Ltdt chuong 3

CÁC BÀI TOÁN ĐƯỜNG ĐIntsonptnk@gmail.com

NỘI DUNGĐường đi ngắn nhấtBài toánNguyên lý BellmanThuật toán DijkstraThuật toán FloydThuật toán Ford-BellmanĐồ thị EulerĐồ thị HamiltonLý thuyết đồ thị , chương 3 - Nguyễn Thanh Sơn 2

ĐƯỜNG ĐI NGẮN NHẤTLý thuyết đồ thị - chương 3 - Nguyễn Thanh Sơn30A48232871CBD395825EF

Cho đồ thị có hướng có trọng G=(X, E) và hai đỉnh s, tX, gọi P là một đường đi từ đỉnh s đến đỉnh t, trọng lượng (hay giá) của đường đi P được định nghĩa là: L(P) = (eP)L(e)Bài toán: tìm đường đi từ s đến t có trọng lượng nhỏ nhấtBÀI TOÁN4Lý thuyết đồ thị - Nguyễn Thanh Sơn

Bài toán được phát biểu cho đồ thị có hướng có trọng, nhưng các thuật toán sẽ trình bày đều có thể áp dụng cho các đồ thị vô hướng có trọng bằng cách xem mỗi cạnh của đồ thị vô hướng như hai cạnh có cùng trọng lượng nối cùng một cặp đỉnh nhưng có chiều ngược nhau.Khi tìm đường đi ngắn nhất có thể bỏ bớt đi các cạnh song song và chỉ chừa lại một cạnh có trọng lượng nhỏ nhất.Đối với các khuyên có trọng lượng không âm thì cũng có thể bỏ đi mà không làm ảnh hưởng đến kết quả của bài toán. Đối với các khuyên có trọng lượng âm thì có thể đưa đến bài toán đường đi ngắn nhất không có lời giải.NHẬN XÉT5Lý thuyết đồ thị - Nguyễn Thanh Sơn

ĐIỀU KIỆN TỒN TẠI LỜI GiẢIP là một đường đi từ s đến t, giả sử P có chứa một mạch . Nếu L()0 thì có thể cải tiến đường đi P bằng cách bỏ đi mạch . Nếu L()<0 thì không tồn tại đường đi ngắn nhất từ đỉnh s đến đỉnh t vì nếu quay vòng tại  càng nhiều vòng thì trọng lượng đường đi P càng nhỏ đi, tức là L(P) -.6Lý thuyết đồ thị - Nguyễn Thanh Sơnkts

Ma trận trọng lượng LNxN được định nghĩa:Lij = trọng lượng cạnh nhỏ nhất nối i đến j nếu có,Lij =  nếu không có cạnh nối i đến j.Khi cài đặt thuật toán có thể dùng 0 thay cho  bằng cách đưa thêm một số kiểm tra thích hợp.DỮ LIỆU NHẬP7Lý thuyết đồ thị - Nguyễn Thanh SơnB12A16751514DC

NGUYÊN LÝ BELLMANLý thuyết đồ thị - Nguyễn Thanh Sơn8kP1P2tsP1’

Gọi P là đường đi ngắn nhất từ đỉnh s đến đỉnh t; k  P. Giả sử P=P1P2 với P1 là đường đi con của P từ s đến k và P2 là đường đi con của P từ k đến t. Khi đó P1 cũng là đường đi ngắn nhất từ s đến k.NGUYÊN LÝ BELLMAN9Lý thuyết đồ thị - Nguyễn Thanh SơnkP1P2tsP1’L(P1’) < L(P1)  L(P1’P2) < L(P1P2)=L(P)

THUẬT TOÁN DiJKSTRALý thuyết đồ thị - chương 3 - Nguyễn Thanh Sơn100A48232871CBD395825EFTÌM ĐƯỜNG ĐI NGẮN NHẤT TRÊN ĐỒ THỊ CÓ TRỌNG SỐ DƯƠNG

Input: N, L, s, t – sốđỉnh, ma trậntrọnglượng, đỉnhxuấtphát, đỉnhkếtthúcOutput: D, Labels – D[k]: trọnglượngĐĐNN sk, Labels[k]: đỉnhngaytrước k trong ĐĐNN skV=X; D[s]=0;D[k]=,kX\{s}; Labels[k]=-1, kX.Trongkhi tV:Chọn đỉnh vVvới D[v] nhỏ nhất;V := V\{v};Với mọi đỉnh kV và có cạnh nối từ v đến k,Nếu D[k]>D[v]+Lvk thì D[k]=D[v]+Lvk và Labels[k]=vTHUẬT TOÁN DIJKSTRA11Lý thuyết đồ thị - chương 3 - Nguyễn Thanh Sơn

VÍ DỤLý thuyết đồ thị - chương 3 - Nguyễn Thanh Sơn12d(u) = 50d(z) = 7510uzsd(u) = 50d(z) = 6010uzsCập nhật độ dài ĐĐ từ s đến đỉnh z: 75  60

VÍ DỤĐồ thị G gồm 7 đỉnh, 12 cạnh như hình bên. Tìm đường đi ngắn nhất từ đỉnh 1 đến đỉnh 5Lý thuyết đồ thị - chương 3 - Nguyễn Thanh Sơn13298431134685245712176

VÍ DỤV: đỉnh chưa bị tô màu; D[k]: số có màu đỏ; Labels[k]: số có màu xanh láLý thuyết đồ thị - chương 3 - Nguyễn Thanh Sơn1429840311-1-1-1-1-134658245712176-1-1

VÍ DỤLý thuyết đồ thị - chương 3 - Nguyễn Thanh Sơn15V: đỉnh chưa bị tô màu; D[k]: số có màu đỏ; Labels[k]: số có màu xanh lá2984096311-11-1-11346582457121763-11

VÍ DỤLý thuyết đồ thị - chương 3 - Nguyễn Thanh Sơn16V: đỉnh chưa bị tô màu; D[k]: số có màu đỏ; Labels[k]: số có màu xanh lá2984074116311-14441346582457121763-11

VÍ DỤĐĐNN từ 1 đến 5 có trọng lượng D[5]=9: 5  3  4  1Lý thuyết đồ thị - chương 3 - Nguyễn Thanh Sơn19298407496311-144313465824571217626351

GIÁ TRỊ CÁC BIẾN D, Labels20Lý thuyết đồ thị - chương 3 - Nguyễn Thanh SơnDLabels

VÍ DỤLý thuyết đồ thị - chương 3 - Nguyễn Thanh Sơn210A48232871CBD395825EF0A48242871CBD3925EF00AA4488223283277171CBDCBD3939511582525EFEF

VÍ DỤLý thuyết đồ thị - chương 3 - Nguyễn Thanh Sơn220A48232771CBD395825EF0A48232771CBD395825EF

Lý thuyết đồ thị - chương 3 - Nguyễn Thanh Sơn23THUẬT TOÁN DIJKSTRA – CÀI ĐẶTGraph Graph::Dijkstra(int s, int t){//Tìm đường đi ngắn nhất từ s đến t}

Lý thuyết đồ thị - chương 3 - Nguyễn Thanh Sơn24THUẬT TOÁN DIJKSTRA – CÀI ĐẶTGraph Graph::PrintPath(int s, int t){ int temp[MAX]; int dem = 0;//In đường đi ngắn nhất từ s đến t dựa vào Labelswhile(Labels[t] != -1) { temp[dem++]=t; t=Labels[t]; } temp[dem++]=s; while (dem > 0) printf(“%d “, temp[--dem]);}

THUẬT TOÁN FLOYDTÌM ĐƯỜNG ĐI NGẮN NHẤT GIỮA CÁC CẶP ĐỈNH TRÊN ĐỒ THỊLý thuyết đồ thị - chương 3 - Nguyễn Thanh Sơn25

Input: N, L – sốđỉnh, ma trậntrọnglượngcủa G(X, E)Output: L, Nexts – L[u, v]: trọnglượngĐĐNN uv, Nexts[u, v]: đỉnhngaysau u trong ĐĐNN uvNếu L[u, v]: Nexts[u, v]=vNgượclại: Nexts[u, v]=-1 , (u, v)X2.Vớimọi t  XVớimọi u  X có L[u, t]Vớimọi v  X có L[t, v]Nếu L[u, v] > L[u, t] + L[t, v] thìL[u, v] = L[u, t] + L[t, v]Nexts[u, v] = Nexts[u, t]THUẬT TOÁN FLOYD26Lý thuyết đồ thị - chương 3 - Nguyễn Thanh Sơn

