Abstract image of a woman sitting on books and studying on a laptop

Numerical Methods and Optimization An Introduction 1st Edition Pardalos

M
mlgyfhdjg5544

Numerical Methods and Optimization An Introduction 1st Edition Pardalos Numerical Methods and Optimization An Introduction 1st Edition Pardalos Numerical Methods and Optimization An Introduction 1st Edition Pardalos

Education
1 of 51
Download to read offline
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
Numerical Methods and Optimization An Introduction 1st Edition Pardalos download pdf https://ebookultra.com/download/numerical-methods-and-optimization-an- introduction-1st-edition-pardalos/ Visit ebookultra.com today to download the complete set of ebook or textbook!
We believe these products will be a great fit for you. Click the link to download now, or visit ebookultra.com to discover even more! Biologically Inspired Optimization Methods An Introduction 1st Edition Mattias Wahde https://ebookultra.com/download/biologically-inspired-optimization- methods-an-introduction-1st-edition-mattias-wahde/ An Introduction to Optimization 2nd Edition Edwin K. P. Chong https://ebookultra.com/download/an-introduction-to-optimization-2nd- edition-edwin-k-p-chong/ Introduction to Numerical Methods for Time Dependent Differential Equations 1st Edition Heinz-Otto Kreiss https://ebookultra.com/download/introduction-to-numerical-methods-for- time-dependent-differential-equations-1st-edition-heinz-otto-kreiss/ Numerical methods for finance 1st Edition John Miller https://ebookultra.com/download/numerical-methods-for-finance-1st- edition-john-miller/
Functional MRI An Introduction to Methods 1st Edition Peter Jezzard https://ebookultra.com/download/functional-mri-an-introduction-to- methods-1st-edition-peter-jezzard/ Numerical methods for viscosity solutions and applications 1st Edition Maurizio Falcone https://ebookultra.com/download/numerical-methods-for-viscosity- solutions-and-applications-1st-edition-maurizio-falcone/ Qualitative Research An Introduction to Methods and Designs 1st Edition Stephen D. Lapan https://ebookultra.com/download/qualitative-research-an-introduction- to-methods-and-designs-1st-edition-stephen-d-lapan/ Issues and Methods in Comparative Politics An Introduction 2nd Edition Todd Landman https://ebookultra.com/download/issues-and-methods-in-comparative- politics-an-introduction-2nd-edition-todd-landman/ Recipes for Science An Introduction to Scientific Methods and Reasoning 2nd Edition -- https://ebookultra.com/download/recipes-for-science-an-introduction- to-scientific-methods-and-reasoning-2nd-edition/
Numerical Methods and Optimization An Introduction 1st Edition Pardalos
Numerical Methods and Optimization An Introduction 1st Edition Pardalos Digital Instant Download Author(s): Pardalos, Panos M.; Butenko, Sergiy ISBN(s): 9781466577770, 1466577770 Edition: 1 File Details: PDF, 2.60 MB Year: 2014 Language: english
Numerical Methods and Optimization An Introduction 1st Edition Pardalos
NUMERICAL METHODS AND OPTIMIZATION An Introduction
CHAPMAN & HALL/CRC Numerical Analysis and Scientific Computing Aims and scope: Scientific computing and numerical analysis provide invaluable tools for the sciences and engineering. This series aims to capture new developments and summarize state-of-the-art methods over the whole spectrum of these fields. It will include a broad range of textbooks, monographs, and handbooks. Volumes in theory, including discretisation techniques, numerical algorithms, multiscale techniques, parallel and distributed algorithms, as well as applications of these methods in multi-disciplinary fields, are welcome. The inclusion of concrete real-world examples is highly encouraged. This series is meant to appeal to students and researchers in mathematics, engineering, and computational science. Editors Choi-Hong Lai School of Computing and Mathematical Sciences University of Greenwich Frédéric Magoulès Applied Mathematics and Systems Laboratory Ecole Centrale Paris Editorial Advisory Board Mark Ainsworth Mathematics Department Strathclyde University Todd Arbogast Institute for Computational Engineering and Sciences The University of Texas at Austin Craig C. Douglas Computer Science Department University of Kentucky Ivan Graham Department of Mathematical Sciences University of Bath Peter Jimack School of Computing University of Leeds Takashi Kako Department of Computer Science The University of Electro-Communications Peter Monk Department of Mathematical Sciences University of Delaware Francois-Xavier Roux ONERA Arthur E.P. Veldman Institute of Mathematics and Computing Science University of Groningen Proposals for the series should be submitted to one of the series editors above or directly to: CRC Press, Taylor & Francis Group 3 Park Square, Milton Park Abingdon, Oxfordshire OX14 4RN UK
Published Titles Classical and Modern Numerical Analysis: Theory, Methods and Practice Azmy S. Ackleh, Edward James Allen, Ralph Baker Kearfott, and Padmanabhan Seshaiyer Cloud Computing: Data-Intensive Computing and Scheduling Frédéric Magoulès, Jie Pan, and Fei Teng Computational Fluid Dynamics Frédéric Magoulès A Concise Introduction to Image Processing using C++ Meiqing Wang and Choi-Hong Lai Coupled Systems: Theory, Models, and Applications in Engineering Juergen Geiser Decomposition Methods for Differential Equations: Theory and Applications Juergen Geiser Designing Scientific Applications on GPUs Raphaël Couturier Desktop Grid Computing Christophe Cérin and Gilles Fedak Discrete Dynamical Systems and Chaotic Machines: Theory and Applications Jacques M. Bahi and Christophe Guyeux Discrete Variational Derivative Method: A Structure-Preserving Numerical Method for Partial Differential Equations Daisuke Furihata and Takayasu Matsuo Grid Resource Management: Toward Virtual and Services Compliant Grid Computing Frédéric Magoulès, Thi-Mai-Huong Nguyen, and Lei Yu Fundamentals of Grid Computing: Theory, Algorithms and Technologies Frédéric Magoulès Handbook of Sinc Numerical Methods Frank Stenger Introduction to Grid Computing Frédéric Magoulès, Jie Pan, Kiat-An Tan, and Abhinit Kumar Iterative Splitting Methods for Differential Equations Juergen Geiser Mathematical Objects in C++: Computational Tools in a Unified Object-Oriented Approach Yair Shapira Numerical Linear Approximation in C Nabih N. Abdelmalek and William A. Malek Numerical Methods and Optimization: An Introduction Sergiy Butenko and Panos M. Pardalos Numerical Techniques for Direct and Large-Eddy Simulations Xi Jiang and Choi-Hong Lai Parallel Algorithms Henri Casanova, Arnaud Legrand, and Yves Robert Parallel Iterative Algorithms: From Sequential to Grid Computing Jacques M. Bahi, Sylvain Contassot-Vivier, and Raphaël Couturier Particle Swarm Optimisation: Classical and Quantum Perspectives Jun Sun, Choi-Hong Lai, and Xiao-Jun Wu XML in Scientific Computing C. Pozrikidis
This page intentionally left blank This page intentionally left blank
NUMERICAL METHODS AND OPTIMIZATION An Introduction Sergiy Butenko Texas AM University college Station, USA Panos M. Pardalos University of Florida Gainesville, USA
MATLAB® is a trademark of The MathWorks, Inc. and is used with permission. The MathWorks does not warrant the accuracy of the text or exercises in this book. This book’s use or discussion of MAT- LAB® software or related products does not constitute endorsement or sponsorship by The MathWorks of a particular pedagogical approach or particular use of the MATLAB® software. Cover image: © 2008 Tony Freeth, Images First Ltd. CRC Press Taylor Francis Group 6000 Broken Sound Parkway NW, Suite 300 Boca Raton, FL 33487-2742 © 2014 by Taylor Francis Group, LLC CRC Press is an imprint of Taylor Francis Group, an Informa business No claim to original U.S. Government works Version Date: 20140121 International Standard Book Number-13: 978-1-4665-7778-7 (eBook - PDF) This book contains information obtained from authentic and highly regarded sources. Reasonable efforts have been made to publish reliable data and information, but the author and publisher cannot assume responsibility for the validity of all materials or the consequences of their use. The authors and publishers have attempted to trace the copyright holders of all material reproduced in this publication and apologize to copyright holders if permission to publish in this form has not been obtained. If any copyright material has not been acknowledged please write and let us know so we may rectify in any future reprint. Except as permitted under U.S. Copyright Law, no part of this book may be reprinted, reproduced, transmitted, or utilized in any form by any electronic, mechanical, or other means, now known or hereafter invented, including photocopying, microfilming, and recording, or in any information stor- age or retrieval system, without written permission from the publishers. For permission to photocopy or use material electronically from this work, please access www.copy- right.com (http://www.copyright.com/) or contact the Copyright Clearance Center, Inc. (CCC), 222 Rosewood Drive, Danvers, MA 01923, 978-750-8400. CCC is a not-for-profit organization that pro- vides licenses and registration for a variety of users. For organizations that have been granted a pho- tocopy license by the CCC, a separate system of payment has been arranged. Trademark Notice: Product or corporate names may be trademarks or registered trademarks, and are used only for identification and explanation without intent to infringe. Visit the Taylor Francis Web site at http://www.taylorandfrancis.com and the CRC Press Web site at http://www.crcpress.com
Dedicated to the memory of our grandmothers, Uliana and Sophia, who taught us how to count.
This page intentionally left blank This page intentionally left blank
Preface This text provides a basic introduction to numerical methods and optimiza- tion for undergraduate and beginning graduate students in engineering and operations research. It is based on the materials used by the authors during many years of teaching undergraduate and introductory graduate courses in industrial and systems engineering at Texas AM University and the Uni- versity of Florida. The book is intended for use as a text or supplement for introductory one-semester courses on numerical methods, optimization, and deterministic operations research. Combining the topics from entry-level numerical methods and optimiza- tion courses into a single text aims to serve a dual purpose. On the one hand, this allows us to enrich a standard numerical methods syllabus with addi- tional chapters on optimization, and on the other hand, students taking an introductory optimization or operations research course may appreciate hav- ing numerical methods basics (typically assumed as a background) handy. In particular, the fact that students in engineering and operations research rep- resent diverse educational backgrounds, some with no previous coursework related to numerical methods, served as a motivation for this work. In presenting the material, we assumed minimum to no previous experi- ence of a reader with the subjects of discussion. Some mathematical proofs are included as samples of rigorous analysis; however, in many cases the pre- sentation of facts and concepts is restricted to examples illustrating them. While the content of the text is not tied to any particular software, the book is accompanied by MATLAB notes and codes available for download from the publisher’s website, which also contains other supporting materials. We would like to thank the numerous students who have taken our courses throughout the years for their valuable feedback on preliminary versions of parts of this text. This work would not have been possible without the love and support of our families. Finally, we would like to thank our publisher, Sunil Nair, for his patient assistance and encouragement. Sergiy Butenko Panos Pardalos ix
This page intentionally left blank This page intentionally left blank
Contents I Basics 1 1 Preliminaries 3 1.1 Sets and Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Fundamental Theorem of Algebra . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3 Vectors and Linear (Vector) Spaces . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3.1 Vector norms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.4 Matrices and Their Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.4.1 Matrix addition and scalar multiplication . . . . . . . 12 1.4.2 Matrix multiplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.4.3 The transpose of a matrix . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.4.4 Triangular and diagonal matrices . . . . . . . . . . . . 15 1.4.5 Determinants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.4.6 Trace of a matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.4.7 Rank of a matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.4.8 The inverse of a nonsingular matrix . . . . . . . . . . 18 1.4.9 Eigenvalues and eigenvectors . . . . . . . . . . . . . . 19 1.4.10 Quadratic forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.4.11 Matrix norms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.5 Preliminaries from Real and Functional Analysis . . . . . . . 25 1.5.1 Closed and open sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.5.2 Sequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.5.3 Continuity and differentiability . . . . . . . . . . . . . 27 1.5.4 Big O and little o notations . . . . . . . . . . . . . . . 30 1.5.5 Taylor’s theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2 Numbers and Errors 37 2.1 Conversion between Different Number Systems . . . . . . . . 39 2.1.1 Conversion of integers . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.1.2 Conversion of fractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.2 Floating Point Representation of Numbers . . . . . . . . . . 44 2.3 Definitions of Errors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.4 Round-off Errors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.4.1 Rounding and chopping . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.4.2 Arithmetic operations . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.4.3 Subtractive cancellation and error propagation . . . . 49 xi
xii II Numerical Methods for Standard Problems 53 3 Elements of Numerical Linear Algebra 55 3.1 Direct Methods for Solving Systems of Linear Equations . . 57 3.1.1 Solution of triangular systems of linear equations . . . 57 3.1.2 Gaussian elimination . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 3.1.2.1 Pivoting strategies . . . . . . . . . . . . . . . 62 3.1.3 Gauss-Jordan method and matrix inversion . . . . . . 63 3.1.4 Triangular factorization . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 3.2 Iterative Methods for Solving Systems of Linear Equations . 69 3.2.1 Jacobi method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 3.2.2 Gauss-Seidel method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 3.2.3 Application: input-output models in economics . . . . 74 3.3 Overdetermined Systems and Least Squares Solution . . . . 75 3.3.1 Application: linear regression . . . . . . . . . . . . . . 76 3.4 Stability of a Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 3.5 Computing Eigenvalues and Eigenvectors . . . . . . . . . . . 78 3.5.1 The power method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 3.5.2 Application: ranking methods . . . . . . . . . . . . . . 80 4 Solving Equations 87 4.1 Fixed Point Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 4.2 Bracketing Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 4.2.1 Bisection method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 4.2.1.1 Convergence of the bisection method . . . . 93 4.2.1.2 Intervals with multiple roots . . . . . . . . . 95 4.2.2 Regula-falsi method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 4.2.3 Modified regula-falsi method . . . . . . . . . . . . . . 98 4.3 Newton’s Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 4.3.1 Convergence rate of Newton’s method . . . . . . . . . 103 4.4 Secant Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 4.5 Solution of Nonlinear Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 4.5.1 Fixed point method for systems . . . . . . . . . . . . . 106 4.5.2 Newton’s method for systems . . . . . . . . . . . . . . 107 5 Polynomial Interpolation 113 5.1 Forms of Polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 5.2 Polynomial Interpolation Methods . . . . . . . . . . . . . . . 116 5.2.1 Lagrange method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 5.2.2 The method of undetermined coefficients . . . . . . . 118 5.2.3 Newton’s method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 5.3 Theoretical Error of Interpolation and Chebyshev Polynomials 120 5.3.1 Properties of Chebyshev polynomials . . . . . . . . . . 122
xiii 6 Numerical Integration 127 6.1 Trapezoidal Rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 6.2 Simpson’s Rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 6.3 Precision and Error of Approximation . . . . . . . . . . . . . 132 6.4 Composite Rules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 6.4.1 The composite trapezoidal rule . . . . . . . . . . . . . 134 6.4.2 Composite Simpson’s rule . . . . . . . . . . . . . . . . 135 6.5 Using Integrals to Approximate Sums . . . . . . . . . . . . . 137 7 Numerical Solution of Differential Equations 141 7.1 Solution of a Differential Equation . . . . . . . . . . . . . . . 142 7.2 Taylor Series and Picard’s Methods . . . . . . . . . . . . . . 143 7.3 Euler’s Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 7.3.1 Discretization errors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 7.4 Runge-Kutta Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 7.4.1 Second-order Runge-Kutta methods . . . . . . . . . . 148 7.4.2 Fourth-order Runge-Kutta methods . . . . . . . . . . 151 7.5 Systems of Differential Equations . . . . . . . . . . . . . . . 152 7.6 Higher-Order Differential Equations . . . . . . . . . . . . . . 155 III Introduction to Optimization 159 8 Basic Concepts 161 8.1 Formulating an Optimization Problem . . . . . . . . . . . . . 161 8.2 Mathematical Description . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 8.3 Local and Global Optimality . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 8.4 Existence of an Optimal Solution . . . . . . . . . . . . . . . 168 8.5 Level Sets and Gradients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 8.6 Convex Sets, Functions, and Problems . . . . . . . . . . . . . 173 8.6.1 First-order characterization of a convex function . . . 177 8.6.2 Second-order characterization of a convex function . . 179 9 Complexity Issues 185 9.1 Algorithms and Complexity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 9.2 Average Running Time . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 9.3 Randomized Algorithms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 9.4 Basics of Computational Complexity Theory . . . . . . . . . 191 9.4.1 Class NP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 9.4.2 P vs. NP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 9.4.3 Polynomial time reducibility . . . . . . . . . . . . . . 194 9.4.4 NP-complete and NP-hard problems . . . . . . . . . 195 9.5 Complexity of Local Optimization . . . . . . . . . . . . . . . 198 9.6 Optimal Methods for Nonlinear Optimization . . . . . . . . . 203 9.6.1 Classes of methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 9.6.2 Establishing lower complexity bounds for a class of methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
xiv 9.6.3 Defining an optimal method . . . . . . . . . . . . . . . 206 10 Introduction to Linear Programming 211 10.1 Formulating a Linear Programming Model . . . . . . . . . . 211 10.1.1 Defining the decision variables . . . . . . . . . . . . . 211 10.1.2 Formulating the objective function . . . . . . . . . . . 212 10.1.3 Specifying the constraints . . . . . . . . . . . . . . . . 212 10.1.4 The complete linear programming formulation . . . . 213 10.2 Examples of LP Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 10.2.1 A diet problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 10.2.2 A resource allocation problem . . . . . . . . . . . . . . 214 10.2.3 A scheduling problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 10.2.4 A mixing problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 10.2.5 A transportation problem . . . . . . . . . . . . . . . . 219 10.2.6 A production planning problem . . . . . . . . . . . . . 220 10.3 Practical Implications of Using LP Models . . . . . . . . . . 221 10.4 Solving Two-Variable LPs Graphically . . . . . . . . . . . . . 222 10.5 Classification of LPs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 11 The Simplex Method for Linear Programming 235 11.1 The Standard Form of LP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 11.2 The Simplex Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 11.2.1 Step 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 11.2.2 Step 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242 11.2.3 Recognizing optimality . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244 11.2.4 Recognizing unbounded LPs . . . . . . . . . . . . . . . 244 11.2.5 Degeneracy and cycling . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 11.2.6 Properties of LP dictionaries and the simplex method 249 11.3 Geometry of the Simplex Method . . . . . . . . . . . . . . . 251 11.4 The Simplex Method for a General LP . . . . . . . . . . . . 254 11.4.1 The two-phase simplex method . . . . . . . . . . . . . 259 11.4.2 The big-M method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264 11.5 The Fundamental Theorem of LP . . . . . . . . . . . . . . . 266 11.6 The Revised Simplex Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266 11.7 Complexity of the Simplex Method . . . . . . . . . . . . . . 276 12 Duality and Sensitivity Analysis in Linear Programming 281 12.1 Defining the Dual LP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281 12.1.1 Forming the dual of a general LP . . . . . . . . . . . . 284 12.2 Weak Duality and the Duality Theorem . . . . . . . . . . . . 287 12.3 Extracting an Optimal Solution of the Dual LP from an Optimal Tableau of the Primal LP . . . . . . . . . . . . . . . 289 12.4 Correspondence between the Primal and Dual LP Types . . 290 12.5 Complementary Slackness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291 12.6 Economic Interpretation of the Dual LP . . . . . . . . . . . . 294
xv 12.7 Sensitivity Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296 12.7.1 Changing the objective function coefficient of a basic variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302 12.7.2 Changing the objective function coefficient of a nonbasic variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303 12.7.3 Changing the column of a nonbasic variable . . . . . . 305 12.7.4 Changing the right-hand side . . . . . . . . . . . . . . 305 12.7.5 Introducing a new variable . . . . . . . . . . . . . . . 307 12.7.6 Introducing a new constraint . . . . . . . . . . . . . . 308 12.7.7 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310 13 Unconstrained Optimization 317 13.1 Optimality Conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317 13.1.1 First-order necessary conditions . . . . . . . . . . . . . 317 13.1.2 Second-order optimality conditions . . . . . . . . . . . 320 13.1.3 Using optimality conditions for solving optimization problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322 13.2 Optimization Problems with a Single Variable . . . . . . . . 323 13.2.1 Golden section search . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323 13.2.1.1 Fibonacci search . . . . . . . . . . . . . . . . 325 13.3 Algorithmic Strategies for Unconstrained Optimization . . . 327 13.4 Method of Steepest Descent . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328 13.4.1 Convex quadratic case . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330 13.4.2 Global convergence of the steepest descent method . . 331 13.5 Newton’s Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333 13.5.1 Rate of convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334 13.5.2 Guaranteeing the descent . . . . . . . . . . . . . . . . 335 13.5.3 Levenberg-Marquardt method . . . . . . . . . . . . . . 335 13.6 Conjugate Direction Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336 13.6.1 Conjugate direction method for convex quadratic prob- lems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337 13.6.2 Conjugate gradient algorithm . . . . . . . . . . . . . . 340 13.6.2.1 Non-quadratic problems . . . . . . . . . . . . 341 13.7 Quasi-Newton Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342 13.7.1 Rank-one correction formula . . . . . . . . . . . . . . 344 13.7.2 Other correction formulas . . . . . . . . . . . . . . . . 345 13.8 Inexact Line Search . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346 14 Constrained Optimization 351 14.1 Optimality Conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351 14.1.1 First-order necessary conditions . . . . . . . . . . . . . 351 14.1.1.1 Problems with equality constraints . . . . . . 351 14.1.1.2 Problems with inequality constraints . . . . . 358 14.1.2 Second-order conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . 363 14.1.2.1 Problems with equality constraints . . . . . . 363
xvi 14.1.2.2 Problems with inequality constraints . . . . . 364 14.2 Duality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368 14.3 Projected Gradient Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371 14.3.1 Affine scaling method for LP . . . . . . . . . . . . . . 374 14.4 Sequential Unconstrained Minimization . . . . . . . . . . . . 377 14.4.1 Penalty function methods . . . . . . . . . . . . . . . . 378 14.4.2 Barrier methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379 14.4.3 Interior point methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381 Notes and References 387 Bibliography 389 Index 391
Part I Basics 1
This page intentionally left blank This page intentionally left blank
Chapter 1 Preliminaries 1.1 Sets and Functions A set is a collection of objects of a certain kind, which are called elements of the set. We typically denote a set by a capital Greek or Latin letter, i.e., A, B, Σ, . . ., and an element of a set by a small letter, such as a, b, c, . . .. A set may be given by the list of its elements, for example, A = {a, b, c} or B = {1, 2}, or by some clearly defined rules, which can be used to determine whether a given object is an element of the given set. For example, the set of all real numbers between 0 and 1, inclusive, can be equivalently represented in several different ways as follows: X = {x : x2 − x ≤ 0} = {x : 0 ≤ x ≤ 1} = {x : x ∈ [0, 1]} = [0, 1]. We write a ∈ A if a is an element of set A, and A ⊆ B if A is a subset of B (i.e., every element of A is also an element of B). If A is a proper subset of B, meaning that A is a subset of B and A = B, then we write A ⊂ B. For example, for the set X = [0, 1] above, it is correct to write 0 ∈ X or {0} ⊂ X, but writing 0 ⊂ X or {0} ∈ X is incorrect. Some other basic set-theoretic notations, terms, and definitions are summarized in Table 1.1. Definition 1.1 (Mapping) Let X, Y be two sets. A rule associating a single element y = f(x) of Y with each element x ∈ X is called a mapping of X into Y , denoted by f : X → Y , and f is said to map X into Y (and, if f(x) = y, x into y). Definition 1.2 (Real Function) If X ⊆ IR, then a mapping f : X → IR is called a real function on X, where X is called the domain of f and Y = {y = f(x) : x ∈ X is called the range of f. The following terminology applies to mappings in general and to real func- tions in particular. Consider a mapping f : X → Y . If f(x) = y, then we call y the image of x under the mapping f. For a set X ⊆ X, we call the set 3
Random documents with unrelated content Scribd suggests to you:
Numerical Methods and Optimization An Introduction 1st Edition Pardalos
XXIX. Nu ging de held° met zijne handgezellen Zelf langs het zand, den zoom der zee betredend. 2015 De wereldtoorts, de zonne, scheen zich wendend Vanuit het Zuid°. Zij zetten voort de voetreis En schreden duchtig door, tot waar zij wisten, Dat binnen in den burcht de hulp der helden, Verwinnaar Ongentheows°, de wapenkoning 2020 De jonge, kampgeduchte, ringen deelde. Dan ras was Beowulfs komst bericht aan Hyglac: Dat op het erf aldaar de stut der stouten, Zijn schildvriend, hofwaarts kwam geschreden, levend En gaaf van ’t wapenspel. Nu werd er spoedig, 2025 Gelijk de vorst gebood, een zaal van binnen Den voetbereisden gasten opgeredderd. Daar zat hij nu° hem zelven tegenover Hij, welke vele kampen had bevochten, Maag over maag, nadat de mannenkoning° 2030 In hooge taal den trouwe had verwelkomd Met weidsche woorden. Met de medekannen Begaf zich Hareds dochter° langs den halbouw; Zij stond den lieden lief ten dienst en stelde Ter hand de wijnschaal aan de Heide-Gooten. 2035 En Hygelac begon ter hooge halle Op hoofsche wijs zijn huisvriend te ondervragen. De lust hem ledebraakte°, welke waren Geweest de tochten van de Water-Gooten. «Hoe ging het u op reis, mijn goede Beowulf, 2040 Toen ge onverwachts besloten waart, om verre Den strijd te zoeken over ’t zilte water, Den kamp in Heorot? Hebt gij dan bij Hrodgar, Den hoogen heerscher, eenigszins verholpen
Het wijdberuchte wee? Om deze reden 2045 Verduwde ik leed bij ’t deinen van de zorgen. Den tocht des waarden mans betrouwde ik weinig; Ik bad u menigwerf, dat gij den moordgeest Volstrekt niet zoeken zoudt en in ’t bestrijden Van Grendel liet begaan den Zuid-Deen zelven. 2050 God weet ik dank, u welbewaard te schouwen.» En Beowulf zeide toen, de zoon van Ecgtheow: «o Heerscher Hygelac, niet bleef verholen Aan menig man het wijdvermaarde treffen, Wat oorlogstijd er tusschen mij en Grendel 2055 Ontstond op gene stede, waar hij weeën In groote menigt schiep den Zege-Schyldings En hoon voor ’t leven, ’k Heb het al gewroken, Dat geen van Grendels broed op aard mag brallen Op gindschen uchtendgil°, die veenomvangen 2060 Het langst van ’t hatelijk geslacht zal leven. Eerst ging ik Hrodgar groeten in de ringzaal; Dra wees de hooggeroemde zoon van Healfdeen Mij naast zijn zoon een zetel, bij ’t vernemen Van mijn ontwerp. De schare was in weelde; 2065 Nog nooit ontwaarde ik onder ’t hemelwulfsel Bij hallevrienden grooter medevreugde. Bij wijlen ging der volken vreeverwante°, De statige vorstin, langs heel de halle, Aanmoedigend bij ’t maal de jonge mannen, 2070 En menig reis bedeelde zij een ridder Met ringsmuk, eer zij heenging naar de rustbank. De dochter Hrodgars° bood somtijds de bierschaal Den hoofden aan, den helden aan de slagspits. Ik hoorde deze door de hallegasten 2075 Freaware heeten, waar zij knopjuweelen Den helden gaf. De jonge, goudgehulde Was toegezegd den eedlen zoon van Froda°. Het had den Schyldingsvriend° zoo goed geschenen.
Den hoeder van het rijk, en tevens rekent 2080 Hij ’t eene winst, dat hij door deze weerhelft De moordwraak, vele veeten mocht beslechten.° Niet zelden, maar te dikwerf rust de moordspeer Een korte wijle na den val des konings,52 Al mag dan ook de bruid uitmuntend wezen.
° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° Tekstcritische noten 2013 de held: Beowulf. Zij begeven zich naar Hygelacs woning. Vgl. v. 1971 vlg. ↑ 2016 vanuit het Zuid: het was middag. ↑ 2019 Verwinnaar Ongentheows: het was niet Hygelac, maar Eofor, een zijner mannen, die den koning der Zweden doodde, doch de vorst vertegenwoordigt zijne onderhoorigen. ↑ 2027 daar zat hij nu: Beowulf; hij zat, als voornaamste gast, op den tegenovergestelden bankvloer. ↑ 2029 de mannenkoning: Hygelac. ↑ 2032 Hareds dochter: Hygd. ↑ 2037 Hij werd gefolterd door nieuwsgierigheid, om te weten enz. ↑ 2059 op gindschen uchtendgil: ziet terug op «het machtig morgenwee» (v. 132–33) dat door de Denen werd aangeheven bij het zien van het door Grendel aangerichte bloedbad. Als nog eenig monster leeft, dan hoeft het niet te pochen op Grendels daden. ↑ 2067: vreeverwante: Wealhtheow, Hrodgars gemalin; het woord beteekent hetzelfde als vredeweefster. ↑ 2072 Vroeger is van Freaware geen sprake geweest. ↑ 2077 Froda: vorst der Headobarden en Ingelds vader. ↑ 2078 Schyldingsvriend: Hrodgar ↑ 2080–81 Vandaar de naam vredeweefster, vreeverwante.
Men houde in het oog, dat Beowulf hier toekomstige gebeurtenissen voorspelt; Freaware heeft hij alleen als verloofde (v. 2077) gekend. De episode der Headobarden komt hierop neer: Froda, de vorst der Headobarden, heeft het onderspit gedolven in het gevecht met de Denen en is er gesneuveld. Ten einde de twee volken met elkander te verzoenen, schenkt Hrodgar de hand zijner dochter Freaware aan den jeugdigen Headobardenkoning Ingeld, zoon van Froda. Onder Freawares dienaars bevindt zich de zoon van den Deen, welke Froda gedood heeft. Terwijl hij bedient in de koningshal, pronkt hij met den door zijnen vader buitgemaakten krijgstooi van Froda, onder anderen met het zwaard. Dit ziet slechts noode een oud krijger der Headobarden, die alle gevechten heeft meegemaakt. Hij wijst er Ingeld op en zet hem door zijne verontwaardigde taal langzamerhand tot wraakneming aan. De jonge, praalzieke Deen wordt gedood; de moordenaar ontvlucht en de strijd tusschen Denen en Headobarden is weer losgebroken. Men vergete niet dat, volgens de Oudgermaansche denkbeelden, het voor den zoon een heilige plicht was zijnen vader te wreken. ↑
Numerical Methods and Optimization An Introduction 1st Edition Pardalos
XXX. 2085 Dan mag ’t hierom den heer der Headobarden° En ieder krijger zijner lieden krenken, Als hij de zaal betreedt met zijne gade°, En van de Denen daar een edel krijgsknaap De schare heeft bediend.° Aan dezen schittert 2090 Des vaders heertuig°, hard, verrijkt met ringen, De kostbre have van de Headobarden, Zoolang zij heerschten over hunne wapens; Totdat zij wierpen in het schildgeworstel De lieve makkers met hun eigen leven. 2095 Dan spreekt bij ’t bier hij, die bespeurt de halsboot, Een grijze lansheld°, wien geheugt het gansche, Der trouwen speerdood, (toornen zal zijn ziele) En duisterzinnig vangt hij aan de denkwijs Des jongen krijgerkonings° te ondertasten 2100 Door zijner ziele zucht, en dan de kampkwaal Te wekken en hij spreekt zich uit in woorden: «Kunt gij, mijn vriend, nog dezen vochtel kennen, Dien onder ’t legermasker voor het laatste Uw vader in ’t gevecht eens met zich voerde. 2105 De kostbre kling, als hem de Denen doodden, Als ’t veld behielden na den val des helden (Sinds schoot de wraak tekort) de koene Schyldings? Nu stapt de zoon van eenen zijner moorders Hier door de halle, trotsch op zijne tooisels, 2110 Nu praalt hij op den moord en draagt het pronkzwaard, Hetgene gij rechtmatig moest bezitten.» Zoo maant, herinnert hij hem telken male Met stekelwoorden, tot de stond eens aanbreekt, Dat bloedig inslaapt bij den beet der zwaarden
