brewster thì toàn bộ ánh sáng truyền sang môi trường 2,
trong điện môi 1 không có ánh sáng phản xạ.
Trong thực tế, vec-tơ ánh sáng có phương bất kỳ. Ta nói rằng ánh sáng
chưa phân cực. Phân tích vec-tơ ánh sáng ra thành hai thành phần một nằm
trong mặt phẳng tới E// và một thẳng góc với mặt phẳng tới E⊥. Độ phân cực
của ánh sáng phản xạ được định nghĩa:
P =
E 2
⊥ − E 2
//
E 2
⊥ + E 2
//
=
R⊥ − R//
R⊥ + R//
(5.71)
Khi α1 = 0, R⊥ = R// = 0 ⇒ P = 0: ánh sáng không bị phân cực
Khi α1 = αo, R// = 0 và R⊥ = 1: ánh sáng phản xạ bị phân cực hoàn toàn.
Trong ánh sáng phản xạ chỉ còn lại thành phần vuông góc của vec-tơ điện
trường và lúc đó α1 + α2 = π
2
: hai góc tới và khúc xạ phụ nhau do đó αo được
gọi là góc phân cực hoàn toàn.
Khi α = π
2
ta có R⊥ = R// ⇒ P = 0: ánh sáng phản xạ không bị phân cực.

5.7 Sự bức xạ ra sóng điện từ. Thế trễ
Muốn nghiên cứu sự phát ra sóng điện từ, ta phải xét cả nguyên nhân
phát sinh ra sóng, tức là xét đến cả hệ điện tích và dòng điện phát sinh ra
sóng điện từ. Ta phải dùng những phương trình Maxwell tổng quát nhất có cả
điện tích và dòng điện biến thiên nhanh theo thời gian.
divD = ρ, (5.72)
divB = 0, (5.73)
rotE = −
∂B
∂t
, (5.74)
rotH = j +
∂D
∂t
. (5.75)
5.7.1 Thế vô hướng và thế vec-tơ:
Từ phương trình các phương trình (5.72) và (5.73), ta rút ra được các định
nghĩa và tính chất của thế vec-tơ và thế vô hướng
(5.73) ⇒ B = rotA, A = A + gradu; (5.76)
(5.74) ⇒ E = −gradϕ −
∂A
∂t
, ϕ = ϕ −
∂u
∂t
. (5.77)
Đối với sóng điện từ ta chọn điều kiện định cỡ Lorentz
divA + µ
∂ϕ
∂t
= 0, (5.78)
nó sẽ làm cho phương trình thế có dạng đơn giản nhất. Nếu A và ϕ cũng là
thế vô hướng và thế vec-tơ của trường thì chúng phải thoả mãn điều kiện định
cỡ Lorentz:
divA + µ
∂ϕ
∂t
= 0.
div(A + u) + µ
∂
∂t
(ϕ −
∂u
∂t
) = 0,
divA + µ
∂ϕ
∂t
+ 2
u − µ
∂2
u
∂t2
= 0,

§ 5.7. Sự bức xạ ra sóng điện từ. Thế trễ 167
2
u − µ
∂2
u
∂t2
= 0. (5.79)
Rõ ràng u phải là nghiệm của phương trình sóng D’ Alembert thì nó mới thoả
mãn điều kiện định cỡ của trường.
5.7.2 Các phương trình thế vec-tơ và thế vô hướng:
Giả thiết môi trường đồng nhất B = µH và D = E. Từ (5.75) nhân
hai vế cho µ, ta có
rot(µH) = µj + µ
∂E
∂t
, vì B = µH = rotA nên
rot(rotA) = grad(divA) − 2
A = µj + µ
∂E
∂t
,
còn
E = −gradϕ −
∂A
∂t
nên grad(divA) − 2
A = µj + µ
∂
∂t
(−gradϕ −
∂A
∂t
),
grad(divA + µ
∂ϕ
∂t
) − 2
A = µj + µ
∂2
A
∂t2
,
ta thu được phương trình thế vec-tơ có dạng đơn giản
2
A − µ
∂2
A
∂t2
= −µj. (5.80)
Ta tìm tiếp phương trình cho thế vô hướng. Từ (5.72)
divD = ρ ⇒ divE =
ρ
=⇒ div(−gradϕ −
∂A
∂t
) =
ρ
,
− 2
ϕ −
∂
∂t
divA =
ρ
mà divA + µ
∂ϕ
∂t
= 0
nên
− 2
ϕ + µ
∂2
ϕ
∂t2
=
ρ
nhân hai vế cho −1, ta thu được phương trình thế vô hướng của trường điện
từ
2
ϕ − µ
∂2
ϕ
∂t2
= −
ρ
. (5.81)
Như vậy do cách chọn điều kiện định cỡ Lorentz, ta có phương trình thế
vec-tơ (5.80) và thế vô hướng (5.81) có cùng dạng toán học như nhau.

5.7.3 Nghiệm của các phương trình thế. Thế trễ:
Từ các phương trình thế:
2
A − µ
∂2
A
∂t2
= −µj,
2
ϕ − µ
∂2
ϕ
∂t2
= −
ρ
chia hai vế phương trình thế vô hướng với v = 1/
√
µ, sau đó nhân cả tử số
và mẫu số của vế phải phương trình mới cho v, ta thu được phương trình
2 ϕ
v
− µ
∂2
∂t2
ϕ
v
= −µρv.
Đặt
ψ1(r, t) = Ax(r, t); ψ2(r, t) = Ay(r, t); ψ3(r, t) = Az(r, t); ψ4(r, t) = ϕ(r, t)/v;
j1(r, t) = jx(r, t); j2(r, t) = jy(r, t); j3(r, t) = jz(r, t)j4(r, t) = ρv.
Theo đó ta có thể viết chung cả hai phương trình trên dưới dạng:
2
ψα(r, t) − µ
∂2
ψα(r, t)
∂t2
= −µjα, α = 1, 2, 3, 4. (5.82)
Đây là phương trình sóng D’ Alembert có vế phải.
* Nếu jα = 0, trong toàn thể không gian, ta có sóng điện từ tự do đã xét.
* Nếu jα = 0 với jα(r, t) trong miền thể tích V hữu hạn nào đó thì nghiệm
của phương trình D’ Alembert đối với toàn bộ không gian có dạng:
ψα(R, t) =
µ
4π V
jα(r , t ± r
v
)
r
dV ; r = |R − r |. (5.83)
v = 1/
√
µ: vận tốc pha hay vận tốc truyền sóng
Trong nghiệm trên ψα(R, t): hàm biểu diễn trạng thái điện từ trường còn
jα(r , t ± r
v
): hàm biểu diễn trạng thái của nguồn gây ra điện từ trường.
- Với jα(r , t − r/v): trạng thái của điện từ trường tại thời điểm P(r) do
trạng thái của nguồn ở thời điểm t − r/v xác định tức là trước thời gian t một
thời khoảng r/v là khoảng thời gian cần thiết để truyền sóng điện từ từ nguồn

§ 5.8. Bức xạ của lưỡng cực 169
Hình 5.11:
tới điểm quan sát. Trong trường hợp này, sự biến thiên của thế xảy ra muộn
hơn so với sự biến thiên của nguồn cho nên thế tại điểm quan sát được gọi là
thế trễ.
Vậy: Thế trễ truyền đi từ nguồn ra theo mọi phương của không gian.
- Với jα(r , t + r/v): sự biến thiên của thế ở điểm quan sát xảy ra sớm hơn
so với sự biến thiên của nguồn nên được gọi là thế sớm. Thế sớm truyền từ
mọi phương của không gian về nguồn, người ta chưa tìm được ý nghĩa vật lý
của nó nên chưa được dùng đến.
5.8 Bức xạ của lưỡng cực
Xét một miền không gian hữu hạn V trung hoà điện, V
ρdV = 0,
nhưng ρ = ρ(r , t) = 0; j = j(r , t) = 0 và không có dòng điện tích đi ra hoặc
đi vào trong miền V . Một hệ như vậy là một nguồn bức xạ ra sóng điện từ. Vì
ta có thể coi hệ như một lưỡng cực biến thiên theo thời gian nên nó được gọi
là lưỡng cực bức xạ với mômen lưỡng cực p ≡ V
ρr dV .
Xét một điểm P ở cách xa lưỡng cực và chọn gốc tọa độ trong miền V
(hình 5.12), ta có: r ≈ R r .
Chúng ta có thể áp dụng (5.83) để tính thế vec-tơ A và thế vô hướng ϕ
của điện từ trường do lưỡng cực bức xạ gây ra.

Hình 5.12:
5.8.1 Thế vô hướng của lưỡng cực bức xạ:
Xét môi trường chân không, µ = oµo = 1/c2
.
Theo (5.83), cho chỉ số α = 4, biến đổi về biểu thức thế vô hướng, ta viết
được:
ϕ(R, t) =
1
4π o V
ρ(r , t − r
c
)
r
dV. (5.84)
Vì r = |R − r | và r R, ρ∗
≡ ρ(t − r
c
), nên ta có thể khai triển lượng trong
dấu tích phân theo chuỗi Taylor:
ρ∗
|R − r |
=
ρ∗
R
− (r )
ρ∗
R
+ ...
=
ρ∗
R
−
ρ∗
r
R
+
ρ∗
R
(r ) + ...
≈
ρ∗
R
−
ρ∗
r
R
.
lưu ý V
và lấy theo r nên R = const và V
ρ∗
dV = 0, ta tính được
ϕ(R, t) =
1
4π oR V
ρ∗
dV −
1
4π o
div
1
R V
r ρ∗
dV
= −
1
4π o
div
p∗
R
ϕ(R, t) = −
1
4π o
div
p(t − r
c
)
R
. (5.85)

5.8.2 Thế vec-tơ của lưỡng cực bức xạ
Theo (5.83), cho chỉ số α = 1, 2, 3, biến đổi về biểu thức thế vec-tơ A =
A1ex + A2ey + A3ez, ta viết được
A(R, t) =
µo
4π V
j(r , t − r
c
)
r
dV.
Khai triển lượng j∗
/r = j(r , t − r/c)/|R − r | theo chuỗi với R ≈ r r , ta
có:
j∗
r
=
j∗
|R − r |
=
j∗
R
− (r )
j∗
R
+ ...
nên
A =
µo
4π V
j∗
r
dV −
µo
4π V
(r )
j∗
R
dV.
Vì lượng V
j∗
/RdV = (1/R) V
j∗
dV = 0 nên ta bỏ qua số hạng bé hơn (bậc
hai) phía sau nó, nghĩa là:
A ≈
µo
4π V
j∗
dV. (5.86)
Lấy đạo hàm theo thời gian đẳng thức p∗
= V
r ρ∗
dV , ta được
∂p∗
∂t
=
V
r
∂ρ∗
∂t
dV.
Thay phương trình liên tục −divj∗
= ∂ρ∗
/∂t vào ta được:
∂p∗
∂t
= −
V
r divj∗
dV.
Nhân hai vế với vec-tơ bất kỳ không đổi a:
a
∂p∗
∂t
= −
V
(ar )divj∗
dV.
Theo giải tích vec-tơ, div(uA) = Agradu + udivA, ta viết được
−ar divj∗
= j∗
grad(ar ) − div[(ar )j∗
],

vì div, grad lấy đạo hàm theo r nên
−ar divj∗
= aj∗
− div[(ar )j∗
]
trong đó ta đã sử dụng công thức giải tích vec-tơ
grad(ar ) = a × (rotr ) + r × (rota) + (a )r + (r )a = (a )r = a.
Vậy
a
∂p∗
∂t
= a
V
j∗
dV −
S
[(ar )j∗
]dS.
Vì không có dòng điện chảy qua mặt kín S bao quanh V nên tích phân thứ
hai vế phải bằng không. Ta có:
a
∂p∗
∂t
= a
V
j∗
dV, ∀a,
nên
∂p∗
∂t
=
V
j∗
dV.
Do đó biểu thức thế vec-tơ của lưỡng cực bức xạ trở thành:
A(R, t) =
µo
4πR
∂p∗
∂t
=
µo
4π
˙p∗
R
. (5.87)
5.8.3 Điện từ trường của dao động tử tuyến tính:
Ta hãy khảo sát một phần tử bức xạ đơn giản nhất là dao động tử
Hertz (dipole Hertz). Đó là một đoạn dây dẫn thẳng, dài , trên có một dòng
điện I chạy qua đồng đều theo chiều dài. Theo định luật bảo toàn điện tích,
có thể tồn tại một dòng điện như vậy nếu ở hai đầu dây dẫn có các điện tích
+q và −q biến đổi theo thời gian. Các điện tích này có liên hệ với dòng điện
bởi hệ thức:
I = −
dq
dt
.
Nếu đối với một điểm quan sát P rất xa dao động tử Hertz thì ta thấy điện
từ trường tạo bởi dao động tử có thể xem như là điện từ trường tạo bởi một
lưỡng cực điện có momen lưỡng cực biến thiên tuần hoàn. Dao động tử tuyến

tính là dao động tử mà momen lưỡng cực có phương cố định. Momen đó biến
thiên theo quy luật:
p(t) = pof(t). (5.88)
Xét trong trường hợp môi trường là chân không, = o, µ = µo, v =
1/
√
oµo = c. Trong đó po là một vec-tơ không đổi, f(t) là một hàm vô hướng
tuần hoàn theo thời gian.
Lưu ý rằng tại điểm quan sát P, biểu thức của thế vec-tơ A(R, t) và thế
vô hướng ϕ(R, t) phải được tính toán với
p∗
= pof∗
, f∗
= f(t ) và t = t −
R
c
. (5.89)
Ta có
∂f∗
∂t
=
∂f∗
∂t
.
∂t
∂t
=
∂f∗
∂t
= ˙f∗, (5.90)
f∗
=
∂f∗
∂t
.
∂t
∂R
=
∂f∗
∂t
t = ˙f∗ (t −
R
c
)
= −
n
c
˙f∗ (lưu ý =
∂
∂R
). (5.91)
Tương tự ta có
˙f∗ = −
n
c
¨f∗. (5.92)
Sau đây ta chỉ tính các đại lượng đặc trưng cho điện từ trường tạo bởi dao
động tử tuyến tính ở các điểm P rất xa so với kích thước dao động tử. Nghĩa
là R r và 1/R 1/Rn
, n ≥ 2. Do đó ta sẽ bỏ qua các số hạng chứa 1/R2
trở lên trong phép tính. Áp dụng (5.87) để tính cảm ứng từ B
B = rotA = rot
µo
4π
˙p∗
R
=
µo
4π
rot
˙p∗
R
,
vì
rot
˙p∗
R
= (
1
R
) × ˙p∗
+
1
R
rot ˙p∗
= −
1
R3
R × ˙p∗
+
1
R
rot ˙p∗
=
1
R
rot(po. ˙f∗) =
1
R
(grad ˙f∗ × po) +
˙f∗
R
rotpo
=
1
R
po ×
n
c
¨f∗ =
1
Rc
( ¨∗
p × n)

Do vậy
B =
µo
4πRc
(¨p∗
× n), (5.93)
H =
1
4πRc
(¨p∗
× n). (5.94)
Áp dụng (5.85) và (5.87), ta có
E = −gradϕ −
∂A
∂t
= −grad
1
4π o
div
p∗
R
−
µo
4πR
¨p∗
.
Ta có
div
p∗
R
= p∗
grad
1
R
+
po
R
gradf∗
=
po
R
−
n
c
. ˙f∗ = −
1
Rc
(n ˙p∗
),
graddiv
p∗
R
= −
1
c
grad
n ˙p∗
R
= −
n ˙p∗
c
grad
1
R
−
1
Rc
grad(n ˙p∗
)
= −
npo
Rc
grad ˙f∗ =
n(npo)
Rc2
¨f∗ =
n(n¨p∗
)
Rc2
Do đó
E =
n(n¨p∗
)
4π oRc2
−
µo
4πR
¨p∗
=
µo
4πR
[n(n¨p∗
) − ¨p∗
(nn)]
=
µo
4πR
(¨p∗
× n) × n . (5.95)
5.8.4 Tính chất của điện từ trường tạo bởi dao động tử
tuyến tính:
Xét các biểu thức
A(R, t) =
µo
4π
˙p∗
R
; ϕ(R, t) =
1
4π o
div
p∗
R
H(R, t) =
1
4πRc
[¨p∗
× n]; E(R, t) =
µo
4πR
[[¨p∗
× n] × n]. (5.96)
Rõ ràng các đại lượng đặc trưng cho trường tại điểm P đều phụ thuộc vào
p∗
, ˙p∗
, và ¨p∗
là những hàm theo t = t − R/v. Như vậy sóng điện từ của dao

động tử tuyến tính truyền từ dao động tử ra xa theo mọi phương trong không
gian. Tại những điểm xa nguồn bức xạ thì các điểm nằm trên mặt cầu tâm
dao động tử, bán kính R đều có cùng pha, nghĩa là các đại lượng E, H, A, ϕ
đều có cùng giá trị pha như nhau ứng với cùng thời điểm t. Như vậy mặt cầu
là mặt sóng và sóng được gọi là sóng cầu. Miền ở xa dao động tử gọi là miền
sóng.
Ta có sóng từ biểu thức của E và H
E = µocH × n, (5.97)
hay
√
oE =
√
µo(H × n), (5.98)
hay
√
oE =
√
µoH : giống như sóng phẳng
Như vậy ở xa dipole Hertz, điện từ trường có tính sóng cầu và trong khoảng
không gian tương đối nhỏ, nó có tính chất sóng phẳng.
Theo biểu thức của E và H ta thấy điện từ trường phụ thuộc vào phương
truyền sóng. Đối với mỗi phương truyền, ta có E và H tỉ lệ với ¨p∗ sin θ.
Hình 5.13:
* Khi n//po cùng chiều: θ = 0 thì E = H = 0.
* Khi n⊥po: θ = π
2
, thì
E = Emax =
µo
4πR
¨p∗, (5.99)
H = Hmax =
1
4πRc
¨p∗. (5.100)
* θ bất kỳ 0 = θ = π
2
, 0 sin θ 1,
E = Emax sin θ =
µo
4πR
¨p∗ sin θ, (5.101)
H = Hmax sin θ =
1
4πRc
¨p∗ sin θ. (5.102)

