Num bab4

IV. SISTIM PERSAMAAN LINIER

4.1 Pendahuluan
Persoalan sistim persamaan linier yang memiliki n persamaan dan n bilangan
tak diketahui sering dijumpai dalam permasalahan teknik. Bentuk umum persamaan
linier tersebut sebagai berikut
a11x1 + a12x2 + ...... + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + ...... + a2nxn = b2
.
.
an1x1 + an2x2 + ...... + annxn = bn
dengan a adalah koefisien konstan , b adalah konstan, n adalah jumlah persamaan ,
dan x1 , x2 ... xn adalah bilangan tak diketahui .
Bila persaman tersebut ditulis dalam bentuk matrix A x = b , dimana :

 a11 a12 a13 . . a1n 
a a a . . a 
 21 22 23 21 
A=  . . . . . . 
 
 . . . ... 
 am1 am2 . . . amn 
Dimana aij adalah elemen matrix dengan i menunjukan baris dan j menunjukan
kolom, misalkan a13 berarti elemen baris ke satu dan kolom ke tiga, matrix tersebut
berordo m x n.
Sebagai contoh : Matrix bujur sangkar , A4x4 :

 a11 a12 a13 a14 
a a a a 
A= 
21 22 23 24 

 a31 a32 a33 a34 
 
 a41 a42 a43 a44 
Matrix dengan dimensi baris m = 1 , disebut vektor baris seperti :
B = [ b1 b2 . . bn ]
Matrix dengan dimensi kolom n = 1 , disebut vektor kolom seperti :

Numerik : Budi Kudwadi, Drs., MT 23


c1

c2


.
C = 
.


.

cm


Ada beberapa bentuk khusus dari matrix bujur sangkar, yaitu :
1. Matrix simetris, apabila aij = aji , misalkan matrix simetris 3x3

 1 2 3
 
A= 2 4− 5
 
 3 − 5 6 
2. Matrix diagonal adalah matrix bujur sangkar dimana semua elemen kecuali
diagonal utama adalah nol

 a11 0 0 
 
A= 0 a 0
 22 
 0 0 a33 
3. Matrix identitas adalah matrix diagonal yang semua elemen diagonalnya adalah
satu.

1 0 0

I= 0 1 0 

 0 0 1 

4. Matrix segitiga atas , adalah matrix dimana semua elemen dibawah diagonal
utamanya adalah nol

 a11 a12 a13 a14 
0 a a a 
A= 
22 23 24 

 0 0 a33 a34 
 
 0 0 0 a44 
5. Matrix segitiga bawah, matrix dimana semua elemen diatas diagonal utamanya
adalah nol

 a11 0 0 0 
a a 0 0 
A=  
21 22

 a31 a32 a33 0 
 
 a41 a42 a43 a44 
6. Matrix pita, adalah matrix yang mempunyai elemen sama dengan nol kecuali
pada satu jalur, yang berpusat pada diagonal utamanya.

 a11 a12 0 0 
a a a 0 
A= 
21 22 23 
matrix ini memiliki tiga jalur, matrix Tridiagonal.
 0 a32 a33 a34 
 
 0 0 a43 a44 
7. Matrix transpose, matrix yang terbentuk dengan mengganti baris menjadi kolom
dan kolom menjadi baris. Notasinya : AT


 a11 a12 a13 a14   a11 a21 a31 a41 
a a a a  a a a a 
A= 
21 22 23 24   12 22 32 42 
maka AT =
 a31 a32 a33 a34   a13 a23 a33 a43 
   
 a41 a42 a43 a44   a14 a24 a34 a44 
8. Matrix inverse, jika matrix A memiliki inverse matrix A maka dilambangkan
dengan A-1
dimana : A A-1 = A-1 A = I
Perkalian matrix dengan matrix inversenya menghasilkan matrix identitas.

