Nguyen ham va tich phan

Traàn Só Tuøng Tích phaân
Nhaéc laïi Giôùi haïn – Ñaïo haøm – Vi phaân
lim sin u(x) 1
lim ln(1 x) 1
® x
= ( u )' u'
= (ln u )' u'
= a
(tgu)' u' (1 tg u).u'
= = + 2
(cot gx)' 1 (1 cot g x)
Trang 1
1. Caùc giôùi haïn ñaëc bieät:
a)
lim sin x 1
®
=
x 0
x
Heä quaû:
lim x 1
®
=
x 0
sinx
®
=
u(x) 0
u(x)
lim u(x) 1
®
=
u(x) 0
sinu(x)
b)
x
lim 1 1 e, x R
x
®¥ x
æ + ö = Î ç ÷
è ø
Heä quaû:
1
x
lim(1 + x) =
e.
x ®
0
x 0
+
=
x
lim e -
1 =
1
x ® 0
x
2. Baûng ñaïo haøm caùc haøm soá sô caáp cô baûn vaø caùc heä quaû:
(c)’ = 0 (c laø haèng soá)
(xa )' = axa-1 (ua )' = aua-1u'
1 ' 1
x x
2
æ ö = - ç ÷
è ø
1 ' u'
u u
2
æ ö = - ç ÷
è ø
( x )' 1
2 x
2 u
=
(ex )' = ex (eu )' = u'.eu
(ax )' = ax .ln a (au )' = au .lna . u'
(ln x )' 1
x
u
=
(log x ') 1
a
x.lna
(log u )' u'
u.lna
=
(sinx)’ = cosx (sinu)’ = u’.cosu
(tgx)' 1 1 tg 2
x
cos 2
x
= = +
cos 2
u
2
-=
sin 2
x
(cot gu)' u' (1 cot g u).u'
-==- +
=- + 2
sin 2
u
3. Vi phaân:
Cho haøm soá y = f(x) xaùc ñònh treân khoaûng (a ; b) vaø coù ñaïo haøm taïi xÎ(a; b) . Cho soá
gia Dx taïi x sao cho x + Dx Î(a; b) . Ta goïi tích y’.Dx (hoaëc f’(x).Dx) laø vi phaân cuûa
haøm soá y = f(x) taïi x, kyù hieäu laø dy (hoaëc df(x)).
dy = y’.Dx (hoaëc df(x) = f’(x).Dx
AÙp duïng ñònh nghóa treân vaøo haøm soá y = x, thì
dx = (x)’Dx = 1.Dx = Dx
Vì vaäy ta coù: dy = y’dx (hoaëc df(x) = f’(x)dx)

Tích phaân Traàn Só Tuøng
NGUYEÂN HAØM VAØ TÍCH PHAÂN
§Baøi 1: NGUYEÂN HAØM
Trang 2
1. Ñònh nghóa:
Haøm soá F(x) ñöôïc goïi laø nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) treân khoaûng (a ; b) neáu moïi x
thuoäc (a ; b), ta coù: F’(x) = f(x).
Neáu thay cho khoaûng (a ; b) laø ñoaïn [a ; b] thì phaûi coù theâm:
F'(a+ ) = f(x) vaø F'(b- ) = f(b)
2. Ñònh lyù:
Neáu F(x) laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) treân khoaûng (a ; b) thì :
a/ Vôùi moïi haèng soá C, F(x) + C cuõng laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) treân
khoaûng ñoù.
b/ Ngöôïc laïi, moïi nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) treân khoaûng (a ; b) ñeàu coù theå
vieát döôùi daïng: F(x) + C vôùi C laø moät haèng soá.
Ngöôøi ta kyù hieäu hoï taát caû caùc nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) laø òf(x)dx. Do
ñoù vieát:
òf(x)dx = F(x) + C
Boå ñeà: Neáu F¢(x) = 0 treân khoaûng (a ; b) thì F(x) khoâng ñoåi treân khoaûng ñoù.
3. Caùc tính chaát cuûa nguyeân haøm:
· (òf(x)dx)' = f(x)
· òaf(x)dx = aòf(x)dx (a ¹ 0)
· ò[f(x) + g(x)]dx = òf(x)dx + òg(x)dx
· òf(t)dt =F(t) + C Þ òf [u(x)]u'(x)dx = F[u(x)]+ C = F(u) + C (u = u(x))
4. Söï toàn taïi nguyeân haøm:
· Ñònh lyù: Moïi haøm soá f(x) lieân tuïc treân ñoaïn [a ; b] ñeàu coù nguyeân haøm treân ñoaïn ñoù.

BAÛNG CAÙC NGUYEÂN HAØM
Nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá sô caáp
thöôøng gaëp
ò = + ¹ du lnu C (u u(x) 0)
du (1 tg u)du tgu C
cos u
ò = ò + = + 2
dx (1 cotg x)dx cot gx C
sin x
du (1 cotg u)du cot gu C
sin u
ò = ò + = - + 2
ò = + > du u C (u 0)
ò + = + + ¹
ò + = - + + ¹
+ ò
eax bdx 1 eax b C (a 0)
ò + = + + ¹
Trang 3
Nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá hôïp
(döôùi ñaây u = u(x))
òdx = x + C òdu = u + C
x 1 x dx C ( 1)
1
a+
a + ò
a = + a ¹ -
u 1 u du C ( 1)
1
a+
a + ò
a = + a ¹ -
dx lnx C (x 0)
x
ò = + = ¹
u
òexdx = ex + C òeudu = eu + C
x
axdx a C (0 a 1)
ò = + < ¹
lna
u
audu a C (0 a 1)
ò = + < ¹
lna
òcosxdx = sin x + C òcos udu = sin u + C
òsin xdx = -cosx + C òsin udu = -cos u + C
dx (1 tg 2
x)dx tgx C
cos 2
x
ò = ò + = +
2
2
2
ò = ò + = - +
2
dx x C (x 0)
2 x
ò = + >
2 u
cos(ax b)dx 1 sin(ax b) C (a 0)
a
sin(ax b)dx 1 cos(ax b) C (a 0)
a
dx = 1ln ax + b +
C
ax b a
a
dx 2 = ax ++ b C (a ¹
0)
ax b a
+ ò

Vaán ñeà 1: XAÙC ÑÒNH NGUYEÂN HAØM BAÈNG ÑÒNH NGHÓA
Baøi toaùn 1: CMR F(x) laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) treân (a ; b)
PHÖÔNG PHAÙP CHUNG
Ta thöïc hieän theo caùc böôùc sau:
+ Böôùc 1: Xaùc ñònh F’(x) treân (a ; b)
+ Böôùc 2: Chöùng toû raèng F'(x) =f(x) vôùi "x Î(a; b)
Chuù yù: Neáu thay (a ; b) baèng [a ; b] thì phaûi thöïc hieän chi tieát hôn, nhö sau:
= " Î ìï
= íï
î =
f(x) 1
+
F'(x) [ln(x x a)]' (x x a)' 2 x a
+ + + = + + = =
x x a x x a
e khix 0
ìï ³ = í
îï + + <
Trang 4
Xaùc ñònh F’(a+)
Xaùc ñònh F’(b–)
+ Böôùc 2: Chöùng toû raèng
F'(x) f(x), x (a ; b)
F'(a +
) f(a)
F'(b -
) f(b)
Ví duï 1: CMR haøm soá: F(x) = ln(x + x2 + a) vôùi a > 0
laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá
x 2
a
=
+
treân R.
Giaûi:
Ta coù:
1 2x
2 2
2
2 2
+ + + +
x 2
+ a +
x 1 f(x)
= = =
2 2 2
x a(x x a) x a
+ + + +
Vaäy F(x) vôùi a > 0 laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) treân R.
x
Ví duï 2: CMR haøm soá:
2
F(x)
x x 1 khix 0
Laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá
ex khi x 0
f(x)
ì ³
= í
î + <
2x 1 khix 0
treân R.
Giaûi:
Ñeå tính ñaïo haøm cuûa haøm soá F(x) ta ñi xeùt hai tröôøng hôïp:
a/ Vôùi x ¹ 0 , ta coù:
ex khi x 0
F'(x)
ì >
= í
î + <
2x 1 khix 0
b/ Vôùi x = 0, ta coù:

· Ñaïo haøm beân traùi cuûa haøm soá taïi ñieåm x0 = 0.
2 0
F'(0 ) lim F(x) - F(0) lim x + x + 1 -
e 1.
= = =
- x 0 - x
-
x 0 x 0
F'(0 ) lim F(x) - F(0) lim e -
e 1.
= = =
+ x 0 + x
ì ³
= í =
î + <
Trang 5
-
® ®
· Ñaïo haøm beân phaûi cuûa haøm soá taïi ñieåm x0 = 0.
x 0
-
x 0 x 0
+
® ®
Nhaän xeùt raèng F'(0- ) = F'(0+ ) = 1 Þ F'(0) = 1.
Toùm laïi:
ex khi x 0
F'(x) f(x)
2x 1 khix 0
Vaäy F(x) laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) treân R.
Baøi toaùn 2: Xaùc ñònh caùc giaù trò cuûa tham soá ñeå F(x) laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x)
treân (a ; b).
+ Böôùc 2: Ñeå F(x) laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) treân (a ; b), ñieàu kieän laø:
F'(x)= f(x) vôùi "x Î(a; b)
Duøng ñoàng nhaát cuûa haøm ña thöùc Þ giaù trò tham soá.
Chuù yù: Neáu thay (a ; b) baèng [a ; b] thì phaûi thöïc hieän chi tieát hôn, nhö sau:
Xaùc ñònh F’(a+)
Xaùc ñònh F’(b–)
+ Böôùc 2: Ñeå F(x) laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) treân (a ; b), ñieàu kieän laø:
F'(x) f(x), x (a ; b)
F'(a ) f(a)
F'(b ) f(b)
= " Î ìï
+
= î -
=
íï
Þ giaù trò cuûa tham soá.
Baøi toaùn 3: Tìm haèng soá tích phaân
· Duøng coâng thöùc ñaõ hoïc, tìm nguyeân haøm: F(x) = G(x) + C
· Döïa vaøo ñeà baøi ñaõ cho ñeå tìm haèng soá C.
Thay giaù trò C vaøo (*), ta coù nguyeân haøm caàn tìm.

ì £
= í
î + >
ì <
= í > î
limF(x) = limF(x) = f(1) Û a + b = 1 Û b = 1 -
a (1)
® - ® +
F'(1) = lim f(x) - F(1) lim x -
1 2.
= =
® x 1 ® - x 1
- -
F'(1 ) lim F(x) - F(1) lim ax + b - 1 lim ax + 1 - a -
1 a.
= = = =
+ x 1 + x 1 + x 1
- - -
Trang 6
Ví duï 3: Xaùc ñònh a , b ñeå haøm soá:
x2 khi x 1
F(x)
ax b khix 1
laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá:
2x khix 1
f(x)
ì £
= í > î
2 khix 1
treân R.
Giaûi:
Ñeå tính ñaïo haøm cuûa haøm soá F(x) ta ñi xeùt hai tröôøng hôïp:
2x khix 1
a/ Vôùi x ¹ 1, ta coù:
F'(x)
2 khix 1
b/ Vôùi x = 1, ta coù:
Ñeå haøm soá F(x) coù ñaïo haøm taïi ñieåm x = 1, tröôùc heát F(x) phaûi lieân tuïc taïi x = 1, do
ñoù :
x 1 x 1
· Ñaïo haøm beân traùi cuûa haøm soá y = F(x) taïi ñieåm x = 1.
2
x 1 x 1
· Ñaïo haøm beân phaûi cuûa haøm soá y = f(x) taïi ñieåm x0 = 0.
x 1 x 1 x 1
+
® ® ®
Haøm soá y = F(x) coù ñaïo haøm taïi ñieåm x = 1 ÛF'(1- ) = F'(1+ ) Û a = 2. (2)
Thay (2) vaøo (1), ta ñöôïc b = –1.
Vaäy haøm soá y = F(x) coù ñaïo haøm taïi ñieåm x = 1, neáu vaø chæ neáu a = 2, b = –1.
Khi ñoù: F’(1) = 2 = f(1)
Toùm laïi vôùi a = 2, b = 1 thì F(x) laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x).
Ví duï 4: Xaùc ñònh a , b , c ñeå haøm soá: F(x)=(ax2 + bx + c)e-2x laø moät nguyeân haøm cuûa
F(x) = - (2x2 - 8x + 7)e-2x treân R.
Giaûi:
Ta coù: F'(x)=(2ax + b)e-2x - 2(ax2 + bx + c)e-2x = éë-2ax2 + 2(a - b)x + b - 2cùûe-2x
Do ñoù F(x) laø moät nguyeân haøm cuûa f(x) treân R
Û F'(x) = f(x), "xÎR
Û-2ax2 + 2(a - b)x + b - 2c = - 2x2 + 8x - 7, "x Î R
a 1 a 1
a b4 b 3
b 2c 7 c 2
ì = ì =
Û ï - = Û ï = - í í
ï - = - ï = î î
Vaäy F(x) =(x2 -3x + 2)e-2x .

BAØI TAÄP
Baøi 1. Tính ñaïo haøm cuûa haøm soá F(x) ln tg x
æ p ö = ç + ÷
2 ln(x 1) , x 0 f(x) x 1 x
F(x) cuûa f(x) x 3x 3x 7 vaø F(0) 8.
= =
æ p ö p = ç ÷ =
- + æ ö = ç +¥÷
Trang 7
2 4
è ø
Töø ñoù suy ra nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) 1
= .
cosx
Baøi 2. Chöùng toû raèng haøm soá
ln(x2 1) F(x) , x 0 x 0,x 0
ì +
ï ¹ =íï
î =
laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá
ì 2
+
ï - ¹ = 2 + íï
2
î =
1 ,x 0
Baøi 3. Xaùc ñònh a, b, c sao cho haøm soá F(x) = (ax2 + bx + c).e-x laø moät nguyeân haøm cuûa
haøm soá f(x) = (2x2 - 5x + 2)e-x treân R.
ÑS: a = –2 ; b = 1 ; c = –1.
Baøi 4. a/ Tính nguyeân haøm
3 2
+ + -
2
(x 1)
+
b/ Tìm nguyeân haøm F(x) cuûa f(x) sin2 x vaø F .
2 2 4
è ø
ÑS: a/
x2 8 F(x) x ;
= + +
2 x 1
+
b/ F(x) 1 (x sin x 1)
2=- +
Baøi 5. a/ Xaùc ñònh caùc haèng soá a, b, c sao cho haøm soá:
F(x) = (ax2 + bx + c) 2x - 3 laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá:
20x2 30x 7 3 f(x) treân khoaûng ;
2x 3 2
- è ø
b/ Tìm nguyeân haøm G(x) cuûa f(x) vôùi G(2) = 0.
ÑS: a/ a = 4; b = -2; c = 1; b/ G(x) =(4x2 - 2x +10) 2x -3 - 22.

Vaán ñeà 2: XAÙC ÑÒNH NGUYEÂN HAØM BAÈNG VIEÄC SÖÛ DUÏNG BAÛNG
CAÙC NGUYEÂN HAØM CÔ BAÛN
Ví duï 1: CMR , neáu òf(x)dx = F(x) + C thì f(ax b)dx 1 F(ax b) C vôùi a 0.
+ = + + ¹
ò + = ò + + + + .
ò + = ò + + = + = +
ò = -ò = - +
2e dx 2 d(e 1) 2 ln(e 1) C
e 1 e 1
ò = ò + + = + +
ò = ò - = - +
cot g xdx 1 1 dx cot gx x C
= æ - ö = - - + ç ÷
è ø ò ò
ò = ò = - ò = - +
Trang 8
ò + = + + ¹
a
Giaûi:
Ta luoân coù: f(ax b)dx 1 f(ax b)d(ax b) vôùi a 0.
a
AÙp duïng tính chaát 4, ta ñöôïc: f(ax b)dx 1 (ax b)d(ax b) 1 F(ax b) C (ñpcm)
a a
Ghi chuù: Coâng thöùc treân ñöôïc aùp duïng cho caùc haøm soá hôïp:
òf(t)dt = F(t) + C Þ òf(u)du = F(u) + C, vôùi u = u(x)
Ví duï 2: Tính caùc tích phaân baát ñònh sau:
a/ ò(2x + 3)3dx b/ òcos4 x.sin xdx c/
x
ò 2e dx
d/
e x
+1 (2 ln x 1)2dx
+ ò
x
Giaûi:
a/ Ta coù:
4 4
(2x 3)3dx 1 (2x 3)3d(2x 3) 1 . (2x + 3) C (2x +
3) C.
2 2 4 8
b/ Ta coù:
5
cos4 x.sin xdx cos4 xd(cos x) cos x C
5
c/ Ta coù:
x x
x
ò x ò
+ x
+ +
= = + +
d/ Ta coù:
2
(2 ln x +
1) dx 1 (2 ln x 1)2d(2 ln x 1) 1 (2 ln x 1)3 C.
x 2 2
a/ 2sin2 x dx
ò 2 b/ òcot g2xdx c/ òtgxdx d/ 3
tgx dx
ò cos x
Giaûi:
a/ Ta coù: 2sin2 x dx (1 cosx)dx x sin x C
2
b/ Ta coù: 2
sin 2
x
c/ Ta coù: tgxdx sin x dx d(cosx) ln cosx C
cosx cosx

tgx dx sin x dx d(cosx) 1 cos x C 1 C.
cosx cosx cosx 3 3cos x
ò = ò =- ò = - - + = - +
d/ Ta coù: 3
3 4 4 3
x dx
1+ x ò b/ 2
x dx 1 d(1 x ) 1 ln(1 x ) C
1 x 2 1 x 2
+ + ò ò
= = + +
= = æ - ö ç ÷
ò ò ò
- + - - è - - ø ln x 2 ln x 1 C ln x -
2 C.
= - - - + = +
= b/ f(x) sin3 x.
- + +
- - - - + e/ ln(ex + 2) + C.
- ò
- + e/ 1 (3 4lnx) 3 4lnx C.
Trang 9
a/ 2
1 dx
x - 3x + 2 ò
Giaûi:
a/ Ta coù:
2
2
+
2 2
b/ Ta coù: 2
1 dx 1 dx 1 1 dx
x 3x 2 (x 1)(x 2) x 2 x 1
x 1
-
BAØI TAÄP
Baøi 6. Tìm nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá:
a/ f(x) cos2 x ;
2
ÑS: a/ 1 (x sinx) C ;
2
+ + b/ 3 cos x 1 cos x C.
3
Baøi 7. Tính caùc tích phaân baát ñònh :
a/ òex (2 - e-x )dx; b/
x
x
e dx ;
ò 2 c/
2x x x
ò 2 .3 .5 dx
.
10 x
d/
2 5x
e 1dx;
e
- ò + e/
x
x
x
e dx
e + 2 ò
ÑS: a/ 2ex - x + C; b/
x
e C;
x
(1 ln2)2
+
-
c/
6x +
C
ln6
d/ 1 e2 6x e x C;
6
Baøi 8. Tính caùc tích phaân baát ñònh :
a/ ò x4 + x-4 + 2 dx ; b/ ò 3 x 5 xdx ; c/ òx x2 +1dx ;
d/ ò(1- 2x)2001dx; e/ 3 4 ln xdx
x
ÑS: a/
x3 1 C;
3 x
- + b/ 5 7 5 x C;
7
+ c/ 2 2 1 (x 1) x 1 C
3
+ + + ;
d/
1 2002 . (1 -
2x)C;
2 2002
6
+ + +

Vaán ñeà 3: XAÙC ÑÒNH NGUYEÂN HAØM BAÈNG PHÖÔNG PHAÙP PHAÂN TÍCH
Phöông phaùp phaân tích thöïc chaát laø vieäc söû duïng caùc ñoàng nhaát thöùc ñeå bieán ñoåi bieåu
thöùc döôùi daáu tích phaân thaønh toång caùc bieåu thöùc maø nguyeân haøm cuûa moãi bieåu thöùc ñoù
coù theå nhaän ñöôïc töø baûng nguyeân haøm hoaëc chæ baèng caùc pheùp bieán ñoåi ñôn giaûn ñaõ bieát.
Chuù yù quan troïng: Ñieåm maáu choát laø pheùp phaân tích laø coù theå ruùt ra yù töôûng cho rieâng
mình töø moät vaøi minh hoaï sau:
· Vôùi f(x) = (x3 - 2)2 thì vieát laïi f(x) = x6 - 4x3 + 4.
= = - +
f(x) 1 thì vieát laïi f(x) 1 1
= = -
= = - - +
ò ò ò ò
I (1 x) dx (1 x) dx (1 x) d(1 x) (1 x) d(1 x)
= - - - =- - - + - -
= = + -
Trang 10
· Vôùi
f(x) x2 - 4x +
5 thì vieát laïi f(x) x 3
2 x 1 x 1
- -
.
· Vôùi 2
x 5x 6 x 3 x 2
- + - -
· Vôùi f(x) 1 thì vieát laïi f(x) 1 ( 3 2x 2x 1)
2x 1 3 2x 2
+ + -
· Vôùi f(x) =(2x - 3x )2 thì vieát laïi f(x) = 4x - 2.6x + 9x.
· Vôùi f(x) = 8cos3 x.sin x thì vieát laïi f(x)= 2(cos3x + 3cosx).sin x
= 2 cos3x.sin x + 6 cosx.sin x = sin 4x - sin 2x + 3sin 2x = sin 4x + 2sin 2x.
· tg2x = (1+ tg2x) -1
· cot g2x = (1+ cot g2x) -1
x n (1 + x 2
) +
1 1
·
= x n
+
1 x 1 x
2 2
+ +
.
Ñoù chæ laø moät vaøi minh hoaï mang tính ñieån hình.
Ví duï 1: Tính tích phaân baát ñònh: I = òx(1- x)2002dx.
Giaûi:
Söû duïng ñoàng nhaát thöùc : x = 1 – (1 – x)
ta ñöôïc: x(1- x)2002 = [1- (1- x)](1- x)2002 = (1- x)2002 - (1- x)2003.
Khi ñoù:
2002 2003 2002 2003
(1 - x) 2003 (1 -
x) 2004
C.
2003 2004
= - + +
Toång quaùt: Tính tích phaân baát ñònh: I = òx(ax + b)adx, vôùi a ¹ 0
Söû duïng ñoàng nhaát thöùc: x 1 .ax 1 [(ax b) b]
a a

+ a = + - + a = ò + a+ + - ò + a +
= ò + - + - ò + - +
[ (ax b) d(ax b) (ax b) d(ax b)]
a
1 [ln ax b 1 ] C.
a ax b
= + + +
I 1 [ d(ax b) (ax b) d(ax b)] 1 [ax b ln ax b ] C.
= ò + - ò + - + = + - + +
a a
I 1 [(ax b) (ax b) ] C.
a 2 1
I dx
- - - æ ö = = = ç - ÷ - + - - - - è - - ø
è - - ø - - ò ò ò ò I 1 . dx dx 1 [ d(x 3) d(x 1) ' 1 .(ln x 3 ln x 1) C
I 1 ( x 2 x 3)dx 1 [ (x 2) d(x 2) (x 3) d(x 3)]
ò ò ò
= + + - = + + + - -
I dx .
Trang 11
Ta ñöôïc:
x(ax b) 1[(ax b) b)(ax b) 1[ (ax b) 1d(ax b) (ax b) d(ax d)]
a a
Ta xeùt ba tröôøng hôïp :
· Vôùi a = 2, ta ñöôïc: 1 2
1I
2
2
+
· Vôùi a = –1, ta ñöôïc:
1
2 2
· Vôùi a Î R {-2; -1}, ta ñöôïc:
2 1
2
+ a+ + a+
= + +
a+ a+
Ví duï 2: Tính tích phaân baát ñònh: 2
x 4x 3
=
- + ò
Giaûi:
Ta coù: 2
1 1 1 . (x 1) (x 3) 1 . 1 1
x 4x 3 (x 3)(x 1) 2 (x 3)(x 1) 2 x 3 x 1
Khi ñoù: = æç - ö÷ = - - - = - - - +
2 x 3 x 1 2 x 3 x 1 2
1 ln x -
3 C.
2 x 1
= +
-
Ví duï 3: Tính tích phaân baát ñònh: I dx
x 2 x 3
=
+ + - ò
Giaûi:
Khöû tính voâ tæ ôû maãu soá baèng caùch truïc caên thöùc, ta ñöôïc:
1 1
2 2
5 5
2 [ (x 2) 3 (x 3) 3
] C.
15
= + + - +
sinx.cos x
= ò
Giaûi:
Söû duïng ñoàng nhaát thöùc: sin2 x + cos2 x = 1,

1 sin x cos x sin x 1 sin x 2 . 1 . sin x.cos x sin x.sin x cos x sin x cos x cos x tg x
1 d tg x I ò sin x dx ò 2 dx ò d(cosx) ò è 2 ø 1 ln tg x = + x x = -+ x = + +
C. cos x cos tg cos x tg cosx 2
I dx .
I 1 . dx (1 tg x)d(tgx) d(tgx) tg xd(tgx) tgx 1 tg x C.
= ò = ò + = ò + ò = + +
cos x cosx 3
f(x) 2 x x e 3x
= d/ f(x) 1
- + - + ; b/ x 4 e lnx C;
+ + + d/ 3 3 1 (3x 4) (3x 2) C.
Trang 12
Ta ñöôïc:
2 2
2 2 2 2
1
2
2 2
+
= = + = +
Suy ra: 2 2
2
æ ö
ç ÷
22 2
cos x
= ò
Giaûi:
dx d(tgx)
cos x
Söû duïng keát quaû: 2
=
ta ñöôïc: 2 2 3
2 2
BAØI TAÄP
Baøi 9. Tìm hoï nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá:
a/ f(x) = (1- 2x2 )3 ; b/
3x 2
3
- -
= ;
x
c/
(2 x)2 f(x) ;
x
+
3x 4 3x 2
=
+ - +
ÑS: a/ x 2x3 12 x5 8 x7 C
5 7
- - + +
3x x
c/ 3 2 6 3 2 6 x 24 x x 3 x x C;
7 5
9
éë - + + ùû +
f(x) 1 ;
a/ 2
x 6x 5
=
- +
b/
f(x) 4x2 + 6x +
1 ;
2x 1
=
+
c/
f(x) 4x3 + 4x2 -
1 ;
2x 1
=
+
d/
3
f(x) 4x 9x 1;
- + +
=
2
9 4x
-
ÑS: a/ 1 ln x -
5 C;
4 x 1
+
-
b/ x2 2x 1 ln 2x 1 C;
+ - + +
2
c/ 2 x3 1 x2 1 x 1 ln 2x 1 C
3 2 2 4
+ - - + + ; d/
x2 1 ln 2x -
3 - +
C.
2 12 2x 3
+

æ p ö æ p ö ç - ÷ ç + ÷ è ø è ø
a/ (sin x + cos x)2 ; b/ cos 2x .cos 2x ;
- + ; b/ 1 sin 5x 7 1 sin x C
+ + d/ 3 x 1 si n2x 1 si n4x C;
+ + f/ 5 x 3 sin8x C.
Trang 13
3 4
c/ cos3 x;
d/ cos4 x; e/ sin4 x + cos4 x; f/ sin6 2x + cos6 2x.
ÑS: a/ 1xcos2x C
2
æ p ö æ p ö ç + ÷ + ç - ÷ +
è ø è ø
10 12 2 12
c/ 3 sin x 1 si n3x C;
4 12
+ + +
8 4 31
e/ 3 x sin 4x C;
4 16
+ +
8 64

Vaán ñeà 4: XAÙC ÑÒNH NGUYEÂN HAØM BAÈNG PHÖÔNG PHAÙP ÑOÅI BIEÁN SOÁ
Phöông phaùp ñoåi bieán soá ñöôïc söû duïng khaù phoå bieán trong vieäc tính caùc tích phaân baát
ñònh. Phöông phaùp ñoåi bieán soá ñeå xaùc ñònh nguyeân haøm coù hai daïng döïa treân ñònh lyù sau:
Ñònh lyù:
a/ Neáu òf(x)dx = F(x) + C vaø u = j(x) laø haøm soá coù ñaïo haøm thì òf(u)du = F(u) + C.
b/ Neáu haøm soá f(x) lieân tuïc thì khi ñaët x = j(t) trong ñoù j(t) cuøng vôùi ñaïo haøm cuûa noù
(j’(t) laø nhöõng haøm soá lieân tuïc, ta seõ ñöôïc: òf(x)dx = òf[j(t)].j'(t)dt.
Töø ñoù ta trình baøy hai baøi toaùn veà phöông phaùp ñoåi bieán nhö sau:
Baøi toaùn 1: Söû duïng phöông phaùp ñoåi bieán soá daïng 1 tích tích phaân baát ñònh I = òf(x)dx.
Ta thöïc hieän theo caùc böôùc:
+ Böôùc 1: Choïn x = j(t), trong ñoù j(t) laø haøm soá maø ta choïn cho thích hôïp.
+ Böôùc 2: Laáy vi phaân dx = j’(t)dt
+ Böôùc 3: Bieåu thò f(x)dx theo t vaø dt. Giaû söû raèng f(x)dx = g(t)dt
+ Böôùc 4: Khi ñoù I = òg(t)dt.
Löu yù: Caùc daáu hieäu daãn tôùi vieäc löïa choïn aån phuï kieåu treân thoâng thöôøng laø:
Daáu hieäu Caùch choïn
é p p = - £ £ êê
= £ £ p êë
é é p pù ê = Î ê- ú ê ë û
p ê=
Î p êë
é p p = - < < êê
= < < p êë
I dx .
Trang 14
a2 - x2
x a sint vôùi t
2 2
x x cost vôùi0 t
x2 - a2
ax
vôùit ; {0}
sint 2 2
axvôùi t [0; ] { }
cost 2
a2 + x2
x a tgt vôùi t
2 2
x a cot gt vôùi0 t
a x hoaëc a x
ax a x
+ -
- +
x = acos2t
(x - a)(b - x) x = a + (b – a)sin2t
Ví duï 1: Tính tích phaân baát ñònh:
2
(1 x )
=
- ò
Giaûi:
p p
Ñaët x sint; t
= - < <
2 2

dx cos tdt & dx cos tdt dt d(tgt)
Suy ra: 2 3 3 2
= = = =
(1 x ) cos t cos t
I d(tdt) tgt C x C.
- ò
= = + = +
p p ìï = - < < Þ > Þí
I x dx
x 1
= < < Suy ra: 2
x dx 2dt 2(cos t +
sin t) dt
x 1 sin 2t 8sin t cos t
1 (cot gt. 1 tgt. 1 1 )dt
4 sint cos t sint cost
1 (cot gt. 1 tdt. 1 2 1 )
4 sint cos t tgt cos t
1 [ cot gt.d(cot gt) tgt.d(tgt) 2 d(tgt)].
4 tgt
=- + +
= - + +
= - -ò + ò + ò
1 ( 1 cot g t 1 tg t 2ln tgt ) C 1 (cot g t tg t) 1 ln tgt C
4 2 2 8 2
1 x x 1 1 ln x x 1 C.
2 2
=- - + + + = - - +
cos t sin t 4cos2t 4 1 sin 2t 4 1
- -
cotg t tgt 1
- = = = = -
2 2
sint 2sin t 1 cos2t 1 cos 2t
cost 2sint.cost sin2t sin2t sin 2t
Trang 15
-
Khi ñoù:
2
1 x
Chuù yù: Trong ví duï treân sôû dó ta coù: 2 3 3
2
(1 x ) cos t vaø tgt x
1 x
- = =
-
laø bôûi:
2
2 2
cos t cost
t cost 0
2 2 cost 1 sin t 1 x
= - = - ïî
2
2
=
- ò
Giaûi:
Vì ñieàu kieän x > 1, ta xeùt hai tröôøng hôïp :
· Vôùi x > 1
Ñaët: 1x
;0 t
p
sin2t 4
dx 2 cos2tdt
sin 2t
=
ú
2 2 2 2
=- = -
2 3 3 3
-
2 2
2 2 2
=- - + +
Khi ñoù: I 1 [ cot gt.d(cot gt) tgt.d(tgt) 2 d(tgt)]
4 tgt
2 2 2 2
2 2
= -- - - +
· Vôùi x < –1 Ñeà nghò baïn ñoïc töï laøm
Chuù yù: Trong ví duï treân sôû dó ta coù: cot g2t - tg2t = 4x x2 -1 vaø tgt = x - x2 -1
laø bôûi:
4 4 2
2 2
2 2 2 2 2
cos t.sin t sin 2t sin 2t sin2t sin 2t
tgt = -
= = = -
2
1 1 1
sin2t sin 2t
= - - 2

I dx
+ ò
Ví duï 3: Tính tích phaân baát ñònh: 2 3
(1 x )
=
Giaûi:
dx dt & dx cos tdt cos tdt.
= = =
cos t (1 x ) cos t
I cos tdt sin t C x C
+ ò
= = + = +
1 cos t vaø sin t x
= =
1 x 1 x
I dx , vôùi k Z.
+ ò
= Î
Trang 16
p p
Ñaët: x tgt; t
= - < < . Suy ra:
2 2
3
2 2 3 2
+
Khi ñoù:
2
1 x
Chuù yù:
1. Trong ví duï treân sôû dó ta coù:
2 2
+ +
laø bôûi:
2
2
cos t cost
t cos t 0 x 2 2 sint tgt.cost
1 x
ì =
p p ï - < < Þ > Þí
ï = =
î +
2. Phöông phaùp treân ñöôïc aùp duïng ñeå giaûi baøi toaùn toång quaùt:
2 2 2k 1
(a x ) +
Baøi toaùn 2: Söû duïng phöông phaùp ñoåi bieán soá daïng 2 tích tích phaân I = òf(x)dx.
Ta thöïc hieän theo caùc böôùc:
+ Böôùc 1: Choïn t = y(x), trong ñoù y(x) laø haøm soá maø ta choïn cho thích hôïp
+ Böôùc 2: Xaùc ñònh vi phaân dt = y'(x)dx.
+ Böôùc 3: Bieåu thò f(x)dx theo t vaø dt. Giaû söû raèng f(x)dx = g(t)dt
+ Böôùc 4: Khi ñoù I = òg(t)dt.
Haøm soá maãu coù t laø maãu soá
Haøm soá f(x, j(x) t = j(x)
Haøm f(x) a.sin x +
b.cosx
c.sinx d.cosx e
=
+ +
t tg x (vôùi cos x 0)
= ¹
2 2
Haøm f(x) 1
(x a)(x b)
=
+ +
· Vôùi x + a > 0 & x + b > 0, ñaët:
t = x + a + x + b
· Vôùi x + a < 0 & x + b < 0, ñaët:
t = x - a + -x - b

Ví duï 4: Tính tích phaân baát ñònh: I = òx3 (2 - 3x2 )8dx.
Giaûi:
Ñaët: t = 2 - 3x2 . Suy ra: dt = 6xdx
x3(2 3x2 )8dx x2 (2 3x2)8xdx 2 t 2 t .t8. 1 dt 1 (t9 2t8)dt.
- - æ ö - = - = = ç- ÷ = -
3 3 6 18
= - = æ - ö + = - + ç ÷
è ø ò
- -
=- = = - +
= - + = - æ - + ö + = - - + + ç ÷
è ø ò
= - Þ = . Suy ra: 2 2xdx 3 t tdt,
- æ ö - = - = ç- ÷ = -
= - = æ - ö + = - + ç ÷
è ø ò
Trang 17
è ø
Khi ñoù: I 1 (t9 2t8 )dt 1 1 t10 2 t9 C 1 t10 1 t9 C
18 18 10 9 180 81
x2dx I
1 x
=
- ò
Giaûi:
Ñaët: t = 1- x Þ x = 1- t2
Suy ra:
2 2 2
dx 2tdt & x dx (1 t ) ( 2tdt) 2(t4 2t2 1)dt
1 x t
-
Khi ñoù: I 2 (t4 2t2 1)dt 2 1 t5 2 t3 t C 2 (3t4 10t2 15)t C
5 3 15
2 [3(1 x)2 10(1 x) 15] 1 x C 2 (3x2 4x 8) 1x C
15 15
=- - - - + - + =- + + - +
Ví duï 6: Tính tích phaân baát ñònh: I = òx5 3 (1- 2x2 )2dx.
Giaûi:
Ñaët:
3
t 3 1 2x2 x2 1 -
t
2
2
=-
3
5 3 2 2 2 3 2 2 2 2 7 4 x (1 2x ) dx x (1 2x ) xdx 1 t .t 3 t dt 3 (t t )dt.
2 4 8
è ø
Khi ñoù: I 3 (t7 t4 )dt 3 1 t8 1 t5 C 3 (5t6 8t3 )t2 C
8 8 8 5 320
2 2 2 3 2 2 3 [5(1 2x ) 8(1 2x )] (1 2x) C
320
= - - - - +
4 2 3 2 2 3 (20x 4x 3) (1 2x ) C.
320
= - - - +
Ví duï 7: Tính tích phaân baát ñònh: I = òsin3 x cos xdx.
Giaûi:
Ñaët: t = cosx Þ t2 = cosx
dt = sinxdx,

3 2 2
sin x cosxdx sin x cosx sinxdx (1 cos x) cosx sinxdx
= = -
= - 4 = 6 -
2
(1 t ).t.(2tdt) 2(t t )dt.
Khi ñoù: I 2 (t6 t2 )dt 2 1 t7 1 t3 C 2 (3t6 7t2 )t C
= - = æ - ö + = - + ç ÷
è ø ò
7 3 21
3 2(
cos x 7cosx) cosx C.
21
= - +
= æ - ö = - + = + - + + ç ÷
cos xdx cos x dx cot g x 1 dx cot g x.(1 cot g x) dx
sinx sin x sin x sin x sin x sin x
= = = +
= +
= + = + + = æ + + ö + ç ÷
è ø ò ò
I dx
dt 1 e dx 2dt dx ,
dx dx e -
dx 2tdt 2(1 1 )dt
e e e (1 e ) e (1 e ) 1t t 1
Trang 18
3
2
I cosx.sin xdx
1 sin x
=
+ ò
Giaûi:
Ñaët: t = 1- x Þ x = 1- t2at = 1+ sin2 x
Suy ra: dt = 2sin x cosxdx,
3 2
2 2
cosx.sin xdx sin x.cos x.sin xdx (t 1)dt 1 1 1 dt.
1 sin x 1 sin x 2t 2 t
- æ ö = = = ç - ÷ + + è ø
Khi ñoù: I 1 1 1 dt f12(t ln t C 1 [1 sin2 x ln(1 sin2 x)] C
è ø ò
2 t 2
2
8
I cos xdx .
sin x
=ò
Giaûi:
Ñaët: t = cotgx
Suy ra: 2
dt 1 dx,
sin x
= -
2 2
2 2 2 2
8 6 2 4 2 2
t 2 .(1 t 2 ) 2
dt.
Khi ñoù: I t2 .(1 t2 )dt (t6 2t4 t2 )dt 1 t7 2 t5 1 t3 C
7 5 3
7 5 3 1(
15cotg x 42cotgx 35cotg x) C.
105
= + + +
Ví duï 10: Tính tích phaân baát ñònh: x x / 2
e e
=
- ò
Giaûi:
Ñaët: t = e-x / 2
Suy ra: x / 2
x / 2
=- Û- =
2 e
x / 2
x x /2 x x /2 x / 2 x / 2
- -
-
= = = = +
- - - - -

Khi ñoù: I 2 1 1 dt 2(e x / 2 ln e x / 2 1) C.
= æç + ö÷ = - + - + + è - ø ò
2tdt e dx dx 2tdt & dx 2tdt 2tdt .
= Û = = =
I 2 dt ln t - 1 C ln 1 + e -
1 C
- + + + ò
= = + = +
t 1 t 1 1 e 1
dt 1 e dx 2dt dx ,
dx dx dx 2dt
= = =
1 e e (e- 1) e e- 1 t 1
I 2 dt 2 ln t t 1 C 2 ln e e 1 C
+ ò
= - = - + + + = - - + - + +
I dx , vôùi a 0.
+ ò .
= ¹
x a
dt 1 x dx x a x dx dx dt
æ ö + + = ç + ÷ = Û = è + ø + +
x a x a x a t
Trang 19
t 1
Chuù yù: Baøi toaùn treân ñaõ duøng tôùi kinh nghieäm ñeå löïa choïn cho pheùp ñoåi bieán t = e-x / 2 ,
tuy nhieân vôùi caùch ñaët t = ex / 2 chuùng ta cuõng coù theå thöïc hieän ñöôïc baøi toaùn.
x
I dx
1 e
=
+ ò .
Giaûi:
Caùch 1:
Ñaët: t = 1+ ex Û t2 = 1+ ex
Suy ra: x
2 x 2 2
t 1 1 e t(t 1) t 1
- + - -
Khi ñoù:
x
2 x
Caùch 2:
Ñaët: t = e-x / 2
Suy ra: x / 2
x / 2
= - Û - =
2 e
-
x x x x /2 x 2
+ + + +
Khi ñoù: 2 x /2 x
t 2
1
2
Giaûi:
Ñaët: t = x + x2 + a
Suy ra:
2
2 2 2
Khi ñoù: I dt ln t C ln x x2 a C.
t =ò = + = + + +
(x 1)(x 2)
=
+ + ò .
Giaûi:
Ta xeùt hai tröôøng hôïp:
x 1 0
· Vôùi
ì + >
í Û > - î + >
x 1
x 2 0
Ñaët: t = x +1 + x + 2

Suy ra: dt 1 1 dx ( x 1 x 2)dx dx 2dt
= æ + ö = + + + Û = ç + + ÷ + + + + è ø
2 x 1 2 x 2 2 (x 1)(x 2) (x 1)(x 2) t
Khi ñoù: I 2 dt 2 ln t C 2 ln x 1 x 2 C
ò = + = + + + +
é ù - + + - + = ê- - ú = ë - + - + û + +
= - ò = - + = - - + + - + +
f(x) x ;
x 4
- + - + - + b/
ln x 2 2x 5 C;
-- +
f(x) 1 (a 0)
= >
- - + b/
æ ö
ç + + - ÷ +
è ø
6 6 6 x x ln x 1 C.
= b/ f(x) 1
= ; c/ 3
= e/ 4
+ - +
Trang 20
t =
· Vôùi
x 1 0
ì + <
í Û < - î + <
x 2
x 2 0
Ñaët: t = -(x +1) + -(x + 2)
Suy ra: dt 1 1 dx [ (x 1) (x 2)]dx
2 (x 1) 2 (x 2) 2 (x 1)(x 2)
dx 2dt
Û = -
(x 1)(x 2) t
+ +
Khi ñoù: I 2 dt 2 ln t C 2 ln (x 1) (x 2) C
t
BAØI TAÄP
Baøi 12. Tìm hoï nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá sau:
a/ f(x) = x2 (x -1)9; b/
4
10
=
-
c/
2
f(x) x x ;
3
-
(x 2)
=
-
d/
2
4
f(x) x -
1;
x 1
=
+
ÑS: a/ 1 (x 1)12 2 (x 1)11 1 (x 10)10 C.
12 11 10
5
5
1 ln x -
2 +
C.
20 x 2
+
-
c/ 2
(x 2)
-
d/
1 ln x 2
- x 2 +
1 +
C.
2 2 x 2
x 2 1
+ +
a/
f(x) 2x ;
x x 2
1
=
+ -
b/
2 2 3
(x a )
+
; c/
f(x) 1 .
x x
3 2
=
-
ÑS: a/ 2 x3 2 (x2 1)3 C;
3 3
x C;
a x a
2 2 2
+
+
c/
3
2
a/
5
f(x) cos x ;
3
sinx
cosx
f(x) sin x +
cosx
sinx cosx
=
-
;
d/
cos3 x f(x) ;
sinx
f(x) 1 .
sin x
=
ÑS: a/ 3 3 sin2 x 3 3 sin14 x 3 3 sin8 x C;
2 14 4

b/ ln tg x C;
æ p ö ç + ÷ +
è ø
- + e/ 3 1 cotgx cot gx C.
f(x) x 1 ;
-
Trang 21
2 4
c/ 3 3 1 sin2x C;
2
- +
d/ ln sin x 1 sin2 x C;
2
- - +
3
a/
f(x) 1 ;
2x
1 e
=
+
+
b/ x
x(1 xe )
=
+
c/
x x
x x
f(x) 2 .3 ;
9 4
=
-
d/ f(x) 1 ;
xlnx.ln(lnx)
=
ÑS: a/ -ln(e-x + e-2x +1) + C; b/
x
x
ln xe +
C;
1 xe
+
c/
x x
x x
1 ,ln 3 2 C;
2(ln3 ln2) 3 2
+
- +
d/ ln ln(ln x) + C.