Xác định đường đi ngắn nhất giữa các cặp đỉnh trên đồ thị gồm 4 đỉnh 6 cạnhVÍ DỤ27Lý thuyết đồ thị - chương 3 - Nguyễn Thanh Sơn2849413315

VÍ DỤ28Lý thuyết đồ thị - chương 3 - Nguyễn Thanh Sơn294831-1512-12-13-14-13-1413

VÍ DỤ29Lý thuyết đồ thị - chương 3 - Nguyễn Thanh Sơnt = 1u = 3v = 229481431-1512-12-13-14-13-11413

VÍ DỤ30Lý thuyết đồ thị - chương 3 - Nguyễn Thanh Sơnt = 1u = 3v = 429481431-15182-12-134-13-111413

VÍ DỤ31Lý thuyết đồ thị - chương 3 - Nguyễn Thanh Sơnt = 2u = 1v = 329481431-15181722-12-134-1311413

VÍ DỤ32Lý thuyết đồ thị - chương 3 - Nguyễn Thanh Sơnt = 2u = 3v = x294814315181722-12-134-1311413

VÍ DỤ33Lý thuyết đồ thị - chương 3 - Nguyễn Thanh Sơnt = 2u = 4v = 3294814315181722-12-134-1311413

VÍ DỤ36Lý thuyết đồ thị - chương 3 - Nguyễn Thanh Sơnt = 3u = 2v = 1, 4291341681431518172232334-1311413

VÍ DỤ37Lý thuyết đồ thị - chương 3 - Nguyễn Thanh Sơnt = 3u = 4v = 1, 229134168143615181722323343311413

THUẬT TOÁN BELLMANLý thuyết đồ thị - chương 3 - Nguyễn Thanh Sơn41? 0ktsTÌM ĐƯỜNG ĐI NGẮN NHẤT TRÊN ĐỒ THỊ CÓ CẠNH ÂM

Input: N, L, u – sốđỉnh, ma trậntrọnglượngcủa G(X, E), đỉnhxuấtphátOutput: , Labels – (k, v): trọnglượngĐĐNN uvsau k bướclặp, Labels[v]: đỉnhngaytrước v trong ĐĐNN uv(0, u)=0; (0, v)= vX\{u}; Labels[v] = -1 vX;Lặpvới k = 1, 2, N-1iX,chọn jXsaocho(k-1, j)+Ljiđạtnhỏnhất; nếuji:(k, i)=(k-1, j)+LjiLabels[i] = j Nếu(k) = (k-1): (k, v) làđườngđingắnnhất u  vNếuvẫncònthayđổisaubướclặp N-1: từ u đãđiđếnmạchâmTHUẬT TOÁN BELLMAN42Lý thuyết đồ thị - chương 3 - Nguyễn Thanh Sơn

VÍ DỤ43Lý thuyết đồ thị - chương 3 - Nguyễn Thanh SơnTìm đường đi ngắn nhất từ đỉnh 3 đến các đỉnh còn lại112-28235441-1265

VÍ DỤ44Lý thuyết đồ thị - chương 3 - Nguyễn Thanh Sơnk = 0112-2820-1-1-1-1-1-135441-1265

VÍ DỤ45Lý thuyết đồ thị - chương 3 - Nguyễn Thanh Sơnk = 1112-282054-1-1-1-1-1-1-133335441-1265

VÍ DỤ46Lý thuyết đồ thị - chương 3 - Nguyễn Thanh Sơnk = 2112-282054-11-1-1-1333535441-1265

VÍ DỤ47Lý thuyết đồ thị - chương 3 - Nguyễn Thanh Sơnk = 3112-28205-112-1-1-1335635441-1265

VÍ DỤ48Lý thuyết đồ thị - chương 3 - Nguyễn Thanh Sơnk = 4112DỪNG-2820-112-1-1-135635441-1265

GIÁ TRỊ CÁC BIẾN , Labels49Lý thuyết đồ thị - chương 3 - Nguyễn Thanh SơnLabels

VÍ DỤ50Lý thuyết đồ thị - chương 3 - Nguyễn Thanh SơnTìm đường đi ngắn nhất từ đỉnh 1 đến các đỉnh còn lại112-28235441-1265

VÍ DỤ51Lý thuyết đồ thị - chương 3 - Nguyễn Thanh Sơnk = 0112-2820-1-1-1-1-1-135441-1265

VÍ DỤ52Lý thuyết đồ thị - chương 3 - Nguyễn Thanh Sơnk = 1112-2822011-11-1-1-135441-1265

VÍ DỤ53Lý thuyết đồ thị - chương 3 - Nguyễn Thanh Sơnk = 2112-2822-1176112133335441-1265

VÍ DỤ56Lý thuyết đồ thị - chương 3 - Nguyễn Thanh Sơnk = 51DỪNG – CÓ MẠCH ÂM12-2820-2-142012165335441-1265

ĐỒ THỊ EULERLý thuyết đồ thị - chương 3 - Nguyễn Thanh Sơn57Konigsberg, HmmmLeonhard Euler(1707 – 1783)

Thành phố Konigsberg (Đức) bị chia thành 4 vùng do 2 nhánh của 1 dòng sông. Có 7 chiếc cầu nối những vùng nầy với nhau. Bài toán: xuất phát từ một vùng đi dạo qua mỗi chiếc cầu đúng một lần và trở về nơi xuất phát.Năm 1736, nhà toán học Euler đã mô hình bài toán nầy bằng một đồ thị vô hướng với mỗi đỉnh ứng với một vùng, mỗi cạnh ứng với một chiếc cầuBÀI TOÁN 7 CHIẾC CẦU58Lý thuyết đồ thị - chương 3 - Nguyễn Thanh Sơn

BÀI TOÁN 7 CHIẾC CẦU59ACDBACDBLý thuyết đồ thị - chương 3 - Nguyễn Thanh Sơn

DÂY CHUYỀN EULER: dây chuyền đi qua tất cả các cạnh trong đồ thị, mỗi cạnh đúng một lần.CHU TRÌNH EULER: dây chuyền Euler có đỉnh đầu trùng với đỉnh cuối.ĐƯỜNG ĐI EULER: đường đi qua tất cả các cạnh của đồ thị, mỗi cạnh đúng một lần.MẠCH EULER: đường đi Euler có đỉnh đầu trùng với đỉnh cuối.ĐỒ THỊ EULER VÔ HƯỚNG: đồ thị vô hướng có chứa một chu trình Euler.ĐỒ THỊ EULER CÓ HƯỚNG: đồ thị có hướng có chứa một mạch Euler.ĐỊNH NGHĨA60Lý thuyết đồ thị - chương 3 - Nguyễn Thanh Sơn

Đồ thị vô hướng G=(X, E)G là đồ thị Euler  G liên thông và d(x) chẵn xX.G có chứa dây chuyền Euler và không chứa chu trình chu trình Euler  G liên thông có chứa đúng hai đỉnh bậc lẻ.Đồ thị có hướng G=(X, E)G là đồ thị Euler  G liên thông và d+(x)=d-(x) x  X.ĐỊNH LÝ EULER61Lý thuyết đồ thị - chương 3 - Nguyễn Thanh Sơn

VÍ DỤ62Lý thuyết đồ thị - chương 3 - Nguyễn Thanh Sơnaeeacaddbdbcbc(G2)(G1)(G3)Liên thông và có 2 đỉnh bậc lẻ  có dây chuyền Euler: bacdaedbcLiên thông và các đỉnh đều có bậc chẵn  có chu trình Euler: bacdaedbcbcó đường đi Euler: bacbd

Cạnh e của đồ thị G được gọi là CẦU nếu xóa e khỏi đồ thị thì làm tăng số thành phần liên thông của G.Giải thuật Gọi chu trình cần tìm là CKhởi tạo: Chọn một đỉnh bất kỳ cho vào C.Lặp trong khi G vẫn còn cạnhChọn cạnh e nối đỉnh vừa chọn với một đỉnh kề với nó theo nguyên tắc: chỉ chọn cầu nếu không còn cạnh nào khác để chọn. Bổ sung e và đỉnh cuối của nó vào C.Xóa e khỏi G. GIẢI THUẬT FLEURY63Lý thuyết đồ thị - chương 3 - Nguyễn Thanh Sơn

VÍ DỤLý thuyết đồ thị - chương 3 - Nguyễn Thanh Sơn64123453124315

GiẢI THUẬT XÁC ĐỊNH CÁC CHU TRÌNH THÀNH PHẦNInput: đồ thị Euler G(X, E)Output: chu trình Euler C của GChọn đỉnh v  X; C = {v}Lặp trong khi G còn cạnhChọn đỉnh v  C còn cạnh trong GTìm chu trình C’ xuất phát từ v.Ghép C’ vào CLoại bỏ các cạnh của C’ khỏi G65Lý thuyết đồ thị - chương 3 - Nguyễn Thanh Sơn

VÍ DỤLý thuyết đồ thị - chương 3 - Nguyễn Thanh Sơn661231453324315

ĐỒ THỊ HAMILTONLý thuyết đồ thị - chương 3 - Nguyễn Thanh Sơn67Sir William Rowan Hamilton(1805-1865)

“Xuất phát từ một đỉnh của khối thập nhị diện đều, hãy đi dọc theo các cạnh của khối đó sao cho đi qua tất cả các đỉnh khác, mỗi đỉnh qua đúng một lần, sau đó trở về đỉnh xuất phát”. Bài toán nầy được nhà toán học Hamilton đưa ra vào năm 1859BÀI TOÁN KHỞI ĐIỂM68Lý thuyết đồ thị - chương 3 - Nguyễn Thanh Sơn

Đồ thị vô hướng G(X, E)DÂY CHUYỀN HAMILTON: dây chuyền đi qua tất cả các đỉnh của đồ thị mỗi đỉnh đúng một lần.CHU TRÌNH HAMILTON: dây chuyền Hamilton và một cạnh trong đồ thị nối đỉnh đầu của dây chuyền với đỉnh cuối của nó.ĐỒ THỊ HAMILTON: đồ thị có chứa một chu trình Hamilton.ĐỊNH NGHĨA69Lý thuyết đồ thị - chương 3 - Nguyễn Thanh Sơn

Đồ thị đủ luôn là đồ thị Hamilton. Với n lẻ  3 thì Kn có (n-1)/2 chu trình Hamilton đôi một không có cạnh chung.ĐồthịlưỡngphânG với hai tập đỉnh X1, X2 và X1=X2=n. Nếu d(x)n/2 x của G thì G là đồ thị Hamilton.ĐồthịvôhướngđơnG gồm n đỉnh và m cạnh. Nếu m(n2-3n+6)/2 thì G là đồ thị Hamilton.MỘT SỐ KẾT QUẢ70Lý thuyết đồ thị - chương 3 - Nguyễn Thanh Sơn

Đồ thị vô hướng đơn G gồm n đỉnh với n3Nếu d(x)n/2 x của G thì G là đồ thị Hamilton.Nếu d(x)(n-1)/2 x của G thì G có dây chuyền Hamilton.Nếu d(x)+d(y)n với mọi cặp đỉnh x, y không kề nhau của G thì G là đồ thị Hamilton.71Lý thuyết đồ thị - chương 3 - Nguyễn Thanh Sơn

Nếu G có đỉnh bậc < 2 thì G không có chu trình HamiltonNếu đỉnh có bậc 2 thì 2 cạnh kề với nó phải nằm trong chu trình HamiltonCác cạnh thừa (ngoài 2 cạnh đã chọn trong chu trình Hamilton) phải được bỏ đi trong quá trình xác định chu trìnhNếu quá trình xây dựng tạo nên một chu trình con thì đồ thị không có chu trình HamiltonQUI TẮC XÁC ĐỊNH72Lý thuyết đồ thị - chương 3 - Nguyễn Thanh Sơn

VÍ DỤ73Lý thuyết đồ thị - chương 3 - Nguyễn Thanh Sơn42351

Chứng minh nguyên lý BellmanChứng minh tính đúng đắn của các thuật toán Dijkstra, Floyd, BellmanCài đặt thuật toán xác định chu trình EulerXác định các “nét” của Đồ thị K nét.BÀI TẬP74Lý thuyết đồ thị - chương 3 - Nguyễn Thanh Sơn

Ltdt chuong 3

More Related Content

What's hot (18)

Viewers also liked (20)

Similar to Ltdt chuong 3 (20)

Ltdt chuong 3