E-Book: Let's learn พีทาโกรัส
- 1. พีทาโกรัส จัดทำโดย : นางสาว รติพร หินคา 563050125-2 ชั้นปีที่ 2 คณิตศาสตรศึกษา
- 2. คานา หนังสือเล่มเล็ก “Let’s Learn พีทาโกรัส” ฉบับนี้เป็นส่วนหนึ่งของวิชา นวัตกรรมและเทคโนโลยี สารสนเทศเพื่อการเรียนรู้ รหัสวิชา 241208 จัดทา ขึ้นเพื่อเป็นสื่อการเรียนรู้ และแหล่งข้อมูลแก่ผู้ที่สนใจ ศึกษาในเรื่องทฤษฎีบทพีทาโกรัสในระดับพื้นฐาน ซึ่ง ประกอบด้วยเนื้อหา 3 ส่วนด้วยกัน นั่นคือ สมบัติของ รูปสามเหลี่ยมมุมฉาก, ทฤษฎีบทพีทาโกรัส และ บท กลับของทฤษฎีบทพีทาโกรัส ขอบพระคุณท่านอาจารย์ ดร. อนุชา โสมา บุตร อาจารย์ประจาวิชา เป็นอย่างสูง ที่ให้คาชี้แนะ และคาแนะนาในการจัดทาสมุดเล่มเล็กฉบับนี้ ผู้จัดทา
- 3. สารบัญ สมบัติของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ทฤษฎีบทพีทาโกรัส บทกลับของทฤษฎีบทพีทาโกรัส หัวเรื่อง หน้า 8 1 9 15 16 23 - - -
- 4. ทฤษฎีบทพีทาโกรัส สมบัติของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ทฤษฎีบทพีทาโกรัส บทกลับของทฤษฎีบทพีทาโกรัส ConceptConceptConcept
- 5. เพื่อนๆ รู้จักรูปสามเหลี่ยมไหมเอ่ย? สิ่งที่พบในชีวิตประจาวันมีอะไรบ้างที่เป็นรูปสามเหลี่ยม? สมบัติของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก 1
- 6. มารู้จัก “รูปสามเหลี่ยมมุมฉาก” กันเถอะ จากรูปสามเหลี่ยม ABC มีมุม ACB ที่เป็นมุมฉาก (มีขนาด 90o) เรียก AB ว่า “ด้านตรงข้ามมุมฉาก” เรียก AC และ BC ว่า “ด้านประกอบมุมฉาก” ^ ___ ___ ___ 2
- 7. ลองวัดดูนะ เครื่องมือวัด: ไม้โปรแทรกเตอร์ และไม้บรรทัด รูปสามเหลี่ยมด้านบนเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากไหมนะ ถ้าเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากแล้วรูปนั้นมีด้านตรงข้ามมุม ฉาก และด้านประกอบมุมฉากยาวเท่าไรบ้างเอ่ย ? ? 3
- 8. จากกิจกรรม “ลองวัดดูนะ” เพื่อนๆสังเกตเห็นอะไรบ้าง? รูปสามเหลี่ยม ความยาว ของด้าน ประกอบ มุมฉาก (1) ความยาว ของด้าน ประกอบ มุมฉาก (2) ความยาวของด้านตรง ข้ามมุมฉาก ABC กขค MNO มบล จากตารางเพื่อนๆพบความสัมพันธ์ของด้าน ทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากอย่างไรบ้าง ? 4
- 9. ผลที่ได้จากกิจกรรมข้างต้น เมื่อกาหนดให้ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ที่มี ACB เป็นมุมฉาก ดังรูป ให้ c แทน ความของด้านตรงข้ามุมฉาก นั่นคือ AB a แทน ความยาวของด้านประกอบมุมฉาก นั่นคือ BC b แทน ความยาวด้านประกอบมุมฉาก นั่นคือ AC จะได้ c2=a2+ b2 ___ ___ ___ ^ 5
- 10. ความสัมพันธ์ระหว่างความยาวของด้านของรูปสามเหลี่ยมฉาก ข้างต้น เป็นไปตามสมบัติของรูปสามเหลี่ยมฉากที่กล่าวว่า “สาหรับรูปสามเหลี่ยมมุมฉากใดๆ กาลังสองของความยาวของด้าน ตรงข้ามมุมฉาก เท่ากับผลบอกของกาลังสองของความยาวของด้าน ประกอบมุมฉาก” สมบัติข้างต้นนี้ เรียกว่า ทฤษฎีบทพีทาโกรัส ซึ่งถูกตั้งชื่อตามผู้ คิดค้นทฤษฎีนี้นั่นเอง 6