Vaán ñeà 5: XAÙC ÑÒNH NGUYEÂN HAØM
BAÈNG PHÖÔNG PHAÙP TÍCH PHAÂN TÖØNG PHAÀN
Coâng thöùc tính tích phaân töøng phaàn: ò udv = uv - ò vdu.
Baøi toaùn 1: Söû duïng coâng thöùc tích phaân töøng phaàn xaùc ñònh I = ò f(x)dx.
+ Böôùc 1: Bieán ñoåi tích phaân ban ñaàu veà daïng: 1 2 I= ò f(x)dx = ò f (x).f (x)dx.
+ Böôùc 2: Ñaët: 1
u f (x) du
dv f (x)dx v
ì = ì
í Þ í î = î
I x ln(x x 1)
I ln(x x 1) x dx.
+ ò
ì +
ì = + + ï ï ï = + = í Þ í ï = ï + + +
î + ï = + î
Trang 22
2
+ Böôùc 3: Khi ñoù: I= uv - ò vdu.
Ví duï 1: Tích tích phaân baát ñònh:
2
+ +
2
x 1
=
+ ò .
Giaûi:
Vieát laïi I döôùi daïng: 2
2
x 1
= + +
Ñaët :
2
2
2 2
2
2
1 x
u ln(x x 1) x 1 dx x du dv x x 1 x 1
x 1 v x 1
Khi ñoù: I = x2 +1 ln(x + x2 +1) - òdx = x2 +1 ln(x + x2 +1) - x + C.
Ví duï 2: Tích tích phaân baát ñònh: I = ò cos(ln x)dx.
Giaûi:
Ñaët :
u cos(ln x) du 1sin(ln x)dx
= ì - ì ï = í Þ í î = ï = î
x
dv dx v x
Khi ñoù: I = x cos(ln x) + òsin(ln x)dx. (1)
Xeùt J= òsin(ln x)dx.
Ñaët:
u sin(ln x) du 1 cos(ln x)dx
x
ì = ì = Þ ï í = í î îï =
dv dx v x.
Khi ñoù: J = x.sin(ln x) - ò cos(ln x)dx = x.sin(ln x) - I (2)

Thay (2) vaøo (1), ta ñöôïc: I x.cos(ln x) x.sin(ln x) I I x [cos(ln x) sin(ln x)] C.
= + - Û = + +
ì = ì = Þ ï í = í î îï =
ì = ì = - Þ ï í = í î îï =
I x [sin(ln x) cos(ln x)] C. I x [sin(ln x) cos(ln x)] C.
= - + = + +
I ln(cosx)dx.
u ln(cosx) du sin x dx
ì = ì ï ï = - í Þ í
ï = ï = î î
dx cosx dv v tgx cos x
I ln(cos x).tgx tg xdx ln(cosx).tgx 1 1 dx
= + = + æ - ö ç ÷
è ø ò ò
Trang 23
2
Chuù yù: Neáu baøi toaùn yeâu caàu tính giaù trò cuûa moät caëp tích phaân:
1 2 I = òsin(ln x)dx vaø I = ò cos(ln x)dx
ta neân löïa choïn caùch trình baøy sau:
· Söû duïng tích phaân töøng phaàn cho I1, nhö sau:
Ñaët :
u sin(ln x) du 1 cos(ln x)dx
x
dv dx v x
Khi ñoù: 1 2 I = x.sin(ln x) - òcos(ln x)dx = x.sin(ln x) - I . (3)
Ñaët :
u cos(ln x) du 1 sin(ln x)dx
x
dv dx v x
Khi ñoù: 2 1 I = x.cos(ln x) - òsin(ln x)dx = x.cos(ln x) + I . (4)
· Töø heä taïo bôûi (3) vaø (4) ta nhaän ñöôïc:
1 2
2 2
Ví duï 3: Tích tích phaân baát ñònh: 2
cos x
= ò
Giaûi:
Ñaët :
2
Khi ñoù: 2
2
cos x
=ln(cosx).tgx + tgx - x + C.
Baøi toaùn 2: Tính I = ò P(x)sinaxdx (hoaëc ò P(x) cosaxdx) vôùi P laø moät ña thöùc thuoäc
R[X] vaø aÎR*.

Ta löïa choïn moät trong hai caùch sau:
· Caùch 1: (Söû duïng tích phaân töøng phaàn). Ta thöïc hieän theo caùc böôùc sau:
= ì = ì ï í Þ í î = a ï = - a î a
æ - ö = ç ÷ = - = -
è ø ò ò ò ò
du dx dx
ì = = ì = ïï í Þ í + î = ï = ïî
u x x 1
dv cos2xdx 1vsin2x
= - ò = + + (2)
= + + +
Trang 24
+ Böôùc 1: Ñaët :
u P(x) du P'(x)dx
1 . dv sin xdx v cos x
+ Böôùc 2: Khi ñoù: I = - 1 P(x) cosa + 1 P'(x).cosax.dx.
a aò
+ Böôùc 3: Tieáp tuïc thuû tuïc treân ta seõ “khöû” ñöôïc ña thöùc.
· Caùch 1: (Söû duïng phöông phaùp heä soá baát ñònh). Ta thöïc hieän theo caùc böôùc sau:
+ Böôùc 1: Ta coù: I = ò P(x)cosaxdx = A(x)sinax + B(x) cosax + C. (1)
trong ñoù A(x) vaø B(x) laø caùc ña thöùc cuøng baäc vôùi P(x).
+ Böôùc 2: Laáy ñaïo haøm hai veá cuûa (1), ta ñöôïc:
P(x).cosax = [A'(x) + B(x)].sina +[A(x) + B'(x)].cosx (2)
Söû duïng phöông phaùp heä soá baát ñònh ta xaùc ñònh ñöôïc caùc ña thöùc A(x) vaø B(x)
+ Böôùc 3: Keát luaän.
Nhaän xeùt: Neáu baäc cuûa ña thöùc P(x) lôùn hôn hoaëc baèng 3 ta thaáy ngay caùch 1 toû ra quaù
coàng keành, vì khi ñoù ta caàn thöïc hieän thuû tuïc laáy tích phaân töøng phaàn nhieàu hôn ba laàn.
Do ñoù ta ñi tôùi nhaän ñònh chung sau:
– Neáu baäc cuûa P(x) nhoû hôn hoaëc baèng 2, ta löïa choïn caùch 1.
– Neáu baäc cuûa P(x) lôùn hôn 2, ta löïa choïn caùch 2.
Ví duï 4: Tính : I = ò x.sin2 xdx (ÑHL_1999)
Giaûi:
Bieán ñoåi I veà daïng cô baûn:
I x 1 cos2x dx 1 xdx 1 x cos2xdx 1 x2 1 x cos2xdx (1)
2 2 2 4 2
Xeùt J = ò x cos2xdx.
Ñaët :
2
2
Khi ñoù: J x sin 2x 1 sin 2xdx x sin 2x 1 cos2x C.
2 2 2 4
Thay (2) vaøo (1) ta ñöôïc: 2 1
I x x sin 2x 1 cos2x C.
4 4 8
Ví duï 5: Tính : I = ò(x3 - x2 + 2x - 3)sin xdx.

Giaûi:
(x x 2x 3)sinx [ax (3a b )x (2b c )x c d ].cosx
- + - = + + + + + + -
[ax (3a b )x (2b c )x c d ].sinx (2)
- - - - - + -
a 0 a 1
3a b 0 3a b 1
ì = ì- =
ï + = ï - = - ï ï
í + = í - = ï ï
îï + = îï- + = -
u cos(bx) du bsin(bx)dx
ì = ì = - Þ ï í í
= + ò
u sin(bx) du b cos x(bx)dx
= - ò = -
= + -
I [a.cos(bx) b.sin(bx)e C.
Û= +
Trang 25
Ta coù: I = ò(x3 - x2 + 2x - 3)sin xdx
3 2 3 2
1 1 1 1 2 2 2 2 =(a x + b x + c x + d ) cosx + (a x + b x + c x + d )sin x + C (1)
Laáy ñaïo haøm hai veá cuûa (1), ta ñöôïc:
3 2 3 2
2 1 2 1 2 1 2
3 2
1 2 1 2 1 2 1
Ñoàng nhaát ñaúng thöùc, ta ñöôïc:
2 2
1 2 2 1
1 2 2 1
1 2 2 1
(I) vaø (II)
2b c 0 2b c 2
c d 0 c d 3
Giaûi (I) vaø (II), ta ñöôïc: 1 1 1 1 2 2 2 2 a = -1, b = 1, c = 4, d =1, a = 0, b = 3, c = -2, d = -4.
Khi ñoù: I =(-x3 + x2 + 4x +1)cosx + (3x2 - 2x + 4)sin x + C.
Baøi toaùn 3: Tính I = òeax cos(bx)dx (hoaëc òeax sin(bx)) vôùi a, b ¹ 0.
+ Böôùc 1: Ñaët : ax ax
1 . dv e dx v e
a
= = î ïî
Khi ñoù: I 1 eax cos(bx) b eax sin(bx)dx. (1)
a a
+ Böôùc 2: Xeùt J = òeax sin(bx)dx.
ì = ì = Þ ï í í
Ñaët ax ax
v 1 e dv e dx
a
= = î ïî
Khi ñoù: J 1 eax sin(bx) b eax cos(bx)dx 1 eax sin(bx) b I. (2)
a a a a
+ Böôùc 3: Thay (2) vaøo (1), ta ñöôïc: I 1 eaõ cos(bx) b [1 eax sin(bx) b I]
a aa a
ax
+
2 2
a b
+
· Caùch 2: (Söû duïng phöông phaùp haèng soá baát ñònh). Ta thöïc hieän theo caùc böôùc :
+ Böôùc 1: Ta coù: I = òeax cos(bx)dx = [Acos(bx) + B.sin(bx)]eax + C. (3)
trong ñoù A, B laø caùc haèng soá.

ax ax ax
e .cos(bx) b[ Asin(bx) Bcos(bx)]e a[Acos(bx) Bsin(bx)]e
= - + + +
= + + -
A a Aa Bb 1 a b
Ba Ab 0 B b
ì = ì + = ïï + í Þ í î - = ï =
I [a.cos(bx) b.sin(bx)]e C.
= +
1 2 I = òe cos(bx)dx vaø I = òe sin(bx)dx.
u cos(bx) du bsin(bx)dx
ì = ì = - Þ ï í í
I 1 e cos(bx) b e sin(bx)dx 1 e cos(bx) b I . (3)
= + ò = +
u sin(bx) du b cos(bx)dx
I 1 e sin(bx) b e cos(bx)dx 1 e sin(bx) b I . (4)
= - ò = -
I [a.cos(bx) + b.sin(bx)]e C. I [a.sin(bx) -
b.cos(bx)]e C.
= + = +
1 2 J = òe sin (bx)dx vaø J = òe cos (bx)dx.
= ò + = ò + ò = + ò
Trang 26
ax
[(Aa Bb).cos(bx) Ba Ab)sin(bx)]e .
2 2
îï +
2 2
a b
+ Böôùc 3: Vaäy:
ax
+
2 2
a b
+
Chuù yù:
1. Neáu baøi toaùn yeâu caàu tính giaù trò cuûa moät caëp tích phaân:
ax ax
ta neân löïa choïn caùch trình baøy sau:
Ñaët: ax ax
v 1 e dv e dx
a
= = î ïî
Khi ñoù: ax ax ax
1 2
a a a a
Ñaët: ax ax
v 1 e dv e dx
a
= = î ïî
Khi ñoù: ax ax ax
2 1
a a a a
· Töø heä taïo bôûi (3) vaø (4) ta nhaän ñöôïc:
ax ax
1 2 2 2 2 2
a b a b
+ +
2. Phöông phaùp treân cuõng ñöôïc aùp duïng cho caùc tích phaân:
ax 2 ax 2
Ví duï 6: Tính tích phaân baát ñònh: I = òex .cos2 xdx.
Giaûi:
Caùch 1: Vieát laïi I döôùi daïng:
I 1 ex .(1 cos2x)dx 1 ( exdx ex .cos2xdx) 1 (ex ex .cos2xdx) (1)
2 2 2
· Xeùt J = òex .cos2xdx.

u cos2x du 2sin2xdx
dv e dx v e
ì = ì = -
í Þ í
î = î =
Ñaët: x x
Khi ñoù: J = ex cos2x + 2òex sin 2xdx (2)
u sin2x du 2cos2xdx
dv e dx v e
ì = ì =
í Þ í
î = î =
= + - Û = + +
Thay (4) vaøo (1), ta ñöôïc:
= + + + = + + +
ò + = + + +
1e (1 + cos2x) =- ( b.sin2x + 2c.cos2x)e + (a + b.cos2x +
c.sin2x)e
2
= + + +
u P(x) du P'(x)dx
î = ï = î a
Trang 27
· Xeùt: K = òex sin 2xdx.
Ñaët: x x
Khi ñoù: K = ex sin 2x - 2òex cos2xdx = ex sin 2x - 2J (3)
J ex cos2x 2(ex si n2x 2J) J 1 (cos2x 2sin 2x)ex C (4)
5
I 1 [ex 1 (cos2x 2sin 2x)ex ] C 1 (5 cos2x 2sin 2x)ex C
2 5 10
Caùch 2: x x 1Ie .(1 cos2x)dx (a b.cos2x c.sin2x)e C. (5)
2 =
x x x
x
[a (2x b) cos2x (c 2b)sin2x]e . (6)
= + + + -
2a 1 a 1/ 2
2(2c b) 1 b 1/10.
2(c 2b) 0 c 1/ 5
ì = ì =
ï + = Þ ï = í í
ï - = ï = î î
Vaäy: x 1I
(5 cos2x 2sin2x)e C.
10
Baøi toaùn 4: Tính I = ò P(x)eaxdx vôùi P laø moät ña thöùc thuoäc R[X] vaø aÎR*.
+ Böôùc 1: Ñaët : x ax
1 . dv ea dx v e
+ Böôùc 2: Khi ñoù: I = 1 P(x)eax - 1 P'(x).eax.dx.
a aò
+ Böôùc 3: Tieáp tuïc thuû tuïc treân ta seõ “khöû” ñöôïc ña thöùc.
· Caùch 2: (Söû duïng phöông phaùp heä soá baát ñònh). Ta thöïc hieän theo caùc böôùc :

+ Böôùc 1: Ta coù: I = ò P(x).eax .dx = A(x)eax + C. (1)
trong ñoù A(x) laø ña thöùc cuøng baäc vôùi P(x)
P(x).eax = [A'(x) + aA(x)].eax (2)
Söû duïng phöông phaùp heä soá baát ñònh ta xaùc ñònh ñöôïc A(x).
+ Böôùc 3: Keát luaän
Nhaän xeùt: Neáu baäc cuûa ña thöùc P(x) lôùn hôn hoaëc baèng 3 ta thaáy ngay caùch 1 toû ra quaù
coàng keành, vì khi ñoù ta caàn thöïc hieän thuû tuïc laáy tích phaân töøng phaàn nhieàu hôn ba laàn.
Do ñoù ta ñi tôùi nhaän ñònh chung sau:
· Neáu baäc cuûa P(x) nhoû hôn hoaëc baèng 2, ta löïa choïn caùch 1.
· Neáu baäc cuûa P(x) lôùn hôn 2, ta löïa choïn caùch 2.
= - ò = - +
a+ a a+ a+
I x ln x x dx x ln x x C.
= - = - +
a+ a+ a + a + ò
Trang 28
Ví duï 7: Tính : I = ò xe3xdx.
Giaûi:
u x du dx
Ñaët: 3x 3x
v 1 e dv e dx
3
= = î ïî
. Khi ñoù: I 1 xe3x 1 e3x .dx 1 xe3x 1 e3x C.
3 3 3 9
Ví duï 8: Tính : I = ò(2x3 + 5x2 - 2x + 4)e2xdx
Giaûi:
Ta coù: I = ò(2x3 + 5x2 - 2x + 4)e2xdx = (ax3 + bx2 + cx + d)e2x + C. (1)
(2x3 + 5x2 - 2x + 4)e2x = [2ax3 + (3a + 2b)x2 + (2b + 2c)x + c + 2d]e2x (2)
Ñoàng nhaát ñaúng thöùc ta ñöôïc:
2a 2 a 1
3a 2b 5 b 1
2b 2c 2 c 2
c 2d 4 d 3
ì = ì =
ï + = ï = ï Û ï í + = - í = - ï ï
îï + = îï =
Khi ñoù: I = (x3 + x2 - 2x + 3)e2x + C.
Baøi toaùn 5: Tính I = ò xa.ln xdx, vôùi aÎR {-1}.
Ñaët :
1
du 1 dx u lnx x
dv x dx v 1 x
1
a
a+
ì = ì = ïï í Þ í
î = ï =
îï a +
Khi ñoù:
1 1 1
2
1 1 1 ( 1)

= ò = - +
=æ ö ç ÷
è ø
1 x 1 - + b/ - (x 2 + 2)cos2x + sin2x + cos2x +
C;
Trang 29
Ví duï 9: Tính I = ò x2 ln 2xdx.
du dx u ln2x x
dv x dx v 1 x
ì = ì = ïï í Þ í
î = ï =
Ñaët : 2
3
3
ïî
. Khi ñoù:
3 3 3
I x ln2x x2dx x ln 2x x C.
3 3 9
BAØI TAÄP
a/ f(x) = ln x; b/ f(x) = (x2 +1)e2x ; c/ f(x) = x2 sin x;
d/ f(x) =ex sin x; e/ f(x)= x.cos x; f/ f(x)= ex (1+ tgx + tg2x).
ÑS: a/ x ln x - x + C b/ 1 (2x2 x 3)e2x C;
4
- + +
c/ (2 - x)2 cosx + 2sin x + C; d/ 1 ex (sin x cosx) C;
2
- +
e/ 2 x(x - 6)sin x + 6(x - 2) cos x + C; f/ extgx + C.
a/ f(x) = e x ; b/
2 f(x) ln x ;
x
c/ f(x)=(x +1)2 cos2 x;
d/ f(x)= e-2x .cos3x; e/ f(x) = sin(ln x); f/ f(x) = x2 + K, (K ¹ 0);
ÑS: a/ 2( x 1)e x ln2 x -+ C; b/
2lnx - 2x - +
C;
x
c/
(x + 1)3 (x + 1)2 sin 2x (x +
1) cos2x sin 2x + + - +
C;
6 4 4 8
d/
e -
2x (3sin3x 2cos3x) C;
13
- + e/ [ ] x sin(lnx) cos(lnx C;
2
+ +
f/ x x2 K + K + ln x + x2 + K +
C.
2 2
a/ f(x) = x3 ln x (HVQY_1999) b/ f(x) = (x2 + 2)sin 2x (ÑHPÑ_2000)
c/ f(x) = xsin x (ÑHMÑC_1998)
ÑS: a/ 1 x4 ln x 1 x4 C;
4 16
2 2 4
c/ -2 x3 cos x + 6xsin x +12 x cos x -12sin x + C.

Vaán ñeà 6: XAÙC ÑÒNH NGUYEÂN HAØM
BAÈNG PHÖÔNG PHAÙP DUØNG NGUYEÂN HAØM PHUÏ
YÙ töôûng chuû ñaïo cuûa phöông phaùp xaùc ñònh nguyeân haøm cuûa f(x) baèng kyõ thuaät duøng haøm phuï laø
tìm kieám moät haøm g(x) sao cho nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá f(x) ± g(x) deã xaùc ñònh hôn so vôùi
haøm soá f(x), töø ñoù suy ra nguyeân haøm F(x) cuûa haøm soá f(x).
+ Böôùc 1: Tìm kieám haøm soá g(x).
+ Böôùc 2: Xaùc ñònh caùc nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá f(x) ± g(x), töùc laø:
F(x) G(x) A(x) C
1
2
+ = + ìí
î - = +
F(x) G(x) sin x + cosx dx d(sin x -
cosx) ln sin x cosx C .
ò ò
Þ + = = = - +
- -
- = = Þ - = = +
F(x) G(x) ln sin x cosx C 1 F(x) (ln sinx cosx x) C.
F(x) G(x) x C 2
ìï + = - + í Þ = - + +
îï - = +
f(x) cos x
g(x) sin x
+ ò
+ = = Þ + = = +
f(x) g(x) cos x sin x cos x sin x cos2x
sin x cos x (cos x sin x) 2 cos x.sin x 1 1 sin 2x
Trang 30
(I)
F(x) G(x) B(x) C
+ Böôùc 3: Töø heä (I), ta nhaän ñöôïc:
F(x) 1 [A(x) B(x)] C
2 =+ +
laø hoï nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x).
Ví duï 1: Tìm nguyeân haøm haøm soá: f(x) sin x .
sinx cosx
=
-
Giaûi:
Choïn haøm soá phuï: g(x) cosx
sinx cosx
=
-
Goïi F(x) vaø G(x) theo thöù töï laø nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá f(x), g(x). Ta coù:
f(x) g(x) sin x +
cosx
sinx cosx
+ =
+
1
2
sinx cosx sinx cosx
f(x) g(x) sin x -
cosx 1 F(x) G(x) dx x C .
sinx cosx
-
ò
Ta ñöôïc: 1
2
Ví duï 2: Tìm nguyeân haøm haøm soá:
4
4 4
sin x cos x
=
+
Giaûi:
Choïn haøm soá phuï:
4
4 4
sin x cos x
=
+
4 4
4 4 1
f(x) g(x) sin x +
cs x 1 F(x) G(x) dx x C
sin x cos x
4 4 2 2
4 4 2 2 2 2 2
2
2
- -
- = = =
+ + - -

F(x) G(x) 2 cos2x dx d(sin 2x) 1 ln sin 2x 2 C
- - + ò ò
2 2
2 sin2x sin 2x 2 2 2 sin2x 2
ì + = +
ï æ + ö í + Þ = ç + ÷ + ï - = + è - ø î -
f(x) g(x) 2(sin x cos x).sin2x 2sin2x F(x) G(x) 2 sin2xdx cos2x C
f(x) g(x) 2(sin x cos x).sin2x 2cos2x.sin2x sin4x
+ = + = Þ + = =- +
- = - = - = -
Þ - = - = +
Þ = æ- + ö + í ç ÷ - = + + è ø ïî
f(x) e .
e e- =
F(x) G(x) e e dx d(e e ) ln e e C
ò ò
e e e e
ìï + = - + í Þ = - + +
îï - = +
F(x) G(x) ln e e C 1 F(x) (lne e x) C.
F(x) G(x) x C 2
Trang 31
-
Þ - = = - =- +
Ta ñöôïc:
1
2
F(x) G(x) x C
F(x) 1 x 1 ln 2 sin 2x C. F(x) G(x) 1 ln 2 sin2x C 2 2 2 2 sin 2x
2 2 2 sin2x
Ví duï 3: Tìm nguyeân haøm haøm soá: f(x) = 2sin2 x.sin 2x.
Giaûi:
Choïn haøm soá phuï: g(x) = 2 cos2 x.sin2x.
2 2
1
2 2
2
F(x) G(x) sin 4xdx 1 cos4x C
4
ò
ò
Ta ñöôïc:
1
2
F(x) G(x) cos2x C
+ = - + ìï
F(x) 1 cos2x 1 cos4x C. F(x) G(x) 1 cos4x C 2 4
4
Ví duï 2: Tìm nguyeân haøm haøm soá:
x
x x
-
Giaûi:
x
g(x) e -
.
- =
x x
e e
-
x x
x x
x x x x
x x
x x x x 1
f(x) g(x) e e
e e
x x
x x 2
f(x) g(x) e e 1 F(x) G(x) dx x C .
e e
-
-
- -
-
- -
-
-
+
+ =
-
+ -
Þ + = = = - +
- -
-
- = = Þ - = = +
-
ò
Ta ñöôïc:
x x
1 x x
2
-
-
BAØI TAÄP
Baøi 19. Tìm nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá:
a/ f(x) sin x ;
sinx cosx
=
+
b/ f(x) = sin2 x.cos2x. c/
x
f(x) e
e e- =
x x
+
ÑS: a/ 1 (x ln sinx cosx C;
2
- + + b/ 1 (si n2x 1 si n4x x) C;
- - + c/ x x 1 (x lne e ) C.
4 4
2
+ + - +

Vaán ñeà 7: NGUYEÂN HAØM CAÙC HAØM SOÁ HÖÕU TÆ
Ñeå xaùc ñònh nguyeân haøm soá höõu tæ ta caàn linh hoaït löïa choïn moät trong caùc phöông
phaùp cô baûn sau:
1. Phöông phaùp tam thöùc baäc hai
2. Phöông phaùp phaân tích
3. Phöông phaùp ñoåi bieán
4. Phöông phaùp tích phaân töøng phaàn
5. Söû duïng caùc phöông phaùp khaùc nhau.
1. PHÖÔNG PHAÙP TAM THÖÙC BAÄC HAI
Baøi toaùn 1: Xaùc ñònh nguyeân haøm caùc haøm höõu tæ döïa treân tam thöùc baäc hai
Treân cô sôû ñöa tam thöùc baäc hai veà daïng chính taéc vaø duøng caùc coâng thöùc sau:
1. 2
± ò (1)
dx 1 ln x a C, vôùi a 0
x a 2a x a
- + ò (2)
I xdx
dx xdx 1 d(x 1)
ò = ò =
ò
- - - - - - - - - - ò ò
= =
I 1 dt 1 . 1 ln t - 3 C 1 ln x - 1 -
3 C.
- + - + ò
= = += +
Trang 32
xdx = 1lnx ± a +
C
x 2
a 2
2. 2 2
-
= + ¹
x 2x 2
=
- - ò
Giaûi:
Ta coù:
2
-
4 2 2 2 2 2
x 2x 2 (x 1) 3 2 (x 1) 3
2 2
2 2
1 . 1 ln x - 1 - 3 C 1 ln x - 1 -
3 C.
2 3 x 1 3 4 3 x 1 3
= += +
- + - +
· Chuù yù: Cuõng coù theå trình baøy baøi toaùn töôøng minh hôn baèng vieäc ñoåi bieán soá tröôùc khi
aùp duïng caùc coâng thöùc (1), (2). Cuï theå:
Bieán ñoåi tích phaân ban ñaàu veà daïng: xdx xdx
=
4 2 2 2
x 2x 2 (x 1) 3
Ñaët t = x2 -1
Suy ra: 2 2 2
dt 2xdx & xdx 1 . dt .
(x 1) 3 2 t 3
- - -
Khi ñoù :
2
2 2
2 t 3 2 2 3 t 3 4 3 x 1 3

I x dx
x 1 1
æ - ö + ç ÷ æ ö = = è ø - ç ÷
I x dx 1 2 2 d x 1
ò ò
1 9 2 1 9 2 x x
æ ö æ ö è ø ç - ÷ - ç - ÷ -
è ø è ø
x 1 d x 1 d x 1
æ - ö æ - ö æ - ö ç ÷ç ÷ ç ÷
1 2 2 1 2
2 1 9 4 1 9 x x
= è ø è ø + è ø
ò ò
æ - ö - æ - ö - ç ÷ ç ÷
è ø è ø
2 4 2 4
x 1 3 1 . 1 ln x 1 9 1 .1 ln 2 2 C 2 2 2 4 4 3 x 1 3
æ ö - - = ç - ÷ - + +
è ø - +
I x dx, vôùi a 0.
+ ò
= ¹
x 1 .a x 1 [(ax b) b] 1 [(ax b) 2b(ax b) b ]
= = + - = + - + +
x 1 . (ax + b) - 2b(ax + b) +
b
é ù
1 1 2b b .a(ax b)a- (ax b)a- (ax b)a
= ê - + ú ë + + + û
é ù
I 1 . dx 2bdx b dx
ò ò ò
= ê - + ú ë + + + û
é + + + ù
1 . d(ax b) 2bd(ax b) b d(ax b)
a (ax b)a- (ax b)a- (ax b)a
ò ò ò .
= ê - + ú ë + + + û
Trang 33
3
4 2
x x 2
=
- - ò
Giaûi:
Ta coù:
2
3
2
2 2
2 2
2 4 2 4
2 2 2
2 2
2 2
2 2
2
2
2
4 2
2
2 2
1 ln x x 2 1 ln x -
2 C.
4 2 x 1
= - - + +
+
2. PHÖÔNG PHAÙP PHAÂN TÍCH
Baøi toaùn 2: Xaùc ñònh nguyeân haøm caùc haøm höõu tæ baèng phöông phaùp phaân tích
Caàn hieåu raèng thöïc chaát noù laø moät daïng cuûa phöông phaùp heä soá baát ñònh, nhöng ôû ñaây ñeå
phaân tích P(x)
Q(x)
ta söû duïng caùc ñoàng nhaát thöùc quen thuoäc.
Daïng 1: Tính tích phaân baát ñònh:
2
2
(ax b)
Söû duïng ñoàng nhaát thöùc:
2 2 2 2 2 2
2 2 2
a a a
Ta ñöôïc:
2 2 2
2
=
(ax b)a a (ax b)a
+ +
2
2 2 1
Khi ñoù:
2
2 2 1
a (ax b)a- (ax b)a- (ax b)a
2
3 2 1

I x dx.
x (1 - x) - 2(1 - x) +
1 1 2 1 = = - +
.
(1 x) (1 x) (1 x) (1 x) (1 x)
I dx 2dx dx
- - - ò ò ò
1 2 1 C.
= - + +
1 3 3 1 .
= + + +
I é 1 3 3 1 ù
dx
= ê + + + ú ë - - - - û ò
1 3 3 1 C.
= - - - - +
I dx , vôùia 0 vaø n
+ + ò nguyeân döông.
= ¹
1 1 1 . (x - x ) - (x -
x )
= =
ax bx c a(x x )(x x ) a(x x ) (x x )(x x )
+ + - - - - -
æ ö
1 1 1 .
= - a(x - x ) ç è x - x x - x
÷ ø
Trang 34
2
39
(1 x)
=
- ò
Giaûi:
Söû duïng ñoàng nhaát thöùc: x2 = (1- x)2 - 2(1- x) +1
2 2
Ta ñöôïc:
39 39 37 37 39
- - - - -
Khi ñoù: = - +
37 38 39
(1 x) (1 x) (1 x)
36 37 38
36(1 x) 37(1 x) 38(1 x)
- - -
Chuù yù: Môû roäng töï nhieân cuûa phöông phaùp giaûi treân ta ñi xeùt ví duï:
3
10
I x dx.
(x 1)
=
- ò
Giaûi:
Söû duïng ñoàng nhaát thöùc (coâng thöùc Taylo): x3 =1+ 3(x -1) + 3(x -1)2 + (x -1)3.
Ta ñöôïc:
3 2 3
10 10
x 1 + 3(x - 1) + 3(x - 1) + (x -
1)
=
(x 1) (x 1)
- -
10 9 8 7
(x 1) (x 1) (x 1) (x 1)
- - - -
Khi ñoù: 10 9 8 7
(x 1) (x 1) (x 1) (x 1)
9 8 7 6
9(x 1) 8(x 1) 7(x 1) 6(x 1)
- - - -
Daïng 2: Tính tích phaân baát ñònh: n 2 n
(ax bx c)
Ta xeùt caùc tröôøng hôïp sau:
· Tröôøng hôïp 1: Neáu n = 1
Ta xeùt ba khaû naêng cuûa D = b2 - 4ac
Ÿ Khaû naêng 1: Neáu D > 0
Khi ñoù: 2 1
2
1 2 1 2 1 2
1 2 1 2

æ ö
I 1 1 1 dx 1 [ln x x ln x x ] C.
Do ñoù: 1 1 2
= - = - - - + a(x - x ) ç x - x xx - ÷ 1 2 è a(x 1 2 ø 1 -
x
2
1 .ln x -
x C.
= +
a(x x) x x
- -
I 1 dx 1 C.
- - ò
= =- +
a (x x ) a(x x )
æ p p ö = Îç- ÷
= + ta ñöôïc: n n 2 n
u 1 du 2ntdt
é ù ì + - ü
I 1 t 2n t dt 1 t 2n [(t k) k]dt
ò ò
= ê + ú = í + ý ë + + û î + + þ
ì é ùü
1 t 2n a (t k) ò dt k (t k) ò
dt
(t k)
1 t 2n(I kI ) 2nkI t (2n a )I
a (t k) (t k)
2(n 1(kI t (2n 2 a )I (1)
= í + ê - úý î + ë + + ûþ
é ù
= ê + - ú Û = + - ë + û +
Û - = + - -
f(x) 1
Trang 35
ò
1
1 2 2
Ÿ Khaû naêng 2: Neáu D = 0
Khi ñoù: 2 2
0
1 1
=
ax bx c a(x x )
+ + -
Do ñoù: 2
0 0
Ÿ Khaû naêng 3: Neáu D < 0
Khi ñoù thöïc hieän pheùp ñoåi bieán x tgt vôùit ; .
2 2
è ø
· Tröôøng hôïp 2: Neáu n > 1
Baèng pheùp ñoåi bieán t x b ,
2a
I 1 dt
a (t k)
=
+ ò
Söû duïng phöông phaùp tích phaân töøng phaàn vôùi pheùp ñaët:
2 n 2 n 1
(t k) (t k)
dv dt v t
+
ì = ì = - ï + Þ ï + í í
îï = îï =
Khi ñoù:
2 2
n n 2 n 2 n1 n 2 n 2 n 1
a (t k) (t k) + a (t k) (t k) +
n 2 n 2 n 2 n 1
n
n 2 n n n 1 n 1 2 n n
n 1
n 2 n 1 n 1
(t k)
+
+ +
-
- +
+
Chuù yù: Vì coâng thöùc (1) khoâng ñöôïc trình baøy trong phaïm vi saùch giaùo khoa 12, do ñoù caùc
em hoïc sinh khi laøm baøi thi khoâng ñöôïc pheùp söû duïng noù, hoaëc neáu trong tröôøng hôïp ñöôïc
söû duïng thì ñoù laø moät coâng thöùc quaù coàng keành raát khoù coù theå nhôù ñöôïc moät caùch chính
xaùc, do vaäy trong töôøng hôïp n > 1 toát nhaát caùc em neân trình baøy theo caùc böôùc sau:
– Böôùc 1: Xaùc ñònh I1.
– Böôùc 2: Xaùc ñònh In theo In–1 (chöùng minh laïi (1)).
– Böôùc 3: Bieåu dieãn truy hoài In theo I1 ta ñöôïc keát quaû caàn tìm.
Ví duï 5: Cho haøm soá 2
x (m 2)x 2m
=
- + +

Tính tích phaân baát ñònh I = ò f(x)dx bieát:
a/ m = 1 b/ m = 2.
Giaûi:
I f(x)dx dx dx dx d(x 2) d(x 1)
- + - - - - ò ò ò ò ò ò
ln x 2 ln x 1 C ln x 2 C.
a/ Vôùi m = 1: 2
x 3x 2 x 2 x 1 x 2 x 1
= - - - + = +
I f(x)dx dx 1 C.
- - ò ò
= = =- +
I dx
J dx dx 1 1 1 dx 1 ln x 1 C.
æ ö + = = = ç - ÷ = + + + + + è + + ø + ò ò ò
u 1 du 2ntdt
J t 2n t dt t 2n [(t 1) 1]dt
- - - - ò ò
= + = +
t 2n é dt dt ù
t 2n(J J )
= + ê + ú = + + - ë - - û - ò ò
2nJ t (2n 1)J 2(n 1)J t (2n 3)J
Û =- - - Û - = - - -
+ - -
(t 1) (t 1)
- -
J 1 t 2n 3)J
é ù
Û = - = ê + - ú - ë - û
é ù ì ì æ öüü = = - ê + ú = - í + í- ç + ÷ýý ë - û î - î è - øþþ
I J 1 t 3J 1 t 3 1 t J
x + 2 3(x + 2) 3 ln x +
1 C.
= - + + +
Trang 36
- -
= = = - = -
-
x 1
-
b/ Vôùi m = 2: 2
(x 2) x 2
(x 4x 3)
=
+ + ò
Giaûi:
J dx
Xeùt tích phaân n 2 n
(x 4x 3)
=
+ + ò , ta laàn löôït coù:
· Vôùi n = 1
1 2
x 4x 3 (x 1)(x 3) 2 x 1 x 3 3 x 3
· Vôùi n > 1
Baèng phöông phaùp tích phaân töøng phaàn vôùi pheùp ñaët:
2 n 2 n 1
(t 1) (t 1)
dv dt v t
+
ì = ì = - ï - Þ ï - í í
îï = îï =
Khi ñoù:
2 2
- +
n 2 n 2 n1 2 n 2 n 1
(t 1) (t 1) + (t 1) (t 1) +
2 n 2 n 2 n 1 2 n n n 1
(t 1) (t 1) (t 1) + (t 1) +
n 1 2 n n n 2 n 1 n 1
n n 2 n 1 n 1
2(n 1) (t 1)
- -
J 1 t J
= - æ + ö ç - ÷ è ø
Do ñoù: 2 2 1
2 t 1
3 2 2 2 2 2 2 1
4 (t 1) 4 (t 1) 2 t 1
2 2 2
4(x 4x3 ) 8(x 4x 3) 16 x 3
+ + + + +

I ( l x +m
)dx , vôùi a 0
+ + ò vaø n nguyeân döông.
Daïng 3: Tính tích phaân baát ñònh: n 2 n
= ¹
(ax bx c)
Phaân tích: x l (2ax b) l
b
l +m= + +m-
2a 2a
I (2ax b)dx ( b) dx
l + l
= + m-
+ + + + ò ò
Khi ñoù: n 2 n 2 n
2a (ax bx c) 2a (ax bx c)
+ + ò thì:
J (2ax b)dx ln ax bx c C.
l + l
= = + + +
J (2ax b)dx . 1 C.
l + l
= =- +
+ + - + + ò
+ + ò vaø baäc cuûa P(x) lôùn hôn 1.
l +m
I Q(x)dx l (2ax + b)dx ( l
b) dx .
+ + + + ò ò ò
= + + m -
l + m æ ö
x 1 A B .
= ç + ÷ + + è - - ø
ax bx c a x x x x
I (2x - 10x + 16x -
1)dx
Trang 37
J (2ax b)dx
l +
=
a/ Vôùi n 2 n
2a ((ax bx c)
Ÿ Neáu n = 1, ta ñöôïc:
2
+ + ò
1 2
2a ax bx c 2a
Ÿ Neáu n > 1, ta ñöôïc:
n 2 n 2 n 1
2a (ax bx c) 2a(n 1) (ax bx c) -
K dx ,
b/ Vôùi n 2 n
(ax bx c)
=
+ + ò ta ñaõ bieát caùch xaùc ñònh trong daïng 2.
Toång quaùt heïp: Trong phaïm vi phoå thoâng chuùng thöôøng gaëp tích phaân baát ñònh sau:
I P(x)dx , vôùi a 0
= ¹
2
ax bx c
– Böôùc 1: Thöïc hieän pheùp chia ña thöùc P(x) cho ax2 + bx + c ta ñöôïc:
2 2
2 2
P(x) Q(x) x
ax bx c ax bx c
Q(x) . 2ax b ( b). 1
2a ax bx c 2a ax bx c
= +
+ + + +
= + l + + m - l
+ + + +
– Böôùc 2: Khi ñoù: 2 2
2a ax bx c 2a ax bx c
Chuù yù: Tuy nhieân trong tröôøng hôïp ax2 + bx + c coù D = b2 - 4ac > 0
(ta ñöôïc hai nghieäm x1, x2), chuùng ta thöïc hieän pheùp phaân tích:
2
1 2
3 2
2
x 5x 6
=
- + ò
Giaûi:

2x - 10x + 16x - 1 2x 4x -
1 2 A B
= + = + +
2x - 10x + 16x -
1 2x 11 7 .
= + -
= é + - ù = + - - - + êë - - úû ò
I (a x b x c )dx , vôùi a 0
-a + + ò
= ¹
ax bxc A B C
(x )(ax bx c) x x x x x
æ ö
I A B C dx Aln x Bln x x Cln x x C
= ç + + ÷ = -a + - + - + è x -a x - x x - x
ø
ax bxc A B C
(x )(ax bx c) x x x (x x )
é ù
I A B C dx Aln x Bln x x C C.
= ê + + = -a + - - + ë x - a x - x (x - x ) ú û x -
x
Trang 38
Bieán ñoåi:
3 2
2 2
x 5x 6 x 5x 6 x 3 x 2
- + - + - -
Ta ñöôïc haèng ñaúng thöùc: 4x -1 = A(x - 2) + B(x - 3) (1)
Ñeå xaùc ñònh A, B trong (1) ta coù theå löïa choïn moät hai caùch sau:
· Caùch 1: Phöông phaùp ñoàng nhaát heä soá
Khai trieån veá phaûi cuûa (1) vaø saép xeáp ña thöùc theo thöù töï baäc luøi daàn, ta coù:
4x -1 = (A + B)x + 2A - 3B.
A B 4 A 11
2A 3B 1 B 7
ì + = ì =
í Û í î- - = - î = -
· Caùch 2: Phöông phaùp trò soá rieâng:
Laàn löôït thay x = 2, x = 3 vaøo hai veá cuûa (1) ta ñöôïc heä:
A 11
B 7
= ìí
î = -
Töø ñoù suy ra:
3 2
2
x 5x 6 x 3 x 2
- + - -
Do ñoù: I 2x 11 7 dx x2 11ln x 3 7ln x 2 C.
x 3 x 2
Nhaän xeùt: Trong ví duï treân vieäc xaùc ñònh caùc heä soá A, B baèng hai caùch coù ñoä phöùc taïp
gaàn gioáng nhau, tuy nhieân vôùi baøi toaùn caàn phaàn tích thaønh nhieàu nhaân töû thì caùch 2
thöôøng toû ra ñôn giaûn hôn.
2
+ +
1 1 1
n 2
(x )(ax bx c)
Ta xeùt ba khaû naêng cuûa D = b2 – 4ac
· Khaû naêng 1: Neáu D > 0, khi ñoù: 2
1 2 ax + bx + c = a(x - x )(x - x )
Khi ñoù phaân tích:
21
1 1
2
1 2
+ +
= + +
-a + + - a - -
Do ñoù: 1 2
1 2
ò
· Khaû naêng 2: Neáu D = 0, khi ñoù: 2 2
0 ax + bx + c = a(x - x ) .
21
1 1
2 2
0 0
+ +
= + +
-a + + - a - -
Do ñoù: 2 0
0 0 0
ò
· Khaû naêng 3: Neáu D < 0

ax bxc A B(2x b) C
+ + +
= + +
I A B(2ax b C dx
é + ù = ê + + ú ë - a + + + + û ò
Aln x Bln | ax bx c | C dx
dx Jax bx c
I P(x)dx , vôùi a 0
-a + + ò vaø baäc cuûa P(x) lôùn hôn 2.
= ¹
P(x) Q(x) a x b x c
= +
I Q(x)dx (a x b x c )dx
-a + + ò ò
I (x + 2x -
2)dx
x + 2x - 2 x + 2x - 2 A B(2x -
1) C
= = + +
x 1 (x 1)(x x 1) x 1 x x 1 x x 1
(A 2B)x (A B C)x A B C
+ - - - + - +
x + 2x - 2 1 2x -
1
x 1 x 1 x x 1
I 1 2x 1 dx ln | x 1| ln | x x 1| C ln x x 1 C
æ - ö - + = ç- + ÷ = - + + - + + = + è + - + ø + ò
I dx , vôùi a b
+ + ò
= ¹
Trang 39
2
1 1 1
2 2 2
(x )(ax bx c) x ax bx c ax bx c
-a + + - a + + + +
Do ñoù: 2 2
x ax bx c ax bx c
2
2
ax bx c
= -a + + + +
+ + ò
Trong ñoù tích phaân =
2
+ + ò ñöôïc xaùc ñònh baèng pheùp ñoåi bieán x = tgt vôùi
æ p p ö Îç- ÷
è ø
t ;
2 2
.
Toång quaùt: Tính tích phaân baát ñònh:
2
(x )(ax bx c)
– Böôùc 1: Thöïc hieän pheùp chia ña thöùc P(x) cho (x - a)(ax2 + bx + c) ta ñöôïc:
2
+ +
1 1 1
2 2
(x )(ax bx c) (x )(ax bx c)
-a + + -a + +
– Böôùc 2: Khi ñoù:
2
+ +
1 1 1
2
(x )(ax bx c)
= +
2
3
x 1
=
+ ò
Giaûi:
Bieán ñoåi:
2 2
3 2 2 2
+ + - + + - + - +
2
3
x 1
=
+
A 2B 1 A 1
A B C 2 B 1
A B C 2 C 0
ì + = ì = -
ï- + + = Û ï = í í
ï - + = - ï = î î
Khi ñoù:
2
=- +
3 2
+ + - +
Do ñoù:
2
2
2
x 1 x x 1 x 1
Daïng 5: Tính tích phaân baát ñònh: 2 2
(x a) (x b)

é + - + ù é ù = ê ú = ê - ú + + ë - + + û - ë + + û
é ù
= ê - + ú - ë - + + + û
é + - - ù
= - + - ê ë + - + + + ú û
2 1 1 1
=
é æ ö ù ê - ç - ÷ + ú ë + - è + + ø + û
I 1 1 2 1 1 1
ò ò ò ò
(a b) (x b) a b x b x a (x a)
1 1 2 (ln | x b | ln | x a) | 1 C
(a b) x a a b x a
1 2 ln x a 2x a b C.
(a b) a b x b (x b)(x a)
I dx
é + - + ù ê ú = ë û
2
1 (x 3) (x 1) 1 1 1
é + - + ù é ù = ê ú = ê - ú + + ë + + û ë + + û
1 é 1 2 1 ù 1 é 1 (x + 3) - (x + 1) 1
ù
4 (x 1) (x 1)(x 3) (x 3) 4 (x 1) (x 1)(x 3) (x 3)
1 dx dx dx dx
4 (x 1) x 1 x 3 (x 3)
1 1 ln | x 1| ln | x 3 | 1 C 1 ln x 3 2x 4 C.
4 x 1 x 3 4 x 1 (x 1)(x 3)
= ê - + ú = ê - + ú ë + + + + û ë + + + + û
é ù
ò ò ò ò
= ê - + + ú ë + + + + û
Trang 40
2 2
é + - + ù = êë - úû
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2
(x a) (x b) 1,
a b
1 (x a) (x b) 1 1 1
(x a) (x b) (a b)(x a)(x b) (a b) x b x a
1 1 2 1
(a b) (x b) (x a)(x b) (x a)
1 1 2 . (x a) (x b) 1
(a b) (x b) a b (x b)(x a) (x a)
1 1
(a b)
- (x b) 2 a b x b x a (x a)
2
ta ñöôïc:
2 2 2
2
2
é æ öù
= ê - ç - + ÷ú - ë + - è + + + øû
= é- - + - + - ù + - êë + - + úû
é + + + ù
= ê - ú + - ë - + + + û
(x 3) (x 1)
=
+ + ò
Giaûi:
2 2
(x 3) (x 1) 1,
2 2
(x 3) (x 1) 2(x 3)(x 1) 4 x 1 x 3
2 2 2 2
2 2
é ù é + + ù = ê- - + + + - ú + = ê - ú + ë + + û ë + + + û
Daïng 6: Tính tích phaân baát ñònh: I P(x) dx
Q(x)
= ò

= ò baèng phöông phaùp heä soá baát ñònh.
P(x) D(x) E(x)
Q(x) A (x).B (x).C (x)
D(x) a .A'(x) a b .B'(x) b c .C'(x) c
å å å
= A (x) A (x) = B (x) B (x) = C (x) C (x)
é ù é ù é ù
I D(x)dx a .A'(x) a b .B'(x) b c .C'(x) c
ò åò åò åò
= + ê + ú + ê + ú + ê + ú
= A (x) A (x) = B (x) B (x) = C (x) C (x)
ë û ë û ë û
- + +
Trang 41
Giaû söû caàn xaùc ñònh: I P(x)
Q(x)
– Böôùc 1: Phaân tích Q(x) thaønh caùc ña thöùc baát khaû quy, giaû söû laø:
Q(x) = An (x).Bm(x).Ck (x), vôùi n, m, kÎN.
trong ñoù A(x), B(x), C(x) laø ña thöùc baäc hai hoaëc baäc nhaát.
– Böôùc 2: Khi ñoù ta phaân tích:
n m k
n i i m j j k t t
1 2 1 2 1 2
i i j j t j
i 1 j 1 t 1
= +
é ù é ù é ù
= + ê + ú + ê + ú + ê + ú
ë û ë û ë û
Xaùc ñònh ñöôïc caùc heä soá i i j j t t
1 2 1 2 1 2 a , a , b , b , c ,c baèng phöông phaùp heä soá baát ñònh.
– Böôùc 3: Xaùc ñònh:
n i i m j j k t t
1 2 1 2 1 2
i i j j t t
i 1 j 1 t 1
3 2
3 2
I x 3x x 6dx.
x 5x 6x
=
- + ò
Giaûi:
Ta coù:
3 2 2 2
3 2 3 2
x - 3x + x + 6 = 1 2x - 5x + 6 1 2x - 5x +
6 1 a b c + = + = + + +
.
x 5x 6x x 5x 6x x(x 2)(x 3) x x 2 x 3
- + - + - - - -
Ta ñöôïc haèng ñaúng thöùc: 2x2 - 5x + 6 = a(x - 3)(x - 2) + bx(x - 3) + cx(x - 2) (1)
Ñeå xaùc ñònh a, b, c trong (1) ta coù theå löïa choïn moät trong hai caùch sau:
· Caùch 1: Phöông phaùp ñoàng nhaát heä soá
2x2 - 5x + 6 = (a + b + c)x2 -(5a + 3b + 2c)x + 6a
a b c 2 a 1
5a 3b 2c 5 b 2
6a 6 c 3
ì + + = ì =
ï + + = Û ï = - í í
ï = ï = î î
Laàn löôït thay x = 0, x = 2, x = 3 vaøo hai veá cuûa (1) ta ñöôïc heä:
a 1
b 2
c 3
= ìï
= - íï
î =

= æ + - + ö = + - - + + + ç - - ÷ è ø ò
I 7x -
4 dx.
7x4 7x 4 a b c
x 3x 2 (x 2)(x 1) (x 1) x 1 x 2
7x 4 1 2 2 .
x 3x 2 (x 1) x 1 x 2
I é 1 2 2 ù
dx 1 2 ln | x 1| 2 ln | x 2 | C.
= ê + - ú = - + + - + + + ë - - + û - ò
I x - x - 4x -
1
x x 4x 1 x x 4x 1 a b c d
- - - - - -
= = + + +
(c d)x (b c)x (a b)x a
+ + - + + +
Trang 42
Khi ñoù:
3 2
3 2
x - 3x + x +
6 = 1 1 2 3
+ - +
x 5x 6x x x 2 x 3
- + - -
Do ñoù: I 1 1 2 3 dx x ln | x | 2 ln | x 2 | 3ln | x 3 | C.
x x 2 x 3
x 3x 2
=
- + ò
Giaûi:
- -
Ta coù: 3 2 2
= = + +
- + + - - - +
2
(b c)x (a b 2c)x 2a 2b c
+ + + - + - +
2
(x 2)(x 1)
=
- -
Ta ñöôïc haèng ñaúng thöùc: 7x - 4 = a(x + 2) + b(x -1)(x + 2) + c(x -1)2 (1)
Ñeå xaùc ñònh a, b, c trong (1) ta coù theå löïa choïn moät trong hai caùch sau:
· Caùch 1: Phöông phaùp ñoàng nhaát heä soá:
7x - 4 = (b + c)x2 + (a + b - 2c)x + 2a - 2b + c.
b c 0 a 1
a b 2c 7 b 2
2a 2b c 4 c 2
ì + = ì =
ï + - = Û ï = í í
ï - + = - ï = - î î
Laàn löôït thay x = 0, x = 2, x = 3 vaøo hai veá cuûa (1) ta ñöôïc heä:
a 1
b 2
c 2
= ìï
= íï
î = -
-
Khi ñoù: 3 2
= + -
- + - - +
Do ñoù: 2
(x 1) x 1 x 2 x 1
3 2
4 3
x x
=
+ ò
Giaûi:
Ta coù:
3 2 3 2
4 3 3 3 2
x x x (x 1) x x x x 1
- + +
3 2
3
x (x 1)
=
+

x x 4x 1 1 3 2 1 .
=- - + -
I 1 3 2 1 dx 1 3 2 ln | x | ln | x 1 | C.
= æ- - + - ö = + + - + + ç + ÷ è ø ò
I x .P(x )dx .
I 1 P (t)dt (1)
dt 4x dx & x dx 1 . dt
= + - -
I 1 [(t + 2) - (t - 2)] dt 1 é 1 2 1 ù
dt
= = ê - + ú - ë - - + û ò ò
Trang 43
c d 1 a 1
b c 1 b 3
a b 4 c 2
a 1 d 1
ì + = ì = -
ï + = - ï = - ï Û ï í + = - í = ï ï
îï = - îï = -
Khi ñoù:
3 2
- - -
4 3 3 2
x x x x x x 1
+ +
Do ñoù: 3 2 2
x x x x 1 2x x
3. PHÖÔNG PHAÙP ÑOÅI BIEÁN
Baøi toaùn 3: Xaùc ñònh nguyeân haøm caùc haøm höõu tæ baèng phöông phaùp ñoåi bieán
Neáu tích phaân caàn xaùc ñònh coù daïng:
k1 k
k
Q(x )
-
= ò
· Böôùc 1: Ñaët t = xk, suy ra : dt = kxk-1dx,
Khi ñoù: 1
k Q (t)
1
= ò
Trong ñoù P1(x), Q1(x) laø ña thöùc coù baäc nhoû hôn P(x) vaø (Q(x).
· Böôùc 2: Tính tích phaân trong (1)
Chuù yù: Ta nhaän thaáy söï môû roäng töï nhieân vôùi daïng: I j '(x).P[ j
(x)]dx
Q[ (x)]
=
j ò
trong ñoù j(x) laø moät ña thöùc baäc k cuûa x.
Khi ñoù ñaët t = j(x).
3
8 2
I x dx .
(x 4)
=
- ò
Giaûi:
Ñaët t = x4
Suy ra:
3
3
= =
8 2 2 2
(x 4) 4 (t 4)
- -
I 1 dt
Khi ñoù: 2 2
4 (t 4)
=
- ò
Söû duïng ñoàng nhaát thöùc: 2 11
[(t 2) (t 2)]
16
Ta ñöôïc:
2
2 2 2 2 2
64 (t 4) 64 (t 2) t 4 (t 2)

1 é 1 1 ln t - 2 1 ù
C
64 t 2 2 t 2 t 2
1 2t 1 ln t 2 C 1 2x 1 ln x 2 C
64 t 4 2 t 2 64 x 4 2 x 2
= ê- - - ú + ë - + + û
æ - ö æ - ö
= - ç - ÷ + = - çç - ÷÷ + è - + ø è - + ø
I (2x 1)dx
I (2x 1)dx
dt (2x 1)dx & (2x 1)dx dt .
= + =
I dt ln t - 2 C ln x + x -
1 C.
- + + + ò
= = + = +
-
1 1 1 1
- -
I = x 1 dx =
x dx. x x 1 x 2 x
1 1 dt 1 1 dx & x dt
æ ö - = ç - ÷ = è ø æ ö - ç + ÷
1 I dt 1 ln t - 2 C 1 x + -
2 = = += ln x 1 +
C t 2 2 2 t 2 2 2 x 1
- + + +
Trang 44
4 4
2 8 4
+
Ví duï 14: Tính tích phaân baát ñònh: 4 3 2
x 2x 3x 2x 3
=
+ + + - ò
Giaûi:
+
Bieán ñoåi I veà daïng: 2 2
(x x 1) 4
=
+ + - ò
+
Ñaët t = x2 + x +1. Suy ra: 2 2 2
(x x 1) 4 t 4
+ + - -
Khi ñoù:
2
2 2
t 4 t 2 x x 3
2
4
I x 1dx.
x 1
=
+ ò
Giaûi:
Bieán ñoåi I veà daïng:
2 2
2
2
2
+ æ + ö - ç ÷
è ø
ò ò
Ñaët t x 1 .
= + Suy ra:
x
2
2 2 2
x 1 t 2 x
x
è ø
Khi ñoù: 2
x
ò
2
2
1 ln x - x 2 +
1 C.
2 2 x x 2 1
= +
+ +
4. SÖÛ DUÏNG PHÖÔNG PHAÙP TÍCH PHAÂN TÖØNG PHAÀN
Phöông phaùp naøy cho duø ít ñöôïc söû duïng ñoái vôùi caùc haøm soá höõu tæ, tuy nhieân trong
nhöõng tröôøng hôïp rieâng noù laïi toû ra khaù hieäu quaû.
Baøi toaùn 4: Xaùc ñònh nguyeân haøm caùc haøm höõu tæ baèng phöông phaùp tích phaân töøng
phaàn

I P(x)Q'(x)dx
Neáu tích phaân caàn xaùc ñònh coù daïng: n
ì =
ï ì í Þ í = î ïî
ì = ì =
ï Þ ï í = í = ï - ï - î î
u x du 3x dx
dv xdx v 1
J x dx 1 [(x + 1) + (x - 1)] dx 1 é 1 2 1 ù
dx
= = = ê + + ú - - ë - - + û
(x 1) 4 (x 1) 4 (x 2) x 1 (x 1)
1 æ 1 ln x - 1 1 ö C 1 æ ln x - 1 2x ö
C (2)
4 x 1 x 1 x1 4 x 1 x 1
= ç - + - ÷ + = ç - ÷ + è - + + ø è + - ø
= - + ç - ÷ + - è + - ø
u x du dx
dv xdx v 1
ì = ì =
ï Þ ï í = í = - îï - îï -
J x 1 dx x 1 ln x 1 .
- - - + ò
= - + =- +
Trang 45
Q (x)
= ò
· Böôùc 1: Ñaët
u P(x)
n
du
dv Q'(x)dx v
Q (x)
· Böôùc 2: Khi ñoù: I = uv - ò vdu.
4
2 3
I x dx
(x 1)
=
- ò
Giaûi:
3
2 3
I x .xdx
(x 1)
=
- ò
Ñaët :
3 2
2 3 2 3
(x 1) 4(x 1)
Khi ñoù:
3 2
2 3 2 2
I x 3 x dx (1)
- - ò
= +
4(x 1) 4 (x 1)
Xeùt tích phaân:
2 2
2 2 2 2 2 2 2
2
ò ò ò
3
2 3 2
I x 3 æ ln x - 1 2x ö
C.
4(x 1) 16 x 1 x 1
Chuù yù: Ñeå xaùc ñònh tích phaân J chuùng ta cuõng coù theå tieáp tuïc söû duïng tích phaân töøng phaàn
nhö sau:
Ñaët:
2 2 2
(x 1) 2(x 1)
Khi ñoù: 2 2 2
-
2(x 1) 2 x 1 2(x 1) 4 x 1
5. SÖÛ DUÏNG CAÙC PHÖÔNG PHAÙP KHAÙC NHAU
Trong phaàn naøy chuùng ta seõ ñi xem xeùt moät vaøi baøi toaùn ñöôïc giaûi baèng caùc phöông
phaùp khaùc nhau vaø muïc ñích quan troïng nhaát laø caàn hoïc ñöôïc phöông phaùp suy luaän
qua moãi ví duï.

I x 3 dx.
- + + + + + +
= + + =
=- + -
= æ- + - ö = - + + - + + ç + + ÷ è ø ò
3 ln(x2 ) 4 ln(x2 1) 5 ln(x2 2) C.
2 2
I dx .
dt 3x dx & dx 1 . dt
= =
1 a bt ct (a b)t (2a b c)t a
+ + + + +
= + + =
I 1 t t dt ln | t | 1 ln | t 1| 1 . 1 C
= ê - - ú = - + + + ë + + û + ò
Trang 46
2
-
4 2
x(x 3x 2)
=
+ + ò
Giaûi:
Ñaët t = x2 . Suy ra: dt 2xdx & x3 (2 3x2 )8dx t -
3 dt.
t(t 1)(t 2)
= - =
+ +
Khi ñoù: I t -
3 dt
t(t 1)(t 2)
=
- + ò
Ta coù:
t 3 a b c (a b c)t2 (2a 2b c)t 2a
t(t 1)(t 2) t t 1 t 2 t(t 1)(t 2)
+ - + + + +
a b c 0 a 3/ 2
3a 2b c 1 b 4
2a 3 c 5/ 2
ì + + = ì = -
ï + + = Û ï = í í
ï = - ï = - î î
Khi ñoù: t3 -
31 4 5 1
t(t 1)(t 2) 2t t 1 2t 2
+ + + +
Do ñoù: I 3 1 4 5 1 dt 3 ln t 4 ln | t 1| 5 ln | t 2 | C
2t t 1 2t2 2 2
=- + + - + +
t(x 1)
=
+ ò
Giaûi:
Ñaët t = x3 . Suy ra: 2
6 2 2 2
x(x 1) 3 t(t 1)
+ +
I 1 dt
Khi ñoù: 2 2
3 t(t 1)
=
+ ò
Ta coù:
4 2
2 2 2 2 2 2 2
t(t 1) t t 1 (t 1) t(t 1)
+ + + +
Ñoàng nhaát, ta ñöôïc:
a b 0 a 1
2a b c 0 b 1
a 1 c 1
ì + = ì =
ï + + = Û ï = - í í
ï = ï = - î î
dt 1 t t .
Þ = - -
2 2 2 2 2
t(t 1) t t 1 (t 1)
+ + +
é ù
Do ñoù: 2
2 2 2 2
t t 1 (t 1) 2 2 t 1
2 6
2 2 6 6
1 (ln t 1 ) C 1 (ln x 1 ) C.
2 t 1 t 1 2 x 1 x 1
= + + = + +
+ + + +

-
dt 4x dx & 1 - x 1 . 1 -
t
= =
1 - t a b (a + b)t +
a
t(1 t) t t 1 t(t 1)
I 1 2 dt ln | t | 2 ln | t 1| C ln | t | C ln x C.
= æ - ö = - + + = + = + ç + ÷ + + è ø ò
I (x 1)dx
I (x -
1)dx
I [(x - 4x + 1) - (x - 4x)](x - 1)dx (x - 1)dx (x -
1)dx
- - + - - + ò ò ò
= = -
1 (ln | x 4x | l n | x 4x 1 |) C 1 ln x 4x C.
4 4x 4x 1
I x 1 dx.
æ 1 ö æ 1 1 1 - d ç x + ÷ d ç x + + 1 ö ÷
I = ò x è x ø è x ø
x 2x 1 2 1 dx = ò = ò
+ - + + æ x 1 1 + ö + 2 æ x + ö æ 1 ö x x ç x ÷ ç x ÷ - 3 ç x + + 1 - 4 x
÷
+ + - - +
= + = +
+ + + + +
Trang 47
4
4
I 1 x dx.
x(1 x )
=
+ ò
Giaûi:
Ñaët t = x4 . Suy ra:
4
3
4
x(1 x ) 4 t(1 t)
+ +
Khi ñoù: I 1 1 -
t dt
4 t(1 t)
=
+ ò
Ta coù: = + =
2 2
+ + +
a b 1 a 1
a 1 b 2
ì + = - ì =
í Û í î = î = -
1 t 1 2
Þ -
= -
t(1 t) t t 1
+ +
Do ñoù:
4
2 4 2
t t 1 (t 1) (x 1)
3
-
3 4
x(x 4)(x 4x 1)
=
- - + ò .
Giaûi:
3
4 4
(x 4x)(x 4x 1)
=
- - + ò
Söû duïng ñoàng nhaát thöùc: 1 = (x4 - 4x +1)(-(x4 - 4x)
Ta ñöôïc:
4 4 3 3 3
4 4 4 4
(x 4x)(x 4x 1) x 4x x 4x 1
4
4 4
4
-
= - - - + + = +
- +
2
-
4 3 2
x 2x x 2x 1
=
+ - + + ò
Giaûi:
Chia caû töû vaø maãu cuûa bieåu thöùc döôùi daáu tích phaân cho x2 ¹ 0, ta ñöôïc:
2
2 2
2
2
è ø è ø è ø
2
2
1x
1 1 2 1 x x 1 ln x C ln C. 4 x 1 1 2 4 x 3x 1
x

BAØI TAÄP
2x + 41x -
91 dx;
(x 1)(x x 12)
- - - ò c/ 3 2
(x 3x 2)dx ;
x(x 2x 1)
- +
+ + ò f/
+ - + + b/ 4 ln x -1 + 5ln x - 4 + 7ln x + 3 + C;
- + - + + +
+ + - +
xdx ;
1 ln x (1 2) C;
4 2 x (1 2)
Trang 48
Baøi 20. Tính tích phaân sau:
a/ 2
dx ;
4x + 8x + 3 ò b/ 2
dx ;
x - 7x +10 ò c/ 2
dx .
3x - 2x -1 ò
ÑS: a/ 1 ln 2x +
1 C;
4 2x 3
+
+
b/ 1 ln x -
5 +
C;
3 x 2
-
c/ 1 ln 3x +
3 +
C.
4 3x 1
+
Baøi 21. Tính caùc tích phaân sau:
2x 7 dx;
x 3x 2
-
- + ò b/ 2
a/ 2
5x 7 dx;
x 3x 2
2x 7 dx;
x 5x 6
-
- + ò c/ 2
2x 5 dx;
9x 6x 1
+
+ + ò d/ 2
+
- + ò
ÑS: a/ 5ln x -1 - 3ln x - 2 + C; b/ 5ln x 1 9 ln x -
1 + - +
C;
2 x 1
+
c/ 3ln x + 2 - ln x + 3 + C; d/ 2 ln 3x 1 17 . 1 C.
- - æ ö + ç - ÷ è ø
9 9 3x 1
a/ xdx ;
(x +1)(2x +1) ò b/
2
2
dx ;
6x - 7x - 3x ò
d/
3
3
x 1dx;
4x x
-
- ò e/
3
2
2
(x 2) dx .
x(x 2x 1)
ò
+
2
- + ÑS: a/ ln x 1 1 ln x 1 C;
2 2
c/ 1 ln x 2 ln x 3 3 ln x 1 C;
3 33 2 11 3
d/ 1 x ln x 7 ln x 1 9 ln x 1 + - - - + +
C;
4 16 2 16 2
e/ x 2 ln x 4 ln x 1 4 C;
x 1
+
f/ 4 ln x 2 ln x 1 9 C.
- - - +
x 1
-
xdx ;
x - 3x + 2 ò b/
a/ 4 2
7
4 2
x dx ;
(x +1) ò c/ 4 2
x - 2x -1 ò d/
5
ò x dx ;
e/ x 6 - x 3
- 2 2
2dx ;
x(x +1) ò
f/
5
ò x dx ;
g/ x 6 - x 3
- 2 10 2
dx ;
x(x +1) ò h/
2
4
x 1dx;
x 1
-
+ ò i/
3
ò x dx;
k/
(x 2 +1) 2
2
ò
x dx .
(1- x) 10
ÑS: a/
2
2
1 ln x -
2 +
C;
2 x 1
-
1 ln x 1 1 C;
4 x 1
æ - + ö + ç ÷
è + ø
b/ 4
4
c/
2
2
- +
+
- -
d/
1 3
ln x 6 - x 3
1 - 2 + ln x -
2 +
C;
6 18 x 3
1
+

1 ln(x 1) 1 C;
2 x 1
é + + ù + êë + úû
+ +
f(x) m n p
= + +
+ - - + b/
y a b c .
- + - + + +
f(x) 1
Trang 49
e/
2
2
ln x +
C;
x 1
+
f/
2
2
1 ln x +
C;
8 x 4
+
g/
10
10 10
1 ln x 9 C;
9 x 1 x 1
æ ö
ç ÷ + +
è + ø +
h/
x 1 2 1 ln x C; 2 2 x 1 2
é ù ê + - ú
ê ú +
ê + + ú
ë x
û
i/ 2
2
1 1 1 C.
k/ 7 8 9
- - - +
7(x 1) 4(x 1) 9(x 1)
- - -
Baøi 24. Cho haøm soá
2
2
f(x) 2x 2x 5
x 3x 2
=
- +
a/ Tìm m, n, p ñeå 2
(x 1) x 1 x 2
- - +
b/ Tìm hoï nguyeân haøm cuûa f(x) (ÑHTM_1994)
ÑS: a/ m 3;n 3 = = 1;p = 1. b/ ln (x - 1)(x + 2) - +
C.
x 1
-
a/
4
3
f(x) x -
2 ;
x x
=
-
b/
2
2
1 ln x 1 C.
2 x
-+
(ÑHTM_1994)
ÑS: a/ 1 x2 2 ln x 1 ln x2 1 C;
2 2
2
2
1 ln x 1 C.
2 x
-+
2
3
y 3x + 3x +
3
x 3x 2
=
- +
.
a/ Xaùc ñònh caùc haèng soá a, b, c ñeå 2
= + +
(x 1) x 1 x 2
- - -
b/ Tìm hoï nguyeân haøm cuûa y (ÑHQG–Haø Noäi_1995)
ÑS: a/ a = 3; b = 2; c = 1. b/ 3 2lnx 1 lnx 2 C.
x 1
-
Baøi 27. Tìm hoï nguyeân haøm cuûa haøm soá:
a/
2001
2 1002
f(x) x
(1 x )
=
+
b/ 1999
x(x 2000)
=
+
c/
2
f(x) x -
1
2 2
(x 5x 1)(x 3x 1)
=
+ + - +
ÑS: a/
2 1001
2
1 x C;
2002 1 x
æ ö
ç ÷ +
è + ø
b/
1999
1 ln x C;
1999 2000 x 1999
2000
+
- +
c/
2
2
1 ln x - 3x +
1 +
C.
8 x 5x 1
- +

Vaán ñeà 8: NGUYEÂN HAØM CAÙC HAØM LÖÔÏNG GIAÙC
Ñeå xaùc ñònh nguyeân haøm caùc haøm löôïng giaùc ta caàn linh hoaït löïa choïn moät trong caùc
phöông phaùp cô baûn sau:
1. Söû duïng caùc daïng nguyeân haøm cô baûn.
2. Söû duïng caùc pheùp bieán ñoåi löôïng giaùc ñöa veà caùc nguyeân haøm cô baûn.
3. Phöông phaùp ñoåi bieán.
4. Phöông phaùp tích phaân töøng phaàn.
1. SÖÛ DUÏNG CAÙC DAÏNG NGUYEÂN HAØM CÔ BAÛN
Baøi toaùn 1: Xaùc ñònh nguyeân haøm caùc haøm löôïng giaùc baèng vieäc söû duïng caùc daïng
- + - +
+ + - + + ò ò
+ + - + +
ò
ò ò
Trang 50
nguyeân haøm cô baûn.
Daïng 1: Tính tích phaân baát ñònh: I dx
sin(x a)sin(x b)
=
+ + ò
· Böôùc 1: Söû duïng ñoàng nhaát thöùc:
1 sin(a b) sin[(x a) (x b)
= =
sin(a b) sin(a b)
- -
· Böôùc 2: Ta ñöôïc:
I dx dx 1 sin[(x + a) - (x -
b)] dx
= =
sin(x a)sin(x b) sin(a b) sin(x a)sin(x b)
1 sin(x a).cos(x b) cos(x a).sin(x b) dx
sin(a b) sin(x a)sin(x b)
1 cos(x b) dx cos(x a) dx
sin(a b) sin(x b) sin(x a)
1 [ln | sin(x b)} ln | sin(x a) |] C
sin(a b)
1 ln sin(x b) C.
sin(a b) sin(x a)
=
- + +
é + + ù
= ê - ú - ë + + û
= + - + +
-
+
= +
- +
Chuù yù: Phöông phaùp treân cuõng ñöôïc aùp duïng cho caùc daïng tích phaân sau:
1. I dx
cos(x a) cos(x b)
=
ò , söû duïng ñoàng nhaát thöùc 1 sin(a -
b) =
.
+ + sin(a -
b)
2. I dx
sin(x a) cos(x b)
=
ò , söû duïng ñoàng nhaát thöùc 1 cos(a -
b) =
.
+ + cos(a -
b)

Ví duï 1: Tìm hoï nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) 1
p éæ + p ö - ù êç ÷ ú éæ p ö ù = = ëè ø û = + - p êç ÷ ú ëè ø û
éæ p ö ù æ p ö æ p ö êç + ÷ - ú ç + ÷ + ç + ÷ = ëè ø û = è ø è ø
ò ò
æ p ö æ p ö ç + ÷ ç + ÷
è ø è ø
F(x) 2 dx 2 dx
- - ò ò
= =
- - ò ò
+ a + a - a ò ò
+ a + ò ò .
= = £
Trang 51
sinx.cos x
4
=
æ + p ö ç ÷
è ø
.
Giaûi:
· Caùch 1: Söû duïng phöông phaùp trong daïng toaùn cô baûn
cos cos x x 4 4 1 2 cos x x .
cos 2 4
4 2
Ta ñöôïc:
cos x x cosx cosx sinx sinx
F(x) 2 4 dx 2 4 4
sinx.cos x sinx.cos x
4 4
sin x
2 cosx dx 4 dx
sinx cos x
4
2 ln | sin x | ln cos x C 2 ln sin x C
4 cos x
4
é æ + p ö ù ê ç ÷ ú = ê + è ø ú
ê æ p ö ú ê ç + ÷ ú ë è ø û
é æ p ö ù = ê - ç + ÷ ú + = + ë è ø û æ + p ö ç ÷
è ø
ò ò
· Caùch 2: Döïa treân ñaëc thuø cuûa haøm f(x)
Ta coù: 2
sinx.(cosx sinx) sin x(cot gx 1)
2 d(cot gx) 2 d(cot gx -
1) 2 ln cot gx 1 C.
cot gx 1 cot gx 1
= - = - = - - +
sinx sin
=
+ a ò
· Böôùc 1: Bieán ñoåi I veà daïng: I dx 1 x dx x (1) sinx sin 2 sin .cos
2 2
= =
· Böôùc 2: AÙp duïng baøi toaùn 1 ñeå giaûi (1).
1. I dx , vôùi | m | 1
+ ò
= £
sinx m
2. I dx vaø I dx , vôùi | m | 1
cosx cos cosx m

= = =
æ ö + p + p - p ç + ÷
è ø
p æ + p - p ö ç - ÷ + p - p = = è ø = æ - ö p ç ÷ è ø
æ + p - - p ö ç ÷
= è ø
ò + p - p
+a
+a
ò ò
ò
ò ò ò
æ + a + + a ö = ç - ÷ è + a ø
= - = a -
Trang 52
2sinx 1
=
+
.
Giaûi:
Bieán ñoåi f(x) veà daïng:
f(x) 1 1 . 1 1 . 1 (1) 1 2 sin x sin 4 sin 6x .cos 6x 2 sinx
2 6 12 12
cos 6x 6x cos 2 6x 6x 1 6 12 12 cos
cos 3 3 12 12
6 2
Ta ñöôïc:
cos 3x 6x F(x) 1 12 12 2 3 sin 6 .cos 6x
12 12
cos 6x .cos 6x sin 6x .sin 6x 1 12 12 12 12
2 3 sin 6x .cos 6x
12 12
ò
1 cos 6x sin 6x ò 12 6x dx ò
12 dx 2 3 sin cos 6x
12 12
sin 6x 1 ln sin 6x ln cos 6x C 1 ln 12 C. 2 3 12 12 3 cos 6x
12
+p -p +p -p
+
=
+p - p
é + p - p ù
ê ú
= ê + ú ê + p - p ú
ë û
+ p
é + p + p ù
= ê - ú + = + ë û - p
Daïng 3: Tính tích phaân baát ñònh: I = ò tgx.tg(x + a)dx.
· Böôùc 1: Bieán ñoåi I veà daïng:
I tgx.tg(x )dx sin x.sin(x ) dx
cosx.cos(x )
= +a =
cosx.cos(x ) sinx.sin(x ) 1 dx
cosx.cos(x )
cos a
dx dx cos dx x (1)
cosx.cos(x ) cosx.cos(x )
+ a +a
· Böôùc 2: AÙp duïng baøi toaùn 1 ñeå giaûi (1).

