![Metode untuk mencari matriks
• Operasi baris elementer
Untuk mencari invers suatu matriks A yang dapat dibalik yaitu dengan mencari urutan operasi baris elementer
tereduksi A pada matriks satuan dan kemudian melakukan urutan operasi yang sama ini pada In untuk mendapatkan A-1.
A I I ] operasi baris elementer [ I I A-1 ]
• Adjoin matriks
Jika A adalah matriks yang dapat dibalik, maka𝐴−1
=
1
det 𝐴
𝑎𝑑𝑗 𝐴
Adj A adalah adjoin matriks A yang merupakan transpose dari kofaktor-kofaktor matriks tersebut dan
dilambangkan dengan Adj A = (𝑘𝑖𝑗)𝑡
. (𝑘𝑖𝑗) merupakan kofaktor suatu elemen baris ke-i dan kolom ke-j dari
matriks A serta dilambangkan dengan
𝑘𝑖𝑗 = (−1)𝑖+𝑗
|𝑀𝑖𝑗| = −1 𝑖+𝑗
det(𝑀𝑖𝑗)
dengan 𝑀𝑖𝑗 adalah submatriks hasil ekspansi baris atau ekspansi kolom dari suatu matriks.](https://image.slidesharecdn.com/presentasifisikakomputasik-210625053741/85/Presentasi-fisika-komputasi-invers-matrik-gauss-jordan-dengan-python-4-320.jpg)
![Contoh
• matriks persegi yang diberikan
𝐴 =
2 − 1 0
−1 2 − 1
0 − 1 2
• Kemudian, ditambahkan dengan matriks
identitas
𝐴𝐼 =
2 − 1 0 1 0 0
−1 2 − 1 0 1 0
0 − 1 2 0 0 1
Dengan melakukan operasi baris dasar pada
matriks [AI] sampai A menjadi matriks
identitas, maka didapatkan hasil akhir
𝐼 =
1 0 0
0 1 0
0 0 1
𝐴−1 =
3
4
1
2
1
4
1
2
1
1
2
1
4
1
2
3
4](https://image.slidesharecdn.com/presentasifisikakomputasik-210625053741/85/Presentasi-fisika-komputasi-invers-matrik-gauss-jordan-dengan-python-10-320.jpg)
Presentasi fisika komputasi invers matrik gauss jordan dengan python
- 1. : Adilla Nurfadhlah 1182070001 Bobby Adam Aprilian 1182070012 Fidiyati Umaroh 1182070022 Intan Julianti Diningsih 1182070029 Kelompok 8 INVERS MATRIKS & METODE GAUSS-JOURDAN
- 2. Invers matriks • Matrisk merupakan Jajaran empat persegi panjang dari bilangan • Bilangan-bilangan dalam jajaran tersebut disebut entri dari matriks • Mencari solusi dari sistem persamaan linear yaitu dengan memanfaatkan invers matriks. • Matriks dapat diartikan sebagai susunan bilangan-bilangan (real atau kompleks) • Selanjutnya bilangan tersebut dinamakan entri dalam matriks. Entri dari matriks A yang berada pada baris ke-i dan kolom ke-j dinotasikan dengan 𝑎𝑖𝑗.
- 3. Invers Matriks • Invers matriks dapat didefinisikan dengan “Jika A adalah suatu matriks kuadrat, dan jika kita dapat mencari matriks B sehingga AB = BA = I, maka A dikatakan dapat dibalik (invertible) dan B dinamakan invers dari A”. – Invers dari matriks kuadrat A, ditulis A-1 adalah suatu matriks yang memenuhi sifat A.A-1 = A-1.A = I.
