![PERTEMUAN 6
PERANAN KOMPUTER DALAM METODE NUMERIK
Komputer berperan besar dalam perkembangan bidang metode numerik. Hal ini mudah
dimengerti karena perhitungan dengan metode numerik adalah berupa operasi aritmetika seperti
penjumlahan, perkalian, pembagian, plus membuat perbandingan. Sayangnya, jumlah operasi aritmetika
ini umumnya sangat banyak dan berulang, sehingga perhitungan secara manual sering menjemukan.
Manusia (yang melakukan perhitungan manual ini) dapat membuat kesalahan dalam melakukannya.
Dalam hal ini, komputer berperanan mempercepat proses perhitungan tanpa membuat kesalahan.
Penggunaan komputer dalam metode numerik antara lain untuk memprogram. Langkah-langkah
metode numerik diformulasikan menjadi program komputer. Program ditulis dengan bahasa pemrograman
tertentu, seperti FORTRAN, PASCAL, C, C++, BASIC, dan sebagainya. Sebenarnya, menulis program
numerik tidak selalu diperlukan.
Di pasaran terdapat banyak program aplikasi komersil yang langsung dapat digunakan. Beberapa
contoh aplikasi yang ada saat ini adalah MathLab, MathCad, Maple, Mathematica, Eureka, dan
sebagainya. Selain itu, terdapat juga library yang berisi rutin-rutin yang siap digabung dengan program
utama yang ditulis pengguna, misalnya IMSL (International Mathematical and Statistical Library)
Math/Library yang berisi ratusan rutin-rutin metode numerik. Selain mempercepat perhitungan numerik,
dengan komputer kita dapat mencoba berbagai kemungkinan solusi yang terjadi akibat perubahan
beberapa parameter. Solusi yang diperoleh juga dapat ditingkatkan ketelitiannya dengan mengubahubah
nilai parameter.
Kemajuan komputer digital telah membuat bidang metode numerik berkembang secara dramatis.
Tidak ada bidang matematika lain yang mengalami kemajuan penting secepat metode numerik. Tentu saja
alasan utama penyebab kemajuan ini adalah perkembangan komputer itu sendiri, dari komputer mikro
sampai komputer Cray, dan kita melihat perkembangan teknologi komputer tidak pernah berakhir. Tiap
generasi baru komputer menghadirkan keunggulan seperti waktu, memori, ketelitian, dan kestabilan
perhitungan. Hal ini membuat ruang penelitian semakin terbuka luas. Tujuan utama penelitian itu adalah
pengembangan algoritma numerik yang lebih baik dengan memanfaatkan keunggulan komputer
semaksimal mungkin. Banyak algoritma baru lahir atau perbaikan algoritma yang lama didukung oleh
komputer. Bagian mendasar dari perhitungan rekayasa yang dilakukan saat ini adalah perhitungan "waktu
nyata" (real time computing), yaitu perhitungan keluaran (hasil) dari data yang diberikan dilakukan secara
simultan dengan event pembangkitan data tersebut, sebagaimana yang dibutuhkan dalam mengendalikan
proses kimia atau reaksi nuklir, memandu pesawat udara atau roket dan sebagainya [KRE88]. Karena itu,
kecepatan perhitungan dan kebutuhan memori komputer adalah pertimbangan yang sangat penting.
Jelaslah bahwa kecepatan tinggi, keandalan, dan fleksibilitas komputer memberikan akses untuk
penyelesaian masalah praktek. Sebagai contoh, solusi sistem persamaan lanjar yang besar menjadi lebih
mudah dan lebih cepat diselesaikan dengan komputer. Perkembangan yang cepat dalam metode numerik
antara lain ialah penemuan metode baru, modifikasi metode yang sudah ada agar lebih mangkus, analisis
teoritis dan praktis algoritma untuk proses perhitungan baku, pengkajian galat, dan penghilangan jebakan
yang ada pada metode [KRE88].](https://image.slidesharecdn.com/materimetodenumerikpertemuanpertama-terakhir07231911022-210622093117/85/Materi-metode-numerik-4-320.jpg)
![Mempelajari Metode Numerik
Seperti sudah disebutkan pada bagian awal bab ini, para rekayasawan dan para ahli ilmu alam,
dalam pekerjaannya sering berhadapan dengan persamaanmatematik. Persoalan yang muncul di lapangan
diformulasikan ke dalam model yang berbentuk persamaan matematika. Persamaan tersebut mungkin
sangat kompleks atau jumlahnya lebih dari satu. Metode numerik, dengan bantuan komputer, memberkan
cara penyelesaian persoalan matematika dengan cepat dan akurat.
