Presentation2

Aljabar LINEAR
UIN jakarta, pendidikan matematika

• DEFINISI
• HASILKALI DALAM (INNER PRODUCT) PADA SEBUAH RUANG VEKTOR REAL V ADALAH
SEBUAH FUNGSI YANG MENGASOSIASIKAN SEBUAH BILANGAN REAL <U, V> DENGAN
SEPASANG VEKTOR U DAN V DI DALAM V SEHINGGA AKSIOMA-AKSIOMA BERIKUT
TERPENUHI BAGI SEMUA VEKTOR U, V, DAN W DI DALAM V DAN SEMUA BILANGAN
SKALAR K.
1. <U, V> = <V, U> (AKSIOMA KESIMETRIAN)
2. <U + V, W> = <U, W> + <V, W> (AKSIOMA PENJUMLAHAN)
3. <KU, V> = K<U, V> (AKSIOMA HOMOGENITAS)
4. <V, V> ≥ 0 DAN <V, V> = 0 JIKA DAN HANYA JIKA V = 0 (AKSIOMA POSITIVITAS)
SEBUAH RUANG VEKTOR REAL YANG MEMILIKI SEBUAH HASILKALI DALAM DISEBUT
RUANG HASILKALI DALAM REAL (REAL INNER PRODUCT SPACE)
HASILKALI DALAM

HASILKALI DALAM
EUCLIDEAN PADA RN
JIKA U = (U₁, U₂, . . . ,UN) DAN V = (V₁, V₂, . . . ,VN)
ADALAH VEKTOR-VEKTOR PADA RN, MAKA RUMUS
<U, V> = U . V = U₁V₁ + U₂V₂ + . . . + UNVN
MENDEFINISIKAN <U, V> SEBAGAI HASILKALI DALAM
EUCLIDEAN PADA RN.
HASILKALI DALAM EUCLIDEAN ADALAH HASILKALI DALAM
TERPENTING PADA RN. TERDAPAT BERAGAM APLIKASI
YANG DAPAT MEMODIFIKASI RUANG HASILKALI DALAM
EULIDEAN DENGAN MEMBERI NILAI BOBOT YANG BERBEDA
PADA SUKU-SUKUNYA.

JIKA W₁, W₂, . . . , WN ADALAH BILANGAN
REAL POSITIF DAN AKAN KITA SEBUT
SEBAGAI NILAI BOBOT (WEIGHT), DAN JIKA
U = (U₁, U₂, . . . ,UN) DAN V = (V₁, V₂, . . .
,VN) ADALAH VEKTOR-VEKTOR PADA RN,
MAKA RUMUS
<U, V> = W₁U₁V₁ + W₂U₂V₂ + . . .
+WNUNVN
MENDEFINISIKAN SEBUAH HASILKALI
DALAM PADA RN; HASILKALI DALAM INI
DISEBUT SEBAGAI HASILKALI DALAM
EUCLIDEAN BERBOBOT DENGAN NILAI-
NILAI BOBOT W₁, W₂, . . . , WN

HASILKALI DALAM
EUCLIDEAN BERBOBOTMISALKAN U =(U₁, U₂) DAN V = (V₁, V₂) ADALAH VEKTOR-VEKTOR R². BUKTIKAN
BAHWA HASILKALI DALAM EUCLIDEAN BERBOBOT
<U, V> = 3U₁V₁ + 2U₂V₂
MEMENUHI KEEMPAT AKSIOMA HASILKALI DALAM.
• <U, V> = <V, U>
• JIKA W = (W₁, W₂), MAKA
<U + V, W> = 3(U₁V₁)W₁ + 2(U₂V₂)W₂
= (3U₁W₁ + 2U₂W₂) + (3V₁W₁ + 2V₂W₂)
= <U, W> + <V, W>
• <KU, V> = 3(KU₁)V₁ + 2(KU₂)V₂ = K(3U₁V₁ + 2U₂V₂) = K<U, V>
• <V, V> = 3V₁V₁ + 2V₂V₂ = 3V₁² + 2V₂²
JELASLAH <V, V> = 3V₁² + 2V₂² ≥ 0 DAN <V, V> = 3V₁² + 2V₂² = 0 JIKA DAN
HANYA JIKA V = (V₁, V₂) = 0