2115 En levenloos de dienaar van de vrouwe° Voor ’s vaders daân. Vandaar ontduikt de tweede° Nog onverlet, hij kent het land ter dege. Dan zal der ridders eed van beide zijden Verbroken zijn, als bloedhaat bruist in Ingeld, 2120 En koeler wordt de liefde tot zijn weerhelft° Door ’t zorggezwalp. Des houd ik niet de hulde, Der Headobarden heertrouw tot de Denen Voor argeloos,53 noch vast gevest hun vriendschap.° Ik wil nu verder weer van Grendel spreken, 2125 Opdat u gansch verneemt, o goudbegever, Hoe voorts verliep het vuistgestorm der kampers. Zoodra ’t juweel der transen° was getrokken Langs ’t aardrijk, kwam de vreemdeling, de kwade, De leede nachtbelager ons bestoken, 2130 Alwaar wij wel te moe de zaal bewaakten. Verderflijk viel een kamp ten deel aan Hondscio°, Geweldig sterven aan den doodbestemde. Hij sneefde ’t eerst de staalomgorde strijder: Met zijnen muil werd Grendel tot den moorder 2135 Van mijn vermaarden maat. Hij zwolg het lichaam Des lieven mans geheel. Met leege handen Nochtans verlangde toen nog niet bloedtandig De wurger, tuk op moord, de woon te ontwijken; Maar waagde zich aan mij, de woeste aan krachten. 2140 Vuistgretig greep hij toe. Hem hing een handschoen°, Zeer wijd en wonderbaar, door tooverbanden Bevestigd. Deze was met kunst vervaardigd Uit drakevellen door des duivels toedoen. Hij wilde mij, de gruwbre wanbedrijver, 2145 Met menigeen daarbinnen schuldloos bergen. Niet kon hij ’t evenwel, zoodra ik woedend In volle lengte rees. Te lang zal ’t wezen Te zeggen, hoe ik dezen volksverheerder Voor ieder euveldaad het loon uitdeelde.
2150 Ik heb, mijn vorst, uw volk° aldaar verheerlijkt Door ’t wapenfeit. Hij droop dan weg en luttel Genoot hij nog de vreugde van het daarzijn. Zijn rechterhand nochtans verried zijn sporen In Heort, en hoonvol zonk, in ’t hart verbitterd, 2155 Hij naar den bodem van de zee te zamen. De Schyldingsvriend beloonde dezen lijfkamp Mij mild met goud en menigte juweelen, Nadat de morgenschemer was verschenen, En wij gezeten waren aan het feestmaal. 2160 Daar was gezang en scherts. De grijze Schylding Vertelde uit vroeger tijd naar menig vorschend. Hij tokkelde af en toe, de kampgeduchte, De zoete harp, het hout der vriendenvreugde. Te met ontspon hij sproken waar en weevol, 2165 Ofwel de grootgezinde koning zette Een wonderbaar verhaal uiteen naar waarheid.° Dan weer begon de grijze wapenvoerder, Door ouderdom gekluisterd, naar de kampkracht Te zuchten zijner jeugd. Hem bruiste ’t binnenst, 2170 Wanneer, door winters wit, hij ’t aantal nadacht.° Wij vonden zoo gezelschapsvreugd daarbinnen Den ganschen dag°, tot daalde een tweede nachtstond Op ’t menschenkroost. Toen was alweer de moeder Van Grendel ras gereed tot leedvergelding. 2175 Daar toog zij troosteloos: de slagdood sleepte Haar zoon daarheen, de wapenhaat der Weders. Zij wreekte haren zoon ’t ongure zeewijf: Een ridder doodde zij op ruwe wijze. Voor Ascher ging te loor, den grijzen raadsman, 2180 Den langbeproefden, ’t licht. De Denenlieden Zelfs konden niet, nadat de morgen naakte, Verbranden in den brand den levenlooze, Noch laden op de mijt den lieven makker: Zij had ontvoerd in haren arm het lichaam
2185 Des vijands54 onder aan den val des bergstrooms. Voor Hrodgar was ’t het wreedste aller weeën, Dat trof sinds langen tijd den volksgeleider. Mij bad de koning leedvol bij uw leven, Dat ’k waagde een ridderwerk in ’t golfgewentel, 2190 Blootstelde mijn bestaan, iets dappers dede. Het loon beloofde hij. Ik vond vervolgens Den wilden, gruwelijken grondbewaker Der wijdbekende kolk. Een tijdlang waren Wij handgemeen. Bloedschuimig sloeg de meervloed. 2195 Toen hieuw ik af het hoofd in gene grondwoon Aan Grendels moeder met het wichtig wapen. Ik droeg van daar zoo licht niet weg het leven. Nog was ik niet bestemd om dan te sterven; Maar mij beschonk alweer de schuts der ridders 2200 Met macht van kostbaarheên, de zoon van Healfdeen.
° ° ° ° ° ° ° ° ° ° Tekstcritische noten 2085 den heer der Headobarden: Ingeld. ↑ 2087 met zijne gade: Freaware, Hrodgars dochter; de zaal is Heorot. ↑ 2088–89 Een der edelen was belast met het bier in te schenken. Vgl. v. 501. ↑ 2090 des vaders heertuig: de kamptooi van Froda, Ingelds vader. ↑ 2096 een grijze lansheld; een krijgsman der Headobarden; zijn naam wordt niet vermeld evenmin als die van Froda’s dooder en den Deenschen hofjonker. ↑ 2099 des jongen krijgerkonings: Ingeld. ↑ 2115 de dienaar van de vrouwe: de jonge Deen, welke aan Freaware tot hofjonker werd gegeven. ↑ 2116 de tweede: de moordenaar van den jongen Deen. Zou het misschien de grijze lansheld zijn geweest? ↑ 2119–20 De zucht om zijnen vader en zijn volk te wreken legt het zwijgen op aan zijne liefde tot Freaware, zijne Deensche gade. Voorwaar een echt dramatische toestand! ↑ 2121b–23 Dat Beowulfs voorspelling zich bewaarheid heeft, hebben wij reeds uit meer dan eene toespeling gezien. Hoe deze strijd afgeloopen is, weten wij buitendien uit Widsidh, waar gezegd wordt, dat de Headobarden door Hrodgar en Hrodwulf in Heorot verslagen werden. Dat er afzonderlijke liederen bestaan hebben over den krijg met de Headobarden is aan geenen twijfel onderhevig.
° ° ° ° ° Immers Müllenhoff toont ons een overeenkomstig verhaal bij den Deenschen schrijver Saxo Grammaticus omtrent Frotho, den vader van Ingellus. Saxo deelt zelfs de Latijnsche vertaling mede van twee liederen uit de 10de eeuw, die in hoofdzaak hetzelfde verhaal ophangen van eenen ouden strijder, Starcatherus geheeten, die Ingellus tot wraak aanzet. Ziedaar een afdoend bewijs voor het ontstaan van het volksepos uit afzonderlijke epische liederen. Müllenhoff schrijft de Headobarden-episode (v. 2085–2120a) aan inlasscher B toe. Hij ziet in de Headobarden niet de Longobarden, maar een volk, dat tot de Herulers behoorde. Het zijn de bewoners van Seeland, die op het einde der 5de of in ’t begin der 6de eeuw door de Denen werden verdrongen; immers Jordanes bericht, dat de Denen van uit Scandinavië (Schonen) afzakkende de Herulers uit hun land verdreven. Müllenhoff veronderstelt diensvolgens, dat beide volken een tijdlang hebben samengeleefd, zoodat Ingeld als zelfstandig koning naast Hrodgar kan optreden. Ons epos herinnert hier dus een feit van overwegend belang, nl. de grondvesting van het Deensche rijk. Much neemt deze verklaring aan. ↑ 2127 ’t juweel der transen: de zon. ↑ 2131 Hondsció Vgl. 756, 1067. ↑ 2140 een handschoen: eene nieuwe bijzonderheid. ↑ 2150 uw volk: stam. Dit was de hoogste eenheid bij de Germanen, zij kenden geen volk of natie in de tegenwoordige beteekenis van het woord. Het eenige verband tusschen verschillende stammen was alleen van godsdienstigen aard b. v. de Ingaevonen. ↑ 2162–66 Müllenhoff zet deze verzen op rekening van den nadichter. Inderdaad dat Hrodgar de harp bespeelt, mag wel wat verwondering baren, vooral nu wij gezien hebben, dat niet hij maar zijn zanger de Finn-episode voordroeg. ↑
° ° 2167–70 Deze weemoedige stemming bij het terugdenken aan de vroegere heldenkracht is een kenmerkende trek van het gedicht. Vgl. v. 1934. ↑ 2172 den ganschen dag: diem noctemque continuare potando nulli probrum. Tacitus, Germ. 22. ↑
Numerical Methods and Optimization An Introduction 1st Edition Pardalos
XXXI. Zoo leefde naar het voegt de volksgebieder. Volstrekt niet ging mij ’t loon, de prijs verloren Der heldenkracht, maar Healfdeens zoon bedeelde Met zijne schatten mij, tot mijn beschikking. 2205 Die haak ik u te brengen, heer der mannen, Eerbiedig aan te biên. Geheel mijn hulde Zij wendt zich weder uwaart°55. Hoofdverwanten Bezit ik luttel meer, tenzij u, Hyglac°.» Het everbeeld gebood hij in te brengen, 2210 De hoofdbanier°56; het kampbeheerschend hoofdscherm, Het stalen harnas met uitstekend strijdzwaard, En sprak dan ’t woord: En sprak dan ’t woord: «Hrodgar, de wijze koning, Gaf mij dit krijgsgewaad; hij wenschte woordlijk, Dat ik vervolgens zei diens wedervaren, 2215 En hij verhaalde, dat de heer der Schyldings, Vorst Heorogar°, het lange had bezeten. Toch wilde die aan Hereward, den koenen, Zijn zoon, niet schenken deze borstbeschutting, Al schatte hij hem hoog. Gebruik het heilvol.» 2220 ’k Vernam, dat na die schatten vier genetten, Gelijk en appelvaal, op ’t voetspoor° volgden. Van ros en have deed hij Hyglac hulde.— De magen moeten zich alzoo gedragen, Geen net der valschheid voor den andre vlechten, 2225 Noch ’s makkers dood bereiden door een toover. Aan Hygelac, den weerbren in ’t geworstel, Aan dezen was de neef geheel genegen. Elk hunner was des andren heil gedachtig.— Ik hoorde, dat hij schonk aan Hygd den halsring°,
2230 Het kunstig wonderwerk, waarmee hem Welchtheow, De vorstendochter, had bedeeld; daarboven Een drietal slanke, goudgezaalde dravers. Versierd was sinds na ’t bootgeschenk haar boezem. ’t Is zoo, dat Ecgtheows zoon zich onderscheidde, 2235 De kampvermaarde man, door dappre daden. Hij leefde volgens eer en velde geenszins De met hem aangezeten haardgezellen. Niet was zijn inborst wild: de slaggeduchte Bewaakte met de meeste macht eens menschen 2240 De reuzengave, hem door God geschonken°57. Hij leefde lang verguisd, zoodat de Gooten Hem in ’t geheel niet hielden voor heldhaftig, En hem de heer der manschap bij de meebank Iets koens niet waardig keurde. Zeker waanden 2245 Zij, dat hij was te loom, een weerloos eedle. Een keer gewerd den luisterrijken kamper Voor elken hoon.° De schuts der ridders, Hyglac, De kampberoemde koning, liet het lemmer, Met goud belegd, van Hredel binnenbrengen. 2250 Alsdan bevond zich in den vorm van slagzwaard Geen waarder goudgewrocht bij al de Gooten. Hij lei ’t in Beowulfs schoot en schonk een landmaat° Van zeven duizend, burcht en koningszetel. Hun beiden, bij het volk, was ’t land vervallen 2255 Met grondbezit en recht op ’t erfgoed rustend. Den tweede° viel, den beste van geboorte, Er meer, de breede koningsmacht ten beste.—° Dit viel vervolgens bij de strijdonstuimen° In later dagen voor: Sinds Hyglac neerlag, 2260 En Heardred° het heirzwaard onder ’t schilddek Geworden was tot dooder—daar de Schilfings°, De stoute krijgerhelden, hem bestormden In ’t midden van zijn zegevolk° en dezen, Den neef van Hererik°, door kamp benarden—
2265 Sinds raakte ’t breede rijk in Beowulfs handen58. Wel vijftig winters° heerschte deze heilvol, (Toen was ’t een wijze vorst, een grijze goedsheer) Totdat alsdan begon bij duistre nachten Een draak te heerschen, die een schat behoedde, 2270 Een steile steenrots op de hooge heide. Een steegje lag beneên, vermoed door niemand. Een dienstman, ’k weet niet welke, dook er binnen; Begeerlijk greep hij naar het goed des heidens°, Zijn vuist ontvoerde een vaas met gelen goudglans. 2275 Nochtans hij gaf ze in later tijd niet weder, Al had hij door een dievenlist den hoeder Beslopen in zijn slaap. Gewaar zou worden ’t Gewest der mannen, dat hij was in woede.°
° ° ° ° ° ° ° ° Tekstcritische noten 2206–7 Nu dien ik u weer alleen, als vroeger, en geenen vreemden koning meer. ↑ 2208 tenzij U, Hyglac: Als eene halve eeuw later Beowulf zal sterven, blijft nog alleen Wiglaf over van den stam der Waegmundings, waartoe Beowulf behoort. Vgl. v. 2910 vlg. ↑ 2210 de hoofdbanier: voornaamste banier; zij was bekroond met een everkop. De geschenken, welke hier aan Hygelac worden aangeboden, zijn dezelfde, welke aan Beowulf v. 1034–54 door Hrodgar werden gegeven. ↑ 2216 Heorogar: Hrodgars oudste broeder, die reeds lang dood was. Vgl. v. 471. ↑ 2221 op ’t voetspoor: onmiddellijk hierop. ↑ 2229 den halsring: Wij hebben gezien, hoe later dit prachtig juweel door den dood van Hygelac in het bezit der Franken geraakte. Vgl. v. 1222 vlg. Hygd moet het dus aan Hygelac afgestaan hebben. ↑ 2236–40 Toespeling op Heremod. ↑ 2234–47a Müllenhoff beschouwt deze verzen, welke den gang van het verhaal stremmen, als een invoegsel, vooral met het oog op de hem hier toegeschreven onmannelijke jeugd. Immers wat wordt er dan van zijnen wedstrijd met Brecca, dien hij als knaap ondernam, en van zijne eigen woorden «Menig roemvol waagstuk bestond ik in mijn jeugd» v. 409? ↑
° ° ° ° ° ° ° ° ° 2252 een landmaat: volgens Bugge de hid d. i. een halve vierkante meter. ↑ 2256 den tweede: Hygelac. Hij volgde zijnen broeder Hadcyn op en had dus meer aanspraken op den troon dan Beowulf, welke slechts de neef was. ↑ 2258 Hier eindigt het eerste gedeelte van het epos; de kamp met den draak, welke het onderwerp van het tweede gedeelte uitmaakt, heeft ten minste eene halve eeuw later plaats, daar Beowulf reeds vijftig jaar over de Gooten heerscht. Volgens Müllenhoff zijn de verzen 2258–2465 het werk van B, om de twee deelen aan elkaar te verbinden. ↑ bij de strijdonstuimen: bij de Gooten. ↑ 2260 Heardred: de zoon van Hygelac, 3de naamval. ↑ 2261 de Schilfings: Zweden, het zijn hier de zonen van Ochter, den koning der Zweden. Men verwarre niet de Schilfings (Zweden) met de Schyldings (Denen). ↑ 2263 zijn zegevolk: de Gooten. ↑ 2264 Den neef van Hererik: Heardred; deze naam komt maar eens voor. De zin is: Nadat Hygelac gesneuveld was en zijn zoon Heardred, die hem opvolgde, op zijne beurt was gevallen bij eenen inval, welken de Zweden in het land der Gooten hadden gedaan, beklom Beowulf den troon. Hier hebben wij de eerste toespeling op den krijg met de Zweden; er wordt nog driemaal XXXIII, XXXV, XL–XLI op teruggekomen. In XXXIII worden nadere bijzonderheden gegeven over hetgeen hier slechts ter loops is aangestipt. ↑ 2266 wel vijftig winters: Beowulf was dus meer dan honderd jaar oud toen hij stierf. Immers hij had de vijftig achter den rug toen hij Grendel doodde (Vgl. v. 373 nota) en het was slechts in later dagen, (v. 2259) dat hij
° ° den troon beklom. Men kan zonder overdrijving zijnen ouderdom op 120 jaar aanslaan. ↑ 2273 des heidens: de eenzame edelman. Vgl. v. 2338. ↑ 2274–78 vertaald naar Bugges aanvulling, daar de tekst op eenige letters na is verloren gegaan. ↑
Numerical Methods and Optimization An Introduction 1st Edition Pardalos
XXXII. Noch eigenmachtig werd tot gast des monsters 2280 Noch des gewild59 hij, wien het zeer zou schaden°;° Maar door het nijpen van den nood ontslipte Een slaaf van zekren heldenzoon de slagen Des haats, van huis beroofd, en borg zich binnen. De schuldgedrukte schouwde dra in ’t ronde; 2285 Ofschoon den vreemde schrik en zielsontzetting Bemachtigd had°, bemerkte toch de ellendige, De armzaalge man, op zoek naar eenen ingang°, Toen hem de vrees beving, het gulden vaatwerk°60. Er waren vele zulke voortijdsschatten 2290 In ’t hol, gelijk in lang verdwenen dagen Ik weet niet welke man ’t onmeetlijk erfgoed Eens eedlen stams, verdiept in zijn gedachten, Aldaar verborgen had, het dierbaar pronkwerk. Hen allen had de dood voorheen verdreven, 2295 En nu een enkel nog der schaargenooten, Die ’t langst er waarde, een vriendbeweenend wachter, Verlangde dit alleen nog uit te stellen: d’Onmeetbren schat slechts kort te mogen smaken.° Er rees geheel gereed een doodenheuvel 2300 In ’t veld omhoog, niet verre van de baren, Een nieuwe nog, nabij het voorgebergte. En wel beveiligd door versperringswerken. Der kostbaarheên en ringen hoeder voerde Er dan den loggen last van bladgoud binnen 2305 En sprak in weinig woorden: En sprak in weinig woorden: «Wil, o aarde, Behoeden, daar de helden dit niet konden, Het eigendom der eedlen. Immers dappren
Ontvingen dit van u° in vroeger tijden. De lansdood rukte weg, het levenseuvel, 2310 Elk moedig krijger onder mijne mannen, Die ’t leven lieten, ’t heil des hemels° zagen. En niemand heb ik nog, die draagt den degen, Of wischt den gulden kroes, de weidsche drinkschaal; Naar elders is verreisd de ridderschare. 2315 Den harden helm, gesmukt met goudgesmijde, Ontvallen zal hem spoedig zijn versiering: De dienaars slapen, die het oorlogsmasker Herstelden; insgelijks is nu het strijdhemd, Dat bij ’t geworstel boven ’t schildgeschilfer 2320 Den beet van ’t staal ontbeidde, stuk gebroken Na zijnen heer. Niet zal ’t geringde harnas Nog verre, na den val des oorlogsvorsten, Den helden gaan ter zij. Geen harpeweelde, Geen vreugde van ’t gezellig hout!° Geen havik, 2325 Geen wakkre, klapwiekt langs de woning henen. En ’t rappe ros het slaat niet meer de slotplaats. Zoo sleepte van ’t geslacht, het levensvolle, Een harde dood er velen verre henen.»° Dus somberstemmig kermde hij door kommer, 2330 Na allen nog alleen, en rouwde lustloos Bij dag en nacht, totdat hem sloeg om ’t harte De deining van den dood. De deining van den dood. De schoone schatten Vond openstaan de aloude schemervijand, Die barnend bergen° zoekt, de naakte nooddraak, 2335 En ommevliegt des nachts met vuur omvangen. Hem hadden wijd ontwaard de grondbewoners. Hij zoekt de schatten binnen in den bodem, Alwaar hij wacht houdt bij de heidenhave, Aan winters oud. Niet beter zal ’t hem wezen°. 2340 Zoo had driehonderd jaar de volksverheerder ’t Gezegde goudhuis in den grond bezeten,
Welcome to our website – the ideal destination for book lovers and knowledge seekers. With a mission to inspire endlessly, we offer a vast collection of books, ranging from classic literary works to specialized publications, self-development books, and children's literature. Each book is a new journey of discovery, expanding knowledge and enriching the soul of the reade Our website is not just a platform for buying books, but a bridge connecting readers to the timeless values of culture and wisdom. With an elegant, user-friendly interface and an intelligent search system, we are committed to providing a quick and convenient shopping experience. Additionally, our special promotions and home delivery services ensure that you save time and fully enjoy the joy of reading. Let us accompany you on the journey of exploring knowledge and personal growth! ebookultra.com