- 11. เราสามารถนาความสัมพันธ์ระหว่างความยาวของด้านของรูป สามเหลี่ยมมุมฉากข้างต้น หาความยาวด้านใดด้านหนึ่งของรูป สามเหลี่ยมมุมฉากที่ต้องการทราบได้เสมอ เมื่อเราทราบความยาวของ ด้านสองด้านของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากนั้น ตัวอย่างที่ 1 จากรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่กาหนดให้ จงหาค่าความยาวของ c วิธีทา จากความสัมพันธ์ระหว่างความยาวของด้านของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก จะได้ c2 = 82+152 = 64 + 225 = 289 = 17x17 ดังนั้น c = 17 ตอบ 17 หน่วย ใช้ความสัมพันธ์ ยังไงนะ? 7
- 12. ตัวอย่างที่ 2 จากรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่กาหนดให้ จงหาค่าความยาวของ a วิธีทา จากความสัมพันธ์ระหว่างความยาวของด้านของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก จะได้ 242 = 252+a2 a2 = 252-242 = 625-576 = 49 = 7x7 ดังนั้น a = 7 ตอบ 7 หน่วย 8
- 13. เราได้รู้จักความสัมพันธ์ระหว่างความยาวของด้าน ของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก กันมาแล้ว นั่นคือ “สาหรับรูป สามเหลี่ยมมุมฉากใดๆ กาลังสองของความยาวของ ด้านตรงข้ามมุมฉาก เท่ากับผลบอกของกาลังสองของ ความยาวของด้านประกอบมุมฉาก” รู้หรือไม่? ว่าความสัมพันธ์ดังกล่าวเป็นที่รู้จักกัน มานานกว่า 3,000ปีมาแล้ว ในชื่อทฤษฎีบทพีทาโกรัส แต่ คนในสมัยก่อนสังเกตเห็นความสัมพันธ์นี้ ในลักษณะที่เป็น ความสัมพันธ์ของพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสบนด้านทั้ง สามของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ดังตัวอย่างต่อไปนี้ . . . ทฤษฎีบทพีทาโกรัส 9
- 14. ให้ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ที่มี ACB เป็นมุมฉาก มี BC ยาว 3 หน่วย, AC ยาว 4 หน่วย และ AB ยาว 5 หน่วย สร้างรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส ABIH, รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส BCED และ รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส ACGF บนด้าน AB , ด้าน BC และ ด้าน AC ตามลาดับ ดังรูป จะได้ พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส ABIH เท่ากับ 52 = 25 ตารางหน่วย พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส BCED เท่ากับ 32 = 9 ตารางหน่วย พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส ACGF เท่ากับ 42 = 16 ตารางหน่วย ซึ่ง 25 = 9+16 ดังนั้น พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส ABIH เท่ากับ ผลบวกของพื้นที่ของรูป สี่เหลี่ยมจัตุรัส BCED และ พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส ACGF 10
- 15. ตัวอย่างข้างต้นเป็นการแสดงความสัมพันธ์ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัสที่ กล่าวได้อีกแบบหนึ่งดังนี้ “สาหรับรูปสามเหลี่ยมมุมฉากใดๆ พื้นที่ของรูป สี่เหลี่ยมจัตุรัสบทด้านตรงข้ามมุมฉาก เท่ากับผลบวกของพื้นที่ของรูป สี่เหลี่ยมจัตุรัสบนด้านประกอบมุมฉาก” คิดสนุก ตั้งแต่สมัยกรีกโบราณ นักคณิตศาสตร์ได้พยายามหาวิธีพิสูจน์ ทฤษฎีบทพีทาโกรัสหลายๆวิธี วิธีข้างต้นก็เป็นหนึ่งในนั้น ลองมาช่วยกันหา วิธีอื่นอีกดีกว่า ใช้วิธีไหนดีนะ? .. 11
