Numero triangolare
- 1. Numero triangolare In matematica, un numero triangolare è un numero poligonale rappresentabile in forma di triangolo, ovvero, preso un insieme con una cardinalità (quantità di elementi) pari al numero in oggetto, è possibile disporre i suoi elementi su una griglia regolare, in modo da formare un triangolo rettangoloisoscele o un triangolo equilatero, come nella figura sotto. 1 3 6 10 15 21 Formula di Gauss L'n-esimo numero triangolare si può ottenere con la formula di Gauss Osservando che ciascuna riga del triangolo è costituita da un numero di elementi pari all'indice della riga, e contiene quindi un elemento in più della riga precedente, si verifica facilmente che la formula corrisponde a quella della somma dei primi termini della progressione aritmetica di ragione 1. È possibile ottenere anche una giustificazione geometrica della formula: avvicinando all'n-esimo triangolo un triangolo uguale, si ottiene un rettangolo di lati e , che è formato da punti, il doppio di quelli del triangolo. 2 6 12 20 30 42 L'n-esimo numero triangolare corrisponde al numero di possibili coppie non ordinate estratte da un insieme di elementi. Elenco di numeri triangolari I primi numeri triangolari sono:
- 2. 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136, 153, 171, 190, 210, 231, 253, 276, 300, 325, 351, 378, 406, 435, 465, 496, 528, 561, 595, 630, 666, 703, 741, 780, 820, 861, 903, 946, 990, 1035, 1081, 1128, 1176, 1225, 1275, 1326, 1378, 1431, 1485, 1540, 1596, 1653, 1711, 1770, 1830, 1891, 1953, 2016, 2080, 2145, 2211, 2278, 2346, 2415, 2485, 2556, 2628, 2701, 2775, 2850, 2926, 3003, 3081, 3160, 3240 ecc. e rappresentano la successione A000217 dell'OEIS. Relazioni con altri numeri figurati La somma di due numeri triangolari successivi è un numero quadrato: ; 4 9 16 25 36 esistono infiniti numeri triangolari che sono anche numeri quadrati; ogni numero naturale si può scrivere come somma di al massimo tre numeri triangolari (eventualmente ripetuti, come in ; questa proprietà fu scoperta da Gauss nel 1796, ed è un caso particolare del teorema di Fermat sui numeri poligonali; la somma dei primi numeri triangolari è pari all'n-esimo numero tetraedrico; l'n-esimo numero pentagonale è un terzo del numero triangolare per ; ogni altro numero triangolare è un numero esagonale; la differenza tra l'n-esimo numero m-gonale e l'n-esimo numero (m+1)-gonale è uguale all'(n-1)- esimo numero triangolare. Altre proprietà (somma di numeri triangolari); (prodotto di numeri triangolari); tutti i numeri perfettisono triangolari; i reciproci dei numeri triangolari formano la serie di Mengoli moltiplicata per 2; la loro somma vale pertanto 2; il quadrato dell'n-esimo numero triangolare è uguale alla somma dei primi cubi: