Abstract image of a woman sitting on books and studying on a laptop

Makalah Metode Numerik : Sistem Persamaan Linear

Download as DOCX, PDF
K
Kannal Bakti Pakinde

Makalah ini membahas metode numerik sistem persamaan linear. Terdapat tiga bab yang membahas tentang definisi sistem persamaan linear, metode penyelesaian sistem persamaan linear seperti menggunakan notasi matriks, dan contoh soal sistem persamaan linear.

Education
1 of 20
Downloaded 495 times
1
2
3
4
5
6
7
Most read
8
9
10
11
Most read
12
Most read
13
14
15
16
17
18
19
20
i MAKALAH METODE NUMERIK : “SISTEM PERSAMAAN LINEAR” Disusun oleh: Karnal B. P. Pakinde & Lusiana Talindu PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS KRISTEN TENTENA TENTENA 2016
ii KATA PENGANTAR Puji syukur kepada Tuhan Yang Maha Esa atas segala kasih dan rahmat-Nya sehingga makalah metode numerik tentang sistem persamaan linear dapat kami selesaikan dengan baik sesuai batas waktu yang ditentukan. Makalah ini dibuat untuk memenuhi tugas pada mata kuliah metode numerik dengan dosen pengampuh bapak Ruben Sonda, M.Pd. Kami mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada pihak-pihak yang telah ikut membantu dalam penulisan makalah ini. Terima kasih untuk bantuan materil maupun moril yang telah diberikan semoga Tuhan yang akan membalas semuanya. Penulisan makalah ini masih jauh dari kesempurnaan oleh karena itu kami sangat membutuhkan kritik dan saran dari para pembaca sekalian. Harapan kami semoga makalah ini dapat digunakan untuk membantu resensi tugas kuliah dan digunakan sebagai mana mestinya. Tentena, November 2016 Penulis
iii DAFTAR ISI KATA PENGANTAR ...................................................................................................i DAFTAR ISI..................................................................................................................ii BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang..................................................................................................1 B. Rumusan Masalah............................................................................................2 C. Tujuan Penulisan..............................................................................................2 BAB II PEMBAHASAN A. Sistem Persamaan Linear (SPL.......................................................................3 B. Metode Penyelesaian Sistem Persamaan Linier .............................................4 C. Contoh-Contoh Soal Sistem Persamaan Linier..............................................12 BAB III PENUTUP A. Kesimpulan.........................................................................................................16 B. Saran...................................................................................................................16 DAFTAR PUSTAKA.....................................................................................................17
1 BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Penyelesaian suatu sistem n persamaan dengan n bilangan tak diketahui banyak dijumpai dalam permasalahan ilmu pengetahuan dan teknologi, seperti penyelesaian numeris persamaan diferensial biasa dan diferensial parsial, analisis struktur, analisis jaringan, dan sebagainya. Di dalam penyelesaian sistem persamaan akan dicari nilai 𝑥1, 𝑥1, … … …… … …, 𝑥 𝑛, yang memenuhi sistem persamaan berikut : 𝑓1(𝑥1, 𝑥2, … …… … …… , 𝑥 𝑛,) = 0 𝑓2(𝑥1, 𝑥2, … … …… … …, 𝑥 𝑛, ) = 0 . . . 𝑓3(𝑥1, 𝑥2, … … …… … …, 𝑥 𝑛, ) = 0 Sistem persamaan linier di atas dapat linier atau tidak linier. Penyelesaian sistem persamaan tak linier adalah sulit. Untungnya, sebagian besar permasalahan yang ada merupakan persamaan linier. Di dalam makalah ini akan dibahas mengenai sistem persamaan linier, yang mempunyai bentuk umum berikut ini. 𝑎11 𝑥1+ 𝑎12 𝑥2 + … . +𝑎1𝑛 𝑥 𝑛 = 𝑏1 𝑎21 𝑥1+ 𝑎22 𝑥2 + …. +𝑎2𝑛 𝑥 𝑛 = 𝑏2 . . . 𝑎11 𝑥1+ 𝑎 𝑛2 𝑥2 + … . +𝑎 𝑛𝑛 𝑥 𝑛 = 𝑏 𝑛 Dengan 𝑎 adalah koefisien konstan, b adalah konstan, n adalah jumlah persamaan dan 𝑥1, 𝑥1, … … …… … …, 𝑥 𝑛, adalah bilangan tak diketahui.
2 B. Rumusan Masalah Dari latar belakang di atas maka diperoleh rumusan masalah sebagai berikut : 1. Apa yang dimaksud sistem persamaan linier ? 2. Bagaimana metode penyelesaian sistem persamaan linier ? 3. Bagaimana contoh-contoh soal sistem persamaan linier ? C. Tujuan Penulisan Adapun tujuan penulisan dari pembuatan makalah ini, yaitu : 1. Untuk menjelaskan sistem persamaan linier. 2. Untuk mengetahui metode penyelesaian sistem persamaan linier. 3. Untuk memahami contoh-contoh soal sistem persamaan linier.
3 BAB II PEMBAHASAN A. Sistem Persamaan Linear (SPL) 1. Definisi SPL Sistem persamaan linier merupakan salah satu model dan masalah matematika yang banyak dijumpai dalam berbagai disiplin ilmu, termasuk matematika, statistika, fisika, biologi, ilmu-ilmu sosial, teknik dan bisnis. Sistem-sistem persamaan linier muncul secara langsung dari masalah-masalah nyata dan merupakan bagian dari proses penyelesaian masalah-masalah lain misalnya penyelesaian sistem persamaan nonlinier simultan. 2. Bentuk Umum SPL Bentuk umum suatu sistem persamaan linear yang sering kita jumpai pada umumnya seperti : a. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐 atau 𝑎1 𝑥 + 𝑏1 𝑦 = 𝑐1 𝑝𝑥 + 𝑞𝑦 = 𝑟 𝑎2 𝑥 + 𝑏2 𝑦 = 𝑐2 b. Sistem Persamaan Linear Tiga Varibel (SPLTV) 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 = 𝑑 𝑎1 𝑥 + 𝑏1 𝑦 + 𝑐1 𝑧 = 𝑑1 𝑒𝑥 + 𝑓𝑦 + 𝑔𝑧 = ℎ atau 𝑎2 𝑥 + 𝑏2 𝑦 + 𝑐2 𝑧 = 𝑑2 𝑖𝑥 + 𝑗𝑦 + 𝑘𝑧 = 𝑙 𝑎3 𝑥 + 𝑏3 𝑦 + 𝑐3 𝑧 = 𝑑3 Akan tetapi bentuk umum yang akan dibahas dalam bab ini adalah bentuk suatu sistem persamaan linier yang terdiri atas sejumlah berhingga persamaan linier dalam sejumlah berhingga variabel. Bentuk yang dimaksud adalah :
4 𝑎11 𝑥1+ 𝑎12 𝑥2 + … . +𝑎1𝑛 𝑥 𝑛 = 𝑏1 𝑎21 𝑥1+ 𝑎22 𝑥2 + … . +𝑎2𝑛 𝑥 𝑛 = 𝑏2 . . . 𝑎11 𝑥1+ 𝑎 𝑛2 𝑥2 + … . +𝑎 𝑛𝑛 𝑥 𝑛 = 𝑏 𝑛 B. Metode Penyelesaian Sistem Persamaan Linear (SPL) Menyelesaikan suatu sistem persamaan linier adalah mencari nilai-nilai variabel- variabel tersebut yang memenuhi semua persamaan linier yang diberikan.. Pada dasarnya terdapat dua kelompok metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan suatu sistem persamaan linier. Metode pertama dikenal sebagai metode langsung, yakni metode yang mencari penyelesaian suatu sistem persamaan linier dalam langkah berhingga. Metode-metode ini dijamin berhasil dan disarankan untuk pemakaian secara umum. Kelompok kedua dikenal sebagai metode tak langsung atau metode iteratif, yang bermula dari suatu hampiran penyelesaian awal dan kemudian berusaha memperbaiki hampiran dalam tak berhingga namunlangkah konvergen. Metode-metode iteratif digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linier berukuran besar dan proporsi koefisien nolnya besar, seperti sistem-sistem yang banyak dijumpai dalam sIstem persamaan diferensial. Berikut diuraikan beberapa cara yang dapat kita lakukan untuk menyelesaikan sistem persamaan linier a. Notasi Matriks Sebuah sistem persamaan linear dapat kita selesaikan dengan mengubahnya terlebih dahulu ke dalam bentuk matriks. Matriks adalah suatu larikan bilangan- bilangan yang berbentuk empat persegi panjang. Matriks tersebut mempunyai bentuk : 𝐴 = [ 𝑎11 𝑎21 ⋮ 𝑎 𝑚1 𝑎12 𝑎22 ⋮ 𝑎 𝑚2 𝑎13 𝑎23 ⋮ 𝑎 𝑚3 … … 1 … 𝑎1𝑛 𝑎2𝑛 ⋮ 𝑎 𝑚𝑛 ] Di dalam bentuk di atas, A adalah notasi matriks sedang 𝑎𝑖𝑗 adalah elemen matriks. Deretan horizontal elemen-elemen disebut baris dan deretan vertikal disebut