PANJANG DAN JARAK DI
DALAM RUANG HASILKALI
DALAM
DEFINISI
JIKA V ADALAH SEBUAH RUANG HASILKALI DALAM, MAKA
NORMA (NORM) ATAU PANJANG (LENGTH) SEBUAH VEKTOR U DI
DALAM V DINOTASIKAN DENGAN ǁUǁ DAN DIDEFINISIKAN
SEBAGAI
ǁUǁ = <U, U>½
JARAK (DISTANCE) ANTARA DUA BUAH TITIK
(VEKTOR) U DAN V DINOTASIKAN DENGAN D(U,
V) DAN DIDEFINISIKAN SEBAGAI
D(U, V) = ǁU - Vǁ

NORMA DAN JARAK
PADA RN
JIKA U = (U₁, U₂, . . . ,UN) DAN V = (V₁, V₂, . . . ,VN) ADALAH
VEKTOR-VEKTOR PADA RN YANG MEMILIKI HASILKALI
DALAM EUCLIDEAN, MAKA
ǁUǁ = <U, U>½ = (U . U)½ = √U₁² + U₂² + . . . UN²
DAN
D(U, V) = ǁU - Vǁ = <U - V, V - U>½ = [U - V) .(U
- V)]½
=√(U₁ - V₁)² + (U₂ - V₂)² + . . . (UN -
VN)²

MENGGUNAKAN HASILKALI
DALAM EUCLIDEAN
BERBOBOT
CONTOH:
U = (1, 0) DAN V = (0, 1) PADA R² YANG MEMILIKI
HASILKALI DALAM EUCLIDEAN, MAKA
ǁUǁ =√1² + 0² = 1
D(U, V) = ǁU - Vǁ = √ǁ(1, -1)ǁ = √1² + (-1)² = √2

JIKA KITA MENGUBAH HASILKALI DALAMNYA
MENJADI HASILKALI DALAM EUCLIDEAN
BERBOBOT
<U, V> = 3U₁V₁ + 2U₂V₂
MAKA AKAN KITA PEROLEH
ǁUǁ =<U, U>½ =[3(1)(1) 2(0)(0)] ½ =√ 3
D(U, V) = ǁU - Vǁ = <(1, -1), (1, -1)>½
= [3(1)(1) + 2(-1)(-1)] ½ = √5

Lingkaran dan Bola Satuan di dalam
Ruang Hasilkali Dalam

Contoh 5 Lingkaran satuan yang tidak biasa di
dalam 𝑅2
jika 𝑢, 𝑣 = 1
9
𝑢1 𝑣1 + 1
4
𝑢2 𝑣2. Sketsalah lingkaran satuan pada sebuah sistem koordinat xy di
dalam 𝑅2 x
2
3
y
-
-

Hasilkali Dalam yang Dihasilkan oleh Matriks
Misalkan:
𝑢 =
𝑢1
𝑢2
⋮
𝑢 𝑛
dan 𝑣 =
𝑣1
𝑣2
⋮
𝑣 𝑛
Jika A adalah sebuah matriks n x n yang dapat dibalik (invertible) dan u . v adalah hasilkali dalam
Euclidean pada 𝑅 𝑛, maka:

Pada persamaan (7) pada subbab 4.1 berbunyi
Maka (3) dapat dituliskan
Atau:
𝑢, 𝑣 = 𝐴𝑢 . 𝐴𝑣............(3)
𝑢 . 𝑣 = 𝑣 𝑇
𝑢
𝑢, 𝑣 = 𝑣 𝑇
𝐴 𝑇
Au

Contoh 6 hasil kali dalam yang dihasilkan
oleh matriks identitas
Dengan mensubstitusikan A=I pada (3) maka:
𝑢, 𝑣 = 𝐼𝑢 . 𝐼𝑣 = u . 𝑣
𝑢, 𝑣 = 3 𝑢1 𝑣1 + 2 𝑢2 𝑣2, yang telah kita diskusikan pada contoh 2 adalah hasilkali dalam oleh A =
3 0
0 2
Substitusi pada (4)