- 4. Metode untuk mencari matriks • Operasi baris elementer Untuk mencari invers suatu matriks A yang dapat dibalik yaitu dengan mencari urutan operasi baris elementer tereduksi A pada matriks satuan dan kemudian melakukan urutan operasi yang sama ini pada In untuk mendapatkan A-1. A I I ] operasi baris elementer [ I I A-1 ] • Adjoin matriks Jika A adalah matriks yang dapat dibalik, maka𝐴−1 = 1 det 𝐴 𝑎𝑑𝑗 𝐴 Adj A adalah adjoin matriks A yang merupakan transpose dari kofaktor-kofaktor matriks tersebut dan dilambangkan dengan Adj A = (𝑘𝑖𝑗)𝑡 . (𝑘𝑖𝑗) merupakan kofaktor suatu elemen baris ke-i dan kolom ke-j dari matriks A serta dilambangkan dengan 𝑘𝑖𝑗 = (−1)𝑖+𝑗 |𝑀𝑖𝑗| = −1 𝑖+𝑗 det(𝑀𝑖𝑗) dengan 𝑀𝑖𝑗 adalah submatriks hasil ekspansi baris atau ekspansi kolom dari suatu matriks.
- 5. Metode untuk mencari matriks Invers Matriks Orde 2 x 2 Jika 𝐴 = 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 Maka 𝐴−1 = 1 det(𝐴) 𝑑 −𝑏 −𝑐 𝑎 ; 𝑠𝑦𝑎𝑟𝑎𝑡 det 𝐴 ≠ 0 Contoh : 𝐴 = 1 −2 3 4 𝐴−1 = 1 𝐴 4 2 −3 1 = − 1 2 4 2 −3 1 = −2 −1 3 2 − 1 2
- 6. Metode Untuk Matriks Invers Matriks Orde 3 x 3 Jika 𝐵 = 𝑝 𝑞 𝑟 𝑠 𝑡 𝑢 𝑣 𝑤 𝑥 Maka 𝐵−1 = 1 det(𝐵) 𝑎𝑑𝑗 𝐵 ; 𝑠𝑦𝑎𝑟𝑎𝑡 det(𝐵) ≠ 0 Adj B adalah adjoin matriks B yang merupakan transpose dari kofaktor-kofaktor matriks tersebut dan dilambangkan dengan Adj B = (𝑘𝑖𝑗)𝑡 . (𝑘𝑖𝑗) merupakan kofaktor suatu elemen baris ke-i dan kolom ke-j dari matriks B serta dilambangkan dengan 𝑘𝑖𝑗 = (−1)𝑖+𝑗 |𝑀𝑖𝑗| = −1 𝑖+𝑗 det(𝑀𝑖𝑗) dengan 𝑀𝑖𝑗 adalah submatriks hasil ekspansi baris atau ekspansi kolom dari suatu matriks.
- 7. Sifat-Sifat Invers Matriks Sifat 1) Jika A dan B non singular atau invertibel, maka :(A.B)-1= B-1. A-1 2) A matriks bujur sangkar maka : 𝐴𝑛 = 𝐴. 𝐴. 𝐴, … 𝐴 → 𝑛𝑓𝑎𝑘𝑡𝑜𝑟 3) 𝐴0 = 1 4) 𝐴−1 = (𝐴−1 )𝑛 = 𝐴−1 𝐴−1 𝐴−1 𝑛 𝑓𝑎𝑘𝑡𝑜𝑟 5) (𝐴−1 )−1 = 𝐴 6) 𝑃 − 𝐴 −1 = 𝑃−1 . 𝐴−2 = 1 𝑃𝐴−1 Contoh 𝐴 = 1 2 3 4 𝐴−1 = ⋯ ? 𝐴. 𝐴−1 = 1 • Misalkan 𝐴−1 = 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 → 1 2 3 4 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 − 1 0 0 1 𝑎 + 2𝑐 = 1 𝑏 + 2𝑑 3𝑎 + 4𝑐 3𝑏 + 4𝑑 = 1 0 0 1 𝑎 + 2𝑐 = 1 𝑏 + 2𝑑 = 0 3𝑎 + 4𝑐 = 0 3𝑏 + 4𝑑 = 1
- 8. Metode Eliminasi Gauss Jordan • Metode eliminasi Gauss-Jordan dan metode eliminasi Gauss memiliki jumlah operasi yang sama. • Tidak sulit untuk mengetahui mengapa demikian halnya. Kedua metode dimulai dengan mereduksi matriks yang diperbesar (agmented matrix) menjadi bentuk eselon baris. • Hal ini disebut sebagai fasa maju (forward phase) atau alur maju (forward pass). • Kemudian solusinya diselesaikan dengan cara substitusi balik pada metode eliminasi Gauss dan dengan reduksi yang berlanjut hingga mencapai bentuk eselon baris tereduksi pada metode eliminasi Gauss-Jordan. Proses ini disebut sebagai fasa mundur (backward phase) atau alur mundur (backward pass).