- 16. รู้หรือเปล่า? พีทาโกรัสอยู่รอบตัวเรา ตัวอย่างที่ 1 เราใช้ความยาวของเส้นทแยงมุมของหน้าจอโทรทัศน์ เพื่อ บอกขนาดของโทรทัศน์ โทรทัศน์เครื่องหนึ่งมีหน้าจอที่วัดตามแนวเส้นทแยงมุมได้ 20 นิ้ว ถ้าหน้าจอโทรทัศน์สูง 12 นิ้ว วิธีทา กาหนดให้ x แทน ความยาวของหน้าจอโทรทัศน์ จากความสัมพันธ์ระหว่างความยาวของด้านของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก จะได้ 202= 122 + x2 x2 = 202-122 = 400 – 144 = 256 = 17x17 ดังนั้น x = 17 ตอบ หน้าจอโทรทัศน์ยาว 17 นิ้ว 12
- 17. ตัวอย่างที่ 2 ทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก ABCDEFGH มีด้าน AF ยาว 8 เซนติเมตร ด้าน AB ยาว 12 เซนติเมตร และด้าน BC ยาว 9 เซนติเมตร จงหาความยาวของ FC ___ วิธีทา เนื่องจาก AFC มี FAC เป็นมุมฉาก ดังนั้น FC2 = AF2 + AC2…………(1) หา AC2 จาก ABC เนื่องจาก ABC มี ABC เป็นมุมฉาก ดังนั้น AC2 = AB2 + BC2………..(2) แทนสมการ (2) ลงสมการ (1) ; FC2 = AF2 + (AB2 + BC2) = 82+ (122+92) = 64 + 144 +81 = 289 = 17 x 17 ดังนั้น FC = 17 นั่นคือ FC ยาว 17 เซนติเมตร ตอบ 17 เซนติเมตร ^ ___ ^ 13
- 18. ตัวอย่างที่ 3 อเล็กซ์สูง 6 ฟุต ยืนอยู่ห่างจากจุดปล่อยบอลลูน 400 ฟุต บอลลูนลอยขึ้นไป จากจุดปล่อยบอลลูน 306 ฟุต ศีรษะของอเล็กซ์อยู่ห่างจากบอลลูนกี่ฟุต วิธีทา วาดแบบจาลอง โดยให้จุด B เป็นจุดปล่อยบอลลูน จุด A เป็นจุดที่อเล็กซ์ ยืนอยู่ จุด C เป็นตาแหน่งที่บอลลูนลอยอยู่ และ AP แทนความสูงของอเล็กซ์ ให้ PQ = AB และ PQ ตั้งจากกับ BC ที่จุด Q ดังรูป จะได้ AB = PQ = 400 BC = 306 และ AP = BQ = 6 ดังนั้น CQ = 306-6 = 300 เนื่องจาก PQC มี PQC เป็นมุมฉาก จะได้ PC2 = PQ2 + CQ2 = 4002 + 3002 = 160,000 + 90,000 = 250,000 = 500 X 500 ดังนั้น PC = 500 นั่นคือ ศีรษะของอเล็กอยู่ห่างจากบอลลูน 500 ฟุต ตอบ 500 ฟุต ^ 14
- 19. แก้โจทย์ปัญหาพีทาโกรัส อ่านโจทย์ แล้วหา... สิ่งที่โจทย์กาหนดให้ สิ่งที่โจทย์ถาม วาดรูป แล้วเขียน... สิ่งที่รู้ สิ่งที่ต้องการหา แก้โจทย์ ตรวจคาตอบ Finish 15
- 20. บทกลับของทฤษฎีบทพีทาโกรัส มาเตะฟุตบอลกันเถอะ ... ก่อนเราจะไปเตะฟุตบอลกัน เพื่อนๆ สังเกตหรือไม่ว่าสนามฟุตบอลที่เราเคยเห็น กันต่างก็มีเส้นสีขาวๆ บอกเขตแดน “เรามาช่วยกันตีเส้นสนามหญ้า บ้านอเล็กซ์ให้กลายเป็นสนามบอลกัน เถอะ !!”
- 21. 16 เรามีปูนขาวไว้ใช้โรยบนสนามหญ้าแล้ว .. แต่เราจะตีเส้นอย่างไรให้ตรงนะ? เอ... แล้วตรงบริเวณมุมสนามล่ะ !!?? เราจะทาอย่าไร ให้เป็นมุมฉาก มาช่วยอเล็กซ์ตีเส้นสนามฟุตบอล ให้สาเร็จที :) Write it down
- 22. ในสมัยอียิปต์โบราณ เกษตรกรที่อาศัยอยู่ริม ฝั่งแม่น้าไนล์มักจะประสอบปัญหาน้าท่วมที่ดินจนไม่ สามารถชี้แนวเขตที่ดินของตนได้ จึงต้องรังวัดที่ดิน ใหม่เกือบทุกปี ในสมัยนั้นเมื่อต้องการรังวัดที่ดินเป็น มุมฉาก ชาวบ้านจะใช้เชือกที่มี 13 ปม ระยะห่าง ระหว่างปมเป็น 1 หน่วยเท่ากัน มาขึงเป็นรูป สามเหลี่ยมที่มีด้านยาว 3, 4 และ 5 หน่วย ก็จะได้รูป สามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้านตรงข้ามมุมฉากเป็น 5 หน่วยนั่นเอง “... เพื่อนๆคิดว่ามีจานวนสามจานวนชุดอื่นๆ ที่เป็นความยาวของด้านทั้งสามของรูปสามเหลี่ยม แล้วทาให้ได้รูปสามเหลี่ยมมุมฉาก อีกหรือไม่?... ” 17
