Lecture #11 TK - Design via State Space.pdf

Dr. Aries Subiantoro, ST. MSc.
UNIVERSITAS INDONESIA
Veritas, Probitas, Justitia
Est. 1849

The Relay Experiment
Autotuning PID Controller
-
Process
Disturbance
e(t)
PID Control
Law
Signal Proc.
Unit
PID Control
Rule-Base
Relay Block
Reference
signal
w(t)
Control
signal
u(t)
Output
signal
y(t)

Coupled Tank System:
Model CE-105

2
2
2
1
2
1
1
2
2
2
1
2
1
1
1
1
1
2
2
)
(
sign
2
)
(
sign
gh
a
h
h
g
h
h
a
dt
dh
A
h
h
g
h
h
a
Q
dt
dh
A








v(t)pump
Input Output
h2(t)
Model of Coupled-Tank System

Ruang Keadaan
Mengapa Ruang Keadaan?
 Digunakan untuk deskripsi sistem non-linier dan
time-variant
 Pengetahuan akan karakteristik proses lebih luas
 Aplikasi disain pengendali lebih luas mencakup
sistem MIMO
 Sensorless control system
 Deskripsi menyeluruh yang lebih baik untuk
sistem berorde tinggi

MPC Performance Index
w(t) is the reference trajectory
y(t) is the process output signal
u(t) is the process control increment signal
N1 is the minimum cost horizon
N2 is the prediction horizon
Nu is the control horizon
l is the weighting on the control signal
   












u
N
j
N
N
j
u j
t
u
j
j
t
w
t
j
t
y
j
N
N
N
J
1
2
2
2
1 )
1
(
)
(
)
(
)
|
(
ˆ
)
(
)
,
,
(
2
1
l


Constraints
max
min
max
min
max
min
max
min
)
(
)
(
)
(
)
(
x
x
x 










k
y
k
y
y
u
k
u
u
u
k
u
u
Inequality constraints:
Equality constraints:
0
)
( 
k


Closed-Loop Transient
Response

Experimental Results
(MPC, N2=12, Nu=3)

Electric circuit for Skill-Assessment
Exercise 3.1

Ruang Keadaan
(Representasi)
Linear Time Invariant
)
1
x
(
)
x
(
)
1
x
(
)
x
(
)
1
x
(
)
1
x
(
)
x
(
)
1
x
(
)
x
(
)
1
x
(
p
p
m
n
n
m
m
p
p
n
n
n
n
n
u
D
x
C
y
u
B
x
A
x





x = state vector
y = output vector
u = input or control vector
A = system matrix
B = input matrix
C = output matrix
D = feedforward matrix
state equations
output equation

Solusi Persamaan Keadaan
0
0)
(
)
(
)
(
)
(
0
x
t
t
d
u
B
t
t
x
t
t





  


)
(
0
0
)
( t
t
A
e
t
t 



 Bentuk hasil persamaan fungsi waktu persamaan
keadaan
dengan (t-t0) adalah matriks transisi
}
)
{( 1
1 


 A
I
s
L
e t
A
 Penyelesaian matriks transisi diperoleh melalui proses
invers matriks

Controllability and
Observability

Controllability
 Definisi Controllability:
Sistem (*) disebut controllable sempurna, jika variabel
keadaan x(t) dapat dibimbing menuju keadaan akhir xe
= 0 dari sembarang harga awal x0 melalui pemilihan u(t)
yang tepat dalam waktu terhingga.
 Pada sistem SISO pengujian controllability mudah
dilakukan pada bentuk modal canonical. Sistem adalah
controllable sempurna, jika
,n
,
i
bDi 
1
untuk
,
0 


Controllability
Kriteria Controllable:
 Kalman:
Sistem (*) adalah benar controllable sempurna, jika
matriks controllable Qc memiliki rank tertinggi.
 Gilbert:
Sistem (*) dengan eigen value yang unik adalah benar
controllable sempurna, jika semua vektor baris matriks
B
V
BD
1


 
B
A
B
A
B
Q n
c
1

 ,
,
, 
berbeda dari vektor nol, dengan V = [v1, …, vn] matriks
eigen vector dari A.