1. I = ò tg(x + a).cot g(x + b)dx.
2. I = ò cot g(x + a).cot g(x + b)dx.
Ví duï 3: Tìm hoï nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) tgx.tg x
æ p ö æ p ö æ p ö ç + ÷ ç + ÷ + ç + ÷
= è ø = è ø è ø -
æ p ö æ p ö ç + ÷ ç + ÷
è ø è ø
ò ò ò
= - =- +
æ + p ö æ + p ö ç ÷ ç ÷
è ø è ø
ò ta löïa choïn moät trong hai caùch sau:
p éæ p ö ù êç + ÷ - ú ëè ø û éæ p ö ù = = = êç + ÷ - ú p ëè ø û
éæ + p ö - ù æ p ö æ p ö êç ÷ ú ç + ÷ - ç + ÷ = ëè ø û = è ø è ø
ò ò
æ + p ö æ + p ö ç ÷ ç ÷
è ø è ø
é æ + p ö ù ê ç ÷ ú é æ p ö ù = ê è ø - ú = - ç + ÷ + + æ p ö ê è ø ú ê ç + ÷ ú ë û êë è ø úû
=
J 2 dx 2 dx
- - ò ò
= =
Trang 53
æ p ö = ç + ÷
4
è ø
.
Giaûi:
Bieán ñoåi f(x) veà daïng:
sinx.sinx cosx.cosx sinx.sin x
f(x) 4 4 4 1
cosx.cos x cosx.cos x
4 4
cos 2 1 4 1 . 1.
cosx.cos x 2 cos x.cos x
4 4
p
= -= -
æ + p ö æ + p ö ç ÷ ç ÷
è ø è ø
Khi ñoù: F(x) 2 dx dx x 2 dx (1)
2 cosx.cos x 2 cos x.cos x
4 4
Ñeå ñi xaùc ñònh : J dx
cosx.cos x
4
=
æ + p ö ç ÷
è ø
· Caùch 1: Söû duïng phöông phaùp trong daïng toaùn cô baûn.
sin sin x x 1 4 4 2 sin x x
sin 2 4
4 2
Ta ñöôïc:
sin x x sinx cosx cosx sinx
J 2 4 dx 2 4 4 dx
cosx.cos x cosx.cos x
4 4
sin x sin x 2 4 dx dx 2 ln cosx x ln cosx C
ò ò
cos x cosx 4
4
2 ln cosx
C 2 ln1 tgx C.
cos x
4
+ =- - +
æ p ö ç + ÷
è ø
· Caùch 2: Döïa treân ñaëc thuø cuûa haøm döôùi daáu tích phaân
Ta coù: 2
cosx.(cosx sinx) cos x(1 tgx)

2 d(tgx) 2 d(1 tgx) 2 ln 1 tgx C
1 tgx 1 tgx
I 1 dx 1 dx a b sin(x ) a b 2sin x cos x
+ + a + + a + a
I 1 dx 1 sin(x +a
)dx
ò ò
ò
= =
a b sin(x ) a b sin (x )
+ + a + + a
1 d[cos(x +a )] 1 ln cos(x +a ) -
1 C.
a b cos (x ) 1 2 a b cos(x ) 1
= - =- +
ò ò ò
= = =
+ æ + p ö æ + p ö æ + p ö ç ÷ ç ÷ ç ÷ è ø è ø è ø
é æ p öù ê ç + ÷ú ë è øû p = = = + +
ò ò
æ + p ö æ + p ö æ + p ö ç ÷ ç ÷ ç ÷
è ø è ø è ø
I a sin x +
b cosx dx.
a sinx b cosx
Trang 54
-
- - ò ò
= = - =- - +
Vaäy ta ñöôïc: F(x) = -x - ln 1- tgx + C.
asinx bcosx
=
+ ò
Ta coù theå löïa choïn hai caùch bieán ñoåi:
· Caùch 1: Ta coù:
= =
2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2
2 2
d tg x 1 dx 1 2
a b 2tg x cos x a b tg x
2 2 2
1 ln tg x C.
a b 2
æ + a ö
ç ÷
= = è ø
+ + a + a + + a
+a
= +
+
ò ò
ò ò
· Caùch 2: Ta coù:
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
+ + a - + + a +
Chuù yù: Chuùng ta cuõng coù theå thöïc hieän baèng phöông phaùp ñaïi soá hoaù vôùi vieäc ñoåi bieán:
t tg x .
2
=
3sinx cosx
=
+
.
Giaûi:
Ta coù: F(x) 2dx dx dx
3 sin x cosx sin x 2sin x cos x
6 2 12 2 12
2
d tg x
dx 2 12 ln tg x C.
2tg x cos x tg x 2 12
2 12 2 12 2 12
2 2
=
+ ò

· Böôùc 1: Bieán ñoåi : 1 1 2 2 2 2 a sinx b cosx A(a sinx + = + b cos x) + B(a cosx - b sin x)
· Böôùc 2: Khi ñoù:
I A(a sin x + b cosx) + B(a cosx -
b sin x) 2 2 2 2
dx
a sinx b cosx
A dx B a cosx b sin x dx Ax Bln a sin x b cosx C
+ ò ò
= + = + + +
+ - - -
= = -
æ - ö + = ç - ÷ = - è + ø + ò ò
I a sin x +
b cosx dx
(a sinx b cosx)
I A(a sin x + b cosx) + B(a cosx -
b sin x) dx
(a sinx b cosx)
A dx B a cosx -
b sin x dx
+ + ò ò
= +
a sinx b cosx (a sinx b cosx)
A ò
dx B
a + b sin(x + a ) a sin x +
b cosx
A ln | tg x | B C
a b 2 a sin x b cosx
= - +
+ +
sin b vaø cos a
a = a =
Trang 55
2 2
=
+ ò
-
2 2
2 2
a sinx b cosx
2 2
Ví duï 5: Tìm hoï nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) 4sin x +
3cos x
sinx 2cosx
=
+
.
Giaûi:
Bieán ñoåi: 4sin x + 3cos x = a(sin x + 2 cos x) + b(cosx - 2sin x)
= (a - 2b)sin x + (2a + b) cosx
a 2b 4 a 2
2a b 3 b 1
ì - = ì =
í Û í î + = î = -
Khi ñoù: f(x) 2(sin x 2 cosx) (cosx 2sin x) 2 cosx 2sin x .
sinx 2cosx sinx 2cosx
+ +
Do ñoù: F(x) 2 cosx 2sin x dx 2 dx d(sin x 2 cosx)
sinx 2cosx sinx 2cosx
= 2x - ln sin x + 2 cosx + C
2
2 2
=
+ ò
· Böôùc 1: Bieán ñoåi : 1 1 2 2 2 2 a sin x + b cosx = A(a sin x + b cosx) + B(a cosx - b sin x)
2 2 2 2
2
2 2
=
+ ò
2 2
2
2 2 2 2
= -
2 2
2 2 2 2
+a
2 2
2 2 2 2
Trong ñoù 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
a b a b
+ +

Ví duï 6: Tìm hoï nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) 8cos x
f(x) 8cosx 8cosx
= =
F(x) 2dx 2 3 d( 3 sin x cosx)
+ + ò ò
æ p ö = ç + ÷ +
+ è ø ò
1 1 1 . 1asin x b cosx c c[1 cos(x )] 2c cos x
sin a vaø cos b
a = a =
d æ x -a ö
ç ÷ I 1 ò dx 1 ò è 2 ø 1 tg x -a = x = x = +
C. 2c cos -a c cos -a
2 2
Trang 56
2 3sin2x cos2x
=
+ -
.
Giaûi:
Bieán ñoåi: 2 2 2
3sin x 2 3sinxcosx cos x ( 3sinx cosx)
+ + +
Giaû söû: 8cosx = a( 3sinx + cosx)+ b( 3 cosx -sinx) = (a 3 - b)sinx +(a+ b 3)cosx
a 3 b 0 a 2
a b 3 b 2 3
ìï - = ìï = í Û í
îï + = îï =
Khi ñoù: f(x) 2 2 3( 3 cos x -
sin x)
= -
3sinx csx ( 3sinx cosx)
+ +
+
Do ñoù: = -
2
3sinx cosx ( 3sinx cosx)
1 ln tg x 2 3 C.
2 2 12 3sinx cosx
æ p ö = ç + ÷ - +
è ø +
Chuù yù: Trong lôøi giaûi treân ta ñaõ taän duïng keát quaû trong ví duï 4 laø:
2dx 1 ln tg x C
3 sin x cosx 2 2 12
asinx bcosx c
=
+ + ò
Ta xeùt 3 khaû naêng sau:
1. Neáu c = a2 + b2
Ta thöïc hieän pheùp bieán ñoåi:
2
2
= =
+ + + - a - a
trong ñoù
2 2 2 2
a b a b
+ +
Khi ñoù:
2 2
2 2
2. Neáu c = - a2 + b2
Ta thöïc hieän pheùp bieán ñoåi:

1 1 1 . 1asin x b cosx c c[1 cos(x )] 2c sin x
sin a vaø cos b
a = a =
d æ x -a ö
ç ÷ I 1 ò dx 1 = x = ò è 2 ø 1 x = cot g x - a +
C. 2c sin -a c sin -a
c 2
dx 2dt , sin x 2t & cosx 1 t .
= = =
dt 1 . 1 dx 1 x 1 2dt = = æ 1 + tg ö dx = (1 + t )dx Þ dx = 2 x 2 ç 2 ÷
cos 2 1 t
= ta ñöôïc: 2 2
4dt tg x 1 I 1 t 2dt 2 d(t 1) ln t 1 C ln 2 C
+ - - = + = = = + = +
ò ò ò
4t 1 - t t 2t (t 1) 1 t + 1 x - +
1 + + - tg + 1 1 t 1 t
2 I a sin x + b cosx +
c dx.
a sinx b cosx c
I A(a sin x + b cos x + c ) + B(a cosx - b sin x) +
C
ò
a sinx b cosx c
ò ò ò
a cosx b sin x dx A dx B dx C
a sinx b cosx c a sinx b cosx c
Trang 57
2
2
= =
+ + - - a -a
trong ñoù
2 2 2 2
a b a b
+ +
Khi ñoù:
2 2
2 2
3. Neáu c2 ¹ a2 + b2
Ta thöïc hieän pheùp ñoåi bieán t tg x .
2
=
Khi ñoù:
2
-
2 2 2
1 t 1 t 1 t
+ + +
Ví duï 7: Tính tích phaân baát ñònh I 2dx
2sinx cosx 1
=
- + ò .
Giaûi:
Ñaët: t tg x ,
2
2
2
2
è ø +
Khi ñoù:
2
2 2 2
2 2
+ +
ln tg x C.
æ p ö = ç - ÷ +
2 4
è ø
Daïng 8: Tính tích phaân baát ñònh: 1 1 1
1 2 2
=
+ + ò
· Böôùc 1: Bieán ñoåi:
1 1 1 2 2 2 2 2 a sin x + b cosx + c = A(a sin x + b cosx + c ) + B(a cos x - b sin x) + C
2 2 2 2 2
2 2 2
2 2
2 2 2 2 2 2
=
+ +
-
= + +
+ + + +

Ax Bln a sin x b cosx c C dx
2 2 2
a sin x + b cosx + c ò ñöôïc xaùc ñònh nhôø daïng 4.
- + + + -
- + - + ò ò ò
= + -
æ p ö = ç - ÷ +
- + è ø ò
I a sin x b sin x cosx c cos xdx.
=
ò +
I (Asin x + Bcosx)(a sin x + b cos x) +
Cdx
a sinx b cosx
(Asinx Bcosx)dx C dx
a sinx b cosx
Trang 58
a sinx b cosx c
2 2 2
= + + + +
+ + ò
trong ñoù
dx
2 2 2
Ví duï 8: Tìm hoï nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) 5sin x .
2sinx cosx 1
=
- +
.
Giaûi:
Giaû söû: 5sinx = a(2sinx – cosx + 1) + b(2cosx + sinx) + c
= (2a + b)sinx + (2b – a)cosx + a + c.
2a b 5 a 2
2b a 0 b 1
a c 0 c 2
ì + = ì =
ï - = Û ï = í í
ï + = ï = - î î
Khi ñoù: f(x) 2(2sin x cos x 1) (2 cosx sin x) 2
2sinx cosx 1
=
- +
2 cosx +
sin x 2 sinx cosx 1 2sinx cosx 22
1
=+ -
- + - +
Do ñoù: F(x) 2dx 2 cosx +
sin x dx 2 dx
2sinx cosx 1 2sinx cosx 1
2 dx d(2sin x cos x 1) 2dx
2sinx cosx 1 2sinx cosx 1
2x ln | 2sin x cosx 1| ln tg x C.
2 2
- +
= + -
- + - +
æ p ö = + - + - ç - ÷ +
è ø
ò ò
2dx ln tg x C.
2sinx cosx1 2 4
2 2
+ +
1 1 1
a sinx b cosx
2 2
· Böôùc 1: Bieán ñoåi: 2 2
1 1 1 a sin x + b sin x.cosx + c cos x
2 2
2 2 = (Asin x + Bcosx)(a sin x + b cosx) + C(sin x + cos x)
2 2
2 2
2 2
=
+
= + +
+
ò
ò ò

Acosx Bsin x C dx
a b sin(x )
2 2
2 2
Acosx Bsin x C ln | tg x | C
a b 1
2 2
2 2
sin b vaø cos a
a = a =
ì + = ì = ï ï
í + = Û í = -
ï + = ï = î î
+ ò ò
3 cosx sin x 1 ln tg x C.
æ p ö = - - - ç + ÷ +
æ p ö = ç + ÷ +
+ è ø ò
I dx .
dt 1 dx & dx dt
= =
I dx
Trang 59
=- + +
+ + a
+a
=- + + +
+
ò
trong ñoù 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
a b a b
+ +
.
Ví duï 9: Tìm hoï nguyeân haøm cuûa haøm soá
4sin2 f(x)
x +
1 3sinx cosx
=
+
.
Giaûi:
Giaû söû: 4sin2 x+1= 5sin2 x+ cos2 x = (asinx+ bcosx)( 3sinx+cosx)+c(sin2 x+cos2 x)
= (a 3 + c)sin2 x + (a + b 3)sin x.cosx + (b + c) cos2 x.
a 3 c 5 a 3
a b 3 0 b 1
b c 1 c 2
Do ñoù: F(x) ( 3 sin x cosx)dx 2dx
3sinx cosx
= - -
2 2 12
è ø
2dx 1 ln tg x C.
3 sin x cosx 2 2 12
asin x bsinxcosx ccos x
=
+ + ò
· Böôùc 1: Bieán ñoåi I veà daïng: I dx
2 2
(atg x btgx c) cos x
=
+ + ò
· Böôùc 2: Thöïc hieän pheùp ñoåi bieán: t = tgx
Suy ra: 2 2 2 2
cosx (atg x btgx c) cos x at bt c
+ + + +
I dt .
Khi ñoù: 2
at bt c
=
+ + ò
3sin x 2sinxcosx cos x
=
- - ò

Giaûi:
d tgx 1 I dx 1 d(tgx) 1 3
= = = è ø
ò ò ò
- - æ ö æ ö ç - ÷ - ç - ÷ -
- - - -
= + = += +
- + + +
- - + d/ cosx.siny 1[sin(x y) sin(x y)]
= + = æ + ö + ç ÷
è ø ò
Trang 60
dx d(tgx)
cos x
Söû duïng ñaúng thöùc: 2
=
æ - ö ç ÷
Ta coù: 2 2 2 2
(3tg x 2tgx 1) cos x 3 1 4 3 1 4 tgx tgx
3 9 3 9
è ø è ø
tgx 1 2 1 ln 3 3 C 1 ln tgx 1 C 1 ln sin x cosx C. 4 tgx 1 2 4 3tgx 1 4 3sin x cos x
3 3
2. SÖÛ DUÏNG CAÙC PHEÙP BIEÁN ÑOÅI LÖÔÏNG GIAÙC ÑÖA VEÀ CAÙC NGUYEÂN HAØM CÔ
BAÛN
Baøi toaùn 2: Xaùc ñònh nguyeân haøm caùc haøm löôïng giaùc söû duïng caùc pheùp bieán ñoåi
löôïng giaùc
Söû duïng caùc pheùp bieán ñoåi löôïng giaùc ñöa bieåu thöùc döôùi daáu tích phaân veà daïng quen
thuoäc. Caùc pheùp bieán ñoåi thöôøng duøng bao goàm:
· Pheùp bieán ñoåi tích thaønh toång (chuùng ta ñaõ thaáy trong phöông phaùp phaân tích)
· Haï baäc
· Caùc kyõ thuaät bieán ñoåi khaùc.
Chuùng ta seõ laàn löôït xem xeùt caùc ví duï maãu.
2.1. Söû duïng pheùp bieán ñoåi tích thaønh toång:
ÔÛ ñaây chuùng ta nhôù laïi caùc coâng thöùc sau:
a/ cosx.cosy 1[cos(x y) cos(x y)]
=+ + - c/ sinx.cosy 1[=+ sin(x y) + sin(x -
2 2 y)]
b/ sinx.siny 1[cos(x y) cos(x y)]
2 =
2 =+ - -
Ví duï 11: Tìm hoï nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) = cos3x.cos5x. (ÑHAN–97)
Giaûi:
Söû duïng caùc pheùp bieán ñoåi tích thaønh toång, ta ñöôïc: f(x) 1 (cos8x cos2x)
= +
2
Khi ñoù: F(x) 1 (cos8x cos2x)dx 1 1 sin8x 1 sin2x C.
2 28 2
Chuù yù: Neáu haøm f(x) laø tích cuûa nhieàu hôn 2 haøm soá löôïng giaùc ta thöïc hieän pheùp bieán
ñoåi daàn, cuï theå ta ñi xem xeùt ví duï sau:

æ p ö æ p ö = ç - ÷ ç + ÷
Ví duï 12: Tìm hoï nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) tgxtg x tg x
æ p - ö æ p + ö ç ÷ ç ÷
= è ø è ø
æ p ö æ p ö ç - ÷ ç + ÷
è ø è ø
æ p ö æ p ö æ p ö ç - ÷ ç + ÷ = ç - ÷
è ø è ø è ø
æ p ö æ p ö æ p ö ç - ÷ ç + ÷ = ç + ÷
è ø è ø è ø
= ò = ò = - ò = - +
= c/ sin3 x 3sin x sin3x
= d/ cos3 x 3cosx cos3x
+ = + - = - = - -
+ = + - + = -
= - - = +
Trang 61
3 3
è ø è ø
Giaûi:
Ta coù:
sinx.sin x .sin x
f(x) 3 3 (1)
cosx.cos x .cos x
3 3
Söû duïng caùc pheùp bieán ñoåi tích thaønh toång, ta ñöôïc:
sin x.sin x .sin x 1 sin x cos2x cos 2
3 3 2 3
cosx.cos x .cos x 1 cos cos 2 cos2x
3 3 2 3
1 cosx 1 cos2x.cosx 1 cosx 1 (cos3x cosx) 1 cos3x.
4 2 4 4 4
=- + =- + + =
Suy ra: f(x) = tg3x
Khi ñoù: F(x) 1 tg3xdx 1 sin3x dx 1 d(cos3x) 1 ln cos3x C.
4 4 cos3x 12 cos3x 12
2.2. Söû duïng pheùp haï baäc:
ÔÛ ñaây chuùng ta nhôù laïi caùc coâng thöùc sau:
a/ sin2 x 1 cos2x
2
-
-
4
=
b/ cos2 x 1 cosx
2
+
+
4
=
ñöôïc söû duïng trong caùc pheùp haï baäc mang tính cuïc boä, coøn haèng ñaúng thöùc:
sin2 x + cos2 x =1.
ñöôïc söû duïng trong caùc pheùp haï baäc mang tính toaøn cuïc cho caùc bieåu thöùc, ví duï nhö:
sin4 x cos4 x (sin2 x cos2 x)2 2sin2 x.cos2 x 1 1 sin2 2x 1 1 (1 cos 4x)
2 4
1 cos 4x 3
4 4
= +
sin6 x cos6 x (sin2 x cos2 x)3 3sin2 x cos2 x) 1 3 sin2 2x
4
1 3 (1 cos4x) 3 cos4x 5 .
8 8 8
Ví duï 13: (HVQHQT_98): Tìm hoï nguyeân haøm cuûa haøm soá :
a/ f(x) = sin3 x.si n3x
b/ f(x) = sin3 x.cos3x + cos3 x.sin 3x.
Giaûi:

= = -
3 (cos2x cos4x)x 1 (1 cos6x) 1 (3cos2x 3cos4x cos6x 1)
8 8 8
= ò - + -
- +
= +
3 (cos3x.sin x sin3x.cosx) 3 sin 4x.
4 4
= ò = - +
- +
+ + ò ò
= = - =- + +
-
+ + ò ò
= = = -
Trang 62
a/ Bieán ñoåi f(x) veà daïng:
f(x) 3sin x -
sin x .sin3x 3 sin3x.sin x 1 sin2 3x.
4 4 4
= - - - = - + - .
Khi ñoù: F(x) 1 (3cos2x 3cos4x cos6x 1)dx
8
1 3 sin 2x 3 sin 4x 1 sin 6x x C.
82 4 6
= æ - + - ö + ç ÷
è ø
b/ Bieán ñoåi f(x) veà daïng:
f(x) 3sin x sin3x .cos3x cos3x 3cosx .sin3x
4 4
= + =
Khi ñoù: F(x) 3 sin 4xdx 3 cos4x C.
4 16
2.3. Söû duïng caùc pheùp bieán ñoåi löôïng giaùc khaùc nhau
ÔÛ ñaây ngoaøi vieäc vaän duïng moät caùch linh hoaït caùc coâng thöùc bieán ñoåi löôïng giaùc caùc
em hoïc sinh coøn caàn thieát bieát caùc ñònh höôùng trong pheùp bieán ñoåi.
Ví duï 14: (ÑHNT TP.HCM_99): Tìm hoï nguyeân haøm cuûa haøm soá :
a/ f(x) sin x -
cosx ;
sinx cosx
=
+
b/ f(x) cos2x .
sinx cosx
=
+
Giaûi:
a/ Ta coù: F(x) sin x cosx d(sin x cosx) ln(sin x cos x) C
sinx cosx sinx cosx
b/ Ta coù:
cos2x cos2 x sin2 x F(x) dx dx
= =
sinx cosx sinx cosx
= ò(cos x - sin x)dx = sin x + cosx + C.
Ví duï 15: (ÑHNT HN_97): Tính tích phaân baát ñònh: I sin3x.sin 4x .
tgx cot g2x
=
+ ò
Giaûi:
Bieán ñoåi bieåu thöùc döôùi daáu tích phaân veà daïng:
sin3x.sin 4x sin3cxo.ssxin 4x sin 4x.sin3x.sin 2x 1 (cosx cos7x)sin 2x tgx cot g2x 2
cosx.sin2x
+

1 (sin 2x.cosx cos7x.sin 2x) 1 (sin3x sin x sin 9x sin 5x).
2 4
= - = + - +
Khi ñoù: 1I(sinx sin3x sin5x sin9x)dx
= ò + + -
1 (cosx 1 cos3x 1 cos5x 1 cos9x) C.
4 3 5 9
+ +
= =
Trang 63
4
=- + - +
Toång quaùt: Caùch tính phaân daïng: òsinm x.cosn xdx vôùi m, n laø nhöõng soá nguyeân ñöôïc
tính nhôø caùc pheùp bieán ñoåi hoaëc duøng coâng töùc haï baäc.
Baøi toaùn 3: Tính tích phaân caùc haøm löôïng giaùc baèng phöông phaùp ñoåi bieán
Tính tích phaân baát ñònh sau: I = òR(sin x, cosx)dx trong ñoù R laø haøm höõu tæ.
Ta löïa choïn moät trong caùc höôùng sau:
– Höôùng 1: Neáu R(-sin x, cosx) = -R(sin x, cos x)
thì söû duïng pheùp ñoåi bieán töông öùng laø t = cosx
– Höôùng 2: Neáu R(sin x, - cosx) = -R(sin x, cosx)
thì söû duïng pheùp ñoåi bieán töông öùng laø t = sinx
– Höôùng 3: Neáu R(-sin x,-cosx) = -R(sin x, cos x)
thì söû duïng pheùp ñoåi bieán töông öùng laø t = tgx
(ñoâi khi coù theå laø t = cotgx).
Do ñoù vôùi caùc tích phaân daïng:
1. I = ò tgnxdx, vôùi nÎZ ñöôïc xaùc ñònh nhôø pheùp ñoåi bieán t = tgx.
2. I = ò cot gnxdx, vôùi nÎZ ñöôïc xaùc ñònh nhôø pheùp ñoåi bieán t = cotgx.
– Höôùng 4: Moïi tröôøng hôïp ñeàu coù theå ñöa veà tích phaân caùc haøm höõu tæ baèng pheùp ñoåi
bieán t tg x .
2
=
Ví duï 16: (ÑHNT Tp.HCM_97): Tính tích phaân baát ñònh: I cos x +
sin x.cosx dx.
2 sinx
=
+ ò
Giaûi:
Bieán ñoåi I veà daïng: I (1 +
sin x)cosx
2 sinx
=
+ ò
Ñaët t = sinx
Suy ra: dt cosxdx & (1 sin x) cos x dx 1 t dt
2 sinx 2 t
+ +

Khi ñoù: I 1 t dt 1 1 dt t ln | 2 t | C sin x ln | 2 sin x | C
+ æ ö = = ç - ÷ = - + + = - + + + è + ø ò ò
I dx dx
= ò =
= =
dt 4 t C 4 tgx C.
t
I sin xdx
d 1 I dt t 1 ln 2 2 1 C 1 ln 2 2 t C.
æ ö
ç ÷ + - = = è ø = + - + = +
ò ò
2 2 2 t t 2 t t 1 1
d æ 1 ö
dt ç t ÷
I 1 ln 2 2 1 C
= = - è ø = - + - +
ò ò
2 2 2 t t t 1 1
Trang 64
2 t 2 t
Nhaän xeùt: Trong baøi toaùn treân sôû dó ta ñònh höôùng ñöôïc pheùp bieán ñoåi nhö vaäy laø bôûi
nhaän xeùt raèng: R(sinx, –cosx) = –R(sinx, cosx) do ñoù söû duïng pheùp ñoåi bieán
töông öùng laø t = sinx.
Ví duï 17: (ÑHTCKT HN_96): Tính tích phaân baát ñònh:
I dx .
4 3 5
sin x.cos x
=ò
Giaûi:
4 3 8 2 4 3
tg x.cos x cos x tg x
Ñaët: t = tgx
Suy ra: dt dx & dx dt
2 2 4 3 4 3
cos x cos x tgx t
ò = + = +
Khi ñoù: 4 4
4 3
1 1
t | t |
Chuù yù: Nhö chuùng ta ñaõ thaáy trong vaán ñeà 8 laø 2
= ñieàu naøy raát quan troïng, khôûi
khi ñoù ta phaûi xeùt hai tröôøng hôïp t > 0 vaø t < 0.
2
cosx sin x 1
=
+ ò
Giaûi:
Ñaët t = cosx Þ dt = –sinxdx do ñoù:
2
I dt
t 2 t
= -
- ò
Ta caàn xeùt hai tröôøng hôïp t > 0 vaø t < 0. Cuï theå:
· Vôùi t > 0, ta ñöôïc:
2
2 2
2
- -
2 2
t t
· Vôùi x < 0, ta ñöôïc:
2
2
- -
2 2
2 2
t t
1 ln 2 + 2 - t C 1 ln 2 + 1 +
sin x C.
2 t 2 cosx
= - += +
Toùm laïi ta ñöôïc:

I 1 ln 2 + 2 - t2 C 1 ln 2 + 1 +
sin2 x C.
= += +
2 t 2 cosx
4. PHÖÔNG PHAÙP TÍCH PHAÂN TÖØNG PHAÀN
Baøi toaùn 3: Xaùc ñònh nguyeân haøm caùc haøm löôïng giaùc baèng phöông phaùp tích phaân
ì = ì =
í = a í = a î î
u cos(bx) u sin(dx)
ì = ì =
í í
î = î =
I x dx
= - ò = - ò = + ò = + +
I cosx.d(sin x) .
u cosx du sinxdx
dv d(sin x) v 1
I cosx dx cosx d æ ln tg x ö
cosx ln tg x C.
è ø ò ò
= - - = - - ç ÷ = - - +
Trang 65
töøng phaàn.
Chuùng ta ñaõ ñöôïc bieát trong vaán ñeà: Xaùc ñònh nguyeân haøm baèng phöông phaùp tích phaân
töøng phaàn, ñoái vôùi caùc daïng nguyeân haøm:
Daïng 1: Tính: ò P(x)sinaxdx hoaëc òP(x) cosaxdx vôùi P laø moät ña thöùc thuoäc R[x] vaø
aÎR*.
Khi ñoù ta ñaët:
u P(x) u P(x)
hoaëc
dv sin xdx dv cos xdx
Daïng 2: Tính: òeax cos(bx) (hoaëc òeax sin(bx) vôùi a,b ¹ 0
Khi ñoù ta ñaët: hoaëc
ax ax
dv e dx dv e dx
cos x
= ò
Giaûi:
Söû duïng phöông phaùp tích phaân töøng phaàn, baèng caùch ñaët:
u x du dx
dv dx v tgx
ïî
ì = ï ì = í Þ í = = cos 2
x
î Khi ñoù: I x.tgx tgxdx x.tgx sin x dx x.tgx d(cosx) x.tgx ln | cosx | C.
cosx cosx
2
3
I cos xdx .
sin x
= ò
Giaûi:
Bieán ñoåi I veà daïng: 3
sin x
= ò
Ñaët:
ì = ì = -
ï Þ ï í í
ï = ï = - î î
3 2
sin x sin x
Khi ñoù: 2 2 2
sin x sin x sin x 2 sin x 2

BAØI TAÄP
Baøi 28. Tìm hoï nguyeân haøm cuûa haøm soá:
æ p ö - ç + ÷ +
f(x) x
æ p ö æ p ö = ç + ÷ ç + ÷
+ è ø +
- + - +
Trang 66
a/ f(x) 1
cosxcos x
4
=
æ + p ö ç ÷
è ø
b/ f(x) 1
2 sinx cosx
=
+ -
c/
cos2 x f(x)
sinx 3 cosx
=
+
d/ f(x) sin x
1 sin2x
=
+
e/ f(x) = sin x.si n2x.cos5x
æ p ö = ç - ÷ +
f/ f(x) = (sin 4x + cos4x)(sin 6x + cos6x) g/ f(x) sin x .(2 sin2x)
4
è ø
ÑS: a/ - 2 ln 1- tgx + C; b/ 1 cot g x C;
2 2 8
è ø
c/ 1 sin x 1 ln tg x C;
2 6 8 2 6
æ p ö æ p ö ç + ÷ + ç + ÷ +
è ø è ø
d/ 1 ln tg æ x p ö 1 ç + ÷ + + C;
2 2 è 2 8 ø 2(sin x +
cos x)
e/ 1 1 sin 2x 1 sin 4x 1 sin8x C;
42 4 8
æ + - ö + ç ÷
è ø
f/ 1 (33x + 7sin 4x 3 + si n8x) +
C;
64 8
g/ 1 4cos x sin x 1 sin 3x C.
2 4 4 3 4
é æ p ö æ p ö æ p öù ê- ç - ÷ + ç + ÷ - ç - ÷ú + ë è ø è ø è øû
Baøi 29. Tìm hoï nguyeân haøm cuûa haøm soá sau:
a/
sin3 x f(x)
3sin4x sin6x 3sin2x
=
- -
(ÑHSP II Haø Noäi _1999)
b/ I = òcos5x.tgxdx K = ò cos3x.tgxdx (ÑHNT Tp.HCM– A_2000)
c/ f(x)= 1
sin 2x - 2sin x
= e/ f(x) cot gx
d/ 2
sin x
1 sinx
=
+
f/ f(x) tgx .cotg x
3 6
è ø è ø
g/ f(x) = (x2 + 2)sin 2x
ÑS: a/ 1 ln si n3x -
1 C;
- +
48 sin3x 1
+
b/ I 2sinx 2sin3x sin5x C; = - + + 1K
cos3x 2cosx C;
3
=- + +
c/ 1 2 ln cos x 1 C;
8 1 cosx cosx 1
æ - ö
ç + ÷ + è - - ø
d/ -x cot gx + ln sin x + C;
e/ ln sin x C;
1 sinx
+
+
f/
æ - p ö ç ÷
cos x
x 1 ln 3 C;
æ + p ö ç ÷
è ø
3 cos x
3
g/ 1 x2 cos2x 1 xsin 2x 3 cos2x C.
2 2 4

Vaán ñeà 9: NGUYEÂN HAØM CAÙC HAØM SOÁ VOÂ TÆ
Ñeå xaùc ñònh nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá voâ tæ ta caàn linh hoaït löïa choïn moät trong
xdx x a C
x a
dx lnx x a C.
x a
è + ø ò
= ç ÷ - ¹
t ax + b t ax + b x b -
dt
= Þ = Û =
æ + ö æ - ö
è - ø è + ø ò ò chuùng ta
= ç ÷ = ç ÷
I x xdx a x dx a dx xdx
- - - - ò ò ò ò
= = = +
Trang 67
caùc phöông phaùp cô baûn sau:
1. Phöông phaùp ñoåi bieán.
3. Söû duïng caùc pheùp bieán ñoåi.
Hai coâng thöùc thöôøng söû duïng:
1. 2
2
= ± +
± ò
2. 2
2
= + ± +
± ò
Baøi toaùn 1: Xaùc ñònh nguyeân haøm caùc haøm soá voâ tæ baèng phöông phaùp ñoåi bieán
Daïng 1: Tính tích phaân baát ñònh caùc haøm höõu tæ ñoái vôùi x vaø n ax b
+
+
cx d
coù daïng:
æ + ö
I R x, n axx b dx vôùi ad bc 0.
cx d
· Böôùc 1: Thöïc hieän pheùp ñoåi bieán:
Ñaët:
n
n n
n
cx d cx d ct a
+ + -
· Böôùc 2: Baøi toaùn ñöôïc chuyeån veà: I = òS(t)dt.
Chuù yù: Vôùi hai daïng ñaëc bieät: I R x, a x dx hoaëc I R x, a x dx
a x a x
ñaõ bieát vôùi pheùp ñoåi bieán: x = acos2t.
Tröôøng hôïp ñaëc bieät, vôùi I a +
xdx
a x
=
- ò , ta coù theå xaùc ñònh baèng caùch:
Vì a x
+
-
a x
coù nghóa khi -a £ x < a neân x + a > 0, do ñoù (a + x)2 = a + x.
+ +
Khi ñoù: 2 2 2 2 2 2
a x a x a x a x

dx
a + b ò ñöôïc xaùc ñònh baèng pheùp ñoåi bieán x = asint.
I dx
3t dt dx & dx 3t dt 3tdt
= = =
I 3tdt 3 d(t ) ln(t 1) C ln[ (x 1) 1] C.
+ + ò ò
= = = + + = + + +
2tdt 2dx & dx tdt dt
I dt 1 ln t - 1 C 1 ln 2x + 1 -
1 C.
- + + + ò
= = + = +
I xdx
æ ö
dx 12t dt & xdx 12t dt 12t dt 12 t t t dt
= = = = ç + + ÷ - - - è - ø
æ ö æ ö
I 12 t t t dt 12 t t 1 ln | t 1| C.
= ç + + ÷ = ç + + - ÷ + è - ø è ø ò
Trang 68
Trong ñoù:
2 2
xdx =- a a 2 - x 2
+
C.
a 2 x
2
- ò
3 3 2
x 1[ x 1) 1]
=
+ + + ò
Giaûi:
Ñaët: t = 3 x +1 Þ t3 = x +1. Suy ra:
2
2
3 3 2 2 2
x 1[ (x 1) 1] t(t 1) t 1
+ + + + +
Khi ñoù:
2
2 3 2
2 2
t 1 2 t 1
2x 2x 1
=
+ ò
Giaûi:
Ñaët: t = 2x +1 Þ t2 = 2x +1. Suy ra: = = =
2 2
2x 2x 1 (t 1)t t 1
+ - -
Khi ñoù: 2
t 1 2 t 1 2 2x 1 1
3 2 4
x x
=
- ò
Giaûi:
Ta nhaän xeùt:
1 2 1
x = x2 , 3 x2 = x3 vaø 4 x = x4 , töø ñoù 12 laø boäi soá chung nhoû nhaát cuûa caùc
maãu soá, do ñoù ñaët x = t12
Suy ra:
17 14 4
11 9 4
3 2 4 8 3 5 5
x x t t t 1 t 1
Khi ñoù:
4 10 5
94 5
5
t 1 10 5 5
Daïng 2: Tính tích phaân baát ñònh I dx
(x a)(x b)
=
+ + ò
· Tröôøng hôïp 1: Vôùi
x a 0
x b 0
+ > ìí
î + >

I dx
= æ + ö = - + - Û = ç - - ÷ - + - - è ø
ò = + = - + + +
= é + ù = - + - Û = - êë - - úû - - - -
= - ò = - + = - - + - +
p p é=
ê - £ £ = + -
Trang 69
Ñaët: t = x + a + x + b
· Tröôøng hôïp 2: Vôùi
x a 0
x b 0
+ < ìí
î + <
Ñaët: t = -(x + a) + -(x + b)
2
x 5x 6
=
- + ò
Giaûi:
Bieán ñoåi I veà daïng: I dx
(x 2)(x 3)
=
- - ò
· Vôùi
x 2 0
ì - >
í Û > î - >
x 3
x 3 0
. Ñaët: t = x - 2 + x - 3
suy ra : dt 1 1 dx ( x 2 x 3)dx dx 2dt
2 x 2 2 x 3 2 (x 2)(x 3) (x 2)(x 3) t
Khi ñoù: I 2 dt 2 ln | t | C 2 ln | x 2 x 3 | C
t =
· Vôùi
x 2 0
ì - <
í Û < î - <
x 2
x 3 0
. Ñaët: t = x - 2 + 3 - x
suy ra : dt 1 1 dx [ 2 x 3 x]dx dx 2dt
2 2 x 2 3 x 2 (x 2)(x 3) (x 2)(x 3) t
Khi ñoù: I 2 dt 2 ln | t | C 2 ln | 2 x 3 x | C
t
Daïng 3: Tính tích phaân baát ñònh caùc haøm höõu tæ ñoái vôùi x vaø a2 - x2 coù daïng:
I = òR(x, a2 - x2 )dx, vôùi ad - bc ¹ 0.
2 2 x | a | sint vôùi t
2 2 (hoaëc coù theå t x a x )
ê=£ £ p ë
x | a | cost vôùi0 t
· Böôùc 2: Baøi toaùn ñöôïc chuyeån veà: I = òS(sin t, cos t)dt.

I x dx .
p p
dx cos tdt & x dx sin t.cosdt sin tdt 1 (3sin t sin3t)dt
= = = = -
1 x cos t 4
= ò - = + = - + +
p p ïì = - < < Þ > Þíï
2xdx 2tdt & x dx x .xdx x .xdx (1 t )( tdt) (t 1)dt
1 x 1 x 1 x t
= ò - = - + = - + = - + - +
p p é=
ê - < < = + +
Trang 70
3
2
1 x
=
- ò
Giaûi:
· Caùch 1: Ñaët: x sint, t
= - < <
2 2
Suy ra:
3 3
3
2
-
Khi ñoù: I 1 (3sin t sin3t)dt tgt C 3 cos t 1 cos3t C
4 4 12
3 cost 1 (4cos3 t 3cosxt) C 1 cos3 t cost C 1 cos2 t 1 cost C
4 12 3 3
= - + - + = - + = æ - ö + ç ÷
è ø
1 (1 sin2 t) 1 C 1 (1 x2 ) 1 1 x2 C 1 (x2 2) 1 x2 C
3 3 3
= é - - ù + = é - - ù - + = - + - + êë úû êë úû
Chuù yù: Trong caùch giaûi treân sôû dó ta coù:
2
2 2
cos t cost
t cost 0
2 2 cost 1 sin t 1 x
î = - = -
· Caùch 2: Ñaët t = 1- x2 Þ x2 = 1- t2
Suy ra:
3 2 2 2
2
2 2 2
- -
= = = = = -
- - -
Khi ñoù: I (t2 1)dt 1 t3 t C 1 (t2 3)t C 1 (x2 2) 1 x2 C
3 3 3
Daïng 4: Xaùc ñònh nguyeân haøm caùc haøm soá höõu tæ ñoái vôùi x vaø a2 + x2 coù daïng:
I = òR(x, a2 + x2 )dx,vôùi ad - bc ¹ 0.
2 2 x | a | tgt vôùi t
2 2 (hoaëc coù theå t x a x )
ê=
x | a | cotgt vôùi0 t
ë < < p
· Böôùc 2: Baøi toaùn ñöôïc chuyeån veà: I = òS(sin t, cos t)dt.
Ví duï 6: Tính tích phaân baát ñònh: I = ò 1+ x2dx.
Giaûi:

p p
dx dt & 1 x dx dt .
= - < < Suy ra: 2
· Caùch 1: Ñaët: x tgt, t .
I dt cos tdt cos tdt
- ò ò ò
du cos tdt & cos tdt du
= =
I du 1 é ln u + 1 2u ù
C
= = ê - ú + + - ë - + - û ò
1 é ln sin t + 1 2sin t ù
C
4 sint 1 (sint 1)(sint 1)
= ê - ú + ë - + - û
x 1 2 x
é ù
ê + ú
1 ln 1 x 1 x C 4 x 1 x x 1 1
= ê + - + ú +
ê - æ + öæ - ö ú ê ë 1 + x ç ÷ç è 1x + øè 1 + x
÷ ø ú û
æ ç + + ö = + + ÷ ç ÷ + è - + ø
= + + + + + = + + + + +
1 ln x 1 x 2x 1 x C
4 x 1 x
1 (2 ln | x 1 x | 2x 1 x ) C 1 (ln | x 1 x | x 1 x ) C.
4 2
- +
Þ + =- =
dt 1 x dx x 1 x dx 2t dx dx t 1dt
æ ö + + + = ç + ÷ = = Û = è + ø + +
1 x dx t 1. t 1dt 1 (t 1) dt 1 t 2 1 dt
+ + + æ ö + = = = ç + + ÷
I 1 t 2 1 dt 1 1 t 2 ln | t | 1 C
= æ + + ö = æ + - ö + ç ÷ ç ÷
è ø è ø ò
1 t 1 4 ln | t | C 1 4x 1 x 4 ln x 1 x C
8 t 8
1 (lnx 1 x x 1 x ) C.
2
éæ ö ù é ù = êç - ÷ + ú + = ë + + + + + û ëè ø û
= + + + + +
du xdx u x 1
ì ì = ï = + Þ ï í í +
îï = ï = î
Trang 71
2 2
= + =
2 3
cos t cos t
Khi ñoù: = = =
3 4 2 2
cost cos t (1 sin t)
Ñaët: u = sint. Suy ra: 2 2 2 2
(1 sin t) (u 1) (u 1)
- + -
Khi ñoù: 2 2
(u 1) (u 1) 4 u 1 (u 1)(u 1)
2 2
2 2 2
2
2
2
2 2 2 2
· Caùch 2: Ñaët:
2
t x 1 x2 t x 1 x2 (t x)2 1 x2 x t -
1
2t
= + + Þ - = + Þ - = + Þ =
2 2
1 x2 t t 1 t 1
2t 2t
Suy ra:
2 2 2
2 2 2 2
1 x 1 x t 1 2t
2 2 2 2
2
2 3 3
2t 2t 4 t 4 t t
è ø
Khi ñoù: 2
3 2
4 t t 4 2 2t
2 2 2
2
2 2
· Caùch 3: Söû duïng phöông phaùp tích phaân töøng phaàn
Ñaët :
2
2
x 1
dv dx v x

J x dx [(x 1) 1]dx x 1dx dx
+ + + ò ò ò ò
= = = + -
Û = ++ + + +
+ = =
x adx a ln x x a x x a C; dx ln x x a C.
+ ò ò
+ = + + + + + = + + +
2 2 x a
= ò + = + + + + +
Trang 72
Khi ñoù:
2
I x x 2
1 x dx
2
x 1
= + -
+ ò
Vôùi
2 2
2
+ -
2 2 2
x 1 x 1 x 1
= I - ln x + x2 +1 + C (2)
Thay (2) vaøo (1) ta ñöôïc:
I = x x2 +1 - (I - aln) x + x2 +1 + C Û 2I = x x2 +1 + ln x + x2 +1 + C
I x x2 1 1 ln x x2 1 C.
2 2
Chuù yù:
1. Trong caùch giaûi thöù nhaát sôû dó ta coù:
2
2
1 x 1 cos t vaø sin t x
cost 1 x
+
laø bôûi:
2
2
cos t cost
t cos t 0 x 2 2 sint tgt.cost
1 x
ì =
p p ï
- < < Þ > Þí
ï = =
î +
2. Caû ba phöông phaùp treân (toát nhaát laø phöông phaùp 2) ñöôïc aùp duïng ñeå giaûi baøi toaùn
toång quaùt:
2 2 2 2
2
3. Vôùi tích phaân baát ñònh sau toát nhaát laø söû duïng phöông phaùp 1:
dx , vôùik Z.
2 2 2k 1
(a x ) +
Î
+ ò
4. Vôùi tích phaân baát ñònh: ò (x + a)(x + b)dx ta coù theå thöïc hieän nhö sau:
Ñaët:
t x a + b & A
(b -
a)2 = + = -
2 4
suy ra: dt = dx & (x + a)(x + b)dx = t2 + Adt
Khi ñoù: I t2 Adt A ln t t2 A t t2 A C
2 2
(b - a)2 ln x a + b (x a)(x b) 2x + a +
b (x a)(x b) C.
8 2 4
= + + + - + + + +
Daïng 5: Tính tích phaân baát ñònh caùc haøm höõu tæ ñoái vôùi x vaø x2 - a2 coù daïng:
I = òR(x, x2 - a2 )dx,vôùi ad - bc ¹ 0.