More Related Content

PDF
Introduction To Precise Numerical Methods 2nd Edition Oliver Aberth
taagojawam
 
PDF
Greens Functions And Linear Differential Equations Kythe Pk
czzyhujvyb6957
 
PDF
The Divergence Theorem and Sets of Finite Perimeter 1st Edition Washek F. Pfe...
silvadiwatt
 
PDF
Multivariable Calculus 2nd Edition Brian E. Blank
vcoxhiq738
 
PDF
Exploring Multivariate Data With The Forward Search 1st Edition Anthony C Atk...
legionkaszai
 
PDF
Data Mining A Tutorial Based Primer Second Edition Roiger
tabatbuegegi
 
PDF
Introduction to Enumerative and Analytic Combinatorics Second Edition Miklós ...
flrishauna
 
PDF
Introduction to Robust Estimation and Hypothesis Testing 4th Edition Rand Wilcox
psaouitjcq697
 
Introduction To Precise Numerical Methods 2nd Edition Oliver Aberth
taagojawam
 
Greens Functions And Linear Differential Equations Kythe Pk
czzyhujvyb6957
 
The Divergence Theorem and Sets of Finite Perimeter 1st Edition Washek F. Pfe...
silvadiwatt
 
Multivariable Calculus 2nd Edition Brian E. Blank
vcoxhiq738
 
Exploring Multivariate Data With The Forward Search 1st Edition Anthony C Atk...
legionkaszai
 
Data Mining A Tutorial Based Primer Second Edition Roiger
tabatbuegegi
 
Introduction to Enumerative and Analytic Combinatorics Second Edition Miklós ...
flrishauna
 
Introduction to Robust Estimation and Hypothesis Testing 4th Edition Rand Wilcox
psaouitjcq697
 

Featured (20)

PDF
2024 Trend Updates: What Really Works In SEO & Content Marketing
Search Engine Journal
 
PDF
Storytelling For The Web: Integrate Storytelling in your Design Process
Chiara Aliotta
 
PDF
Artificial Intelligence, Data and Competition – SCHREPEL – June 2024 OECD dis...
OECD Directorate for Financial and Enterprise Affairs
 
PDF
How to Leverage AI to Boost Employee Wellness - Lydia Di Francesco - SocialHR...
SocialHRCamp
 