5 kolom. Subskrip pertama i menunjukan nomor baris dimana elemen berada. Subskrip kedua j menunjukan kolom. Misalkan elemen 𝑎23 adalah elemen yang terletak pada baris ke 2 dan kolom ke 3. Matriks di atas mempunyai m baris dan n kolom, dan disebut mempunyai dimensi m x n. Matriks dengan dimensi baris m = 1, seperti: 𝐵 = [𝑏1, 𝑏2, … 𝑏 𝑛] disebut vektor baris. Untuk menyederhanakan penulisan, subskrip pertama dari tiap elemen dihilangkan. Matriks dengan dimensi kolom n = 1, seperti : 𝐶 = [ 𝑐1 𝑐2 ⋮ 𝑐 𝑚 ] Disebut vektor kolom. Untuk menyederhanakan penulisan. Subskrip kedua dihilangkan. Matriks dimana m = n disebut matriks bujur sangkar. Misalnya matriks 4 x 4 adalah : 𝐴 = [ 𝑎11 𝑎21 𝑎31 𝑎41 𝑎12 𝑎22 𝑎32 𝑎42 𝑎13 𝑎23 𝑎33 𝑎43 𝑎14 𝑎24 𝑎34 𝑎44 ] Diagonal yang terdiri dari elemen 𝑎11 , 𝑎22, 𝑎33 dan 𝑎44 adalah diagonal utama matriks. a. Beberapa tipe matriks bujur sangkar Matriks bujur sangkar banyak digunakan dalam penyelesaian sistem persamaan linier. Di dalam sistem tersebut, jumlah persamaan (baris) dan jumlah bilangan tak diketahui (kolom) harus sama untuk mendapatkan penyelesaian tunggal. Ada beberapa contoh matriks bujur sangkar, antara lain; 1. Matriks simetri 2. Matriks diagonal 3. Matriks identitas 4. Matriks segitiga atas 5. Matriks segitiga bawah 6. Matriks pita
6 b. Operasi matriks Matriks dengan bentuk tertentu dapat dioperasikan dengan 3 cara yaitu penjumlahan, pengurangan dan perkalian. 1. Kesamaan dua matriks Dua matriks A dan B dikatakan sama apabila elemen-elemen matriks A sama dengan elemen-elemen matriks B dan ukuran keduanya adalah sama, 𝑎𝑖𝑗 = 𝑏𝑖𝑗 untuk semua i dan j. 2. Penjumlahan dan pengurangan matriks Apabila 𝐴 = [𝑎𝑖𝑗] dan 𝐵 = [𝑏𝐼𝐽] adalah dua matriks m x n, penjumlahan atau pengurangan dari kedua matriks tersebut A ± B, adalah sama dengan matriks 𝐶 = [𝑐𝐼𝐽] dengan dimensi m x n, dimana tiap elemen matriks C adalah jumlah atau selisih dari elemen-elemen yang berkaitan dari A dan B. 𝐶 = 𝐴 ± 𝐵 = [𝑎𝑖𝑗 ± 𝑏𝑖𝑗 ] = [𝑐𝑖𝑗] 3. Perkalian matriks Perkalian matriks A dengan skalar g diperoleh dengan mengalikan semua elemen dari A dengan skalar g. Jika gA = C, maka 𝑐𝑖𝑗 = 𝑔𝑎𝑖𝑗 4. Matriks transpose (𝐴 𝑇 ) Matriks transpose adalah matriks yang terbentuk dengan mengganti baris menjadi kolom dan kolom menjadi baris. 5. Matriks inversi Di dalam matriks operasi pembagian matriks tidak didefinisikan. Akan tetapi operasi matriks yang mrip dengan pembagian adalah matriks inversi. Apabila A adalah matriks, maka matriks inversinya adalah 𝐴−1 , sedemikian sehingga : 𝐴𝐴−1 = 𝐴−1 𝐴 = 𝐼 6. Peningkatan matriks Matriks dapat ditingkatkan dengan menambahkan kolom atau kolom-kolom pada matriks asli.
7 c. Sistem persamaan dalam bentuk matriks Sistem persamaan linier dapat ditulis dalam bentuk matriks. Misalnya sistem persamaan berbentuk : 𝑎11 𝑥1+ 𝑎12 𝑥2 + … . +𝑎1𝑛 𝑥 𝑛 = 𝑏1 𝑎21 𝑥1+ 𝑎22 𝑥2 + … . +𝑎2𝑛 𝑥 𝑛 = 𝑏2 . . (1.1) . 𝑎11 𝑥1+ 𝑎 𝑛2 𝑥2 + …. +𝑎 𝑛𝑛 𝑥 𝑛 = 𝑏 𝑛 Dapat ditulis dalam bentuk [ 𝑎11 𝑎21 ⋮ 𝑎 𝑛1 𝑎12 𝑎22 ⋮ 𝑎 𝑛2 … …… … 𝑎1𝑛 𝑎2𝑛 ⋮ 𝑎 𝑛𝑛 ] [ 𝑥1 𝑥2 ⋮ 𝑥 𝑛 ] = [ 𝑏1 𝑏2 ⋮ 𝑏 𝑛 ] atau A X = B Dengan : A : matriks koefisien n x n X : kolom vektor n x 1 dari bilangan tak diketahui B : kolom vektor n x 1dari konstanta Di dalam penyelesaian sistem persamaan , di cari vektor kolom x berdasarkan Persamaan (1.1). Salah satu cara untuk menyelesaiakannya adalah mengalikan kedua ruas persamaan dengan matriks inversi. 𝐴−1 𝐴𝑋 = 𝐴−1 𝐵 Karena : 𝐴−1 𝐴 = 𝐼, maka 𝑋 = 𝐴−1 𝐵 Dengan demikian nilai X dapat dihitung. Di dalam penyelesaian sistem persamaan linier juga sering digunakan matriks yang di tingkatkan . misalkan matriks (3 x 3) akan ditingkatkan dengan matriks C (3 x 1) sehingga berbentuk matriks (3 x 4) menjadi : [ 𝑎11 𝑎21 𝑎31 𝑎12 𝑎22 𝑎32 𝑎13 ⋮ 𝑎23 𝑎33 ⋮ ⋮ 𝑐1 𝑐2 𝑐3 ]
8 Sebagian besar permasalahan yang dijumpai dapat digolongkan dalam dua kategori yaitu suatu sistem persamaan dengan n kecil tetapi sedikit elemen nol, dan suatu sistem dengan matriks order tinggi (n besar) tetapi banyak mengandung elemen nol. b. Metode Eliminasi Gauss Metode eliminasi Gauss digunakan untuk menyelesaikan sebuah system persamaan linier dengan mengubah SPL tesebut ke dalam bentuk system persamaan linier berbentuk segitiga atas, yakni yang semua koefisien di bawah diagonal utamanya bernilai nol. Bentuk segitiga atas ini dapat diselesaikan dengan menggunakan substitusi (penyulihan) balik. Untuk mendapatkan bentuk SPL segitiga dari SPL yang diketahui, metode eliminasi Gauss menggunakan sejumlah roperasi Baris Elementer (OBE) : 1. Menukar posisi dua buah persamaan (dua baris matriks augmented). 2. Menambah sebuah persamaan (baris matriks augmented) dengan suatu kelipatan persamaan lain (baris lain). 3. Mengalikan sebuah persamaan (baris matriks augmented) dengan sebarang konstanta taknol. Pemakaian operasi-operasi baris elementer di atas pada sebuah SPL tidak akan mengubah penyelesaikan SPL yang bersangkutan. Jelas bahwa penyelesaian sebuah SPL tidak tergantung pada susunan penulisan persamaan, sehingga operasi baris nomor 1 dapat dipakai. Dalam setiap persamaan, kedua ruas menyatakan nilai yang sama, sehingga operasi baris nomor 2 dapat digunakan. Demikian pula, operasi baris nomor 3 menghasilkan persamaan yang ekivalen. [ 𝑎11 𝑎21 𝑎31 𝑎12 𝑎22 𝑎32 𝑎13 ⋮ 𝑎23 𝑎33 ⋮ ⋮ 𝑏1 𝑏2 𝑏3 ] ⟹ [ 𝑎11 0 0 𝑎12 𝑎22 0 𝑎13 ⋮ 𝑎23 𝑎33 ⋮ ⋮ 𝑏1 𝑏′2 𝑏′′3 ] 𝑥3 = 𝑏′′ 3 𝑎′′ 33 𝑥2 = (𝑏′ 2−𝑎′ 23 𝑥3 𝑎′22 𝑥1 = (𝑏1−𝑎12 𝑥2−𝑎13 𝑥3) 𝑎11 Gambar 2.1 Gambaran prosedur hitungan metode eliminasi Gauss.
9 c. Metode Gauss-Jordan Metode gauss jordan mirip dengan metode eliminasi Gauss. Dalam metode Gauss- Jordan Bilangan tak diketahui di eliminasi dari semua persamaan, yang dalam metode Gauss bilangan tersebut di eliminasi dari persamaan berikutnya. Dengan demikian langkah-langkah eliminasi menghasilkan matriks identitas, seperti ditunjukan dalam gambar 3.2. [ 𝑎11 𝑎21 𝑎31 𝑎12 𝑎22 𝑎32 𝑎13 ⋮ 𝑎23 𝑎33 ⋮ ⋮ 𝑏1 𝑏2 𝑏3 ] ⟹ [ 1 0 0 0 1 0 0 ⋮ 0 ⋮ 1 ⋮ 𝑏1 ∗ 𝑏2 ∗ 𝑏3 ∗ ] ⟹ [ 𝑥1 0 0 𝑜 𝑥2 0 0 0 1 = = = 𝑏1 ∗ 𝑏2 ∗ 𝑏3 ∗ ] Gambar 3.2 prosedur hitungan metode Gauss-Jordan. d. Matriks Tridiagonal (Metode Sapuan Ganda) Dalam penyelesaian sistem persamaan yang berbentuk matriks tridiagonal, metode penyelesaian langsung sering disebut metode sapuan ganda atau metode Choleski. Metode ini pemakaiannya mudah dan matriks tridiagonal banyak dijumpai dalam banyak permasalahan, terutama dalam penyelesaian persamaan diferensial orde dua. Jika A matriks nyata, simetris dan definit positif, maka kita dapat menemukan suatu matriks segitiga bawah L sedemikian hingga 𝐴 = 𝐿 𝐿𝑇 . Cara ini dikenal sebagai faktorisasi Choleski.matriks L dihitung dengan menyelesaikan persamaan-persamaan ∑ 𝑙 𝑟𝑗 2 + 𝑙 𝑟𝑟 2 = 𝑎 𝑟𝑟 𝑟−1 𝑗=1 = ∑ 𝑙 𝑟𝑗 2 𝑙 𝑖𝑗 2 + 𝑙 𝑟𝑖 𝑙𝑖𝑖 = 𝑎 𝑟𝑖 𝑖−1 𝑗=1 Untuk r = 1, 2, 3, ... , n dan untuk setiap r, i = 1, 2, ..., r – 1. e. Matriks Inversi Apabila matriks A adalah bujur sangkar, maka terdapat matriks lain yaitu 𝐴−1 , yang disebut matriks inversi dari A, sedemikian hingga : 𝐴𝐴−1 = 𝐴−1 𝐴 = 𝐼 Dengan I adalah matriks identitas. Matriks inversi dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem yang berbentuk :
10 AX = C (5.1) atau X = 𝐴−1 C (5.2) Persamaan di atas menunjukan bahwa x dapat di hitung dengan mengalikan matriks inversi dari koefisien matriks A dengan ruas kanan dari sistem persamaan (5.1), yaitu C. Metode Gauss-Jordan dapat di gunakan untuk mencari matriks inversi. Untuk itu koefisien matriks ditingkatkan dengan matriks identitas. Metode gauss-jordan digunakan untuk mereduksi koefisien matriks menjadi matriks identitas. Setelah selesai, sisi kanan dari matriks yang ditingkatkan merupakan matriks inversi. Gambar (5.1) adalah gambaran prosedur hitungan matriks inversi. [ 𝑎11 𝑎21 𝑎31 𝑎12 𝑎22 𝑎32 𝑎13 ⋮ 𝑎23 𝑎33 ⋮ ⋮ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ] ⟹ [ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ⋮ 𝑎11 −1 𝑎12 −1 𝑎13 −1 ⋮ 𝑎21 −1 𝑎22 −1 𝑎23 −1 ⋮ 𝑎31 −1 𝑎32 −1 𝑎33 −1 ] 𝐴 𝐼 𝐼 𝐴−1 Gambar 5.1 prosedur hitungan matriks inversi f. Metode Iterasi Metode iterasi lebih baik di banding dengan metode langsung, misalnya untuk matriks yang tersebar yaitu matriks dengan banyak elemen nol. Metode ini juga dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan tidak linier. Metode iterasi terbagi menjadi dua, yaitu metode Jacobi dan Gauss-Seidel. 1. Metode Jacobi Misalkan terdapat sistem 3 persamaan dengan 3 bilangan tak diketahui : 𝑎11 𝑥1 + 𝑎12 𝑥2 + 𝑎13 𝑥3 = 𝑏1 𝑎21 𝑥1 + 𝑎22 𝑥2 + 𝑎23 𝑥3 = 𝑏2 (6.1) 𝑎31 𝑥1 + 𝑎32 𝑥2 + 𝑎33 𝑥3 = 𝑏3 Persamaan pertama dari sistem di atas dapat digunakan untuk menghitung 𝑥1 dan 𝑥3. Demikian juga persamaan kedua dan ketiga untuk menghitung 𝑥2 dan 𝑥3, sehingga didapat :