Controllability
Alasan yang menyebabkan tidak controllable:
 Adanya unsur simetri pada sistem
 Kompensasi poles dan zeros

State Controllability
 A system is completely controllable if there exists an
unconstrained control u(t) that can transfer any initial
state x(to) to any other desired location x(t) in a finite
time, to ≤ t ≤ T.
controllable
uncontrollable

State Controllability
 Controllability Matrix CM
 System is said to be state controllable if
 
B
A
B
A
AB
B
CM n 1
2 
 
)
( n
CM
rank 

State Controllability (Example)
 Consider the system given below
 State diagram of the system is
 x
y
u
x
x
2
1
0
1
3
0
0
1


















1
1
)
(s
U
)
(s
Y
1

-1
s
3

-1
s
2
1
x
2
x

State Controllability (Example)
 Controllability matrix CM is obtained as
 Thus
 Since therefore system is not completely
state controllable.
 
AB
B
CM 





 

0
0
1
1
CM







0
1
B 






0
1
AB

Figure 12.6
Comparison of
a. controllable and
b. uncontrollable
systems

Observability
 Definisi Observability:
Sistem (*) disebut observable sempurna, jika harga
awal x0 dapat ditentukan analitis pada u(t) yang
diketahui dan dari pengukuran y(t) melalui waktu
tertentu.
 Sistem SISO dalam bentuk modal canonical adalah
observable sempurna, jika
n
i
cDi ,
,
1
untuk
,
0 



Observability
Kriteria Observability:
 Kalman:
Sistem (*) adalah benar observable sempurna, jika
matriks observability memiliki rank tertinggi.














1
n
n
q
n
o
A
C
A
C
C
Q

)
,
.
(
 Gilbert:
Sistem (*) dengan eigen value yang unik adalah benar
observable sempurna, jika dalam matriks
V
C
Co 
semua vektor kolom berbeda dari vektor nol, dengan V
= [v1, …, vn]

State Observability
 A system is completely observable if and only if there exists a
finite time T such that the initial state x(0) can be determined
from the observation history y(t) given the control u(t), 0≤ t ≤
T.
observable
unobservable

State Observability
 Observable Matrix (OM)
 The system is said to be completely state observable if

















1
2
M
Matrix
ity
Observabil
n
CA
CA
CA
C
O

n
OM
rank 
)
(

State Observability (Example)
 Consider the system given below
 OM is obtained as
 Where
 x
y
u
x
x
4
0
1
0
2
0
1
0
























CA
C
OM
 
4
0

C
   
12
0
2
0
1
0
4
0 









CA

State Observability (Example)
 Therefore OM is given as
 Since therefore system is not completely state
observable.








12
0
4
0
M
O
1
)
(s
U -1
s
-1
s 1
x
2
x
2

4
)
(s
Y

Output Controllability
 Output controllability describes the ability of an
external input to move the output from any initial
condition to any final condition in a finite time
interval.
 Output controllability matrix (OCM) is given as
 
B
CA
B
CA
CAB
CB
CM n 1
2
O 
 

Observability
 Semua kombinasi controllable-observable mungkin
terjadi.
Observable Not observable
Controllable  
Not controllable  

Observability
 Pada transformasi variabel keadaan x* = Tx (T non-
singular) berlaku:
c
n
n
c
Q
T
B
A
T
B
A
T
B
T
B
A
B
A
B
Q
.
,
,
,
,
,
,
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*

















1
1


Besarnya rank(Qc
*) sama dengan rank(Qc), yang berarti
sifat controllable tetap sesudah transformasi. Hal ini
berlaku pula untuk observability.

Figure 12.15
Comparison of
a. observable and
b. unobservable
systems

Controllable Standard Form

















1
0
0


c
b
u
b
z
A
z c
c 
























1
1
0
1
0
0
1
1
0
0
0
0
1
0
n
c
a
a
a
A













0
0
1
1
2
2
1
1 




 
 a
s
a
s
a
s
a
s n
n
n

 Bentuk persamaan keadaan controllable canonical:
 Persamaan karakteristik

x
T
z 
u
b
T
z
T
A
T
z 
 

1
 Transformasi kedalam bentuk controllable canonical
 Disubstitusikan kedalam persamaan keadaan:
 Matriks T adalah matriks transformasi yang akan dicari,
dan mempunyai bentuk:















T
n
T
T
t
t
t
T

2
1
 
in
i
i
T
i t
t
t
t 
,
, 2
1

dengan:
i = 1, 2, …, n

u
b
x
A
x 


 Sebuah sistem dengan persamaan keadaan
dapat diubah kedalam bentuk controllable canonical melalui
transformasi z = Tx, jika matriks
 
b
A
b
A
b
Q n
c
1
,
,
, 
 
adalah matriks non-singular. Matriks T harus ditentukan,
dimana t1
T adalah baris terakhir dari Qc
-1, yang dapat
dirumuskan didalam bentuk:
1
0
0
,
,
0
,
0
1
1
2
1
1
1







b
A
t
b
A
t
b
A
t
b
t
n
T
n
T
T
T


Control Systems Engineering, Fourth Edition by Norman S. Nise
Copyright © 2004 by John Wiley & Sons. All rights reserved.
Figure 3.10
a. Transfer function;
b. equivalent
block diagram
showing
phase-variables.
Note: y(t) = c(t)

Figure 3.11
Decomposing a
transfer function

Figure 3.12
a. Transfer function;
b. decomposed
transfer function;
c. equivalent block diagram. Note:
y(t) = c(t)

Observable Standard Form























1
2
1
0
1
0
0
1
0
1
0
n
n
o
a
a
a
a
A










z
c
y
u
b
z
A
z
T
o
o
o




 Bentuk persamaan keadaan observable-canonical:
dengan:

















1
1
0
n
o
b
b
b
b


 
1
0
0 

T
o
c

x
T
z 
 Bentuk umum persamaan keadaan diubah kedalam
bentuk observable-canonical dengan menggunakan
persamaan transformasi:
atau: z
S
z
T
x 
 1
 Matriks S adalah matriks yang harus dicari dalam
transformasi ini. Substitusi kedalam persamaan keadaan,
sehingga merupakan fungsi dari matriks S dan variabel
keadaan z:
z
S
c
y
u
b
S
z
S
A
S
z
T


 
 1
1

u
b
x
A
x 


 Sebuah sistem dengan persamaan keadaan
dapat diubah kedalam bentuk observable canonical melalui
transformasi z = Tx, jika matriks















1
n
T
T
T
o
A
c
A
c
c
Q

adalah matriks non-singular. Matriks S harus ditentukan,
dimana s1 adalah kolom terakhir dari Qo
-1, yang dapat
dirumuskan didalam bentuk:
x
c
y T

1
,
,
0
,
0 1
1
1
1 

 
s
A
c
s
A
c
s
c n
T
T
T


Diagonal Standard Form
  *
2
1
*
,
,
, x
t
t
t
x
T
x n



 Bentuk umum transformasi persamaan keadaan
dengan:
T : matriks transformasi non-singular
x* : vektor variabel keadaan baru
 Persamaan transformasi kedalam bentuk diagonal:
z
V
x 
 
n
nn
n
n
n
n
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
V 







,
, 2
1
2
1
2
22
21
1
12
11














dengan

Diagonal Standard Form
u
D
z
C
u
D
z
V
C
y
u
B
z
A
u
B
V
z
V
A
V
z
D
D
D







 


1
1
V
A
V
A
n
D
1
1
0
0













l
l





  0

 i
i v
A
I
l
 Bentuk diagonal persamaan keadaan:
AD adalah matriks diagonal yang berisi eigen value dari
matriks A
dan V adalah matriks berisi right hand eigen vector vi

Stability
 Secara umum terdapat dua jenis kestabilan:
 Kestabilan terhadap harga awal
 Kestabilan fungsi alih
Definisi Kestabilan:
Suatu sistem
u
D
x
C
y
u
B
x
A
x





dikatakan stabil, jika solusi x(t) persamaan diferensial
homogen
x
A
x 

(*)
untuk t   berakhir pada 0, yaitu untuk setiap harga awal
variabel keadaan x(t0) = x0.

Stability
 Untuk matriks sistem yang mirip diagonal, solusi vektor
keadaannya:
  i
t
t
n
i
T
i v
e
x
w
t
x i )
(
)
( 0
1
0



 l
agar sistem stabil, maka untuk t   (untuk setiap i)
suku exp(li(t-t0))menuju nol. Dengan demikian semua
eigen value li i = 1, …, n harus memiliki bagian riil
negatif.
Definisi kestabilan:
Suatu sistem stabil juga merupakan fungsi alih stabil (BIBO
= bounded input bounded output), artinya sistem merespon
terhadap vektor masukan terbatas u(t) juga dengan vektor
keluaran terbatas y(t).