PDF
2024 State of Marketing Report – by Hubspot
Marius Sescu
 
PDF
Everything You Need To Know About ChatGPT
Expeed Software
 
PDF
Product Design Trends in 2024 | Teenage Engineerings
Pixeldarts
 
PDF
How Race, Age and Gender Shape Attitudes Towards Mental Health
ThinkNow
 
PDF
AI Trends in Creative Operations 2024 by Artwork Flow.pdf
marketingartwork
 
PDF
Skeleton Culture Code
Skeleton Technologies
 
PDF
PEPSICO Presentation to CAGNY Conference Feb 2024
Neil Kimberley
 
PDF
Content Methodology: A Best Practices Report (Webinar)
contently
 
PPTX
How to Prepare For a Successful Job Search for 2024
Albert Qian
 
PDF
Social Media Marketing Trends 2024 // The Global Indie Insights
Kurio // The Social Media Age(ncy)
 
PDF
Trends In Paid Search: Navigating The Digital Landscape In 2024
Search Engine Journal
 
PDF
5 Public speaking tips from TED - Visualized summary
SpeakerHub
 
PDF
ChatGPT and the Future of Work - Clark Boyd
Clark Boyd
 
PDF
Getting into the tech field. what next
Tessa Mero
 
PDF
Google's Just Not That Into You: Understanding Core Updates & Search Intent
Lily Ray
 
PDF
How to have difficult conversations
Rajiv Jayarajah, MAppComm, ACC
 
2024 Trend Updates: What Really Works In SEO & Content Marketing
Search Engine Journal
 
Storytelling For The Web: Integrate Storytelling in your Design Process
Chiara Aliotta
 
Artificial Intelligence, Data and Competition – SCHREPEL – June 2024 OECD dis...
OECD Directorate for Financial and Enterprise Affairs
 
How to Leverage AI to Boost Employee Wellness - Lydia Di Francesco - SocialHR...
SocialHRCamp
 
2024 State of Marketing Report – by Hubspot
Marius Sescu
 
Everything You Need To Know About ChatGPT
Expeed Software
 
Product Design Trends in 2024 | Teenage Engineerings
Pixeldarts
 
How Race, Age and Gender Shape Attitudes Towards Mental Health
ThinkNow
 
AI Trends in Creative Operations 2024 by Artwork Flow.pdf
marketingartwork
 
Skeleton Culture Code
Skeleton Technologies
 
PEPSICO Presentation to CAGNY Conference Feb 2024
Neil Kimberley
 
Content Methodology: A Best Practices Report (Webinar)
contently
 
How to Prepare For a Successful Job Search for 2024
Albert Qian
 
Social Media Marketing Trends 2024 // The Global Indie Insights
Kurio // The Social Media Age(ncy)
 
Trends In Paid Search: Navigating The Digital Landscape In 2024
Search Engine Journal
 
5 Public speaking tips from TED - Visualized summary
SpeakerHub
 
ChatGPT and the Future of Work - Clark Boyd
Clark Boyd
 
Getting into the tech field. what next
Tessa Mero
 
Google's Just Not That Into You: Understanding Core Updates & Search Intent
Lily Ray
 