é é p pù ê = Îê- ú ê ë û = -
I xdx
2tdt 2xdx & xdx xdx tdt
= = =
= = + =
æ ö + = ç- + ÷ = - + + + + = + è + + ø + ò
= Î . Suy ra: 2
1 . sin t dt xdx cos t cos t (1 tg t)tgt.dt (1 tg t)tgt.dt
2x 1 3 x 1 2 1 3tgt 2(1 tg t) 1 3tgt 2tg t 3tgt 1
Trang 73
2 2
x | a | vôùi t ; {0}
sint 2 2 (hoaëc coù theåt x a )
x | a | vôùi t [0; ] { }.
p Î p =
cost 2
êë
ê· Böôùc 2: Baøi toaùn ñöôïc chuyeån veà: I = òS(sin t, cos t)dt.
2 2
2x 1 3 x 1
=
-+ - ò
Giaûi:
· Caùch 1: Ñaët: t = x2 -1 Þ t2 = x2 -1
Suy ra: 2 2 2 2 2
2x 1 3 x 1 2(x 1) 3( x 1 1 2t 3t 1
- + - - + - + + +
I tdt
Khi ñoù: 2
2t 3t 1
=
+ + ò
Ta coù: 2
t t a b (a 2b)t a b
+ + +
2t 3t 1 (2t 1)(t 1) 2t 1 t 1 (2t 1)(t 1)
+ + + + + + + +
a 2b 1 a 1
a b 0 b 1
ì + = ì = -
í Û í î + = î =
Khi ñoù: 2
t 1 1.
=- +
2t 3t 1 2t 1 t 1
+ + + +
Do doù:
1 1 1 1 (t 1)2 I dt ln | 2t 1| ln |t 1| C ln C
2t 1) t1 2 2 | 2t 1|
2 2
1 ln ( x - 1 +
1)
2 2 x 2
1 1
=
- +
· Caùch 2: Vì ñieàu kieän |x| > 1, ta xeùt hai tröôøng hôïp:
– Vôùi x > 1:
Ñaët: x 1 , t [0; p
)
cost 2
dx sin tdt ,
cos t
=
2 2 2
2 2 2 2
2
cos t
+ +
= = =
- + - - + + - + + +

du dt (1 tg t)dt & (1 tg t)tgt.dt u.du
= =+ =
æ ö + = ç- + ÷ = - + + + + = + è + + ø + ò
1 ln (tgt + 1) C 1 ln ( x - 1 +
1) C.
2 2tgt1 2 2 x 1 1
= += +
+ - +
D é æ + ö ù + + = - ê + ç ÷ ú ë è -D ø û
D é æ + ö ù + + = - ê - ç ÷ ú ë è D ø û
D éæ + ö ù + + = êç ÷ - ú ëè D ø û
Trang 74
Khi ñoù:
2
I (1 +
tg t)tgt.dt .
2
2tg t 3tgt 1
=
+ + ò
Ñaët: u = tgt. Suy ra:
2
2
+
2 2 2
cos t 2tg t 3tgt 1 2u 3u 1
+ + + +
Khi ñoù:
1 1 1 1 (u 1)2 I dt ln 2u 1 lnu 1 C ln C
2u 1 u1 2 2 | 2u 1 |
2 2 2
2
– Vôùi x < –1 (töï laøm)
Daïng 6: Tính tích phaân baát ñònh caùc haøm höõu tæ ñoái vôùi x vaø ax2 + bx + c coù daïng:
I = òR(x, ax2 + bx + c)dx, vôùi ad - bc ¹ 0
Ta coù theå löïa choïn moät trong hai caùch sau:
· Caùch 1: Ñöa I veà caùc daïng nguyeân haøm cô baûn ñaõ bieát.
Ÿ Tröôøng hôïp 1: Neáu a > 0 vaø D < 0.
– Böôùc 1: Ta coù:
2
ax2 bx c 1 2ax b
4a
– Böôùc 2: Thöïc hieän pheùp ñoåi bieán: t 2ax + b
=
-D
– Böôùc 3: Baøi toaùn ñöôïc chuyeån veà: I = òS(t, 1+ t2 )dt
Ÿ Tröôøng hôïp 2: Neáu a < 0 vaø D > 0.
2
ax2 bx c 1 2ax b
4a
=
D
– Böôùc 3: Baøi toaùn ñöôïc chuyeån veà: I = òS(t, 1- t2 )dt
Ÿ Tröôøng hôïp 3: Neáu a > 0 vaø D > 0.
2
ax2 bx c 2ax b 1
4a
=
D

– Böôùc 3: Baøi toaùn ñöôïc chuyeån veà: I = òS(t, t2 -1)dt
· Caùch 2: Söû duïng pheùp theá Euler:
1. Neáu a > 0, ñaët ax2 + bx + c = t - x a hoaëc t + x a.
2. Neáu c > 0, ñaët ax2 + bx + c = tx + c hoaëc tx - c.
3. Neáu tam thöùc ax2 + bx + c coù bieät soá D > 0 thì
1 2 ax + bx + c = a(x - x )(x - x ). Khi ñoù ñaët: 2
1 ax + bx + c = t(x - x ).
x 2x 2 t x x 2x 2 (t x) x t 2 dx (t 2t 2)dt
+ + = - Þ + + = - Û = Þ =
é - ù + + +
I x 2x 2dx t t 2 . (t 2t 2)dt 1 (t 4)dt .
= + + = ê - ú = ë + û + + ò ò ò
I 1 [t 1 4 6 4 ]dt 1 [t 3t 6 ln | t 1| 4 ] C
+ + + ò
2 2
= + - + - = - + + + +
1 [( x 2x 2 x) 3( x 2x 2 x)
4 2
6 ln x 2x 2 x 1 4 ] C.
=
l +m
I dt
Trang 75
2
Ví duï 8: Tính tích phaân baát ñònh: I = ò x2 + 2x + 2dx.
Giaûi:
· Caùch 1: Söû duïng pheùp ñoåi bieán: t = x +1Þdt = dx.
Khi ñoù: I = ò t2 +1dt.
Tích phaân treân chuùng ta ñaõ bieát caùch xaùc ñònh trong ví duï 6.
· Caùch 2: Söû duïng pheùp ñoåi bieán:
2 2
2 2 2
2
- + +
2(t 1) 2(t 1)
+ +
Khi ñoù:
2 2 4
2
2 3
2(t 1) 2(t 1) 4 (t 1)
t4 + 4 = [(t +1) -1]4 + 4 = (t +1)4 - 4(t +1)3 + 6(t +1)2 - 4(t +1) + 5.
Do ñoù:
2
2
4 t 1 (t 1) 4 2 t 1
2
2
2
x 2x 2 x 1
+ + +
= - + + + +
+ + + + ++ +
+ + + +
Daïng 7: Tính tích phaân baát ñònh
2
I dx
( x ) ax bx c
=
l +m + + ò
– Böôùc 1: Thöïc hieän pheùp ñoåi bieán: t 1
x
– Böôùc 2: Baøi toaùn ñöôïc chuyeån veà:
2
t t
=
a +b + g ò
Chuù yù: Phöông phaùp treân coù theå ñöôïc aùp duïng cho daïng toång quaùt hôn laø:

I (Ax B)dx
n 2
( x ) ax bx c
I dx
1 dt khi t 0 dx t( )dt dt 1 t t
ì- > - ïï + = =- =í
(x 1) x 2x 2 1 1 dt khi t 0 1 t. 1
+ + + + + ï <
I dt ln t 1 t C ln 1 1 1 C
+ + + ò
=- =- + + + =- + + +
ln 1 + x + 2x + 2 C ln x + 1 C ln 1 - x + 2x +
2 C.
= - + = += +
x 1 1 x 2x 2 x 1
+ + + + +
I dt ln t 1 t C ln 1 1 1 C
+ + + ò
= = + + + = + + +
= +
Trang 76
+
=
l +m + + ò
2
(x 1) x 2x 2
=
+ + + ò
Giaûi:
Ñaët: t 1 x 1 1
= Þ = -
x1 t
+
dx 1 dt,
suy ra: 2
t
= -
2 2
2
îï +
2 2 2
t t 1 t
Khi ñoù:
Ÿ Vôùi t > 0, ta ñöôïc:
2
2 2
1 t x 1 (x 1)
2 2
2
Ÿ Vôùi t < 0, ta ñöôïc:
2
2 2
1 t x 1 (x 1)
ln 1 - x2 + 2x +
2 C.
= +
x 1
+
Toùm laïi vôùi t ¹ 0 Û x ¹ -1 ta luoân coù:
I ln 1 - x2 + 2x +
2 C.
x 1
+
3. SÖÛ DUÏNG TÍCH PHAÂN TÖØNG PHAÀN
Baøi toaùn 3: Tính tích phaân caùc haøm voâ tæ baèng phöông phaùp tích phaân töøng phaàn
Vôùi caùc haøm voâ tæ, trong phaïm vi phoå thoâng phöông phaùp tích phaân töøng phaàn ít ñöôïc söû
duïng, tuy nhieân chuùng ta cuõng caàn xem xeùt.
Ví duï 10: Tính tích phaân baát ñònh: I = ò x2 + adx
Giaûi:
Ñaët:
du xdx u x a
ì ì ï = 2
+ Þ ï = í í 2
+
îï = ï î
= x a
dv dx v x

J x dx [(x a) a]dx x adx a dx
+ + + ò ò ò ò
= I - aln x + x2 + a + C. (2)
= = = + -
= + - - + + + Û = + + + + +
-
+ ò
= >
x - adx x -
a dx 2xdx a dx
x a x a 2 x a x a
ò = = -
+ ò ò ò
- - - = x2 - a2 - ln x + x2 - a2 + C.
x - adx a -
x dx a dx 2xdx
x a x a x a 2 x a
ò = = -
+ ò ò ò
- - - = ln x + x2 - a2 - x2 - a2 + C.
-
I x 1 dx 2xdx dx x 1 ln x x 1 C
- - - ò ò ò
= = - = - - + - +
I 1 x dx dx 2xdx ln x x 1 x 1 C
- - - ò ò ò
= = - = + - - - +
+ + + ò
= ¹ - ¹
Trang 77
Khi ñoù:
2
I x x 2
a x dx
2
x a
= + -
+ ò (1)
Vôùi
2 2
2
+ -
2 2 2
x a x a x a
I x x2 a (I aln x x2 a C) I x x2 a a ln x x2 a C.
2 2
4. SÖÛ DUÏNG CAÙC PHEÙP BIEÁN ÑOÅI
Daïng 1: Tính tích phaân baát ñònh I x adx, vôùi a 0
x a
Vì ñieàu kieän
x a
x a'
³ éê
ë < -
· Vôùi x ³ a thì:
2 2 2 2 2 2
· Vôùi x < –a thì:
2 2 2 2 2 2
Ví duï 11: Tính tích phaân baát ñònh: I x 1dx
x 1
=
+ ò
Giaûi:
Vì ñieàu kieän
x 1
x 1
³ éê
ë < -
. Ta xeùt hai tröôøng hôïp:
-
· Vôùi x ³ 1. Ta coù: 2 2
2 2 2
x 1 2 x 1 x 1
· Vôùi x < –1. Ta coù:
2 2
-
2 2 2
x 1 x 1 2 x 1
Daïng 2: Tính tích phaân baát ñònh I dx , vôùi a 0 vaøb c 0.
ax b ax c

- ò 1 [ (ax b)1/ 2 d(ax b) (ax c)1/ 2 d(ax c)]
- ò ò
= + + + + +
= + + + +
+ ò
= + -
I 1 ( x 1 x 1)dx 1 [ (x 1) d(x 1) (x 1) d(x 1)]
ò ò ò
= + + - = + + + - -
2 2
1[ (x 1) (x 1) ] C
3
I v(x)dx
v(x) a[u (x) +a
] bu(x) c
= + +
u (x) u (x) u (x) u (x)
dx lnx x a C
x a
± ò 2. 2
ò ± = ± ± + ± +
I (2x 1)dx
2x + 1 2x + 1 a[(x + 1) - 1] b(x +
1) c
= = + +
x 2x (x 1) 1 (x 1) 1 (x 1) 1 (x 1) 1
Trang 78
1I( ax b ax c)dx
= + + +
b c
a(b c)
2 [ (ax b)3 (ax c)3 ] C
2a(b c)
-
Ví duï 12: Tính tích phaân baát ñònh: I dx x 1
x 1
Giaûi:
1/ 2 1/ 2
3 3
= + + - +
Chuù yù: Moät pheùp bieán ñoåi raát phoå bieán ñoái vôùi caùc haøm soá voâ tæ laø phöông phaùp phaân
tích, chuùng ta seõ ñi xem xeùt caùc daïng cô baûn sau:
Daïng 3: Tính tích phaân baát ñònh
2
u (x)
=
±a ò
· Böôùc 1: Phaân tích:
2
2 2 2 2
+ a + a + a +a
Söû duïng phöông phaùp haèng soá baát ñònh ta xaùc ñònh ñöôïc a, b, c.
· Böôùc 2: AÙp duïng caùc coâng thöùc:
xdx x a C.
x a
1. 2
2
= ± +
2
= + ± +
± ò
3. x2 adx x x2 a a ln x x2 a C.
2 2
2
2
+
x 2x
=
+ ò
Giaûi:
Ta coù:
2 2 2
2 2 2 2 2
+ + - + - + - + -

2x + 1 2 (x 1) 1 4(x +
1) 5
= + -- +
x 2x (x 1) 1 (x 1) 1
I [2 (x 1) 1 4(x +
1) 5 ]dx
+ - + - ò
= + -- +
æ + + + ö + ç ÷
è ø
2x ;
Trang 79
2
ax (2a b)x b c
+ + + +
2
x 2x
=
+
a 2 a 2
2a b 0 b 4
b c 1 c 5
ì = ì =
ï + = Û ï = - í í
ï + = ï = î î
Khi ñoù:
2
2
2 2 2
+ + - + -
Do ñoù: 2
2 2
(x 1) 1 (x 1) 1
= (x +1) x2 + 2x - ln x +1+ x2 + 2x - 4 x2 + 2x + 5ln x +1+ x2 + 2x +C
= (x +1) x2 + 2x + 4 ln x +1+ x2 + 2x - 4 x2 + 2x + C.
BAØI TAÄP
a/ 3
x 1 ;
3x 1
+
+
b/ x ;
2x +1 +1
c/
x3 ;
x + 2
d/
3
x ;
3 4
1+ x +1
e/ 3
1 ;
x + x
f/
1 ;
3 2
(2x +1) - 2x +1
g/ 10
x
x +1
h/ tgx 1
2x 1 2x 1
+
+ + -
ÑS: a/ 3 5 3 2 1 1 (3x 1) (3x 1) C;
3 5
b/ 1 (2x + 1)3 1 - (2x + 1) +
C;
6 4
c/ 2 3 2 1(
x 2) 2 x 2 C;
3
3 3 3 + - + + d/ 3 (x 4 + 1) 2 - 3 x 4 + 1 + ln( 3 x 4 + 1 + 1) +
C;
8 4 4
e/ 2 x -33 x - 66 x + ln(6 x +1) + C;
f/ 2x + 1) 2 + 3 6 2x + 1 + 3ln 6 2x - 1 - 1 +
(
6 C;
2
3g/ 10 19 10 9 10 (x 1) 10 (x 1) C;
19 9
+ - + + h/ 3 3 ln cosx 1 (2x 1) (2x 1) C.
- + é + - - ù + êë úû
3
a/
x ;
9x 2
- 6x
b/
2
1 ;
x + 2x + 3
c/
2
1 ;
x + 6x + 8
d/
1
x 2
- x -1
e/
4x 5 ;
x 2
6x 1
+
+ +
f/
2
x + x -1
g/
2
x 1 ;
x x 1
+
4
+
h/
x .
2 2 3
1+ x + (1+ x )
ÑS: a/ 1 9x2 6x ln 3x 1 9x2 6x C;
9
- + - + - + b/ ln x +1+ x2 + 2x + 3 + C;
c/ ln x + 3 + x2 + 6x + 8 + C; d/ ln x 1 x2 x 1 C;
- + - - +
2

e/ 4 x2 + 6x +1 - 7ln x + 3 + x2 + 6x +1 + C; f/ 2 x2 2 (x2 1)3 C;
dx ln(x x 3) C.
x 3
+ + + + +
1 .
(1- x )
x C.
1 x
x -
1 ;
x ;
x + x +1
+ ++ +
3 1 ln t C, vôùi t x x x 1.
+ + = + + +
- + +- + + + + +
- +
+ - + + =
Trang 80
- - +
3 3
g/
2 ln x 1 x 1 2 C;
- + æ - ö + + ç ÷
x 2
è ø
h/ 2 1+ 1+ x2 + C.
Baøi 32a/ Bieát raèng 2
2
= + + +
+ ò
Tìm nguyeân haøm cuûa F(x) = ò x2 + 3dx
b/ Tính ò x2 - 4x + 8dx.
ÑS: a/ 1 x x2 3 3 ln(x x2 3) C.
2 2
b/ 1 (x 2) x2 4x 8 2 ln x 2 x2 4x 8 C.
2
- - + + - + - + +
a/
1 ;
2 3
(x +16)
b/
2 3
ÑS: a/
x C;
16 x 2
16
+
+
b/
2
+
-
a/
1 ;
2
(x -1) 1- x
b/
2
(x 1) x 1
+ +
c/
1 ;
2
(x -1) -x + 2x + 3
d/
1 ;
2
x + x + x +1
e/
2
2
f/ 1 .
1+ x + 1+ x
ÑS: a/ 1 +
x C;
- +
1 x
-
b/
2 1 - x + 2(x 2
+
1)
lnx x 1 2 ln C;
2(x 1)
+
c/
1 ln 2 + - x2 + 2x +
3 C;
2 2(x 1)
- +
-
d/
4
2
3
2(1 2t) 2 1 2t
+ +
e/ 1 (2x 3) x2 x 1 1 ln x 1 x2 x 1 C;
4 8 2
f/ x 1 x 1 x.t 1 ln t 1 C, vôùi t 1 x .
2 2 4 t1 x
+

Vaán ñeà 10: NGUYEÂN HAØM CAÙC HAØM SOÁ SIEÂU VIEÄT
Ñeå xaùc ñònh nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá sieâu vieät ta caàn linh hoaït löïa choïn moät
I d(e ) 1 ln e 1 C
- + ò
= = +
æ ö éæ ö ù æ ö ç ÷ êç ÷ ú ç ÷ - = è ø = ëè ø û = è ø +
4 d 4 4 1 1 1 1 J 3 dx 3 dx . ln 3 C 4 ln 4 4 ln 4 2 4 1 3 1 3 1 3 3 3
Trang 81
trong caùc phöông phaùp cô baûn sau:
1. Söû duïng caùc daïng nguyeân haøm cô baûn
1. SÖÛ DUÏNG CAÙC DAÏNG NGUYEÂN HAØM CÔ BAÛN
Baøi toaùn 1: Xaùc ñònh nguyeân haøm caùc haøm sieâu vieät döïa treân caùc daïng nguyeân haøm
cô baûn
Baèng caùc pheùp bieán ñoåi ñaïi soá, ta bieán ñoåi bieåu thöùc döôùi daáu tích phaân veà caùc
daïng nguyeân haøm cô baûn ñaõ bieát.
I dx
- ò b/
a/ x x
e e- =
x x
x x
J 2 .e dx
16 9
=
-
Giaûi:
a/ Ta coù:
x x
2x x
-
e 1 2 e 1
b/ Chia töû vaø maãu soá cuûa bieåu thöùc döôùi daáu tích phaân cho 4x, ta ñöôïc:
x x x
ò ò
2x 2x x
æ ö - æ ö - æ ö + ç ÷ ç ÷ ç ÷
è ø è ø è ø
x x
x x
1 .ln 4 -
3 C.
= +
2(ln4 ln3) 4 3
- +
2. PHÖÔNG PHAÙP PHAÂN TÍCH
Baøi toaùn 2: Xaùc ñònh nguyeân haøm haøm sieâu vieät baèng phöông phaùp phaân tích
Caàn hieåu raèng thöïc chaát noù laø moät daïng cuûa phöông phaùp heä soá baát ñònh, nhöng ôû
ñaây ta söû duïng caùc ñoàng nhaát thöùc quen thuoäc.
Ví duï 2: Tính tích phaân baát ñònh : I dx .
x
1 e
=
- ò

Giaûi:
Söû duïng ñoàng nhaát thöùc: 1 = 1- ex ) + ex
x x x
Ta ñöôïc:
1 (1 e ) e 1 e .
1e x 1 e x 1 e
x
æ ö -
I 1 e dx dx d(1 e ) x ln 1 e C.
= ç + ÷ = - = - - + è - ø - ò ò ò
I dx .
2tdt 2e dx dx tdt & dx tdt dt
= Û = = =
I dt 1 ln t - 1 C 1 ln 1 +
e C
- + + + ò
= = + = +
dx dx dx dt = = =
.
1 e e (e- 1) e e- 1 t 1
dx dt lnt t 1 C lne e 1 C.
1 e t 1
+ + ò ò
= - = - + + + = - - + - + +
I dx
dt 1 e dx 2dt dx ,
= - Û - =
-
dx dx e dx 2tdt 2 1 1 dt
e e e (1 e ) e (1 e ) 1 t t 1
- æ ö = = = = ç + ÷ - - - - è - ø
= æç + ö÷ = - + - + + è - ø ò
Trang 82
- +
= = +
- - -
Suy ra:
x x
x
x x
1 e 1 e
Baøi toaùn 3: Xaùc ñònh nguyeân haøm haøm sieâu vieät baèng phöông phaùp ñoåi bieán
Phöông phaùp ñoåi bieán ñöôïc söû duïng cho caùc haøm soá sieâu vieät vôùi muïc ñích chuû
ñaïo ñeå chuyeån bieåu thöùc döôùi daáu tích phaân veà caùc daïng höõu tæ hoaëc voâ tæ, tuy nhieân
trong nhieàu tröôøng hôïp caàn tieáp thu nhöõng kinh nghieäm nhoû ñaõ ñöôïc minh hoaï baèng caùc
chuù yù trong vaán ñeà 4.
Ví duï 3: Tính tích phaân baát ñònh :
2x
1 e
=
+ ò
Giaûi:
· Caùch 1: Ñaët t = 1+ e2x Û t2 = 1+ e2x
Suy ra: 2x
2 2x 2 2
t 1 1 e t(t 1) t 1
- + - -
Khi ñoù:
2x
2 2x
t 1 2 t 1 2 1 e 1
· Caùch 2: Ñaët: t = ex
dt e dx dt dx,
Suy ra: x
x
e
=- - Û - =
-
2x 2x 2x x 2x 2
+ + + +
Khi ñoù: 2 x x
2x 2
Ví duï 4: Tính tích phaân baát ñònh : x x/ 2
e e
=
- ò
Giaûi:
Ñaët t = e-x / 2 . Suy ra: x / 2
x/ 2
2 e
x/ 2
x x/2 x x/2 x/ 2 x/ 2
- -
Khi ñoù: I 2 1 1 dt 2(e x / 2 ln e x / 2 1 C.
t 1
4. PHÖÔNG PHAÙP TÍCH PHAÂN TÖØNG PHAÀN
Baøi toaùn 4: Tìm nguyeân haøm caùc haøm sieâu vieät baèng phöông phaùp tích phaân töøng
phaàn

Baøi toaùn 1: Tính: òeax cos(bx) (hoaëc òeax sin(bx) vôùi a,b ¹ 0
u cos(bx) u sin(bx)
ì = ì =
í í
î = î =
Khi ñoù ta ñaët: hoaëc
ax ax
dv e dx dv e dx
Baøi toaùn 2: Tính: ò P(x)eaxdx vôùi aÎR*
u P(x)
dv ea dx
Khi ñoù ta ñaët: x
u tgx du dx (1 tg x)dx
ì = ì = = + Û ï í í
î = ï = î
dx dx e - dx d(e -
)
= = = -
1 e e e 1 e 1 e 1
I d(e ) ln(e e 1) C
+ ò
= =- + + +
dt e dx & dt dt
= =
d æ 1 ö
dt dt ç t ÷
I ln 1 1 1 C
= = = - è ø = - + + +
ò ò ò
t 1 t 1 1 t t t 1 1
+ + +
Trang 83
= ìí
î =
Ví duï 5: Tìm hoï nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) = (tg2x + tgx +1)ex .
Giaûi:
Ta coù: F(x) = ò(tg2x + tgx +1)ex = ò(tg2x +1)ex + òextgxdx. (1)
Xeùt tích phaân J = extgxdx.
Ñaët:
2
2
x
cos x
x
dv e dx v e
Khi ñoù: J = extgx - ò(tg2x +1)ex .
Thay (2) vaøo (1) ta ñöôïc F(x) = extgx + C. (2)
5. SÖÛ DUÏNG CAÙC PHÖÔNG PHAÙP KHAÙC NHAU
2x
I dx
1 e
=
+ ò
Giaûi:
Ta coù:
x x
2x x 2x 2x 2x
- - -
+ + + +
(1)
Khi ñoù:
x
x 2x
-
x
e 1
- -
-
Chuù yù: Ta coù theå söû duïng phöông phaùp ñoåi bieán ñeå laøm töôøng minh lôøi giaûi, baèng caùch:
Ñaët t = ex . Suy ra: x
2x 2
1 e t 1 t
+ +
Khi ñoù: 2 2
2
2 2
t t
= -ln(e-x + e-2x +1) + C.

Ñöông nhieân cuõng coù theå ñaët t = e–x ta seõ thu ñöôïc lôøi giaûi gioáng nhö treân, xong seõ
thaät khoù giaûi thích vôùi caùc em hoïc sinh caâu traû lôøi “Taïi sao laïi nghó ra caùch ñaët aån phuï
nhö vaäy?”
Chuù yù: Neáu caùc em hoïc sinh thaáy khoù hình dung moät caùch caën keõ caùch bieán ñoåi ñeå ñöa
veà daïng cô baûn trong baøi toaùn treân thì thöïc hieän theo hai böôùc sau:
– Böôùc 1: Thöïc hieän pheùp ñoåi bieán:
Ñaët t = ex
Suy ra: dt = exdx & ex e2x - 2ex + 2dx = t2 - 2t + 2dt = (t -1)2 +1dt
Khi ñoù: I = ò (t -1)2 +1dt.
– Böôùc 2: Thöïc hieän pheùp ñoåi bieán:
Ñaët u = t – 1
Suy ra: du = dt & (t -1)2 +1dt = u2 +1du
Khi ñoù: I u2 1du u u2 1 1 ln u u2 1 C
= ò + = + + + + +
2 2
t 1 (t 1) 2 1 1 ln t 1 (t 1) 2
1 C
2 2
e 1 e 2e 2 1 ln e 1 e e 2 C
2 2
f(x) e
e e- =
F(x) G(x) e - e - dx d(e +
e -
) ln e e C
+ + ò ò
x x
x x 2
Þ - = = = + +
+ ò
- ìï + = + + í Þ = + + +
îï - = +
F(x) G(x) ln e e C 1 F(x) (lne e x) C.
F(x) G(x) x C 2
1 ;
1+ e
1 x ;
x(1 x.e )
Trang 84
x
2x x x 2x x
-=
- + + - + - + +
-
= - + + -+ - + +
Ví duï 8: Tìm nguyeân haøm haøm soá :
x
x x
+
Giaûi:
x
g(x) e
-
- =
x x
e e
+
x x
x x
f(x) g(x) e e
e e
-
-
-
- =
+
x x x x
x x
x x x x 1
e e e e
-
- -
f(x) g(x) e e 1 F(x) G(x) dx x C .
e e
-
-
+
+ = = Þ + = = +
Ta ñöôïc:
x x
1 x x
2
-
BAØI TAÄP
a/ 2x.ex ; b/ x
+
+
c/ x
d/ lnx ;
x
e/ ex .sin(ex ); f/
2x
2x
e ;
e + 2
g/ 1 ;
xlnx
h/ x.ex2 .

- b/ (1 e3x )2 .e3x ; + c/
- æ + + + ö + ç ÷
x ln x x C;
n 1 (n 1)
Trang 85
ÑS: a/
2x.ex +
C;
1 ln2
+
b/
x
x
ln e +
C;
1 e
+
c/
x
x
ln xe +
C;
1 xe
+
d/ 2 lnx. lnx C;
3
+ e/ -cos(ex ) + C; f/ 2x 1 lne 1 C;
2
+ +
g/ ln ln x + C; h/ 1 ex2 C.
2
+
a/
2x
e 1;
e
x
2x
e ;
e +1
4 x
d/
1 ;
1+ e
x
e/
2x
e
e +1
4 x
f/ 1 .e x ;
x
sinx ;
e
g/ cosx
1 .
h/ x x
e (3 + e- )
ÑS: a/ ex + e-x + C; b/ 1 (1 e3x )3 C;
9
+ + c/ 4 4 (e x 4 + 1) 7 - 4 (e x + 1) 3 +
C;
7 3
d/ ln t -
1 C, vôùi t ex 1;
t 1
+ = +
+
e/ 2t ln t 1 C, vôùi t 1 ln x;
-++ = +
t 1
+
f/ 2e x + C; g/ e-x + C; h/
x
x
ln 3e +
C.
3e 1
+
a/ x2e3x ; b/ e2x .cos3x; c/ ex .sin x; d/
3 lnx ;
x
æ ö
ç ÷
è ø
e/ xn .ln x, n ¹ -1.
ÑS: a/ 1 e3x (9x2 6x 2) C;
27
- + + b/ 2x 1 e (2cos3x 3sin3x) C;
13
+ +
c/ 1 ex (sin x cosx) C;
2
1 ln x 3 ln x 3 ln x 3 C;
2x 2 2 4
- + d/ 3 2
2
è ø
e/
n 1 n 1
2
+ +
- +
+ +
a/
2 x
x e ;
(x + 2)
2
b/
(1 sin x)ex
1 cosx
+
+
1 ln 1 x ;
1 x 1 x
c/ ex + e-x + 2; d/ 2
+
- -
e/ ln(x + x2 -1); f/ ln x ;
x 1+ ln x
g/
2
xln(x x 1) .
+ +
2
+
x 1
ÑS: a/ x -
2 .ex C;
- +
x 2
+
b/
ex sin x +
C;
1 cosx
+
c/ ex (e3x + e2x ) + C;
d/
2 1 ln 1 x C;
4 1 x
æ + ö ç ÷ + è - ø
e/ x ln(x + x2 -1) - x2 -1 + C;
f/ 2 (1 lnx) 1 lnx 2 1 lnx C;
3
+ + - + + g/ x2 +1. n x + x2 +1 - x + C.

§Baøi 2: TÍCH PHAÂN
òf(x)dx = F(x) = F(b) - F(a).
ò f(x)dx chæ phuï thuoäc vaøo f, a, b maø khoâng phuï thuoäc vaøo caùch kyù
F(b) - F(a) = òf(x)dx = òf(t)dt = òf(u)du = ...
ò f(x)dx = -ò f(x)dx.
ò kf(x)dx = kò f(x)dx, vôùi kÎR.
ò[f(x) ± g(x)dx = ò f(x)dx ± òg(x)dx.
ò f(x)dx = ò f(x)dx + ò f(x)dx.
f(x) ³ 0, "xÎ[a; b]thì ò f(x)dx ³ 0
f(x) ³ g(x), "xÎ[a; b] thì ò f(x)dx ³ òg(x)dx.
Trang 86
1. Ñònh nghóa tích phaân:
Ta coù coâng thöùc Niutôn – Laipnit:
b
b
a
a
Chuù yù: Tích phaân
b
a
hieäu bieán soá tích phaân. Vì vaäy ta coù theå vieát:
b b b
a a a
2. YÙ nghóa hình hoïc cuûa tích phaân:
Neáu haøm soá f(x) lieân tuïc vaø khoâng aâm treân [a ; b] thì tích phaân
b
ò f(x)dx laø dieän tích
a
hình thang cong giôùi haïn bôûi ñoà thò cuûa haøm soá y = f(x, truïc Ox) vaø hai ñöôøng thaúng
x = a vaø x = b.
3. Caùc tính chaát cuûa tích phaân:
Giaû söû caùc haøm soá f(x), g(x) lieân tuïc treân khoaûng K vaø a, b, c laø ba ñieåm cuûa K, döïa
vaøo ñònh nghóa tích phaân ta coù caùc tính chaát sau:
a
Tính chaát 1. Ta coù
ò f(x)dx = 0
a
b a
a b
b b
a a
b b b
a a a
c b c
a a a
Tính chaát 6. Neáu
b
a
b b
a a

m f(x) M, x [£ £ " Î a; b] thì m(b - a) £ òf(x)dx £ M(b -a).
J = ò(3x - e )dx.
Giaûi:
I 1 2 dx ln | x | 2 (ln2 1) (ln1 2) ln2 1.
= æ - ö = æ + ö = + - + = - ç ÷ ç ÷
ò
è x x ø è x
ø æ ö
= ç - ÷ = - - - = -
è ø
= ò -
J e 1 dx.
J (1 e )dx (e 1)dx (x e) (e x) e 1 2.
= ò - + ò - = - + - = + -
p p
£ £
- ò
Trang 87
b
a
Tính chaát 9. Cho t bieán thieân treân ñoaïn [a; b] thì G(t) =
t
ò f(x)dx laø nguyeân haøm cuûa
a
f(t) vaø G(a) = 0.
Ví duï 1: Tính caùc tích phaân sau:
a/
2 2
I x -
2x dx;
= ò b/
3
1
x
4 x
4
0
a/ Ta coù:
2 2
2
1 1
b/ Ta coù:
x 4
2 4
0
3J
x 4e (24 4e) (0 4) 28 4e.
2
Chuù yù: Trong ví duï treân ta ñaõ söû duïng ñònh nghóa cuøng caùc tính chaát 1, 3 vaø 4 ñeå tính tích
phaân Ví duï sau ñaây seõ söû duïng tính chaát 5 ñeå tính tích phaân cuûa haøm chöùa daáu trò tuyeät
ñoái.
1
Ví duï 2: Tính tích phaân sau:
x
1
-
Giaûi:
Xeùt daáu cuûa haøm soá y = ex – 1
Ta coù: y = 0 Ûex -1 = 0Û x = 0
Nhaän xeùt raèng: x > 0 Þ ex > 1Þ y > 0
x < 0 Þ ex <1Þ y < 0
Ta coù baûng xeùt daáu:
x –¥ –1 0 1 +¥
y’ – 0 +
Do ñoù:
0 1 1 x x 0 x
1 0
1 0
- 2
-
Chuù yù: Söû duïng tính chaát 6, 7, 8 ta seõ ñi chöùng minh ñöôïc caùc baát ñaúng thöùc tích phaân.
3 / 4
Ví duï 3: Chöùng minh raèng:
2
p
/ 4
dx .
4 3 2sin x 2
p
Giaûi:

2 sin x 1 1 sin x 1 1 £ £ Þ £ £ 1 Û 1 £3 - 2sin x £ 2 Û £- £
1.
2 2 2 3 2sin x
p p p
1 dx dx dx.
2 3 2sin x
- ò ò ò (1)
p p p p
1 dx 1 x & dx x 2.
2 2 4
ò = = ò = = (2)
p p
£ £
- ò (ñpcm).
x a khix 0
ì + <
= í
î + ³
lim f(x) = lim(x + 1) = 1 vaø lim f(x) = lim(x + a) =
a.
® + ® + ® - ® -
lim f(x) lim f(x) f(0) 1
® + ® -
= = = Û haøm soá lieân tuïc taïi x0 = 0
lim f(x) lim f(x)
® + ® -
¹ Û haøm soá giaùn ñoaïn taïi x0 = 0
f(x)dx f(x)dx f(x)dx (x 1)dx (x 1)dx 11.
ò = ò + ò = ò + + ò + =
6 - - - -
F(x) = ò f(t)dtÞ F'(x) = f(x).
F(x) = ò f(t)dt thì vieát laïi F(x) = -ò f(t)dt Þ F'(x) = -f(x).
Trang 88
Treân ñoaïn ; 3
é p p ù
êë 4 4
úû
ta coù:
2 2
2
-
Do ñoù:
3 / 4 3 / 4 3 / 4
£ £
2
/ 4 / 4 / 4
p p p
trong ñoù:
3 / 4 3 / 4 3 / 4 3 / 4
p
/ 4 / 4 / 4 / 4
p p p p
3 / 4
2
p
/ 4
dx
4 3 2sin x 2
p
Ví duï 4: Cho haøm soá: f(x)
2
x 1 khix 0
a/ Xeùt tính lieân tuïc cuûa haøm soá ñaõ cho taïi ñieåm x0 = 0.
1
b/ Vôùi a ñeå haøm soá lieân tuïc taïi x = 0, haõy xaùc ñònh
ò
f(x).dx.
-
1
Giaûi:
a/ Haøm soá xaùc ñònh vôùi moïi xÎR.
Ta coù: 2
x 0 x 0 x 0 x 0
f(0) =1.
Vaäy:
· Neáu a = 1 thì
x 0 x 0
· Neáu a ¹ 1thì
x 0 x 0
b/ Ta coù:
1 0 0 0 1
2
1 1 1 1 0
Chuù yù: Nhö vaäy chuùng ta söû duïng haàu heát caùc tính chaát ñeå giaûi caùc ví duï veà tích phaân,
duy coøn tính chaát thöù 9 ôû ñoù coù moät daïng toaùn maø caùc hoïc sinh caàn quan taâm laø “Ñaïo
haøm cuûa haøm soá xaùc ñònh bôûi tích phaân”. Ta coù caùc daïng sau:
x
Daïng 1: Vôùi
a
Vôùi
a x
x a

F(x) = ò f(t)dtÞF¢(x) = u'(x)f[u(x)].
F(x) = ò f(t)dt thì vieát laïi:
F(x) = ò f(t)dt - ò f(t)dtÞF'(x) = u'(x)f[u(x)] - v'(x)f[v(x)]
minh hoaï baèng ví duï sau:
F(x) = ò(e + cos t )dt; b/
G(x) = ò (t + 2 +1)dt;
F(x) = [ò(e + cos t )dt]' = e + cos x .
a x
G(x) = [ ò (t + t +1)dt]' = [- ò (t + t +1)dt]' = (u)'.(u + u +1)
H'(x) = [ ò (t + sin t)dt]' = [ ò (t + sin t)dt - ò (t + sin t)dt]'
Trang 89
Daïng 2: Vôùi
u(x)
a
Daïng 3: Vôùi
u(x)
v(x)
u(x) v(x)
a a
Ví duï 5: Tính ñaïo haøm cuûa caùc haøm soá:
a/
x
t 2
a
a
2
2
x
c/
x2
H(x) = ò (t 3
+ sin t)dt.
2x
Giaûi:
a/ Ta coù:
x
t 2 x 2
a
b/ Ta coù:
2
2
2 2 2 2 2 2
x a
trong ñoù: u = x2, do ñoù: G'(x) = (x2 )'.(x4 + x4 +1) = 2x(x4 + x4 +1).
c/ Ta coù:
x2 x2 2x
3 3 3
2x a a
= (u)'.(u3 + sin u) + (v)'.(v3 + sin v), trong ñoù: u = x2 vaø v = 2x, do ñoù:
H'(x) = (x2 )'.(x6 + sin2 ) + (2x)'.(8x + sin 2x) = 2x(x6 + sin x2 ) + 2(8x3 + sin 2x)
TOÅNG KEÁT CHUNG:
Ñeå tính tích phaân xaùc ñònh ngoaøi caùc phöông phaùp cô baûn maø chuùng ta ñaõ bieát ñeå xaùc
ñònh nguyeân haøm, cuï theå coù:
1. Phöông phaùp söû duïng baûng nguyeân haøm cô baûn.
5. Söû duïng caùc pheùp bieán ñoåi.
coøn coù theâm moät vaøi phöông phaùp khaùc ví duï nhö phöông phaùp cho lôùp tích phaân ñaët bieät.
Vaán ñeà 1: TÍNH TÍCH PHAÂN BAÈNG PHÖÔNG PHAÙP PHAÂN TÍCH
Baèng vieäc söû duïng caùc ñoàng nhaát thöùc ñeå bieán ñoåi bieåu thöùc döôùi daáu tích phaân
thaønh toång caùc bieåu thöùc maø nguyeân haøm cuûa moãi bieåu thöùc ñoù coù theå nhaän ñöôïc töø baûng
nguyeân haøm hoaëc chæ baèng caùc pheùp bieán ñoåi ñôn giaûn ñaõ bieát, töø ñoù ta xaùc ñònh ñöôïc giaù
trò cuûa tích phaân.