Deskripsi Sistem
u
D
x
C
y
u
B
x
A
x





u
B
x
A
x 


C
x0
y
x
u
untuk sistem nyata D = 0

Spesifikasi Pengendalian
Terdapat 2 tuntutan akan pengendalian:
 Eliminasi pengaruh gangguan harga awal x0: dengan
menempatkan pengendali pada umpan balik variabel
keadaan.
u
B
x
A
x 


C
R
V
y
x
w u
-
+
)
(
)
(
)
,
(
t
x
R
t
u
n
p

 dengan R:
matriks pengendali, konstan

Spesifikasi Pengendalian
Persamaan keadaan sistem menjadi:
 x
R
B
A
x 


Dalam hal ini R ditentukan sedemikian sehingga sistem
stabil.
 Respon terhadap sinyal acuan w. Dalam kondisi tunak
sistem lingkar tertutup mempunyai nilai keluaran y(t)
yang sama dengan sinyal acuan w(t). Jika sistem stabil,
maka diperoleh bentuk pre-filter untuk p=q:
 
 1
1 


 B
A
R
B
C
V

Permasalahan Sistem Kendali
Permasalahan sistem kendali yang dihadapi adl:
 Pemilihan R sedemikian sehingga sistem lingkar tertutup
stabil.
u
B
x
A
x 


R
x
u
-
x0

Permasalahan Sistem Kendali
 Trayektori variabel keadaan x(t) (keluaran y(t)) terhadap
gangguan. Respon keluaran harus cukup cepat dan
teredam baik.
 Besarnya sinyal kendali u(t) cukup kecil.
x0
xe=0
x(t)

Prinsip Dasar Sintesa Kendali
 Sintesa kendali menentukan dinamika lup tertutup yang
biasanya diwakili oleh eigen value dari:
 Prinsip: Penempatan eigen value (kutub-kutub lup tertutup)
yang diinginkan dengan menggunakan matriks pengendali
R.
 
R
B
A 
Langkah-langkah sintesa kendali:
 Penentuan kutub-kutub lR1, …, lRn disebelah kiri sumbu
imajiner (sehingga sistem stabil), tetapi jangan terlalu jauh
kekiri yang dapat mengaki-batkan sinyal kendali yg
dihasilkan terlalu besar

Langkah-Langkah Sintesa
Kendali
 Umumnya penentuan tersebut berbasis komputer
dengan program simulasi seperti MATLAB.
s
l1
l4
l3
l2
lR1…R4

Langkah-Langkah Sintesa
Kendali
 Kalkulasi matriks pengendali R melalui polinom
karakteristik lup tertutup:
 
   






n
v
Rv
s
R
B
A
I
s
1
det l
0
1
1
0
1
1 )
(
)
( p
s
p
s
R
a
s
R
a
s n
n
n
n
n
n






 


 

Perbandingan antar koefisien-koefisien kedua ruas:
kendali
sintesa
persamaan
persamaan)
(n
1
1
-
n
0
0
)
(
a
)
(
a








n
p
R
p
R


 
  1
1
1
1
1
0
1
)
,
1
(
.
1
,
,
0
dengan 









c
T
n
n
n
T
T
n
Q
t
A
A
p
A
p
I
p
t
r
R


Solusi Persamaan Sintesa
Kendali
Solusi persamaan sintesa kendali:
 Untuk sistem SISO (p=1)
 Persamaan sintesa adalah linier, sehingga solusinya
unik bila sistem (proses) controllable sempurna.
 Solusi matriks R dengan formula Ackermann:

Solusi Persamaan Sintesa
Kendali
Untuk sistem MIMO (p>1)
 Persamaan sintesa menjadi non-linier dan under
determined, sehingga terdapat jumlah solusi tak
terhingga unik, jika sistem (proses) controllable
sempurna.
 Definisi kedua dari controllable sempurna:
Suatu sistem (1), (2) adalah hanya controllable
sempurna, hanya jika dengan umpan balik varibel
keadaan u = -Rx sebuah konfigurasi kutub-kutub
sembarang lup tertutup dapat tercapai.