𝑢, 𝑣 = 𝑣1 𝑣2
3 0
0 2
3 0
0 2
𝑢1
𝑢2
= 𝑣1 𝑣2
3 0
0 2
𝑢1
𝑢2
= 3 𝑢1 𝑣1 + 2 𝑢2 𝑣2
Secara umum, hasilkali dalam Euclidean berbobot
𝑢, 𝑣 = 𝑤1 𝑢1 𝑣1 + 𝑤2 𝑢2 𝑣2 + ⋯ + 𝑤 𝑛 𝑢 𝑛 𝑣 𝑛

Contoh 7 hasilkali dalam pada 𝑀22
⟨𝑈, 𝑉⟩ = tr(𝑈 𝑇 𝑉) = 𝑡𝑟 𝑉 𝑇 𝑈 = 𝑢1 𝑣1 + 𝑢2 𝑣2 + 𝑢3 𝑣3 + 𝑢4 𝑣4
U =
1 2
3 4
dan V =
−1 0
3 2
Maka:
⟨U,V⟩ = 1(-1)+2(0)+3(3)+4(2)=16
Norma dari matriks U relatif:
𝑈 = ⟨𝑈, 𝑈⟩
1
2 = u1
2 + u2
2 + u3
2 + u4
2
Bola satuan di dalam ruang ini terdiri dari semua matriks yang memenuhi 𝑈 = 1 dan
bila dikuadratkan
𝑢1
2 + 𝑢2
2 + 𝑢3
2 + 𝑢4
2 = 1

Contoh 8 hasilkali dalam 𝑃2
Jika:
p = 𝑎0 + 𝑎1 𝑥 + 𝑎2 𝑥2dan q = 𝑏0 + 𝑏1 𝑥 + 𝑎2 𝑏2
Maka:
𝑝, 𝑞 = 𝑎0 𝑏0 + 𝑎1 𝑏1 + 𝑎2 𝑏2
Norma dari polinomial p relatif
𝑝 = ⟨𝑝, 𝑝⟩
1
2 = a0
2 + a1
2 + a2
2
Bola satuan pada ruang ini terdiri dari semua polinomial p pada 𝑃2 yang
memenuhi 𝑝 = 1 dan bila dikuadratkan
𝑎0
2 + 𝑎1
2 + 𝑎2
2 = 1

Contoh 9 hasilkali dalam pada C 𝑎, 𝑏
𝑓, 𝑔 =
𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 𝑑𝑥
𝑓, 𝑔 =
𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 =
𝑎
𝑏
𝑔 𝑥 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑔, 𝑓 𝑎𝑘𝑠𝑖𝑜𝑚𝑎 1
𝑓, 𝑔 =
𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 =
𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 𝑠 𝑥 𝑑𝑥 +
𝑎
𝑏
𝑔 𝑥 𝑠 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑓, 𝑠 + 𝑔, 𝑠 𝑎𝑘𝑠𝑖𝑜𝑚𝑎 2
𝑘𝑓, 𝑔 = 𝑎
𝑏
𝑘𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 = k 𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 𝑑𝑎𝑥 = 𝑘⟨𝑓, 𝑔⟩ aksioma 3
𝑓, 𝑓 =
𝑎
𝑏
𝑓2 𝑥 𝑑𝑥 ≥ 0 𝑎𝑘𝑠𝑖𝑜𝑚𝑎 4

Norma sebuah vektor pada C 𝑎, 𝑏
Bola satuan dalam ruang ini: 𝑎
𝑏
𝑓2 𝑥 𝑑𝑥 = 1
𝑓 = ⟨𝑓, 𝑓⟩
1
2= 𝑎
𝑏
𝑓2 𝑥 𝑑𝑥........(7)
𝐿 = 𝑎
𝑏
1 + [𝑓′
]2 𝑑𝑥...........(8)

Teorema 6.1.1 sifat hasilkali dalam

Contoh 11 menghitung dengan hasilkali
dalam

Ketidaksamaan Cauchy-Schwarz
vu
vu.
cos 
vu
vu,
cos 
1cos 
1
,

vu
vu
vuvu ,





 32
RdanRpada
(Pada Ruang Hasilkali Dalam)
#Prolog…

“Ketidaksamaan Cauchy-Schwarz”
Jika u dan v adalah vektor-vektor di dalam sebuah ruang hasilkali dalam real,
maka :
Teorema 6.2.1
vuvu ,