How to have difficult conversations
Rajiv Jayarajah, MAppComm, ACC
 
Ad

Numerical Methods and Optimization An Introduction 1st Edition Pardalos

  • 1. Numerical Methods and Optimization An Introduction 1st Edition Pardalos download pdf https://ebookultra.com/download/numerical-methods-and-optimization-an- introduction-1st-edition-pardalos/ Visit ebookultra.com today to download the complete set of ebook or textbook!
  • 2. We believe these products will be a great fit for you. Click the link to download now, or visit ebookultra.com to discover even more! Biologically Inspired Optimization Methods An Introduction 1st Edition Mattias Wahde https://ebookultra.com/download/biologically-inspired-optimization- methods-an-introduction-1st-edition-mattias-wahde/ An Introduction to Optimization 2nd Edition Edwin K. P. Chong https://ebookultra.com/download/an-introduction-to-optimization-2nd- edition-edwin-k-p-chong/ Introduction to Numerical Methods for Time Dependent Differential Equations 1st Edition Heinz-Otto Kreiss https://ebookultra.com/download/introduction-to-numerical-methods-for- time-dependent-differential-equations-1st-edition-heinz-otto-kreiss/ Numerical methods for finance 1st Edition John Miller https://ebookultra.com/download/numerical-methods-for-finance-1st- edition-john-miller/
  • 3. Functional MRI An Introduction to Methods 1st Edition Peter Jezzard https://ebookultra.com/download/functional-mri-an-introduction-to- methods-1st-edition-peter-jezzard/ Numerical methods for viscosity solutions and applications 1st Edition Maurizio Falcone https://ebookultra.com/download/numerical-methods-for-viscosity- solutions-and-applications-1st-edition-maurizio-falcone/ Qualitative Research An Introduction to Methods and Designs 1st Edition Stephen D. Lapan https://ebookultra.com/download/qualitative-research-an-introduction- to-methods-and-designs-1st-edition-stephen-d-lapan/ Issues and Methods in Comparative Politics An Introduction 2nd Edition Todd Landman https://ebookultra.com/download/issues-and-methods-in-comparative- politics-an-introduction-2nd-edition-todd-landman/ Recipes for Science An Introduction to Scientific Methods and Reasoning 2nd Edition -- https://ebookultra.com/download/recipes-for-science-an-introduction- to-scientific-methods-and-reasoning-2nd-edition/
  • 5. Numerical Methods and Optimization An Introduction 1st Edition Pardalos Digital Instant Download Author(s): Pardalos, Panos M.; Butenko, Sergiy ISBN(s): 9781466577770, 1466577770 Edition: 1 File Details: PDF, 2.60 MB Year: 2014 Language: english
  • 8. CHAPMAN & HALL/CRC Numerical Analysis and Scientific Computing Aims and scope: Scientific computing and numerical analysis provide invaluable tools for the sciences and engineering. This series aims to capture new developments and summarize state-of-the-art methods over the whole spectrum of these fields. It will include a broad range of textbooks, monographs, and handbooks. Volumes in theory, including discretisation techniques, numerical algorithms, multiscale techniques, parallel and distributed algorithms, as well as applications of these methods in multi-disciplinary fields, are welcome. The inclusion of concrete real-world examples is highly encouraged. This series is meant to appeal to students and researchers in mathematics, engineering, and computational science. Editors Choi-Hong Lai School of Computing and Mathematical Sciences University of Greenwich Frédéric Magoulès Applied Mathematics and Systems Laboratory Ecole Centrale Paris Editorial Advisory Board Mark Ainsworth Mathematics Department Strathclyde University Todd Arbogast Institute for Computational Engineering and Sciences The University of Texas at Austin Craig C. Douglas Computer Science Department University of Kentucky Ivan Graham Department of Mathematical Sciences University of Bath Peter Jimack School of Computing University of Leeds Takashi Kako Department of Computer Science The University of Electro-Communications Peter Monk Department of Mathematical Sciences University of Delaware Francois-Xavier Roux ONERA Arthur E.P. Veldman Institute of Mathematics and Computing Science University of Groningen Proposals for the series should be submitted to one of the series editors above or directly to: CRC Press, Taylor & Francis Group 3 Park Square, Milton Park Abingdon, Oxfordshire OX14 4RN UK
  • 9. Published Titles Classical and Modern Numerical Analysis: Theory, Methods and Practice Azmy S. Ackleh, Edward James Allen, Ralph Baker Kearfott, and Padmanabhan Seshaiyer Cloud Computing: Data-Intensive Computing and Scheduling Frédéric Magoulès, Jie Pan, and Fei Teng Computational Fluid Dynamics Frédéric Magoulès A Concise Introduction to Image Processing using C++ Meiqing Wang and Choi-Hong Lai Coupled Systems: Theory, Models, and Applications in Engineering Juergen Geiser Decomposition Methods for Differential Equations: Theory and Applications Juergen Geiser Designing Scientific Applications on GPUs Raphaël Couturier Desktop Grid Computing Christophe Cérin and Gilles Fedak Discrete Dynamical Systems and Chaotic Machines: Theory and Applications Jacques M. Bahi and Christophe Guyeux Discrete Variational Derivative Method: A Structure-Preserving Numerical Method for Partial Differential Equations Daisuke Furihata and Takayasu Matsuo Grid Resource Management: Toward Virtual and Services Compliant Grid Computing Frédéric Magoulès, Thi-Mai-Huong Nguyen, and Lei Yu Fundamentals of Grid Computing: Theory, Algorithms and Technologies Frédéric Magoulès Handbook of Sinc Numerical Methods Frank Stenger Introduction to Grid Computing Frédéric Magoulès, Jie Pan, Kiat-An Tan, and Abhinit Kumar Iterative Splitting Methods for Differential Equations Juergen Geiser Mathematical Objects in C++: Computational Tools in a Unified Object-Oriented Approach Yair Shapira Numerical Linear Approximation in C Nabih N. Abdelmalek and William A. Malek Numerical Methods and Optimization: An Introduction Sergiy Butenko and Panos M. Pardalos Numerical Techniques for Direct and Large-Eddy Simulations Xi Jiang and Choi-Hong Lai Parallel Algorithms Henri Casanova, Arnaud Legrand, and Yves Robert Parallel Iterative Algorithms: From Sequential to Grid Computing Jacques M. Bahi, Sylvain Contassot-Vivier, and Raphaël Couturier Particle Swarm Optimisation: Classical and Quantum Perspectives Jun Sun, Choi-Hong Lai, and Xiao-Jun Wu XML in Scientific Computing C. Pozrikidis
  • 10. This page intentionally left blank This page intentionally left blank
  • 11. NUMERICAL METHODS AND OPTIMIZATION An Introduction Sergiy Butenko Texas AM University college Station, USA Panos M. Pardalos University of Florida Gainesville, USA
  • 12. MATLAB® is a trademark of The MathWorks, Inc. and is used with permission. The MathWorks does not warrant the accuracy of the text or exercises in this book. This book’s use or discussion of MAT- LAB® software or related products does not constitute endorsement or sponsorship by The MathWorks of a particular pedagogical approach or particular use of the MATLAB® software. Cover image: © 2008 Tony Freeth, Images First Ltd. CRC Press Taylor Francis Group 6000 Broken Sound Parkway NW, Suite 300 Boca Raton, FL 33487-2742 © 2014 by Taylor Francis Group, LLC CRC Press is an imprint of Taylor Francis Group, an Informa business No claim to original U.S. Government works Version Date: 20140121 International Standard Book Number-13: 978-1-4665-7778-7 (eBook - PDF) This book contains information obtained from authentic and highly regarded sources. Reasonable efforts have been made to publish reliable data and information, but the author and publisher cannot assume responsibility for the validity of all materials or the consequences of their use. The authors and publishers have attempted to trace the copyright holders of all material reproduced in this publication and apologize to copyright holders if permission to publish in this form has not been obtained. If any copyright material has not been acknowledged please write and let us know so we may rectify in any future reprint. Except as permitted under U.S. Copyright Law, no part of this book may be reprinted, reproduced, transmitted, or utilized in any form by any electronic, mechanical, or other means, now known or hereafter invented, including photocopying, microfilming, and recording, or in any information stor- age or retrieval system, without written permission from the publishers. For permission to photocopy or use material electronically from this work, please access www.copy- right.com (http://www.copyright.com/) or contact the Copyright Clearance Center, Inc. (CCC), 222 Rosewood Drive, Danvers, MA 01923, 978-750-8400. CCC is a not-for-profit organization that pro- vides licenses and registration for a variety of users. For organizations that have been granted a pho- tocopy license by the CCC, a separate system of payment has been arranged. Trademark Notice: Product or corporate names may be trademarks or registered trademarks, and are used only for identification and explanation without intent to infringe. Visit the Taylor Francis Web site at http://www.taylorandfrancis.com and the CRC Press Web site at http://www.crcpress.com
  • 13. Dedicated to the memory of our grandmothers, Uliana and Sophia, who taught us how to count.
  • 14. This page intentionally left blank This page intentionally left blank
  • 15. Preface This text provides a basic introduction to numerical methods and optimiza- tion for undergraduate and beginning graduate students in engineering and operations research. It is based on the materials used by the authors during many years of teaching undergraduate and introductory graduate courses in industrial and systems engineering at Texas AM University and the Uni- versity of Florida. The book is intended for use as a text or supplement for introductory one-semester courses on numerical methods, optimization, and deterministic operations research. Combining the topics from entry-level numerical methods and optimiza- tion courses into a single text aims to serve a dual purpose. On the one hand, this allows us to enrich a standard numerical methods syllabus with addi- tional chapters on optimization, and on the other hand, students taking an introductory optimization or operations research course may appreciate hav- ing numerical methods basics (typically assumed as a background) handy. In particular, the fact that students in engineering and operations research rep- resent diverse educational backgrounds, some with no previous coursework related to numerical methods, served as a motivation for this work. In presenting the material, we assumed minimum to no previous experi- ence of a reader with the subjects of discussion. Some mathematical proofs are included as samples of rigorous analysis; however, in many cases the pre- sentation of facts and concepts is restricted to examples illustrating them. While the content of the text is not tied to any particular software, the book is accompanied by MATLAB notes and codes available for download from the publisher’s website, which also contains other supporting materials. We would like to thank the numerous students who have taken our courses throughout the years for their valuable feedback on preliminary versions of parts of this text. This work would not have been possible without the love and support of our families. Finally, we would like to thank our publisher, Sunil Nair, for his patient assistance and encouragement. Sergiy Butenko Panos Pardalos ix
  • 16. This page intentionally left blank This page intentionally left blank
  • 17. Contents I Basics 1 1 Preliminaries 3 1.1 Sets and Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Fundamental Theorem of Algebra . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3 Vectors and Linear (Vector) Spaces . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3.1 Vector norms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.4 Matrices and Their Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.4.1 Matrix addition and scalar multiplication . . . . . . . 12 1.4.2 Matrix multiplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.4.3 The transpose of a matrix . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.4.4 Triangular and diagonal matrices . . . . . . . . . . . . 15 1.4.5 Determinants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.4.6 Trace of a matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.4.7 Rank of a matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.4.8 The inverse of a nonsingular matrix . . . . . . . . . . 18 1.4.9 Eigenvalues and eigenvectors . . . . . . . . . . . . . . 19 1.4.10 Quadratic forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.4.11 Matrix norms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.5 Preliminaries from Real and Functional Analysis . . . . . . . 25 1.5.1 Closed and open sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.5.2 Sequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.5.3 Continuity and differentiability . . . . . . . . . . . . . 27 1.5.4 Big O and little o notations . . . . . . . . . . . . . . . 30 1.5.5 Taylor’s theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2 Numbers and Errors 37 2.1 Conversion between Different Number Systems . . . . . . . . 39 2.1.1 Conversion of integers . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.1.2 Conversion of fractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.2 Floating Point Representation of Numbers . . . . . . . . . . 44 2.3 Definitions of Errors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.4 Round-off Errors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.4.1 Rounding and chopping . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.4.2 Arithmetic operations . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.4.3 Subtractive cancellation and error propagation . . . . 49 xi
  • 18. xii II Numerical Methods for Standard Problems 53 3 Elements of Numerical Linear Algebra 55 3.1 Direct Methods for Solving Systems of Linear Equations . . 57 3.1.1 Solution of triangular systems of linear equations . . . 57 3.1.2 Gaussian elimination . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 3.1.2.1 Pivoting strategies . . . . . . . . . . . . . . . 62 3.1.3 Gauss-Jordan method and matrix inversion . . . . . . 63 3.1.4 Triangular factorization . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 3.2 Iterative Methods for Solving Systems of Linear Equations . 69 3.2.1 Jacobi method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 3.2.2 Gauss-Seidel method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 3.2.3 Application: input-output models in economics . . . . 74 3.3 Overdetermined Systems and Least Squares Solution . . . . 75 3.3.1 Application: linear regression . . . . . . . . . . . . . . 76 3.4 Stability of a Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 3.5 Computing Eigenvalues and Eigenvectors . . . . . . . . . . . 78 3.5.1 The power method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 3.5.2 Application: ranking methods . . . . . . . . . . . . . . 80 4 Solving Equations 87 4.1 Fixed Point Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 4.2 Bracketing Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 4.2.1 Bisection method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 4.2.1.1 Convergence of the bisection method . . . . 93 4.2.1.2 Intervals with multiple roots . . . . . . . . . 95 4.2.2 Regula-falsi method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 4.2.3 Modified regula-falsi method . . . . . . . . . . . . . . 98 4.3 Newton’s Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 4.3.1 Convergence rate of Newton’s method . . . . . . . . . 103 4.4 Secant Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 4.5 Solution of Nonlinear Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 4.5.1 Fixed point method for systems . . . . . . . . . . . . . 106 4.5.2 Newton’s method for systems . . . . . . . . . . . . . . 107 5 Polynomial Interpolation 113 5.1 Forms of Polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 5.2 Polynomial Interpolation Methods . . . . . . . . . . . . . . . 116 5.2.1 Lagrange method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 5.2.2 The method of undetermined coefficients . . . . . . . 118 5.2.3 Newton’s method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 5.3 Theoretical Error of Interpolation and Chebyshev Polynomials 120 5.3.1 Properties of Chebyshev polynomials . . . . . . . . . . 122
  • 19. xiii 6 Numerical Integration 127 6.1 Trapezoidal Rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 6.2 Simpson’s Rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 6.3 Precision and Error of Approximation . . . . . . . . . . . . . 132 6.4 Composite Rules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 6.4.1 The composite trapezoidal rule . . . . . . . . . . . . . 134 6.4.2 Composite Simpson’s rule . . . . . . . . . . . . . . . . 135 6.5 Using Integrals to Approximate Sums . . . . . . . . . . . . . 137 7 Numerical Solution of Differential Equations 141 7.1 Solution of a Differential Equation . . . . . . . . . . . . . . . 142 7.2 Taylor Series and Picard’s Methods . . . . . . . . . . . . . . 143 7.3 Euler’s Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 7.3.1 Discretization errors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 7.4 Runge-Kutta Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 7.4.1 Second-order Runge-Kutta methods . . . . . . . . . . 148 7.4.2 Fourth-order Runge-Kutta methods . . . . . . . . . . 151 7.5 Systems of Differential Equations . . . . . . . . . . . . . . . 152 7.6 Higher-Order Differential Equations . . . . . . . . . . . . . . 155 III Introduction to Optimization 159 8 Basic Concepts 161 8.1 Formulating an Optimization Problem . . . . . . . . . . . . . 161 8.2 Mathematical Description . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 8.3 Local and Global Optimality . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 8.4 Existence of an Optimal Solution . . . . . . . . . . . . . . . 168 8.5 Level Sets and Gradients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 8.6 Convex Sets, Functions, and Problems . . . . . . . . . . . . . 173 8.6.1 First-order characterization of a convex function . . . 177 8.6.2 Second-order characterization of a convex function . . 179 9 Complexity Issues 185 9.1 Algorithms and Complexity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 9.2 Average Running Time . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 9.3 Randomized Algorithms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 9.4 Basics of Computational Complexity Theory . . . . . . . . . 191 9.4.1 Class NP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 9.4.2 P vs. NP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 9.4.3 Polynomial time reducibility . . . . . . . . . . . . . . 194 9.4.4 NP-complete and NP-hard problems . . . . . . . . . 195 9.5 Complexity of Local Optimization . . . . . . . . . . . . . . . 198 9.6 Optimal Methods for Nonlinear Optimization . . . . . . . . . 203 9.6.1 Classes of methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 9.6.2 Establishing lower complexity bounds for a class of methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
  • 20. xiv 9.6.3 Defining an optimal method . . . . . . . . . . . . . . . 206 10 Introduction to Linear Programming 211 10.1 Formulating a Linear Programming Model . . . . . . . . . . 211 10.1.1 Defining the decision variables . . . . . . . . . . . . . 211 10.1.2 Formulating the objective function . . . . . . . . . . . 212 10.1.3 Specifying the constraints . . . . . . . . . . . . . . . . 212 10.1.4 The complete linear programming formulation . . . . 213 10.2 Examples of LP Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 10.2.1 A diet problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 10.2.2 A resource allocation problem . . . . . . . . . . . . . . 214 10.2.3 A scheduling problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 10.2.4 A mixing problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 10.2.5 A transportation problem . . . . . . . . . . . . . . . . 219 10.2.6 A production planning problem . . . . . . . . . . . . . 220 10.3 Practical Implications of Using LP Models . . . . . . . . . . 221 10.4 Solving Two-Variable LPs Graphically . . . . . . . . . . . . . 222 10.5 Classification of LPs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 11 The Simplex Method for Linear Programming 235 11.1 The Standard Form of LP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 11.2 The Simplex Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 11.2.1 Step 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 11.2.2 Step 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242 11.2.3 Recognizing optimality . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244 11.2.4 Recognizing unbounded LPs . . . . . . . . . . . . . . . 244 11.2.5 Degeneracy and cycling . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 11.2.6 Properties of LP dictionaries and the simplex method 249 11.3 Geometry of the Simplex Method . . . . . . . . . . . . . . . 251 11.4 The Simplex Method for a General LP . . . . . . . . . . . . 254 11.4.1 The two-phase simplex method . . . . . . . . . . . . . 259 11.4.2 The big-M method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264 11.5 The Fundamental Theorem of LP . . . . . . . . . . . . . . . 266 11.6 The Revised Simplex Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266 11.7 Complexity of the Simplex Method . . . . . . . . . . . . . . 276 12 Duality and Sensitivity Analysis in Linear Programming 281 12.1 Defining the Dual LP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281 12.1.1 Forming the dual of a general LP . . . . . . . . . . . . 284 12.2 Weak Duality and the Duality Theorem . . . . . . . . . . . . 287 12.3 Extracting an Optimal Solution of the Dual LP from an Optimal Tableau of the Primal LP . . . . . . . . . . . . . . . 289 12.4 Correspondence between the Primal and Dual LP Types . . 290 12.5 Complementary Slackness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291 12.6 Economic Interpretation of the Dual LP . . . . . . . . . . . . 294
  • 21. xv 12.7 Sensitivity Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296 12.7.1 Changing the objective function coefficient of a basic variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302 12.7.2 Changing the objective function coefficient of a nonbasic variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303 12.7.3 Changing the column of a nonbasic variable . . . . . . 305 12.7.4 Changing the right-hand side . . . . . . . . . . . . . . 305 12.7.5 Introducing a new variable . . . . . . . . . . . . . . . 307 12.7.6 Introducing a new constraint . . . . . . . . . . . . . . 308 12.7.7 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310 13 Unconstrained Optimization 317 13.1 Optimality Conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317 13.1.1 First-order necessary conditions . . . . . . . . . . . . . 317 13.1.2 Second-order optimality conditions . . . . . . . . . . . 320 13.1.3 Using optimality conditions for solving optimization problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322 13.2 Optimization Problems with a Single Variable . . . . . . . . 323 13.2.1 Golden section search . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323 13.2.1.1 Fibonacci search . . . . . . . . . . . . . . . . 325 13.3 Algorithmic Strategies for Unconstrained Optimization . . . 327 13.4 Method of Steepest Descent . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328 13.4.1 Convex quadratic case . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330 13.4.2 Global convergence of the steepest descent method . . 331 13.5 Newton’s Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333 13.5.1 Rate of convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334 13.5.2 Guaranteeing the descent . . . . . . . . . . . . . . . . 335 13.5.3 Levenberg-Marquardt method . . . . . . . . . . . . . . 335 13.6 Conjugate Direction Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336 13.6.1 Conjugate direction method for convex quadratic prob- lems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337 13.6.2 Conjugate gradient algorithm . . . . . . . . . . . . . . 340 13.6.2.1 Non-quadratic problems . . . . . . . . . . . . 341 13.7 Quasi-Newton Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342 13.7.1 Rank-one correction formula . . . . . . . . . . . . . . 344 13.7.2 Other correction formulas . . . . . . . . . . . . . . . . 345 13.8 Inexact Line Search . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346 14 Constrained Optimization 351 14.1 Optimality Conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351 14.1.1 First-order necessary conditions . . . . . . . . . . . . . 351 14.1.1.1 Problems with equality constraints . . . . . . 351 14.1.1.2 Problems with inequality constraints . . . . . 358 14.1.2 Second-order conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . 363 14.1.2.1 Problems with equality constraints . . . . . . 363
  • 22. xvi 14.1.2.2 Problems with inequality constraints . . . . . 364 14.2 Duality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368 14.3 Projected Gradient Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371 14.3.1 Affine scaling method for LP . . . . . . . . . . . . . . 374 14.4 Sequential Unconstrained Minimization . . . . . . . . . . . . 377 14.4.1 Penalty function methods . . . . . . . . . . . . . . . . 378 14.4.2 Barrier methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379 14.4.3 Interior point methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381 Notes and References 387 Bibliography 389 Index 391
  • 24. This page intentionally left blank This page intentionally left blank
  • 25. Chapter 1 Preliminaries 1.1 Sets and Functions A set is a collection of objects of a certain kind, which are called elements of the set. We typically denote a set by a capital Greek or Latin letter, i.e., A, B, Σ, . . ., and an element of a set by a small letter, such as a, b, c, . . .. A set may be given by the list of its elements, for example, A = {a, b, c} or B = {1, 2}, or by some clearly defined rules, which can be used to determine whether a given object is an element of the given set. For example, the set of all real numbers between 0 and 1, inclusive, can be equivalently represented in several different ways as follows: X = {x : x2 − x ≤ 0} = {x : 0 ≤ x ≤ 1} = {x : x ∈ [0, 1]} = [0, 1]. We write a ∈ A if a is an element of set A, and A ⊆ B if A is a subset of B (i.e., every element of A is also an element of B). If A is a proper subset of B, meaning that A is a subset of B and A = B, then we write A ⊂ B. For example, for the set X = [0, 1] above, it is correct to write 0 ∈ X or {0} ⊂ X, but writing 0 ⊂ X or {0} ∈ X is incorrect. Some other basic set-theoretic notations, terms, and definitions are summarized in Table 1.1. Definition 1.1 (Mapping) Let X, Y be two sets. A rule associating a single element y = f(x) of Y with each element x ∈ X is called a mapping of X into Y , denoted by f : X → Y , and f is said to map X into Y (and, if f(x) = y, x into y). Definition 1.2 (Real Function) If X ⊆ IR, then a mapping f : X → IR is called a real function on X, where X is called the domain of f and Y = {y = f(x) : x ∈ X is called the range of f. The following terminology applies to mappings in general and to real func- tions in particular. Consider a mapping f : X → Y . If f(x) = y, then we call y the image of x under the mapping f. For a set X ⊆ X, we call the set 3
  • 26. Random documents with unrelated content Scribd suggests to you:
  • 28. XXIX. Nu ging de held° met zijne handgezellen Zelf langs het zand, den zoom der zee betredend. 2015 De wereldtoorts, de zonne, scheen zich wendend Vanuit het Zuid°. Zij zetten voort de voetreis En schreden duchtig door, tot waar zij wisten, Dat binnen in den burcht de hulp der helden, Verwinnaar Ongentheows°, de wapenkoning 2020 De jonge, kampgeduchte, ringen deelde. Dan ras was Beowulfs komst bericht aan Hyglac: Dat op het erf aldaar de stut der stouten, Zijn schildvriend, hofwaarts kwam geschreden, levend En gaaf van ’t wapenspel. Nu werd er spoedig, 2025 Gelijk de vorst gebood, een zaal van binnen Den voetbereisden gasten opgeredderd. Daar zat hij nu° hem zelven tegenover Hij, welke vele kampen had bevochten, Maag over maag, nadat de mannenkoning° 2030 In hooge taal den trouwe had verwelkomd Met weidsche woorden. Met de medekannen Begaf zich Hareds dochter° langs den halbouw; Zij stond den lieden lief ten dienst en stelde Ter hand de wijnschaal aan de Heide-Gooten. 2035 En Hygelac begon ter hooge halle Op hoofsche wijs zijn huisvriend te ondervragen. De lust hem ledebraakte°, welke waren Geweest de tochten van de Water-Gooten. «Hoe ging het u op reis, mijn goede Beowulf, 2040 Toen ge onverwachts besloten waart, om verre Den strijd te zoeken over ’t zilte water, Den kamp in Heorot? Hebt gij dan bij Hrodgar, Den hoogen heerscher, eenigszins verholpen
  • 29. Het wijdberuchte wee? Om deze reden 2045 Verduwde ik leed bij ’t deinen van de zorgen. Den tocht des waarden mans betrouwde ik weinig; Ik bad u menigwerf, dat gij den moordgeest Volstrekt niet zoeken zoudt en in ’t bestrijden Van Grendel liet begaan den Zuid-Deen zelven. 2050 God weet ik dank, u welbewaard te schouwen.» En Beowulf zeide toen, de zoon van Ecgtheow: «o Heerscher Hygelac, niet bleef verholen Aan menig man het wijdvermaarde treffen, Wat oorlogstijd er tusschen mij en Grendel 2055 Ontstond op gene stede, waar hij weeën In groote menigt schiep den Zege-Schyldings En hoon voor ’t leven, ’k Heb het al gewroken, Dat geen van Grendels broed op aard mag brallen Op gindschen uchtendgil°, die veenomvangen 2060 Het langst van ’t hatelijk geslacht zal leven. Eerst ging ik Hrodgar groeten in de ringzaal; Dra wees de hooggeroemde zoon van Healfdeen Mij naast zijn zoon een zetel, bij ’t vernemen Van mijn ontwerp. De schare was in weelde; 2065 Nog nooit ontwaarde ik onder ’t hemelwulfsel Bij hallevrienden grooter medevreugde. Bij wijlen ging der volken vreeverwante°, De statige vorstin, langs heel de halle, Aanmoedigend bij ’t maal de jonge mannen, 2070 En menig reis bedeelde zij een ridder Met ringsmuk, eer zij heenging naar de rustbank. De dochter Hrodgars° bood somtijds de bierschaal Den hoofden aan, den helden aan de slagspits. Ik hoorde deze door de hallegasten 2075 Freaware heeten, waar zij knopjuweelen Den helden gaf. De jonge, goudgehulde Was toegezegd den eedlen zoon van Froda°. Het had den Schyldingsvriend° zoo goed geschenen.
  • 30. Den hoeder van het rijk, en tevens rekent 2080 Hij ’t eene winst, dat hij door deze weerhelft De moordwraak, vele veeten mocht beslechten.° Niet zelden, maar te dikwerf rust de moordspeer Een korte wijle na den val des konings,52 Al mag dan ook de bruid uitmuntend wezen.
  • 31. ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° Tekstcritische noten 2013 de held: Beowulf. Zij begeven zich naar Hygelacs woning. Vgl. v. 1971 vlg. ↑ 2016 vanuit het Zuid: het was middag. ↑ 2019 Verwinnaar Ongentheows: het was niet Hygelac, maar Eofor, een zijner mannen, die den koning der Zweden doodde, doch de vorst vertegenwoordigt zijne onderhoorigen. ↑ 2027 daar zat hij nu: Beowulf; hij zat, als voornaamste gast, op den tegenovergestelden bankvloer. ↑ 2029 de mannenkoning: Hygelac. ↑ 2032 Hareds dochter: Hygd. ↑ 2037 Hij werd gefolterd door nieuwsgierigheid, om te weten enz. ↑ 2059 op gindschen uchtendgil: ziet terug op «het machtig morgenwee» (v. 132–33) dat door de Denen werd aangeheven bij het zien van het door Grendel aangerichte bloedbad. Als nog eenig monster leeft, dan hoeft het niet te pochen op Grendels daden. ↑ 2067: vreeverwante: Wealhtheow, Hrodgars gemalin; het woord beteekent hetzelfde als vredeweefster. ↑ 2072 Vroeger is van Freaware geen sprake geweest. ↑ 2077 Froda: vorst der Headobarden en Ingelds vader. ↑ 2078 Schyldingsvriend: Hrodgar ↑ 2080–81 Vandaar de naam vredeweefster, vreeverwante.
  • 32. Men houde in het oog, dat Beowulf hier toekomstige gebeurtenissen voorspelt; Freaware heeft hij alleen als verloofde (v. 2077) gekend. De episode der Headobarden komt hierop neer: Froda, de vorst der Headobarden, heeft het onderspit gedolven in het gevecht met de Denen en is er gesneuveld. Ten einde de twee volken met elkander te verzoenen, schenkt Hrodgar de hand zijner dochter Freaware aan den jeugdigen Headobardenkoning Ingeld, zoon van Froda. Onder Freawares dienaars bevindt zich de zoon van den Deen, welke Froda gedood heeft. Terwijl hij bedient in de koningshal, pronkt hij met den door zijnen vader buitgemaakten krijgstooi van Froda, onder anderen met het zwaard. Dit ziet slechts noode een oud krijger der Headobarden, die alle gevechten heeft meegemaakt. Hij wijst er Ingeld op en zet hem door zijne verontwaardigde taal langzamerhand tot wraakneming aan. De jonge, praalzieke Deen wordt gedood; de moordenaar ontvlucht en de strijd tusschen Denen en Headobarden is weer losgebroken. Men vergete niet dat, volgens de Oudgermaansche denkbeelden, het voor den zoon een heilige plicht was zijnen vader te wreken. ↑
  • 34. XXX. 2085 Dan mag ’t hierom den heer der Headobarden° En ieder krijger zijner lieden krenken, Als hij de zaal betreedt met zijne gade°, En van de Denen daar een edel krijgsknaap De schare heeft bediend.° Aan dezen schittert 2090 Des vaders heertuig°, hard, verrijkt met ringen, De kostbre have van de Headobarden, Zoolang zij heerschten over hunne wapens; Totdat zij wierpen in het schildgeworstel De lieve makkers met hun eigen leven. 2095 Dan spreekt bij ’t bier hij, die bespeurt de halsboot, Een grijze lansheld°, wien geheugt het gansche, Der trouwen speerdood, (toornen zal zijn ziele) En duisterzinnig vangt hij aan de denkwijs Des jongen krijgerkonings° te ondertasten 2100 Door zijner ziele zucht, en dan de kampkwaal Te wekken en hij spreekt zich uit in woorden: «Kunt gij, mijn vriend, nog dezen vochtel kennen, Dien onder ’t legermasker voor het laatste Uw vader in ’t gevecht eens met zich voerde. 2105 De kostbre kling, als hem de Denen doodden, Als ’t veld behielden na den val des helden (Sinds schoot de wraak tekort) de koene Schyldings? Nu stapt de zoon van eenen zijner moorders Hier door de halle, trotsch op zijne tooisels, 2110 Nu praalt hij op den moord en draagt het pronkzwaard, Hetgene gij rechtmatig moest bezitten.» Zoo maant, herinnert hij hem telken male Met stekelwoorden, tot de stond eens aanbreekt, Dat bloedig inslaapt bij den beet der zwaarden