5.8.5 Lưỡng cực bức xạ tuần hoàn:
Xét p = po cos ωt,
¨p∗
= −ω2
po cos ω t −
R
c
.
Do đó tại mỗi điểm trong không gian:
E =
µopo sin θω2
4πR
cos ω t −
R
c
, (5.103)
H =
po sin θω2
4πRc
cos ω t −
R
c
. (5.104)
Vậy tần số bức xạ bằng tần số dao động của lưỡng cực
- Biên độ của trường (E, H) tỉ lệ thuận với ω2
và tỉ lệ nghịch với R.
- w = (ED + BH)/2 tỉ lệ thuận với ω4
và R−2
, tức sóng điện từ có tần
số càng lớn (bước sóng càng nhỏ) thì năng lượng càng lớn và càng truyền ra
xa nguồn thì năng lượng giảm tỉ lệ nghịch với bình phương khoảng cách. Tuy
nhiên thông lượng của P qua toàn bộ mặt sóng cầu là một đại lượng không
đổi, nghĩa là năng lượng không bị mất mát khi truyền đi và xét trong toàn thể
không gian thì năng lượng sóng điện từ vẫn được bảo toàn.
5.9 Ống dẫn sóng và hộp cộng hưởng
Ở các phần trước ta đã khảo sát sóng điện từ trong môi trường không
gian tự do, rộng vô hạn. Ở vùng xa nguồn bức xạ, sóng điện từ thường là sóng
cầu và trong một miền đủ nhỏ ở nơi xa đó ta có thể xem sóng là sóng phẳng.
Bây giờ ta chuyển sang xét sóng truyền đi trong không gian bị giới hạn theo
hai hay ba chiều bởi các mặt vật dẫn.
Nếu giới hạn không gian theo hai chiều (ngang xOy) bằng các mặt dẫn
lý tưởng có độ dẫn điện σ∗
→ ∞ và để hở theo chiều thứ ba (dọc Oz), ta
được một miền không gian bao trong một cái ống bằng vật dẫn. Trong ống
này nếu tồn tại những sóng điện từ nào đó, ví dụ: sóng kích thích ở một đầu
ống bởi một phần tử bức xạ (lưỡng cực bức xạ chẳng hạn) thì chúng sẽ lan
truyền đi: phản xạ nhiều lần trên các thành ống và truyền ra đầu ống đằng

§ 5.9. Ống dẫn sóng và hộp cộng hưởng 177
kia. Có thể phân tích sự chuyển động của sóng theo một phương nào đó thành
ba chuyển động thành phần: theo hai chiều ngang (Ox, Oy) và một chiều dọc
(Oz). Thành phần chuyển động theo các chiều ngang sẽ dẫn đến sự phản xạ
nhiều lần trên các thành ống, sóng sẽ giao thoa với nhau, kết quả hình thành
những sóng đứng theo các chiều ngang. Với thành phần chuyển động dọc, pha
của sóng sẽ lan truyền dọc theo ống. Do đó trường và năng lượng điện từ sẽ
lan truyền dọc theo ống, không bị rò và bức xạ ra bên ngoài. Một ống như
vậy bằng kim loại có thể dẫn được sóng và năng lượng điện từ theo những con
đường nhất định, gọi là ống dẫn sóng. Để cho sau khi phản xạ và giao thoa
nhau, sóng trong ống không bị suy giảm thì bước sóng phải nhỏ hơn một trị
số xác định, tuỳ thuộc các kích thước thiết diện ống, gọi là bước sóng tới hạn.
Do đó để kích thước của ống dẫn sóng không quá lớn, người ta thường chỉ
dùng ống dẫn sóng cho các sóng cực ngắn có bước sóng cỡ vài cm, ứng với
tần số siêu cao cỡ 1010
Hz. Ống dẫn sóng thường dùng để nối máy phát sóng
với anten hoặc anten với máy thu thay cho những đường dây dẫn điện thường
dùng ở tần số thấp hơn. Ta thường dùng ống dẫn sóng có tiết diện ngang chữ
nhật hoặc tròn.
Để kích thích sóng trong ống dẫn sóng, ta thường dùng anten thẳng hoặc
anten vòng làm phần tử bức xạ đặt vào một đầu ống. Tuỳ theo loại phần tử
bức xạ và vị trí đặt nó trong ống, sóng sẽ có cấu trúc (modes) khác nhau.
Ví dụ khi kích thích bằng một phần tử anten thẳng có trục đặt đúng trên
trục ống dẫn sóng, ta sẽ được những sóng có đường sức từ nằm trong mặt
phẳng ngang, cường độ từ trường chỉ có những thành phần ngang mà không
có thành phần dọc theo trục ống. Đó là những sóng sóng từ ngang, ký hiệu
TM (Transverse Magnetic). Ngược lại nếu kích thích bằng một dòng điện tròn
đặt đối xứng và nằm trên tiết diện ngang của ống ta sẽ được những sóng có
đường sức điện trường nằm trong mặt phẳng ngang, gọi là sóng điện ngang,
ký hiệu TE (Transverse Electric).
Muốn dẫn năng lượng điện từ với tần số sóng không cao lắm, có bước sóng
cỡ mét đến vài trăm mét, không tiện dùng ống dẫn sóng vì kích thước ống sẽ
quá lớn. Thay vào đó ta phải dùng dây cáp đồng trục. Trong loại cáp này có
thể có sóng điện từ ngang (cả điện ngang và từ ngang), ký hiệu TEM.
Nếu ta đóng kín hai đầu một đoạn ống dẫn sóng bằng những mặt đáy kim

loại (vật dẫn), ta sẽ được một miền không gian bao bởi một hộp kín. Đó là hộp
cộng hưởng. Nếu trong hộp tồn tại những sóng điện từ, chúng sẽ lan truyền
và bị phản xạ nhiều lần trên các thành hộp, giao thoa với nhau, hình thành
những sóng đứng theo cả ba chiều không gian. Tần số sóng điện từ tồn tại
trong hộp cộng hưởng tuỳ thuộc hình dáng, kích thước hộp và thường có trị
số rất lớn. Hộp cộng hưởng dùng để tạo những dao động siêu cao tần thay cho
mạch vòng dao động LC thường dùng ở tần số thấp hơn.
5.9.1 Ống dẫn sóng chữ nhật:
Giả thiết sóng đơn sắc truyền vào ống ở mặt z = 0 (mặt vật dẫn kim
loại dẫn điện tốt). Trong vật dẫn là môi trường không hấp thụ sóng
E = Eo(x, y)ei(ωt−kzz)
, (5.105)
H = Ho(x, y)ei(ωt−kzz)
. (5.106)
Thay vào các phương trình sóng
E −
1
v2
∂2
E
∂t2
= 0,
H −
1
v2
∂2
H
∂t2
= 0.
Hay 


∂2E
∂x2 + ∂y2E
∂y2 = (k2
z − ω2
v2 )E,
∂2H
∂x2 + ∂y2H
∂y2 = (k2
z − ω2
v2 )H,
(5.107)
v = 1/
√
µ: vận tốc pha hay tốc độ cơ sở của sóng.
Từ các phương trình rotE = −∂B
∂t
và rotH = ∂D
∂t
ta suy ra các kết quả sau:
Ex =
1
k2
z − ω2 µ
ikz
∂Ez
∂x
+ iωµ
∂Hz
∂y
, (5.108)
Ey =
1
k2
z − ω2 µ
ikz
∂Ez
∂y
− iωµ
∂Hz
∂x
, (5.109)
Hx =
1
k2
z − ω2 µ
ikz
∂Hz
∂x
− iω
∂Ez
∂y
, (5.110)
Hy =
1
k2
z − ω2 µ
ikz
∂Hz
∂y
+ iω
∂Ez
∂x
, (5.111)

Hình 5.14:
với điều kiện biên
Hn = 0, Ht = js. (5.112)
Nếu sóng điện từ là sóng ngang với phương truyền sóng là Oz, ta có
Ez = Hz = 0, (5.113)
khi đó, nếu k2
z − ω2
µ = 0 ⇒ Ex = Ey = Hx = Hy = 0,
ngược lại, nếu k2
z − ω2
µ = 0 thì phương trình (5.107) có dạng:
∂2
H
∂x2
+
∂2
H
∂y2
= 0, (5.114)
điều kiện biên Hn = 0 cho ta H /∈ xOy ⇒ H = 0, E = 0.
Như vậy sóng điện từ ngang không tồn tại trong ống dẫn sóng chữ nhật
với thành vật dẫn lý tưởng. Sở dĩ như vậy vì đối với sóng điện từ ngang thì ở
trong ống đường sức từ phải hướng theo phương tiếp tuyến với thành ống và
phải khép kín. Nhưng không có các dòng điện dịch và dòng điện dẫn dọc theo
ống nên các đường sức này không tồn tại được. Chỉ có ống dẫn sóng hở trên
biên hoặc các ống dẫn sóng đồng trục (ống dẫn đa liên) thì sóng ngang có khả
năng tồn tại vì đường sức từ có thể đi xa vô cực hoặc có dòng điện dẫn chảy
theo lỏi của dây đồng trục.
Như vậy ta chỉ xét các trường hợp sau:
a) Ez = 0, Hz = 0,
b) Hz = 0, Ez = 0.
Trường hợp (a): Thành phần dọc của vec-tơ điện trường khác không, của
vec-tơ cường độ từ trường bằng 0. Không có từ trường dọc nên người ta gọi là
sóng từ ngang TM hay sóng E.

Ta có:
∂2
Ez
∂x2
+
∂2
Ez
∂y2
= k2
z −
ω2
v2
Ez. (5.115)
Từ điều kiện
Et = 0, Ht = js, (5.116)
Dn = σs, Bn = 0,
ta suy ra
Ez = 0 khi x = 0, a; y = 0, b. (5.117)
Phương trình (5.115) với điều kiện biên (5.117) cho ta nghiệm
Ez = A sin(kxx) sin(kyy)ei(ωt−kzz)
(5.118)
trong đó
k2
x + k2
y + k2
z =
ω2
v2
, kx =
mπ
a
, ky =
nπ
b
; m, n ∈ N; m, n = 0. (5.119)
Nghiệm tìm được có dạng sóng chạy theo phương z và sóng đứng trong mặt
phẳng z = const.
Sóng E ứng với số m, n gọi là sóng Em,n hay TMmn. Biết Ez ta tìm được
các đại lượng khác
Ex =
iAkzkx
k2
z − ω2
v2
cos(kxx) sin(kyy)ei(ωt−kzz)
, (5.120)
Ey =
iAkzky
k2
z − ω2
v2
sin(kxx) cos(kyy)ei(ωt−kzz)
, (5.121)
Hx = −
iAω ky
k2
z − ω2
v2
sin(kxx) cos(kyy)ei(ωt−kzz)
, (5.122)
Hy =
iAω kx
k2
z − ω2
v2
cos(kxx) sin(kyy)ei(ωt−kzz)
. (5.123)
Rõ ràng các đường sức từ luôn hướng tiếp tuyến với thành ống dẫn sóng.
Chúng tạo thành các đường khép kín và bao quanh các đường sức dọc của

điện trường. Còn các đường sức của điện trường luôn có phương vuông góc với
thành ống dẫn sóng.
Từ công thức
k2
x + k2
y + k2
z =
ω2
v2
, kx =
mπ
a
, ky =
nπ
b
,
ta suy ra
kz =
ω2
v2
−
m2π2
a2
−
n2π2
b2
. (5.124)
Với các giá trị m, n cho trước, kz sẽ là thực khi
ω2
v2
≥
m2
π2
a2
+
n2
π2
b2
hay
2π
λ
2
≥
m2
π2
a2
+
n2
π2
b2
.
Rõ ràng λ không thể nào lớn hơn một giá trị tới hạn
λ λt = 2π
m2
π2
a2
+
n2
π2
b2
−1
2
. (5.125)
Còn nếu kz ảo nghĩa là λ λt thì ta có sóng chạy trên trục z với biên độ giảm
dần theo quy luật hàm mũ. Do đó muốn sự truyền sóng trong ống không bị
tắt dần ta phải có kz thực và do đó λ λt.
λt có giá trị lớn nhất ứng với khi m = n = 1, đó là bước sóng của sóng E11
có bậc thấp nhất và bằng
λmax
t =
2ab
√
a2 + b2
. (5.126)
Tốc độ pha của sóng Emn:
vp =
ω
kz
= v 1 −
λ2
λ2
t
−1
2
. (5.127)
Vì λ λt nên tốc độ pha trong ống dẫn sóng luôn lớn hơn tốc độ cơ sở v khi
λ → λt thì vp → ∞.

Trong chân không v = c, tốc độ pha lớn hơn tốc độ ánh sáng trong chân
không.
Tốc độ nhóm:
vn =
dω
dkz
= v 1 −
λ2
λ2
t
1
2
v, (5.128)
vn → 0 khi λ → λt. Cuối cùng ta thấy
vnvp = v2
. (5.129)
Trường hợp (b): Hz = 0, Ez = 0. Thành phần dọc của vec-tơ cường độ
từ trường khác không, của vec-tơ cường độ điện trường bằng 0. Không có từ
trường dọc nên người ta gọi là sóng điện ngang TE hay sóng H trong ống dẫn
sóng chữ nhật.
Phương trình cho Hz là
∂2
Hz
∂x2
+
∂2
Hz
∂y2
= k2
z −
ω2
v2
Hz. (5.130)
Từ điều kiện biên Et = 0 hay Ex = 0 khi y = 0, b và Ey = 0 khi x = 0, a,
kết hợp với (5.108), (5.109), ta suy ra điều kiện biên cho Hz:



∂Hz
∂y
= 0 khi y = 0, b,
∂Hz
∂x
= 0 khi x = 0, a.
(5.131)
Phương trình (5.130) với các điều kiện biên (5.131) cho ta nghiệm
Hz = B cos(kxa) cos(kyy)ei(ωt−kzz)
. (5.132)
Ở đây k vẫn có dạng tương tự như (5.119) nhưng chỉ khác là các số sóng m, n
có thể bằng 0 (nhưng không cùng một lúc cả hai bằng 0). Như vậy các công
thức (5.124), (5.125) vẫn còn dùng được cho sóng Hm,n. Nhưng sóng có bậc
thấp nhất là H10 ứng với bước sóng
λmax
t = 2a. (5.133)
Nhận xét:
Các sóng điện từ ngang chỉ có thể tồn tại trong không gian vô hạn và trong
các ống dẫn sóng đa liên, còn trong các ống dẫn sóng đơn liên ở các vùng gần
bức xạ thì sóng điện từ có thể có các thành phần dọc theo phương truyền.

5.9.2 Hộp cộng hưởng
Trong dải siêu cao tần, mạch cộng hưởng LC không thể dùng được vì
khi tần số càng cao thì bức xạ càng tăng, mạch không còn khả năng tích tụ
năng lượng và do đó mất tính cộng hưởng.
Hộp cộng hưởng là một hộp kín thành phía trong làm bằng kim loại dẫn
điện tốt để năng lượng điện từ khỏi bị mất mát dưới dạng bức xạ vào không
gian hoặc toả nhiệt trên thành hộp.
Ta xét hộp cộng hưởng chữ nhật có các cạnh a, b, c và chọn hệ tọa độ
Descarter sao cho
0 x a, 0 y b, 0 z c. (5.134)
Trường điện trên thành hộp phải thoả mãn điều kiện biên Et = 0 hay
Ey = Ez = 0 khi x = 0 và x = a, (5.135)
Ez = Ex = 0 khi y = 0 và y = b, (5.136)
Ex = Ey = 0 khi z = 0 và z = c. (5.137)
Giả sử thành hộp làm bằng chất dẫn điện tốt và môi trường trong hộp
không hấp thụ sóng điện từ thì sự tổn hao năng lượng có thể bỏ qua. Khi đó
trường điện từ trong hộp có thể viết dưới dạng:
E = E(x, y, z)eiωt
, (5.138)
H = H(x, y, z)eiωt
. (5.139)
Thay vào phương trình sóng D’ Alembert, ta được:
2
E + ω2
µE = 0, (5.140)
2
H + ω2
µH = 0. (5.141)
Bằng phương pháp phân ly biến số, nghiệm của phương trình (5.140) là
Ex = A cos(kxx) sin(kyy) sin(kzz)eiωt
, (5.142)
Ey = B sin(kxx) cos(kyy) sin(kzz)eiωt
, (5.143)
Ez = C sin(kxx) sin(kyy) cos(kzz)eiωt
, (5.144)

ở đây
k2
x + k2
y + k2
z = ω2
µ, (5.145)
kx =
mπ
a
, ky =
nπ
b
, kz =
pπ
c
, (5.146)
với m, n, p là các số nguyên: m, n, p = 0, 1, 2, ...
Vì E = 0 ⇔ −(kxA + kyB + kzC) sin(kxx) sin(kyy) sin(kzz)eiωt
= 0,
kxA + kyB + kzC = 0. (5.147)
Từ biểu thức rotE = −µ∂H
∂t
, ta thu được:
Hx =
i
ωµ
(kyC − kzB) sin(kxx) cos(kyy) sin(kzz)eiωt
, (5.148)
Hy =
i
ωµ
(kzA − kxC) cos(kxx) sin(kyy) sin(kzz)eiωt
, (5.149)
Hz =
i
ωµ
(kxB − kyA) sin(kxx) sin(kyy) cos(kzz)eiωt
, (5.150)
với số sóng
k2
= k2
x + k2
y + k2
z = ω2
µ =
ω2
v2
. (5.151)
Mỗi bộ ba số (m, n, p) ứng với dao động riêng có tần số riêng ω và bước sóng
riêng λ
ω(m, n, p) = vπ
m
a
2
+
n
b
2
+
p
c
2
1
2
, (5.152)
λ(m, n, p) = 2
m
a
2
+
n
b
2
+
p
c
2 −1
2
. (5.153)
Nếu (m, n, p) khác không và cho trước thì bộ ba số này ứng với hai dao
động riêng có cùng tần số: suy biến bội 2.
Nếu một trong ba số (m, n, p) bằng không (p = 0), ta có:
Ez = C sin(kxx) sin(kyy)eiωt
,
Ex = Ey = Hz = 0,
Hx =
in
ωµb
C sin(kxx) cos(kyy)eiωt
,
Hy = −
im
ωµa
C cos(kxx) sin(kyy)eiωt
.

Trường sóng điện từ này dao động với tần số riêng
ω = vπ
m
a
2
+
n
b
2
1
2
.
Tần số không suy biến với hằng số C duy nhất xác định biên độ của dao động.
Nếu hai trong ba số (m, n, p) bằng 0, các vec-tơ trường bằng 0
Như vậy dao động đơn giản nhất ứng với các bộ ba số (0, 1, 1); (1, 0, 1); (1,
1, 0). Các dao động này giống nhau về biên độ nhưng khác nhau về phương.
Dao động (1, 1, 0) có tần số
ω = vπ
1
a2
+
1
b2
.
Nếu a c, b c thì tần số trên là bé nhất trong số các tần số. Nó được
gọi là tần số cơ bản, tương ứng ta có dao động cơ bản.
Nhận xét:
a) Lấy phần thực của Ex, Ey, Ez và sử dụng công thức Euler, chúng ta thu
được tập hợp các số hạng sau:
ei(±mπ
a
x±nπ
b
y±pπ
c
z).
Nghĩa là ta có tập hợp các sóng phẳng lan truyền trong hộp cộng hưởng. Đặc
tính của sóng này là trên mỗi cạnh của hộp, mỗi sóng nhận được một pha phụ
là bội số của π. Ví dụ, chuyển từ x = 0 sang x = a, xuất hiện một nhân số
pha là e±imπ
, ... Kết quả cộng các sóng chạy đó lại, chúng ta được các sóng
đứng có các nút ở trên các thành hộp cộng hưởng.
b) Trong các biểu thức của từ trường Hx, Hy, Hz có nhân số ±i, còn trong
các biểu thức của trường điện Ex, Ey, Ez thì không có. Điều đó có nghĩa là
vec-tơ cường độ từ trường bị lệch so với vec-tơ cường độ điện trường một pha
bằng ±π
2
. Do đó cứ sau một phần tư chu kỳ khi E = Emax thì H = 0 và ngược
lại. Như vậy trong một chu kỳ, năng lượng trong hộp cộng hưởng hai lần hoàn
toàn điện và hai lần hoàn toàn từ. Chúng liên tục chuyển hoá cho nhau như
quá trình chuyển hoá trong mạch cộng hưởng LC.

• Trường điện từ tự do là trường điện từ tồn tại độc lập với điện tích và
dòng điện. Các phương trình của trường điện từ tự do là các phương trình
Maxwell thỏa mãn điều kiện ρ = 0 và j = 0. Các điều kiện này có thể có trong
điện môi đồng chất, rộng vô hạn. Ta có hệ phương trình Maxwell của trường
điện từ tự do:
divD = 0, divB = 0, rotE = −
∂B
∂t
, rotH =
∂D
∂t
, D = E, B = µH.
• Trường điện từ tự do chỉ tồn tại dưới dạng sóng điện từ, không có trường
điện từ tự do tĩnh. Các vec-tơ trường E, H đều là nghiệm thỏa mãn phương
trình sóng d’Alembert không có vế sau. Các thành phần của chúng trên ba
trục tọa độ Descartes có dạng của sóng phẳng
ψ = f1 t −
x
v
+ f2 t +
x
v
trong đó f1 và f2 là hai hàm bất kì của t và x và v = 1/
√
µ
• Sóng điện từ phẳng đơn sắc là sóng điện từ tự do mà các biểu thức của
vec-tơ trường có dạng
E = Eo exp i(ωt − kr + α), H = Ho expi(ωt − kr + α).
Vectơ sóng k = k.n = (ω/v)n = ω
√
µn = (2π/T)
√
µn.
• Các vec-tơ trường tuân theo hệ phương trình Maxwell nên chúng có các
tính chất: k, E, H trực giao với nhau từng đôi một và theo thứ tự lập thành
một tam diện thuận;
√
E =
√
µH, w = ED = BH, Π = wv.
• Sóng điện từ suy giảm rất nhanh theo hàm mũ của độ sâu vào vật dẫn,
tần số dao động càng cao thì sóng suy giảm càng nhanh.
• Sóng điện từ phẳng đơn sắc tuân theo tất cả các định luật quang học về
phản xạ, khúc xạ, phân cực, giao thoa, nhiễu xạ,... Điều này khẳng định rằng
sánh sáng là sóng điện từ.
• Nếu xét cả nguyên nhân sinh ra sóng điện từ - tức là trường điện từ biến
thiên nhanh - thì phải quan tâm đến vùng không gian có ρ = 0, j = 0. Lúc
này hệ phương trình Maxwell của trường là hệ phương trình Maxwell đầy đủ
đã biết ở chương 1. Tương tự cho các biểu thức của thế vec-tơ, thế vô hướng
và các phương trình thế.

• Trong trường hợp lưỡng cực bức xạ có mômen lưỡng cực p∗
= p(t − R/c)
và mật độ điện tích ρ∗
= ρ(t − R/c), ta có biểu thức gần đúng của thế vô
hướng và thế vec-tơ của trường sóng điện từ tại một điểm M cách lưỡng cực
một đoạn R rất lớn so với kích thước lưỡng cực
ϕ(R, t) = −
1
4π o
div
p(t − r
c
)
R
,
A(R, t) =
µo
4πR
∂p∗
∂t
=
µo
4π
˙p∗
R
.
• Sóng điện từ tạo bởi lưỡng cực bức xạ tuyến tính dao động tuần hoàn
p∗
= po cos ω t − R
c
, các vec-tơ trường có biểu thức
H(R, t) =
1
4πRc
[¨p∗
× n]; E(R, t) =
µo
4πR
[[¨p∗
× n] × n].
độ lớn
E =
µopo sin θω2
4πR
cos ω t −
R
c
, H =
po sin θω2
4πRc
cos ω t −
R
c
.
Vậy tần số bức xạ bằng tần số dao động của lưỡng cực. Biên độ của trường
(E, H) tỉ lệ thuận với ω2
và tỉ lệ nghịch với R. Mật độ năng lượng sóng điện
từ w = (ED + BH)/2 tỉ lệ thuận với ω4
và tỉ lệ nghịch với R2
, tức sóng điện
từ có tần số càng lớn (bước sóng càng nhỏ) thì năng lượng càng lớn và càng
truyền ra xa nguồn thì năng lượng giảm tỉ lệ nghịch với bình phương khoảng
cách. Tuy nhiên thông lượng của P qua toàn bộ mặt sóng cầu là một đại lượng
không đổi, nghĩa là năng lượng không bị mất mát khi truyền đi và xét trong
toàn thể không gian thì năng lượng sóng điện từ vẫn được bảo toàn.
• Các sóng điện từ ngang chỉ có thể tồn tại trong không gian vô hạn và
trong các ống dẫn sóng đa liên, còn trong các ống dẫn sóng đơn liên ở các
vùng gần bức xạ thì sóng điện từ có thể có các thành phần dọc theo phương
truyền. Ta có tập hợp các sóng phẳng lan truyền trong hộp cộng hưởng, tổng
hợp các sóng chạy đó ta được các sóng đứng với các nút ở trên các thành hộp
cộng hưởng. Trong một chu kỳ dao động, năng lượng trong hộp cộng hưởng
hai lần hoàn toàn điện và hai lần hoàn toàn từ, chúng liên tục chuyển hóa cho
nhau.

5.1. Tính vec-tơ mật độ dòng năng lượng Π, mật độ năng lượng w và mật độ
xung lượng của sóng phẳng đơn sắc có các vec-tơ trường
E = E0 exp i(ωt − kr + α), H = H0 exp i(ωt − kr + α).
5.2. Xét một laser năng lượng cao có bước sóng 1, 6µm phóng ra 10kJ trong
0, 2ns. Dòng sáng được hội tụ trên một diện tích có đường kính 0, 5mm. Tính
cường độ điện trường hiệu dụng Ehd = E0/
√
2 và áp suất bức xạ của laser lên
một bề mặt hấp thụ?
5.3. a) Xác định thế vec-tơ A(r, t) và thế vô hướng ϕ(r, t) với điều kiện định
cỡ Lorentz cho sóng phẳng phân cực thẳng được mô tả bởi
E(r, t) = E0ei(ωt−kz)
ex, H(r, t) = H0ei(ωt−kz)
ey.
với điều kiện biên là các thế phải hữu hạn ở vô cùng. (Gợi ý: Cho ϕ = 0.)
b) Bây giờ xét sóng phẳng phân cực tổng quát với vec-tơ sóng k, hướng
phân cực n, và tần số góc ω = ck. Hãy xác định thế vec-tơ và thế vô hướng
trong trường hợp này.
c) Giả thiết điều kiện biên trong (a) bị hủy bỏ. Hãy chứng tỏ rằng A(r, t) =
−B0xei(ωt−kz)
ez và ϕ(r, t) = −cB0xei(ωt−kz)
thỏa mãn điều kiện định cỡ Lorentz
và cho các vec-tơ trường như trên.
5.4. Xét trường điện từ
E(x, y, z, t) = E0 cos(πx/L) cos(πy/L)sin(ωt)ez,
B(x, y, z, t) = B0 [− cos(πx/L) sin(πy/L)ex + sin(πx/L) cos(πy/L)ey] cos(ωt).
a) Chứng tỏ rằng trường này thỏa mãn các phương trình Maxwell trong
chân không nếu ω =
√
2πc/L và B0 = E0/(
√
2c).
b) Trường này biểu diễn một sóng điện từ đứng trong một hộp rất dài theo
phương z, có các tường kim loại và tiết diện vuông L × L song song với mặt
phẳng xy. Đây là một ví dụ về dao động tử buồng cộng hưởng. Hãy vẽ các
trường E và B. Lưu ý rằng số sóng k = π/L, vì vậy bước sóng là λ = 2L.

5.5. Một máy đo cho thấy biên độ của dao động điện trường của một sóng vô
tuyến điện là 5mV/m.
a) Hỏi biên độ của dao động từ trường là bao nhiêu Tesla?
b) Cường độ sóng điện từ là bao nhiêu W/m2
?
5.6. Ánh sáng phân cực được chiếu tới một kính phân cực hoàn toàn và có
20% cường độ sáng đi qua được. Hỏi góc giữa trục kính phân cực và phương
phân cực của ánh sáng là bao nhiêu?
ĐS: 630
.
5.7. Một sóng điện từ phẳng phân cực truyền đi theo phương y có vec-tơ cường
độ điện trường theo hướng ±x. Hỏi chiều của vec-tơ cường độ từ trường tại
một điểm mà vec-tơ cường độ điện trường hướng theo chiều +x?
5.8. Giả thiết vec-tơ cường độ điện trường của sóng điện từ là
E(r, t) =
E0
√
2
(ez − ex) sin(ky − ωt).
a) Xác định vec-tơ cảm ứng từ trường. (Gợi ý: rotE = −∂B/∂t.)
b) Xác định vec-tơ Poynting.
5.9. Xét một sự chồng chất sóng truyền đi theo phương z có vec-tơ trường
E(r, t) = Re exE1ei(ωt−kz)
+ eyE2ei(ωt−kz)
,
B(x, y, z, t) = Re ey
E1
c
ei(ωt−kz)
− ex
E2
c
ei(ωt−kz)
.
trong đó E1 và E2 có thể là các số phức
E1 = C1eiφ1
, E2 = C2eiφ2
(C1, C2, φ1, φ2 là các số thực.)
a) Tính trị trung bình của vec-tơ Poynting theo thời gian.
b) Cho E1 = C và E2 = iC, nghĩa là C1 = C2 = C và φ1 = 0, φ2 = π/2.
Xác định hướng của E như là hàm theo t tại một điểm trên mặt phẳng xy.
Mô tả kết quả bằng lời và hình vẽ.
c) Cùng một trường như câu (b), hãy xác định chiều của E như là một
hàm theo z ứng với ảnh chụp tức thời của trường ở thời điểm t = 0. Mô tả kết
quả bằng lời và hình vẽ.

5.10. a) Đối với một sóng điện từ phẳng lý tưởng trong chân không, hãy chứng
tỏ rằng năng lượng đi qua một tiết diện S đặt thẳng góc phương truyền sóng
trong 1 giây thì bằng năng lượng toàn phần của trường điện từ trong hình trụ
đáy S, dài 3.108
m.
b) Chứng tỏ rằng công suất trung bình trên một đơn vị diện tích I = c w t,
trong đó w t là trung bình mật độ năng lượng trường điện từ theo thời gian
t.
5.11. a) Cường độ ánh sáng mặt trời tại bề mặt trái đất là Is = 1300W/m2
.
Tính căn bậc hai trung bình bình phương điện trường và cảm ứng từ trường
(theo thứ tự có đơn vị V/m và T) ứng với một sóng phẳng có cường độ là Is.
Kết quả có phụ thuộc vào bước sóng của sóng phẳng không?
b) Hãy ước tính căn bậc hai trung bình bình phương cường độ điện trường
của ánh sáng từ một bóng đèn 100W phát sáng tại điểm cách bóng đèn một
khoảng 1m.
c) Năng lượng toàn phần của ánh sáng phát ra từ một bút chiếu laser nhỏ
He-Ne là 0,1 mW trong dòng sáng có đường kính 4mm. Tính căn bậc hai trung
bình bình phương của cường độ điện trường.
d) Bước sóng của ánh sáng từ một laser He-Ne là 633nm. Hỏi có bao nhiêu
photon mà bút chiếu laser phát ra trong một giây?
5.12. Hầu hết năng lượng trường điện từ trong Vũ trụ ở trong bức xạ nền vi
sóng vũ trụ, một tàn dư của vụ nổ Big Bang. Bức xạ này được A. Penzias và R.
Wilson khám phá năm 1965 khi quan sát bằng kính viễn vọng vô tuyến điện.
Bức xạ là sóng điện từ có các bước sóng trong khoảng 1,1mm. Mật độ năng
lượng là 4, 0.10−14
J/m3
. (Đây là 2, 5.105
eV/m3
, một nửa năng lượng nghỉ của
một điện tử trong mỗi mét khối của Vũ trụ.)
a) Hỏi căn bậc hai trung bình bình phương của điện trường của bức xạ nền
của vi sóng vũ trụ? (ĐS: 0,067 V/m).
b) Hỏi ở một vị trí cách máy phát 1000 W bao xa để có được cùng cường
độ trường? Giả thiết rằng công suất phát ra từ máy phát là đẳng hướng. (ĐS:
2,6 km).
5.13. Chứng minh rằng đối với trường sóng điện từ phẳng đơn sắc, nếu thế
vec-tơ A = A0 exp[i(kr − ωt] và thế vô hướng ϕ = 0 thì các vec-tơ điện trường

và từ trường thỏa mãn hệ thức:
E = iωA, B = ik × A.
5.14. Một tia sáng đơn sắc phân cực thẳng có vec-tơ điện trường hợp với pháp
tuyến của mặt phẳng tới một góc θ. Tính hệ số phản xạ của tia sáng đó.
ĐS: R = R⊥ cos2
θ + R sin2
θ.
5.15. Ánh sáng đơn sắc thiên nhiên (không phân cực) có thể coi là ánh sáng
phân cực mà vec-tơ phân cực luôn đổi phương, và không có phương nào ưu
tiên hơn phương khác. Dựa vào bài tập 5.13, tính hệ số phản xạ của tia sáng
đơn sắc thiên nhiên.
ĐS: R = (R⊥ + R )/2.
5.16. Một tia sáng đơn sắc thiên nhiên đi từ chân không tới phản xạ trên mặt
phẳng ngoài của điện môi có hằng số điện môi = 0 và độ từ thẩm µ = µ0.
Tính hệ số phản xạ của tia sáng đó khi góc tới bằng góc Brewster.
ĐS: R =
( − 0)2
2( + 0)2
5.17. Chứng minh rằng năng lượng điện và năng lượng từ trong hộp cộng hưởng
bằng nhau.
5.18. Một trường sóng điện từ phẳng đơn sắc tần số góc ω truyền đi theo
phương z với vectơ sóng k = kez trong buồng cộng hưởng chân không, có
chiều dài L song song với phương Oz, và tiết diện A song song với mặt phẳng
xOy. Vectơ cường độ điện trường của sóng có dạng
E = Eex = E0sin(kz)sin(ωt)ex
trong đó E0 = const; ez, ex lần lượt là vectơ đơn vị theo phương Oz, Ox.
a) Tính biểu thức của vectơ cảm ứng từ trường B của trường.
b) Hãy xác định biểu thức năng lượng của trường sóng điện từ trong thể
tích V của buồng cộng hưởng. Biết rằng vectơ cường độ điện trường triệt tiêu
tại hai mặt z = 0 và z = L của buồng cộng hưởng. Có nhận xét gì về năng
lượng này?
ĐS:
a) B = B0cos(kz)cos(ωt), với B0 = E0/c, c2
= 1/(ε0µ0).

b) W =
V
4
ε2
0E2
0sin2
(ωt) +
ε2
0B2
0
µ0
cos2
(ωt) =
V
4
ε2
0E2
0 = const, V = AL.
c) Điều này chứng tỏ năng lượng điện trường và từ trường chuyển hóa lẫn
nhau sao cho năng lượng của toàn bộ trường vẫn không đổi.

Chương 6
THUYẾT TƯƠNG ĐỐI HẸP
CỦA EINSTEIN
Mở đầu
Trong 5 chương trước chúng ta đã khảo sát trường điện từ bằng thuyết điện
từ cổ điển phi tương đối tính của J. C. Maxwell đối với quan sát viên trong
hệ quy chiếu thấy các điện tích chuyển động với vận tốc rất bé so với vận tốc
ánh sáng trong chân không (v c). Thuyết điện từ này hoàn toàn phù hợp
cơ học cổ điển Newton. Tuy nhiên khi khảo sát trường điện từ tạo bởi các hạt
mang điện chuyển động với vận tốc rất lớn gần bằng vận tốc ánh sáng trong
chân không (v ≈ c) thì hệ phương trình Maxwell và các phương trình thế cần
được sửa đổi lại cho phù hợp với thuyết tương đối Einstein, nghĩa là dưới dạng
các phương trình 4 chiều tương đối tính trong các hệ quy chiếu quán tính phù
hợp với thuyết tương đối hẹp. Trước khi nghiên cứu chương 7: Điện động lực
học tương đối tính, chúng ta cần phải được giới thiệu sơ lược, cơ bản về thuyết
tương đối hẹp của Einstein làm tiền đề cho việc tìm hiểu, mô tả thuyết điện
từ tương đối tính. Đây là lý do cần phải có chương này.
Thuyết tương đối gồm 2 phần:
- Thuyết tương đối hẹp ra đời năm 1905, nghiên cứu chuyển động của
vật thể trong các hệ quy chiếu quán tính khi không có trường hấp dẫn.
- Thuyết tương đối rộng ra đời năm 1916, nghiên cứu chuyển động của
vật thể trong các hệ quy chiếu quán tính và trong trường hấp dẫn.
193

194 Chương 6. THUYẾT TƯƠNG ĐỐI HẸP CỦA EINSTEIN
Trong phần này ta chỉ nghiên cứu thuyết tương đối hẹp. Để hiểu được nguyên
nhân ra đời thuyết tương đối chúng ta cần ôn lại nguyên lý tương đối và phép
biến đổi Galileo trong cơ học cổ điển, từ đó giới thiệu hai tiên đề của thuyết
tương đối hẹp, động học tương đối tính bao gồm phép biến đổi Lorentz và các
hệ quả; động lực học tương đối tính với khái niệm biến cố, tọa độ, vận tốc,
gia tốc, lực, xung lượng, năng lượng tương đối tính trong không gian 4 chiều
Minkowski và lý do để biểu diễn trường điện từ bằng các đại lượng 4 chiều
tương đối tính trong không gian này.
Học xong chương này, người học phải hiểu sâu sắc hai tiên đề Einstein của
thuyết tương đối hẹp và phép biến đổi Lorentz cho hai biến cố tương thích
trong hai hệ quy chiếu quán tính phù hợp với hai tiên đề này cùng với các hệ
quả về không-thời gian phù hợp với phép biến đổi này. Từ đó phải nắm được
các đại lượng động lực học 4 chiều tương đối tính, phép quay Lorentz trong
không gian 4 chiều Minkowski và hiểu rõ lý do vì sao cần phải sử dụng các đại
lượng 4 chiều tương đối tính trong. Người học phải giải được một số bài toán
về động học và động lực học tương đối tính để hoàn thiện kỹ năng tính toán
trong không gian 4 chiều Minkowski cho chương 7.
6.1 Những tiên đề của thuyết tương đối
Trong tiết này nguyên lý tương đối Galileo trong cơ học cổ điển cùng với phép
biến đổi Galileo biến đổi tọa độ giữa hai hệ quy chiếu quán tính K và K
chuyển động thẳng đều đối với nhau sẽ được trình bày, qua đó cho biết các
đại lượng tương đối và bất biến đối với phép biến đổi Galileo. Theo nguyên lý
tương đối Galileo, thời gian trôi đều như nhau trong mọi hệ quy chiếu, do đó
là một đại lượng tuyệt đối, bất biến đối với mọi hệ quy chiếu.