Ví duï 1: (ÑHTM HN_95) Tính tích phaân:
I x dx.
I x x x dx 1 x 1 x 1 ln(x 1)] 1 ln 2 1 .
= æ - + ö = é - + + ù = - ç ÷ ê ú è + ø ë û ò
x 1 4 2 2 2 4
æ - ö = + ç ÷ è + ø
æ - ö + + - = + ç ÷ = + è + ø +
p p é - ù é ù p p = ê- - ú = ê- - + ú = - ë + û ë û ò ò
f(x)dx 1 cosx sin x dx 1 x ln(cosx sin x) .
2 2(cosx sinx 2 4
òx 1- xdx; c/
p
ò + c/
Trang 90
1 5
2
0
x 1
=
+ ò
Giaûi:
Söû duïng ñoàng nhaát thöùc: x5 = x5 + x3 - x3 - x + x = x3 (x2 +1) - x(x2 +1) + x.
Ta ñöôïc:
1 1
3 4 2 2
2
0 0
Ví duï 2: (Ñeà 91) Cho f(x) sin x
cosx sinx
=
+
a/ Tìm hai soá A, B sao cho f(x) A B cosx sin x
cosx sinx
b/ Tính
/ 2
0
f(x)dx.
p
ò
Giaûi:
a/ Ta coù: sin x A B cosx sin x (A B) cosx (A B)sin x
cosx sinx cosx sinx cosx sinx
A B 0 1 A B .
A B 1 2
ì + =
í Û = = - î - =
b/ Vôùi keát quaû ôû caâu a/ ta ñöôïc:
/ 2 / 2 / 2
0 0 0
BAØI TAÄP
Baøi 1. Tính caùc tích phaân:
a/
4
dx ;
x ò b/
0
1
0
1 2
0
x 2x 3dx;
2 x
- -
- ò d/
2
1
dx
x +1 + x -1 ò
ÑS: a/ 4 b/ 4
5
c/ 1 ln2
2
- d/ 1 (3 3 2 2 1)
3
- -
Baøi 2. Tính caùc tích phaân:
a/
p
2 3
ò b/
+ 0
4sin x ;
1 cosx
8
2 2
0
tg 2x(1 tg 2x)dx;
x
ò e dx;
d/
(e x +1) 2
0
e3
1
dx
x 1+ ln x ò
ÑS: a/ 2 b/ 1
6
c/ 1
6
d/ 2
Baøi 3. Tìm caùc giaù trò cuûa a ñeå coù ñaúng thöùc: 22 3
ò [a + (4 - 4a)x + 4x ]dx =12.
1

= = - b/ 1 ln 7
p
-
f '(1) = 2 vaø ò f(x)dx = 4.
Trang 91
ÑS: a = 3
Baøi 4. Cho hai haøm soá f(x) = 4cosx + 3sinx vaø g(x) = cosx + 2sinx.
a/ Tìm caùc soá A, B sao cho g(x) = A.f(x) + B.f’(x)
b/ Tính 4
0
g(x)dx.
f(x)
p
ò
ÑS: a/ A 2 ; B 1 ;
5 5
10 5 4 2
Baøi 5. Tìm caùc haèng soá A, B ñeå haøm soá f(x) = Asinpx + B thoaû maõn ñoàng thôøi caùc ñieàu
kieän: 2
0
ÑS: 2A= - ; B = 2.
p

Vaán ñeà 2: TÍNH TÍCH PHAÂN BAÈNG PHÖÔNG PHAÙP ÑOÅI BIEÁN SOÁ
Phöông phaùp ñoåi bieán soá ñeå tính tích phaân xaùc ñònh coù hai daïng cô baûn (ngoaøi ra
coøn daïng 3) döïa treân ñònh lyù sau:
Ñònh lyù:
a. Neáu ò f(x)dx = F(x) + C vaø u = j(x) laø haøm soá coù ñaïo haøm trong [a ; b] thì:
é p p
= Î - êê
ê p = Î p êë
Trang 92
(b) (b)
(a) (a)
f(u)du F(u) j j
j j
ò =
b. Neáu haøm soá f(x) xaùc ñònh vaø lieân tuïc treân ñoaïn [a ; b], haøm soá x = j(t) xaùc ñònh vaø
(i) Toàn taïi ñaïo haøm j’(t) lieân tuïc treân ñoaïn [a; b]
(ii) j(a) = a vaø j(b) = b.
(iii) Khi t bieán ñoåi töø a ñeán b thì x bieán thieân trong ñoaïn [a ; b]
Khi ñoù: b
a
f(x)dx f[ (t)] '(t)dt. b
a=j j ò ò
Baøi toaùn 1: Söû duïng phöông phaùp ñoåi bieán soá daïng 1 tính tsch phaân b
a I= ò f(x)dx.
Giaûi:
Böôùc 1: Choïn x = j(t), trong ñoù j(t) laø haøm soá maø ta choïn cho thích hôïp.
Böôùc 2: Laáy vi phaân dx = j’(t)dt
Böôùc 3: Tính caùc caän a vaø b töông öùng theo a vaø b
Böôùc 4: Bieåu thò f(x)dx theo t vaø dt. Giaû söû raèng f(x)dx = g(t)dt
Böôùc 5: Khi ñoù: I g(t)dt. b
= ò
a
Löu yù: Chuùng ta caàn nhôù laïi caùc daáu hieäu daãn tôùi vieäc löïa choïn aån phuï kieåu treân thoâng
thöôøng laø:
a2 - x2
x a sint vôùi /2 t / 2
x a cost vôùi0 t
é = -p £ £ p
ê
ë = £ £ p
x2 - a2
axvôùit [ ; ] {0}
sint 2 2
ax
vôùit [0; ] { }
cost 2
a2 + x2
x a tgt vôùi /2 t / 2
x a cot gt vôùi0 t
é = -p < < p
ê
ë = < < p

I x dx.
= Þ =
x dx sin t.costdt sin t.costdt sin t costdt = = = = 1(1 -
cos2t)dt.
1 x 1 sin t cos t cos t 2
p æ ö p p = - = ç - ÷ = -
I 1 (1 cos2t)dt 1 t 1 sin 2t 1 .
è ø ò
2 2 2 8 4
I dx
x 1 , khi ñoù : dx cos t dt
= Þ =
1 costdt
sin t dt t 1 6
sin t 1 1
- p
ò ò
= = =
= ta seõ nhaän ñöôïc:
Trang 93
a x hoaëc a x
ax a x
+ -
- +
x = acos2t
(x - a)(b - x) x = a + (b - a)sin2 t
Ví duï 1: (ÑHTCKT_97) Tính tích phaân : =
2 2
2
0 2
- ò
1 x
Giaûi:
Ñaët x = sint, khi ñoù: dx = costdt
Ñoåi caän: vôùi x= 0 Þ t = 0; x 2 t p
.
2 4
Ta coù:
2 2 2 2
2 2
- -
Khi ñoù:
/ 4 / 4
0 0
Ví duï 2: Tính tích phaân :
2/ 3
2
2
x x 1
=
- ò
Giaûi:
Ñaët = = -
2
sin t sin t
2x
Ñoåi caän: vôùi x= 1 Þ t = p/2; t p
.
3 3
Khi ñoù:
/ 2 2 / 2 / 2
/ 3
p p
/ 3 / 3
2
sin t
pp
p p
-
Chuù yù: Cuõng coù theå söû duïng pheùp ñoåi:
2/ 3
ò .
2 2
2
I dx
x 1 1
x
=
-
Töø ñoù söû duïng pheùp ñoåi bieán t 1 ,
x
3 / 2
I dt .
2
1/ 2
1 t
=
- ò
Roài tieáp tuïc söû duïng pheùp ñoåi bieán t = sinu, ta ñöôïc
/ 3
/ 3
/ 6
I du u .
/ 3
6
p
pp
p
p
= ò = =
Ñoù chính laø lôøi giaûi coù theå boå sung (ñeå phuø hôïp vôùi haïn cheá chöông trình cuûa Boä

GD&ÑT) haàu heát caùc taøi lieäu tham khaûo tröôùc ñaây.
I a xdx, (a 0)
= >
ò -
=- Þ = ; x 0 t
= - = -
p p
I 2a (1 cos2t)dt 2a t 1 sin 2t a 1
æ ö æ p ö = - + = - ç - ÷ = ç - ÷
ò .
è 2 ø è 4
ø Trang 94
0
a
+
a x
Giaûi:
Ñaët x = a.cos2t, khi ñoù: dx = -2a.sin 2tdt.
Ñoåi caän: vôùi x a t
p
2
p
4
= Þ =
Ta coù: a + xdx a +
a.cos2t ( 2a.sin 2tdt) cot gt ( 2a.sin 2tdt)
a x a a.cos2t
- -
= -4a.cos2 t.dt = -2a(1+ cos2t)dt.
Khi ñoù:
/ 2 / 2
/ 4 / 4
p p
Baøi toaùn 2: Söû duïng phöông phaùp ñoåi bieán soá daïng 2 tính tích phaân b
a I= ò f(x)dx.
Giaûi:
Böôùc 1: Choïn x = j(t), trong ñoù j(t) laø haøm soá maø ta choïn cho thích hôïp, roài xaùc ñònh x =
y(x) (neáu coù theå).
Böôùc 2: Xaùc ñònh vi phaân dx = j’(t)dt
Böôùc 3: Tính caùc caän a vaø b töông öùng theo a vaø b
Böôùc 4: Bieåu thò f(x)dx theo t vaø dt. Giaû söû raèng f(x)dx = g(t)dt
Böôùc 5: Khi ñoù: I g(t)dt. b
=ò
a
Löu yù: Caùc daáu hieäu daãn tôùi vieäc löïa choïn aån phuï kieåu treân thoâng thöôøng laø:
Haøm coù maãu soá t laø maãu soá
Haøm f(x, j(x)) t = j(x)
Haøm f(x) a.sin x +
b.cosx
c.sinx d.cosx e
=
+ +
t tg x (vôùi cos x 0)
= ¹
2 2
Haøm f(x) 1
(x a)(x b)
=
+ +
· Vôùi x + a > 0 & x + b > 0, ñaët:
t = x + a + x + b
· Vôùi x + a < 0 & x + b < 0, ñaët:
t = -x - a + -x - b

I cosdx
=Þ = ; x =Þ t =
pp3
cosdx dt dt
= =
= æ - ö - + ç - - ÷ è ø
I 1 1 dt ln t 3 ln 3(6 3)
æ ö - - = ç - ÷ = = è - - ø - - ò
t 3 t2 t 2 5(4 3)
I x dx
x dx x .3t dt 3t(t 1)dt 3(t t)dt.
1 x 2xt
æ ö
I 3 (t t)dt 3 t t 141.
è ø ò
= - = ç - ÷ =
5 2 10
= ò = coù theå löïa choïn vieäc ñaët x = –t
p
= ò coù theå löïa choïn vieäc ñaët t x.
Trang 95
/ 3
2
/ 6
sin x 5sinx 6
p
p
=
- + ò
Giaûi:
Ñaët x = sint, khi ñoù: dt = cosxdx
Ñoåi caän: vôùi x t 1
6 2
3 2
Ta coù: 2 2
sin x 5sin x 6 t 5t 6 (t 2)(t 3)
- + - + - -
A B dt [(A B)t 2A 3B]dt
t 3 t 2 (t 2)(t 3)
æ ö + - - = ç + ÷ = è - - ø - -
Töø ñoù:
A B0 A 1
2A 3B 1 B 1
ì + = ì =
í Û í î- - = î = -
Suy ra: 2
cosxdx 1 1 dt.
sin x 5sin x 6 t 3 t 2
Khi ñoù:
3 / 2 3 / 2
1/ 2 1/ 2
7 3
3 2
0
1 x
=
+ ò
Giaûi:
Ñaët t = 3 x2 +1 Þ t3 = x2 +1, khi ñoù:
2
3t2dt 2xdx dx 3t dt .
2x
= Þ =
Ñoåi caän: vôùi x = 0 Þ t = 1; x = 7 Þt = 2.
3 3 2
Ta coù:
3 4
3 2
= = - = -
+
Khi ñoù:
2 5 2 2
4
1 1
Baøi toaùn 3: Söû duïng phöông phaùp ñoåi bieán soá daïng 3 tính tích phaân b
a I= ò f(x)dx.
Giaûi:
Döïa vaøo vieäc ñaùnh giaù caän cuûa tích phaân vaø tính chaát cuûa haøm soá döôùi daáu tích
phaân ta coù theå löïa choïn pheùp ñaët aån phuï, thoâng thöôøng:
a
· Vôùi
I f(x)dx 0
a
-
· Vôùi
/ 2
I f(x)dx
0
p
= -
2

p
= ò coù theå löïa choïn vieäc ñaët t = p – x
p
= ò coù theå löïa choïn vieäc ñaët t = 2p – x
I = ò f(x)dx coù theå löïa choïn vieäc ñaët x = a + b + t
= ò
I x sinxdx
= ò + ò (1)
I x sinxdx x sinxdx.
I = -ò(-t) sin(-t)dt = -ò x sin xdx.
p ; x t 0.
p =Þ =
cos ( t)( dt) sin tdt sin x I 2 dx.
ò ò ò
cos ( t) sin ( t) cos t sin t cos x sin x
p + p p p
= = = Þ =
2I cos x sin xdx dx I .
+ ò ò
cos x sin x 2 4
Trang 96
· Vôùi
I f(x)dx
0
· Vôùi
2
I f(x)dx
0
· Vôùi
b
a
Ghi chuù: Xem vaán ñeà 6
1
2004
1
-
Giaûi:
Vieát laïi I veà döôùi daïng:
0 1
2004 2004
1 0
-
Xeùt tích phaân
0
2004
= ò
J x sinxdx.
1
-
Ñaët x = -t Þ dx = -dt khi ñoù:
2
3t2dt 2xdx dx 3t dt .
2x
= Þ =
Ñoåi caän: x = –1 Þ t = 1; x = 0 Þ t = 0
0 1
Khi ñoù:
2004 2004
1 0
Thay (2) vaøo (1) ta ñöôïc I = 0. (2)
/ 2 4
Ví duï 7: (ÑHGT Tp.HCM_99) Tính tích phaân :
I cos x dx.
4 4
0
cos x sin x
p
=
+ ò
Giaûi:
p=
Ñaët t x dx dt
2
- Þ = -
Ñoåi caän: vôùi x = 0 Þ t =
2
2
Khi ñoù:
4
0 / 2 4 / 2 4
4 4 4 4
/ 2 4 4 0 0
2 2
p p
p
p- -
= = =
p - + p - + +
Do ñoù:
/ 2 4 4 / 2
4 4
0 0

BAØI TAÄP
xdx
x + x +1 ò c/ 3 5 2
p c/ 848;
- + ò b/ 2
x.sinx.cos xdx p ò
- e +1 ò d/ 2
p c/ sin1; d/ ;
Trang 97
a/ 1 5 3 6
0
ò x (1- x ) dx; b/ 1
0 4 2
0
ò x 1- x dx; d/
sinx.cos 3
xdx
1 cos x
p
+ ò
2
0 2
ÑS: a/ 1 ;
168
b/ 3
18
105
d/ 1 -
1ln2.
2 2
p
a/ 6
cosx.dx ;
6 5sinx sin x
0 2
0
cosx dx;
7 cos2x
p
+ ò
c/ 1
cosx.dx;
1 x
0
ÑS: a/ ln 10 ;
9
b/ 2 ;
12
p
3

Vaán ñeà 3: TÍNH TÍCH PHAÂN BAÈNG PHÖÔNG PHAÙP TÍCH PHAÂN TÖØNG PHAÀN
ò udv = uv - ò vdu
u f (x) du
dv f (x )dx v
p
= ò +
I (x 1)sinxdx.
p p p = - + + ò = + ò (1)
I (x 1) cosx 2 xcosxdx 1 2 xcosxdx
Trang 98
Coâng thöùc:
b b
b
a
a a
Baøi toaùn1: Söû duïng coâng thöùc tích phaân töøng phaàn xaùc ñònh
b
I = ò f(x)dx.
a
PHÖÔNG PHAÙP GIAÛI
Böôùc 1: Bieán ñoåi tích phaân ban ñaàu veà daïng:
b b
I = ò f(x)dx = ò f (x).f (x)dx.
1 2
a a
ì = ì
í Þ í î = î
Böôùc 2: Ñaët: 1
2 2
Böôùc 3: Khi ñoù:
b
b
a
I = uv - ò vdu.
a
Chuùng ta caàn nhôù laïi caùc daïng cô baûn:
Daïng 1: I = ò P(x)sinaxdx (hoaëc ò P(x) cosaxdx) vôùi P laø moät ña thöùc thuoäc R[x] vaø
aÎR* khi ñoù ñaët u = P(x).
Daïng 2: I = òeax cos(bx) (hoaëc òeax sin(bx)) vôùi a,b ¹ 0 khi ñoù ñaët u = cos(bx) hoaëc u =
sin(bx)).
Daïng 3: I = ò P(x)eaxdx (hoaëc I = ò P(x)eaxdx) vôùi P laø moät ña thöùc thuoäc R[x] vaø aÎR*
khi ñoù ta ñaët u = P(x).
Daïng 4: I = ò xa.ln xdx, vôùi aÎR {-1} khi ñoù ñaët u = lnx.
/ 2
Ví duï 1: Tính tích phaân:
2
0
Giaûi:
Ñaët:
u (x2 1) du 2xdx
dv sin xdx v cosx
ì = + ì =
í Û í î = î = -
Khi ñoù:
/ 2 / 2 / 2 2
0
0 0
Xeùt tích phaân
/ 2
p
= ò
J xcosxdx.
0

J xsinx sinxdx cosx 1
æ p ö = + ç - ÷ = p -
p
= ò
I e sin xdx.
p p
= ò = ò - (1)
I e sin xdx 1 e (1 cos2x)dx
2
p p p
= ò = = - (2)
I e dx 1 e e 1
2 2 2
p
= ò
I e cos2xdx
u cos2x du 2sin 2xdx
p p p p
I 1 e cos2x e sin 2xdx e 1 e sin 2xdx
= + ò = - + ò (3)
2 2 2
p
= ò
I e sin2xdx
u sin 2x du 2 cos2xdx
1Ie sin e cos2xdx I .
p I e 1 I I e p
1 .
= - - Û = - (5)
p p
= - - - = p -
Trang 99
Ñaët:
u x du dx
dv cosxdx v sinx
ì = ì =
í Û í î = î =
Khi ñoù:
/ 2
/ 2 / 2
0 0
0
2 2
p
p p p p
= - ò = + = - (2)
Thay (2) vaøo (1) ta ñöôïc: I 1 2 1 1.
2
è ø
Ví duï 2: (Ñeà 37). Tính tích phaân: 2x 2
0
Giaûi:
Bieán ñoåi I veà daïng: 2x 2 2x
0 0
· Xeùt tích phaân:
2
2x 2x
1
0 0
· Xeùt tích phaân: 2x
2
0
ì = ì = - Û ï í í
Ñaët: 2x 2x
v 1 e dv e dx
2
= = î ïî
Khi ñoù:
2
2x 2x 2x
2
00 0
· Xeùt tích phaân: 2x
2, 1
0
ì = ì = Û ï í í
Ñaët: 2x 2x
v 1 e dv e dx
2
= = î ïî
Khi ñoù:
2
2x 2x
2,1 2
0 0
I
2
p p
= - ò = -
1442443
(4)
2 2
2 2 2
2 2 4 4
Thay (2), (5) vaøo (1), ta ñöôïc:
2 2
I 1 [e 1 (e 1)] 1 (e2 1).
2 2 2 4 4 8
Ví duï 3: (ÑHHH Tp.HCM_2000) Tính tích phaân:
2
I ln(1 x) dx.
2
1
x
+
= ò

Giaûi:
u ln(1 x) du 1 dx
I 1 ln(x 1) 1 dx 1 ln3 ln 2 1 1 dx
= - + + = - + + æ + ö ç ÷
+ è + ø ò ò
x x(x 1) 2 x 1 x
1 ln3 ln 2 (ln | x | ln(x 1)) 3 ln3 3ln2.
2 2
=- + + - + =- +
p
ò b/ 1 2 x
ò x +1) e dx; c/ e 2
p
ò + f/ e
Trang 100
Ñaët:
ïî
ì = + ì ïï = ï í Û + í
ï = î 2
ï = 1 x
dv dx 1 x v x
Khi ñoù:
22 2
11 1
2
1
BAØI TAÄP
a/ 2 x
0
e .sin3xdx;
0 (
1
ò (x.ln x) dx;
d/ 1 2
ò x ln(x +1)dx e/ 2
0
0
cosx.ln(1 cosx)dx;
lnx dx.
(x +1) ò
1 2
e
ÑS: a/
3 2ex ;
13
- b/
5e2 1;
4
- c/
7e3 1
27
- d/ ln 2 1 ;
p
- f/ 2e .
- e/ 1;
2
2
e +1

Vaán ñeà 4: TÍNH TÍCH PHAÂN CAÙC HAØM CHÖÙA DAÁU TRÒ TUYEÄT ÑOÁI
I = ò f(x, m)dx.
c c b
I = ò f(x, m) dx + ò f(x,m) dx +... + ò f(x, m)dx.
a c c
= ò - +
I x 3x 2dx
= ò - + - ò - + + ò - +
I (x 3x 2)dx (x 3x 2)dx (x 3x 2)dx
1 x 3 x 2x 1 x 3 x 2x 1 x 3 x 2x 19 .
3 2 3 2 3 2 2 -
= æ - + ö - æ - + ö + æ - + ö = ç ÷ ç ÷ ç ÷
è ø è ø è ø
I = ò x - adx.
æ ö
I ( x)dx x x 1 (a b)(a b 2 )
= ò a - = ça - ÷ = - + - a
è 2 ø
2
Trang 101
Baøi toaùn: Tính tích phaân:
b
a
Böôùc 1: Xeùt daáu bieåu thöùc f(x, m) treân [a, b]
Töø ñoù phaân ñöôïc ñoaïn [a, b] thaønh caùc ñoaïn nhoû, giaû söû:
1 1 2 k [a, b]= [a, c ] È [c , c ] È... È[c , b].
maø treân moãi ñoaïn f(x, m) coù moät daáu.
Böôùc 2: Khi ñoù:
1 2
1 k
4
2
1
-
Giaûi:
Ta ñi xeùt daáu haøm soá f(x) = x2 - 3x + 2 treân [–1, 4], ta ñöôïc:
x –1 1 2 4
f(x) + 0 – 0 +
Khi ñoù:
1 2 4
2 2 2
1 1 2
-
1 2 4
3 2 3 2 3 2
1 1 2
Chuù yù: Vôùi caùc baøi toaùn chöùa tham soá caàn chæ ra ñöôïc caùc tröôøng hôïp rieâng bieät cuûa tham
soá ñeå kheùo leùo chia ñöôïc khoaûng cho tích phaân, ta xeùt hai daïng thöôøng gaëp trong phaïm vi
phoå thoâng sau:
b
Daïng 1: Vôùi tích phaân:
a
Khi ñoù vôùi xÎ[a,b] caàn xeùt caùc tröôøng hôïp:
Tröôøng hôïp 1: Neáu a ³ b thì:
b 2 b
a a
Tröôøng hôïp 2: Neáu a < a < b thì:

b 2 2 b
a a
I ( x)dx (x )dx ( x x ) (x x)
= ò a - + ò - a = a - + - a
2 2
a a
a a
I (x )dx (x x) 1 (a b)(2 a b).
= ò - a = - a = - a - -
2 2
I = ò x - ax + bdx.
I = ò(x + ax + b)dx.
I = ò(x + ax + b)dx.
x b
I = - ò (x 2 + ax + b)dx + ò (x 2
+ ax + b)dx.
x b
I = ò (x 2 + ax + b)dx - ò (x 2
+ ax + b)dx.
a x
x x b
2 2 2
I = ò (x +ax +b)dx - ò (x +ax +b)dx + ò (x +ax +b)dx.
a x x
æ ö
I x.(x a)dx (x ax)dx x ax a 1 .
è ø ò ò
= - - = - - = -ç - ÷ = -
Trang 102
2 (a b) 1 (a2 b2 ).
=a + + a+ +
2
Tröôøng hôïp 3: Neáu a £ a thì:
b 2 b
a a
Daïng 2: Vôùi tích phaân:
b
2
a
Khi ñoù vôùi xÎ[a,b] caàn xeùt caùc tröôøng hôïp:
Tröôøng hôïp 1: Neáu D = a2 - 4b £ 0 thì:
b
I = ò(x 2
+ ax + b)dx
a
Tröôøng hôïp 2: Neáu D > 0 thì x2 + ax + b = 0 coù hai nghieäm phaân bieät x 1 < x .
2 b
· Neáu x < x £ a hoaëc b £ x < x thì:
2
1 2 1 2 a
· Neáu 1 2 x £ a < b £ x thì:
b
2
a
· Neáu 1 2 x £ a < x < b thì:
2
2
a x
· Neáu 1 2 a £ x < b £ x thì:
1
1
· Neáu 1 2 a £ x £ x £ b thì:
1 2
1 2
Chuù yù: Vôùi baøi toaùn cuï theå thöôøng thì caùc nghieäm x1, x2 coù theå ñöôïc so saùnh töï nhieân vôùi
caùc caän a, b ñeå giaûm bôùt caùc tröôøng hôïp caàn xeùt vaø ñaây laø ñieàu caùc em hoïc sinh caàn löu
taâm.
1
Ví duï 2: (ÑHYD TP.HCM_96) Tính tích phaân:
I = ò x. x - a dx (a > 0)
0
Giaûi:
Ta ñi xeùt caùc tröôøng hôïp sau:
Tröôøng hôïp 1: Neáu a ³ 1
Khi ñoù:
1 1 3 2 1
2
3 2 2 3
0 0 0
Tröôøng hôïp 2: Neáu 0 < a < 1

I x.(x a)dx = -ò - + ò x.(x - a)dx = -ò(x - ax)dx + ò(x - ax)dx
æ ö æ ö
x ax x ax a a 1.
3 2 3 2 3 2 3
= -ç - ÷ + ç - ÷ = - +
è ø è ø
-
ò + - - b/ 1 2
(| 2x 1| (x | )dx;
-
ò - - c/ 1
1
ò x - 6x + 9dx; e/ 1
ò - f/ 1
ò | 2 - 4 | dx; h/ 3 3 2
ò x - 2x + xdx.
p
p
- ò b/
2 2cos2xdx p ò +
1 sin2xdx; p ò - d/ 2
1 sinx.dx. p ò +
I(t) = ò | e - t | .dx, tÎR
ò | x -m | dx; b/ 2 2
ò | x - (a +1)x + a | dx.
1 m,m 0
2
m m 1 , 0 m 1.
ì - £ ïïíï- + < £
Trang 103
Khi ñoù:
a 1 a 1
2 2
0 a 0 0
3 2 a 3 2 1 3
0 a
BAØI TAÄP
a/ 5
3
(|x 2| |x 2 | dx;
1
| x | dx ;
ò
- 1 x 4 - x 2
-12 d/ 4 2
1
4 | x | .dx;
-
ò -
1
| x| xdx
-
g/ 3 x
0
0
ÑS: a/ 8; b/ 3
2
c/ 2 ln 3 ;
7 4
d/ 5 ;
2
e/ 2(5 - 3); f/ 2 2 ;
3
g/ 4 1 ;
+ h/ 24 3 8.
ln2
15
+
a/ 2
2
| sinx | dx;
0
c/
0
0
ÑS: a/ 2; b/ 4; c/ 2 2; d/ 4 2.
Baøi 11. Cho 1 x
0
a/ Tính I(t).
b/ Tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa I(t), vôùi tÎR.
ÑS: a/
t 1 e,t e
2t.lnt 3t e 1, 1 t e
e t 1,t 1
+ - ³ ìï
- + + < < íï
î - - £
b/ min I(t) = ( 3 -1)2 , t = e.
a/ 1
0
1
ÑS: a/
2
2
ïî
b/
3a 5 ,a 2
6
(a 1) 3a 5,1 a 2
3 6
5 3a ,a 1
6
ì - ³ 3
ïïï
- -
- < < íïï
-
£ ïî

Vaán ñeà 5: CAÙCH TÍNH: ò ò b b
max[f(x), g(x)]dx, min[f(x), g(x)]dx.
a a
Phöông phaùp:
· Ta tìm max[f(x), g(x)], min[f(x), g(x) baèng caùch xeùt hieäu:
f(x) - g(x) treân ñoaïn [a ; b]
x a c b
f(x) – g(x) + 0 –
ò max[f(x),g(x)dx = ò [f(x),g(x)]dx + ò max[f(x), g(x)]dx
= ò max[f(x), g(x)]dx, trong ñoù f(x) = x2 vaø g(x) = 3x - 2.
x 0 1 2
f(x) – g(x) + 0 –
I = ò max[f(x); g(x)]dx + ò max[f(x); g(x)]dx
x dx (3x 2)dx x 3 x 2x
= + - = + æ - ö ç ÷
3 2
ò max(x; x )dx; b/ 2 2
ò min(1; x )dx;
ò min(x; x )dx; d/ 2
Trang 104
· Giaû söû ta coù baûng xeùt daáu:
Töø baûng xeùt daáu ta coù:
– vôùi xÎ[a; c] thì max[f(x), g(x)] = f(x)
– vôùi xÎ[c; b] thì max[f(x),g(x)] = g(x).
· Töø ñoù: b c b
a a c
c b
a c
= ò f(x).dx + ò g(x).dx
· Caùch tìm min[f(x), g(x)] thöïc hieän töông töï.
Ví duï: Tính tích phaân: 2
0 I
Giaûi:
Xeùt hieäu: f(x) - g(x) = x2 - 3x + 2 treân ñoaïn [0 ; 2] :
Do ñoù:
– Vôùi xÎ[0; 1] thì max[f(x); g(x)] = x2
– Vôùi xÎ[1; 2] thì max[f(x); g(x)] = 3x - 2
Ta coù: 1 2
0 1
3 1 2 1 2 2 2
0 1
0 1
ò ò
1 6 4 3 2 17 .
3 2 6
è ø
= + - - + =
BAØI TAÄP
a/ 2 2
0
1
c/ 2 3
0
0
(sinx, cosx)dx.
p
ò
ÑS: a/ 55;
6
b/ 4 ;
3
c/ 7 ;
4
d/ 2 - 2.
0

Vaán ñeà 6: LÔÙP CAÙC TÍCH PHAÂN ÑAËC BIEÄT
Trong vaán ñeà naøy ta ñi chöùng minh roài aùp duïng moät soá tính chaát cho nhöõng lôùp tích
= ò = ò + ò (1)
I f(x)dx f(x)dx f(x)dx
J = -òf(-t)dt = -ò f(t)dt = -ò f(x)dx.
I cosx.ln 1 x dx.
æ - ö = ç ÷
ò è + ø
1 x -
æ - ö = ç ÷
æ - ö æ - ö + - = ç ÷ + - ç ÷
é æ - ö æ + öù = ê ç ÷ + ç ÷ú = = ë è + ø è - øû
é- ù êë úû
Trang 105
phaân ñaëc bieät.
Tính chaát 1: Neáu f(x) lieân tuïc vaø laø haøm leû treân [–a ; a] thì:
a
= ò =
I f(x)dx 0.
a
-
a 0 a
a a 0
- -
Xeùt tính phaân
0
= ò
J f(x)dx.
a
-
Ñaët x = -t Þ dx = -dt
Ñoåi caän: x = –a Þ t = a; x = 0 Þ t = 0
Maët khaùc vì f(x) laø haøm leû Þ f(–t) = –f(t).
0 a a
Khi ñoù:
a 0 0
Thay (2) vaøo (1) ta ñöôïc I = 0 (ñpcm).
AÙp duïng:
1/ 2
1/ 2
Giaûi:
Nhaän xeùt raèng: haøm soá f(x) cos x.ln 1 x
1 x
è + ø
coù:
· Lieân tuïc treân 1 ; 1
éù êë - 2 2
úû
· f(x) f( x) cos x.ln 1 x cos( x).ln 1 x
1 x 1 x
è + ø è + ø
ln 1 x ln 1 x cosx ln1.cosx 0.
1x 1 x
Þ f(-x) = -f(x).
Vaäy, f(x) laø haøm leû treân 1 ; 1
2 2
, do ñoù theo tính chaát 1 ta ñöôïc I = 0.
Chuù yù quan troïng:
1. Khi gaëp daïng tích phaân treân thoâng thöôøng hoïc sinh nghó ngay tôùi phöông phaùp tích

phaân töøng phaàn, xong ñoù laïi khoâng phaûi yù kieán hay. Ñieàu ñoù cho thaáy vieäc nhìn nhaän
tính chaát caän vaø ñaëc tính cuûa haøm soá döôùi daáu tích phaân ñeå töø ñoù ñònh höôùng vieäc löïa
choïn phöông phaùp giaûi raát quan troïng.
2. Tuy nhieân vôùi moät baøi thi thì vì tính chaát 1 khoâng ñöôïc trình baøy trong phaïm vi kieán
thöùc cuûa saùch giaùo khoa do ñoù caùc em hoïc sinh leân trình baøy nhö sau:
0 1/ 2
I cosx.ln 1 x dx cosx.ln 1 x dx
æ - ö æ - ö = ç ÷ + ç ÷
ò è + ø ò è + ø . (1)
1 x 1 x -
1/2 0
J cosx.ln 1 x dx
æ - ö = ç ÷
ò è + ø
1 x -
=- Þ = x = 0 Þ t = 0.
I cos( t).ln 1 t dt cos t.ln 1 t dt cosx.ln 1 x dx
+ = - ò - æ ö ç = - 1 - t ÷ ò æ - ö æ - ç = - ö 1 ç ÷ (2)
è ø è + t ÷ ò ø è 1 + x
ø Thay (2) vaøo (1) ta ñöôïc I = 0.
= ò = ò
I f(x)dx 2 f(x)dx.
= ò = ò + ò (1)
J = -ò f(-t)dt = ò f(t)dt = ò f(t)dt = ò f(x)dx (2)
I = 2ò f(x)dx ñpcm.
Trang 106
Xeùt tính chaát
0
1/ 2
Ñoåi caän: x 1 t 1 .
2 2
Khi ñoù:
0 1/ 2 1/ 2
1/ 2 0 0
3. Vaäy keå töø ñaây trôû ñi chuùng ta seõ ñi aùp duïng yù töôûng trong phöông phaùp chöùng minh
tính chaát ñeå giaûi ví duï trong muïc aùp duïng.
Tính chaát 2: Neáu f(x) lieân tuïc vaø laø haøm chaün treân ñoaïn [–a ; a] thì:
a a
a 0
-
a 0 a
a a 0
- -
Xeùt tính phaân
0
= ò
J f(x)dx.
a
-
Ñoåi caän: x = –a Þ t = a; x = 0 Þ t = 0
Maët khaùc vì f(x) laø haøm chaün Þ f(–t) = f(t)
0 a a a
Khi ñoù:
a 0 0 0
Thay (2) vaøo (1) ta ñöôïc
a
0
1. Trong phaïm vi phoå thoâng tính chaát treân khoâng mang nhieàu yù nghóa öùng duïng, do ñoù
khi gaëp caùc baøi toaùn kieåu naøy chuùng ta toát nhaát cöù xaùc ñònh:
a
= ò
I f(x)dx
a
-

baèng caùch thoâng thöôøng, thí duï vôùi tích phaân:
I 2 x dx 2x 2 .
= ò = =
a a
I f(x)dx f(x)dx vôùi R vaø a 0.
+ ò ò
= = "aÎ >
a a
+ + + ò ò ò
= = +
a 1 a 1 a 1
a a
I f( t)dt a f(t)dt a f(t)dt
+ + + ò ò ò
a 1 a 1 a 1
a a a + a
= = = =
I a f(t)dt f(x)dx (a 1)f(x)dx f(x)dx.
ò a ò ò ò
+ 1 a + 1 a + 1
I x dx
2 1 -
I x dx x dx
+ + ò ò (1)
= +
2 1 2 1 -
Trang 107
1
2
= ò
I x dx.
1
-
Ta khoâng neân söû duïng pheùp bieán ñoåi:
1 3 1
2
3 3
0 0
bôûi khi ñoù ta nhaát thieát caàn ñi chöùng minh laïi tính chaát 2, ñieàu naøy khieán baøi toaùn trôû
3 1
neân coàng keành hôn nhieàu so vôùi caùch laøm thoâng thöôøng, cuï theå:
I x 2 .
= =
3 - 1
3
2. Tuy nhieân khoâng theå phuû nhaän söï tieän lôïi cuûa noù trong moät vaøi tröôøng hôïp raát ñaëc
bieät.
Tính chaát 3: Neáu f(x) lieân tuïc vaø laø chaün treân R thì :
x
0
a 1
+
-a
0
x x x
0
-a -a
Xeùt tính phaân
0
I f(x)dx
1 x
a 1 -a
=
+ ò
Ñoåi caän: x = 0 Þ t = 0; x = –a Þ t = a.
Maët khaùc vì f(x) laø haøm chaün Þ f)–t) = f(t).
0 t t
Khi ñoù:
1 t t t
0 0
-
a
-
= = =
Vaäy:
t x
t x x
0 0 0 0
AÙp duïng:
1 4
x
1
=
+ ò
Giaûi:
0 4 1 4
x x
1 0
Xeùt tích phaân
0 4
J x dx
x
2 1 -
1
=
+ ò
Ñaët x = –t Þ dx = –dt
Ñoåi caän: x = –1 Þ t = 1, x = 0 Þ t = 0.

J ( -
t) dt t .2 .dt x .2 .dx
+ + + ò ò ò (2)
= - = =
2- 1 2 1 2 1
I x .2 .dx x dx x (2 +
1)dx x dx 1 .
+ + + ò ò ò ò
= + = = =
2 1 2 1 2 1 5
é pù
êë úû
p =Þ =
= Þ = x t 0.
p p p
f(sinx)dx f(sin( t)dt f(cost)dt f(cosx)dx
p p
= ò = ò
I f(sinx)dx (hoaëcI f(cosx)dx).
p
= - nhö trong phaàn chöùng minh tính chaát,
p
=ò
I f(cosx)dx.
p p p
= ò + ò = ò + .
2I f(sinx)dx f(cosx)dx [f(sinx) f(cosx)]dx
I cos xdx
p =Þ =
= Þ = x t 0.
Trang 108
Khi ñoù:
0 4 1 4 t 1 4 x
t t x
1 0 0
1 4 x 1 4 1 4 x 1
4
x x x
0 0 0 0
Tính chaát 4: Neáu f(x) lieân tuïc treân 0;
2
thì:
/ 2 / 2
p p
ò = ò
f(sinx)dx f(cosx)dx.
0 0
CHÖÙNG MINH
p=
Ñaët t x dx dt
2
- Þ = -
p
Ñoåi caän: x 0 t ,
2
2
Khi ñoù:
/ 2 0 / 2 / 2
2
0 / 2 0 0
p
p
ò = - ò - = ò = ò ñpcm.
Nhö vaäy vieäc aùp duïng tính chaát 4 ñeå tính tích phaân:
/ 2 / 2
0 0
thöôøng ñöôïc thöïc hieän theo caùc böôùc sau:
Böôùc 1: Baèng pheùp ñoåi bieán t x
2
ta thu ñöôïc
/ 2
0
Böôùc 2: Ñi xaùc ñònh kI (noù ñöôïc phaân tích
/ 2 / 2
p p
= a ò + b ò
kI f(sinx)dx f(cosx)dx)),
0 0
thöôøng laø:
/ 2 / 2 / 2
0 0 0
Töø ñoù suy ra giaù trò cuûa I.
AÙp duïng:
/ 2 n
n n
0
cos x sin x
p
=
+ ò
Giaûi:
p=
Ñaët t x dx dt
2
- Þ = -
p
2
2

cos t ( dt) sin tdt sin x I 2 dx.
ò ò ò
cos t sin t cos t sin t cos x sin x
p + p p p
= = = Þ =
2I cos x sin x dx dx I .
+ ò ò
cos x sin x 2 4
I = ò(a + b - t)f(a + b - t)(-dt) - ò(a + b - t)f(t)dt
= ò(a + b)f(t)dt - ò tf(t)dt = (a + b)ò f(t)dt - ò xf(x)dx = (a + b)ò f(t)dt - I
2I (a b) f(t)dt I a +
b f(x)dx.
Û = + ò Û = ò
2
I xsin xdx .
p p p
= = =
I xsin xdx xsin xdx xf(sin x)dx.
ò 4 - (1 sin x) ò - 3 + sin x
ò
p p p
I ( t)sin( t)dt ( t)sin tdt sin tdt t sin tdt
- p- - - - ò ò ò ò
4 cos( t) 4 cost 4 cos t 4 cos t
p p p
d(cos t) I 2I d(cos t) d(cos t)
4 cos t 4 cost cos t 4
- - - ò ò ò
= -p - Û = -p = p
p p p - p p
I d(cos t) . 1 ln cos t 2 ln 9 .
- + ò
Û = = =
2 cos t 4 2 4 cos t 2 8
Trang 109
Khi ñoù:
n
0 / 2 n / 2 n
n n n n
/ 2 n n 0 0
2 2
p p
p
æ p ö ç - ÷ -
= è ø = =
æ p ö æ p ö + + ç - ÷ + ç - ÷
è ø è ø
Do ñoù:
/ 2 n n / 2
n n
0 0
Tính chaát 5: Neáu f(x) lieân tuïc vaø f(a + b – x) = f(x) thì
b b
I xf(x)dx a b f(x)dx.
= ò = + ò
2
a a
CHÖÙNG MINH
Ñaët x = a + b - tÞdx = -dt
Ñoåi caän: x = a Þ t = b; x = b Þ t = a
Khi ñoù:
a b
b a
b b b b b
a a a a a
b b
a a
p-a p-a
p
= ò = ò
Heä quaû 1: Neáu f(x) lieân tuïc treân [0 ; 1] thì: I xf(sinx)dx f(sinx)dx
2
a a
Höôùng daãn chöùng minh: Ñaët x = p – t Þ dx = –dt.
AÙp duïng:
Ví duï 4: Tính tích phaân: 2
0
4 cos x
p
=
- ò
Giaûi:
Bieán ñoåi I veà daïng: 2 2
0 0 0
Ñaët x = p- t Þ dx = -dt
Ñoåi caän: x = p Þ t = 0; x = 0 Þ t = p.
0
Khi ñoù:
2 2 2 2
0 0 0
p
p- p- p- p
= - = = -
2 2 2
0 0 0
2
0 0

Heä quaû 2: Neáu f(x) lieân tuïc treân [0 ; 1] thì:
p
= ò
I x.cos xdx
p
= ò p - p - - = ò p -
I (2 t).cos (2 t)( dt) (2 t).cos tdt
p p p p
= p ò - ò = ò + -
2 cos tdt t cos tdt (cos3t 3cost)dt I
2
p p æ ö Û = ç + ÷ = Û =
2I 1 sin3t 3sin t 0 I 0.
I = ò f(a + b - t)(-dt) = -ò f(t)dt = -òf(x)dx = -I Û 2I = 0 ÛI = 0.
p æ + ö = ç ÷ è + ø ò
Giaûi:
I ln 1 sin x dx.
p=Þ =
= Þ = x t 0.
æ + æ p - ö ö ç ç ÷ ÷ æ + ö æ + ö = ç è ø ÷ - = ç ÷ = - ç ÷ ç + æ p - ö ÷ è + ø è + ø ç ç ÷ ÷ è è ø ø
1 sin t 1 cos t 1 sin t I ln 2 ( dt) ln dt ln dt
ò ò ò
1 cos t 1 sin t 1 cos t
p æ + ö = - ç ÷ = - Û = Û = è + ø ò
Trang 110
2 2
p-a p-a
= ò = p ò
I xf(cosx)dx f(cosx)dx.
a a
Höôùng daãn chöùng minh: Ñaët x = 2p – t Þ dx = –dt.
AÙp duïng:
2
3
0
Giaûi:
Ñaët x = 2p - t Þ dx = -dt
Ñoåi caän: x = 2p Þ t = 0; x = 0 Þ t = 2p.
0 2
Khi ñoù:
3 3
2 0
p
2 2 2
3 3
0 0 0
2
0
2 3
è ø
Tính chaát 6: Neáu f(x) lieân tuïc vaø f(a + b – x) = –f(x) thì
b
I = òf(x)dx = 0.
a
CHÖÙNG MINH
Ñaët x = a + b - tÞdx = -dt
Ñoåi caän: x = a Þ t = b; x = b Þ t = a
Khi ñoù:
a b b
b a a
AÙp duïng:
Ví duï 6: (CÑSPKT_2000) Tính tích phaân:
/ 2
0
1 cosx
p=
Ñaët t x dx dt
2
- Þ = -
p
2
2
Khi ñoù:
0 / 2
/ 2 0 0
2
p p
p
/ 2
0
ln 1 sin x dx I 2I 0 I 0.
1 cosx