4.2 Metoda Eliminasi Gauss.
Untuk menyelesaikan sistim persamaan linier yang dilakukan dengan cara
eliminasi sistim persamaan kedalam bentuk segitiga sehingga salah satu
persamaannya hanya mengandung satu bilangan tak diketahui.
Sebagai contoh berikut ada 3 persamaan dengan 3 bilangan tak diketahui :

a11x1 + a12x2 + a13x3 = b1 (4.1.a)
a21x1 + a22x2 + a23x3 = b3 (4.1.b)
a31x1 + a32x2 + a33x3 = b3 (4.1.c)

Persamaan pertama dibagi koefisien pertama dari persamaan kesatu a11 dan
dikalikan dengan koefisien pertama dari persamaan kedua a21 :
a12 a13 b1
a21x1 + a21 a11 x2 + a21 a11 x3 = a21 a11 (4.2)
Persamaan (4.1.b) dikurangi persamaan (4.2) didapat :
a12 a13 b1
(a - a a11 ) x + (a - a a11 ) x = (b - a a11 )
22 21 2 23 21 3 2 21
atau a’22 x2 + a’23 x3 = b’2 (4.3)

Langkah berikut, dengan cara yang sama dilakukan pada persamaan pertama
dengan persamaan ketiga, sehingga didapat persamaan :
a12 a13 b1
a x + a a11 x + a a11 x = a a11
31 1 31 2 31 3 31 (4.4)
dan persamaan (4.1.c) dikurangi persamaan (4.4) didapat :
a12 a13 b1
(a - a a11 ) x + (a - a a11 ) x = (b - a a11 )
32 31 2 33 31 3 3 31
atau a’32 x2 + a’33 x3 = b’3 (4.5)


Langkah berikut mengeliminasi persamaan (4.3) dan (4.5) yaitu membagi
persamaan (4.3) dengan koefisien a’22 dan dikalikan dengan koefisien pertama dari
persamaan (4.5) hasilnya :
a ' 23 b' 2
a’32 x2 + a’32 x3 = a’33 (4.6)
a ' 22 a ' 22
Persamaan (4.5) dikurangi persamaan (4.6)
a ' 23 b' 2
(a’33 - a’32 ) x3 = (b’3 - a’33 )
a ' 22 a ' 22
atau : a”33 x3 = b”3 (4.7)

Dengan demikian terbentuk persamaan dalam bentuk matrix segitiga atas :
a11x1 + a12x2 + a13x3 = b1 (4.1.a)
a’22 x2 + a’23 x3 = b’2 (4.3)
a”33 x3 = b”3 (4.7)
Maka hasilnya dapat diselesaikan dengan menyelesaikan persamaan (4.7) didapat
nilai x3 kemudian dengan memasukan nilai x3 ke persamaan (4.3) didapat x2 dan
selanjutnya dengan memasukan nilai x2 dan x3 pada persamaan (4.1.a) didapatkan
nilai x1 . dengan demikian sistim persamaan dapat diselesaikan.

Contoh : Selesaikan sistim persamaan berikut
3x + y - z = 5 (4.8.a)
4x + 7y - 3z = 20 (4.8.b)
2x - 2y + 5z = 10 (4.8.c)
maka :
Persamaan pertama dibagi koefisien pertama dari persamaan kesatu , 3 dan
dikalikan dengan koefisien pertama dari persamaan kedua, 4 :
4x + 1,3333y - 1,3333z = 6,6666 (4.9)
Persamaan (4.8.b) dikurangi persamaan (4.9) didapat :
5,6667y - 1,6666z = 13,3334 (4.10)
Langkah berikut, dengan cara yang sama dilakukan pada persamaan pertama
dengan persamaan ketiga, sehingga didapat persamaan :
2x + 0,6666y - 0,6666z = 3,3333 (4.11)
dan persamaan (4.8.c) dikurangi persamaan (4.11) didapat :
-2,6666y + 5,6666z = 6,6667 (4.12)
Langkah berikut mengeliminasi persamaan (4.10) dan (4.12) yaitu membagi
persamaan (4.10) dengan koefisien 5,6667 dan dikalikan dengan koefisien pertama
dari persamaan (4.12) hasilnya :
-2,6666y + 0,7842z = -6,2742 (4.13)
Persamaan (4.12) dikurangi persamaan (4.13)
4,8824z = 12,9409 (4.14)


Dengan demikian terbentuk persamaan dalam bentuk matrix segitiga atas :
3x + y- z= 5 (4.8.a)
5,6667y - 1,6666z = 13,3334 (4.10)
4,8824z = 12,9409 (4.14)
Jadi hasilnya :
z = 2,6505
y = 3,1325
x = 1,506
Untuk mengetahui benar tidaknya hasil tersebut :
3(1,506) + 3,1325 - 2,6505 = 5
4(1,506) + 7 (3,1325) - 3(2,6505) = 20
2(1,506) - 2(3,1325) + 5(2,6505) = 9,9995