§ 6.1. Những tiên đề của thuyết tương đối 195
6.1.1 Nguyên lý tương đối Galileo. Phép biến đổi tọa
độ
Định nghĩa hệ quy chiếu quán tính
Hệ quy chiếu quán tính là hệ quy chiếu ở rất xa các vật khác và không chịu tác
dụng của ngoại lực. Các hệ quy chiếu quán tính hoặc đứng yên hoặc chuyển
động thẳng đều với nhau. Trong hệ quy chiếu quán tính các chuyển động được
mô tả đơn giản. Trong cơ học cổ điển, khi chuyển từ hệ quy chiếu này sang hệ
quy chiếu quán tính khác thì tọa độ của một vị trí bất kỳ trong không gian sẽ
thay đổi, tuy nhiên tất cả các thí nghiệm cơ học giống nhau được tiến hành ở
hai hệ quy chiếu quán tính thì hoàn toàn giống nhau và không thể phát hiện
được vận tốc tương đối của hệ này so với hệ kia, nghĩa là chúng tuân theo
nguyên lý tương đối Galileo được phát biểu như sau:
Nguyên lý tương đối Galileo (cổ điển):
Mọi hiện tượng cơ học đều diễn ra như nhau trong mọi hệ quy chiếu quán
tính.
Trong mỗi hệ quy chiếu ta chọn một hệ tọa độ gắn liền với nó. Tọa độ của
một vật trong mỗi hệ quy chiếu quán tính mỗi khác. Tuy nhiên, thời gian lại
trôi đều như nhau trong mọi hệ quy chiếu quán tính. Do đó, phép biến đổi để
tìm sự liên hệ giữa tọa độ của hai hệ quy chiếu quán tính phù hợp với nguyên
lý tương đối Galileo gọi là phép biến đổi Galileo.
K(O, x, y, z)



x = x + vt,
y = y ,
z = z ,
t = t .
⇔ K (O , x , y , z )



x = x − vt,
y = y,
z = z,
t = t.
(6.1)
Lưu ý: Khi t = t = 0; O ≡ O . Còn t = t : thời gian tuyệt đối.

6.1.2 Lượng bất biến và phương trình bất biến. Tính
bất biến của các định luật cơ học cổ điển
Trong phép biến đổi Galileo, ta định nghĩa các đại lượng:
+ Lượng tương đối: là các đại lượng biến đổi giá trị khi đổi hệ quy chiếu
theo phép biến đổi Galileo. Ví dụ:
r(x, y, z, t) → r (x , y , z , t ),
u → u = u − v,
+ Lượng tuyệt đối hay bất biến: không biến đổi giá trị trong phép biến đổi
Galileo:
a) Khoảng cách thời gian: ∆t = ∆t = invar.
b) Khoảng cách không gian:
∆r = ∆x2 + ∆y2 + ∆z2
= ∆x 2 + ∆y 2 + ∆z 2
= invar.
c) Vận tốc tương đối
u12 = u1 − u2
= u1 − u2
= u12
= invar.
d) Gia tốc
du
dt
=
du
dt
=
d2
r
dt2
=
d2
r
dt 2
= invar.
e) Tính bất biến của các định luật cơ học:
Xét lực tổng hợp tác dụng lên chất điểm khối lượng m đang chuyển động
với gia tốc du/dt: F = m(du/dt) chứa các số hạng bất biến nên chúng bất biến
đối với phép biến đổi Galileo: Phương trình bất biến.
Các định luật cơ học cổ điển là bất biến đối với phép biến đổi Galileo,
đây là cách phát biểu thứ hai về nguyên lý tương đối Galileo.

§ 6.1. Những tiên đề của thuyết tương đối 197
6.1.3 Những tiên đề của thuyết tương đối hẹp của Ein-
stein
Thuyết tương đối hẹp của Einstein được xây dựng trên cơ sở những thành tựu
của vật lý học vào đầu thế kỷ 20, nó gồm hai luận điểm cơ bản gọi là hai tiên
đề Einstein làm nền móng.
Tiên đề thứ nhất
Mọi hiện tượng vật lý đều diễn ra như nhau trong mọi hệ quán tính.
Tiên đề thứ hai
Vận tốc ánh sáng trong chân không là không đổi theo mọi phương, và không
phụ thuộc chuyển động của nguồn sáng .
Mối quan hệ giữa hai tiên đề. Tính tương đối của sự đồng thời
Xét chuyển động của toa tàu AB = 2 với vận tốc v đi ngang qua ga. Khi
A, B ≡ A, B ở sân ga thì ngọn đèn S ở trên tàu giữa A, B loé sáng. Chúng
ta xét xem ánh sáng từ S đến A, B, A , B vào những lúc nào đối với hệ quy
chiếu K gắn với toa tàu và hệ quy chiếu K gắn với sân ga. Theo tiên đề 2:
vận tốc ánh sáng c không phụ thuộc chuyển động của nguồn, do đó cả hai hệ
đều xem ánh sáng có vận tốc c. Theo tiên đề 1: ánh sáng truyền đi trong 2 hệ
theo những điều kiện như nhau, do đó diễn ra như nhau: trong hệ tàu (K ),
ánh sáng đồng thời đến A, B, trong hệ ga (K ), ánh sáng đồng thời đến A , B .
• Người quan sát ở tàu (hệ K ) thấy ánh sáng đến B trước, sau đó đồng
thời đến A, B cuối cùng mới đến A .
• Người quan sát ở sân ga (hệ K) thấy ánh sáng đến A trước, sau đó đồng
thời đến A , B sau đó cùng đến B.
Sự đồng thời ở hệ này có thể không đồng thời ở hệ khác: đó là hệ quả logic
của hai tiên đề Einstein giống như sự co lại của chiều dài và sự chậm lại của
thời gian.

6.2 Động học tương đối tính
6.2.1 Phép biến đổi Lorentz
Gọi (r, t) là biến cố trong hệ K và biến cố (r , t ) trong hệ K . Ta định nghĩa
quá trình là một chuỗi biến cố nối tiếp nhau trong không gian và thời gian. Vì
vận tốc ánh sáng c không tuân theo định lý cộng vận tốc rút ra từ phép biến
đổi Galileo, do đó trong thuyết tương đối ta phải tìm phép biến đổi khác thay
cho phép biến đổi Galileo không còn phù hợp nữa.
Những điều kiện của phép biến đổi
a) Tuân theo hai tiên đề Einstein
b) K ⇔ K nên phép biến đổi cho (r, t) → (r , t ) chứa v thì (r , t ) → (r, t)
chứa −v.
c) Nếu một biến cố có tọa độ hữu hạn trong một hệ, nó cũng phải có tọa
độ hữu hạn trong hệ kia.
d) Khi cho v = 0 thì K ≡ K ⇒ (r , t ) ≡ (r, t).
Theo điều kiện (b), các công thức biến đổi không được có dạng siêu việt,
không chứa (r)n
, n ≥ 2.
Theo điều kiện (c), các công thức không được chứa tọa độ ở mẫu số.
Tóm lại các công thức phải có dạng tuyến tính.
6.2.2 Thành lập các công thức biến đổi
Theo các định nghĩa của K và K’ ta có y = y; z = z. Vì y, z độc lập với x, t
nên x, t cũng độc lập y, z nghĩa là:
x = Ax + Bt
t = Dt + Ex
không có số hạng hằng số vì khi t = t = 0 thì K ≡ K và x = 0, x = 0.
Ta xác định các hằng số A, B, D, E.
Xét gốc tọa độ O trong hệ K : x = 0, còn trong hệ K, O có tọa độ:

§ 6.2. Động học tương đối tính 199
x = vt. Vậy
Avt + Bt = 0 ⇒ B = −Av,
do đó
x = A(x − vt).
Lúc t = t = 0: tại gốc O ≡ O phát ra sóng điện từ. Ta có phương trình mặt
sóng trong hệ quy chiếu K:
x2
+ y2
+ z2
− c2
t2
= 0,
trong hệ K
x 2
+ y 2
+ z 2
− c2
t 2
= 0,
vì y = y , z = z nên:
x2
− c2
t2
= x 2
− c2
t 2
,
thay x , t bằng t và x
x2
− c2
t2
= A2
(x − vt)2
− c2
(Dt + Ex)2
.
Suy ra 


A2
− c2
E2
= 1
A2
v2
− c2
D2
= −c2
A2
v + c2
DE = 0
Giải hệ phương trình theo A, D, E, ta thu được:
A = D =
1
± 1 − v2
c2
≡ ±γ; E = −
v
c2
.
1
± 1 − v2
c2
= γ
1
± 1 − v2
c2
.
(6.2)
Lưu ý rằng để phù hợp với điều kiện (d) khi cho v = 0 thì x = x và t = t
nên ta chọn +γ và bỏ −γ. Ta có phép biến đổi Lorentz phù hợp với hai tiên
đề Einstein của thuyết tương đối hẹp



x = x−vtq
1−v2
c2
y = y
z = z
t =
t− v
c2 x
q
1−v2
c2
←→



x = x +vtq
1−v2
c2
y = y
z = z
t =
t + v
c2 x
q
1−v2
c2
(6.3)

Ý nghĩa các công thức biến đổi Lorentz
a) v c: vận tốc của vật chất luôn bé hơn vận tốc truyền sóng điện từ
trong chân không.
b) Không gian và thời gian gắn liền với nhau chặt chẽ và có tính tương đối.
Mỗi hệ quy chiếu có một không-thời gian riêng.
c) Khi v c phép biến đổi Lorentz chuyển sang phép biến đổi Galileo. Do
đó thuyết tương đối có tính tổng quát hơn cơ học cổ điển Newton, thừa nhận
cơ học Newton như là một trường hợp riêng của nó ứng với khi v c.
6.2.3 Sự rút ngắn chiều dài trong hệ chuyển động
Xét thanh AB đứng yên với hệ K có chiều dài trong hệ này là l0 = xB − xA.
Như vậy trong hệ K nó chuyển động với vận tốc v. Muốn đo chiều dài của
thanh trong hệ K, ta phải xác định tọa độ xA, xB vào cùng một thời điểm
t = tA = tB. Chiều dài thanh trong hệ K là l = xB − xA.
với
xB =
xB + vtB
1 − v2
c2
; xA =
xA + vtA
1 − v2
c2
,
và tA = tB ta thu được l0 = xB − xA = (xB − xA) 1 − v2/c2, hay
l = l0 1 −
v2
c2
. (6.4)
l0 = xB −xA: chiều dài của vật trong hệ quy chiếu K gắn liền với nó nên được
gọi là chiều dài riêng của vật.
l0 = xB − xA : chiều dài của vật trong hệ K thấy vật đang chuyển động với
vận tốc v.
Rõ ràng khi vật chuyển động với vận tốc v, chiều dài của nó bị co lại theo
phương chuyển động tương ứng với công thức l = l0 1 − v2/c2, ở đây y = y
và z = z nên v = v0 1 − v2/c2 : vật chỉ co lại theo phương chuyển động.
Sự co này có tính tương đối và nó chỉ là hiệu ứng động học (xét 2 thanh
chuyển động tương đối với nhau với vận tốc v).

6.2.4 Sự chậm của thời gian trong hệ chuyển động
Xét một điểm M đứng yên trong hệ K có tọa độ x . Xét 2 biến cố
(x , tA) và (x , tB). Khoảng thời gian giữa hai biến cố cùng xảy ra tại M trong
hệ K là ∆t0 = tB − tA. Nếu xét trong hệ K, ta có
tA =
tA + v
c2 x
1 − v2
c2
; tB =
tB + v
c2 x
1 − v2
c2
∆t = tB − tA =
tB − tA
1 − v2
c2
,
nghĩa là ta có công thức mô tả mối liên hệ của khoảng thời gian trong hai hệ
quy chiếu:
∆t =
∆t0
1 − v2
c2
(6.5)
trong đó ∆t0 = tB − tA là thời gian riêng gắn liền với vật chuyển động. Rõ
ràng thời gian trong hệ gắn liền với vật (thời gian riêng) trôi chậm hơn thời
gian trong hệ quy chiếu thấy vật đang chuyển động với vận tốc v. Sự chậm lại
của thời gian cũng chỉ là một hiệu ứng động học.
6.2.5 Định luật cộng vận tốc Einstein
Xét một chất điểm chuyển động bất kỳ đang đi qua một điểm A bất kỳ trong
không gian có tọa độ r(x, y, z) vào thời điểm t với vận tốc u(ux = dx/dt, uy =
dy/dt, uz = dz/dt) trong hệ K. Trong hệ K chất điểm ở biến cố (x , y , z , t )
với vận tốc u (ux = dx /dt , uy = dy /dt , uz = dz /dt ). Ta tìm sự liên hệ giữa
u và u . Muốn vậy, ta lấy vi phân theo tọa độ và thời gian



dx = dx +vdtq
1−v2
c2
(a)
dy = dy (b)
dz = dz (c)
dt =
dt + v
c2 dx
q
1−v2
c2
(d)

lập tỷ số (a)/(d) vế theo vế cho:
dx
dt
=
dx + vdt
dt + v
c2 dx
=
dx
dt
+ v
1 + v
c2
dx
dt
nghĩa là
ux =
ux + v
1 + vux
c2
. (6.6)
Tương tự (b)/(d) cho
uy =
uy 1 − v2
c2
1 + vux
c2
. (6.7)
và (c)/(d) cho
uz =
uz 1 − v2
c2
1 + vux
c2
. (6.8)
Các công thức trên là công thức cộng vận tốc trong thuyết tương đối tương
ứng trên ba trục tọa độ.
Nếu vật chuyển động song song trục x, ta có: uy = uy = uz = uz = 0 và
u =
u + v
1 + vu
c2
. (6.9)
Theo đẳng thức này khi u = c thì u = c và ngay cả khi v = u = c ta cũng có
u = c. Còn khi u c thì u c.
Suy ra vận tốc ánh sáng là vận tốc giới hạn của vật chất chuyển động.
6.2.6 Các lượng bất biến trong thuyết tương đối. Khoảng
Cũng như trong cơ học cổ điển, trong thuyết tương đối ta tìm ra những lượng
bất biến và các hệ thức bất biến đối với phép biến đổi Lorentz để mô tả các
định luật vật lý.
Ta đã xác định được các đại lượng bất biến: (i) c: vận tốc ánh sáng; (ii)
Thời gian riêng t0 và (iii) chiều dài riêng l0.
Ta sẽ xét thêm một bất biến nữa là khoảng giữa hai biến cố.

Định nghĩa và tính chất khoảng
Ta gọi khoảng giữa hai biến cố (r, t) và (r + dr, t + dt) là đại lượng ds
sao cho
ds2
= dx2
+ dy2
+ dz2
− c2
dt2
. (6.10)
Khoảng này có tính chất
ds2
= dx2
+ dy2
+ dz2
− c2
dt2
=
(dx + vdt )2
1 − v2
c2
+ dy 2
+ dz 2
− c2 (dt + v
c2 dx )2
1 − v2
c2
=
(dx + vdt + cdt + v
c
dx )(dx + vdt − cdt − v
c
dx )
1 − v2
c2
+ dy 2
+ dz 2
=
(1 + v
c
)(1 − v
c
)dx 2
+ (x + c)(v − c)dt 2
1 − v2
c2
= dx 2 (1 − v2
c2 )
(1 − v2
c2 )
+
(v2
− c2
)dt 2
c2−v2
c2
+ dy 2
+ dz 2
= dx 2
+ dy 2
+ dz 2
− c2
dt 2
= ds 2
.
(6.11)
Vậy khoảng là đại lượng bất biến tương đối tính: ds = invar.
Phân loại khoảng
Một cặp biến cố (r1, t1) và(r2, t2) và khoảng của chúng S mà
S2
= ∆x2
+ ∆y2
+ ∆z2
− c2
∆t2
(6.12)
có thể được chia làm ba loại khác nhau: Khoảng dạng thời gian, khoảng dạng
không gian và khoảng zéro.
a) Khoảng dạng thời gian (khoảng ảo) và hai biến cố có quan hệ nhân quả.
Khoảng ảo là khoảng giữa hai biến cố thoả mãn điều kiện:
S2
= ∆x2
+ ∆y2
+ ∆z2
− c2
∆t2
0.