Chuù yù: Neáu ta phaùt bieåu laïi tính chaát 6 döôùi daïng:
“Giaû söû f(x) leân tuïc treân [a ; b], khi ñoù:
p
= ò +
I ln(1 tgx)dx.
p =Þ =
= Þ = x t 0
p p
I ln[1 tg( t)dt ln(1 1 tgt )dt ln 2 dt
4 1 tgt 1 tgt
p p p
p = ò - + = ò - ò + = -
[ln2 ln(1 tgt)]dt ln2 dt ln(1 tgt)dt ln2.t I
ò f(x)dx = ò[f(x) + f(2a - x)]dx.
ò f(x)dx = ò f(x0dx + ò f(x)dx (1)
I = -ò f(2a - t)dt = ò f(2a - t)dt = òf(2a - x)dx (2)
ò f(x)dx = ò f(x)dx + ò f(2a - x)dx = ò[f(x) + f(2a - x)]dx . (ñpcm)
p
=ò
I sinx.sin2x.sin3x.cos5xdx.
Trang 111
b a
ò f(x)dx = ò f(a + b - x)dx"
a b
Ñieàu ñoù seõ giuùp chuùng ta coù ñöôïc moät phöông phaùp ñoåi bieán môùi, cuï theå ta xeùt
ví duï sau:
/ 4
0
Giaûi:
p=
Ñaët t x dx dt
4
- Þ = -
p
4
4
Khi ñoù:
0 / 4 / 4
/ 4 0 0
p
p -
=- + - = + =
ò ò + ò +
/ 4 /4 / 4
/ 4
0
0 0 0
2I p ln 2 I p
ln 2 .
Û = Û =
4 8
Tính chaát 7: Neáu f(x) lieân tuïc treân ñoaïn [0 ; 2a] vôùi a > 0 thì
2a a
a 0
CHÖÙNG MINH
Ta coù:
2a a 2a
a 0 a
Xeùt tích phaân
2a
I = ò f(x)dx.
2
a
Ñaët x = 2a - t Þ dx = -dt
Ñoåi caän: x = a Þ t = a; x = 2a Þ t = 0.
Khi ñoù:
0 a a
2
a 0 0
Thay (2) vaøo (1) , ta ñöôïc:
2a a a a
a 0 0 0
AÙp duïng:
3
0

Giaûi:
p p
= ò + ò (1)
I sinx.sin2x.sin3x.cos5xdx sinx.sin2x.sin3x.cos5xdx.
p
= ò
J sinx.sin2x.sin3x.cos5xdx.
= Þ = x = 3p Þ t = 0.
= - ò p - p - p - p -
J sin(3 t).sin2(3 t).sin3(3 t).cos5(3 t)dt
p p
= - ò sint.sin2t.sin3t.cos5tdt = - ò sinx.sin2x.sin3x.cos5xdx.
(2)
+
ò f(x)dx = ò f(x)dx + ò f(x)dx + ò f(x)dx
(1)
I = ò f(t + T)dt = -ò f(t)dt = -ò f(x)dx. (2)
+
ò f(x)dx = ò f(x)dx.
(ñpcm)
I 1 cos2xdx.
p p p p
= ò = ò + ò + + ò (1)
I 2 sinx dx 2( sinx dx sinx dx ... sinx dx)
Trang 112
Vieát laïi I döôùi daïng:
3 /2 3
0 3 / 2
p
Xeùt tích phaân
3
3 / 2
p
Ñaët x = 3p - t Þ dx = -dt
Ñoåi caän: x 3 p t 3 p
,
2 2
Khi ñoù:
0
3 / 2
p
3 / 2 3 / 2
0 0
Thay (2) vaøo (1), ta ñöôïc: I = 0.
Tính chaát 8: Neáu f(x) lieân tuïc treân R vaø tuaàn hoaøn vôùi chu kyø T thì :
aT T
+
ò = ò
f(x)dx f(x)dx.
a 0
CHÖÙNG MINH
Ta coù:
T a aT T
0 0 a a T
+
Xeùt tích phaân
T
= ò
I f(x)dx.
3
a T
+
Ñaët t = x - T Þ dx = dt
Ñoåi caän: x = a + T Þ t = a; x = T Þ t = 0.
0 a a
Khi ñoù:
3
a 0 0
Thay (2) vaøo (1) , ta ñöôïc:
T a T
0 a
AÙp duïng:
2004
0
p
= ò -
Giaûi:
Vieát laïi I döôùi daïng:
2004 2 4 2004
0 0 2 2002
p p
Theo tính chaát 8, ta ñöôïc:

2 4 2
p p p p
ò = ò = ò - ò
sinx dx sinx dx 1002( sinxdx sinxdx)
0 2 0
p p
+
+ ò g/ 1 x2 2 2
ò + + i/ 1
dx ;
- (e +1)(x +1) ò k/
p b/ 1 ln9;
p d/ ;
= ò ÑS: 6.
x.dx dx 1, (tg 0)
x 1 x(x 1)
a a + = a >
+ + ò ò .
ì p £ £ ïï = í p ï =
Trang 113
2
1002 2(cosx 0 cosx ) 4008 2. p p
= + p =
Nhaän xeùt: Nhö vaäy neáu baøi thi yeâu caàu tính tích phaân daïng treân thì caùc em hoïc sinh nhaát
thieát phaûi phaùt bieåu vaø chöùng minh ñöôïc tính chaát 8, töø ñoù aùp duïng cho tích phaân caàn tìm.
BAØI TAÄP
a/
1 2
1 x
1 -
x dx;
ò b/ 2
- 1 + 2
2
2
x cosx dx;
4 sin x
p
p
-
+
- ò c/ 3
x.sin x.dx; p ò d/
0
2
x
sin xdx;
3 1
p
-p + ò
e/
p
2 2
ò 2
f/
p
- + x
2
x | sin x | dx;
1 2
1 4
1 2
x sinxdx;
- x 1
ò +
1 (
e .sinx e .x )dx;
-
h/ 1 3 2
1
ln (x x 1) dx;
-
1 x 2
7
sin x dx.
2
0 7 7
sin x cos x
p
+ ò
ÑS: a/ ;
4
2
c/ 3 ;
4
p e/ p + 2;
2
f/ 4 ;
2 3
p
- g/ 2 2e ;
3
p k/ .
h/ 0; i/ ;
4
p
4
Baøi 15. Cho lieân tuïc treân R vaø thoaû maõn: f(x) + f(-x) = 2 - 2 cos2x, "xÎR
Tính tích phaân
3
2
3
2
p
p
-
I f(x)dx.
Baøi 16. Chöùng minh raèng: tg cot g
1 2 1 2
e e
Baøi 17. Cho haøm soá f(x) lieân tuïc treân ñoaïn [0; ) thoûa maõn f(t) f 1 ,
+ ¥ = æ ö ç ÷
t
è ø
vôùi "t > 0 vaø
haøm soá.
f(tgx) ,neáu0 x
g(x) 2
f(0) , neáu x
2
ïî
Chöùng minh raèng:
a/ g(x) lieân tuïc treân 0; ;
é pù
êë 2
úû
p p
p ò = ò
b/ 4 2
0
g(x).dx g(x).dx.
4

Vaán ñeà 7: TÍCH PHAÂN CAÙC HAØM SOÁ HÖÕU TÆ
(xem laïi vaán ñeà 7 cuûa baøi hoïc 1)
BAØI TAÄP
x.dx ;
- (x + 2) ò c/
ò (1+ x) dx; g/ 1 2 n
p
- b/ ln3 4 ;
- c/ 11 7;
p
+ d/ 2 ;
x.dx dx , (tga 0)
1x x(1 x )
ò + ò >
e/
+ + + +
p b/ 1 ln 21 3 ln 7 ;
+ c/ 1 ln 32 ;
p g/ p
.
Trang 114
a/
3 4
0 2
x 1dx;
x 9
-
+ ò b/ 1
1 2
5 2
1 2 2
(2x 18)dx ;
(x 6x 13)
+
- + ò d/
5 2 9
0 5 3
x .dx ;
(x +1) ò
e/
4 2 15
0 4 8 2
ò x .dx ;
f/ 1 n
(x +1) 0
ò x(1- x ) dx;
0
ÑS: a/ 20 18;
3
3
8 4
45
e/ 35 .5 125 25 ;
192 192
+ f/
2n 1 1;
n 1
+ -
+
g/ 1 .
2(n +1)
a/
2 3
1 8
x .dx;
x +1 ò b/
1 3
2
0 2
x .dx ;
x - 3x + 2 ò c/ 2
ò
dx ;
0 x(x 4
+1) d/ tga cot ga
1 2 1 2
e e
b 2
0 2 2
(a -
x )dx , (a,b >
0);
(a x )
+ ò
f/
2 6 2
2
1 4
+ +
x 1dx;
x 1
+ ò g/
1 5 2
2
1 4 2
(x 1)dx .
x x 1
- + ò
ÑS: a/ ;
16
4 2 4 2
4 17
d/1;
b ;
a + b
e/ 2
f/ ;
8
4

Vaán ñeà 8: TÍCH PHAÂN CAÙC HAØM LÖÔÏNG GIAÙC
BAØI TAÄP
4sin x.dx ;
1 cos x
p
+ ò c/ 4
p
p
+ b/ 2 ln 3 2 2 ;
+ c/ 1 ln 2 ;
8 5 8 2 ;
27 (2 2)
p -
p
p
- ò f/ 4 3
x.sinx.cos x.dx; p ò e/ 3
æ + ö
ç ÷
è + ø
p e/ 4 2ln(2 3);
p
- + f/ 4 .
f(x) sin 2x
f(x) A.cosx B.cosx .
= +
Trang 115
a/ 8
0
cos2x.dx ;
sin2x cos2x
p
+ ò b/
3
4
0 4
dx
0 2 2
;
sin x 2sinxcosx 8cos x
p
+ - ò
d/ 4
sinx.dx ;
0 6 6
sin x cos x
p
+ ò e/
6 6
4
x
4
sin x cos xdx;
6 1
p
p
-
+
+ ò f/ 4
cos2x.dx ;
0 3
(sinx cosx 2)
p
+ + ò
p + +
g/ 2
0
sinx 7cosx 6 dx;
4sinx 3cosx 5
+ + ò h/ 2
sinx.cosx dx dx (a,b 0)
a .cos x b .sin x
0 2 2 2 2
¹
+ ò
ÑS: a/ 1 ln2;
16 8
2
6 5
d/ 2 ln4;
3
e/ 5 ;
32
p f/ +
-
2
+
g/ ln 9 1 ;
2 8 6
p
+ + h/ 1 .
| b | + | a |
a/
p
3
òb/ 4
p 2
6
cis x.dx;
sinx
0
cosx sinx dx;
2 sin2x
+ ò c/
3 3
2
3
3
cot g. sin x sinx.dx;
sin x
p
p
- ò
d/ 3
0
2
3
x.sinx.dx;
cos x
0 xcos x.sin x.dx. p ò -
ÑS: a/ ln( 2 +1); b/ ln 3 2 ;
2 1
c/
3 9 ;
24
-
d/ ;
3
3
p
35
Baøi 22. Tìm hai soá A, B ñeå haøm soá 2
(2 sinx)
=
+
coù theå bieåu dieãn döôùi daïng:
2
(2 sin) 2 sin x
+ +
Töø ñoù tính: 0
p f(x).dx.
- ò
2
ÑS: A = –4; B = 2; ln4 – 2.
p
ò b/
a/ 2 2
0
x .cosx.dx;
2
2 2
4
cos ( x).dx; p
òp c/ 3
2
4
x.dx ;
sin x
p
òp

p
ò f/ 2x 2
p p
- - e/ 3p - 6; f/ -8(p2 + 4).
cos x.sin(n 1)x.dx; òp - -
sin x.cos(n 1).dx, (n N,n 1); òp - + Î ³ b/ n 1
p
ò + d/ 2 n
I cos x.dx ;
p +
I 3sin x 4 cos x dx.
p c/ 1 ;
p p
I sin x.dx vaø J cos x.dx .
+ + ò ò
= =
- = - + = b/ K 1 ln3 3 1.
p p
ò = ò
cos x.cos6x.dx cos x.sinxsin6x.dx
Trang 116
p
ò e/
d/ 4 2
0
x.tg x.dx;
3
8 3
0
sin x.dx;
ò x .sin x .dx;
0
2
ÑS: a/
2
2;
p
4
- b/
3 p
2 1 ;
8 2
c/ p (9 -
4 + 3);
36
d/
1 2 ln2 ;
4 2 32
a/ n 1
0
0
c/ 2 n
0
cos x.sin(n 1)x.dx;
p
ò +
0
cos x.sin(n 2)x.dx.
ÑS: a/ 0; b/ 0; c/ 0; d/ 1 .
n +1
a/ 2
0 I
( cosx sinx)dx;
p
= ò - b/
n
2
0 n n
cos x sin x
p
=
+ ò
p -
I 5cosx 4sinx;
c/ 2
0 3
(cosx sinx)
=
+ ò d/ 2
0 2 2
3sin x 4cos x
=
+ ò
ÑS: a/ 0; b/ ;
4
2
p
d/ +
ln3.
2 3
Baøi 26. Ñaët:
2 2
6 6
0 0
sinx 3cosx sinx 3.cosx
a/ Tính: I – 3J vaø I + J.
b/ Töø caùc keát quaû treân haõy tính caùc giaù trò cuûa I, J vaø K :
5
3
3
2
K cos2x.dx .
cosx 3sinx
p
p =
- ò
ÑS: a/ I 3J 1 3; I J 1 ln3;
4
-
= -
8 2
Baøi 27.a/ Chöùng minh raèng: 2 6 2 5
0 0
p
= ò
b/ Tính: 2 5 7
0 Jcos x.cos x.dx.
ÑS: b/ J = 0.

Vaán ñeà 9: TÍCH PHAÂN CAÙC HAØM SOÁ VOÂ TÆ
BAØI TAÄP
æ - ö
ç ÷
è + ø - ò b/ 6
dx ,m N .
1 1.
2
dx ;
x x - 9 ò c/ 1 3 2
ò - e/ 2 2 3
p c/ 2 ( 2 1);
p
- e/ 32 (4 2 1);
ò x 2ax - x .dx; g/ n a n 1
ò x x - x .dx; f/ 2a 2
dx ;
- 1+ x + 1+ x ò
Trang 117
a/ 3
x 1 . dx ;
x 1 (x 1)
3
2 2
4
x 4 . dx ;
x 2 x 2
ò -
c/ 1
+ + 0
x .(x -
2).dx;
4 x
- ò
d/
2
2
0
1 x.dx;
1 x
ò +
e/ 1 *
- 0 m m m
(1 x ). 1 x
Î
+ + ò
ÑS: a/ 3 (3 3 3 2);
2
- b/ ln3-1; c/ p - 4;
d/ 1( 4 2 2);
4
p+ - e/ m
-
a/ 4
dx ;
ò b/ 6
2 x 16 - x 2
2 3 2
ò x . 1+ x dx;
0
d/ 2 2 2
1
x 4 x .dx;
-
0x(x 4) .dx; ò + f/
3
2 2 2 3
0
ò x . (3 - x ) .
ÑS: a/ 1 ln tg ;
æ p ö - ç ÷
4 12
è ø
b/ ;
18
15
-
d/ 5 3;
6 4
5
- f/ 9 (4 9 3).
64
p+
a/
4 2
4 3
3
x 4dx;
x
- ò b/
1 2
2 2
2
1 x .dx;
x
- ò c/
1
2
1 2
4
dx ;
x - x ò d/
1 2
0 2
x .dx ;
2x - x ò
e/ a 2 2 2
0
0
x -
.dx (a 0;n 2).
a x
2
0 2 2n
> ³
- ò
ÑS: a/ 1 (4 3 );
3
- p b/ 1 (4 );
4
p d/ 1 (3 8);
- p c/ ;
6
4
p-e/
a4 ;
16
p f/
a3 ;
2
p g/ p
.
6n
a/ 2
0
dx ;
x 3 x 1
p
+ + + ò b/ 1
1 2

+
- + + ò
x ( x +1 + x) ò d/ 8
(2x 1)dx ;
x 4x x 2
+ d/ 8 3 2 1 ln(3 2 2).
+ - -
+ ò
= > Î
= b/ 2ln(1 2).
Trang 118
c/ 2
dx ;
1 2 2
4 2
ÑS: a/ 19 3 2;
6
- - b/ 1;
c/ ln (2 5)( 2 1) 2 2 5 ;
2 2
- - +
2
Baøi 32. Cho
a n
0 3 3
I x .dx ; (a 0,n N)
x a
a/ Vôùi giaù trò naøo cuûa n thì I khoâng phuï thuoäc vaøo a.
b/ Tính I vôùi n tìm ñöôïc.
ÑS: a/ n 1 ;
2
3
+

Vaán ñeà 10: TÍCH PHAÂN CAÙC HAØM SIEÂU VIEÄT
BAØI TAÄP
p e/ 2 1ln(1 2);
+ + f/ 3 3( 16 1).
1 1 dx;
ln x ln x
æ - ö ç ÷
è ø ò c/
lnx.dx ;
(x +1) ò f/ 3
p
ò + b/ 4
p
ò +
+ ò d/
p c/ 2ln2 -1; d/
Trang 119
a/ ln2 2x
ò 1- e .dx; b/
0
ln 5 x x
0 x
e . e -
1dx;
e 3
ò + c/ e
dx ;
ò
1 x 1-ln 2
x d/ e
dx ;
ò e/
1 x(1+ ln 2
x e 2
1
1 ln x dx;
x
+ ò f/
e 3 2
1
lnx 1 ln x.
+ ò
x
æ - ö
ç + ÷
è + ø
ÑS: a/ 1 3 ln 2 3 ;
2 2 3
p
b/ 4 - p; c/ ;
6
d/ ;
4
2 2
8
-
lnxdx;
ò x b/
a/ 2
0 2
e2
e 2
ò e
3
ln(lnx).dx;
e
2
x
+
+ ò e/ e
d/ 1
0
ln(x 1).dx ;
x 1
1 2
2
6
ln(sinx).dx .
cos x
p
p ò
ÑS: a/ 1 (1 2ln 2);
2
- b/ 2 1 (2e e );
2
- c/ ln 27 ;
4e
d/ 2 ln 4 - 4 2 + 4; e/ 0; f/ 3 ln 3 3 p
-
.
3 2 6
a/ 2
log (1 tgx).dx;
0 2
0
ln(1 tgx)dx;
c/
1 cosx
p + +
2
0
(1 sinx)
ln dx;
1 cosx
1 x
0 x 3
x.e dx ;
(1+ e ) ò
p b/ ln2;
ÑS: a/ ;
8
8
2
e 4e 1 1 ln e 1 .
4(e 1) 2 2
+ + æ + - ö + 2
ç ÷
è ø

Vaán ñeà 11: PHÖÔNG TRÌNH BAÁT PHÖÔNG TRÌNH TÍCH PHAÂN
Ñeå giaûi phöông trình, baát phöông trình tích phaân thoâng thöôøng tröôùc tieân ta caàn ñi
xaùc ñònh tích phaân trong phöông trình, baát phöông trình ñoù, sau ñoù seõ thu ñöôïc moät
phöông trình, baát phöông trình ñaïi soá quen thuoäc.
BAØI TAÄP
Baøi 36. Giaûi vaø bieän luaän phöông trình sau vôùi aån x:
0 m 4 : x m - 2 ± 4 -
m
ò - - + = - + e/
Trang 120
x
2ò(mt -m + 2)dt = 3 -m
0
ÑS: · m > 4 : voâ nghieäm
x x 1
· m = 4 : 1 2
2
= =
· m = 0 : x 3
4
=
· 1, 2
m
¹ < =
Baøi 37. Bieän luaän theo m soá nghieäm cuûa phöông trình:
x
ò - = -
1
(t 1)dt m 1
t 2
ÑS: · m 1
< : voâ nghieäm
2
· m 1
= : x = 1
2
· m 1
> : 2 nghieäm
2
Baøi 38. Cho
x
I(x) = ò(e 2t + e- 2t
)dt.
0
a/ Tính I(x) khi x = ln2
b/ Giaûi vaø bieän luaän phöông trình: I(x) = m.
ÑS: a/ 15;
8
b/ x = ln m + 1+ m2 , "m
Baøi 39. Giaûi caùc phöông trình sau vôùi aån x (x > 0) :
a/
x
1
e
1 ln t dt 18;
t
+
ò = b/
x
2
2
dt p
=
;
t t 1 2
- ò c/
x
t
0
p
e 1.dt 2 ;
2
ò - = -
x
d/ 2
t 1 x x
0
(2 .ln 2 2t 2)dt 2 1 .
2
x
ò 7 t - 1
.ln 7dt = 6 log (6x - 5), vôùi x ³ 1.
7
0

tdt 6 2x(1 2 1 x )
x + ò[3t + 4(6m -1)t -3(2m -1)]dt =1
ò - = b/
ò cos(t - x )dt = sin x;
= p éê
= ± p = êê
ê ± + p = =
ë
Trang 121
f/
x
2
3 1 t 2 . 1 1 t
2
2
= - + -
- + -
ò
ÑS: a/ x = e5;x = e-7; b/ x = 2; c/ x = ln2;
d/ x = 1; e/ x = 1; x = 2; f/ x 1 .
2
=
Baøi 40. Tìm m ñeå phöông trình:
x
3 2
1
coù 3 nghieäm phaân bieät coù toång bình phöông baèng 27.
ÑS: m = 1.
Baøi 41. Giaûi caùc phöông trình sau:
a/
x
4
0
(4sin t 3)dt 0;
2
x
2
0
c/
x
2 3
0
dt = tgx vôùi x Î
[0; 1).
(1 t )
- ò
p
ÑS: a/ x K ,K Z;
= Î
2
b/
x K
x l2 l 0, 1, 2,...
x 1 1 m8 , m 0, 1, 2...
2
c/ x = 0.

Vaán ñeà 12: THIEÁT LAÄP COÂNG THÖÙC TRUY HOÀI
p
= ò Î
I sin x.dx (n N)
- é Þ = - + - - ë n1 / 2
p
= ò Î
I cos x.dx (n N)
- Þ = éë + - -
tg n 2 x tg n x.tg 2 x tg n x. 1 1 tg n x(1 tg 2
x 1)
cos x
p p
= ò = ò
I x .cosx.dx vaøJ x .sinx.dx.
æ p ö Þ + - =ç ÷
Trang 122
1. Nhaän xeùt:
Trong nhöõng tröôøng hôïp haøm döôùi daáu tích phaân phuï thuoäc vaøo tham soá n (n Î N), khi ñoù
ngöôøi ta thöôøng kyù hieäu In ñeå chæ tích phaân phaûi tính.
1. Hoaëc laø ñoøi hoûi thieát laäp moät coâng thöùc truy hoài, töùc laø coâng thöùc bieåu dieãn
In theo caùc In+K, ôû ñaây 1 £ K £ n.
2. Hoaëc laø chöùng minh moät coâng thöùc truy hoài cho tröôùc.
3. Hoaëc sau khi coù coâng thöùc truy hoài ñoøi hoûi tính moät giaù trò n0 I cuï theå naøo
ñoù.
2. Moät soá daïng thöôøng gaëp:
Daïng 1:
/ 2
n
n
0
· Ñaët: u = sinn-1 x Þ du = (n -1)).sinn-2 x.dx
dv = sin x.dx Þ v = -cosx.
- p
n 0 12 n I sin x.cosx] (n 1).(I I )
Daïng 2:
/ 2
n
n
0
· Ñaët: u = cosn-1 x Þ du = -(n -1).cosn-2 x.dx
dv = cosx.dx Þ v = sin x.
n 1 / 2
n 0 n2 n I cos - x.sin x]p (n 1).(I I )
Daïng 3:
/ 4
n
p
= ò
I tg x.dx.
n
0
· Phaân tích: + = = æç - ö÷ = + -
2
è ø
I I 1
+ n 1 + =
Suy ra: n2 n
+
(khoâng duøng tích phaân töøng phaàn)
Daïng 4:
/ 2 / 2
n n
n n
0 0
· Ñaët: u = xn Þ du = n.xn-1.dx.
dv = cosx.dx Þ v = sin x
2
æ p ö Þ = ç ÷ - -
n n I nJ 1 (1)
2
è ø
· Töông töï: n n 1 J 0 nI (2) - = +
· Töø (1) vaø (2)
n
n n 2 I n(n 1)I .
- 2
è ø

= ò = ò -
dx hayI x .e .dx
e
I = ò ln x.dx (nÎZ )
= òsin x.dx vaø n
I 1 sin x.cosx n 1 I .
I 1 sin x.cosx 2 cosx C.
= - - +
J 1 sin x.cos x 3 x 3 sin 2x C.
= + + +
n I= ò x .sin x.dx vaø n
n n 2. I x .cosx nx - .sin x n(n 1).I
n n 2 J x .sin x n.x - .cosx n(n 1).J .
4 J= x sin x + 2x cosx - 2sin x + C.
Trang 123
Daïng 5:
1
n x
I = ò x .e .dx
n
0
· Ñaët: u = xn Þ du = nxn-1.dx
dv = ex .dx Þ v = ex .
n x 1
n 0 n 1 I [x .e ] nI - = -
Daïng 6:
1 n 1
n x
xI
n x n
0 0
· Ñaët: u = xn Þ du = nxn-1.dx
dv = e-x .dx Þ v = -e-x .
x x 1
n 0 n 1 I [ x .e- ] nI
- Þ =- +
Daïng 7:
e
n *
n
1
· Ñaët: u lnn x du n.lnn 1 x, 1 dx
x
= Þ = -
dv = dx Þ v = x.
n e
n 1 n1 n n 1 I [x.ln x] n.I I e nI . - - Þ = - Û = -
BAØI TAÄP
Baøi 42. Cho n
n I
n J= òcos x.dx , vôùi nÎN, n ³ 2.
Chöùng minh caùc coâng thöùc truy hoài sau:
n 1
-
n n 2
n n
-
-
J 1 sin x.cos x n 1 J .
=- + n -
1
n n 2
n n
-
-
= +
AÙp duïng ta tính I3 vaø J4.
ÑS: · 2
3
3 3
· 3
4
4 8 16
Baøi 43. Cho n
n J= òx .cosx.dx , vôùi nÎN, n ³ 2.
n n 1
- =- = - -
n n 1
- = + - -
AÙp duïng ta tính I2 vaø J2.
ÑS: · 2
2 I
= -x - cos x + 2x.sin x + 2 cosx + C.
· 2

nI= òx .e .dx, nÎN, n ³ 1.
p
= ò Î
I sin x.dx, (n N)
p
= ò
J cos x.dx.
- - - p ìï
ï - - = í - - - ïï
î - -
p
= = = d/ n n J = I .
p
= ò Î
I tg x.dx, (n N)
I x dx, (n N )
I e dx, (n N )
I 1 (e 1)
Trang 124
Baøi 44. Cho n x
Chöùng minh raèng: n x
n n 1 I x .e n.I . - = -
AÙp duïng tính I5.
ÑS: x 5 4 3 2
5 I
= e (x - 5x + 20x - 60x +120x -120) + C.
Baøi 45. Cho
/ 2
n
n
0
a/ Thieát laäp coâng thöùc lieân heä giöõa In vaø In+2.
b/ Tính In.
c/ Chöùng minh raèng haøm soá f: N®R vôùi f(n) = (n +
1)I .I . n n + 1 / 4
d/ Suy ra
n
n
0
ÑS: b/
(n 1)(n 3)(n 5)...1. , n chaün
n(n 2)(n 4)...2 2
I(n)
(n 1)(n 3)(n 5)...2 , n leû
n(n 2)(n 4)...3
c/ 0 1 f(n) f(0) I .I .
2
Baøi 46. Ñaët;
/ 4
n
n
0
Tìm heä thöùc lieân heä giöõa In vaø In+2.
ÑS: I I 1 .
n n 2
+ n 1 + =
+
Baøi 47. Cho
1 n
*
n
- ò
= Î
0
1 x
Chöùng minh raèng: n n 1 (2n 1)I 2n.I 2 2. - + + =
Baøi 48. Cho
1 nx
*
-
- ò
- = Î
n x
0
1 e
a/ Tính I1.
b/ Tìm heä thöùc giöõa In vaø In–1.
ÑS: a/ I ln 2e ;
1
1 e
=
+
b/
n 1
1 n)
n I
- 1 n
-
+ = -
-

Vaán ñeà 13: BAÁT ÑAÚNG THÖÙC TÍCH PHAÂN
· Cho hai haøm soá f(x) vaø g(x) lieân tuïc treân [a ; b]
b
Daïng 1: Neáu f(x) ³ 0, "x Î[a; b] thì :
ò f(x) ³ 0
a
daáu “=” xaûy ra khi f(x) = 0, "xÎ[a; b]
òf(x).dx £ òg(x).dx .
òf(x).dx £ B (B laø haèng soá).
A £ òf(x).dx £ B.
h(x) f(x) g(x), x [a; b]
h(x).dx A, g(x).dx B
£ £ " Î ìïí
ò ò
= = ïî
òm.dx = m(b - a) = A, òM.dx = M(b - a) = B.
òf(x).dx £ ò| f(x) | dx .
daáu “=” xaûy ra khi f(x) ³ 0, "xÎ[a;b]
§ BÑT (5) ñöôïc suy ra töø BÑT daïng 2 vôùi nhaän xeùt sau: "xÎ[a; b] , ta luoân coù:
- | f(x) |£ f(x) £ | f(x) |
Û - ò| f(x) | dx £ òf(x).d(x) £ ò| f(x) | dx (laáy tích phaân 2 veá)
Û òf(x).dx £ ò| f(x) | .dx.
Trang 125
Daïng 2: Ñeå chöùng minh:
b b
a a
§ ta caàn chöùng minh: f(x) £ g(x), "xÎ[a; b]
§ daáu “=” xaûy ra khi f(x) = g(x), "xÎ[a;b]
§ roài laáy tích phaân 2 veá.
b
a
f(x) g(x), x [a; b]
g(x).dx B
£ " Î ìïí
§ ta tìm moät haøm soá g(x) thoûa caùc ñieàu kieän: b
ò
= a
ïî
b
a
§ ta tìm 2 haøm soá h(x) vaø g(x) thoûa ñieàu kieän:
b b
a a
§ Hoaëc ta chöùng minh: m £ f(x) £ M, vôùi m = min f(x), M = max f(x)
b b
sao cho:
a a
Daïng 5:
b b
a a
b b b
a a a
b b
a a
Ghi chuù:

1. Thöïc chaát chöùng minh baát ñaúng thöùc tích phaân chính laø chöùng minh:
f(x) £ g(x), "xÎ[a; b]. Neáu daáu “=” xaûy ra trong baát ñaúng thöùc f(x) £ g(x) chæ taïi
moät soá höõu haïn ñieåm xÎ[a; b] thì ta coù theå boû daáu “=” trong baát ñaúng thöùc tích phaân.
2. Do BÑT laø moät daïng toaùn phöùc taïp, neân moãi daïng treân coù nhieàu kyõ thuaät giaûi, vì vaäy
trong phaàn baøi taäp naøy, khoâng ñi theo töøng daïng treân maø ñi theo töøng kyõ thuaät giaûi.
Kyõ thuaät 1: Duøng phöông phaùp bieán ñoåi töông ñöông hoaëc chaën treân, chaën döôùi
BAØI TAÄP
Baøi 49. Chöùng minh caùc baát ñaúng thöùc:
1 x .dx 1
20 2 1 x 20
1 dx 1 .
50 (3 2cosx) 2(3 3)
+ + ò d/
p p p
< ò < b/ 2
- p
p
= ò vôùi 0 t .
< < Chöùng minh raèng:
è ø ò vôùi t > 1.
p p
ò + - <
ò ln x(9 - 3 ln x - 2 ln x)dx £ 8(e -1)
p
ò + + + £ p
Trang 126
a/
1 19
+ ò
< <
3 3 6
0
b/
1
p p
< <
- - ò
2 3
0
dx 2.
6 4 x x 8
c/
1/ 2
< <
2 2
0
200
p ò
100
cosx.dx 1
x 200
p
p
<
/ 2
a/ 2
sin x
0
e .dx e.
2 2
1
11e .dx 1.
- £ ò - x
£
0
e
c/
3 x
0 e .sin xdx
+ ò
< <
2
1
x 1 12e
Baøi 51. Cho
t 4
I(t) tg x dx,
0
cos2x
4
2 3
(tg t 3tgt)
p +
+ >
tg(t ) e3
4
Baøi 52. Ñaët:
t 2
J(t) ln x dx,
= æ ö ç ÷
1
x
Tính J(t) theo t, töø ñoù suy ra: J(t) < 2, "t >1.
Kyõ thuaät 2: Duøng baát ñaúng thöùc Coâsi hay Bu Nhia Coáp Ski
BAØI TAÄP
a/
/ 2
0
sin x(2 3 sin x)(7 4 sin x)dx 27
2
b/
/ 3
/ 4
cos x(5 7 cos x 6 cosx)dx 2 .
3
p
p
p
ò + - <
c/
e
1
a/
/ 3
2 2 2 2
0
( 8cos x sin x 8sin x cos x)dx 2

ò( 3 + 2 ln x + 5 - 2 ln x)dx £ 4(e -1)
3cosx 4sinx 5 .
+ ò
+ ò b/
£ ò + + - £
54 2 ( x 7 11 x).dx 108;
2.e- £ òe - .dx £ 2e ; e/
p
p £ ò + - £ p
2 7 (2 sinx)(6 sinx).dx 2 15.
1 1
e 1 x, x 0. Suy ra : e dx p+
4
+ e ³ x, "x. Suy ra : ò e- .dx £ 0,01.
< < > < ò <
Trang 127
b/
e
2 2
1
Baøi 55. Söû duïng baát ñaúng thöùc daïng 5 chöùng minh:
a/
1
2
0
sinx x.dx p
<
;
1 x 4
+ ò
b/ 2
- p
£
x 1 4
Kyõ thuaät 3: Söû duïng GTLN – GTNN cuûa haøm soá treân mieàn laáy tích phaân baèng baûng
bieán thieân.
BAØI TAÄP
a/
2
2 x.dx < <
1;
5 x 2
1 2
1
1
0 x(1 x) 2
.dx 4 ;
0
27
< ò - <
c/
11
7
-
2
d/ 2
1/4 x x 2
0
p p p
3 dx 2 3
3 cos x cosx 1 3
+ + ò .
< <
2
0
Kyõ thuaät 4: Söû duïng tính chaát ñoàng bieán, nghòch bieán cuûa haøm soá baèng caùch tính ñaïo
haøm
BAØI TAÄP
a/
/ 3
3 sinx.dx < ò <
1;
4 x 2
/ 4
p
p
b/
2
0
c/ x 1 x
2
0
4
> + " ¹ ò >
200
d/ x x
2
100
e/
4
3
3
1 ln x x , vôùi x e. Suy ra : 0,92 dx 1.
e lnx
Kyõ thuaät 5: Söû duïng baát ñaúng thöùc Bu Nhia Coáp Ski trong tích phaân baøi taäp 9.16
BAØI TAÄP
Baøi 58. Chöùng minh raèng neáu f(x), g(x) laø hai haøm soá lieân tuïc treân [a ; b] thì ta coù:

b 2 b b
æ ö
ç ÷ £
è ø
ò ò ò
f(x).g(x).dx f (x).dx. g (x).dx.
æ ö
ç ÷ £
è ø
ò ò ò
f(x).g(x).dx f(x).dx. g(x).dx
æ ö
ò ò
1 f (x).dx 1 f(x).dx .
- £ -ç ÷
ln 2 dx . Chöùng min h : Ln2 2 .
+ ò
= >
Trang 128
2 2
a a a
(BÑT treân goïi laø BÑT Bua Nhia Coâp Ski trong tích phaân)
Baøi 59. Chöùng minh raèng:
1 2 1 1
0 0 0
Baøi 60. Cho f(x) laø haøm soá xaùc ñònh lieân tuïc treân [0 ; 1] vaø f(x) £ 1, "x Î[0; 1].
1 1 2
2
è ø
0 0
Baøi 61. Bieát
1
0
x1 3

Vaán ñeà 14: TÍNH GIÔÙI HAÏN CUÛA TÍCH PHAÂN
· Trong baøi toaùn tìm giôùi haïn cuûa tích phaân thöôøng coù 2 daïng sau:
ò >
lim f(x).dx, (t a)
®¥
ò f(x).dx phuï thuoäc vaøo t, sau ñoù duøng ñònh lyù veà giôùi haïn ñeå tìm
ò Î
lim f(x, n).dx, (n N)
®¥
Þ £ ò £
limA lim f(x,n).dx limB
®¥ ®¥ ®¥
= = ò =
limA limB l thì lim f(x, n).dx l
®¥ ®¥ ®¥
I(x) dt , (x 1)
= >
ò + b/ Tìm
I(b) e .dx ;
é - - ù êë úû
I e .dx (n N )
Trang 129
Daïng 1: Tìm
t
t
a
Ta tính tích phaân
t
a
keát quaû.
Daïng 2: Tìm
b
n
a
Ÿ Duøng BÑT tích phaân ñem tích phaân veà daïng:
b
A £ ò f(x, n).d(x) £ B
a
b
n n n
a
Ÿ Sau ñoù, neáu:
b
n n n
a
* Nhaéc laïi ñònh lyù haøm keïp:
“Cho ba daõy soá n n n a , b , c cuøng thoaû maõn caùc ñieàu kieän sau:
*
ì" Î £ £ ïí
n N ,a b C
lima limC l
®¥ ®¥
n n n
= = n n n n
ïî
. Khi ñoù: n n
limb l
®¥
= ”
BAØI TAÄP
Baøi 62. a/ Tính
x
1
t(t 1)
lim I(x)
®+¥
x
ÑS: a/ ln 2x ;
x +1
b/ ln2.
Baøi 63. a/ Tính
ln10 x
3 x
b
e 2
=
- ò b/ Tìm
lim I(b)
®
b ln 2
ÑS: a/ 3 6 1 (eb 2)2 / 3
2 2
b/ 6.
Baøi 64. Cho
1 nx
*
-
+ ò
- = Î
n x
0
1 e

Tính n n 1 x n
I I , töø ñoù tìm lim I . - ®+¥
I(x) (t 2t).e .dt. Tìm lim I(x)
I(x) 2t.ln t.dt , (x 1). Tìm lim I(x).
+ ò
= >
Trang 130
+
ÑS: a/
2
ln 4 ln t 1
2
+
(t 2)
+
+
b/ ln4.
Baøi 65. a/ Tính
x
2 t
x
0
®-¥
= ò +
b/ Tính
x
2 2 x
1
(1 t ) ®+¥
ÑS: a/ 0; b/ ln 2.
Baøi 66. a/ Tính theo m vaø x > 0 tích phaân:
em
I (x) = ò t.(m - ln t).dt.
m
x
b/ Tìm m
lim I (x).
® -
x 0
Tìm m ñeå giôùi haïn naøy baèng 1.
ÑS: a/ 1 e2m 2x2 ln x (2m 1)x2
4
éë + - + ùû b/ 1 e2m; m ln 2.
4
=

ÖÙNG DUÏNG CUÛA TÍCH PHAÂN
§Baøi 1: DIEÄN TÍCH HÌNH PHAÚNG
Vaán ñeà 1: DIEÄN TÍCH HÌNH THANG CONG
1. Dieän tích hình thang cong giôùi haïn bôûi 4 ñöôøng:
(1) Û S = ò f(x).dx + ò -f(x) .dx
S= ò f(x)dx
Trang 131
(c) :y f(x)
y 0 (truïc hoaønh Ox)
x a
x b (a b)
= ìï
= ïí
= ïï
î = <
ñöôïc tính bôûi coâng thöùc:
b
S = ò f(x) dx (1)
a
2. Phöông phaùp giaûi toaùn:
* Ta caàn phaûi tìm ñaày ñuû 4 ñöôøng nhö treân
* vaø vì caàn phaûi boû daáu giaù trò tuyeät ñoái neân ta coù 2 caùch giaûi sau:
ìíî
Caùch 1. Phöông phaùp ñoà thò:
* Veõ ñoà thò (C) : y = f(x) vôùi x Î [a ; b]
a/ Tröôøng hôïp 1:
Neáu ñoà thò (C) naèm hoaøn toaøn
treân truïc hoaønh Ox (hình a) thì:
b
(1) Û S = ò f(x).dx
a
b/ Tröôøng hôïp 2:
Neáu ñoà thò (C) naèm hoaøn toaøn
döôùi truïc hoaønh Ox (hình b) thì:
b
(1) Û S = -ò f(x).dx
a
c/ Tröôøng hôïp 3:
Neáu ñoà thò (C) caét truïc hoaønh Ox taïi moät ñieåm
coù hoaønh ñoä x = x0 (nhö hình c) thì:
x0 b
a a
(C): y = f(x)
a b
* Ghi chuù: Neáu f(x) khoâng ñoåi daáu treân ñoaïn [a ; b] thì ta duøng coâng thöùc sau:
b
a
y
x
S
0 a b
(Hình a)
y
S x
0
(Hình a)
(C): y = f(x)
a
y
S
S
0 a x b
S = S1 + S2 (Hình c)

Caùch 2. Phöông phaùp ñaïi soá:
Ÿ Giaûi phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm : f(x) = 0 (*)
Ÿ Giaûi (*) ñeå tìm nghieäm x treân ñoaïn [a ; b].
Ÿ Neáu (*) voâ nghieäm treân khoaûng (a ; b) thì ta xeùt daáu f(x) treân ñoaïn [a ; b] ñeå boû daáu
giaù trò tuyeät ñoái hoaëc ta söû duïng tröïc tieáp coâng thöùc sau:
x a x0 b
f(x) + 0 –
Trang 132
b
S = ò f(x)dx
a
Ÿ Neáu (*) coù nghieäm x = x0 vaø f(x)
coù baûng xeùt daáu nhö hình beân thì:
x b
0
S = ò f(x)dx - ò f(x)dx.
0
a x
Ghi chuù:
(1) Dieän tích S luoân laø moät giaù trò döông (khoâng coù giaù trò S £ 0).
(2) Vôùi caâu hoûi: “Tính dieän tích giôùi haïn bôûi (C): y = f(x) vaø truïc hoaønh” thì ta phaûi tìm
theâm hai ñöôøng x = a, x = b ñeå laøm caän tích phaân, hai ñöôøng naøy chính laø giao ñieåm
cuûa (C) vaø truïc Ox, laø 2 nghieäm cuûa phöông trình f(x) = 0 (theo phöông phaùp ñaïi soá).
Vôùi caâu hoûi ñôn giaûn hôn nhö: “Tính dieän tích giôùi haïn bôûi ñöôøng (C) : y = f(x) thì ta
phaûi hieåu ñoù laø söï giôùi haïn bôûi (C) vaø truïc hoaønh.
(3) Moät soá haøm coù tính ñoái xöùng nhö: parabol, ñöôøng troøn, elip, haøm giaù trò tuyeät ñoái, moät
soá haøm caên thöùc; lôïi duïng tính ñoái xöùng ta tính moät phaàn S roài ñem nhaân hai, nhaân ba,
... (cuõng coù theå söû duïng toång hoaëc hieäu dieän tích).
(4) Phaàn lôùn daïng toaùn loaïi naøy ta neân duøng phöông phaùp ñoà thò hieäu quaû hôn; moät soá ít
phaûi duøng phöông phaùp ñaïi soá nhö haøm löôïng giaùc vì veõ ñoà thò khoù.