Permasalahan Variabel Keadaan
Yang Tak Terukur
Permasalahan: untuk pengendalian u = -Rx diasumsikan
semua variabel keadaan dapat terukur
Jika tidak semua variabel keadaan dapat diukur, nilai
informasi dari variabel keadaan x dapat diestimasi
dengan menggunakan observer berdasarkan data
keluaran y dan masukan u
Beberapa alasan tidak semua variabel keadaan (dapat)
diukur:
 Sensor mahal
 Tidak tersedianya sensor yang diperlukan

Permasalahan Variabel Keadaan
Yang Tak Terukur
Persamaan sinyal kendali: x
R
u ˆ


Karakteristik pemakaian observer:
 Respon lup tertutup sama dengan lup tertutup yang
terealisasi oleh semua variabel keadaan terukur
 Berfungsi jika proses dipengaruhi gangguan (nilai awal)

Penentuan Variabel Keadaan
Dari Model
x0
Proses
Model
x0
^
y
u
y
^
Asumsi: Proses = Model
Perbedaan : x0 dan x0
^
Catatan:
 Hanya untuk sistem stabil
 Hanya untuk sistem tanpa gangguan

Luenberger - Observer
 Umpan balik kesalahan estimasi e = y – y kedalam
model
 Disain umpan balik dapat dilakukan serupa dengan
disain pengendali
^
 Informasi yang diperlukan: persamaan sistem, data
masukan u dan keluaran y

x
C
y
u
B
x
A
x
q




)
1
,
(

Luenberger - Observer
 Persamaan keadaan terestimasi – Observer (D.G.
Luenberger 1964)
  )
(
)
(
)
(
ˆ
)
(
ˆ
t
y
L
t
u
B
t
x
C
L
A
t
x 




dengan:
 x(t) vektor keadaan observer (nilai estimasi dari x(t))
 L matriks penguat observer bernilai konstan dan
nilainya ditentukan sedemikian, sehingga eigen value
observer b1, …, bn (yaitu dari (A-LC) terletak disebelah
kiri sumbu imajiner
^

Struktur Observer Pada Sistem
Lup-Tertutup
R
-
V
w
+
u
B
x
A
x 


CR
y
x
u Sinyal Kendali
x0
 
y
L
u
B
x
C
L
A
x






ˆ
ˆ
C
x0
^
y Vektor Pengukuran

Konvergensi Observer
 Kesalahan estimasi: x
x
e ˆ


 Turunan pertama kesalahan estimasi:
  
x
x
C
L
A
x
x
C
L
u
B
x
A
u
B
x
A
x
x
dx
d
e
ˆ
)
ˆ
(
ˆ
)
ˆ
(












dengan:
0
0 ˆ
)
0
( x
x
e 

 Persamaan kesalahan estimasi di atas dapat diartikan
sebagai keadaan sebuah sistem homogen. Jika sistem ini
stabil asimptot, maka kesalahan estimasi berkurang dan
menghilang, artinya VK observer mendekati VK sistem.

Konvergensi Observer
Statement 1. (Observer)
Untuk kesalahan estimasi suatu Observer Luenberger
x
x
e ˆ


berlaku hubungan
0
lim 


e
t
untuk sembarang harga awal sistem dan observer yang
cocok, jika semua eigen value matriks (A-LC) memiliki bagian
riil yang negatif.

Penentuan Matriks Umpan Balik
Observer L
Analogi Sintesa Observer dg Sintesa Pengendali:
 Eigen value matriks (A-LC) dapat tepat digeser
sembarang melalui pemilihan matriks L yang tepat, jika
sistem (A,C) observable sempurna. Dengan demikian
pasangan (AT, CT) controllable sempurna, dan matriks L
dapat ditentukan dengan metode yang dikenal dlm state-
feedback.
 Agar kesalahan estimasi dapat hilang dengan cepat
dibandingkan respon transien sistem, maka eigen value
(A-LC) harus ditempatkan sejauh mungkin kekiri.

Realisasi State-Feedback
Dengan Bantuan Observer
 Persamaan sinyal kendali dengan observer:
w
V
x
R
u 

 ˆ
 Kesalahan estimasi:
  






























































e
x
C
y
x
x
x
e
x
w
V
B
e
x
C
L
A
R
B
R
B
A
e
x
dt
d
0
ˆ
)
0
(
)
0
(
0
0
0
0
0
Karena matriks sistem diatas adalah matriks segitiga atas,
maka nilai eigen value terbentuk dari kumpulan dari eigen
value (A-BR) dan (A-LC)

Statement 2. (Separation Theorem)
Eigen value sistem lup-tertutup yang terealisasi oleh state-
feedback dan observer merupakan gabungan eigen value
dari matriks (A-BR) yang menyatakan suatu lup-tertutup
dengan state-feedback tanpa observer, dan eigen value dari
matriks (A-LC)

 Pemakaian observer yang memiliki eigen value b1, b2, …,
bn didalam sistem lup-tertutup tidak menggeser kutub-
kutub sistem lup tertutup lR1, lR2, …, lRn.
 Memungkinkan sintesa pengendali dan sintesa observer
dilakukan secara terpisah.
 Sistem harus controllable dan observable sempurna.
 Terdapat 2n eigen value yang harus ditentukan.
Pemilihan eigen value observer disarankan 2 s/d 6 kali
lebih cepat dari respon eigen value pengendali.