Rõ ràng nếu khoảng giữa hai biến cố là khoảng ảo thì do tính chất bất
biến của khoảng, trong mọi hệ quy chiếu K’ khác ta cũng có S 2
= S2
0, do
đó khoảng cách thời gian giữa hai biến cố luôn khác không trong mọi hệ quy
chiếu quán tính (∆t = 0): ta bảo khoảng ảo là khoảng dạng thời gian.
Ta có vận tốc trung bình u = ∆x2 + ∆y2 + ∆z2/∆t c đối với khoảng
ảo; trong trường hợp này, vật chất có khả năng chuyển động từ biến cố này
sang biến cố kia, nghĩa là biến cố có thời gian bé hơn có thể là nguyên nhân
tạo nên biến cố có thời gian lớn hơn.
Ta bảo rằng hai biến cố có quan hệ nhân quả nếu khoảng của chúng là
khoảng dạng thời gian.
Nếu ∆y = ∆z = 0 thì u = ∆x
∆t
c và S2
= ∆x2
− c2
∆t2
0
∆x =
∆x(1 − v
u
)
1 − v2
c2
; ∆t =
∆t(1 − vu
c2 )
1 − v2
c2
Liệu ta có thể tìm được một hệ K mà ở đó hai biến cố xảy ra một chỗ không
?
Nếu ở K mà ∆x = 0 ⇒ v = u c và S2
=
√
−c2∆t 2 = ic∆t : khoảng ảo
(dạng thời gian), và nếu u v c : quan hệ ∆x 0 và xB = xA : quan hệ vị
trí trong hệ K là tương đối và phụ thuộc hệ quy chiếu.
Có thể tìm một hệ K nào đó mà hai biến cố xảy ra cùng một lúc không?
∆t = 0 ⇒ u.v = c2
: không phù hợp với điều kiện u.v c2
. Như vậy không
thể tìm được hai biến cố có khoảng dạng thời gian lại xảy ra cùng lúc được.
Thứ tự trước sau của hai biến cố là tuyệt đối.
b) Khoảng không gian (khoảng thực) và hai biến cố không có quan hệ nhân
quả.
Hai biến cố có khoảng thực khi thoả mãn điều kiện:
S2
= ∆x2
+ ∆y2
+ ∆z2
− c2
∆t2
0.
Nếu ∆y2
= ∆z2
= 0 thì
S2
= ∆x2
− c2
∆t2
0 hay vận tốc trung bình u =
∆x
∆t
c.
vì không có chuyển động nào của vật chất có thể đi từ biến cố này sang biến

cố kia ứng với khoảng thực, do đó không có mối liên hệ nhân quả giữa hai biến
cố có khoảng thực.
Trong mọi hệ quy chiếu quán tính K khác, ta luôn có S 2
= S2
0 nên
khoảng cách không gian
∆x 2
+ ∆y 2
+ ∆z 2
= 0.
Trong hệ K ta có
∆x =
∆x − v∆t
γ
∆t =
∆t − v
c
∆x
γ
Liệu có thể tìm được một hệ K mà ∆t = 0? Điều này cho ta suy ra ∆t = v
c2 ∆x
hay v = c2∆t
∆x
c được thoả mãn. Hai biến cố có thể đồng thời ở hệ này nhưng
không đồng thời ở hệ khác (Tính tương đối của sự đồng thời trong khoảng của
hai biến cố không có quan hệ nhân quả).
c) Trường hợp giới hạn: khoảng Zero.
S2
= ∆x2
+ ∆y2
+ ∆z2
− c2
∆t2
= 0 ⇒ v = c
Hai biến cố nếu xảy đồng thời thì ở cùng một chỗ: ∆t = 0 ⇒ ∆x = 0.
6.2.7 Hình học bốn chiều Minkowski. Cách biểu diễn
bốn chiều của thuyết tương đối
Phép quay trong hệ tọa độ không gian ba chiều
Xét phép quay hệ tọa độ xOy trong không gian ba chiều quanh trục z tại gốc
tọa độ O một góc φ
x = xcosφ + ysinφ
y = ycosφ − xsinφ
z = z



.
Bán kính vec-tơ R của điểm P trong hệ tọa độ Oxyz: R2
= x2
+ y2
+ z2
Bán kính vec-tơ R của điểm P trong hệ tọa độ Ox y z : R 2
= x 2
+y 2
+z 2
.

Trong phép biến đổi hệ tọa độ trên, ta có: R 2
= R2
: invar., và do đó khoảng
cách giữa hai biến cố P, Q là ∆ có
∆ 2
= ∆x2
+ ∆y2
+ ∆z2
= ∆x 2
+ ∆y 2
+ ∆z 2
= ∆ 2
= invar.
Định nghĩa mới: vec-tơ A trong không gian 3 chiều là một tập hợp 3 đại
lượng ax, ay, az sao cho trong phép quay hệ tọa độ chúng biến đổi theo công
thức trên:



ax = axcosφ + aysinφ
ay = aycosφ − axsinφ
az = az
Ta có | A |=| A |= invar. trong phép quay góc φ trên.
Hệ tọa độ bốn chiều. Hình học Minkowski
Từ biểu thức về khoảng S2
= x2
+ y2
+ z2
− c2
t2
, ta định nghĩa vec-tơ tọa độ
4 chiều rα có bốn thành phần x1 = x, x2 = y, x3 = z, x4 = ict, ta có khoảng
được viết dưới hệ tọa độ 4 chiều Minkowski:
S2
= r2
α = x2
1 + x2
2 + x2
3 + x2
4 =
4
α=1
xαxα = xαxα, x4 = ict. (6.13)
Để thuận tiện, ta quy ước khi hai chỉ số trong một tích giống nhau thì bằng
tổng của các tích đó đi từ 1 đến 4.
rαrα =
4
α=1
4
α=1
xαxα = xαxα.
Tương tự như phép quay trong không gian ba chiều. Minkowski đề nghị phép
quay trong không gian 4 chiều: (quay mặt phẳng Ox1x4 trong mặt phẳng
Ox2x3 một góc φ)



x1 = x1coshφ + x4sinhφ
x4 = x4coshφ − x1sinhφ
x2 = x2
x3 = x3
. (6.14)

Đây là không gian 4 chiều mà mỗi điểm có vec-tơ tọa độ
rα(x1, x2, x3, x4), x1 = x, x2 = y, x3 = z, x4 = ict (6.15)
gọi là điểm thế giới. Tập hợp liên tục các điểm thế giới tạo nên đường thế giới
trong không gian 4 chiều.
Ta tìm sự liên hệ giữa phép quay Minkowski và phép biến đổi Lorentz.
Phép biến đổi Lorentz (6.3) cho ta



x = x−vtq
1−v2
c2
,
y = y,
z = z,
t =
t− v
c2 x
q
1−v2
c2
←→



x = x +vtq
1−v2
c2
,
y = y ,
z = z ,
t =
t + v
c2 x
q
1−v2
c2
.
đối chiếu với (6.15), ta thấy phép biến đổi Lorentz từ hệ quy chiếu quán tính
K sang hệ quy chiếu quán tính K tương đương với phép quay trong không
gian 4 chiều Minkowski với
coshφ = γ =
1
1 − v2
c2
, (6.16)
sinhφ = i
v
c
γ = i
v
c
1
1 − v2
c2
, (6.17)
từ đó rút ra các công thức biến đổi của các tọa độ 4 chiều tương ứng với phép
quay Lorentz:
x1 =
x1 + iv
c
x4
1 − v2
c2
= γ(x1 + icβx4),
x2 = x2,
x3 = x3,
x4 =
x4 − iv
c
x1
1 − v2
c2
= γ(x4 − icβx1).

Vectơ 4 chiều: Aα(A1, A2, A3, A4) là tập hợp bốn số hạng nghiệm đúng phép
quay Lorentz như trên gọi là vec-tơ 4 chiều tương đối tính; ba số hạng đầu
A1, A2, A3 là ba số thực được gọi là thành phần không gian và số hạng cuối A4
là số ảo được gọi là thành phần thời gian của Aα.
Các bất biến trong phép quay 4 chiều là các vô hướng 4 chiều: c, s, lo, to, AαBα, A2
α.
Cách biểu diễn 4 chiều thuyết tương đối
Các hiện tượng vật lý xảy ra như nhau trong mọi hệ quán tính. Về
mặt toán học nghĩa là các định luật vật lý phải bất biến đối với phép biến đổi
Lorentz. Phương pháp 4 chiều của Minkowski thể hiện các định luật vật lý này
dưới dạng các phương trình bốn chiều bất biến đối với phép quay Lorentz.
α = β: vô hướng bốn chiều
Aα = Bα: vec-tơ 4 chiều
Pαβ = Qαβ: tenxơ 4 chiều
Như vậy: muốn chứng minh một phương trình bất biến tương đối tính ta
chỉ cần viết nó dưới dạng 4 chiều. Ngược lại, một phương trình khi được viết
dưới dạng 4 chiều thì nó là bất biến tương đối tính
6.2.8 Vận tốc bốn chiều và gia tốc bốn chiều tương đối
tính
Vận tốc bốn chiều tương đối tính
Ta định nghĩa vec-tơ bốn chiều như sau:
uα =
drα
dt0
, (6.18)
drα(dx1, dx2, dx3, dx4) : vi phân bán kính vec-tơ bốn chiều tương đối tính.
t0 = t/γ (γ ≡ 1/ 1 − u2/c2): thời gian riêng của vật chuyển động, là một
bất biến tương đối tính.
Tích số của một bất biến 4 chiều với một vec-tơ 4 chiều tương đối tính là
một vec-tơ 4 chiều tương đối tính. Do đó uα được định nghĩa ở phương trình
(6.18) là vec-tơ vận tốc bốn chiều tương đối tính.

Ta tìm mối liên hệ giữa vận tốc bốn chiều tương đối tính uα với vận tốc
thông thường của vật chuyển động u(ux, uy, uz).
uα(u1, u2, u3, u4) = uα(u, u4), (6.19)
trong đó
u1 = γ dx1
dt
= γ dx
dt
= γux, (6.20)
u2 = γ dx2
dt
= γ dy
dt
= γuy, (6.21)
u3 = γ dx3
dt
= γ dz
dt
= γuz, (6.22)
u4 = γ dx4
dt
= γ d(ict)
dt
= iγc. (6.23)
Ta nhận thấy:
u2
α = u2
1 + u2
2 + u2
3 + u2
4 = γ2
(u2
x + u2
y + u2
z − c2
) =
u2
− c2
1 − u2
c2
= −c2
, (6.24)
4 thành phần của uα không độc lập với nhau, biết ba thành phần sẽ suy ra
thành phần còn lại.
Xét khi u c ⇒ γ ≈ 1, ta sẽ có u1 = ux, u2 = uy, u3 = uz giống như cơ cổ
điển.
Gia tốc 4 chiều
Tương tự như vận tốc bốn chiều tương đối tính, ta định nghĩa vec-tơ gia tốc
bốn chiều tương đối tính
wα =
duα
dt0
, (6.25)
lấy đạo hàm u2
α = −c2
theo t0, ta được
2uα
duα
dt0
=
d(−c2
)
dt0
= 0,
vì wα = duα/dt0 nên ta có
uαwα = 0
nghĩa là uα và wα trực giao với nhau trong không gian 4 chiều Minkowski.

6.3 Động lực học tương đối tính
6.3.1 Khối lượng và xung lượng tương đối tính của chất
điểm
Theo cơ học cổ điển vec-tơ xung lượng của hạt có khối lượng m đang chuyển
động với vận tốc u là p = mu, theo đó phương trình động lực học chất điểm
dp
dt
=
d
dt
(mu) = F
không phải là phương trình bốn chiều tương đối tính, do đó không bất biến
tương đối tính, nghĩa là không phải phương trình mô tả định luật động lực
học tương đối tính. Ta phải tìm phương trình khác thay thế nó.
Một cách hình thức ta định nghĩa vec-tơ xung lượng 4 chiều tương đối tính:
pα = m0uα (6.26)
trong đó m0: vô hướng bốn chiều tương đối tính và các thành phần
p1 = m0u1 = m0γux,
p2 = m0u2 = m0γuy,
p3 = m0u3 = m0γuz,
p4 = m0u4 = im0γc.
(6.27)
trong đó, γ ≡ 1/ 1 − u2/c2. Đặt m = m0γ thì
p1 = mux
p2 = muy
p3 = muz



⇐⇒ p = mu : xung lượng tương đối tính. (6.28)
p4 = imc.
Khi hạt đứng yên, ta có u = 0: m = m0: được gọi là khối lượng nghỉ của hạt.
Đại lượng
m =
m0
1 − u2
c2
= m0γ, (6.29)

§ 6.3. Động lực học tương đối tính 211
gọi là khối lượng tương đối tính ứng với hệ quy chiếu thấy vật đang chuyển
động với vận tốc u. Sự phụ thuộc của m và p vào vận tốc u được thực nghiệm
xác nhận theo đúng công thức (6.28), (6.29) như trên.
Khi hạt chuyển động chậm, u c: m ≈ m0: khối lượng của hạt trong cơ
học cổ điển.
Khi u = c: m → ∞, khối lượng tương đối tính của hạt lớn lên vô cùng nếu
m0 = 0. Hạt có khối lượng nghỉ không thể chuyển động với vận tốc bằng vận
tốc của sóng điện từ trong chân không.
6.3.2 Phương trình động lực học chất điểm
Ta định nghĩa lực bốn chiều Minkowski:
dpα
dt0
=
d
dt0
(m0uα) ≡ Fα. (6.30)
Suy ra
d
dt
(mui) = Fi/γ = Fi 1 −
u2
c2
= Fi
với i = x, y, z : các thành phần trong không gian.
Đây chính là phương trình động lực học tương đối tính của chất điểm. Khi
u c chúng trở thành phương trình cổ điển.
Xét thành phần thứ 4 của lực bốn chiều F4 = dp4/dt0 = d(m0u4)/dt0.
Ta có:
d
dt
(icm0γ) = F4 1 −
u2
c2
.
Ta tìm ý nghĩa vật lý của phương trình này.
Nhân hai vế phương trình
d
dt0
(m0uα) = Fα
với uα, ta có:
m0uα
duα
dt0
= uαFα
hay
m0uαwα = uαFα ⇒ uαFα 1 −
u2
c2
= 0,

nghĩa là
(u1F1 + u2F2 + u3F3 + u4F4) 1 −
u2
c2
= 0.
Lưu ý:
u1 = γux; u2 = γuy; u3 = γuz
và
Fx = F1 1 −
u2
c2
, Fy = F2 1 −
u2
c2
, Fz = F3 1 −
u2
c2
,
ta suy ra từ kết quả trên:
F4 =
i
c
F.u
1 − u2
c2
= i
γF.u
c
hay
d
dt
(mc2
) = Fu
là công suất của trọng lực thông thường tác dụng lên hạt.
Do đó vế trái phải là biến thiên năng lượng toàn phần của hạt theo thời
gian.
Ta định nghĩa: E = mc2
= m0γc2
là năng lượng toàn phần của hạt.
Suy ra p4 = imc = imc2
/c = iE/c tỉ lệ với năng lượng toàn phần của hạt
nên pα có 3 thành phần là xung lượng, một thành phần tỉ lệ với năng lượng
nên được gọi là vec-tơ năng xung lượng bốn chiều.
6.3.3 Xung lượng, năng lượng và khối lượng trong thuyết
tương đối
Ta có công thức biến đổi vec-tơ năng xung lượng bốn chiều:



p1 = γ(p1 + iv
c
p4)
p2 = p2
p3 = p3
p4 = γ(p4 − iv
c
p1)

Từ đó suy ra:
px = γ(px −
v
c2
E) (6.31)
py = py
pz = pz
E = γ(E − vpx) (6.32)
với
px = mux, py = muy, pz = muz.
Xung lượng và năng lượng toàn phần là những lượng tương đối.
Còn lượng bất biến là môđun của pα:
p2
α = p2
x + p2
y + p2
z −
E2
c2
= −m2
0c2
= invar 0,
nó là vec-tơ dạng thời gian. Do đó thành phần thời gian của nó không bị triệt
tiêu trong bất kỳ hệ tọa độ quán tính nào.
Xung lượng p và năng lượng E không độc lập với nhau. Theo trên ta suy
ra
E = c p2 + m2
0c4. (6.33)
Xét công thức năng lượng toàn phần của hạt:
E =
m0c2
1 − u2
c2
= m0γc2
= mc2
Khi u c thì E ≈ m0c2
+ 1
2
m0u2
Khi hạt đứng yên u=0 ⇒ E = E0 = m0c2
: năng lượng tĩnh của hạt.
Như vậy năng lượng toàn phần của hạt gồm năng lượng tĩnh và động năng
của hạt (không có thế năng).
Theo công thức Einstein E = mc2
thì m là số đo dự trữ năng lượng của
hạt. Thực nghiệm chứng tở rằng năng lượng tĩnh E0 = m0c2
có thể biến thành
động năng của hạt. Đó là nguyên tắc của kỹ thuật năng lượng hạt nhân.

6.3.4 Thuyết lượng tử ánh sáng
Photon không có khối lượng tĩnh: m0 = 0 nên:
E = c p2 + m2
0c2 = cp,
nó chỉ có khối lượng tương đối khi chuyển động m = E/c2
. Vì năng lượng của
photon tỉ lệ với tần số dao động ν của nó, E = hν, nên xung lượng của photon
p = E/c = hν/c và khối lượng tương đối tính của photon m = E/c2
= hν/c2
,
trong đó h = 6.62.10−34
J.s là hằng số Planck.
Như vậy, photon có khối lượng tương đối tính m và có tần số dao động ν
nên nó có lưỡng tính sóng-hạt.
• Thuyết tương đối hẹp xuất phát từ hai tiên đề Einstein:
Tiên đề thứ nhất: Mọi hiện tượng vật lý đều diễn ra như nhau trong mọi hệ
quán tính.
Tiên đề thứ hai: Vận tốc ánh sáng trong chân không là không đổi theo mọi
phương và không phụ thuộc chuyển động của nguồn sáng .
• Phép biến đổi Lorentz phù hợp với hai tiên đề Einstein dùng để chuyển
đổi tọa độ và thời gian giữa hai hệ quy chiếu quán tính K và K



x = x−vtq
1−v2
c2
y = y
z = z
t =
t− v
c2 x
q
1−v2
c2
←→



x = x +vtq
1−v2
c2
y = y
z = z
t =
t + v
c2 x
q
1−v2
c2
• Ý nghĩa các công thức biến đổi Lorentz: (a) v c: vận tốc của vật chất
luôn bé hơn vận tốc truyền sóng điện từ trong chân không; (b) Không gian và
thời gian gắn liền với nhau chặt chẽ và có tính tương đối. Mỗi hệ quy chiếu có
một không-thời gian riêng; (c) Khi v c phép biến đổi Lorentz chuyển sang
phép biến đổi Galileo. Do đó thuyết tương đối có tính tổng quát hơn cơ học
cổ điển Newton, thừa nhận cơ học Newton như là một trường hợp riêng của
nó ứng với khi v c.