11 𝑥1 = (𝑏1−𝑎12 𝑥 −𝑎13 𝑥3) 𝑎11 𝑥2 = (𝑏2−𝑎21 𝑥1−𝑎23 𝑥3) 𝑎22 𝑥3 = (𝑏3−𝑎31 𝑥1−𝑎32 𝑥3) 𝑎33 (6.2) Hitungan dimulai dengan nilai perkiraan awal sebarang untuk variabel yang dicari nilai perkiraan awal tersebut di subtitusikan kedalam ruas kanan dari sistem persamaan (6.2). Selanjutnya nilai variabel yang didapat tersebut disubtitusikan ke ruas kanan dari sistem (6.2) lagi untuk mendapatkan nilai perkiraan kedua. Prosedur tersebut diulangi lagi sampai nilai setiap variabel pada iterasi ke n mendekati nilai pada iterasi ke n-1. Apabila superskrip n menunjukan jumlah iterasi, maka persamaan (6.2) dapat ditulis menjadi : 𝑥1 𝑛 = (𝑏1 − 𝑎12 𝑥2 𝑛−1 − 𝑎13 𝑥3 𝑛−1 ) 𝑎11 𝑥2 𝑛 = (𝑏2 − 𝑎21 𝑥1 𝑛−1 − 𝑎23 𝑥3 𝑛−1 ) 𝑎22 𝑥3 𝑛 = (𝑏3 − 𝑎31 𝑥1 𝑛−1 − 𝑎32 𝑥2 𝑛−1 ) 𝑎33 Iterasi hitungan berakhir setelah : 𝑥1 𝑛−1 ≈ 𝑥1 𝑛 , 𝑥2 𝑛−1 ≈ 𝑥2, 𝑛 dan 𝑥3 𝑛−1 ≈ 𝑥3 𝑛 atau telah dipenuhi kriteria berikut : 𝜀a = | 𝑥 𝑖 𝑛 − 𝑥 𝑖 𝑛−1 𝑥 𝑖 𝑛 | 100% < 𝜀 𝑠 dengan 𝜀𝑠 adalah batasan ketelitian yang dikehendaki. 2. Metode Gauss-Seidel Di dalam metode Jacobi nilai 𝑥1 yang dihitung dari persamaan pertama tidak digunakan untuk menghitung nilai 𝑥2 dengan persamaan kedua. Demikian juga nilai 𝑥2 tidak digunakan untuk mencari 𝑥3 , sehingga nilai-nilai tersebut tidak dimanfaatkan. Sebenarnya nilai-nilai baru tersebut labih baik dari nilai-nilai yang lama. Di dalam metode Gauss Seidel nilai-nilai tersebut dimanfaatkan untuk menghitung variabel berikutnya.
12 C. Contoh - Contoh Soal Sistem Persamaan Linear Contoh 1 Perhatikan SPL 𝑥1 + 3𝑥2 = 5 3𝑥1 + 9𝑥2 = 7 Penyelesaian Jika persamaan kedua dikurangi tiga kali persamaan pertama maka kita dapatkan 0 = 7  15. Ini artinya SPL tersebut tidak mempunyai penyelesaian. Apabila kita plot kedua garis yang menyajikan kedua persamaan linier di atas kita dapatkan dua buah kurva linier yang tidak berpotongan. Contoh 2 Selesaikan sistem persamaan berikut dengan metode Gauss Jordan : 3x + y – z = 5 (1.a) 4x + 7y – 3z = 20 (1.b) 2x  2y + 5z = 10 (1.c) Penyelesaian Sistem persamaan di atas dapat ditulis dalam bentuk matriks berikut : [ 3 1 −1 4 7 3 2 −2 5 ] [ 𝑥1 𝑥2 𝑥3 ] = [ 5 20 10 ] Baris pertama dalam persamaan (2) dibagi dengan elemen pertama dari persamaan pertama, yaitu 3, sehingga persamaan menjadi [ 1 0,3333 −0,3333 4 7 −3 2 −2 5 ][ 𝑥 𝑦 𝑧 ] = [ 1,6666 20 10 ] Persamaan pertama dikalikan elemen pertama dari persamaan kedua, yaitu 4, dan kemudian dikurangkan terhadap persamaan kedua. Dengan cara yang sama untuk persamaan ketiga, sehingga didapat : [ 1 0,3333 −0,3333 0 5,6668 −1,6668 0 −2,6666 5,6666 ][ 𝑥 𝑦 𝑧 ] = [ 1,6666 13,3336 6,6668 ]
13 Baris kedua dari persamaan di atas dibagi dengan elemen pertama tidak nol dari baris kedua, yaitu 5,6668, sehingga sistem persamaan menjadi : [ 1 0,3333 −0,3333 0 1 −0,2941 0 −2,6666 5,6666 ][ 𝑥 𝑦 𝑧 ] = [ 1,6666 2,3529 6,6668 ] Persamaan kedua dikalikan dengan elemen kedua dari persamaan pertama (0,3333) dan kemudian dikurangkan terhadap persamaan pertama. Kemudian dengan cara yang sama untuk persamaan ketiga, sehingga didapat : [ 1 0 −0,2353 0 1 −0,2941 0 0 4,8824 ] [ 𝑥 𝑦 𝑧 ] = [ 0,8824 2,3529 12,9410 ] Persamaan ketiga dibagi dengan elemen pertama tidak nol dari baris ketiga yaitu 4,8824 sehingga persamaan menjadi : [ 1 0 −0,2353 0 1 −0,2941 0 0 1 ][ 𝑥 𝑦 𝑧 ] = [ 0,8824 2,3529 2,6505 ] Persamaan ketiga dikalikan elemen ketiga dari persamaan pertama dan kemudian dikurangkan terhadap persamaan pertama. Kemudian dengan cara yang sama untuk persamaan kedua, sehingga didapat : [ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ] [ 𝑥 𝑦 𝑧 ] = [ 1,5061 3,1324 2,6505 ] Dari sistem persamaan di atas, didapat nilai x, y dan z berikut ini : x = 1,5061 y = 3,1324 z = 2,6505 Contoh 3 Selesaikan sistem persamaan berikut dengan metode iterasi Jacobi dan Gauss-Seidel. 3x + y – z = 5 4x + 7y  3z = 20 (1) 2x  2y + 5z = 10 Penyelesaian a. Iterasi Jacobi 𝑥 = 5 − 𝑦 + 𝑧 3
14 𝑦 = 20 − 4𝑥 + 3𝑧 7 𝑧 = 10 − 2𝑥 + 2𝑧 7 Langkah pertama dicoba nilai x = y = z = 0 dan dihitung nilai x’, y’, dan z’. 𝑥′ = 5 − 0 + 0 3 = 1,66667 𝑦′ = 20 − 0 + 0 7 = 2,85714 𝑧′ = 10 − 0 + 0 5 = 2 Nilai x’, y’, dan z’ yang diperoleh tidak sama dengan nilai pemisalan. Iterasi dilanjutkan dengan memasukan nilai x’, y’ dan z’ ke dalam persamaan (2) untuk menghitung x’’, y’’ dan z’’ dan kesalahan yang terjadi. 𝑥′′ = 5 − 2,857714+ 2 3 = 1,38095 𝜀 𝑥 = 1,38095 − 1,66667 1,38095 100% = 20,69% 𝑦′′ = 20 − 4(1,66667)+ 3(2) 7 = 2,76190 𝜀 𝑦 = 2,76190− 2,85714 2,76190 100% = 3,45% 𝑧′′ = 10 − 2(1,66667) + 2(2) 5 = 2,13333 𝜀 𝑧 = 2,13333 − 2 2,13333 100% = 6,25% b. Iterasi Gauss-Seidel Langkah pertama dicoba nilai y = z = 0 dan dan dihitung x’ dengan menggunakan persamaan 𝑥1 1 = (𝑏1 − 𝑎12 𝑥2 0 − 𝑎13 𝑥3 0 ) 𝑎11 Menjadi :
15 𝑥′ = 5 − 0 + 0 3 = 1,6667 Persamaan 𝑥2 1 = (𝑏2−𝑎21 𝑥1 1 −𝑎23 𝑥3 0 ) 𝑎22 digunakan untuk menghitung nilai y’ : 𝑦′ = 20 − 4(1,66667)+ 3(0) 7 = 1,90476 Nilai z’ dihitung dari persamaan 𝑥3 1 = (𝑏3−𝑎31 𝑥1 1 −𝑎32 𝑥2 0 ) 𝑎33 : 𝑧′ = 10 − 2(1,66667)+ 2(1,90467) 5 = 2,09524 Nilai x’, y’, dan z’ yang diperoleh tidak sama dengan nilai pemisalan. Iterasi dilanjutkan dengan prosedur di atas untuk menghitung x’’, y’’, dan z’’ dan kesalahan yang terjadi. 𝑥′′ = 5 − 1,90476+ 2,09524 3 = 1,73016 𝜀 𝑥 = 1,73016 − 1,66667 1,73016 100% = 3,67% 𝑦′′ = 20 − 4(1,73016)+ 3(2,09524) 7 = 2,76644 𝜀 𝑦 = 2,76644 − 1, 90476 2,76644 100% = 31,15% 𝑧′′ = 10 − 2(1,73016) + 2(2,76644) 5 = 2,41451 𝜀 𝑧 = 2,41451− 2,09524 2,41451 100% = 13,22%
16 BAB III PENUTUP A. Kesimpulan Sistem persamaan linier merupakan salah satu model dan masalah matematika yang banyak dijumpai dalam berbagai disiplin ilmu, termasuk matematika, statistika, fisika, biologi, ilmu-ilmu sosial, teknik dan bisnis sistem-sistem persamaan linier muncul secara langsung dari masalah-masalah nyata. Masalah –masalah tersebut dapat di ubah dalam bentuk persamaan : 𝑎11 𝑥1+ 𝑎12 𝑥2 + … . +𝑎1𝑛 𝑥 𝑛 = 𝑏1 𝑎21 𝑥1+ 𝑎22 𝑥2 + … . +𝑎2𝑛 𝑥 𝑛 = 𝑏2 . . . 𝑎11 𝑥1+ 𝑎 𝑛2 𝑥2 + … . +𝑎 𝑛𝑛 𝑥 𝑛 = 𝑏 𝑛 Persamaan di atas dapat dicari penyelesaiannya dengan menggunakan matriks, metode eliminasi Gauss, metode Gauss-Jordan, matriks tridiagonal, matriks inversi maupun metode iterasi. Masing-masing metode memiliki keunikan tersendiri. Dari beberapa metode yang ada metode penyelesaian yang paling mudah dan sederhana digunakan adalah metode iterasi. B. Saran Sistem persamaan linier merupakan model matematika yang berkaitan erat dalam kehidupan kita setiap hari. Oleh dan sebab itu sangat penting bagi kita untuk mempelajari secara mendalam cara memecahkan suatu model persamaan linier. Sangat disarankan kepada para pembaca untuk menambah resensi materi tentang sistem persamaan linear dari sumber-sumber lain seperti buku diktat atau modul SPL atau internet.
17 DAFTAR PUSTAKA http://aning.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/27626/numerik.doc http://yuliana.lecturer.pens.ac.id/Metode%20Numerik/Teori/MetNum4-SPL.ppt http://staff.uny.ac.id/sites/default/files/131930136/KomputasiNumerikBab2.pdf