Sintesa Observer
Analogi Sintesa Observer dg Sintesa Pengendali:
 Metode penempatan kutub untuk b1, …, bn yaitu:
diletakkan lebih kekiri dari kutub-kutub sistem lup tertutup
lR1, …, lRn (artinya respon observer lebih cepat
dibandingkan sistem lup tertutup), akan tetapi jangan
terlalu jauh kekiri.
 Penentuan matriks observer L dari persamaan
karakteristik:
 
   






n
v
v
s
C
L
A
I
s
1
det b
 
   






n
v
v
T
T
T
s
L
C
A
I
s
1
det b
Transposisi (xT mempunyai
eigen value yg sama dg x)

Sintesa Observer
Bila dibandingkan dengan sintesa pengendali
metode penempatan kutub digunakan untuk lup-tertutup fiktif
dengan sedikit modifikasi:
 
   






n
v
Rv
s
R
B
A
I
s
1
det l
f
T
f
T
f u
C
x
A
x 


LT
xf
uf
-
diganti
A
B
R
li
p
AT
CT
LT
bv
q

Sintesa Observer
 Kutub-kutub observer dapat ditempatkan pada posisi
tertentu, jika sistem memiliki observability sempurna
 
T
n
T
T
T
T
sf C
A
C
A
C
Q 1
)
(
,
,
, 
  mempunyai rank maksimum













1
n
o
A
C
A
C
C
Q

mempunyai rank maksimum

Metode Sintesa Observer
Contoh Metode Sintesa Observer:
 Untuk SISO: Formula Ackerman
Formula Ackerman untuk sintesa pengendali:
  )
(
1
1
1
1
0
1 A
p
t
A
A
p
A
p
I
p
t
r
R T
n
n
n
T
T






 


  1
1
1
1 ,
,
,
.
1
,
0
,
,
0




 b
A
b
A
b
Q
e
t n
c
T
n
T


Persamaan observer:
y
l
u
b
x
F
x 



ˆ
ˆ dengan T
c
l
A
F 


Dalam Formula Ackermann dilakukan perubahan:
 A digantikan AT
 b digantikan c: karena C = cT: (cT)T = c
 R = rT digantikan lT
 p(s) digantikan f(s)
Kemudian adalah lT = t1
T f(AT) dengan
  1
1
1 )
(
,
,
,
.
1
,
0
,
,
0


 c
A
c
A
c
t n
T
T
T


Melalui transposisi dan (M-1)T = (MT)-1 diikuti dengan
dengan
)
( 1
t
A
f
l 




























 1
0
0
.
1
1
1


n
T
T
T
A
c
A
c
c
t
kolom terakhir invers
matriks observer

Polinom f(s)
 



 






n
v
v
n
n
n s
s
s
f
s
f
f
s
f
1
1
1
1
0
)
( b

adalah polinom karakteristik observer yang diinginkan
dan memiliki eigen value b1, …, bn.
 Untuk Sistem MIMO: Sintesa Modal
Persamaan sintesa pengendali dengan kendali Modal:


































T
p
T
Rp
p
R
T
p
T
w
w
B
w
B
w
R 


1
1
1
1
1
0
0
l
l
l
l

Eigen vector wv diganti left-hand eigen vector wv dari AT:
  T
T
v
T
v A
I
w 0
~ 

l
~
Transposisi
  0
~ 

v
v
v
v w
A
I
l
Persamaan matriks observer:
    1
1
1
1
1 ,
,
.
0
0
.
,
, 












 q
q
q
q v
c
v
c
v
v
L 


b
l
b
l

Lecture #11 TK - Design via State Space.pdf

More Related Content

Similar to Lecture #11 TK - Design via State Space.pdf (20)

Recently uploaded (19)

Lecture #11 TK - Design via State Space.pdf