• Theo thuyết tương đối, không gian, thời gian phụ thuộc hệ quy chiếu.
Đối với quan sát viên trong hệ quy chiếu thấy vật chuyển động thì chiều dài
của vật theo phương chuyển động bị co lại = 0 1 − v2/c2 so với chiều dài
riêng 0 của vật, còn thời gian ∆t = ∆t0/ 1 − v2/c2 trôi nhanh hơn so với
thời gian riêng của vật.
• Vận tốc trong hệ quy chiếu thấy vật chuyển động u = (u +v)/(1+vu /c2
)
cũng có tính tương đối, phụ thuộc hệ quy chiếu và có giới hạn là u, u ≤ c.
• Các lượng bất biến đối với phép biến đổi Lorentz là: vận tốc ánh sáng
trong chân không, chiều dài riêng 0, thời gian riêng t0 và khoảng giữa hai biến
cố
S2
= ∆x2
+ ∆y2
+ ∆z2
− c2
∆t2
= ∆x 2
+ ∆y 2
+ ∆z 2
− c2
∆t 2
= S 2
= invar.
• Trong không-thời gian bốn chiều Minkowski, một biến cố (r, t) được biểu
diễn bằng một vec-tơ bốn chiều rα(x1 = x, x2 = y, x3 = z, x4 = ict) bất biến
tương đối tính, nghĩa là bất biến đối với phép quay Lorentz
rα −→ Qx2x3 (φ)rα = rα =



x1 = x1coshφ + x4sinhφ
x4 = x4coshφ − x1sinhφ
x2 = x2
x3 = x3
.
trong đó coshφ = γ = (1−v2
/c2
)−1
, sinhφ = iγv/c. Lưu ý cosh2
φ+sinh2
φ = 1.
Các vec-tơ vận tốc 4 chiều, gia tốc 4 chiều tương đối tính có biểu thức
uα =
drα
dt0
= γ
drα
dt
(u1 = γux, u2 = γuy, u3 = γuz, u4 = iγc), wα =
duα
dt0
.
u2
α = −c2
=⇒ uαwα = 0 : hai vec-tơ vận tốc và gia tốc bốn chiều trực giao với nhau.
• Các phương trình của các vec-tơ bốn chiều hoặc vô hướng bốn chiều
tương đối tính của trường điện từ là bất biến tương đối tính, do đó chúng mô
tả các định luật tương đối tính của trường điện từ.
• Vec-tơ xung lượng bốn chiều tương đối tính
pα = m0uα (p1 = m0u1 = mux, p2 = m0u2 = muy, p3 = m0u3 = muz, p4 = m0u4 = iE/c) .
m0 là khối lượng nghỉ của hạt, E = mc2
= c p2 + m2
0c2 : năng lượng toàn phần của hạt.

m = m0γ =
m0
1 − v2
c2
là khối lượng tương đối tính của hạt.
• Theo thuyết lượng tử ánh sáng mỗi tia sóng điện từ là một photon, là một
chuẩn hạt không có khối lượng nghỉ (m0 = 0), nó có năng lượng E = hν = ω,
xung lượng p = E/c và khối lượng tương đối tính m = E/c2
= hν/c2
trong
đó ν là tần số sóng điện từ, h = 6, 62.10−34
Js là hằng số Planck. Photon có
lưỡng tính sóng hạt.
6.1. Thành lập công thức biến đổi Lorentz cho trường hợp vận tốc tương đối
của hai hệ có hướng tùy ý.
6.2. Viết công thức biến đổi Lorentz cho trường hợp gốc tọa độ và gốc thời
gian chọn tùy ý.
6.3. Chứng minh hệ thức
u =
(u + v)2 − (u v)2/c2
1 + u v/c2
trong đó u và u là vận tốc của một hạt trong các hệ K và K . v là vận tốc
tương đối của hệ K đối với hệ K.
6.4. Trong hệ K, một hình vuông ABDE có tọa độ các đỉnh A(1, 4, 0) B(3, 4, 0) D(3, 2, 0).
a) Khi đồng hồ trong hệ K chỉ thời điểm t = 2
√
3/c thì tọa độ các đỉnh
A, B, D trong hệ K là bao nhiêu? Đồng hồ tại các đỉnh đó chỉ những thời
điểm nào?
b) Khi đồng hồ trong hệ K chỉ thời điểm t = 2
√
3/c thì tọa độ các đỉnh
A, B, D trong hệ K là bao nhiêu?
c) Tính kích thước của hình vuông trong hệ K và so sánh với kích thước
của nó trong hệ K.
Cho biết vận tốc hệ K so với hệ K là v = c
√
3/2.
ĐS: a) xA = −4, tA = 3
√
3/c, xB = xD = 0, tB = tD =
√
3/c; b)
xA = −2, 5; xB = xD = −1, 5.

6.5. Một thanh dài chuyển động dọc theo trục của nó với vận tốc bằng v. Ta
đo chiều dài của thanh bằng cách đo khoảng thời gian nó đi qua một điểm P
đứng yên và nhân ∆t với vận tốc v của nó. Chứng minh rằng chiều dài đo
được bằng phương pháp đó so với chiều dài riêng 0 của thanh bằng
= 0 1 −
v2
c2
6.6. Hai thanh có cùng chiều dài riêng 0 và chuyển động trong hệ K với vận
tốc v và −vecv dọc theo chiều dài của chúng. Tính chiều dài của mỗi thanh
đo trong hệ gắn với thanh kia.
ĐS: = 0(1 − v2
/c2
)/(1 + v2
/c2
).
. 6.7. Một chòm sao cách trái đất 4 năm ánh sáng. Một con tàu vũ trụ đi từ
trái đất đến chòm sao đó rồi quay trở về trái đất. Giả thiết vận tốc khi đi bằng
vận tốc khi về đều không đổi và có giá trịv = c
√
0, 9999.
a) Trái đất phải đợi bao nhiêu lâu cho tới khi con tàu trở về?
b) Con tàu phải dự trữ lương thực cho thời gian bao nhiêu lâu?
ĐS: a) 8 năm; b) 1 tháng.
6.8. Trong hệ K chuyển động với vận tốc v ≈ c, nhười ta phóng ra hai tia
ngược chiều nhau dọc theo trục y . Tính vận tốc ánh sáng và góc α tạo bởi
hai tia sáng trong hệ K.
ĐS: α ≈ 0.
6.9. Một đoàn tàu Einstein A B có chiều dài riêng 0 = 8, 64.108
km, và vận
tốc v = 2, 4.105
km/s, chuyển động dọc theo một sân ga AB có chiều dài
riêng cũng bằng 0. Ở đầu B và cuối A của đoàn tàu có những đồng hồ chạy
đồng bộ với nhau. Ở đầu A và cuối B sân ga cũng có những đồng hồ chạy
đồng bộ với nhau. Lúc đầu tàu đi ngang qua đầu sân ga, đồng hồ ở A và B
cùng chỉ 0h.
Khi đuôi tàu đi ngang đầu sân ga thì các đồng hồ ở A, B, A , B chỉ mấy
giờ
a) đối với một hành khách ở sân ga?
b) đối với một hành khách ở trên tàu?
ĐS: a) tA = tB = 36 phút; tA = 1 giờ, tB = 21, 6 phút; b) tA = tB = 1
giờ; tA = 36 phút, tB = 1giờ 14, 4 phút.

6.10. Thời gian riêng trung bình của meson µ khoảng 2.10−6
s. Giả sử có một
dòng meson µ từ một độ cao nào đó trong khí quển chuyển động xuống dưới
với vận tốc v = 0, 99c. Số va chạm trong khí quyển trên đường đi của chúng là
không lớn. Nếu như tại mặt đất chỉ còn 1% số meson của dòng ban đầu, hãy
xác định độ cao ban đầu (trong hệ quy chiếu của dòng meson, số hạt còn lại
sau thời gian t được xác định bằng công thức N(t) = N(0)e−t/T
).
ĐS: 20 km.
6.11. a) Tìm thời gian sống trung bình của một dòng meson π+
chuyển động
với vận tốc v = 0, 73c ( thời gian sống riêng trung bình của meson π+
là
τ = 2, 5.10−8
s.
b) Quãng đường meson π+
đi được là bao nhiêu?
c) Quãng đường meson π+
đi được là bao nhiêu nếu không kể đến hiệu ứng
tương đối tính?
ĐS: a) t = 3, 6.10−8
s, b) 8m, c) 5m.
6.12. Khối lượng nghỉ của hạt là m0. Hãy biểu diễn vận tốc của hạt theo:
a) Năng lượng toàn phần E,
b) Động năng T,
c) Xung lượng p.
ĐS: a) v = c 1 − (m2
0/E)2; b) v = c 1 − (m0c2)/(m0c2 + T); c) v =
cp/ p2 + m2
0c2.
6.13. Chứng minh rằng khi không có trường ngoài, photon không thể tự phân
hủy thành cặp electron-positron.

Chương 7
ĐIỆN ĐỘNG LỰC HỌC
TƯƠNG ĐỐI TÍNH
Mở đầu:
Điện động lực học tương đối tính là lý thuyết trường điện từ cho các hạt tích
điện chuyển động nhanh có vận tốc gần bằng vận tốc ánh sáng trong chân
không. Các phương trình mô tả các định luật của trường điện từ tương đối
tính phải bất biến đối với phép biến đổi Lorentz, nghĩa là chúng phải được mô
tả bằng phương trình giữa các đại lượng bốn chiều tương đối tính trong trường
điện từ. Để đơn giản, chúng ta sẽ biến đổi các phương trình thế vec-tơ và thế
vô hướng của trường điện từ thành các phương trình thế bốn chiều tương đối
tính, thông qua đó giới thiệu các vec-tơ mật độ dòng bốn chiều, vec-tơ thế bốn
chiều, các toán tử đạo hàm bốn chiều tuân theo phép quay Lorentz tương đối
tính. Trong chương này, chúng ta sẽ trình bày phép biến đổi các vec-tơ trường
khi đổi hệ quy chiếu, các bất biến tương đối tính cơ bản của trường điện từ,
các hệ quả và hiệu ứng Doppler của sóng điện từ.
Học xong chương này người học phải nắm chắc các khái niệm về toán tử đạo
hàm bốn chiều tương đối tính, vec-tơ mật độ dòng 4 chiều tương đối tính,
vec-tơ thế bốn chiều tương đối tính. Từ đó xây dựng được phương trình thế
bốn chiều tương đối tính là phương trình cơ bản của điện động lực học tương
đối tính. Người học phải biết thiết lập công thức biến đổi các vec-tơ trường
219

220 Chương 7. ĐIỆN ĐỘNG LỰC HỌC TƯƠNG ĐỐI TÍNH
điện từ khi chuyển hệ tọa độ để suy ra hai bất biến cơ bản của trường điện từ
tương đối tính và các hệ quả của chúng, trong đó có hiệu ứng Doppler ngang
và dọc của trường điện từ.
7.1 Tính bất biến của điện tích. Mật độ dòng
bốn chiều
Xét phương trình liên tục mô tả dạng vi phân của định luật bảo toàn điện tích
divj +
∂ρ
∂t
= 0. (7.1)
Đây là định luật được nghiệm đúng trong mọi hệ quy chiếu quán tính, do
đó nó là định luật bất biến tương đối tính. Ta sẽ viết nó dưới dạng 4 chiều.
Có thể viết lại số hạng
∂ρ
∂t
=
ic∂ρ
ic∂t
=
∂(icρ)
∂(cit)
=
∂(icρ)
∂x4
. (7.2)
phương trình liên tục (7.1) trở thành:
∂jx
∂x
+
∂jy
∂y
+
∂jz
∂z
+
∂(icρ)
∂(cit)
= 0
hay
∂j1
∂x1
+
∂j2
∂x2
+
∂j3
∂x3
+
∂j4
∂x4
= 0 (7.3)
trong đó ta đã định nghĩa jx = j1, jy = j2, jz = j3, j4 = icρ, còn α =
∂/∂xα, α = 1, 2, 3, 4. Theo đó (7.3) viết lại thành:
αjα = 0. (7.4)
Đây là dạng 4 chiều tương đối tính của định luật bảo toàn điện tích. Rõ ràng
α = ∂/∂xα là một toán tử vec-tơ 4 chiều tương đối tính nên jα(jx, jy, jz, icρ)
phải là một vec-tơ 4 chiều gọi là vec-tơ mật độ dòng bốn chiều tương đối tính.
Theo định nghĩa j = ρu, và
j2
α = j2
x + j2
y + j2
z
j2
−c2
ρ2
= ρ2
u2
− c2
ρ2
= ρ2
(u2
− c2
) 0, (7.5)

§ 7.2. Cách biểu diễn tương đối tính các phương trình cơ bản của trường điện
từ. Thế 4 chiều tương đối tính 221
vì c u.
Vậy vec-tơ 4 chiều jα có dạng thời gian nên thành phần theo thời gian
j4 = icρ không triệt tiêu trong mọi hệ quy chiếu quán tính, nghĩa là ρ = 0 đối
với mọi hệ quy chiếu quán tính.
Dựa vào công thức biến đổi của vec-tơ 4 chiều jα, ta rút ra công thức biến
đổi cho ρ,j khi đổi hệ quy chiếu



jx = (jx + ρ v)γ
jy = jy
jz = jz
ρ = γ(ρ + v
c2 jx)
⇔



jx = γ(jx − ρ v)
jy = jy
jz = jz
ρ = γ(ρ − v
c2 jx)
(7.6)
Xét hệ K gắn liền với điện tích, điện tích đứng yên trong hệ K nên
de = ρ dV , j = 0 và j4 = icρ .
Trong hệ K
jx = γρ v,
ρ = γρ .
Như vậy có dòng điện jx = theo phương Ox của hệ K và ρ = ρ . Vì dx =
γdx, dy = dy, dz = dz, nên dV = dx dy dz = γdxdydz = γdV , suy ra
ρdV = γρ dV = ρ dV , nghĩa là
de = de . (7.7)
Rõ ràng khi chuyển hệ tọa độ thì mật độ điện tích thay đổi (ρ = ρ ) nhưng
điện tích chứa trong một nguyên tố thể tích bất kỳ là không đổi. Điều này
chứng tỏ tính bất biến của điện tích.
7.2 Cách biểu diễn tương đối tính các phương
trình cơ bản của trường điện từ. Thế 4
chiều tương đối tính
Trong chương1 nói về trường điện từ, ta đã chứng minh được hệ phương trình
Maxwell tương đương với các phương trình thế D’Alembert với điều kiện định

cỡ Lorentz là những phương trình cơ bản của điện từ trường. Chúng ta sẽ tìm
cách biểu diễn chúng dưới dạng 4 chiều.
Với điều kiện định cỡ Lorentz trong chân không
A +
1
c2
∂ϕ
∂t
= 0, (7.8)
phương trình thế vec-tơ và thế vô hướng (phương trình thế D’Alembert)
có dạng
2
A − 1
c2
∂2A
∂t2 = −µ0j,
2
ϕ − 1
c2
∂2ϕ
∂t2 = − ρ
0
.
(7.9)
Điều kiện định cỡ Lorentz (7.8) có thể viết thành:
∂A1
∂x1
+
∂A2
∂x2
+
∂A3
∂x3
+
∂A4
∂x4
= 0
với A1 = Ax, A2 = Ay, A3 = Az, x4 = ict, A4 = i
c
ϕ, hay
αAα = 0. (7.10)
Ta chọn các vec-tơ thế bốn chiều Aα trong các hệ quy chiếu quán tính K sao
cho chúng luôn thỏa mãn điều kiện định cỡ Lorentz, nghĩa là một phương trình
bốn chiều tương đối tính. Theo đó, ta đã định nghĩa vec-tơ thế 4 chiều tương
đối tính
Aα(A,
i
c
ϕ) (7.11)
luôn thỏa mãn phép quay Lorentz



A1 = (A1 − iv
c
A4)γ
A2 = A2
A3 = A3
A4 = γ(A4 + iv
c
A1)
⇔



A1 = γ(A1 + iv
c
A4)
A2 = A2
A3 = A3
A4 = γ(A4 − iv
c
A1)
(7.12)
Thế các các đại lượng này vào (7.9) và cộng vế theo vế. Ta có
2
αAα = −µ0jα (7.13)

§ 7.3. Công thức biến đổi các vec-tơ điện trường và từ trường 223
với
2
α =
∂2
∂x2
1
+
∂2
∂x2
2
+
∂2
∂x2
3
+
∂2
∂x2
4
, (7.14)
hay
Aα = −µ0jα, ≡ 2
: Toán tử D’Alembert. (7.15)
Vì Aα(A, iϕ/c) là vec-tơ thế bốn chiều tương đối tính thỏa mãn phép quay
Lorentz, nên ta suy ra phép biến đổi:



Ax = (Ax + v
c2 ϕ )γ
Ay = Ay
Az = Az
ϕ = γ(ϕ + vAx)
⇔



Ax = γ(Ax − v
c2 ϕ)
Ay = Ay
Az = Az
ϕ = γ(ϕ − vAx)
(7.16)
7.3 Công thức biến đổi các vec-tơ điện trường
và từ trường
Dựa vào phép biến đổi (7.16), phép biến đổi tọa độ và hệ thức liên hệ giữa các
thế với vec-tơ cường độ điện trường
E = − ϕ −
∂A
∂t
,
lưu ý
∂
∂x
=
∂x
∂x
.
∂
∂x
+
∂t
∂x
.
∂
∂t
∂
∂t
=
∂x
∂t
.
∂t
∂x
+
∂t
∂t
.
∂
∂t
∂
∂y
=
∂
∂y
;
∂
∂z
=
∂
∂z
và biểu thức khai triển theo ba thành phần tọa độ của rotA = B, ta rút ra:
Ex = Ex,
Ey = γ(Ey + vBz),
Ez = γ(Ez − vBy),
Bx = Bx,
By = γ(By − v
c2 Ez),
Bz = γ(Bz + v
c2 Ey).



(7.17)

Nếu gọi
E// = Ex : song song với phương chuyển động có vận tốc v,
E⊥ = Ey + Ez : thẳng góc với phương chuyển động có vận tốc v,
E// = E//; B// = B//;
E⊥ = γ(E⊥ − (v × B )⊥); B⊥ = γ(B⊥ + 1
c2 (v × E )⊥).
(7.18)
Với v c , thì (7.18) được viết gộp lại
E = E − (v × B ); B = B +
1
c2
(v × E ). (7.19)
7.4 Các bất biến tương đối tính cơ bản của
điện từ trường
Từ các công thức biến đổi điện trường và từ trường ta chứng minh trực tiếp
rằng các công thức sau đây là bất biến tương đối tính viết cho từng điểm thế
giới trong không gian 4 chiều
I1 = c2
B2
− E2
= c2
B 2
− E 2
,
I2 = BE = B E ,
Hoặc I1 = H2
− c2
D2
= H 2
− c2
D2
,
I2 = HD = H D .