  • 35. 2115 En levenloos de dienaar van de vrouwe° Voor ’s vaders daân. Vandaar ontduikt de tweede° Nog onverlet, hij kent het land ter dege. Dan zal der ridders eed van beide zijden Verbroken zijn, als bloedhaat bruist in Ingeld, 2120 En koeler wordt de liefde tot zijn weerhelft° Door ’t zorggezwalp. Des houd ik niet de hulde, Der Headobarden heertrouw tot de Denen Voor argeloos,53 noch vast gevest hun vriendschap.° Ik wil nu verder weer van Grendel spreken, 2125 Opdat u gansch verneemt, o goudbegever, Hoe voorts verliep het vuistgestorm der kampers. Zoodra ’t juweel der transen° was getrokken Langs ’t aardrijk, kwam de vreemdeling, de kwade, De leede nachtbelager ons bestoken, 2130 Alwaar wij wel te moe de zaal bewaakten. Verderflijk viel een kamp ten deel aan Hondscio°, Geweldig sterven aan den doodbestemde. Hij sneefde ’t eerst de staalomgorde strijder: Met zijnen muil werd Grendel tot den moorder 2135 Van mijn vermaarden maat. Hij zwolg het lichaam Des lieven mans geheel. Met leege handen Nochtans verlangde toen nog niet bloedtandig De wurger, tuk op moord, de woon te ontwijken; Maar waagde zich aan mij, de woeste aan krachten. 2140 Vuistgretig greep hij toe. Hem hing een handschoen°, Zeer wijd en wonderbaar, door tooverbanden Bevestigd. Deze was met kunst vervaardigd Uit drakevellen door des duivels toedoen. Hij wilde mij, de gruwbre wanbedrijver, 2145 Met menigeen daarbinnen schuldloos bergen. Niet kon hij ’t evenwel, zoodra ik woedend In volle lengte rees. Te lang zal ’t wezen Te zeggen, hoe ik dezen volksverheerder Voor ieder euveldaad het loon uitdeelde.
  • 36. 2150 Ik heb, mijn vorst, uw volk° aldaar verheerlijkt Door ’t wapenfeit. Hij droop dan weg en luttel Genoot hij nog de vreugde van het daarzijn. Zijn rechterhand nochtans verried zijn sporen In Heort, en hoonvol zonk, in ’t hart verbitterd, 2155 Hij naar den bodem van de zee te zamen. De Schyldingsvriend beloonde dezen lijfkamp Mij mild met goud en menigte juweelen, Nadat de morgenschemer was verschenen, En wij gezeten waren aan het feestmaal. 2160 Daar was gezang en scherts. De grijze Schylding Vertelde uit vroeger tijd naar menig vorschend. Hij tokkelde af en toe, de kampgeduchte, De zoete harp, het hout der vriendenvreugde. Te met ontspon hij sproken waar en weevol, 2165 Ofwel de grootgezinde koning zette Een wonderbaar verhaal uiteen naar waarheid.° Dan weer begon de grijze wapenvoerder, Door ouderdom gekluisterd, naar de kampkracht Te zuchten zijner jeugd. Hem bruiste ’t binnenst, 2170 Wanneer, door winters wit, hij ’t aantal nadacht.° Wij vonden zoo gezelschapsvreugd daarbinnen Den ganschen dag°, tot daalde een tweede nachtstond Op ’t menschenkroost. Toen was alweer de moeder Van Grendel ras gereed tot leedvergelding. 2175 Daar toog zij troosteloos: de slagdood sleepte Haar zoon daarheen, de wapenhaat der Weders. Zij wreekte haren zoon ’t ongure zeewijf: Een ridder doodde zij op ruwe wijze. Voor Ascher ging te loor, den grijzen raadsman, 2180 Den langbeproefden, ’t licht. De Denenlieden Zelfs konden niet, nadat de morgen naakte, Verbranden in den brand den levenlooze, Noch laden op de mijt den lieven makker: Zij had ontvoerd in haren arm het lichaam
  • 37. 2185 Des vijands54 onder aan den val des bergstrooms. Voor Hrodgar was ’t het wreedste aller weeën, Dat trof sinds langen tijd den volksgeleider. Mij bad de koning leedvol bij uw leven, Dat ’k waagde een ridderwerk in ’t golfgewentel, 2190 Blootstelde mijn bestaan, iets dappers dede. Het loon beloofde hij. Ik vond vervolgens Den wilden, gruwelijken grondbewaker Der wijdbekende kolk. Een tijdlang waren Wij handgemeen. Bloedschuimig sloeg de meervloed. 2195 Toen hieuw ik af het hoofd in gene grondwoon Aan Grendels moeder met het wichtig wapen. Ik droeg van daar zoo licht niet weg het leven. Nog was ik niet bestemd om dan te sterven; Maar mij beschonk alweer de schuts der ridders 2200 Met macht van kostbaarheên, de zoon van Healfdeen.
  • 38. ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° Tekstcritische noten 2085 den heer der Headobarden: Ingeld. ↑ 2087 met zijne gade: Freaware, Hrodgars dochter; de zaal is Heorot. ↑ 2088–89 Een der edelen was belast met het bier in te schenken. Vgl. v. 501. ↑ 2090 des vaders heertuig: de kamptooi van Froda, Ingelds vader. ↑ 2096 een grijze lansheld; een krijgsman der Headobarden; zijn naam wordt niet vermeld evenmin als die van Froda’s dooder en den Deenschen hofjonker. ↑ 2099 des jongen krijgerkonings: Ingeld. ↑ 2115 de dienaar van de vrouwe: de jonge Deen, welke aan Freaware tot hofjonker werd gegeven. ↑ 2116 de tweede: de moordenaar van den jongen Deen. Zou het misschien de grijze lansheld zijn geweest? ↑ 2119–20 De zucht om zijnen vader en zijn volk te wreken legt het zwijgen op aan zijne liefde tot Freaware, zijne Deensche gade. Voorwaar een echt dramatische toestand! ↑ 2121b–23 Dat Beowulfs voorspelling zich bewaarheid heeft, hebben wij reeds uit meer dan eene toespeling gezien. Hoe deze strijd afgeloopen is, weten wij buitendien uit Widsidh, waar gezegd wordt, dat de Headobarden door Hrodgar en Hrodwulf in Heorot verslagen werden. Dat er afzonderlijke liederen bestaan hebben over den krijg met de Headobarden is aan geenen twijfel onderhevig.
  • 39. ° ° ° ° ° Immers Müllenhoff toont ons een overeenkomstig verhaal bij den Deenschen schrijver Saxo Grammaticus omtrent Frotho, den vader van Ingellus. Saxo deelt zelfs de Latijnsche vertaling mede van twee liederen uit de 10de eeuw, die in hoofdzaak hetzelfde verhaal ophangen van eenen ouden strijder, Starcatherus geheeten, die Ingellus tot wraak aanzet. Ziedaar een afdoend bewijs voor het ontstaan van het volksepos uit afzonderlijke epische liederen. Müllenhoff schrijft de Headobarden-episode (v. 2085–2120a) aan inlasscher B toe. Hij ziet in de Headobarden niet de Longobarden, maar een volk, dat tot de Herulers behoorde. Het zijn de bewoners van Seeland, die op het einde der 5de of in ’t begin der 6de eeuw door de Denen werden verdrongen; immers Jordanes bericht, dat de Denen van uit Scandinavië (Schonen) afzakkende de Herulers uit hun land verdreven. Müllenhoff veronderstelt diensvolgens, dat beide volken een tijdlang hebben samengeleefd, zoodat Ingeld als zelfstandig koning naast Hrodgar kan optreden. Ons epos herinnert hier dus een feit van overwegend belang, nl. de grondvesting van het Deensche rijk. Much neemt deze verklaring aan. ↑ 2127 ’t juweel der transen: de zon. ↑ 2131 Hondsció Vgl. 756, 1067. ↑ 2140 een handschoen: eene nieuwe bijzonderheid. ↑ 2150 uw volk: stam. Dit was de hoogste eenheid bij de Germanen, zij kenden geen volk of natie in de tegenwoordige beteekenis van het woord. Het eenige verband tusschen verschillende stammen was alleen van godsdienstigen aard b. v. de Ingaevonen. ↑ 2162–66 Müllenhoff zet deze verzen op rekening van den nadichter. Inderdaad dat Hrodgar de harp bespeelt, mag wel wat verwondering baren, vooral nu wij gezien hebben, dat niet hij maar zijn zanger de Finn-episode voordroeg. ↑
  • 40. ° ° 2167–70 Deze weemoedige stemming bij het terugdenken aan de vroegere heldenkracht is een kenmerkende trek van het gedicht. Vgl. v. 1934. ↑ 2172 den ganschen dag: diem noctemque continuare potando nulli probrum. Tacitus, Germ. 22. ↑
  • 42. XXXI. Zoo leefde naar het voegt de volksgebieder. Volstrekt niet ging mij ’t loon, de prijs verloren Der heldenkracht, maar Healfdeens zoon bedeelde Met zijne schatten mij, tot mijn beschikking. 2205 Die haak ik u te brengen, heer der mannen, Eerbiedig aan te biên. Geheel mijn hulde Zij wendt zich weder uwaart°55. Hoofdverwanten Bezit ik luttel meer, tenzij u, Hyglac°.» Het everbeeld gebood hij in te brengen, 2210 De hoofdbanier°56; het kampbeheerschend hoofdscherm, Het stalen harnas met uitstekend strijdzwaard, En sprak dan ’t woord: En sprak dan ’t woord: «Hrodgar, de wijze koning, Gaf mij dit krijgsgewaad; hij wenschte woordlijk, Dat ik vervolgens zei diens wedervaren, 2215 En hij verhaalde, dat de heer der Schyldings, Vorst Heorogar°, het lange had bezeten. Toch wilde die aan Hereward, den koenen, Zijn zoon, niet schenken deze borstbeschutting, Al schatte hij hem hoog. Gebruik het heilvol.» 2220 ’k Vernam, dat na die schatten vier genetten, Gelijk en appelvaal, op ’t voetspoor° volgden. Van ros en have deed hij Hyglac hulde.— De magen moeten zich alzoo gedragen, Geen net der valschheid voor den andre vlechten, 2225 Noch ’s makkers dood bereiden door een toover. Aan Hygelac, den weerbren in ’t geworstel, Aan dezen was de neef geheel genegen. Elk hunner was des andren heil gedachtig.— Ik hoorde, dat hij schonk aan Hygd den halsring°,
  • 43. 2230 Het kunstig wonderwerk, waarmee hem Welchtheow, De vorstendochter, had bedeeld; daarboven Een drietal slanke, goudgezaalde dravers. Versierd was sinds na ’t bootgeschenk haar boezem. ’t Is zoo, dat Ecgtheows zoon zich onderscheidde, 2235 De kampvermaarde man, door dappre daden. Hij leefde volgens eer en velde geenszins De met hem aangezeten haardgezellen. Niet was zijn inborst wild: de slaggeduchte Bewaakte met de meeste macht eens menschen 2240 De reuzengave, hem door God geschonken°57. Hij leefde lang verguisd, zoodat de Gooten Hem in ’t geheel niet hielden voor heldhaftig, En hem de heer der manschap bij de meebank Iets koens niet waardig keurde. Zeker waanden 2245 Zij, dat hij was te loom, een weerloos eedle. Een keer gewerd den luisterrijken kamper Voor elken hoon.° De schuts der ridders, Hyglac, De kampberoemde koning, liet het lemmer, Met goud belegd, van Hredel binnenbrengen. 2250 Alsdan bevond zich in den vorm van slagzwaard Geen waarder goudgewrocht bij al de Gooten. Hij lei ’t in Beowulfs schoot en schonk een landmaat° Van zeven duizend, burcht en koningszetel. Hun beiden, bij het volk, was ’t land vervallen 2255 Met grondbezit en recht op ’t erfgoed rustend. Den tweede° viel, den beste van geboorte, Er meer, de breede koningsmacht ten beste.—° Dit viel vervolgens bij de strijdonstuimen° In later dagen voor: Sinds Hyglac neerlag, 2260 En Heardred° het heirzwaard onder ’t schilddek Geworden was tot dooder—daar de Schilfings°, De stoute krijgerhelden, hem bestormden In ’t midden van zijn zegevolk° en dezen, Den neef van Hererik°, door kamp benarden—
  • 44. 2265 Sinds raakte ’t breede rijk in Beowulfs handen58. Wel vijftig winters° heerschte deze heilvol, (Toen was ’t een wijze vorst, een grijze goedsheer) Totdat alsdan begon bij duistre nachten Een draak te heerschen, die een schat behoedde, 2270 Een steile steenrots op de hooge heide. Een steegje lag beneên, vermoed door niemand. Een dienstman, ’k weet niet welke, dook er binnen; Begeerlijk greep hij naar het goed des heidens°, Zijn vuist ontvoerde een vaas met gelen goudglans. 2275 Nochtans hij gaf ze in later tijd niet weder, Al had hij door een dievenlist den hoeder Beslopen in zijn slaap. Gewaar zou worden ’t Gewest der mannen, dat hij was in woede.°
  • 45. ° ° ° ° ° ° ° ° Tekstcritische noten 2206–7 Nu dien ik u weer alleen, als vroeger, en geenen vreemden koning meer. ↑ 2208 tenzij U, Hyglac: Als eene halve eeuw later Beowulf zal sterven, blijft nog alleen Wiglaf over van den stam der Waegmundings, waartoe Beowulf behoort. Vgl. v. 2910 vlg. ↑ 2210 de hoofdbanier: voornaamste banier; zij was bekroond met een everkop. De geschenken, welke hier aan Hygelac worden aangeboden, zijn dezelfde, welke aan Beowulf v. 1034–54 door Hrodgar werden gegeven. ↑ 2216 Heorogar: Hrodgars oudste broeder, die reeds lang dood was. Vgl. v. 471. ↑ 2221 op ’t voetspoor: onmiddellijk hierop. ↑ 2229 den halsring: Wij hebben gezien, hoe later dit prachtig juweel door den dood van Hygelac in het bezit der Franken geraakte. Vgl. v. 1222 vlg. Hygd moet het dus aan Hygelac afgestaan hebben. ↑ 2236–40 Toespeling op Heremod. ↑ 2234–47a Müllenhoff beschouwt deze verzen, welke den gang van het verhaal stremmen, als een invoegsel, vooral met het oog op de hem hier toegeschreven onmannelijke jeugd. Immers wat wordt er dan van zijnen wedstrijd met Brecca, dien hij als knaap ondernam, en van zijne eigen woorden «Menig roemvol waagstuk bestond ik in mijn jeugd» v. 409? ↑
  • 46. ° ° ° ° ° ° ° ° ° 2252 een landmaat: volgens Bugge de hid d. i. een halve vierkante meter. ↑ 2256 den tweede: Hygelac. Hij volgde zijnen broeder Hadcyn op en had dus meer aanspraken op den troon dan Beowulf, welke slechts de neef was. ↑ 2258 Hier eindigt het eerste gedeelte van het epos; de kamp met den draak, welke het onderwerp van het tweede gedeelte uitmaakt, heeft ten minste eene halve eeuw later plaats, daar Beowulf reeds vijftig jaar over de Gooten heerscht. Volgens Müllenhoff zijn de verzen 2258–2465 het werk van B, om de twee deelen aan elkaar te verbinden. ↑ bij de strijdonstuimen: bij de Gooten. ↑ 2260 Heardred: de zoon van Hygelac, 3de naamval. ↑ 2261 de Schilfings: Zweden, het zijn hier de zonen van Ochter, den koning der Zweden. Men verwarre niet de Schilfings (Zweden) met de Schyldings (Denen). ↑ 2263 zijn zegevolk: de Gooten. ↑ 2264 Den neef van Hererik: Heardred; deze naam komt maar eens voor. De zin is: Nadat Hygelac gesneuveld was en zijn zoon Heardred, die hem opvolgde, op zijne beurt was gevallen bij eenen inval, welken de Zweden in het land der Gooten hadden gedaan, beklom Beowulf den troon. Hier hebben wij de eerste toespeling op den krijg met de Zweden; er wordt nog driemaal XXXIII, XXXV, XL–XLI op teruggekomen. In XXXIII worden nadere bijzonderheden gegeven over hetgeen hier slechts ter loops is aangestipt. ↑ 2266 wel vijftig winters: Beowulf was dus meer dan honderd jaar oud toen hij stierf. Immers hij had de vijftig achter den rug toen hij Grendel doodde (Vgl. v. 373 nota) en het was slechts in later dagen, (v. 2259) dat hij
  • 47. ° ° den troon beklom. Men kan zonder overdrijving zijnen ouderdom op 120 jaar aanslaan. ↑ 2273 des heidens: de eenzame edelman. Vgl. v. 2338. ↑ 2274–78 vertaald naar Bugges aanvulling, daar de tekst op eenige letters na is verloren gegaan. ↑
  • 49. XXXII. Noch eigenmachtig werd tot gast des monsters 2280 Noch des gewild59 hij, wien het zeer zou schaden°;° Maar door het nijpen van den nood ontslipte Een slaaf van zekren heldenzoon de slagen Des haats, van huis beroofd, en borg zich binnen. De schuldgedrukte schouwde dra in ’t ronde; 2285 Ofschoon den vreemde schrik en zielsontzetting Bemachtigd had°, bemerkte toch de ellendige, De armzaalge man, op zoek naar eenen ingang°, Toen hem de vrees beving, het gulden vaatwerk°60. Er waren vele zulke voortijdsschatten 2290 In ’t hol, gelijk in lang verdwenen dagen Ik weet niet welke man ’t onmeetlijk erfgoed Eens eedlen stams, verdiept in zijn gedachten, Aldaar verborgen had, het dierbaar pronkwerk. Hen allen had de dood voorheen verdreven, 2295 En nu een enkel nog der schaargenooten, Die ’t langst er waarde, een vriendbeweenend wachter, Verlangde dit alleen nog uit te stellen: d’Onmeetbren schat slechts kort te mogen smaken.° Er rees geheel gereed een doodenheuvel 2300 In ’t veld omhoog, niet verre van de baren, Een nieuwe nog, nabij het voorgebergte. En wel beveiligd door versperringswerken. Der kostbaarheên en ringen hoeder voerde Er dan den loggen last van bladgoud binnen 2305 En sprak in weinig woorden: En sprak in weinig woorden: «Wil, o aarde, Behoeden, daar de helden dit niet konden, Het eigendom der eedlen. Immers dappren
  • 50. Ontvingen dit van u° in vroeger tijden. De lansdood rukte weg, het levenseuvel, 2310 Elk moedig krijger onder mijne mannen, Die ’t leven lieten, ’t heil des hemels° zagen. En niemand heb ik nog, die draagt den degen, Of wischt den gulden kroes, de weidsche drinkschaal; Naar elders is verreisd de ridderschare. 2315 Den harden helm, gesmukt met goudgesmijde, Ontvallen zal hem spoedig zijn versiering: De dienaars slapen, die het oorlogsmasker Herstelden; insgelijks is nu het strijdhemd, Dat bij ’t geworstel boven ’t schildgeschilfer 2320 Den beet van ’t staal ontbeidde, stuk gebroken Na zijnen heer. Niet zal ’t geringde harnas Nog verre, na den val des oorlogsvorsten, Den helden gaan ter zij. Geen harpeweelde, Geen vreugde van ’t gezellig hout!° Geen havik, 2325 Geen wakkre, klapwiekt langs de woning henen. En ’t rappe ros het slaat niet meer de slotplaats. Zoo sleepte van ’t geslacht, het levensvolle, Een harde dood er velen verre henen.»° Dus somberstemmig kermde hij door kommer, 2330 Na allen nog alleen, en rouwde lustloos Bij dag en nacht, totdat hem sloeg om ’t harte De deining van den dood. De deining van den dood. De schoone schatten Vond openstaan de aloude schemervijand, Die barnend bergen° zoekt, de naakte nooddraak, 2335 En ommevliegt des nachts met vuur omvangen. Hem hadden wijd ontwaard de grondbewoners. Hij zoekt de schatten binnen in den bodem, Alwaar hij wacht houdt bij de heidenhave, Aan winters oud. Niet beter zal ’t hem wezen°. 2340 Zoo had driehonderd jaar de volksverheerder ’t Gezegde goudhuis in den grond bezeten,
  • 51. Welcome to our website – the ideal destination for book lovers and knowledge seekers. With a mission to inspire endlessly, we offer a vast collection of books, ranging from classic literary works to specialized publications, self-development books, and children's literature. Each book is a new journey of discovery, expanding knowledge and enriching the soul of the reade Our website is not just a platform for buying books, but a bridge connecting readers to the timeless values of culture and wisdom. With an elegant, user-friendly interface and an intelligent search system, we are committed to providing a quick and convenient shopping experience. Additionally, our special promotions and home delivery services ensure that you save time and fully enjoy the joy of reading. Let us accompany you on the journey of exploring knowledge and personal growth! ebookultra.com