Implementasi Pada Komputer.
Permasalahan umumnya adalah menyelesaikan persamaan-persamaan
tersebut dibawah ini :
(0) a00 x0 + a01 x1 + a02 x2 + ... + a0n xn = b0
(1) a10 x0 + a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1 (4.15)
... ... ... ... ...
(n) an0 x0 + an1 x1 + an2 x2 + ... + ann xn = bn

kita mulai memberi nomor pada 0 dari pada 1 karena biasanya urutan dalam
komputer dimulai dari 0. Kita simpan a sebagai suartu baris A(R,S) dimana R
dan S dimulai dari 0 sampai dengan Kita juga menyimpan b dalam baris yang
sama sebagai A(R,N+1), tetapi kita akan menggunakan baris terpisah X(R) untuk
menyimpan X yang belum diketahui. Hubungan berikutnya kita bayangkan suatu
baris sebagai suatu matriks atau suatu vektor dalam hal ini seorang ahli
matematika lebih sering menuliskan persamaan diatas dalam bentuk matriks
sebagai A x = b
Untuk tahap pertama dalam penyelesaian persamaan ini, kita tetapkan baris ke 0
sebagai persamaan acuan. Baris ini dibagian kirinya tidak mengalami perubahan,
tetapi untuk r = 1, 2,... n kita tempatkan baris (r) dengan :
a r' 0
(r) - x (0)
a 00
Sekarang Persamaannya menjadi seperti :

(0) a00 x0 + a01 x1 + a02 x2 + ... + a0n xn = b0
(1) a’11 x1 + a’12 x2 + ... + a’1n xn = b’1 (4.16)
..... ..... ....... .......
(n) a’n1 x1 + a’n2 x2 + ... + a’nn xn = b’n

Nilai a’11 berbeda dengan nilai a11 , tetapi nilainya disimpan dalam komputer
pada tempat yang sama. Tahapan berikut dalam penyelesaiannya adalah
mengeliminasi x1 dari baris ke 2 sampai ke n , pada tahapan ini baris (0) dan (1)
tidak dilakukan , tetapi untuk r = 2, 3 ... ,n baris (r) digantikan dengan :
'
a r1
(r) - ' x (0)
a11


Kita teruskan dengan cara yang sama sampai kita mengeliminasi seluruh
bilangan yang tidak diketahui kecuali xn .
Dibawah ini suatu program untuk pemecahan umum penyelesaian sekumpulan
persamaan dengan prosedur Eliminasi Gauss.

10 REM GAUSSIAN ELIMINATION
20 REM ***** ** * * * INPUT DATA ******* * * * * *
30 INPUT "NUMBER OF EQUATIONS";N
40 LET N =N- 1:PRINT
50 DIM A(N,N+1),X(N)
60 FOR R=0 TO N
70 FOR S=0 TO N
80 PRINT "A(";R;",";S;" ) = ";
90 INPUT A(R,S)
100 NEXT S
110 PRINT :PRINT "B(";R;") =" ;
120 INPUT A(R,N+1)
130 PRINT:PRINT:NEXT R
200 REM ****** * * * ELIMINATION ****** * * * * * *
210 FOR Z=0 TO N-1
400 FOR R =Z + 1 TO N
410 LET P = A(R,Z)/A(Z,Z)
420 FOR S=Z + 1 TO N+1
430 LET A(R,S)=A(R,S)- P*A(Z,S)
440 NEXT S
450 NEXT R
500 NEXT Z
600 REM ****** * * *BACK SUBTITUTION ****** * *
610 FOR R=N TO 0 STEP -1
620 LET P=A(R,N+1)
630 IF R=N THEN GOTO 670
640 FOR S=R+1 TO N
650 LET P=P-A(R,S)*X(S)
660 NEXT S
670 LET X(R)=P/A(R,R)
680 NEXT R
700 REM ****** * * * * * *PRINT RESULT ****** * * *
710 FOR R=0 TO N
720 PRINT " X(";R;") =";X(R)
730 NEXT R