Vaán ñeà 2: DIEÄN TÍCH HÌNH PHAÚNG GIÔÙI HAÏN BÔÛI HAI ÑÖÔØNG (C1), (C2)
1. Dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi hai ñöôøng (C1), (C2)
S = ò[f(x) - g(x)]dx. (h.2a)
S= ò[g(x) - f(x)]dx. (h.2b)
S = ò g(x) - f(x) dx + ò f(x) - g(x) dx
Hoaëc duøng coâng thöùc sau:
S = ò [f(x) - g(x)]dx + ò [f(x) - g(x)]dx
Trang 133
(C ):y f(x)
(C ):y g(x)
x a
x b (a b)
= ìï
1
2
= ïí
= ïï
î = <
ñöôïc tính bôûi coâng thöùc:
b
S = ò f(x) - g(x) dx
a
2. Phöông phaùp giaûi toaùn:
Caùch 1. Phöông phaùp ñoà thò:
* Treân cuøng maët phaúng toaï ñoä ta veõ 2 ñoà thò: 1 2 (C ) :y = f(x) vaø (C ) : y = g(x) .
a/ Tröôøng hôïp 1: (C1) khoâng caét (C2)
§ Xaùc ñònh vò trí: Treân ñoaïn [a ; b] thì (C1) naèm treân
(C2) hay (C2) naèm treân (C1) baèng caùch veõ moät
ñöôøng thaúng song song vôùi truïc tung Oy caét hai
ñoà thò taïi M vaø N.
Khi ñoù neáu M ôû treân N thì ñoà thò chöùa M seõ naèm treân ñoà thò
chöùa N.
§ Neáu (C1) naèm treân (C2) thì:
b
a
§ Neáu (C2) naèm treân (C1) thì:
b
a
§ Trong tröôøng hôïp 1, ta coù theå duøng tröïc tieáp coâng thöùc sau:
b
S = ò[f(x) - g(x)]dx .
a
b/ Tröôøng hôïp 2: (C1) caét (C2) taïi ñieåm I coù hoaønh ñoä x0.
x b
0
0
a x
x b
0
0
a x
y
M
N
a b
(C1)
0 x
M
N
S
a b
S1 I S2
(C1): y = f(x)
Caùch 2. Phöông phaùp ñaïi soá:
§ Laäp phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm: f(x) = g(x) (*)
§ Neáu (*) voâ nghieäm treân khoaûng (a ; b) thì ta xeùt hieäu f(x) – g(x) ñeå boû daáu “| |”.
§ Neáu (*) coù moät nghieäm x0 thuoäc khoaûng (a ; b) thì:
(C2)
S
(hình 2a)
y
(C2)
(C1)
0 x
(hình 2b)
x
y
0 a x0 b
(C2): y = g(x)

x0 b
S = ò f(x) - g(x) dx + ò f(x) - g(x) dx
a a
roài xeùt laïi töø ñaàu treân caùc ñoaïn 0 0 [a; x ] vaø [x ; b].
Ghi chuù:
(1) Trong thöïc haønh ta neân duøng phöông phaùp ñoà thò.
(2) Khi giao ñieåm cuûa (C1) vaø (C2) khoâng chaéc chaén nhö soá höõu tæ hoaëc soá voâ tæ, ta neân
thöïc hieän theâm vieäc giaûi phöông trình hoaønh ñoä f(x) = g(x) cho chính xaùc.
(3) Hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa (C1) vaø (C2) laø caùc caän cuûa tích phaân.
(4) Treân ñaây khi tính dieän tích ta ñaõ coi x laø bieán, y laø haøm. Tuy nhieân trong moät soá
tröôøng hôïp ta coi y laø bieán cuûa haøm x (nghóa laø x = f(y)), khi ñoù vieäc tính dieän tích seõ
ñôn giaûn hôn.
Trang 134

Vaán ñeà 3: DIEÄN TÍCH HÌNH PHAÚNG GIÔÙI HAÏN BÔÛI NHIEÀU ÑÖÔØNG
§ Xeùt ñaïi dieän 4 ñöôøng 1 2 3 4 (C ), (C ), (C ), (C ).
§ Ta duøng phöông phaùp ñoà thò (duy nhaát)
§ Veõ 4 ñöôøng treân cuøng moät maët phaúng
vaø xaùc ñònh hoaønh ñoä giao ñieåm giöõa chuùng
(x1, x2, x3, x4)
§ Dieän tích hình phaúng S caàn tìm: S = S1 + S2 + S3
x x x
1 3 4
(C4)
(C3)
A
B
(C1) (C2)
S S3 2
S1
Û S = ò [(C ) - (C )]dx + ò [(C ) - (C )]dx + ò [(C ) - (C )]dx.
1 3 4 3 4 2
x x x
1 2 3
Trang 135
x
y
C
0 x1 x2 x3 x4
D

Vaán ñeà 4: DIEÄN TÍCH LÔÙN NHAÁT VAØ DIEÄN TÍCH NHOÛ NHAÁT
Tìm dieän tích lôùn nhaát vaø nhoû nhaát cuûa hình phaúng S.
Phöông phaùp:
§ Thieát laäp coâng thöùc tính S theo moät hoaëc nhieàu tham soá cuûa giaû thieát (giaû söû laø m), töùc
S = ò x 1+ x .dx.
æ ö
S u du u 1 (2 2 1)
è ø ò (ñvdt)
= =ç ÷ = -
3 3
+
= = =
S 1 +
ln x dx
S 2u .du 2 u 2 (2 2 1 2 (2 2 1)
= = æ ö = - = - ç ÷
ò (ñvdt)
è 3 ø 3 3
Trang 136
laø, ta coù: S = g(m).
§ Tìm giaù trò lôùn nhaát, giaù trò nhoû nhaát cuûa g(m) baèng moät trong caùc phöông phaùp:
+ Tam thöùc baäc hai
+ Baát ñaúng thöùc Coâsi hoaëc Bu Nhia Coâp Ski.
+ Söû duïng ñaïo haøm
Chuù yù: Caùc caän a, b thöôøng laáy töø nghieäm x1, x2 laø hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa (C) vaø (d).
Ví duï 1: (Vaán ñeà 1): Tính dieän tích cuûa mieàn kín giôùi haïn bôûi ñöôøng cong
y = x 1+ x2 , truïc Ox vaø ñöôøng thaúng x = 1.
Giaûi:
* Ñöôøng cong (C) : y = x 1+ x2 caét truïc hoaønh Ox khi: x 1+ x2 = 0 Û x = 0.
* Ta coù: x 1+ x2 ³ 0, vôùi moïi x Î[0; 1] . Do ñoù dieän tích S caàn tìm laø:
1
2
0
* Ñaët: u 1+ x2 Þ u2 =1+ x2 Þ 2u.du = 2xdx Þ u.du = xdx.
* Ñoåi caän: x = 0 Þ u = 1; x = 1 Þ u = 2.
* Ta coù:
2 3 2
2
0 0
Ví duï 2: (vaán ñeà 1): Tính dieän hình phaúng giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng
y 1 ln x ; x 1, x e.
x
Giaûi:
* Dieän tích hình phaúng S caàn tìm:
e
1
x
= ò
* Ñaët: u 1 ln x u2 1 ln x 2u.du 1 dx.
x
= + Þ = + Þ =
* Ñoåi caän: x = 1 Þ u = 1; x = e Þ u = 2.
2 2
* Ta coù:
2 3
1 1
Ví duï 3 (vaán ñeà 2): Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng:
y = x2 - 2x vaø y = -x2 + 4x.

Giaûi:
* Phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa 2 ñöôøng:
x2 - 2x = -x2 + 4x
Û 2x2 - 6x = 0 Û x = 0 hay x = 3.
* Ñoà thò (P1): 2 2
2 y = x - 2x vaø (P ) :y = -x + 4x
nhö treân hình veõ.
Hai ñoà thò caét nhau taïi 2 ñieåm O(0 ; 0) vaø A(3 ; 3).
4 (P1)
3
æ ö
S x 4x) (x 2x) dx ( 2x 6x)dx 2x 3x 9 (ñvdt)
= éë- + - - ùû = - + =ç - + ÷ = è ø ò ò
Û + - = Û ê = - ë
S = S = ò 2x.dx + ò 8 - x .dx
2x.dx 2. 2 x 8 .
= æ ö = ç ÷
è ø ò
3 3
p p p
2
I 2 2.cos t.2 2.cos t.dt 8 cos t.dt 8 1 cos2t dt
ò ò ò
p p p
S 2.S 2 4 .
Trang 137
3 3 3 3
2 2 2 2
0 0
3
Ví duï 4 (vaán ñeà 2): Parabol y2 = 2x chia hình phaúng giôùi haïn bôûi ñöôøng troøn
x2 + y2 = 8 thaønh hai phaàn. tính dieän tích moãi phaàn ñoù
Giaûi:
* Phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa (P): y2 = 2x vaø (C):x2 + y2 = 8;
é x = 2 Þ y = ±
2
x2 + 2x = 8 (vôùi x ³ 0) x 2 2x 8 0
x 4 (loaïi)
Toïa ñoä giao ñieåm B(2 ; 2), C(2 ; –2).
* Ta tính dieän tích tam giaùc cong OAB;
Ñaët:
2 2 2
2
1 OAB
0 2
vôùi:
2 2
3
0 0
Tính:
2 2
ò 8 - x 2
.dx = I.
2
Ñaët: x = 2 2.sin t Þ dt = 2 2.cos t.dt.
Ñoåi caän: x = 2 Þ t = p/ 4 ; x = 2 2 Þ t = p/ 2
/ 2 / 2 / 2
2
/ 4 / 4 / 4
/ 2
/ 4
2
4 t sin 2t 2.
2
p
p
+
Þ = = =
= æ + ö = p - ç ÷
è ø
S 8 2 2 .
* Do ñoù: 1
= + p- = p+
3 3
* Do tính ñoái xöùng neân: OBAC OAB
3
= = p +
y
x 4 3 2 1 0 –1
–1
A
(P2)
(P)
x
A
2 2
S1
B
C
o
–2
2
y

* Goïi S laø dieän tích hình troøn (C) Þ S = p.R2 = 8p
* Goïi S2 laø phaàn dieän tích hình troøn coøn laïi 2 OBAC
x 3 2 x
æ ö
S (mx 2 x 1)dx x mx x
è ø ò
= + - - = ç- + + ÷
3 2
x x
1 (x x ) m (x x ) (x x )
3 2
1 (x x ). 2(x xx x ) 3m(x x ) 6
6
1 m 4. 2(m 1) 3m 6 1 (m 4) 4 .
6 6 3
=- - + - + -
= - - éë + + - + - ùû
= - + éë + - - ùû = + ³
= = =
(P ) : y x , (P ) : y x , (H) : y 27
= = =
= Û x3 = 27Û x = 3Þ toaï ñoä A(3, 9).
Trang 138
S S S 8 2 4
Þ = - = p - æ p + ö ç ÷
3
è ø
S 6 4 .
2
3
Û = p-
Ví duï 5 (vaán ñeà 4): Chöùng minh raèng khi m thay ñoåi thì Parabol (P): y = x2 + 1 luoân caét
ñöôøng thaúng (d): y = mx + 2 taïi hai ñieåm phaân bieät. Haõy xaùc ñònh m sao cho phaàn dieän
tích hình phaúng giôùi haïn bôûi ñöôøng thaúng vaø parabol laø nhoû nhaát.
Giaûi:
* Phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa (P) vaø (d):
x2 +1 = mx + 2 Ûx2 -mx -1 = 0 (1)
D = m2 + 4 > 0, "m
* Vaäy (d): luoân caét (P) taïi 2 ñieåm phaân bieät
A, B coù hoaønh ñoä x1, x2 laø nghieäm cuûa (1).
* Dieän tích hình phaúng S laø:
2 2
2
1 1
3 3 2 2
2 1 2 1 2 1
2 2
2 1 2 1 2 1 2 1
2 2 2 2 3
Vaäy: minS 4 khi m 0.
= =
3
Ví duï 6 (vaán ñeà 3): Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng:
2
y x2 , y x , y 27 .
8 x
Giaûi:
* Ñoà thò
2
2
1 2
8 x
nhö treân hình veõ.
* Phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa
(P1) vaø (H):
x2 27
x
* Phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa (P2) vaø (H):
y
x
A
x1 0 x2
B
2
(d)
(P)
y
x
S2
S1
(P1)
(P2)
B
A
(H)
9
9/2
3
0 3 6 9

x2 27 = Û x = 6 Þ toaï ñoäB æ 6, 9 ö .
8 x ç 2
÷
è ø
S S S (x x )dx 27 x dx ... 27ln 2 (ñvdt)
ò 8 ò .
è x 8
ø é = Þ =
Û - + = Û ê = Þ = - ë
6
4
S S S (2x 1 4x x )dx ( 4x 16 4x x )dx ... 9
= + = ò + - + + ò - + - + = = (ñvdt).
Trang 139
3 2 6 2
2
1 2
0 3
æ ö
= + = - + ç - ÷ = =
Ví duï 7 (vaán ñeà 3): Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng: parabol (P):
y = 4x - x2 vaø caùc ñöôøng tieáp tuyeán vôùi parabol naøy, bieát raèng caùc tieáp tuyeán ñoù ñi qua
M(5/2, 6).
Giaûi:
* Phöông trình ñöôøng thaúng (d) qua M heä soá goùc K:
y K x 5 6
= æ - ö + ç ÷
2
è ø
* (d) tieáp xuùc (P) khi heä sau coù nghieäm:
4x x2 K x 5 6 (1)
ì æ ö ï - = ç - ÷ +
2
è ø íï
î - =
4 2x K (2)
* Theá (2) vaøo (1) ta ñöôïc:
4x x2 (4 2x)(x 5) 6
- = - - +
2
2 x 1 K 1
x 5x 4 0
x 4 K 4
* Vaäy coù 2 phöông trình tieáp tuyeán laø: 1 2 (d ) :y = 2x +1; (d ) : y = -4x +16
5/2 4
2 2
1 2
1 5/ 2
4
Ví duï 8 (vaán ñeà 3): Tính dieän tích giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng: y = x2 - 4x + 3 vaø y = 3.
Giaûi:
* Veõ ñoà thò (C): y = f(x) = x2 - 4x + 3
* Xeùt ñoà thò (C’) : y = f(x)
f(x), f(x) 0
f(x), f(x) 0
ì ³
= í- < î
* Töø ñoà thò (C) ta suy ra ñoà thò (C’) nhö sau:
+ Giöõ nguyeân phaàn ñoà thò (C) naèm treân Ox
+ Laáy ñoái xöùng phaàn ñoà thò (C) naèm döôùi Ox qua truïc hoaønh
ìíî
* Ñoà thò (C’) laø hôïp cuûa 2 phaàn treân
y
(d2) (d1)
M
S1
S2
(P)
B
0 1 2 5/2 4 x
3
A
3 4 x
2
3
0 1
–1
(C)
y

* Ñöôøng thaúng y = 3 caét (C’) taïi A(0 ; 3), B(4 ; 3).
* Goïi S laø dieän tích hình phaúng caàn tìm.
* Do tính ñoái xöùng neân ta coù:
é ù
2. (3 x 4x 3)dx 2 [3 (x 4x 3)]dx [3 ( x 4x 3)]dx
...............
8 (ñvdt)
= - - + = ê - - + + - - + - ú
ë û
Trang 140
S = 2(S1 + S2 )
2 1 2
2 2 2
0 0 1
=
ò ò ò
Baûng xeùt daáu:
x 0 1 2 3
x2–4x+3 + 0 – 0 +

BAØI TAÄP
Baøi 1. Cho Parabol (P): y = x2 - 4x + 3 vaø ñöôøng thaúng (d) : y = x – 1.
Tính dieän tích giôùi haïn bôûi:
a/ (P) vaø truïc Ox; b/ (P), truïc Ox vaø truïc Oy;
c/ (P), truïc Ox, x = 2 vaø x = 4; d/ (P) vaø (d);
e/ (P), (d), x = 0 vaø x = 2.
ÑS: a/ 4 ;
= + tieäm caän xieân cuûa (C), x = 1 vaø x = 3;
= = = >
æ ö æ ö
ç ÷ = + ç - ÷ = - -
è ø è ø
p p
= - = +
Trang 141
3
b/ 4 ;
3
c/ 2; d/ 9 ;
2
e/ 3.
Baøi 2. Tính dieän tích giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng:
(C) : y x 1 ,
a/ 2
2x
b/ y = x(x +1)5 , truïc Ox, truïc Oy vaø x = 1;
c/ 2(y -1)2 = x vaø (y -1)2 = x -1;
d/ y = x2 - 2x + 2, y = x2 + 4x + 5 y = x2 - 4x + 3 vaø y = 1;
e/
y x2 ,y 1 ,y 8 (vôùix 0).
8 x x
ÑS: a/ 1 ;
3
b/ 418;
35
c/ 4 ;
3
d/ 9 ;
4
e/ 7ln2.
Baøi 3. Tính dieän tích giôùi haïn bôûi:
a/ (C) : y = x2 - 2x vaø tieáp tuyeán vôùi (C) taïi O(0 ; 0) vaø A(3 ; 3) treân (C).
b/ (C) : y = x3 - 2x2 + 4x - 3, y = 0 vaø tieáp tuyeán vôùi (C) taïi tieáp ñieåm coù hoaønh
ñoä x = 2.
ÑS: a/ 9 ;
4
b/ 5 .
48
Baøi 4. Cho Parabol (P): y2 = x vaø ñöôøng troøn (C) : x2 y2 4x 9 0
+ - + = .
4
a/ Chöùng toû (P) vaø (C) tieáp xuùc nhau taïi A vaø B.
b/ Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi (P) vaø caùc tieáp tuyeán chung taïi A vaø B.
ÑS: a/ A 3 ; 6 ; y 6 x 6 ; B 3 ; 6 ; y 6 x 6 .
2 2 6 4 2 2 6 4
b/ 6 .
2
Baøi 5. Ñöôøng thaúng (d): x – 3y + 5 = 0 chia ñöôøng troøn (C): x2 + y2 = 5 thaønh hai phaàn,
tính dieän tích moãi phaàn.
ÑS: 1 2
S 5 5 ; S 15 5 .
4 2 4 2
Baøi 6. Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng
a/ y = x2 , y = x. b/ x - y3 +1 = 0; x + y -1 = 0.
c/ x2 + y2 = 8; y2 = 2x. d/ y = 2 - x2; y3 = x2 .

y x ; x 0; x 1 .
= = =
1 x 2
- + b/ 2 1 (e 1);
+ e/ 23 e.
= = = =
p
+ b/ 1 3 p
;
p
+ c/ 4; d/ .
S 3ln m 2 ; lim S .
æ + ö = ç ÷ = +¥
Trang 142
e/
4
-
ÑS: a/ 1 ;
3
b/ 5 ;
4
c/ 2 4 ;
p+ d/ 32 ;
3
15
p
e/ .
12
Baøi 7. Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng:
a/ y = x.ex ; y = 0; x = -1; x = 2. b/ y = x.ln2 x; y = 0; x = 1; x = e.
c/ y = ex; y = e-x ; x = 1. d/ y = 5x-2; y = 0; x = 0; y = 3 - x.
e/ y = (x +1)5; y = ex ; x = 1.
ÑS: a/ 2 2e
2;
3
4
- c/ 1e2;
+ -
2
d/ 24 1;
25ln5 2
2
-
a/
2 xy
2x vaøy x 4;
2 =+ = + b/ y = -x2 + 2 x + 3 vaø 3x + 5y - 9 = 0;
c/ xy
vaø y 0;x 1;x 2;
x 1
+
d/ y ln x ; y 0; x 1 vaø x e.
= = = =
e
ÑS: a/ 26 ;
3
b/ 55;
6
c/ 1 ln 2 ;
- d/ 2 2 .
3
e
-
a/ y = sin x + cos2 x, caùc truïc toaï ñoä vaø x = p;
b/ y = sin2 x + sin x +1, caùc truïc toaï ñoä vaø x p
=
.
2
c/ y = x + sin x; y = x; x = 0; x = 2p.
d/ y = x + sin2 x; y = p;x = 0; x = p.
ÑS: a/ 2 ;
2
2
2
Baøi 10. Dieän tích giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng thaúng x = –1; x = 2; y = 0 vaø Parabol (P) baèng
15. Tìm phöông trình cuûa (P), bieát (P) coù ñænh laø I(1 ; 2).
ÑS: y = 3x2 - 6x + 5.
Baøi 11. Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi (C):
y x2 + 2x -
3 ,
x 2
=
+
tieän caän xieân
x = 0 vaø x = m > 0. Tìm giôùi haïn cuûa dieän tích naøy khi m ®+ ¥.
ÑS:
2 m
®+¥
è ø

æ ö
ç ÷
è ø
Trang 143
Baøi 12. Cho (H): y 2x .
x 1
=
-
a/ Chöùng minh raèng hình phaúng ñöôïc giôùi haïn bôûi (H), tieäm caän ngang vaø caùc
ñöôøng thaúng x = a + 1; x = 2a + 1 coù dieän tích khoâng phuï thuoäc vaøo tham soá a
döông.
b/ Laäp phöông trình tieáp tuyeán (d) cuûa (H) taïi goác toaï ñoä. Tính dieän tích hình
phaúng giôùi haïn bôûi (H), (d) vaø ñöôøng thaúng x = 2.
ÑS: a/ 2ln2; b/ 2ln3.
Baøi 13. Cho Parabol (P) : y = x2. Hai ñieåm A vaø B di ñoäng treân (P) sao cho AB = 2.
a/ Tìm taäp hôïp trung ñieåm I cuûa AB
b/ Xaùc ñònh vò trí cuûa A, B sao cho dieän tích cuûa phaàn maët phaúng giôùi haïn bôûi (P)
vaø caùt tuyeán AB ñaït giaù trò lôùn nhaát.
y x 1 ;
ÑS: a/ 2
2
1 4x
= +
+
b/ maxS =1; A(-1; 1);B(1; 1).
Baøi 14. Ñöôøng thaúng (D) ñi qua ñieåm 1M; 1
2
vaø caùc baùn kính truïc döông Ox, Oy laäp
thaønh moät tam giaùc. Xaùc ñònh (D) ñeå dieän tích tam giaùc coù giaù trò nhoû nhaát vaø tính
giaù trò ñoù.
ÑS: (D) : y = -2x + 2.
Baøi 15. Cho Parabol (P): y = x2. Vieát phöông trình ñöôøng thaúng (d) ñi qua I(1 ; 3) sao cho
dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi (d) vaø (P) ñaït giaù trò nhoû nhaát.
ÑS: y = 2x +1.
Baøi 16. Treân Parabol (P) : y = x2 laáy hai ñieåm A(–1 ; 1) vaø B(3 ; 3). Tìm ñieåm M treân
cung »AB cuûa (P) sao cho tam giaùc MAB coù dieän tích lôùn nhaát.
ÑS: M 1 ; 1
æ ö
ç ÷
è 3 9
ø
Baøi 17. Xeùt hình (H) giôùi haïn bôûi ñöôøng troøn (C): y = x2 +1 vaø caùc ñöôøng thaúng
y = 0; x = 0; x = 1. Tieáp tuyeán taïi ñieåm naøo cuûa (C) seõ caét töø (H) ra moät hình thang
coù dieän tích lôùn nhaát.
ÑS: maxS 5 ; M 1 ; 5 .
= æ ö ç ÷
4 2 4
è ø

§Baøi 2: THEÅ TÍCH VAÄT TROØN XOAY
Chuù yù: Khi tìm theå tích cuûa vaät theå troøn xoay ta caàn xaùc ñònh:
* Mieàn hình phaúng (H) sinh ra. ((H) giôùi haïn bôûi 4 ñöôøng: x =..., x = ..., y = ..., y = ...)
* (H) quay quanh truïc Ox hoaëc truïc Oy ñeå ta duøng coâng thöùc thích hôïp.
Neáu (H) quay quanh truïc Ox thì haøm döôùi daáu tích phaân laø y = f(x), bieán x vaø hai caän
laø x. Neáu (H) quay quanh truïc Oy thì haøm döôùi daáu tích phaân laø x = f(y), bieán y vaø hai
caän laø y.
Vaán ñeà 1: Theå tích vaät troøn xoay do hình phaúng (H) giôùi haïn bôûi 4 ñöôøng:
(C) :y = f(x); y = 0; x = a;x = b (a < b) sinh ra khi quay quanh truïc Ox ñöôïc tính bôûi coâng
thöùc:
b b
V = pò y 2 .dx = pò[d(x)] 2
.dx
a a
(H)
(C)
S = ò f(x) .dx Theå tích:
V = pò x .dy = pò[f(y)] .dy
S = ò f(y) dy. Theå tích:
Trang 144
Dieän tích:
b
a
(C)
b
V = pò[f(x)] 2
.dx
a
(C) :x = f(y), x = 0, y = a, y = b (a < b) sinh ra khi quay quanh truïc Oy ñöôïc tính bôûi coâng
thöùc:
b b
2 2
a a
Dieän tích:
b
a
b
0
V = pò[f(y)] 2
.dy
a
y
a b x
y
x
(H)
a b
y
x
b
a
(H)
(C)
0
y
x
(C)
b
a

1 2 (C ) :y f(= x), (C ) : y = g(x), x = a, x = b (a < b) vôùi f(x) vaø g(x) cuøng daáu) sinh ra khi
quay quanh truïc Ox ñöôïc tính bôûi:
b
V = pò f 2 (x) - g 2
(x) .dx (3)
a
* f(x) vaø g(x) cuøng daáu coù nghóa laø hai phaàn ñoà thò cuøng naèm moät phía ñoái vôùi truïc Ox,
(3) Û V = pò[f (x) - g (x)].dx
(3) Û V = pò[f (x) - g (x)].dx
(3) Û V = pò[f (x) - g (x)].dx
(3) Û V = pò[f (x) - g (x)].dx
Trang 145
vôùi moïi x Î ñoaïn [a; b].
* Ñeå boû daáu “| |” trong coâng thöùc (3) ta chuù yù caùc tröôøng hôïp sau:
TH1: 1 2 (C ) Ç(C )= Æ vaø f(x) > g(x) ³ 0, "x Î[a; b]:
b
2 2
a
TH2: 1 2 (C ) Ç(C )= Æ vaø f(x) < g(x) £ 0, "x Î[a; b]:
b
2 2
a
TH3: 1 2 (C ) caét (C ) taïi 2 ñieåm A, B coù hoaønh ñoä
x = a, x = b vaø d(x) > g(x) ³ 0, "x Î[a; b]:
b
2 2
a
TH4: 1 2 (C ) caét (C ) taïi 2 ñieåm A, B coù hoaønh ñoä
x = a vaø f(x) < g(x) £ 0, "x Î[a; b]:
b
2 2
a
y
(H)
a b
(C1)
y
(C2)
0 x
y
x
0
a b
(H)
(C2)
y
(C1)
y
x
A (H) B
0 a b
(C2)
(C1)
y
(C1)
x
a b
A (H) B
0
(C2)

TH5: 1 2 (C ) caét (C ) taïi 3 ñieåm A, B, C, trong ñoù xA = a
xB = b, xC = c vôùi a < c < b nhö hình beân:
(3) Û V = V1 + V2
c b
= pò[f 2 (x) - g 2 (x)]dx + pò[g 2 (x) - f 2
(x)]dx.
a c
y
(C1)
x
C
(C2)
B
V1 V2
A
a c b
1 2 (C ) : x = f(y), (C ) : x = g(y), y = a, y = b (a < b) vôùi f(y) vaø g(y) cuøng daáu) sinh ra khi
quay quanh truïc Oy ñöôïc tính bôûi:
b
V = pò f 2 (y) - g 2
(x) .dy (4)
a
TH1: 1 2 1 2 (C ) Ç (C ) =Æ vaø x = f(y)> x = g(y) ³ 0,
(4) Û V = pò[f (y) - g (y)].dy
(4) Û V = pò[f (y) - g (y)].dy
Trang 146
vôùi moïi yÎ[a; b].
b
2 2
a
TH3: 1 2 (C ) caét (C ) taïi 2 ñieåm A, B coù tung ñoä
A B y = a <y = b vaø 1 2 x = f(y) > x = g(y) ³ 0,
vôùi moïi yÎ[a; b].
b
2 2
a
y
C2 C1
b
a
0 x
y
x2 (H) x1
C2
B
x2 (H)
C1
b
a A
x1
x
* Caùc TH2, TH4 vaø TH5 thöïc hieän töông töï nhö vaán ñeà 3.
Ví duï 1: Xeùt hình phaúng giôùi haïn bôûi (P) : y2 = 8x vaø ñöôøng thaúng x = 2. Tính theå tích
khoái troøn xoay khi quay hình phaúng noùi treân:
a/ quanh truïc hoaønh
b/ quanh truïc tung.
Giaûi:
a/ (P): y2 = 8x Û (P) : y = ± 8x (x ³ 0)
Theå tích V khoái troøn xoay sinh ra khi quay hình phaúng giôùi haïn bôûi (P) vaø x = 2 quanh
truïc Ox laø:

V = pòy .dx = pò8x.dx = 16p (ñvtt).
V 2 1 y du 2 1 y dy ... 899
æ ö æ ö p = p - ç ÷ = p ç - ÷ = =
è ø è ø ò ò (ñvtt).
8 64 32 - -
V y .dx (2x x ) dx ... 16
p
= pò = pò - = = (ñvtt).
' 1 y 0 0 y 1
D = - ³ Û £ £
é = - - £ £
x 1 1 y, (0 x 1)
1 (P)
(H)
x2
x1
2
V (x x )dy (x x )(x x )dy 2(2 1 y)dy ... 8 .
+ = Û = - Û =± - £
V y .dx (4 x ).dx ... 8
p p
= pò = ò - = = (ñvtt).
4 3 - -
Trang 147
2 2
2
0 0
b/ (P) : y2 8x x 1 y2
8
= Û =
Theå tích V khoái ... quanh truïc tung laø:
4 2 4
2 2 2 4
1 4
Ví duï 2: Goïi (H) laø hình phaúng giôùi haïn bôûi truïc hoaønh vaø parabol (p) : y = 2x - x2 . Tính
theå tích cuûa khoái troøn xoay khi cho (H)
a/ quay quanh truïc hoaønh
b/ quay quanh truïc tung.
Giaûi:
a/ Theå tích V khoái troøn xoay khi quay (H) quanh truïc hoaønh laø:
2 2
2 2 2
0 0
15
b/ (P) : y = 2x - x2 Û x2 - 2x + y = 0 (1)
1 1
2 2
(1)
x 1 1 y, (1 x 2)
Û êê
ë = + - £ £
Theå tích V khoái troøn xoay khi quay (H) quanh truïc tung laø:
1 1 1
2 2
2 1 2 1 2 1
0 0 0
p
3
= pò - = pò + - = pò - = =
Ví duï 3: Cho hình giôùi haïn elip:
2
x y2 1
4
+ = quay quanh truïc hoaønh. Tính theå tích cuûa
khoái troøn xoay ñöôïc taïo neân.
Giaûi:
2 2
(E) : x y2 1 y2 1 x y 1 4 x2 , (| x | 2)
4 4 2
Theå tích V khoái troøn xoay caàn tìm laø:
2 2
2 2
2 2
1
Ví duï 4: Goïi (D) laø mieàn kín giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng: y = x, y = 2 - x vaø y = 0.
Tính theå tích vaät theå troøn xoay khi quay (D) quanh truïc Oy.
Giaûi:
y
0 x
–1
–2 2
y
0 1 2 x
x
y
4
0
–
x = 2
(P)

V = pò(x - x )dy = pò[(2 - y) - (y ) ]
p
= + = = = p
p f/
p
p b/ 3 ;
2
1
p c/ 24 2 . p
limV(t).
®+¥
Trang 148
· y = x Û x = x1 = 2
· 2 y = 2 - x Û x = x = 2 - y.
· Theå tích vaät theå troøn xoay
khi quay (D) quanh truïc Oy laø:
1 1
2 2 2 2 2
2 1
0 0
32
15
p
= (ñvtt).
BAØI TAÄP
y = x
Baøi 18. Tính vaät theå troøn xoay sinh ra bôûi pheùp quay quanh truïc Ox cuûa mieàn (D) giôùi haïn
bôûi caùc ñöôøng:
a/ y = lnx; y = 0; x = 2. b/ x2 + y - 5 = 0; x + y - 3 = 0.
c/ y = x2; y = x. d/ y = x2 - 4x + 6; y = -x2 - 2x + 6.
e/ y = x(x -1)2 . f/ y = x.ex ; x = 1; y = 0 (0 £ x £ 1)
g/ y = ex ; y =-x+2 ; x = 0; x = 2. h/ y = x ln(1+ x3 ); x = 1.
i/ (P) : y = x2 (x > 0), y = -3x +10; y = 1 (mieàn (D)) naèm ngoaøi (P)).
k/ y cos4 x sin4 x; y 0; x ; x .
2
ÑS: a/ 2p(ln 2 -1)2; b/ 153 ;
5
p c/ 3 p
;
10
d/ 3p e/ .
105
(e2 1) ;
4
p -
g/ p(e2 -1)2 ; h/ (2 ln 2 1).
3
- i/ 56 .
p k/
5
3 p
2 .
8
Baøi 19. Tính theå tích khoái troøn xoay ñöôïc taïo thaønh do quay xung quanh truïc oy hình
phaúng giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng:
a/ y = x2; y = 1; y = 2.. b/ y = x2; x = y2 .
c/ Ñöôøng troøn taâm I(3 ; 0), baùn kính R = 2.
ÑS: a/ 3 ;
2
10
Baøi 20. Xeùt hình (H) giôùi haïn bôûi ñöôøng cong y 1 ;
= truïc Ox; x = 1 vaø x = t
x
a/ Tính dieän tích S(t) cuûa (H) vaø theå tích V(t) sinh bôûi (H) khi quay quanh Ox.
b/ Tính:
limS(t)
®+¥
t
vaø
t
y
0 1 2 4 x
y = 2 - x
A

p
ÑS: a/ S(t) lnt; V(t) ;
= = p- b/
t
p
a = 2
/ V ab .
a = y b/ V = 2p.
Trang 149
limS(t) ; limV(t)
®+¥ ®+¥
= +¥ = p
t t
Baøi 21. Cho mieàn (D) giôùi haïn bôûi ñöôøng troøn (C): x2 + y2 = 8 vaø parabol (p): y2 = 2x.
a/ Tính dieän tích S cuûa (D).
b/ Tính theå tích V sinh bôûi (D) khi quay quanh Ox.
ÑS: a/ 4 2 .
3
- p b/ 4 (8 2 7).
3
-
Baøi 22. Tính theå tích vaät theå giôùi haïn bôûi caùc maët taïo neân khi quay caùc ñöôøng:
a/
2 / 3 y b x (0 x a)
= æ ö £ £ ç ÷
a
è ø
quanh truïc Ox.
b/ y = sin x; y = 0 (0 £ x £ p)
a/ quanh truïc Ox b/ quanh truïc Oy.
c/
2 y b x ; y b x
= æ ö = ç ÷
a a
è ø
a/ quanh truïc Ox. b/ Quanh truïc Oy.
d/ y = e-x ; y = 0 (0 £ x < +¥) quanh truïc Ox vaø Oy.
ÑS: a/ 3 ab2;
7
p
b/
2
p
x /V ;
2
y b/ V = 2p .
/ V 4 ab ;
c/ 2
a = p
x
15
2
y
6
p
b =
p
d/ x /V ;
2

ò + b/
x dx ;
(x +1) ò f/
p
ò h/
p
ò + + k/
p
- d/ 2 ;
p
- c/ 3 ;
- + f/ ln 2 ;
p
+ g/ / 2 1 (e 1);
2)x 1),x 0
f(x) = ò t.ln t.dt. Tìm hoaønh ñoä ñieåm cöïc ñaïi x.
p
=
f(x) 2t 1 dt, 1 x 1.
- + ò
= - £ £
f(x) = ò(t -1)(t - 2) dt. Tìm ñieåm cöïc trò va ø ñiemå uoán cuûa ño à thò f.
Trang 150
a/
2
2
2 x .dx;
-
1 2
ò
x dx ;
2
0
4 - x c/
2 2
1
x 1dx;
x
- ò d/
1
ò
dx ;
2 3
0
(1+ x ) e/
1 2
2 2
0
/ 4
2
0
x dx;
cos x
p
ò
g/
/ 2
x
0
e .cosxdx;
/ 4 4 4
ò
+
x
+ / 4
sin x cos xdx;
3 1
p
-p
i/
0
cos2x.dx ;
sinx cosx 2
5 /12
2
/12
dx ;
sin2x 2 3cos x 2 3
p
p + + - ò
ÑS: a/ 8 (4 2);
3
- b/ 3 ;
3 2
3
2
e/ 1 1ln2;
4 4
4 2
2
p h/ 3 p
- ;
16
i/ 2ln3 – 2; k/ 3 .
4
ì- + £
= í
î - >
Baøi 2. Bieát f(x)
2
K(1 x ), x 0
. Tìm giaù trò K ñeå
1
ò =
f(x).dx 1.
-
1
ÑS: K = 3.
Baøi 3. a/ Cho haøm soá
2x
x
e
e
b/ Tìm giaù trò x 0; 3
p Îç æ ö è 2
÷
ø
ñeå haøm soá
2x
f(x) sin t dt
= ò ñaït cöïc ñaïi.
x
t
ÑS: a/ x = -ln 2. b/ x .
3
x
2
0
+
t 2t 2
Tìm giaù trò lôùn nhaát vaø giaù trò nhoû nhaát cuûa haøm soá f.
ÑS: a/ min f f 1 ;
= æ- ö ç ÷
2
è ø
b/ max f = f(1).
x
2
0
OÂN TAÄP TÍCH PHAÂN

ÑS: CT : 1; 17 ; Ñ.Uoán : 2; 4 ; 4 ; 112
æ ö æ ö æ ö ç - - 12 ÷ ç 3 ÷ç ÷
è ø è øè 3 81
ø
Baøi 6. Ñöôøng thaúng (D): x – 3y + 5 = 0 chia ñöôøng troøn (C) : x2 + y2 = 5 thaønh 2 phaàn,
tính dieän tích cuûa moãi phaàn.
ÑS: 1 2
S 5 p 5 ; S 15 p
5 .
= - = +
4 2 4 2
Baøi 7. Xeùt hình phaúng (H) giôùi haïn bôûi ñöôøng cong (C): 1y
;y 0
= æ ö æ- ö ç ÷ ç ÷
= - = (Ñeà thi chung cuûa Boä GDÑT – khoái B _ 2002)
Trang 151
= = ; x = 1; x = 2. Tìm
x
toaï ñoä ñieåm M treân (C) maø tieáp tuyeán taïi M seõ caét töø (H) ra moät hình thang coù
dieän tích lôùn nhaát.
ÑS: M 3 ; 2 .
æ ö
ç ÷
è 2 3
ø
Baøi 8. Cho ñieåm A thuoäc (P): y = x2, (A khaùc goác O); (D) laø phaùp tuyeán taïi A cuûa (P)
((D) vuoâng goùc vôùi tieáp tuyeán taïi A vôùi (P)). Ñònh vò trí cuûa A ñeå dieän tích giôùi
haïn ñænh bôûi (P) vaø (D) laø nhoû nhaát.
ÑS: minS 4 ; A 1 ; 1 hay A 1 ; 1 .
3 2 4 2 4
è ø è ø
Baøi 9. Cho hình (H) giôùi haïn bôûi:
x2 y2 1
16 4
x 4 2
ì
- = ïíï
î =
.
Tính theå tích sinh ra khi (H) quay quanh Oy.
ÑS: 128 .
3
p
Baøi 10. Cho hình (H) giôùi haïn bôûi:
y ax2 , a 0
y bx,b 0
ì= >
í
î = - >
.
Quay hình (H) ôû goùc phaàn tö thöù hai cuûa heä toaï ñoä quanh truïc Ox. Tìm heä thöùc
giöõa a vaø b ñeå theå tích khoái troøn xoay sinh ra laø haèng soá, khoâng phuï thuoäc vaøo a
vaø b.
ÑS: b5 = K.a3, vôùi K laø haèng soá döông baát kyø.
y = x2 - 4x + 3 , y = x + 3. (Ñeà thi chung cuûa Boä GDÑT–khoái A_2002)
ÑS: 109
6
(ñvdt).
x2 x2 y 4 vaøy .
4 4 2

I dx .
p -
=
ò +
I 1 2sin x dx.
I = ò x - x dx.
I x dx.
I 1 3ln x.ln x dx
I = ò ln(x - x)dx.
Trang 152
ÑS: 2 4
p+ (ñvdt).
3
Baøi 13. Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi ñöôøng cong (C): y 3x 1
- -
=
x 1
-
vaø hai truïc
toaï ñoä. (Ñeà thi.......................................... khoái D_2002)
ÑS: 1 4 ln 4
+ (ñvdt).
3
Baøi 14. Tính tích phaân
2 3
2
5
x x 4
=
+ ò
(Ñeà thi.......................................... khoái A_2003)
ÑS: 1 ln 5 .
4 3
/ 2 2
0
1 sin2x
(Ñeà thi.......................................... khoái B_2003)
ÑS: 1 ln2.
2
2
2
0
(Ñeà thi.......................................... khoái D_2003)
ÑS: 1.
2
1
1 x 1
=
+ + ò
(Ñeà thi.......................................... khoái A_2004)
ÑS: 11 4ln2.
3
-
e
1
x
+
= ò
(Ñeà thi.......................................... khoái B_2004)
ÑS: 116 .
135
3
2
2
(Ñeà thi.......................................... khoái D_2004)
ÑS: 3ln3 – 2.

Nguyen ham va tich phan

More Related Content

What's hot (19)

Viewers also liked (8)

Similar to Nguyen ham va tich phan (20)

More from Vcoi Vit (20)

Nguyen ham va tich phan