More Related Content

PDF
Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel
Eman Mendrofa
 
PPTX
Materi ke-1 Aljabar Linier
eka pandu cynthia
 
PDF
Materi Aljabar linear
Sriwijaya University
 
PPTX
6. interpolasi polynomial newton
Afista Galih Pradana
 
PPTX
Aljabar linear:Kebebasan Linear, Basis, dan Dimensi.ppt
rahmawarni
 
PPTX
SPLDV dan SPLTV
Titania Intan Permatasari
 
PPTX
MATEMATIKA KELAS 10 Sistem persamaan linear tiga variabel.pptx
dianarifyati
 
DOCX
Persamaan garis lurus(Geometri Analitik Ruang)
Dyas Arientiyya
 
Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel
Eman Mendrofa
 
Materi ke-1 Aljabar Linier
eka pandu cynthia
 
Materi Aljabar linear
Sriwijaya University
 
6. interpolasi polynomial newton
Afista Galih Pradana
 
Aljabar linear:Kebebasan Linear, Basis, dan Dimensi.ppt
rahmawarni
 
SPLDV dan SPLTV
Titania Intan Permatasari
 
MATEMATIKA KELAS 10 Sistem persamaan linear tiga variabel.pptx
dianarifyati
 
Persamaan garis lurus(Geometri Analitik Ruang)
Dyas Arientiyya
 

What's hot (20)

PDF
Koefisien binomial
oilandgas24
 
DOCX
Pembuktian Sifat – Sifat Operasi Matriks
Ipit Sabrina
 
PDF
pewarnaan graf
rukmono budi utomo
 
PPTX
Pembuktian dalil 9-18
Fitria Maghfiroh
 
DOCX
Analisis Real (Barisan Bilangan Real) Latihan bagian 2.3
Arvina Frida Karela
 
PPTX
Ruang Vektor ( Aljabar Linear Elementer )
Kelinci Coklat
 
PPT
relasi himpunan
anggi syahputra
 
PPT
03 limit dan kekontinuan
Rudi Wicaksana
 
PDF
Beberapa distribusi peluang diskrit (1)
Raden Maulana
 
PPTX
Modul 7 basis dan dimensi
Achmad Sukmawijaya
 
PDF
14. Soal-soal Limit Fungsi
Naufal Irsyad Arzada
 
DOCX
Distribusi Seragam, Bernoulli, dan Binomial
Silvia_Al
 
DOCX
Persamaan differensial part 1
Jamil Sirman
 
PDF
Analisis bab1 bab2
Charro NieZz
 
PPTX
2. galat
Afista Galih Pradana
 
PPTX
Bab2 peubah-acak-dan-distribusi-peluang
Arif Windiargo
 
PPS
Integral Lipat Dua ( Kalkulus 2 )
Kelinci Coklat
 
PPT
Pertemuan 02 teori dasar himpunan
Fajar Istiqomah
 
PDF
Relasi Rekurensi
Heni Widayani
 
PDF
Kalkulus modul limit fungsi
Lukmanulhakim Almamalik
 
Koefisien binomial
oilandgas24
 
Pembuktian Sifat – Sifat Operasi Matriks
Ipit Sabrina
 
pewarnaan graf
rukmono budi utomo
 
Pembuktian dalil 9-18
Fitria Maghfiroh
 
Analisis Real (Barisan Bilangan Real) Latihan bagian 2.3
Arvina Frida Karela
 
Ruang Vektor ( Aljabar Linear Elementer )
Kelinci Coklat
 
relasi himpunan
anggi syahputra
 
03 limit dan kekontinuan
Rudi Wicaksana
 
Beberapa distribusi peluang diskrit (1)
Raden Maulana
 
Modul 7 basis dan dimensi
Achmad Sukmawijaya
 
14. Soal-soal Limit Fungsi
Naufal Irsyad Arzada
 
Distribusi Seragam, Bernoulli, dan Binomial
Silvia_Al
 
Persamaan differensial part 1
Jamil Sirman
 
Analisis bab1 bab2
Charro NieZz
 
2. galat
Afista Galih Pradana
 
Bab2 peubah-acak-dan-distribusi-peluang
Arif Windiargo
 
Integral Lipat Dua ( Kalkulus 2 )
Kelinci Coklat
 
Pertemuan 02 teori dasar himpunan
Fajar Istiqomah
 
Relasi Rekurensi
Heni Widayani
 
Kalkulus modul limit fungsi
Lukmanulhakim Almamalik
 
Ad

Viewers also liked (7)

PDF
11X1 T16 07 approximations (2011)
Nigel Simmons
 
PDF
Satuan acara perkuliahan Metode Numerik Pendidikan matematika UMT
rukmono budi utomo
 
DOC
Bahan kuliah 1 metoda numerik
Sriyono Nozbee
 
PDF
Tugas Metode Numerik Newton 6 a1 Prodi pendidikan matematika UMT
rukmono budi utomo
 
PDF
Metode numerik-buku-ajar-unila
Ibad Ahmad
 
PPT
Multimedia1
UIA
 
PPTX
4. akar persamaan tak linier
Afista Galih Pradana
 
11X1 T16 07 approximations (2011)
Nigel Simmons
 
Satuan acara perkuliahan Metode Numerik Pendidikan matematika UMT
rukmono budi utomo
 
Bahan kuliah 1 metoda numerik
Sriyono Nozbee
 
Tugas Metode Numerik Newton 6 a1 Prodi pendidikan matematika UMT
rukmono budi utomo
 
Metode numerik-buku-ajar-unila
Ibad Ahmad
 
Multimedia1
UIA
 
4. akar persamaan tak linier
Afista Galih Pradana
 
Ad

Similar to Makalah Metode Numerik : Sistem Persamaan Linear (20)

DOCX
Menentukan sistem persamaan linier dalam bentuk sistem konsisten dan inkonsisten
BAIDILAH Baidilah
 
PDF
aljabar linier materi 1 teknik mesin.pdf aljabar linier materi 1 teknik mesin...
AgungNugroho461589
 
PDF
Modul aljabar matriks
Safran Nasoha
 
PDF
Aljabar matriks-its
Masnia Siti
 
PPTX
PPT_Kelompok3_Eliminasi Gauss.pptx
IanVemasSilalahi
 
PDF
2_Sistem Persamaan Linier matematic and matriks diperbanyak.pdf
BarokHilmiMubarok
 
PDF
Sistem Persamaan Linear
Universitas Sebelas Maret
 
PPTX
PPT Ringkasan Materi Aljabar Linier.pptx
FinaSari5
 
PPTX
PPT ALJBR MANTAP.pptx
paijo63
 
PPT
Metode Numerik Penyelesaian Persamaan Linier Simultan
Aururia Begi Wiwiet Rambang
 