Dalam program ini, baris 30 - 130 adalah cara masukan biasa untuk
mendapatkan persamaannya melalui komputer. Prosedur eliminasi diisikan
dalam baris 210 - 500. Variabel Z menyimpan angka yang belum diketahui yang
seterusnya akan dieliminasi, dan langsung bernilai 0, 1, .... N-1 . Prosedur
subtitusi kembali disimpan di baris 610-680 dan di akhir program akan keluar
hasilnya. Pada dasarnya sebagian dari program ini adalah untuk
pengambilan Input dan Output . Program ini dapat dipakai untuk berbagai nilai
N, yang sangat tergantung pada ukuran memori komputernya, tetapi bila nilai N
besar, komputer akan cukup sibuk dan waktu prosesnya akan lebih lama.
Kita dapat memcoba program tersebut pada kumpulan persamaan :


(1) 2w + 4x + y + 2z = 5
(2) 4w + 14x - y + 6z = 11 (4.17)
(3) w - x + 5y - z = 9
(4) -4w + 2x - 6y + z = -2
dan hasil keluaran dari program yang diharapkannya :
X(0) = -3
X(1) = 1
X(2) = 3
X(3) = 2

4.3. Metode Gauss-Jordan

Metode lain untuk menyelesaikan sistim persamaan linier adalah dengan
metode Gauss-Jordan, metode ini merupakan variasi dari metode eliminasi Gauss,
tetapi dalam metode Gauss Jordan ini menghasilkan matrix kesatuan sehingga tidak
perlu penerapan back subtitusion untuk menyelesaikannya.
Prinsip eliminasi Gauss-Jordan :

 a11 a12 a13 b1 
a a a b2 
 21 22 23 
 a31 a32 a33 b3 

 a1 0 0 b '1 
 '
 0 a2 0 b 2
0 0 a '
b 3
 3
sehingga : x1 = b’1
x2 = b’2
x3 = b’3

Didalam metode ini dipilih secara berurutan setiap baris sebagai baris pivot,
dengan pivotnya adalah elemen pertama yang tidak nol dari baris tersebut.
Contoh :
3 x1 - 0,1 x2 - 0,2 x3 = 7,85


0,1 x1 + 7 x2 - 0,3 x3 = -19,3 (4.18)
0,3 x1 - 0,2 x2 + 10 x3 = 71,4
dalam bentuk matrix :

 3 − 01, − 02, 785
,
 01, 7 − 03, − 193, 
 
 03, − 02, 10 714, 
Tahap 1. Baris pertama dibagi dengan elemen pivot a11 yaitu 3 .

 1 − 003333 − 006667 261667
, , ,
 01 7 − 03 − 193 
,
, , 
 03 − 02 10
, , 714 
,
Tahap 2. Suku x1 pada baris kedua dan ketiga dieliminasi menjadi nol

 1 − 003333 − 006667 261667
, , ,
 0 700333 − 029333 − 195617 
 , , , 
 0 − 019000 100200 706150 
, , ,
Tahap 3. Baris kedua dibagi dengan elemen pivot a22 yaitu 7,0333.

 1 − 003333 − 006667 261667
, , ,
 0 1 − 004188 − 279320 
, ,
 
 0 − 019000 100200 706150 
, , ,
Tahap 4. Mereduksi suku-suku x2 dari baris kesatu dan ketiga.


 1 0 − 006806 252356
, ,
 0 1 − 004188 − 279320
, , 

 0 0 100120 700843 
, ,
Tahap 5. Baris ketiga dinormalkan dengan cara membagi dengan elemen pivot a33
yaitu 10,0120

 1 0 − 006806 252356 
, ,
 0 1 − 004188 − 279320
, , 

 0 0 1 700003 
,
Tahap 6. mereduksi suku-suku x3 dari baris pertama dan kedua

 1 0 0 30, 0 0 
 0 1 0 − 25, 0 01
 
 0 0 1 70, 0 03
Maka hasilnya :
x1 = 3
x2 = -2,5
x3 = 7

Aplikasi komputer.
Dalam mengembangkan suatu program eliminasi Gauss-Jordan maka dapat
digunakan Total pivoting, dengan membuat perubahan pada program eliminaasi
Gauss diatas sebagai berikut :
(i) Ganti baris 10 menjadi :
10 REM GAUSSIAN ELIMINATION - TOTAL PIVOTING
(ii) sisipkan baris berikut, untuk menandai barisan C(S) :
150 DIM C(N)
160 FOR S=0 TO N
170 LET C(S) = S
180 NEXT S