- 9. Aplikasi Untuk Mencari Invers Jika eliminasi Gauss-Jordan diterapkan dalam matriks persegi, metode tersebut dapat digunakan untuk menghitung invers dari matriks. Eliminasi Gauss-Jordan hanya dapat dilakukan dengan menambahkan dengan matriks identitas dengan dimensi yang sama, dan melalui operasi-operasi matriks: 𝐴𝐼 → 𝐴−1 𝐴𝐼 → 𝐼𝐴−1 Keterangan : A = matriks I = matriks identitas 𝐴−1 = invers matriks Dimana matriks identitasnya adalah 𝐼 = 1 0 0 0 1 0 0 0 1
- 10. Contoh • matriks persegi yang diberikan 𝐴 = 2 − 1 0 −1 2 − 1 0 − 1 2 • Kemudian, ditambahkan dengan matriks identitas 𝐴𝐼 = 2 − 1 0 1 0 0 −1 2 − 1 0 1 0 0 − 1 2 0 0 1 Dengan melakukan operasi baris dasar pada matriks [AI] sampai A menjadi matriks identitas, maka didapatkan hasil akhir 𝐼 = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 𝐴−1 = 3 4 1 2 1 4 1 2 1 1 2 1 4 1 2 3 4
- 11. Prosedur umum untuk metode eliminasi Gauss - Jordan 1. Ubah sistem persamaan linear yang ingin dihitung menjadi matriks augmentasi (perluasan matriks). • Dari sistem persamaan linear : 𝑎12𝑥1 + 𝑎12𝑥2+. . . +𝑎12𝑥𝑛 = 𝑏1 𝑎21𝑥2 + 𝑎22𝑥2+. . . +𝑎2𝑛𝑥𝑛 = 𝑏2 𝑎𝑚1𝑥2 + 𝑎𝑚2𝑥2+. . . +𝑎𝑚𝑛𝑥𝑛 = 𝑏𝑚 • Menjadi matriks augmentasi : 𝑎12 𝑎12 … 𝑎1𝑛 𝑏1 𝑎21 𝑎22 … 𝑎2𝑛 𝑏1 𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 … 𝑎𝑚𝑛 𝑏𝑚 2. Lakukan operasi berbasis elementer pada matriks augmentasi 𝐴 𝑏 untuk mengubah matriks A menjadi dalam bentuk basis eselon yang tereduksi. Proses mereduksi baris di dalam matriks yang diperbesar yang bersesuaian dengan pengerjaan pada sistem persamaan disebut operasi basis elementer, yaitu : a. Kalikan sebuah baris dengan konstanta tertentu yang tidak sama dengan nol. b. Pertukaran dua baris c. Tambahkan kelipatan suatu baris kepada baris yang lain.
- 12. Kesimpulan • Matriks dapat diartikan sebagai susunan bilangan-bilangan (real atau kompleks) yang berbentuk persegi panjang dan disusun berdasarkan aturan baris dan kolom dan Metode eliminasi Gauss-Jordan dan metode eliminasi Gauss memiliki jumlah operasi yang sama. • Perkembangan matematika, khususnya integral memberikan kontribusi yang besar kepada bidang ilmu teknik dan sains, salah satu dari kontribusi integral adalah menghitung gaya dan usaha yang dilakukan oleh fluida pada sisi-sisi wadah, apabila bentuk wadah tidak datar maupun wadah yang asimetris atau tidak teratur.