Bài toán đi đường của môn toán rời rạc của thầy hiệu

BÀI 9
BÀI TOÁN ĐƯỜNG ĐI NGẮN
NHẤT TRÊN ĐỒ THỊ
1
Giáo viên: TS. Nguy n Văn Hi u
ễ ệ
Email: nvhieuqt@dut.udn.vn

Nội dung
❑ Giới thiệu
❑ Bài toán
❑ Thuật toán Dijkstra
❑ Thuật toán Bellman-Ford
❑ Thuật toán Floyd – Warshall
❑ Ứng dụng
Nguyễn Văn Hiệu, 2014, Discrete Mathematics 2

Giới thiệu
❑Đồ thị trọng số là đồ thị có gắn một giá
trị cho mỗi cạnh hoặc mỗi cung
❑Giá trị là số nguyên hoặc số thực, giá trị
mang ý nghĩa thực tế:
★ giá trị có thể là thời gian;
★ giá trị có thể là chi phí;
★ giá trị có thể là tốc độ;
★ giá trị có thể là cự ly.

Bài toán
•

Bài toán
Bài toán 1:Tìm đường đi ngắn nhất từ đỉnh
a và đỉnh z
Bài toán 2: Tìm đường đi ngắn nhất từ
đỉnh a đến tất cả các đỉnh còn lại
Bài toán 3: Tìm đường đi ngắn nhất giữa
mọi cặp đỉnh

Bài toán
❑ Để chắc chắn tìm được đường đi ngắn
nhất thì điều kiện
❑ Phải tồn tại đường đi:
❑ Đồ thị vô hướng liên thông.
❑ Đồ thị có hướng liên thông mạnh.
❑ Không tồn tại chu trình âm và cạnh âm:
❑ Đồ thị có hướng không tồn tại chu trình âm.
❑ Đồ thị vô hướng không tồn tại cạnh âm.

Bài toán
❑Đường đi ngắn nhất từ Etna đến Oldtown là:
Etna – Bangor – Orono – Old Town
❑Đường đi ngắn nhất từ Hermae đến Etna là:
Hermae – Hampdea – Bangor - Etna

Bài toán
If ( d[v] > d[u] + c[u,v]) {
d[v] = d[u] + c[u,v];
T[v] = u;
}

Thuật toán Dijkstra
❑ Mục tiêu: Tìm đường đi ngắn nhất từ đỉnh a
đến đỉnh z.
❑ Điều kiện: w(u,v)> 0 với mọi (u,v) thuộc E:
– Nếu đồ thị có hướng cung dương
– Nếu đồ thị vô hướng cạnh dương
❑ L(u) - chiều dài ngắn nhất từ a đến u.
❑ Thuật toán kết thúc khi xác định được L(z)

•

Độ phức tạp của thuật toán:
f(n) = 0(n*n)
f(n) - số lần duyệt cạnh/ cung của thuật toán
Thuật toán Dijkstra là tối ưu
Kn - có số cạnh là n(n-1)/2
Tìm đường đi ngắn nhất từ a đến z phải khảo sát
qua mỗi cạnh một lần.
Thuật giải khảo sát ít nhất 0(n*n)

a
b c
z
d e
4
1
2
5
6
3
2
10
8 a
b c
z
d e
4
1
2
5
6
3
2
10
8
Ví dụ thuật toán Dijkstra (1)

a
b c
z
d e
4
1
2
5
6
3
2
10
8
a
b c
z
d e
4
1
2
5
6
3
2
10
8
2,a
Ví dụ thuật toán Dijkstra(2)

a
b c
z
d e
4
1
2
5
6
3
2
10
8
2,a
a
b c
z
d e
4
1
2
5
6
3
2
10
8
2,a

a
b c
z
d e
4
1
2
5
6
3
2
10
8
2,a
a
b c
z
d e
4
1
2
5
6
3
2
10
8
2,a
Ví dụ thuật toán Dijkstra(5)

a
b c
z
d e
4
1
2
5
6
3
2
10
8
2,a
a
b c
z
d e
4
1
2
5
6
3
2
10
8
2,a

Phương pháp lập bảng ghi nhãn
❑ Bản chất như thuật toán Dijkstra
❑ Các cột tương ứng với các đỉnh
❑ Các hàng tương ứng với số lần tính nhãn
(bước 4)
❑ Các nhãn “gạch dưới” tương ứng với
nhãn nhỏ nhất ở (bước 2)
❑ Số đỉnh được cố định chính là số đỉnh
loại ra (bước 2)

a
b c
z
d e
4
1
2
5
6
3
2
10
8
Ví dụ lập bảng tính nhãn (1)
a b c d e z
a
d
- 3,d 10,d - 12,d b
- - 8,b - 12,d c
- - - - 10.c 14,c e
- - - - - 13,e z
- - - - - -

k 1 2 3 4 5 6
0,o oo,o oo,o oo,o oo,o oo,o
1 - 1,1 oo,o 2,1 oo,o oo,o
2 - 6,2 2,1 oo,o 8,2
3 3,4 - 6,4 8,2
4 - 6,4 4,3
6,4 -
1
2 3
6
4 5
1
1
2
5
3
1
2
4
7
2

Thuật toán Bellman-Ford
❑ Dijkstra cho kết quả sai nếu đồ thị có trọng số
âm
❑ Bellman-Ford khắc phục kết quả trên
❑ Bellman-Ford giúp xác định đồ thị có chu trình
âm hay không
s
b
z
3
2
-2

•

•
Độ phức tạp của thuật toán Bellman – Ford
0(n*m)

s
b
z
3
2
-2
Bước s b z
1 0
+∞ ,nil
2 0 3,s
2 ,s
0 3,s 1,b
3

k 1 2 3 4 5
1 0,O 1,O
∞ ,O ∞ ,O
3,O
2
3
5
Ví dụ thuật toán Bellman-Ford
1
2 3
4
1 2
3
3
4
-5
8
3
1
5

k 1 2 3 4 5 6
0,O 1,O
∞ ,
O
∞,O ∞,O ∞,O
1
2
3
4
5
6
S = 1
Ví dụ thuật toán Bellman-Ford

Thuật toán Floyd- Warshall
❑ Mục tiêu: Tìm đường đi ngắn nhất giữa
mọi cặp đỉnh của đồ thị (có hướng) có
trọng số
❑ Giải pháp
– Dijkstra nhiều lần
– Floyd - Warshall

❑ Input:
G = (V, E, W), V = {1,2,…,n}
❑Output:
D = {d[i,j]}nxn,
d[i,j] độ dài đường đi ngắn nhất từ i đến j
P = {p[i,j]}nxn,,
p[i,j] – đỉnh đi trước j trên đường đi
ngắn nhất từ i đến j

•

Step 2
For k:=1 to n do // |V| = n
// Tính Dk và Pk theo Dk-1, Pk-1
For n:=1 to n do
For m:=1 to n do
if dk -1[i,j]> dk -1[i,k]+ dk -1[k,j] then {
dk[i,j]=dk -1[i,k]+dk -1[k,j];
pk[i,j]= pk -1[i,k];
}
else {
dk[i,j]=dk -1[i,j]; pk[i,j]= pk -1[i,j];
}

Độ phức tạp của thuật Floyd Warshall
0(n*n*n)

Ví dụ thuật toán Floyd- Warshall (1)
1
2 4
3
7
11
7
4
5
6
1
1 2 3 4
1
2
3
4
1 2 3 4
1
2
3
4
Ma trận D0
Ma trận P0

1
2 4
3
7
11
7
4
5
6
1
1 2 3 4
1
2
3
4
1 2 3 4
1
2
3
4
Cập nhật qua đỉnh 1
Ma trận D1
Ma trận P1

Ví dụ thuật toán Floyd- Warshall(3)
1
2 4
3
7
11
7
4
5
6
1
1 2 3 4
1
2
3
4
1 2 3 4
1
2
3
4
Ma trận D2
Ma trận P2

1
2 4
3
7
11
7
4
5
6
1
1 2 3 4
1
2
3
4
1 2 3 4
1
2
3
4
Ma trận D3
Ma trận P3

1
2 4
3
7
11
7
4
5
6
1
1 2 3 4
1
2
3
4
1 2 3 4
1
2
3
4
Ma trận D4
Ma trận P4

1
2 4
3
7
11
7
4
5
6
1
1 2 3 4
1
2
3
4
1 2 3 4
1
2
3
4

10
2
1
5
6
3
Ma trận D0
Ví dụ thuật toán Floyd- Warshall (2.1)
Ma trận P0
1 2
3
4
1 2 3 4
1
2
3
4
1 2 3 4
1
2
3
4

10
2
1
5
6
3
Ví dụ thuật toán Floyd- Warshall (2.2)
1 2
3
4
1 2 3 4
1
2
3
4
1 2 3 4
1
2
3
4
Ma trận D1
Ma trận P1

10
2
1
5
6
3
Ví dụ thuật toán Floyd- Warshall(2.3)
1 2
3
4
1 2 3 4
1
2
3
4
1 2 3 4
1
2
3
4
Ma trận D2
Ma trận P2

10
2
1
5
6
3
1 2
3
4
1 2 3 4
1
2
3
4
1 2 3 4
1
2
3
4
Ma trận D3
Ma trận P3

10
2
1
5
6
3
1 2
3
4
1 2 3 4
1
2
3
4
1 2 3 4
1
2
3
4
Ma trận D4
Ma trận P4

Ứng dụng
❑Bài toán chọn địa điểm đặt cơ sở dịch vụ, sao cho
hiệu quả nhất về mặt kinh tế
❑Bài toán cực tiểu tổng
▪ Tìm vị trí để đặt cơ sở sao cho khoảng cách giữa các vùng đến
cơ sở là nhỏ nhất
▪ Vị trí đặt trường học, bưu điện, bệnh viện.
❑Bài toán cực tiểu trị lớn nhất
▪ Tìm vị trí đặt cơ sở sao cho khoảng cách từ cơ sở đến điểm xa
nhất của cộng đồng là nhỏ nhất
▪ Vị trí đặt cơ quan phòng cháy chữa cháy.

Ứng dụng
1 1
1
1
1 2 4
3
1 5
6
7
1 2 3 4 5 6 7
1
2
3
4
5
6
7
- Đỉnh 4 là đỉnh cực tiểu
- Đỉnh 3 là tâm đồ thị

❑ Lập trình thực hiện các thuật toán mô tả:
❑ Thuật toán Dijkstra
❑ Thuật toán Floyd-Warshall
❑ Thuật toán Bellman-Ford
❑ Xác định độ phức tạp của 3 thuật toán trên
Bài tập

THAT’S ALL; THANK YOU
What NEXT?

Bài toán đi đường của môn toán rời rạc của thầy hiệu

More Related Content

Recently uploaded (20)

Featured (20)

Bài toán đi đường của môn toán rời rạc của thầy hiệu

Editor's Notes