(iii) sisipkan tambahan baris ini untuk menghasilkan acuannya


220 LET W=0
230 FOR R=Z TO N:FOR S=Z TO N
240 IF ABS(A(R,S))>W THEN LET U=R:LET V=S:LET W=ABS(A(R,S))
250 NEXT S:NEXT R
260 IF U=Z THEN GOTO 320
270 FOR S=Z TO N+1
280 LET P=A(R,S)
290 LET A(U,S)=A(Z,S)
300 LET A=(Z,S) =P
310 NEXT S
320 IF V=Z THEN GOTO 400
330 FOR R=0 TO N
340 LET P=A(R,V)
350 LET A(R,V)=A(R,Z)
360 LET A(R,Z)=P
370 NEXT R
380 LET P=C(V):LET C(V)=C(Z):LET C(Z)=P

(iv) Rubah dua baris berikut dalam subsitusi kembalinya :
650 LET P=P-A(R,S)*X(C(S))
670 LET X(C(R))=P/A(R,R)

Baris ke 220-250 mendapatkan angka terbesar A(U,V) di barisannya, baris ke
260-310 menampilkan pertukaran baris, dan baris 320-370 menampilkan
perubahan kolom. Catatan ketika menukarkan kolom, kita merubah semua
nilai R=0 ke R=N, bukan hanya dari Z ke N, oleh karena itu kita melompat ke
subsitusi kembali. Baris 380 membawa baris C(S) diperbaharui. Dalam subsitusi
kembali kita harus menggunakan X(C(.)) selain dari X(.).

4.4. Matrix Invers

Suatu matrix bujursangkar A bila memiliki matrix inversnya A-1 maka :
A A-1 = A-1 A = I
dimana : I adalah matrix Identitas
Salah satu penerapan invers matrix muncul bilamana diperlukan untuk
menyelesaikan persamaan : A X = C (4.19)
atau : X = A-1 C (4.20)
dimana : X dan C adalah matrix kolom.


Matrix invers dapat dicari dengan menggunakan metode Gauss-Jordan, secara
umum :
A I

 a11 a12 a13 1 0 0
 a a a 0 1 0
 21 22 23 
 a31 a32 a33 0 0 1
dirubah menjadi
A => I I => A-1

 1 0 0 a'11 a'12 a'13 
 0 1 0 a ' a' a' 
 21 22 23 

 0 1 0 a'31 a'32 a'33 
Kontrol : A A-1 = I
Contoh : Akan dicari matrix invers dari matrix berikut :

 2 1 1
 
A= 1 2 1
 
 1 1 2
Penyelesaiannya :
akan dirubah matrix A menjadi matrix identitas dan matrix identitas yang telah ada
akan berubah sejalan dengan prosedur perhitungannya terhadap matrix A tersebut.

A I


 2 1 1 1 0 0
Ditetapkan elemen pertama dari baris pertama sebagai elemen
pivot, yaitu 2. Baris pertama dibagi oleh elemen pivot 2,
didapat :

 1 2 1 0 1 0
 
 1 1 2 0 0 1

 1 12 21 12 0 0 Baris kedua dan ke tiga dikurangi oleh baris pertama

 
1 2 1 0 1 0
1 1 2 0 0 1
 

 1 12 21 12 0 0  Baris kedua ditetapkan sebagai baris pivot, yang dibagi

 31 1 
3
dengan elemen pivot 2

 0 2 2 − 2 1 0
 0 1 3 − 1 0 1
 22 2 
 1 12 21 12 0 0  Baris kedua dikali 1
2 dan hasilnya digunakan untuk

 1 12 
mengurangi persamaan baris ke satu dan ketiga

 0 1 3 − 3 3 0
 0 1 3 − 1 0 1
 2 2 2 


 1 0 31 23 − 13 0 Persamaan ketiga ditetapkan sebagai baris pivot dan

 1 12 dibagi dengan elemen pivot 4
3

 0 1 3 − 3 3 0
 0 0 4 − 1 − 1 1
 3 3 3 

 1 0 31 23 − 13 0 Baris pertama dan kedua dikurangi dengan baris ketiga

 1 12 yang dikalikan 1
3

 0 1 3 − 3 3 0
0 0 1 − 1 − 1 3
 4 4 4 
I A-1

 1 0 0 43 − 14 − 14 
 1 3 1
 0 1 0 − 4 4 − 4 Dengan demikian didapat matrix inversnya

0 0 1 − 1 − 1 3
 4 4 4
 43 − 41 − 14 
 1 3 1
= −
A-1
 4 4 −4
− 1 − 1 3 
4 4 4
PROGRAM BASIC UNTUK MENGHITUNG INVERS MATRIX