- 23. บทกลับของทฤษฎีพีทาโกรัส กล่าวว่า “สาหรับรูปสามเหลี่ยมใดๆ ถ้ากาลังสองของความยาวของ ด้านด้านหนึ่งเท่ากับผลบวกของกาลังสองของความยาวของด้านอีก สองด้าน แล้วรูปสามเหลี่ยมรู้นั้นเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก” หรือกล่าวได้ว่า “ถ้ารูปสามเหลี่ยม ABC มีด้ายยาว a, b และ c หน่วย และ c2 = a2 +b2 จะได้ว่า รูปสามเหลี่ยม ABC เป็นรูป สามเหลี่ยมมุมฉาก” นั่นเอง 18
- 24. การพิสูจน์บทกลับของทฤษฎีบทพีกาโกรัส ทาได้ดังนี้ กาหนดให้ ABC มี AB = c หน่วย, BC = a หน่วย, AC = b หน่วย และ c2 = a2 +b2 ต้องการพิสูจน์ว่า ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ที่มี ACB เป็น มุมฉาก พิสูจน์ สร้างรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก DEF ให้ด้านประกอบมุมฉาก EF และ DF ยาว a หน่วย และ b หน่วยตามลาดับ และให้ DFE เป็นมุมฉาก ดังรูป ^ 19 ^
- 25. EF = BC = a และ DF = AC = b (จากการสร้าง) จาก DEF จะได้ DE2 = a2 + b2 (โดยทฤษฎีบทพีทาโกรัส) จาก ABC จะได้ c2 = a2 + b2 (กาหนดให้) ดังนั้น DE2= c2 (สมบัติของการเท่ากัน) นั่นคือ DE = c จะได้ DEF ABC (ด้าน-ด้าน-ด้าน) ดังนั้น DFE = ACB = 90o (มุมคู่ที่สมนัยกันของรูป สามเหลี่ยมที่เท่ากันทุกประการ จะมีขนาดเท่ากัน) นั่นคือ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่มี ACB เป็นมุมฉาก ^ ^ ^ 20
- 26. ลองใช้บทกลับของทฤษฎีพีทาโกรัสในการแก้ไขปัญหาต่อไปนี้ กาหนด รูปสามเหลี่ยม ABC ดังรูป จงแสดงว่า ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ทาได้หรือเปล่า? 21
- 27. ทฤษฎีบทพีทาโกรัสไม่ยากอย่างที่คิดใช่ไหมคะ? ทฤษฎีนี้เป็นทฤษฎีที่มีประโยชน์สามารถนาไปใช้ได้ใน ชีวิตประจาวันได้อย่างคาดไม่ถึง ทั้งในการสร้างอาคารบ้านเรือน ทฤษฎีนี้ ก็ถูกหยิบไปใช้ในการคานวณต่างๆมากมาย เช่น การสร้างหลังคาบ้าน การออกแบบบันไดที่สามารถขึ้น-ลงได้ง่าย ทั้งในการผลิตเครื่องมือ ทางการแพทย์ และทางด้านอื่นที่เราคาดไม่ถึงเลยทีเดียว แต่ที่แน่ๆ ทฤษฎีนี้ถือเป็นพื้นฐานในการต่อยอดสู่การเรียนรู้ใน เรื่องที่น่าสนใจ ทั้งในวิชาคณิตศาสตร์ วิทยาศาสตร์ และวิชาอื่นๆอีก มากมายเลยนะคะ 22
- 28. ทาได้ไหมน้า...? บันไดยาว 6.5 เมตร วางพิงผนัง ตึกให้เชิงบันไดห่างจากผนัง 2.5 เมตร 1. อยากรู้จังว่า ปลายบนของ บันได อยู่สูงจากพื้นกี่เมตร 2.ถ้าต้องการพิงบันได้ ให้ปลาย บนของบันไดอยู่สูงกว่าพื้นไม่ถึง 6 เมตร ควรจะวางเชิงบันไดห่างจากตึกมากกว่า ตลาดอยู่ห่างจากบ้านญาญ่า 1,800 เมตร และอยู่ห่างจาก โรงเรียน 2.4 กิโลเมตร ทุกๆ วันญาญ่าจะปั่นจักรยานแวะซื้อ กับข้าวที่ตลาดหลังเลิกเรียน แต่ใน ตอนเช้าญาญ่าจะปั่นจักรยานไป โรงเรียนโดยไม่ผ่านตลาด ในแต่ละ วันญาญ่าจะปั่นจักรยานเป็น 23
- 29. บรรณานุกรม สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี. (2553). ทฤษฎีพีทาโกรัส. กรุงเทพมหานคร: สกสค. ลาดพร้าว.