Terdapat beberapa alasan tambahan mengapa kita harus mempelajari metode numerik [CHA91]:
1. Metode numerik merupakan alat bantu pemecahan masalah matematika yang sangat ampuh. Metode
numerik mampu menangani sistem persamaan besar, kenirlanjaran, dan geometri yang rumit yang
dalam praktek rekayasa seringkali tidak mungkin dipecahkan secara analitik.
2. Seperti sudah disebutkan pada upapab 1.4, di pasaran banyak tersedia program aplikasi numerik
komersil. Penggunaan aplikasi tersebut menjadi lebih berarti bila kita memiliki pengetahuan metode
numerik agar kita dapat memahami cara paket tersebut menyelesaikan persoalan.
3. Kita dapat membuat sendiri program komputer tanpa harus membeli paket programnya. Seringkali
beberapa persoalan matematika yang tidak selalu dapat diselesaikan oleh program aplikasi. Sebagai
contoh, misalkan ada program aplikasi tertentu yang tidak dapat dipakai untuk menghitung integrasi
lipat dua, , atau lipat tiga, . Mau tidak mau, kita harus menulis sendiri programnya. Untuk itu, kita
harus mempelajari cara pemecahan integral lipat dua atau lebih dengan metode numerik.
4. Metode numerik menyediakan sarana untuk memperkuat kembali pemahaman matematika. Karena,
metode numerik ditemukan dengan menyederhanakan matematika yang lebih tinggi menjadi operasi
matematika yang mendasar.
Tahap-Tahap Memecahkan Persoalan Secara Numerik
Ada enam tahap yang dilakukan dakam pemecahan persoalan dunia nyata dengan metode
numerik, yaitu
1. Pemodelan
Ini adalah tahap pertama. Persoalan dunia nyata dimodelkan ke dalam persamaan matematika
2. Penyederhanaan model
Model matematika yang dihasilkan dari tahap 1 mungkin saja terlalu kompleks, yaitu
memasukkan banyak peubah (variable) atau parameter. Semakin kompleks model matematikanya,
semakin rumit penyelesaiannya. Mungkin beberapa andaian dibuat sehingga beberapa parameter
dapat diabaikan.
Contohnya, faktor gesekan udara diabaikan sehingga koefisian gesekan di dalam model dapat
dibuang. Model matematika yang diperoleh dari penyederhanaan menjadi lebih sederhana sehingga
solusinya akan lebih mudah diperoleh.](https://image.slidesharecdn.com/materimetodenumerikpertemuanpertama-terakhir07231911022-210622093117/85/Materi-metode-numerik-5-320.jpg)
![hampiran, dan seberapa bagus hampiran itu [BUC92]. Hal ini melahirkan kajian baru, yaitu analisis
numerik.