(7.20)
Đây là hai bất biến duy nhất độc lập với nhau. Các bất biến khác của điện từ
trường có thể rút ra từ hai bất biến trên.
Từ các bất biến trên suy ra một số hệ quả như sau:
1. Nếu I1 0 và I2 = 0 (E⊥B) ⇒ tìm được một hệ kín K mà E = 0
và B = 0,
2. Nếu I1 0 và I2 = 0 ⇒ tìm được một hệ K mà E = 0 và B = 0,
3. Nếu I2 = 0 (E ⊥B) ⇒ ∀K , E ⊥B vì I2 = 0,
4. Nếu ∃K, (I1 0 và I2 = 0) hoặc (I1 0 và I2 = 0) ⇒
∀K , E⊥B , E = 0, B = 0 (ngoại trừ trường hợp E hoặc B//v của K ),

§ 7.5. Hiệu ứng Doppler đối với điện từ trường 225
5. Nếu sóng là sóng phẳng đơn sắc: B⊥E và c2
B2
− E2
= 0, nghĩa là
I1 = 0 và I2 = 0 thì rõ ràng ta luôn có ∀K , B ⊥E và c2
B 2
− E 2
= 0: sóng
phẳng là một khái niệm bất biến tương đối tính.
7.5 Hiệu ứng Doppler đối với điện từ trường
Một quan sát viên ở trong hệ quy chiếu quán tính K thấy một nguồn sáng
S chuyển động với vận tốc v không đổi theo phương Ox. Nguồn sáng phát ra
phát ra ánh sáng đơn sắc tần số góc riêng ω trong hệ quy chiếu K gắn liền với
nguồn S. Quan sát viên thấy ánh sáng đến mắt mình với tần số ω (trong hệ
K thấy nguồn sáng chuyển động) theo phương k hợp với v một góc θ = (k, v).
Ta tìm hệ thức giữa ω và ω .
Sóng phẳng là một khái niệm bất biến tương đối tính, nên tại một điểm
thế giới nào đó E = B = 0 thì tại mọi hệ quy chiếu quán tính K’ khác, ta
cũng có E = B = 0, mà theo phép biến đổi các vec-tơ trường (7.17)
Ex = Ex = 0 ⇐⇒ E0xcos(ωt − kr) = E0x cos(ω t − k r ) = 0
Bx = Bx = 0 ⇐⇒ B0xcos(ωt − kr) = E0x cos(ω t − k r ) = 0
suy ra pha ωt − kr = ω t − k r phải là một lượng bất biến tương đối tính.
Nếu đặt
rα = (x, y, z, cit)
kα = (kx, ky, kz, iω/c)
thì
kαrα = kr − ωt = invar.
Do đó kα là một vec-tơ sóng bốn chiều tương đối tính, nó tuân theo phép biến
đổi Lorentz, nghĩa là
k4 = k4 − i
v
c
k1 γ, lưu ý k =
ω
c
n,
sẽ rút ra được:
ω = ω −
v
c
ωnx γ = ω 1 −
v
c
cosθ γ,

hay
ω = ω
1 − v2
c2
1 − v2
c
cosθ
, θ = (k, v).
Rõ ràng quan sát viên ở trong hệ K thấy tần số sóng điện từ phát ra từ
nguồn là ω = ω . Đây chính là hiệu ứng Doppler đối với sóng điện từ.
Trường hợp cổ điển, nguồn phát sóng chuyển động chậm: v c, ta có
ω = ω
1
1 − v
c
cosθ
≈ ω 1 +
v
c
cosθ.
Khi phương bức xạ trùng với phương chuyển động của nguồn: cosθ = ±1,
ω = ω 1 ±
v
c
trùng với công thức cổ điển của hiệu ứng Doppler dọc.
Khi phương bức xạ vuông góc phương chuyển động, k⊥v, ta có cosθ = 0,
suy ra ω = ω : không có hiệu ứng Dopper ngang trong trường hợp cổ điển.
Tuy nhiên trong trường hợp tương đối tính, khi phương bức xạ vuông góc
phương chuyển động, ta vẫn có hiệu ứng Doppler ngang:
ω = ω 1 −
v2
c2
≈ ω 1 −
v2
2c2
= ω
Hiệu ứng này được thực nghiệm xác nhận là tồn tại.
• Điện động lực học tương đối tính là lý thuyết trường điện từ cho các hạt
tích điện chuyển động nhanh có vận tốc gần bằng vận tốc ánh sáng trong chân
không. Các phương trình mô tả các định luật của trường điện từ phù hợp với
thuyết tương đối phải bất biến đối với phép biến đổi Lorentz, nghĩa là chúng
phải được mô tả bằng phương trình giữa các đại lượng bốn chiều tương đối
tính trong trường điện từ. Ta quy ước gọi các vec-tơ bốn chiều tương đối tính
là các vec-tơ bốn chiều thỏa mãn phép quay Lorentz.
• Định luật bảo toàn điện tích vẫn còn nghiệm đúng cho các hạt mang
điện chuyển động nhanh gần bằng vận tốc ánh sáng trong chân không, do đó

§ 7.5. Hiệu ứng Doppler đối với điện từ trường 227
phương trình liên tục của trường điện từ là một bất biến tương đối tính
αjα =
∂j1
∂x1
+
∂j2
∂x2
+
∂j3
∂x3
+
∂j4
∂x4
= 0,
jα j, icρ là vec-tơ mật độ dòng bốn chiều tương đối tính. Từ đó suy ra tính
bất biến của điện tích de = de .
• Điều kiện định cỡ Lorentz được cho nghiệm đúng với mọi hệ quy chiếu
quán tính, do đó nó là một phương trình bất biến tương đối tính
divA + 0µ0
∂A
∂t
= 0 ⇐⇒ αAα = 0
trong đó Aα(A, iϕ/c) là vec-tơ thế bốn chiều tương đối tính. Theo đó ta có
phương trình thế bốn chiều bất biến tương đối tính
2
αAβ = µ0jβ.
• Phép biến đổi các vec-tơ trường khi chuyển hệ quy chiếu quán tính
Ex = Ex, Ey = γ(By − vBz/c2
), Ez = γ(Ez + vBy),
Bx = Bx, By = γ(By − vEz/c2
), Bz = γ(Bz + vEy/c2
).
• Từ các công thức biến đổi các vec-tơ trường, ta rút ra được hai bất biến
cơ bản của trường điện từ
I1 = c2
B2
− E2
= c2
B 2
− E 2
; I2 = BE = B E .
Đây là hai bất biến duy nhất độc lập với nhau. Từ hai bất biến này ta rút
được 5 hệ quả cho thấy tính tương đối của các biểu hiện của trường điện từ.
Đặc biệt, ta suy ra được sóng phẳng đơn sắc là khái niệm bất biến tương đối
tính với I1 = 0 và I2 = 0.
• Điện động lực học tương đối tính với khái niệm sóng phẳng đơn sắc bất
biến tương đối tính đã cho ta kết luận pha bốn chiều kαrα = invar. Từ đó suy
ra hiệu ứng Doppler ngang và dọc đối với trường điện từ
ω = ω
1 − v2/c2
1 − vcosθ/c.

Hiệu ứng Doppler ngang: khi phương truyền sóng cùng phương chuyển động
của nguồn phát sóng θ = 0, π, theo đó ω ≈ ω (1 ± v/c) khi v c.
Hiệu ứng Doppler dọc: khi phương truyền sóng thẳng góc với phương
chuyển động của nguồn phát sóng θ = ±π/2, theo đó ω ≈ ω [1 − v2
/(2c2
)]
khi v c.
7.1. Một hạt tương đối tính có điện tích q, khối lượng tĩnh m0, năng lượng ban
đầu W, chuyển động trong điện trường hãm đều song song với vận tốc của
hạt. Tính quãng đường đi của hạt.
ĐS: = (W − m0c2
)/qE.
7.2. Trong hệ K có điện trường đều E theo chiều dương trục y và từ trường
đều theo chiều dương trục z.
a) Tìm hệ quy chiếu K1 trong đó điện trường triệt tiêu. Tính từ trường
trong hệ đó.
b) Tìm hệ quy chiếu K2 trong đó từ trường triệt tiêu. Tính điện trường
trong hệ đó.
ĐS: a) v = E/B c, B = B2 − E2/c2; b) v = c2
B/E c, E =
E2/c2 − B2.
7.3. Một dây dẫn thẳng dài vô hạn tích điện với mật độ điện dài λ. Cách nó
một khoảng r có một điện tích điểm q 0. Tính lực điện từ tác dụng lên điện
tích khi cả điện tích lẫn dây dẫn cùng chuyển động với vận tốc v theo phương
của dây dẫn.
ĐS: F = [λ/(2π r)] 1 − v2/c2.
7.4. Một chùm điện tử hình trụ có bán kính R. Vận tốc điện tử v, mật độ
điện tử trong hệ quy chiếu gắn liền với chúng bằng ρ. Tính lực điện từ tác
dụng lên một điện tử trong chùm cách trục đối xứng một khoảng bằng r R:
a) Trong hệ gắn với điện tử,
b) Trong hệ đướng yên.
ĐS: a) F = ρer/(2 0); b) F = ρer 1 − (v2/c2)/2 .
7.5. a) Viết các phương trình bảo toàn xung lượng và năng lượng cho hiệu ứng

Compton (một photon đập vào một điện tử đang đứng yên).
b) Tìm năng lượng của photon tán xạ đối với trường hợp tán xạ ngược lại
1800
. Giả thiết điện tử bật ngược trở lại chuyển động với vận tốc gần bằng
vận tốc ánh sáng.
ĐS: a) hν + m0c2
= hν + γm0c2
. b) hν = hν [1 + 2hν/(mc2
)]
−1
7.6. Một máy vô tuyến định vị (radar) bắn tốc độ hoạt động ở tần số 109
Hz.
Hãy xác định tần số phách giữa tín hiệu truyền đi và tín hiệu nhận lại sau khi
phản xạ từ một ô-tô đang chuyển động với vận tốc 30m/s.
ĐS: ∆ν = ν0(2v/c) = 200Hz.
7.7. Một sóng điện từ phẳng đơn sắc truyền trong không gian tự do và đi tới
vuông góc với bề mặt phẳng của một môi trường có chiết suất n. Đối với người
quan sát không chuyển động thì điện trường của sóng tới được xác định bởi
phần thực của E0xei(kz−ωt)
, trong đó z là trục tọa độ dọc theo đường vuông
gsoc tới bề mặt. Hãy tìm tần số của sóng phản xạ trong trường hợp môi trường
và bề mặt của nó chuyển động với vận tốc v dọc theo chiều dương của trục z
đối với người quan sát.
ĐS: ωpx = ω(1 − v/c)/(1 + v/c).
7.8. Hai mặt phẳng tích điện đều với mật độ điện tích mặt +σ và −σ cách
nhau một khoảng d trong hệ quy chiếu thấy chúng đứng yên. Cho hai mặt
phẳng này chuyển động dọc theo trục x song song với chúng với vận tốc v . Bỏ
qua hiệu ứng mép, hãy tìm độ lớn và hướng của vec-tơ cường độ điện trường
và vec-tơ cảm ứng từ trường ở giữa các tấm đó.
ĐS: E(0, 0, −γσ/ 0), B(0, γβσ/( 0c), 0), β ≡ v/c, γ ≡ (1 − β2
)−1/2
.
7.9. Hãy chứng minh rằng I1 = E2
− c2
B2
và I2 = EB là hai bất biến đối với
phép biến đổi Lorentz.
7.10. Hãy chứng minh rằng trường điện từ của một hạt mang điện q chuyển
động với vận tốc v không đổi được cho bởi
E =
q
4π 0χ
γ(x − vt),
q
4π 0χ
γy,
q
4π 0χ
γz ,
B = 0, −
q
4π 0χ
βγz,
q
4π 0χ
βγy ,

Chương 8
ÔN TẬP GIẢI TÍCH VEC-TƠ
Mở đầu
Giải tích vec-tơ công cụ chính của lý thuyết trường điện từ cổ điển dùng để
diễn đạt sự phụ thuộc của các vec-tơ trường điện từ vào không-thời gian và
mối liên hệ chặt chẽ có tính lôgic giữa chúng với các đại lượng động lực của
trường điện từ. Mặc dù sinh viên khoa Vật lý đã được học về giải tích vec-tơ
trong các học phần toán cao cấp, tuy nhiên việc nhắc lại các kiến thức cơ bản
và các công thức của giải tích vec-tơ được sử dụng thường xuyên trong Điện
động lực học là điều cần thiết cho sinh viên trước khi bắt đầu vào học môn
này.
Nhằm giúp cho người học ôn lại các kiến thức cơ bản về đại số vec-tơ như các
phép tính vec-tơ, tích vô hướng, tích hữu hướng hai vec-tơ, tích hỗn hợp và tích
vec-tơ kép cùng với giải tích vec-tơ bao gồm các đạo hàm riêng phần về vec-tơ
hàm A(r) hoặc hàm vô hướng ϕ(r) theo tọa độ như gradϕ, divA, rotA, 2
A,...
và các định lý về tích phân Gauss, Stockes, Green. Các công thức biến đổi
trong giải tích vec-tơ cũng được giới thiệu, chứng minh để người đọc dễ dàng
sử dụng trong quá trình học tập môn Điện động lực học.
231

232 Chương 8. ÔN TẬP GIẢI TÍCH VEC-TƠ
8.1 Đại số vec-tơ
8.1.1 Các phép tính vec-tơ
Một chiếc ô tô chạy trên đường theo hướng Bắc từ A đến B một đoạn 4 km, rồi
rẽ phải chạy theo hướng Đông một đoạn 3km đến điểm C. Như vậy xe đã chạy
tất cả là 7km để đi trên đường từ A đến C. Tuy nhiên nếu xe chạy trên đường
thẳng nối liền A và C thì chỉ chạy 5km. Chúng ta cần một thuật toán để mô
tả các đại lượng vừa có chiều vừa có độ lớn gọi là vec-tơ này. Trong không
gian ba chiều, một vec-tơ A, ký hiệu A, là một mũi tên được biểu diễn bởi ba
đại lượng: phương, chiều và độ lớn. Phương vec-tơ là đường thẳng chứa mũi
tên; chiều vec-tơ là hướng của mũi tên; độ lớn (hay suất, môđun, cường độ)
của vec-tơ, ký hiệu |A|, là chiều dài của mũi tên. Ngược lại, đại lượng không
có phương chiều, chỉ có độ lớn được gọi là đại lượng vô hướng.
Hai vec-tơ A và B được gọi là bằng nhau, ký hiệu A = B, khi chúng có
phương song song, cùng chiều và độ lớn bằng nhau (|A| = |B|).
Hai vec-tơ A và B được gọi là đối nhau, ký hiệu A = −B, khi chúng có
phương song song, ngược chiều và độ lớn bằng nhau (|A| = |B|).
Trong điện động lực học (trường điện từ) các đại lượng vô hướng của trường
thường là hàm của tọa độ và thời gian: u = u(r, t) = u(x, y, z, t).
Chẳng hạn mật độ điện tích mặt trên hai bản cực của tụ điện: σ(r, t). Thế
vô hướng của trường điện từ ϕ = ϕ(r, t).
8.2 Đại lượng vec-tơ
8.2.1 Vectơ tọa độ
Vectơ tọa độ r tại một điểm bất kỳ M trong không gian là vec-tơ có gốc là
gốc tọa độ O và ngọn là điểm M. Như vậy nếu gọi x, y, z là những tọa độ của
điểm M trong hệ quy chiếu thẳng góc Descartes có gốc tọa độ O thì
r = xi + yj + zk

§ 8.3. Tích vô hướng của hai vec-tơ 233
8.2.2 Vectơ hàm:
Thông thường người ta biểu diễn các đại lượng đặc trưng cho trường điện từ
các vec-tơ là hàm theo tọa độ và thời gian.
A = A(r, t) = Ax(x, y, z, t)i + Ay(x, y, z, t)j + Az(x, y, z, t)k
Ví dụ: vec-tơ cường độ điện trường E(r, t), cường độ từ trường H(r, t), mật
độ dòng điện j(r, t).
8.3 Tích vô hướng của hai vec-tơ
8.3.1 Định nghĩa
Ta định nghĩa tích vô hướng hai vec-tơ bất kỳ A, B trong không gian vec-tơ
ba chiều là một phép ánh xạ từ R3
vào R được định nghĩa như sau
∀A, B; AB ≡| A || B | cos(A, B). (8.1)
8.3.2 Tính chất
a) Ta có theo định nghĩa tích vô hướng và
hcA/B =| A | cos(A, B), hcB/A =| B | cos(A, B)
nên
AB =| B | hcA/B =| A | hcB/A. (8.2)
b) Khi hai vec-tơ A, B song song cùng chiều, ta có cos(A, B) = cos 0 = 1,
do đó AB =| A || B | 0.
c) Khi hai vec-tơ A, B song song ngược chiều, ta có cos(A, B) = cos π = −1,
do đó AB = − | A || B | 0.
d) Khi hai vec-tơ A, B thẳng góc với nhau, ta có cos(A, B) = cos(±π/2) =
0, do đó AB = 0.

e) Hệ quả được rút ra từ hai tính chất (b) và (c) là trong hệ tọa độ Descartes,
tích vô hướng (bạn đọc tự chứng minh)
AB = AxBx + AyBy + AzBz. (8.3)
d) Tích vô hướng hai vec-tơ có tính giao hoán, nghĩa là:
AB =| A || B | cos(A, B) =| B || A | cos(B, A) = BA.
8.3.3 Thông lượng của vec-tơ hàm qua một mặt S:
φA =
(S)
A
−→
dS =
(S)
AndS.
Trong đó
−→
dS = dSn: vec-tơ diện tích nguyên tố có độ lớn dS là diện tích bề
mặt vi cấp bao quanh điểm đang có trường A còn vec-tơ đơn vị n là vec-tơ
pháp tuyến thẳng góc với mặt dS hướng từ trong ra ngoài nếu bề mặt S kín.
φA đặc trưng cho số đường sức của A qua mặt S.
8.4 Tích hữu hướng của hai vec-tơ
8.4.1 Định nghĩa
Ta định nghĩa tích hữu hướng của hai vec-tơ bất kỳ A, B ∈ R3
là vec-tơ
A × B ≡ |A||B|sinαn ∈ R3
,
trong đó, α = (A, B); n⊥mp(A, B) có chiều sao cho A, B, n, lập thành tam
diện thuận, |n| = 1. Theo đó, | A×B | là diện tích hình bình hành có hai cạnh
A, B. Trong hệ tọa độ Descartes:
C = A×B =
i j k
Ax Ay Az
Bx By Bz
= (AyBz−AzBx)i+(AzBx−AxBy)j+(AxBy−AyBx)k
Tính chất:

§ 8.5. Tích kép của ba vec-tơ 235
1) Tích hữu hướng của hai vec-tơ có tính phản giao hoán, nghĩa là
A × B = −B × A.
2) Tích hữu hướng của hai vec-tơ cùng phương thì triệt tiêu.
8.4.2 Tích hỗn hợp
∀A, B, C
Ta có tích hỗn hợp là tích vô hướng
C(A × B) = (A × B)C =
Ax Ay Az
Bx By Bz
Cx Cy Cz
Trong hệ Descartes
Tính chất: Tích hỗn hợp 3 vec-tơ có tính hoán vị vòng tròn, nghĩa là: (A ×
B)C = (C ×A)B = (B ×C)A: thể tích của hình hộp tạo bởi 3 cạnh là 3 vec-tơ
A, B, C
8.5 Tích kép của ba vec-tơ
∀A, B, C
D = C × (A × B) = (CB)A − (CA)B.
Nhận xét: D nằm trong mặt phẳng mặt phẳng (A, B).
8.6 Các phép tính đạo hàm riêng phần của
vec-tơ hàm theo tọa độ
Ta quy ước u, v, w là các hàm vô hướng của tọa độ; A, B là những
vec-tơ hàm của tọa độ; r là bán kính vec-tơ. Trong phần này ta sử dụng hệ
toạ độ Descartes để định nghĩa các đại lượng.
r = xi + yj + zk và r2
= x2
+ y2
+ z2
(8.4)

8.6.1 Toán tử nabla
≡ i
∂
∂x
+ j
∂
∂y
+ k
∂
∂z
(8.5)
Về bản chất là toán tử của một phép đạo hàm, nên nó tuân theo những
quy tắc của phép tính đạo hàm, và chỉ tác dụng lên những vec-tơ hoặc những
vô hướng đứng sau nó. Như vậy vừa có tính vec-tơ vừa có tính đạo hàm.
Trong phép tính trung gian, để dễ phân biệt, ta quy ước những đại lượng chịu
tác dụng của sẽ được gạch dưới, còn trong kết quả cuối cùng ta sẽ chỉ đặt
sau những lượng nào chịu tác dụng của nó.
8.6.2 Định nghĩa và tính chất của gradient
gradu ≡ u = i
∂
∂x
+ j
∂
∂y
+ k
∂
∂z
u = i
∂u
∂x
+ j
∂u
∂y
+ k
∂u
∂z
(8.6)
Tại mỗi điểm của không gian, vec-tơ gradu thẳng góc với mặt đẳng trị của
hàm u và hướng theo chiều tăng của u.
Ví dụ:
gradr = r = i
∂r
∂x
+ j
∂r
∂y
+ k
∂r
∂z
u = i
x
r
+ j
y
r
+ k
z
r
=
r
r
= ur (8.7)
Ví dụ:
(u.v) = (u.v) + (u.v) = v u + u v
(u + v) = u + v
(u.A) = (u.A) + (u.A) = A u + u A
8.6.3 Định nghĩa và tính chất của divergence (ký hiệu
là div)
divA = A = limV →∞
1
V S
AndS (8.8)

§ 8.6. Các phép tính đạo hàm riêng phần của vec-tơ hàm theo tọa độ 237
chiều dương pháp tuyến n lấy từ trong ra ngoài mặt kín S (quy ước thống
nhất toàn giáo trình) bao bọc thể tích V.
Trong tọa độ Descartes:
divA = A =
∂Ax
∂x
+
∂Ay
∂y
+
∂Az
∂z
(8.9)
divr =
∂x
∂x
+
∂y
∂y
+
∂z
∂z
= 3. (8.10)
Định lý Gauss: Nếu các thành phần Ax, Ay, Az của vec-tơ hàm A và các
đạo hàm riêng phần của chúng là liên tục trong một thể tích bất kỳ V bao bọc
bởi mặt kín S thì ta có:
V
divAdV =
S
A
−→
dS. (8.11)
8.6.4 Định nghĩa và tính chất của rotationel (curl) (ký
hiệu là rot)
rotA = limS→0
1
S C
A × d (8.12)
trong đó S là mặt bất kỳ tựa trên đường cong kín C.
Với hệ tọa độ Descartes:
rotA = × A =
i j k
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
Ax Ay Az
(8.13)
= i
∂Az
∂y
−
∂Ay
∂z
+ j
∂Ax
∂z
−
∂Az
∂x
+ k
∂Ay
∂x
−
∂Ax
∂y
rotr = i
∂z
∂y
−
∂y
∂z
+ j
∂x
∂z
−
∂z
∂x
+ k
∂y
∂x
−
∂x
∂y
rotr = 0 (8.14)
Định lý Stokes: Nếu vec-tơ hàm A và các đạo hàm riêng phần của nó
theo tọa độ biến thiên liên tục, có giá trị hữu hạn trên một mặt bất kỳ S tựa
trên đường cong kín C, ta có:

S
rotA
−→
dS =
C
Ad (8.15)
8.6.5 Áp dụng toán tử nabla trong các phép tính vec-tơ
cơ bản
+gradu2
= (u.v) = (u.v) + (u.v) = 2u u = 2ugradu (8.16)
+div(u.A) = (u.A) + (u.A) = A u + u A
= Agradu + udivA (8.17)
+rot(uA) = × (uA) + × (uA) = ( u) × A + u( × A)
= gradu × A + urotA (8.18)
div(A × B) = (A × B) = (A × B) + (A × B)
= B( × A) − A( × B)
= BrotA − ArotB (8.19)
+ Trong hệ thức (10.16) nếu B = const thì × B= 0, ta có:
BrotA = div(A × B)
Do đó
S
BrotAdV =
V
div(A × B)dV.
Theo định lý Gauss (10.8), ta có:
V
BrotAdV = (A × B)
−→
dS = − B(A ×
−→
dS)
Vì B bất kỳ nên ta suy ra:
V
rotAdV = −
S
A ×
−→
dS, S là bề mặt bao quanh V (8.20)
+divrotA = ( × A) = 0 : Tích vô hướng 2 vec-tơ vuông góc (8.21)

§ 8.6. Các phép tính đạo hàm riêng phần của vec-tơ hàm theo tọa độ 239
+rotgradu = × ( u) = 0 : Tích vec-tơ 2 vec-tơ song song (8.22)
+divgradu = .( u) = ( . )u = 2
u (8.23)
với 2
=
∂
∂x2
+
∂
∂y2
+
∂
∂z2
+rotrotA = × ( × A) = ( A) − ( . )A
= graddivA − 2
A (8.24)
+rot(A × B) = × (A × B) + × (A × B)
= A( B) − B( A) + A( B) − B( A)
= (B )A − (A )B + AdivB − BdivA (8.25)
+grad(AB) = (AB) + (AB)
Ta xét A × rotB = A × ( × B) = (AB) − (A )B
Thế vào trên ta có:
grad(AB) = A × rotB + (A )B + B × rotA + (B )A.(8.26)
Lưu ý: Ta không nên lẫn lộn toán tử vô hướng (A ) với ( A) là div A:
A = Ax
∂
∂x
+ Ay
∂
∂y
+ Az
∂
∂z
A =
∂Ax
∂x
+
∂Ay
∂y
+
∂Az
∂z
(A )u = Ax
∂u
∂x
+ Ay
∂u
∂y
+ Az
∂u
∂z
= A( u) là một vô hướng
(A )B = i(A )Bx + j(A )By + k(A )Bz là 1 vec-tơ
Chẳng hạn với B = r, thì
(A )r = i(A )x + j(A )y + k(A )z
= iAx
∂x
∂x
+ iAy
∂y
∂y
+ iAz
∂z
∂z
= Axi + Ayj + Azk
(A )r = A (8.27)

+( A)r = ( A)r + ( A)r
= rdivA + (A )r
( A)r = rdivA + A (8.28)
+grad
1
r
= (r−1
) = r−2
(r) = −
r
r3
(8.29)
+div
r
r
= r.
1
r
=
1
r
r + r
1
r
=
3
r
−
1
r
=
2
r
(8.30)
+div
r
r3
= r.
1
r3
=
1
r
r −
3r
r4
(r)
=
3
r3
−
3.r2
r5
= 0 (8.31)
8.6.6 Toán tử Laplace
2
= ( ) =
∂2
∂x2
+
∂2
∂y2
+
∂2
∂z2
: toán tử vô hướng
2
u =
∂2
u
∂x2
+
∂2
u
∂y2
+
∂2
u
∂z2
là một vô hướng
2
A = i 2
Ax + j 2
Ay + k 2
Az là một vec-tơ
Vì 2
là toán tử vô hướng nên nó hoán vị được với , và
2
(divA) = 2
( A) = ( 2
A) = div( 2
A)
2
(rotA) = 2
( × A) = × 2
A = rot( 2
A)
2
(gradu) = 2
( u) = ( 2
u) = grad( 2
u)

§ 8.7. Grad, rot, div và 2
trong tọa độ cầu 241
8.6.7 Tóm tắt các phép tính đạo hàm riêng phần của
vec-tơ hàm theo tọa độ
1) grad(u2
) = 2ugradu
2) div(uA) = Agradu + udivA
3) rot(uA) = urotA − A × gradu
4) div(A × B) = B(rotA) − A(rotB)
5)
V
rotAdV = − A ×
−→
dS
6) div(rotA) = 0
7) rot(gradu) = 0
8) div(gradu) = 2
u = ∆u
9) rot(rotA) = grad(divA) − 2
A
10) rot(A × B) = AdivB − BdivA + (B )A − (A )B
11) grad(AB) = A × rotB + B × rotA + (A )B + (B )A
12) Lưu ý
(A )u = A(gradu) : vô hướng
(A )B = A( Bx)i + A( By)j + A( Bz)k là 1 vec-tơ
(A )r = A
( A)r = r A + A
trong tọa độ cầu
Vị trí của một điểm M trong tọa độ cầu được xác định bằng:
- Khoảng cách r từ điểm M đến gốc tọa độ O
- Góc θ giữa bán kính vec-tơ OM và trục cố định Oz
- Góc φ giữa mặt phẳng cố định xOz và nửa mặt phẳng giới hạn bởi trục
Oz và chứa điểm M.

Các tọa độ r, φ, θ biến thiên trong các giới hạn:
0 ≤ r +∞; 0 ≤ θ ≤ π; 0 ≤ φ ≤ 2π.
Các vec-tơ ur, uθ, uφ là những vec-tơ đơn vị theo chiều tăng của r, θ và φ.
Trong tọa độ cầu ta có:
+gradu = ur
∂u
∂r
+ uθ
1
r
∂u
∂θ
+ uφ
1
sinθ
∂u
∂φ
(8.32)
+divA =
1
r2sinθ
sinθ
∂
∂r
(r2
Ar) + r
∂
∂θ
(Aθsinθ) + r
∂Aφ
∂φ
(8.33)
+rotA =
1
rsinθ
∂
∂θ
(Aφsinθ) −
∂Aθ
∂φ
ur
+
1
r
1
sinθ
∂Ar
∂φ
−
∂
∂r
(rAφ) uθ (8.34)
+
1
r
∂
∂r
(rAθ) −
∂Ar
∂θ
uφ
+ 2
u =
1
r2sinθ
sinθ
∂
∂r
(r2 ∂u
∂r
) +
∂
∂θ
(sinθ
∂u
∂θ
) +
1
sinθ
∂2
u
∂φ2
(8.35)
trong tọa độ trụ
Vị trí của một điểm M trong tọa độ trụ được xác định bằng:

§ 8.8. Grad, rot, div và 2
trong tọa độ trụ 243
- Khoảng cách r từ điểm M đến trục cố định Oz.
- Góc φ giữa mặt phẳng cố định xOz và nửa mặt phẳng giới hạn bởi trục
Oz và chứa điểm M
- Khoảng cách z từ điểm M tới mặt phẳng xOy vuông góc với trục z.
Các tọa độ r, φ, z biến thiên trong các khoảng giới hạn:
0 ≤ r +∞; 0 ≤ φ ≤ 2π; −∞ z +∞.
Các vec-tơ đơn vị ur, uφ, và uz hướng theo chiều tăng của r, φ, z.
Trong tọa độ trụ ta có:
+gradu = u = ur
∂u
∂r
+ uφ
1
r
∂u
∂φ
+ uz
∂u
∂z
(8.36)
+divA = A =
1
r
∂
∂r
(rAr) +
∂Aφ
∂φ
+
∂
∂z
(rAz) (8.37)
+ 2
u =
1
r
∂
∂r
(r
∂u
∂r
) +
1
r
∂2
u
∂φ2
+ r
∂2
u
∂z2
(8.38)
+rotA =
1
r
∂Az
∂φ
−
∂Aφ
∂z
ur +
∂Ar
∂z
−
∂Az
∂r
uφ
+
1
r
∂
∂r
(rAφ) −
∂Ar
∂φ
uz (8.39)

8.9 Định lý Green
Trong công thức của định lý Gauss
S
divAdV =
S
A
−→
dS =
S
AndS
ta đặt A = ugradv ; u, v: hàm vô hướng bất kỳ. Vế trái của công thức có thể
biến đổi thành:
An = ugradnv = u
∂v
∂n
.
Công thức trên trở nên:
(u 2
v) + (gradu)(gradv) dV =
S
u
∂v
∂n
dS. (8.40)
Đây là một dạng của công thức của định lý Green. Vì u và v đối xứng với
nhau, nếu trong kết quả trên ta thay u bằng v và ngược lại, ta sẽ có một biểu
thức thứ hai. Trừ hai biểu thức vế theo vế, ta có một dạng khác của định lý
Green:
V
u 2
v − v 2
u dV = u
∂v
∂n
− v
∂u
∂n
dS. (8.41)

§ 8.9. Định lý Green 245
Bài tập chương 8: Ôn tập giải tích vec-tơ
8.1. Chứng minh rằng trong hệ tọa độ Descartes, với quy ước 1 = x, 2 = y, 3 =
z; i, j, k = 1, 2, 3, ta có thể viết
a) (A × B)i =
3
j=1
3
k=1
ijkAjBk,
b) (A × B)kCk =
3
j=1
3
k=1
ijkAiBjCk,
c) [A × (B × C)]i =
3
j=1
3
k=1
3
=1
3
m=1
ijk k mAjB Cm.
ijk là tenxơ phản xứng Levi-Civita có giá trị bằng không khi hai hoặc ba chỉ
số i, j, k có giá trị trùng nhau, 123 = 1 các số hạng ijk có các chỉ số không
trùng nhau thì có giá trị khác không và tuân theo quy luật ijk = (−1)n
, n là
số lần hoán vị hai chỉ số gần sát nhau để trở về 123.
d)(rotA)i = ijk
∂Ak
∂xj
8.2. Xét hàm vô hướng f(r) = Cz. Tính gradf và giải thích ý nghĩa hình học
của nó.
8.3. Xét vec-tơ hàm F(r) = Cxi. Tính divF. Vẽ hình mô tả F(x) theo x trong
mặt phẳng xOy và giải thích ý nghĩa hình học của nó.
8.4. Xét vec-tơ hàm G(r) = Cxj. Tính rotG. Vẽ hình mô tả G(x) theo x trong
mặt phẳng xOy và giải thích ý nghĩa hình học của nó.
8.5. Xét vec-tơ hàm G(r) = k × r. Trong tọa độ trụ, G(r) = reφ, trong đó
r = x2 + y2.
a) Tính rotG, divG.
b) Tính lưu thông của G quanh đường tròn song song với mặt phẳng xOy,
tâm ở trên trục z, thông lượng của G qua mặt cầu tâm tại gốc tọa độ O và
chứng tỏ rằng định lý Stokes và định lý Gauss được nghiệm đúng.
8.6. Tính gradf(r) và 2
f(r) với
a) f(r) = x2
+ y2
+ z2
,
b) f(r) = x2 + y2 + z2,
c) f(r) = 1/ x2 + y2 + z2 theo hai cách: dùng tọa độ Đề-cạc và dùng tọa

độ cầu. Cả hai cách phải có cùng một đáp án cuối cùng.
8.7. Chứng minh rằng
− 2 1
r
= 4πδ(r); r = |r|.

§ 8.9. Định lý Green 247
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Đào Văn Phúc, Điện động lực học, NXB Giáo dục, 1978.
2. Nguyễn Văn Thỏa, Điện động lực học, (2 tập), NXB ĐH và THCN, 1982.
3. Nguyễn Phúc Thuần, Điện động lực học, NXB Đại học Quốc gia Hà
Nội,1996.
4. Nguyễn Hữu Chí, Điện động lực học, Tủ sách Trường ĐHKH Tự nhiên
Tp HCM,1998.
5. Nguyễn Văn Hùng, Điện động lực học, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội,
2002.
6. Nguyễn Hữu Mình, Tạ Duy Lợi, Đỗ Đình Thanh, Lê Trọng Tường, Bài
tập Vật lý lý thuyết, tập 1, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 2001.
7. Yung-Kuo Lim, (Lê Hoàng Mai, Trần Thị Đức, Đào Khắc An dịch), Bài
tập và Lời giải Điện Từ Học (Problems and Solutions on Electromagnetism),
NXB Giáo dục, 2008.
8. D.J. Griffiths, Introduction to Electrodynamics, 3rd
edition, Prentice Hall,
Upper Saddle River, New Jersey, 1999.
9. G. Pollack, D. R. Stump, Electromagnetism, Addison Wesley, San Fran-
cisco, USA, 2002.
10. Baldassare Di Bartolo, Classical Theory of Electromagnetism, Prentice
Hall, Englewood Cliffs, New Jersey 07632, 2004.
11. J.P. Pérez, R. Carles, R. Fleckinger, Électromagnétisme, Fondements et
applications, 3e
édition, Masson, Paris, 1990.
12. Minoru Fujimoto, Physics of Classical Electromagnetism, Springer Sci-
ence, NewYork, 2007.
13. Zoya Popovich, Branko D. Popoich, Introductory Electromagnetics,
Prentice Hall, Upper Saddle River, New Jersey, 2000.

Giáo trình Điện động lực học

More Related Content

What's hot (20)

Similar to Giáo trình Điện động lực học (20)

More from VuTienLam (11)

Recently uploaded (20)

Giáo trình Điện động lực học