CLS
10 REM * PROGRAM : INVERSE MATRIX *
20 REM
90 INPUT "ORDE DARI MATRIX";N
100 DIM X(N,N)
110 '
120 'MEMASUKAN DATA MATRIX
130 PRINT
140 PRINT "DATA MATRIK YANG AKAN DIINVERSE :"
150 FOR I=1 TO N
160 FOR J=1 TO N
170 PRINT "NILAI("I","J")"; : INPUT X(I,J)
180 NEXT J
190 PRINT
200 NEXT I
210 '
220 ' MENAMPILKAN NILAI MATRIX SEMULA
230 PRINT
240 PRINT "NILAI MATRIX SEMULA :"
250 PRINT "- --------------------"
260 FOR I=1 TO N
270 FOR J=1 TO N
280 PRINT USING "# # # # # . # # # " ; X (I,J);
290 NEXT J
300 PRINT
310 NEXT I
320 '
330 'MENGHITUNG INVERSE MATRIX
340 GOSUB 1000 'MENGHITUNG INVERSE MATRIX
350 '
360 'MENCETAK HASIL INVERSE
370 PRINT
380 PRINT "INVERSE MATRIXNYA ADALAH :"
390 PRINT "- -------------------------"
400 PRINT
410 FOR I=1 TO N
420 FOR J=1 TO N
430 PRINT USING "# # # # # . # # # " ; X(I,J);
440 NEXT J
450 PRINT
460 NEXT I
470 END
1000 '
1010 'MENGHITUNG INVERSE MATRIX
1020 FOR I=1 TO N
1030 PV = X(I,I)
1040 X(I,I) =1
1050 FOR J=1 TO N
1060 X(I,J) = X(I,J) / PV
1070 NEXT J


1080 FOR K=1 TO N
1090 IF K=I THEN 1150
1100 A= X(K,I)
1110 X(K,I) = 0
1120 FOR J = 1 TO N
1130 X(K,J) = X(K,J)-A*X(I,J)
1140 NEXT J
1150 NEXT K
1160 NEXT I
1170 RETURN

4.5 Metode Iteratif

Beberapa metode yang menggunakan penyelesaian sistim persamaan linier
dengan cara proses iteratif adalah metode Jacobi dan metode Gauss-Seidel.

1. Metode Jacobi.
Apabila terdapat sistim 3 persamaan sebagai berikut :
a11x1 + a12x2 + a13x3 = b1
a21x1 + a22x2 + a23x3 = b2 (4.21)
a31x1 + a32x2 + a33x3 = b3


Persamaan tersebut dapat ditulis :
x1 = ( b1 - a12x2 - a13x3 ) / a11
x2 = ( b2 - a21x1 - a23x3 ) / a22 (4.22)
x3 = ( b3 - a31x1 - a32x2 ) / a33
Untuk penyelesaian proses iterasinya, maka hitungan dapat diberi nilai awal nol
untuk semua variabelnya, setelah disubtitusikan kedalam persamaan (4.22) tersebut
maka dapat dilanjutkan untuk perhitungan berikutnya berdasarkan nilai hasil akhir
dari persamaan tersebut hingga nilai setiap variabel pada iterasi ke r mendekati nilai
pada iterasi ke r-1.

Sebagai Contoh :
Selesaikan sistim persamaan berikut dengan metode iterasi Jacobi :
3x + y - z = 5
4x + 7y - 3z = 20 (4.23.a)
2x - 2y + 5z = 10
Penyelesaian :
Sistim persamaan (4.23.a) dapat ditulis :
x = (5 - y + z) / 3
y = (20 - 4x + 3z) / 7 (4.23.b)
z = (10 - 2x + 5z) / 5
Untuk perhitungan pertama nilai x = y = z = 0 maka :
x1 = (5 - 0 + 0) / 3 = 1,66667
y1 = (20 - 4(0) + 3(0)) / 7 = 2,85714 (4.23.c)
z1 = (10 - 2(0) + 5(0)) / 5 = 2
Untuk langkah kedua nilai x1 , y1 , z1 dimasukan ke persamaan (4.23.b)
menghasilkan nilai variabel berikutnya x2 , y2 , z2 kemudian prosentase kesalahan
yang terjadi mada masing-masing variabel. Adapun perhitungan selanjutnya dalam
bentuk tabel berikut :
Tabel 4.1.
Iterasi x y z εx % εy % εz %
1 0,0 0,0 0,0 - - -
2 1,66667 2,85714 2,0 100 100 100
3 1,38095 2,76190 2,47619 20,69 3,45 19,23
4 1,57143 3,12925 2,55238 12,12 11,74 2,99
5 1,47438 3,05306 2,62313 6,58 2,5 2,70
6 1,52336 3,13884 2,63147 3,22 2,73 0,32
7 1,49754 3,11443 2,64619 1,72 0,78 0,56
8 1,51059 3,13549 2,64675 0,86 0,67 0,02

Penerapan komputer.
Untuk kumpulan persamaan berikut :
5x + y + z = 10
x + 6y - 2z = 7 (4.24.a)
x - 3y + 7z = 16
berdasarkan pemikiran terdahulu proses iterasinya :
xr+1 = (10 - yr - zr) / 5
yr+1 = ( 7 - xr + 2zr) / 6 (4.24.b)
zr+1 = (16 - xr + 3 yr) / 7


Kita terapkan metoda tersebut dengan program dibawah ini; sebagai catatan
dapat disimpan x , y , z sewaktu-waktu sebagai X1, Y1, Z1. Nilai x , y, z
diisi nol pada baris 20.

10 REM JACOBI PROCESS))
20 LET R=0:LET X=0:LET Y=0:LET Z=0
30 LET X1=(10- Y-Z)/5
40 LET Y1=(7- X+2*Z)/6
50 LET Z1=(16- X+3*Y)/7
60 LET R=R+1:LET X=X1:LET Y=Y1:LET Z=Z1
70 PRINT "X(";R;") =";X
80 PRINT "Y(";R;") =";Y
90 PRINT "Z(";R;") =";Z
100 PRINT: GOTO 30

Program ini menghasilkan keluarannya :
X( 1 ) = 2
Y( 1 ) = 1.16666667
Z( 1 ) = 2.28571429
X( 2 ) = 1.30952381
Y( 2 ) = 1.59523809
Z( 2 ) = 2.5
....................
....................
X( 28 ) = 1.00000001
Y( 28 ) = 2.99999999
Z( 28 ) = 2 99999999
X( 29 ) = 1
Y( 29 ) = 2
Z( 29) = 3
....................

Setelah dua puluh sembilan tahap, kita akan mendapatkan jawaban
sebenarnya yang nyata; Idealnya program ini akan berhenti secara otomatis
bila kita akan menentukan akurasi yang diperlukan, dengan membuat perubahan
pada programnya. Ada kelemahan dari proses Jacobi tersebut, jika kita memakai
metode tersebut untuk persamaan sebagai berikut :
x + 6y - 2z = 7
x - 3y + 7z = 16
5x + y + z = 10
Ini merupakan persamaan (4.24.a) yang ditulis dengan urutan berbeda, kita
harus merubah baris 30-50 menjadi :
30 LET X1= 7 - 6*Y + 2*Z
40 LET Y1= -(16 - X - 7*Z)/3
50 LET Z1= 10 - 5*X - Y
sekarang kita dapatkan hasilnya :
..................
..................
X( 54 ) =- 6.96679366E +36
Y( 54 ) =- 9.53883372E +36
Z( 54 ) = 1.38898036E+37


X( 55 ) = 8.50126094E +37
Y( 55 ) = 3.00872771E +37
Z( 55 ) = 4.43728021E+37
?OVERFLOW ERROR IN 30

Jelaslah, dalam hal ini proses iterasinya menjadi divergen. Sebelum kita
dapat menjadikan proses Jacobi sebagai salah satu metoda eliminasi, tentunya
harus ditentukan beberapa ketentuan dalam pelaksanaan berikutnya, yang
membuat prosesnya menjadi konvergen. Untuk Proses iterasi dengan Metode
Jacobi maka persamaan matrixnya haruslah memiliki nilai dominan diagonal atau
jumlah nilai diagonalnya melebihi nilai sisanya.
Sebagai contoh, kita memiliki matrik yang diatas ordo 3x3, tetapi hasilnya
dapat diperbesar menjadi matrik ukuran banyak : jika matrik A adalah dominan
diagonal maka proses jacobi untuk sistem persamaan Ax = b akan konvergen.
Apabila suatu matrix tersebut merupakan tidak memiliki dominan diagonal
maka kita tidak perlu melanjutkan ke proses jacobi, untuk mencapai keadaan
dominan diagonal dapat dilakukan penyusunan ulang urutan dalam persamaan
tersebut.

2. Metode Iterasi Gauss-Siedel
Dalam metode ini nilai variabel sebelumnya akan dimanfatkan untuk
menghitung persamaan selanjutnya.
Seperti pada metoda Jacobi sistem persamaan (4.21) diubah menjadi sistim
persamaan (4.22). Kemudian kedalam persamaan pertama dari sistim diberikan
nilai sembarang x2 dan x3 (biasanya nol), sehingga didapat nilai :
x1 = ( b1 - a12x2 - a13x3 ) / a11
nilai baru x1 dimasukan ke dalam persamaan kedua dari sistim :
x2 = ( b2 - a21x1 - a23x3 ) / a22
nilai baru x1 dan x2 dimasukan ke dalam persamaan ketiga dari sistim :
x3 = ( b3 - a31x1 - a32x2 ) / a33
Kemudian dilanjutkan pada iterasi selanjutnya, sehingga akan diperoleh nilai real
variabel x1 ,x2 ,x3 lebih cepat dari pada Metode Jacobi.
Contoh : Selesaikan soal persamaan (4.23.a) dengan metode iterasi Gauss-Siedel.
Penyelesaian :
Langkah pertama menetapkan nilai y = z = 0 , dihitung x1 :
x1 = (5 - 0 + 0) / 3 = 1,66667
selanjutnya x1 dipakai pada persamaan kedua :
y1 = (20 - 4(1,66667) + 3(0)) / 7 = 1,90476
z1 = (10 - 2(1,66667) + 5(1,90476)) / 5 = 2,09524
Hitungan selanjutnya dibuat dalam bentuk tabel :


Tabel 4.2
iterasi x y z εx % εy % εz %
0 - 0 0 - - -
1 1,66667 1,90476 2,09524 - - -
2 1,73016 2,76644 2,41451 3,67 31,15 13,22
3 1,54936 3,00658 2,58289 11,67 7,99 6,52
4 1,52544 3,09242 2,62679 1,57 2,78 1,67
5 1,51146 3,11922 2,64310 0,9 0,86 0,62

Penerapan komputer :
Untuk kumpulan persamaan (4.24.a) berikut :
5x + y + z = 10
x + 6y - 2z = 7
x - 3y + 7z = 16
berdasarkan pemikiran terdahulu proses iterasinya :
xr+1 = (10 - yr - zr) / 5
yr+1 = ( 7 - xr + 2zr) / 6
zr+1 = (16 - xr + 3 yr) / 7
Jadi dalam persamaan keduanya kita memakai nilai yang dihitung memakai nilai
x sebelumnya. dengan demikian kita dapat mempersingkat dengan variabel X1,
Y1, Z1 yang kita perlukandalam proses jacobi. Program berikut merupakan
pemakaian metoda Gauss-seidel untuk persamaan (4.24.a).

10 REM GAUSS-SEIDEL PROCESS
20 LET R=0:LET X=0:LET Y=0:LET Z=0
30 LET X=(10- Y-Z)/5
40 LET Y=(7- X+2*Z)/6
50 LET Z=(16- X+3*Y)/7
60 LET R=R+1
70 PRINT "X(";R;") =";X
80 PRINT "Y(";R;") =";Y
90 PRINT "Z(";R;") =";Z
100 PRINT: GOTO 30

Program ini menghasilkan keluaran :
X( 1 ) = 2
Y( 1 ) = .833333333
Z( 1 ) = 2.35714286
X( 2 ) = 1.36190476
Y( 2 ) = 1.72539683
Z( 2 ) = 2.83061225
...................
X( 15 ) = 1.00000001
Y( 15 ) = 1.99999999
Z( 15 ) = 3
X( 16 ) = 1
Y( 16 ) = 2
Z( 16 ) = 3
..........................


Sering terjadi bahwa metoda Gauss-seidel mencapai konvergen lebih cepat
dibanding proses jacobi, Oleh karena itu metoda Gauss-seidel lebih sering
dipakai. Dalam hal ini dapat ditunjukan bahwa metoda Gauss-seidel akan
konvergen untuk sistim persamaan Ax = b, jika matrik A adalah dominan diagonal.


Num bab4

More Related Content

What's hot (20)

Viewers also liked (20)

Similar to Num bab4 (20)

Num bab4