Metode numerik dan analisis numerik adalah dua hal yang berbeda. Metode adalah algoritma,
menyangkut langkah-langkah penyelesaian persoalan secara numerik, sedangkan analisis numerik adalah
terapan matematika untuk menganalisis metode [NOB72]. Dalam analisis numerik, hal utama yang
ditekankan adalah analisis galat dan kecepatan konvergensi sebuah metode. Teorema-teorema matematika
banyak dipakai dalam menganalisis suatu metode.](https://image.slidesharecdn.com/materimetodenumerikpertemuanpertama-terakhir07231911022-210622093117/85/Materi-metode-numerik-7-320.jpg)
Materi metode numerik
- 1. Metode Numerik Materi Pertemuan Pertama-terakhir Irnawati Gailea 0723 1911 022 PROGRAM STUDI TEKNIK SIPIL FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS KHAIRUN 2021
- 2. PERTEMUAN 5 PERBEDAAN METODE NUMERIK DAN ANALITIK A. Pengertian Metode Analitik adalah metode penyelesaian model matematika dengan rumus-rumus aljabar yang sudah baku(lazim). Metode Numerik adalah teknik untuk menyelesaikan permasalahan-permasalahan yang diformulasikan secara matematis dengan cara operasi hitungan (arithmatic) yaitu operasi tambah, kurang, kali dan bagi. Alasan pemakaian metode numeric: 1. Tidak semua permasalahan matematis dapat diselesaikan dengan metode analitik. 2. Jika terdapat penyelesaian secara analitik, mungkin proses penyelesaiannya sangat rumit. B. Perbedaan Perbedaan utama antara metode numerik dan metode analitik terletak pada dua hal. Pertama, solusi dengan menggunakan metode numerik selalu berbentuk angka. Bandingkan dengan metode analitik yang biasanya dalam bentuk fungsi matematik yang selanjutnya bentuk fungsi matematik tersebut dapat dievaluasi untuk menghasilkan nilai dalam bentuk angka. Kedua, dengan metode numerik kita hanya memperoleh solusi yang menghampiri atau mendekati solusi sejati sehingga solusi numerik dinamakan juga solusi hampiran atau solusi pendekatan. Solusi hampiran jelas tidak tepat sama dengan solusi sejati, sehingga ada selisih antara keduanya. Selisih inilah yang disebut galat (error). Metode Analitik Menggunakan cara yang sudah baku atau dengan aturan-aturan kalkulus Hasil berupa suatu fungsi atau relasi Nilai perhitungan adalah nilai sejati atau exact (Tepat) Tidak selalu mudah memperoleh solusi, bahkan ada yang tidak dapat di peroleh solusi Metode Numerik Menggunakan aritmatika seperti tanda +, -, *, dan /. Hasilnya berupa angka Nilai perhitungan adalah hampiran, tidak exact Solusi selalu dapat di peroleh dengan bantuan program computer
- 3. C. Kelebihan dan Kekurangan Kelebihan Metoda Analitik Nilai yang diperoleh adalah nilai sejati atau exact Kelebihan Metode Numerik Selalu dapat memperoleh solusi persoalan Dengan bantuan komputer, perhitungan cepat dan hasilnya dapat di buat sedekat mungkin dengan nilai sesungguhnya Tampilan hasil perhitungan dapat di simulasikan Kekurangan Metoda Analitik Memakan banyak waktu tenaga dan pikiran Kadang tidak menemukan penyelesaian Kekurangan Metoda Numerik Nilai yang diperoleh adalah hampiran dan bukan nila exact Tanpa bantuan alat hitung, perhitungan umumnya lama dan berulang-ulang D. Contoh Persamaan Metode Analitik dan Metode Numerik
