Modul 6 kalkulus ekst
Download as DOC, PDF1 like3,310 views
Modul ini membahas tentang derivatif fungsi siklometri, logaritma, eksponensial, dan parameter. Pembahasan mencakup rumus-rumus dasar dan contoh soal derivatif terhadap fungsi-fungsi tersebut seperti arc sin, ln, e^x, dan fungsi koordinat dalam bentuk parameter. Contoh soal memberikan penjelasan langkah-langkah penyelesaian masalah derivatif pada berbagai fungsi.
Modul 6 kalkulus ekst
- 1. MODUL 6 DERIVATIVE FUNGSI SIKLOMETRI Oleh: Muchammad Abrori A. DERIVATIVE FUNGSI SIKLOMETRI Fungsi siklometri adalah invers dari fungsi trigonometri misalkan y = sin x, maka dapat ditulis sebagai x = arc sin y sedangkan x = sin y, dapat ditulis sebagai y = arc sin x. Supaya y = arc sin x berharga satu maka –1 x 1 dan - y . 2 2 Diberikan : y = arc sin u, dengan u adalah fungsi dari x u = sin y du = cos y dy 1 u y 2 1 u dy dy du 1 du 1 du dx du dx du dx cos y dx dy 1 du = 2 1 u dx Rumus-rumus : dy 1 du 1. y = arc sin u 2 dx 1 u dx dy 1 du 2. y = arc cos u 2 dx 1 u dx dy 1 du 3. y = arc tg u 2 dx 1 u dx 1
- 2. dy 1 du 4. y = arc ctg u 2 dx 1 u dx dy 1 du 5. y = arc sec u 2 dx u u 1 dx dy 1 du 6. y = arc cosec u dx 2 u u 1 dx Beberapa contoh soal : dy 1. y = arc sin 2x, tentukan dx dy 2. y = arc cos (x2 – 5), tentukan dx dy 3. y = arc sec 1 x 2 , tentukan dx 1 x dy 4. y = arc ctg , tentukan 1 x dx dy 5. y = (9 + x2) arc tg (1/3x) – 3x, tentukan dx 1 3 dy 6. y = arc tg ( tg x ) , tentukan 15 5 dx dy 7. y2 sin (x + y) = arc tg x, tentukan dx x dy 8. y = arc sin x a , tentukan 2 2 a x dx dy 9. y = x (arc sin x)2 – 2x + 2 (arc sin x) 1 x 2 , tentukan dx B. DERIVATIVE FUNGSI LOGARITMA DAN FUNGSI EKSPONENSIAL a. Pandang Fungsi Logaritma y = alogu, dengan a > 0, a 1 dan u fungsi dari x y+ y = alog(u + u ) y = alogu - y = alog(u + u ) - alogu 2
- 3. u u u y = alog = alog(1 + ) u u dy lim it y lim it y lim it u dx x 0 x u 0 u x 0 x u a log (1 ) lim it u lim it u = u 0 u x 0 x lim it u 1 lim it u 1u du = a log (1 ) a log e u 0 u u x 0 x dx 1 du ln e du = a log e u dx u ln a dx 1 du = u ln a dx Khususnya apabila diambil a = e, maka diperoleh y = ln u derivative pertamanya adalah : dy du 1 u dx dx b. Pandang Fungsi Eksponensial : y = au, dengan u fungsi dari x y = au, maka u = alogy du 1 dy y ln a dy dy du 1 du 1 du du y ln a dx du dx du dx 1 dx dx dy y ln a du = a u ln a dx Khususnya apabila diambil a = e, maka diperoleh y = ae dan derivative pertamanya adalah : dy u du e dx dx Rumus-rumus : 3
- 4. dy 1 du 1. y = alogu, a 0 dan a 1 dx u ln a dx dy du 2. y = ln u 1 u dx dx dy du 3. y = au, a > 0 a u ln a dx dx dy du 4. y = eu e u dx dx Beberapa contoh soal : dy 1. y = ln (2x – 5), tentukan dx dy 2. y = ln2 (2 + 3x), tentukan dx 2 3 (1 x ) dy 3. y = ln 5 2 4 , tentukan (1 x ) dx dy 4. y = ln (x + 1 x 2 ), tentukan dx dy 5. y = esin x, tentukan dx dy 6. y = 10sin x, tentukan dx dy 7. y = ex. ln x, tentukan dx dy 8. y = (x2 + 2)3(1 – x3)4, tentukan dx 9. y = e-2x(sin 2x + cos 2x), carilah hubungan antara y, y , dan y dy 10. Tentukan dari : a. y = xx dx 2 b. y = x x 2 dy 11. Jika y = a arc tg 3 x , tentukan dx 4
- 5. dy 12. y = cossin x, tentukan dx C. DERIVATIVE FUNGSI PARAMETER Bentuk umum fungsi dalam parameter adalah : x f (t ) dengan t sebagai parametern ya y g (t ) Untuk mendifferensialkan fungsi dalam bentuk parameter ini, ambil : dx x = f (t) maka = f (t) dt dy y = g (t) maka = g (t) dt Menurut pembicaraan di muka berlaku : dy dy dt dy dy dt f ' (t ) atau dx dt dx dx dx dt g ' (t ) Rumus : x f (t ) dy dy dt y g (t ) dx dx dt Beberapa contoh soal : x r cos t 1. Diketahui : y r sin t 2 dy d y Hitunglah : a. b. 2 dx dx x t 2. Diketahui : 2 y 2t t 2 dy d y Hitunglah : a. b. 2 dx dx dy dy dt 3. Apabila diketahui : dx dx dt 5
- 6. 2 2 dx d y dy d y 2 d y dt dt 2 dt dt 2 Buktikan bahwa : 2 3 dx dx dt 2 x 2t t 4. Diketahui 5 y t t 2 dy d y Dengan rumus hitunglah : a. b. 2 dx dx 6