PDF
sistem_persamaan_linear.pdfabdhbsdbhvdnsahgv
YuuSen
 
PPTX
3. sistem persamaan linier
Afista Galih Pradana
 
PPTX
Sistem persamaan-linier
Taufiq Topik
 
DOC
Draft 2
Afandy Amir
 
PPTX
Presentation Mathematics Engineering SPL NxN
Aziezz
 
PPTX
03 - Metode Numerik yah.pptx
RT011Kedungkampil
 
PPTX
Power Point Presentasi mata kuliah KOLOKIUM
latipahjauhar41
 
PDF
Gayus
putusumaye
 
PPTX
Pertemuan 1 pembelajaran matrix dan alajabar
FerryTigerHeart
 
PPTX
Sistem Persamaan linier dua variabel dan tiga variabel
nurindah_nurisa
 
Menentukan sistem persamaan linier dalam bentuk sistem konsisten dan inkonsisten
BAIDILAH Baidilah
 
aljabar linier materi 1 teknik mesin.pdf aljabar linier materi 1 teknik mesin...
AgungNugroho461589
 
Modul aljabar matriks
Safran Nasoha
 
Aljabar matriks-its
Masnia Siti
 
PPT_Kelompok3_Eliminasi Gauss.pptx
IanVemasSilalahi
 
2_Sistem Persamaan Linier matematic and matriks diperbanyak.pdf
BarokHilmiMubarok
 
Sistem Persamaan Linear
Universitas Sebelas Maret
 
PPT Ringkasan Materi Aljabar Linier.pptx
FinaSari5
 
PPT ALJBR MANTAP.pptx
paijo63
 
Metode Numerik Penyelesaian Persamaan Linier Simultan
Aururia Begi Wiwiet Rambang
 
sistem_persamaan_linear.pdfabdhbsdbhvdnsahgv
YuuSen
 
3. sistem persamaan linier
Afista Galih Pradana
 
Sistem persamaan-linier
Taufiq Topik
 
Draft 2
Afandy Amir
 
Presentation Mathematics Engineering SPL NxN
Aziezz
 
03 - Metode Numerik yah.pptx
RT011Kedungkampil
 
Power Point Presentasi mata kuliah KOLOKIUM
latipahjauhar41
 
Gayus
putusumaye
 
Pertemuan 1 pembelajaran matrix dan alajabar
FerryTigerHeart
 
Sistem Persamaan linier dua variabel dan tiga variabel
nurindah_nurisa
 

Recently uploaded (20)

PPTX
! Keterampilan Digital dalam orgnasisasi.pptx
asepiwah2025
 
PPTX
Modul ajar kelas 5 sd kecerdasan artifisial pptx
SyahrulDwiArifin
 
DOCX
Modul Ajar Pembelajaran Mendalam PJOK Kelas X Terbaru 2025
fubierabita
 
DOC
RPP Deep Learning _ MGMP Wilayah 1 (1).doc
muhamadrifki281
 
PDF
Laporan On The Job TRaining PM KS Siti Hikmah.pdf
chaerunisawahyuningt
 
PDF
AI-Driven Intelligence and Cyber Security: Strategi Stabilitas Keamanan untuk...
Dadang Solihin
 
PPTX
Pedoman & Kewajiban Penggunaan Produksi Dalam Negeri _Pelatihan "Ketentuan T...
Kanaidi ken
 
DOCX
Modul Ajar Pembelajaran Mendalam Bahasa Inggris Kelas XII SMA Terbaru 2025
fubierabita
 
DOCX
Modul 5_Instrumen Analisis Perencanaan Pembelajaran Mendalam (2).docx
ArditaPuspitaWindian
 
PPTX
Presentasi Al-Quran Hadits Kelompok XI.1
hasiltambang0
 
PDF
IN1.2.E. kelompok 2.docx kerangka pembelajaran mendalam.pdf
ssuserbe5874
 
DOCX
Modul Ajar Pembelajaran Mendalam PKWU Budidaya Kelas XII SMA Terbaru 2025
fubierabita
 
PDF
Modul Ajar Deep Learning Bahasa Indonesia Kelas 6 Kurikulum Merdeka
Modul Guruku
 
PDF
PPT Yudisium Ceremony Agusus 2025 - new. pdf
neyaddina
 
PDF
LK Modul 3 - Menentukan Pengalaman Belajar Herpina Indah Permata Sari (2).pdf
herpinasari44
 
PDF
Konsep Dasar Nifas, Neonatus, Bayi, Balita dan Anak Pra Sekolah.pdf
Eka Safitri
 
PPT
KOMITMEN MENULIS DI BLOG IGTIK PB PGRI.ppt
Dedi Dwitagama
 
DOCX
Modul Ajar Pembelajaran Mendalam PKWU Kerajinan Kelas XII SMA Terbaru 2025
fubierabita
 
PPTX
!!!!Bahan Tayang Kompetensi Manajerial-AKUNTABILITAS KINERJA-DR Asep Iwa.pptx
asepiwah2025
 
DOCX
Modul Ajar Pembelajaran Mendalam PJOK Kelas XII Terbaru 2025
fubierabita
 
! Keterampilan Digital dalam orgnasisasi.pptx
asepiwah2025
 
Modul ajar kelas 5 sd kecerdasan artifisial pptx
SyahrulDwiArifin
 
Modul Ajar Pembelajaran Mendalam PJOK Kelas X Terbaru 2025
fubierabita
 
RPP Deep Learning _ MGMP Wilayah 1 (1).doc
muhamadrifki281
 
Laporan On The Job TRaining PM KS Siti Hikmah.pdf
chaerunisawahyuningt
 
AI-Driven Intelligence and Cyber Security: Strategi Stabilitas Keamanan untuk...
Dadang Solihin
 
Pedoman & Kewajiban Penggunaan Produksi Dalam Negeri _Pelatihan "Ketentuan T...
Kanaidi ken
 
Modul Ajar Pembelajaran Mendalam Bahasa Inggris Kelas XII SMA Terbaru 2025
fubierabita
 
Modul 5_Instrumen Analisis Perencanaan Pembelajaran Mendalam (2).docx
ArditaPuspitaWindian
 
Presentasi Al-Quran Hadits Kelompok XI.1
hasiltambang0
 
IN1.2.E. kelompok 2.docx kerangka pembelajaran mendalam.pdf
ssuserbe5874
 
Modul Ajar Pembelajaran Mendalam PKWU Budidaya Kelas XII SMA Terbaru 2025
fubierabita
 
Modul Ajar Deep Learning Bahasa Indonesia Kelas 6 Kurikulum Merdeka
Modul Guruku
 
PPT Yudisium Ceremony Agusus 2025 - new. pdf
neyaddina
 
LK Modul 3 - Menentukan Pengalaman Belajar Herpina Indah Permata Sari (2).pdf
herpinasari44
 
Konsep Dasar Nifas, Neonatus, Bayi, Balita dan Anak Pra Sekolah.pdf
Eka Safitri
 
KOMITMEN MENULIS DI BLOG IGTIK PB PGRI.ppt
Dedi Dwitagama
 
Modul Ajar Pembelajaran Mendalam PKWU Kerajinan Kelas XII SMA Terbaru 2025
fubierabita
 
!!!!Bahan Tayang Kompetensi Manajerial-AKUNTABILITAS KINERJA-DR Asep Iwa.pptx
asepiwah2025
 
Modul Ajar Pembelajaran Mendalam PJOK Kelas XII Terbaru 2025
fubierabita
 

Makalah Metode Numerik : Sistem Persamaan Linear

  • 1. i MAKALAH METODE NUMERIK : “SISTEM PERSAMAAN LINEAR” Disusun oleh: Karnal B. P. Pakinde & Lusiana Talindu PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS KRISTEN TENTENA TENTENA 2016
  • 2. ii KATA PENGANTAR Puji syukur kepada Tuhan Yang Maha Esa atas segala kasih dan rahmat-Nya sehingga makalah metode numerik tentang sistem persamaan linear dapat kami selesaikan dengan baik sesuai batas waktu yang ditentukan. Makalah ini dibuat untuk memenuhi tugas pada mata kuliah metode numerik dengan dosen pengampuh bapak Ruben Sonda, M.Pd. Kami mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada pihak-pihak yang telah ikut membantu dalam penulisan makalah ini. Terima kasih untuk bantuan materil maupun moril yang telah diberikan semoga Tuhan yang akan membalas semuanya. Penulisan makalah ini masih jauh dari kesempurnaan oleh karena itu kami sangat membutuhkan kritik dan saran dari para pembaca sekalian. Harapan kami semoga makalah ini dapat digunakan untuk membantu resensi tugas kuliah dan digunakan sebagai mana mestinya. Tentena, November 2016 Penulis
  • 3. iii DAFTAR ISI KATA PENGANTAR ...................................................................................................i DAFTAR ISI..................................................................................................................ii BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang..................................................................................................1 B. Rumusan Masalah............................................................................................2 C. Tujuan Penulisan..............................................................................................2 BAB II PEMBAHASAN A. Sistem Persamaan Linear (SPL.......................................................................3 B. Metode Penyelesaian Sistem Persamaan Linier .............................................4 C. Contoh-Contoh Soal Sistem Persamaan Linier..............................................12 BAB III PENUTUP A. Kesimpulan.........................................................................................................16 B. Saran...................................................................................................................16 DAFTAR PUSTAKA.....................................................................................................17
  • 4. 1 BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Penyelesaian suatu sistem n persamaan dengan n bilangan tak diketahui banyak dijumpai dalam permasalahan ilmu pengetahuan dan teknologi, seperti penyelesaian numeris persamaan diferensial biasa dan diferensial parsial, analisis struktur, analisis jaringan, dan sebagainya. Di dalam penyelesaian sistem persamaan akan dicari nilai 𝑥1, 𝑥1, … … …… … …, 𝑥 𝑛, yang memenuhi sistem persamaan berikut : 𝑓1(𝑥1, 𝑥2, … …… … …… , 𝑥 𝑛,) = 0 𝑓2(𝑥1, 𝑥2, … … …… … …, 𝑥 𝑛, ) = 0 . . . 𝑓3(𝑥1, 𝑥2, … … …… … …, 𝑥 𝑛, ) = 0 Sistem persamaan linier di atas dapat linier atau tidak linier. Penyelesaian sistem persamaan tak linier adalah sulit. Untungnya, sebagian besar permasalahan yang ada merupakan persamaan linier. Di dalam makalah ini akan dibahas mengenai sistem persamaan linier, yang mempunyai bentuk umum berikut ini. 𝑎11 𝑥1+ 𝑎12 𝑥2 + … . +𝑎1𝑛 𝑥 𝑛 = 𝑏1 𝑎21 𝑥1+ 𝑎22 𝑥2 + …. +𝑎2𝑛 𝑥 𝑛 = 𝑏2 . . . 𝑎11 𝑥1+ 𝑎 𝑛2 𝑥2 + … . +𝑎 𝑛𝑛 𝑥 𝑛 = 𝑏 𝑛 Dengan 𝑎 adalah koefisien konstan, b adalah konstan, n adalah jumlah persamaan dan 𝑥1, 𝑥1, … … …… … …, 𝑥 𝑛, adalah bilangan tak diketahui.
  • 5. 2 B. Rumusan Masalah Dari latar belakang di atas maka diperoleh rumusan masalah sebagai berikut : 1. Apa yang dimaksud sistem persamaan linier ? 2. Bagaimana metode penyelesaian sistem persamaan linier ? 3. Bagaimana contoh-contoh soal sistem persamaan linier ? C. Tujuan Penulisan Adapun tujuan penulisan dari pembuatan makalah ini, yaitu : 1. Untuk menjelaskan sistem persamaan linier. 2. Untuk mengetahui metode penyelesaian sistem persamaan linier. 3. Untuk memahami contoh-contoh soal sistem persamaan linier.
  • 6. 3 BAB II PEMBAHASAN A. Sistem Persamaan Linear (SPL) 1. Definisi SPL Sistem persamaan linier merupakan salah satu model dan masalah matematika yang banyak dijumpai dalam berbagai disiplin ilmu, termasuk matematika, statistika, fisika, biologi, ilmu-ilmu sosial, teknik dan bisnis. Sistem-sistem persamaan linier muncul secara langsung dari masalah-masalah nyata dan merupakan bagian dari proses penyelesaian masalah-masalah lain misalnya penyelesaian sistem persamaan nonlinier simultan. 2. Bentuk Umum SPL Bentuk umum suatu sistem persamaan linear yang sering kita jumpai pada umumnya seperti : a. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐 atau 𝑎1 𝑥 + 𝑏1 𝑦 = 𝑐1 𝑝𝑥 + 𝑞𝑦 = 𝑟 𝑎2 𝑥 + 𝑏2 𝑦 = 𝑐2 b. Sistem Persamaan Linear Tiga Varibel (SPLTV) 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 = 𝑑 𝑎1 𝑥 + 𝑏1 𝑦 + 𝑐1 𝑧 = 𝑑1 𝑒𝑥 + 𝑓𝑦 + 𝑔𝑧 = ℎ atau 𝑎2 𝑥 + 𝑏2 𝑦 + 𝑐2 𝑧 = 𝑑2 𝑖𝑥 + 𝑗𝑦 + 𝑘𝑧 = 𝑙 𝑎3 𝑥 + 𝑏3 𝑦 + 𝑐3 𝑧 = 𝑑3 Akan tetapi bentuk umum yang akan dibahas dalam bab ini adalah bentuk suatu sistem persamaan linier yang terdiri atas sejumlah berhingga persamaan linier dalam sejumlah berhingga variabel. Bentuk yang dimaksud adalah :
  • 7. 4 𝑎11 𝑥1+ 𝑎12 𝑥2 + … . +𝑎1𝑛 𝑥 𝑛 = 𝑏1 𝑎21 𝑥1+ 𝑎22 𝑥2 + … . +𝑎2𝑛 𝑥 𝑛 = 𝑏2 . . . 𝑎11 𝑥1+ 𝑎 𝑛2 𝑥2 + … . +𝑎 𝑛𝑛 𝑥 𝑛 = 𝑏 𝑛 B. Metode Penyelesaian Sistem Persamaan Linear (SPL) Menyelesaikan suatu sistem persamaan linier adalah mencari nilai-nilai variabel- variabel tersebut yang memenuhi semua persamaan linier yang diberikan.. Pada dasarnya terdapat dua kelompok metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan suatu sistem persamaan linier. Metode pertama dikenal sebagai metode langsung, yakni metode yang mencari penyelesaian suatu sistem persamaan linier dalam langkah berhingga. Metode-metode ini dijamin berhasil dan disarankan untuk pemakaian secara umum. Kelompok kedua dikenal sebagai metode tak langsung atau metode iteratif, yang bermula dari suatu hampiran penyelesaian awal dan kemudian berusaha memperbaiki hampiran dalam tak berhingga namunlangkah konvergen. Metode-metode iteratif digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linier berukuran besar dan proporsi koefisien nolnya besar, seperti sistem-sistem yang banyak dijumpai dalam sIstem persamaan diferensial. Berikut diuraikan beberapa cara yang dapat kita lakukan untuk menyelesaikan sistem persamaan linier a. Notasi Matriks Sebuah sistem persamaan linear dapat kita selesaikan dengan mengubahnya terlebih dahulu ke dalam bentuk matriks. Matriks adalah suatu larikan bilangan- bilangan yang berbentuk empat persegi panjang. Matriks tersebut mempunyai bentuk : 𝐴 = [ 𝑎11 𝑎21 ⋮ 𝑎 𝑚1 𝑎12 𝑎22 ⋮ 𝑎 𝑚2 𝑎13 𝑎23 ⋮ 𝑎 𝑚3 … … 1 … 𝑎1𝑛 𝑎2𝑛 ⋮ 𝑎 𝑚𝑛 ] Di dalam bentuk di atas, A adalah notasi matriks sedang 𝑎𝑖𝑗 adalah elemen matriks. Deretan horizontal elemen-elemen disebut baris dan deretan vertikal disebut