- 4. PERTEMUAN 6 PERANAN KOMPUTER DALAM METODE NUMERIK Komputer berperan besar dalam perkembangan bidang metode numerik. Hal ini mudah dimengerti karena perhitungan dengan metode numerik adalah berupa operasi aritmetika seperti penjumlahan, perkalian, pembagian, plus membuat perbandingan. Sayangnya, jumlah operasi aritmetika ini umumnya sangat banyak dan berulang, sehingga perhitungan secara manual sering menjemukan. Manusia (yang melakukan perhitungan manual ini) dapat membuat kesalahan dalam melakukannya. Dalam hal ini, komputer berperanan mempercepat proses perhitungan tanpa membuat kesalahan. Penggunaan komputer dalam metode numerik antara lain untuk memprogram. Langkah-langkah metode numerik diformulasikan menjadi program komputer. Program ditulis dengan bahasa pemrograman tertentu, seperti FORTRAN, PASCAL, C, C++, BASIC, dan sebagainya. Sebenarnya, menulis program numerik tidak selalu diperlukan. Di pasaran terdapat banyak program aplikasi komersil yang langsung dapat digunakan. Beberapa contoh aplikasi yang ada saat ini adalah MathLab, MathCad, Maple, Mathematica, Eureka, dan sebagainya. Selain itu, terdapat juga library yang berisi rutin-rutin yang siap digabung dengan program utama yang ditulis pengguna, misalnya IMSL (International Mathematical and Statistical Library) Math/Library yang berisi ratusan rutin-rutin metode numerik. Selain mempercepat perhitungan numerik, dengan komputer kita dapat mencoba berbagai kemungkinan solusi yang terjadi akibat perubahan beberapa parameter. Solusi yang diperoleh juga dapat ditingkatkan ketelitiannya dengan mengubahubah nilai parameter. Kemajuan komputer digital telah membuat bidang metode numerik berkembang secara dramatis. Tidak ada bidang matematika lain yang mengalami kemajuan penting secepat metode numerik. Tentu saja alasan utama penyebab kemajuan ini adalah perkembangan komputer itu sendiri, dari komputer mikro sampai komputer Cray, dan kita melihat perkembangan teknologi komputer tidak pernah berakhir. Tiap generasi baru komputer menghadirkan keunggulan seperti waktu, memori, ketelitian, dan kestabilan perhitungan. Hal ini membuat ruang penelitian semakin terbuka luas. Tujuan utama penelitian itu adalah pengembangan algoritma numerik yang lebih baik dengan memanfaatkan keunggulan komputer semaksimal mungkin. Banyak algoritma baru lahir atau perbaikan algoritma yang lama didukung oleh komputer. Bagian mendasar dari perhitungan rekayasa yang dilakukan saat ini adalah perhitungan "waktu nyata" (real time computing), yaitu perhitungan keluaran (hasil) dari data yang diberikan dilakukan secara simultan dengan event pembangkitan data tersebut, sebagaimana yang dibutuhkan dalam mengendalikan proses kimia atau reaksi nuklir, memandu pesawat udara atau roket dan sebagainya [KRE88]. Karena itu, kecepatan perhitungan dan kebutuhan memori komputer adalah pertimbangan yang sangat penting. Jelaslah bahwa kecepatan tinggi, keandalan, dan fleksibilitas komputer memberikan akses untuk penyelesaian masalah praktek. Sebagai contoh, solusi sistem persamaan lanjar yang besar menjadi lebih mudah dan lebih cepat diselesaikan dengan komputer. Perkembangan yang cepat dalam metode numerik antara lain ialah penemuan metode baru, modifikasi metode yang sudah ada agar lebih mangkus, analisis teoritis dan praktis algoritma untuk proses perhitungan baku, pengkajian galat, dan penghilangan jebakan yang ada pada metode [KRE88].
- 5. Mempelajari Metode Numerik Seperti sudah disebutkan pada bagian awal bab ini, para rekayasawan dan para ahli ilmu alam, dalam pekerjaannya sering berhadapan dengan persamaanmatematik. Persoalan yang muncul di lapangan diformulasikan ke dalam model yang berbentuk persamaan matematika. Persamaan tersebut mungkin sangat kompleks atau jumlahnya lebih dari satu. Metode numerik, dengan bantuan komputer, memberkan cara penyelesaian persoalan matematika dengan cepat dan akurat. Terdapat beberapa alasan tambahan mengapa kita harus mempelajari metode numerik [CHA91]: 1. Metode numerik merupakan alat bantu pemecahan masalah matematika yang sangat ampuh. Metode numerik mampu menangani sistem persamaan besar, kenirlanjaran, dan geometri yang rumit yang dalam praktek rekayasa seringkali tidak mungkin dipecahkan secara analitik. 2. Seperti sudah disebutkan pada upapab 1.4, di pasaran banyak tersedia program aplikasi numerik komersil. Penggunaan aplikasi tersebut menjadi lebih berarti bila kita memiliki pengetahuan metode numerik agar kita dapat memahami cara paket tersebut menyelesaikan persoalan. 3. Kita dapat membuat sendiri program komputer tanpa harus membeli paket programnya. Seringkali beberapa persoalan matematika yang tidak selalu dapat diselesaikan oleh program aplikasi. Sebagai contoh, misalkan ada program aplikasi tertentu yang tidak dapat dipakai untuk menghitung integrasi lipat dua, , atau lipat tiga, . Mau tidak mau, kita harus menulis sendiri programnya. Untuk itu, kita harus mempelajari cara pemecahan integral lipat dua atau lebih dengan metode numerik. 4. Metode numerik menyediakan sarana untuk memperkuat kembali pemahaman matematika. Karena, metode numerik ditemukan dengan menyederhanakan matematika yang lebih tinggi menjadi operasi matematika yang mendasar. Tahap-Tahap Memecahkan Persoalan Secara Numerik Ada enam tahap yang dilakukan dakam pemecahan persoalan dunia nyata dengan metode numerik, yaitu 1. Pemodelan Ini adalah tahap pertama. Persoalan dunia nyata dimodelkan ke dalam persamaan matematika 2. Penyederhanaan model Model matematika yang dihasilkan dari tahap 1 mungkin saja terlalu kompleks, yaitu memasukkan banyak peubah (variable) atau parameter. Semakin kompleks model matematikanya, semakin rumit penyelesaiannya. Mungkin beberapa andaian dibuat sehingga beberapa parameter dapat diabaikan. Contohnya, faktor gesekan udara diabaikan sehingga koefisian gesekan di dalam model dapat dibuang. Model matematika yang diperoleh dari penyederhanaan menjadi lebih sederhana sehingga solusinya akan lebih mudah diperoleh.
- 6. 3. Formulasi numeric Setelah model matematika yang sederhana diperoleh, tahap selanjutnya adalah memformulasikannya secara numerik, antara lain: a. menentukan metode numerik yang akan dipakai bersama-sama dengan galat awal (yaitu taksiran galat, penentuan ukuran langkah, dan sebagainya). Pemilihan metode didasari pada pertimbangan: apakah metode tersebut teliti? apakah metode tersebut mudah diprogram dan waktu pelaksanaannya cepat? apakah metode tersebut tidak peka terhadap perubahan data yang cukup kecil? b. menyusun algoritma dari metode numerik yang dipilih. 4. Pemrograman Tahap selanjutnya adalah menerjemahkan algoritma ke dalam program komputer dengan menggunakan salah satu bahasa pemrograman yang dikuasai. 5. Operasional Pada tahap ini, program komputer dijalankan dengan data uji coba sebelum data yang sesungguhnya. 6. Evaluasi Bila program sudah selesai dijalankan dengan data yang sesungguhnya, maka hasil yang diperoleh diinterpretasi. Interpretasi meliputi analisis hasil run dan membandingkannya dengan prinsip dasar dan hasil-hasil empirik untuk menaksir kualitas solusi numerik, dan keputusan untuk menjalankan kembali program dengan untuk memperoleh hasil yang lebih baik. Peran Ahli Informatika dalam Metode Numerik Dari tahap-tahap pemecahan yang dikemukan di atas, tahap 1 dan 2 melibatkan para pakar di bidang persoalan yang bersangkutan. Kalau persoalannya dalam bidang eknik Sipil, maka orang dari bidang Sipil-lah yang menurunkan model matematikanya. Kalau persoalannya menyangkut bidang Teknik Kimia (TK), maka ahli Teknik Kimia-lah yang mempunyai kemmapuan membentuk model matematikanya. Dimanakah peran orang Informatika? Orang Informatika baru berperan pada tahap 3 dan 4, dan 5. Tetapi, agar lebih memahami dan menghayati persoalan, sebaiknya orang Informatika juga ikut dilibatkan dalam memodelkan, namun perannya hanyalah sebagai pendengar. Tahap 6 memerlukan kerjasama informatikawan dengan pakar bidang bersangkutan. Bersama-sama dengan pakar, informatikawan mendiskusikan hasil numerik yang diperoleh, apakah hasil tersebut sudah dapat diterima, apakah perlu dilakukan perubahan parameter, dsb. Perbedaan Metode Numerik dengan Analisis Numerik Untuk persoalan tertentu tidaklah cukup kita hanya menggunakan metode untukmemperoleh hasil yang diinginkan; kita juga perlu mengetahui apakah metode tersebut memang memberikan solusi
- 7. hampiran, dan seberapa bagus hampiran itu [BUC92]. Hal ini melahirkan kajian baru, yaitu analisis numerik. Metode numerik dan analisis numerik adalah dua hal yang berbeda. Metode adalah algoritma, menyangkut langkah-langkah penyelesaian persoalan secara numerik, sedangkan analisis numerik adalah terapan matematika untuk menganalisis metode [NOB72]. Dalam analisis numerik, hal utama yang ditekankan adalah analisis galat dan kecepatan konvergensi sebuah metode. Teorema-teorema matematika banyak dipakai dalam menganalisis suatu metode.
- 8. PERTEMUAN 7 PERAN METODE NUMERIK Menurut Dandy(2010), Kemampuan numerik berkaitan dengan kemampuan dalam hal hitungan angka-angka untuk mengetahui seberapa baik seseorang dapat memahami ide-ide dan konsep-konsep yang dinyatakan dalam bentuk angka serta seberapa mudah seseorang dapat berfikir dan menyelesaikan masalah dengan angka-angka. Dari pengertian tersebut pemahaman konsep numerik sangat berperan dalam kehidupan sehari-hari. Kemampuan numerik seseorang dapat diaplikasikan ke penerapan dalam penggunaan metode numerik, dimana metode tersebut menggunakan penuh angka-angka yang kemudian dihitung untuk mendapatkan pendekatan solusi dari permasalahan tersebut. Metode numerik dalam kehidupan sehari-hari dapat diaplikasikan dengan menerapkan proses serta prosedur untuk menyelesaikan masalah. Seseorang yang menerapkan serta mempunyai kemampuan numerik yang tinggi dan belajar yang benar akan mampu mengembangkan konsep baru dengan memadukan berbagai konsep dasar sebagai pendukung untuk menyelesaikan masalah. Dalam penerapan metode numerik, seseorang dapat meningkatkan kesadaran kekuatan matematika yakni dapat meningkatkan keuletan, ketekunan, minat, serta keingintahuan. Dalam metode numeric menggunakan langkah-langkah atau iterasi agar mendapatkan galat yang seminimal mungkin. Semakin kecil galat yang diperoleh, semakin dekat pula pedekatan yang mendekati nilai aslinya. Agar mendapatkan galat yang semakin kecil diperlukanlah keuletan dalam iterasi atau langkah-langkah dalam penyelesaian. Penggunaan metode numerik juga dapat meningkatkan ketelitian, karena dalam setiap iterasi sangat memerlukan ketelitian. Apabila dalam suatu iterasi terjadi kesalahan, maka iterasi selanjutnya juga akan banyak kesalahan bahkan tidak menemukan solusi. Karena iterasi tersebut pula, dapat meningkatkan rasa kesabaran bagi seseorang. Kesabaran, ketelitian serta kesistematisan dari penggunaan metode numerik dapat di gunakan dan diterapkan dalam kehidupan sehari-hari dalam penyelesaian masalah yang dihadapi seseorang.
- 9. PERTEMUAN 9 PERSOALAN YANG DI SELESAIKAN DENGAN METODE NUMERIK Metode numerik berlaku umum, yakni ia dapat diterapkan untuk menyelesaikan persoalan matematika sederhana (yang juga dapat diselesaikan dengan metode analitik) maupun persoalan matematika yang tergolong rumit (yang metode analitik pun belum tentu dapat menyelesaikannya). Sebagai contoh, dengan metode numerik kita dapat menghitung integral sama mudahnya menghitung