  • 8. 5 kolom. Subskrip pertama i menunjukan nomor baris dimana elemen berada. Subskrip kedua j menunjukan kolom. Misalkan elemen 𝑎23 adalah elemen yang terletak pada baris ke 2 dan kolom ke 3. Matriks di atas mempunyai m baris dan n kolom, dan disebut mempunyai dimensi m x n. Matriks dengan dimensi baris m = 1, seperti: 𝐵 = [𝑏1, 𝑏2, … 𝑏 𝑛] disebut vektor baris. Untuk menyederhanakan penulisan, subskrip pertama dari tiap elemen dihilangkan. Matriks dengan dimensi kolom n = 1, seperti : 𝐶 = [ 𝑐1 𝑐2 ⋮ 𝑐 𝑚 ] Disebut vektor kolom. Untuk menyederhanakan penulisan. Subskrip kedua dihilangkan. Matriks dimana m = n disebut matriks bujur sangkar. Misalnya matriks 4 x 4 adalah : 𝐴 = [ 𝑎11 𝑎21 𝑎31 𝑎41 𝑎12 𝑎22 𝑎32 𝑎42 𝑎13 𝑎23 𝑎33 𝑎43 𝑎14 𝑎24 𝑎34 𝑎44 ] Diagonal yang terdiri dari elemen 𝑎11 , 𝑎22, 𝑎33 dan 𝑎44 adalah diagonal utama matriks. a. Beberapa tipe matriks bujur sangkar Matriks bujur sangkar banyak digunakan dalam penyelesaian sistem persamaan linier. Di dalam sistem tersebut, jumlah persamaan (baris) dan jumlah bilangan tak diketahui (kolom) harus sama untuk mendapatkan penyelesaian tunggal. Ada beberapa contoh matriks bujur sangkar, antara lain; 1. Matriks simetri 2. Matriks diagonal 3. Matriks identitas 4. Matriks segitiga atas 5. Matriks segitiga bawah 6. Matriks pita
  • 9. 6 b. Operasi matriks Matriks dengan bentuk tertentu dapat dioperasikan dengan 3 cara yaitu penjumlahan, pengurangan dan perkalian. 1. Kesamaan dua matriks Dua matriks A dan B dikatakan sama apabila elemen-elemen matriks A sama dengan elemen-elemen matriks B dan ukuran keduanya adalah sama, 𝑎𝑖𝑗 = 𝑏𝑖𝑗 untuk semua i dan j. 2. Penjumlahan dan pengurangan matriks Apabila 𝐴 = [𝑎𝑖𝑗] dan 𝐵 = [𝑏𝐼𝐽] adalah dua matriks m x n, penjumlahan atau pengurangan dari kedua matriks tersebut A ± B, adalah sama dengan matriks 𝐶 = [𝑐𝐼𝐽] dengan dimensi m x n, dimana tiap elemen matriks C adalah jumlah atau selisih dari elemen-elemen yang berkaitan dari A dan B. 𝐶 = 𝐴 ± 𝐵 = [𝑎𝑖𝑗 ± 𝑏𝑖𝑗 ] = [𝑐𝑖𝑗] 3. Perkalian matriks Perkalian matriks A dengan skalar g diperoleh dengan mengalikan semua elemen dari A dengan skalar g. Jika gA = C, maka 𝑐𝑖𝑗 = 𝑔𝑎𝑖𝑗 4. Matriks transpose (𝐴 𝑇 ) Matriks transpose adalah matriks yang terbentuk dengan mengganti baris menjadi kolom dan kolom menjadi baris. 5. Matriks inversi Di dalam matriks operasi pembagian matriks tidak didefinisikan. Akan tetapi operasi matriks yang mrip dengan pembagian adalah matriks inversi. Apabila A adalah matriks, maka matriks inversinya adalah 𝐴−1 , sedemikian sehingga : 𝐴𝐴−1 = 𝐴−1 𝐴 = 𝐼 6. Peningkatan matriks Matriks dapat ditingkatkan dengan menambahkan kolom atau kolom-kolom pada matriks asli.
  • 10. 7 c. Sistem persamaan dalam bentuk matriks Sistem persamaan linier dapat ditulis dalam bentuk matriks. Misalnya sistem persamaan berbentuk : 𝑎11 𝑥1+ 𝑎12 𝑥2 + … . +𝑎1𝑛 𝑥 𝑛 = 𝑏1 𝑎21 𝑥1+ 𝑎22 𝑥2 + … . +𝑎2𝑛 𝑥 𝑛 = 𝑏2 . . (1.1) . 𝑎11 𝑥1+ 𝑎 𝑛2 𝑥2 + …. +𝑎 𝑛𝑛 𝑥 𝑛 = 𝑏 𝑛 Dapat ditulis dalam bentuk [ 𝑎11 𝑎21 ⋮ 𝑎 𝑛1 𝑎12 𝑎22 ⋮ 𝑎 𝑛2 … …… … 𝑎1𝑛 𝑎2𝑛 ⋮ 𝑎 𝑛𝑛 ] [ 𝑥1 𝑥2 ⋮ 𝑥 𝑛 ] = [ 𝑏1 𝑏2 ⋮ 𝑏 𝑛 ] atau A X = B Dengan : A : matriks koefisien n x n X : kolom vektor n x 1 dari bilangan tak diketahui B : kolom vektor n x 1dari konstanta Di dalam penyelesaian sistem persamaan , di cari vektor kolom x berdasarkan Persamaan (1.1). Salah satu cara untuk menyelesaiakannya adalah mengalikan kedua ruas persamaan dengan matriks inversi. 𝐴−1 𝐴𝑋 = 𝐴−1 𝐵 Karena : 𝐴−1 𝐴 = 𝐼, maka 𝑋 = 𝐴−1 𝐵 Dengan demikian nilai X dapat dihitung. Di dalam penyelesaian sistem persamaan linier juga sering digunakan matriks yang di tingkatkan . misalkan matriks (3 x 3) akan ditingkatkan dengan matriks C (3 x 1) sehingga berbentuk matriks (3 x 4) menjadi : [ 𝑎11 𝑎21 𝑎31 𝑎12 𝑎22 𝑎32 𝑎13 ⋮ 𝑎23 𝑎33 ⋮ ⋮ 𝑐1 𝑐2 𝑐3 ]
  • 11. 8 Sebagian besar permasalahan yang dijumpai dapat digolongkan dalam dua kategori yaitu suatu sistem persamaan dengan n kecil tetapi sedikit elemen nol, dan suatu sistem dengan matriks order tinggi (n besar) tetapi banyak mengandung elemen nol. b. Metode Eliminasi Gauss Metode eliminasi Gauss digunakan untuk menyelesaikan sebuah system persamaan linier dengan mengubah SPL tesebut ke dalam bentuk system persamaan linier berbentuk segitiga atas, yakni yang semua koefisien di bawah diagonal utamanya bernilai nol. Bentuk segitiga atas ini dapat diselesaikan dengan menggunakan substitusi (penyulihan) balik. Untuk mendapatkan bentuk SPL segitiga dari SPL yang diketahui, metode eliminasi Gauss menggunakan sejumlah roperasi Baris Elementer (OBE) : 1. Menukar posisi dua buah persamaan (dua baris matriks augmented). 2. Menambah sebuah persamaan (baris matriks augmented) dengan suatu kelipatan persamaan lain (baris lain). 3. Mengalikan sebuah persamaan (baris matriks augmented) dengan sebarang konstanta taknol. Pemakaian operasi-operasi baris elementer di atas pada sebuah SPL tidak akan mengubah penyelesaikan SPL yang bersangkutan. Jelas bahwa penyelesaian sebuah SPL tidak tergantung pada susunan penulisan persamaan, sehingga operasi baris nomor 1 dapat dipakai. Dalam setiap persamaan, kedua ruas menyatakan nilai yang sama, sehingga operasi baris nomor 2 dapat digunakan. Demikian pula, operasi baris nomor 3 menghasilkan persamaan yang ekivalen. [ 𝑎11 𝑎21 𝑎31 𝑎12 𝑎22 𝑎32 𝑎13 ⋮ 𝑎23 𝑎33 ⋮ ⋮ 𝑏1 𝑏2 𝑏3 ] ⟹ [ 𝑎11 0 0 𝑎12 𝑎22 0 𝑎13 ⋮ 𝑎23 𝑎33 ⋮ ⋮ 𝑏1 𝑏′2 𝑏′′3 ] 𝑥3 = 𝑏′′ 3 𝑎′′ 33 𝑥2 = (𝑏′ 2−𝑎′ 23 𝑥3 𝑎′22 𝑥1 = (𝑏1−𝑎12 𝑥2−𝑎13 𝑥3) 𝑎11 Gambar 2.1 Gambaran prosedur hitungan metode eliminasi Gauss.
  • 12. 9 c. Metode Gauss-Jordan Metode gauss jordan mirip dengan metode eliminasi Gauss. Dalam metode Gauss- Jordan Bilangan tak diketahui di eliminasi dari semua persamaan, yang dalam metode Gauss bilangan tersebut di eliminasi dari persamaan berikutnya. Dengan demikian langkah-langkah eliminasi menghasilkan matriks identitas, seperti ditunjukan dalam gambar 3.2. [ 𝑎11 𝑎21 𝑎31 𝑎12 𝑎22 𝑎32 𝑎13 ⋮ 𝑎23 𝑎33 ⋮ ⋮ 𝑏1 𝑏2 𝑏3 ] ⟹ [ 1 0 0 0 1 0 0 ⋮ 0 ⋮ 1 ⋮ 𝑏1 ∗ 𝑏2 ∗ 𝑏3 ∗ ] ⟹ [ 𝑥1 0 0 𝑜 𝑥2 0 0 0 1 = = = 𝑏1 ∗ 𝑏2 ∗ 𝑏3 ∗ ] Gambar 3.2 prosedur hitungan metode Gauss-Jordan. d. Matriks Tridiagonal (Metode Sapuan Ganda) Dalam penyelesaian sistem persamaan yang berbentuk matriks tridiagonal, metode penyelesaian langsung sering disebut metode sapuan ganda atau metode Choleski. Metode ini pemakaiannya mudah dan matriks tridiagonal banyak dijumpai dalam banyak permasalahan, terutama dalam penyelesaian persamaan diferensial orde dua. Jika A matriks nyata, simetris dan definit positif, maka kita dapat menemukan suatu matriks segitiga bawah L sedemikian hingga 𝐴 = 𝐿 𝐿𝑇 . Cara ini dikenal sebagai faktorisasi Choleski.matriks L dihitung dengan menyelesaikan persamaan-persamaan ∑ 𝑙 𝑟𝑗 2 + 𝑙 𝑟𝑟 2 = 𝑎 𝑟𝑟 𝑟−1 𝑗=1 = ∑ 𝑙 𝑟𝑗 2 𝑙 𝑖𝑗 2 + 𝑙 𝑟𝑖 𝑙𝑖𝑖 = 𝑎 𝑟𝑖 𝑖−1 𝑗=1 Untuk r = 1, 2, 3, ... , n dan untuk setiap r, i = 1, 2, ..., r – 1. e. Matriks Inversi Apabila matriks A adalah bujur sangkar, maka terdapat matriks lain yaitu 𝐴−1 , yang disebut matriks inversi dari A, sedemikian hingga : 𝐴𝐴−1 = 𝐴−1 𝐴 = 𝐼 Dengan I adalah matriks identitas. Matriks inversi dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem yang berbentuk :
  • 13. 10 AX = C (5.1) atau X = 𝐴−1 C (5.2) Persamaan di atas menunjukan bahwa x dapat di hitung dengan mengalikan matriks inversi dari koefisien matriks A dengan ruas kanan dari sistem persamaan (5.1), yaitu C. Metode Gauss-Jordan dapat di gunakan untuk mencari matriks inversi. Untuk itu koefisien matriks ditingkatkan dengan matriks identitas. Metode gauss-jordan digunakan untuk mereduksi koefisien matriks menjadi matriks identitas. Setelah selesai, sisi kanan dari matriks yang ditingkatkan merupakan matriks inversi. Gambar (5.1) adalah gambaran prosedur hitungan matriks inversi. [ 𝑎11 𝑎21 𝑎31 𝑎12 𝑎22 𝑎32 𝑎13 ⋮ 𝑎23 𝑎33 ⋮ ⋮ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ] ⟹ [ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ⋮ 𝑎11 −1 𝑎12 −1 𝑎13 −1 ⋮ 𝑎21 −1 𝑎22 −1 𝑎23 −1 ⋮ 𝑎31 −1 𝑎32 −1 𝑎33 −1 ] 𝐴 𝐼 𝐼 𝐴−1 Gambar 5.1 prosedur hitungan matriks inversi f. Metode Iterasi Metode iterasi lebih baik di banding dengan metode langsung, misalnya untuk matriks yang tersebar yaitu matriks dengan banyak elemen nol. Metode ini juga dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan tidak linier. Metode iterasi terbagi menjadi dua, yaitu metode Jacobi dan Gauss-Seidel. 1. Metode Jacobi Misalkan terdapat sistem 3 persamaan dengan 3 bilangan tak diketahui : 𝑎11 𝑥1 + 𝑎12 𝑥2 + 𝑎13 𝑥3 = 𝑏1 𝑎21 𝑥1 + 𝑎22 𝑥2 + 𝑎23 𝑥3 = 𝑏2 (6.1) 𝑎31 𝑥1 + 𝑎32 𝑥2 + 𝑎33 𝑥3 = 𝑏3 Persamaan pertama dari sistem di atas dapat digunakan untuk menghitung 𝑥1 dan 𝑥3. Demikian juga persamaan kedua dan ketiga untuk menghitung 𝑥2 dan 𝑥3, sehingga didapat :
  • 14. 11 𝑥1 = (𝑏1−𝑎12 𝑥 −𝑎13 𝑥3) 𝑎11 𝑥2 = (𝑏2−𝑎21 𝑥1−𝑎23 𝑥3) 𝑎22 𝑥3 = (𝑏3−𝑎31 𝑥1−𝑎32 𝑥3) 𝑎33 (6.2) Hitungan dimulai dengan nilai perkiraan awal sebarang untuk variabel yang dicari nilai perkiraan awal tersebut di subtitusikan kedalam ruas kanan dari sistem persamaan (6.2). Selanjutnya nilai variabel yang didapat tersebut disubtitusikan ke ruas kanan dari sistem (6.2) lagi untuk mendapatkan nilai perkiraan kedua. Prosedur tersebut diulangi lagi sampai nilai setiap variabel pada iterasi ke n mendekati nilai pada iterasi ke n-1. Apabila superskrip n menunjukan jumlah iterasi, maka persamaan (6.2) dapat ditulis menjadi : 𝑥1 𝑛 = (𝑏1 − 𝑎12 𝑥2 𝑛−1 − 𝑎13 𝑥3 𝑛−1 ) 𝑎11 𝑥2 𝑛 = (𝑏2 − 𝑎21 𝑥1 𝑛−1 − 𝑎23 𝑥3 𝑛−1 ) 𝑎22 𝑥3 𝑛 = (𝑏3 − 𝑎31 𝑥1 𝑛−1 − 𝑎32 𝑥2 𝑛−1 ) 𝑎33 Iterasi hitungan berakhir setelah : 𝑥1 𝑛−1 ≈ 𝑥1 𝑛 , 𝑥2 𝑛−1 ≈ 𝑥2, 𝑛 dan 𝑥3 𝑛−1 ≈ 𝑥3 𝑛 atau telah dipenuhi kriteria berikut : 𝜀a = | 𝑥 𝑖 𝑛 − 𝑥 𝑖 𝑛−1 𝑥 𝑖 𝑛 | 100% < 𝜀 𝑠 dengan 𝜀𝑠 adalah batasan ketelitian yang dikehendaki. 2. Metode Gauss-Seidel Di dalam metode Jacobi nilai 𝑥1 yang dihitung dari persamaan pertama tidak digunakan untuk menghitung nilai 𝑥2 dengan persamaan kedua. Demikian juga nilai 𝑥2 tidak digunakan untuk mencari 𝑥3 , sehingga nilai-nilai tersebut tidak dimanfaatkan. Sebenarnya nilai-nilai baru tersebut labih baik dari nilai-nilai yang lama. Di dalam metode Gauss Seidel nilai-nilai tersebut dimanfaatkan untuk menghitung variabel berikutnya.
  • 15. 12 C. Contoh - Contoh Soal Sistem Persamaan Linear Contoh 1 Perhatikan SPL 𝑥1 + 3𝑥2 = 5 3𝑥1 + 9𝑥2 = 7 Penyelesaian Jika persamaan kedua dikurangi tiga kali persamaan pertama maka kita dapatkan 0 = 7  15. Ini artinya SPL tersebut tidak mempunyai penyelesaian. Apabila kita plot kedua garis yang menyajikan kedua persamaan linier di atas kita dapatkan dua buah kurva linier yang tidak berpotongan. Contoh 2 Selesaikan sistem persamaan berikut dengan metode Gauss Jordan : 3x + y – z = 5 (1.a) 4x + 7y – 3z = 20 (1.b) 2x  2y + 5z = 10 (1.c) Penyelesaian Sistem persamaan di atas dapat ditulis dalam bentuk matriks berikut : [ 3 1 −1 4 7 3 2 −2 5 ] [ 𝑥1 𝑥2 𝑥3 ] = [ 5 20 10 ] Baris pertama dalam persamaan (2) dibagi dengan elemen pertama dari persamaan pertama, yaitu 3, sehingga persamaan menjadi [ 1 0,3333 −0,3333 4 7 −3 2 −2 5 ][ 𝑥 𝑦 𝑧 ] = [ 1,6666 20 10 ] Persamaan pertama dikalikan elemen pertama dari persamaan kedua, yaitu 4, dan kemudian dikurangkan terhadap persamaan kedua. Dengan cara yang sama untuk persamaan ketiga, sehingga didapat : [ 1 0,3333 −0,3333 0 5,6668 −1,6668 0 −2,6666 5,6666 ][ 𝑥 𝑦 𝑧 ] = [ 1,6666 13,3336 6,6668 ]
  • 16. 13 Baris kedua dari persamaan di atas dibagi dengan elemen pertama tidak nol dari baris kedua, yaitu 5,6668, sehingga sistem persamaan menjadi : [ 1 0,3333 −0,3333 0 1 −0,2941 0 −2,6666 5,6666 ][ 𝑥 𝑦 𝑧 ] = [ 1,6666 2,3529 6,6668 ] Persamaan kedua dikalikan dengan elemen kedua dari persamaan pertama (0,3333) dan kemudian dikurangkan terhadap persamaan pertama. Kemudian dengan cara yang sama untuk persamaan ketiga, sehingga didapat : [ 1 0 −0,2353 0 1 −0,2941 0 0 4,8824 ] [ 𝑥 𝑦 𝑧 ] = [ 0,8824 2,3529 12,9410 ] Persamaan ketiga dibagi dengan elemen pertama tidak nol dari baris ketiga yaitu 4,8824 sehingga persamaan menjadi : [ 1 0 −0,2353 0 1 −0,2941 0 0 1 ][ 𝑥 𝑦 𝑧 ] = [ 0,8824 2,3529 2,6505 ] Persamaan ketiga dikalikan elemen ketiga dari persamaan pertama dan kemudian dikurangkan terhadap persamaan pertama. Kemudian dengan cara yang sama untuk persamaan kedua, sehingga didapat : [ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ] [ 𝑥 𝑦 𝑧 ] = [ 1,5061 3,1324 2,6505 ] Dari sistem persamaan di atas, didapat nilai x, y dan z berikut ini : x = 1,5061 y = 3,1324 z = 2,6505 Contoh 3 Selesaikan sistem persamaan berikut dengan metode iterasi Jacobi dan Gauss-Seidel. 3x + y – z = 5 4x + 7y  3z = 20 (1) 2x  2y + 5z = 10 Penyelesaian a. Iterasi Jacobi 𝑥 = 5 − 𝑦 + 𝑧 3
  • 17. 14 𝑦 = 20 − 4𝑥 + 3𝑧 7 𝑧 = 10 − 2𝑥 + 2𝑧 7 Langkah pertama dicoba nilai x = y = z = 0 dan dihitung nilai x’, y’, dan z’. 𝑥′ = 5 − 0 + 0 3 = 1,66667 𝑦′ = 20 − 0 + 0 7 = 2,85714 𝑧′ = 10 − 0 + 0 5 = 2 Nilai x’, y’, dan z’ yang diperoleh tidak sama dengan nilai pemisalan. Iterasi dilanjutkan dengan memasukan nilai x’, y’ dan z’ ke dalam persamaan (2) untuk menghitung x’’, y’’ dan z’’ dan kesalahan yang terjadi. 𝑥′′ = 5 − 2,857714+ 2 3 = 1,38095 𝜀 𝑥 = 1,38095 − 1,66667 1,38095 100% = 20,69% 𝑦′′ = 20 − 4(1,66667)+ 3(2) 7 = 2,76190 𝜀 𝑦 = 2,76190− 2,85714 2,76190 100% = 3,45% 𝑧′′ = 10 − 2(1,66667) + 2(2) 5 = 2,13333 𝜀 𝑧 = 2,13333 − 2 2,13333 100% = 6,25% b. Iterasi Gauss-Seidel Langkah pertama dicoba nilai y = z = 0 dan dan dihitung x’ dengan menggunakan persamaan 𝑥1 1 = (𝑏1 − 𝑎12 𝑥2 0 − 𝑎13 𝑥3 0 ) 𝑎11 Menjadi :
  • 18. 15 𝑥′ = 5 − 0 + 0 3 = 1,6667 Persamaan 𝑥2 1 = (𝑏2−𝑎21 𝑥1 1 −𝑎23 𝑥3 0 ) 𝑎22 digunakan untuk menghitung nilai y’ : 𝑦′ = 20 − 4(1,66667)+ 3(0) 7 = 1,90476 Nilai z’ dihitung dari persamaan 𝑥3 1 = (𝑏3−𝑎31 𝑥1 1 −𝑎32 𝑥2 0 ) 𝑎33 : 𝑧′ = 10 − 2(1,66667)+ 2(1,90467) 5 = 2,09524 Nilai x’, y’, dan z’ yang diperoleh tidak sama dengan nilai pemisalan. Iterasi dilanjutkan dengan prosedur di atas untuk menghitung x’’, y’’, dan z’’ dan kesalahan yang terjadi. 𝑥′′ = 5 − 1,90476+ 2,09524 3 = 1,73016 𝜀 𝑥 = 1,73016 − 1,66667 1,73016 100% = 3,67% 𝑦′′ = 20 − 4(1,73016)+ 3(2,09524) 7 = 2,76644 𝜀 𝑦 = 2,76644 − 1, 90476 2,76644 100% = 31,15% 𝑧′′ = 10 − 2(1,73016) + 2(2,76644) 5 = 2,41451 𝜀 𝑧 = 2,41451− 2,09524 2,41451 100% = 13,22%
  • 19. 16 BAB III PENUTUP A. Kesimpulan Sistem persamaan linier merupakan salah satu model dan masalah matematika yang banyak dijumpai dalam berbagai disiplin ilmu, termasuk matematika, statistika, fisika, biologi, ilmu-ilmu sosial, teknik dan bisnis sistem-sistem persamaan linier muncul secara langsung dari masalah-masalah nyata. Masalah –masalah tersebut dapat di ubah dalam bentuk persamaan : 𝑎11 𝑥1+ 𝑎12 𝑥2 + … . +𝑎1𝑛 𝑥 𝑛 = 𝑏1 𝑎21 𝑥1+ 𝑎22 𝑥2 + … . +𝑎2𝑛 𝑥 𝑛 = 𝑏2 . . . 𝑎11 𝑥1+ 𝑎 𝑛2 𝑥2 + … . +𝑎 𝑛𝑛 𝑥 𝑛 = 𝑏 𝑛 Persamaan di atas dapat dicari penyelesaiannya dengan menggunakan matriks, metode eliminasi Gauss, metode Gauss-Jordan, matriks tridiagonal, matriks inversi maupun metode iterasi. Masing-masing metode memiliki keunikan tersendiri. Dari beberapa metode yang ada metode penyelesaian yang paling mudah dan sederhana digunakan adalah metode iterasi. B. Saran Sistem persamaan linier merupakan model matematika yang berkaitan erat dalam kehidupan kita setiap hari. Oleh dan sebab itu sangat penting bagi kita untuk mempelajari secara mendalam cara memecahkan suatu model persamaan linier. Sangat disarankan kepada para pembaca untuk menambah resensi materi tentang sistem persamaan linear dari sumber-sumber lain seperti buku diktat atau modul SPL atau internet.