Pembuktian :
Asumsikan bahwa dan
Misalkan dan t adalah sebuah bilangan real
sebarang
Berdasarkan teorema positivitas, hasilkali dalam suatu vektor dengan
dirinya sendiri akan selalu memberikan hasil taknegatif, sehingga :
Ketidaksamaan ini mengimplikasikan bahwa polinomial pangkat dua
Tidak memiliki akar-akar real atau akar real kembar.
Maka
0u
vvcvubuua ,,2, 
cbtat
vvtvutuu
vtuvtu



2
2
0
,,2,0
,0
cbtat 2
042
 acb
0,,4,4
2
 vvuuvu
vvuuvu ,,,
2

vuvu
vvuuvu


,
,,, 2
1
2
1

Bentuk Alternatif ketidaksamaan Cauchy-Schwarz
vvuuvu ,,,
2

222
, vuvu 
65
vuvu ,
#Reminder. Bentuk Utama ::

Teorema 6.2.2
“Sifat-Sifat Panjang”
Jika u dan v adalah vektor-vektor di dalam sebuah ruang hasilkali dalam V, dan
jika k adalah skalar sebarang, maka:
)()(
)(
00)(
0)(
segitigaaanketidaksamvuvud
ukkuc
uub
ua





Teorema 6.2.3
“Sifat-Sifat Jarak”
Jika u , v dan w adalah vektor-vektor di dalam sebuah ruang hasilkali dalam V,
dan jika k adalah skalar sebarang, maka:
 
 
   
      )(,,,)(
,,)(
0,)(
0,)(
segitigaaanketidaksamvwdwudvudd
uvdvudc
vuvudb
vuda





“Pembuktian teorema 6.2.2 bagian d”
)( segitigaaanketidaksamvuvu 
 
vuvu
vuvu
vvuuvu
vvvuuuvu
vvvuuuvu
vvvuuuvu
vuvuvu







22
222
2
2
2
2
2
,2,
,,2,
,,2,
,
Sifat nilai absolut
Berdasarkan teorema
6.2.1

222
, vuvu Rumus 6 :
1
,
2









vu
vu
kedua sisi
dibagi dengan
22
vu
1
,
1 
vu
vu
Ekuivalen
dengan :
Sudut diantara vektor-vektor
di dalam ruang hasil kali dalam umum

Jika adalah sebuah sudut yang ukuran radiannya
bervariasi dari 0 sampai
Maka akan memiliki nilai yang terletak
diantara -1 dan 1 dimana nilai-nilai tersebut muncul
tepat satu kali
(dapat dilihat di grafik)


cos

Dengan demikian dari persamaan :
Akan terdapat sebuah sudut yang unik sedemikian rupa
sehingga :
dan
1
,
1 
vu
vu

vu
vu,
cos 
0
didefinisikan sebagai sudut di antara u dan v

Contoh 2
Misalkan memiliki hasil kali dalam euclidian, tentukan
cosinus sudut diantara vektor-vektor u = (1, 0, 1,0) dan
v = (-3,-3,-3,-3)
Jawab :
Maka :
4
R
6)3)(0()3)(1()3)(0()3)(1(, vu
6)3()3()3()3(
20101
2222
2222


v
u
vu
vu,
cos  2
2
1
2
1
)6)(2(
6




Ortogonalitas
Definisi
Dua vektor u dan v di dalam sebuah ruang hasil
kali dalam dikatakan ortogonal jika 0, vu
2 vektor saling ortogonal = sudut diantara keduanya 2


CONTOH
((VEKTOR-VEKTOR ORTOGONAL PADA ))
Misalkan
Manakah diantara matriks-matriks berikut
ini yang ortogonal terhadap A?
22M








31
12
A







20
03
B 






25
12
C

JAWAB
 Syarat Ortogonal ::
A dan B ortogonal
A dan C tidak ortogonal
0, vu
0)2(3)0)(1()0(1)3(2, BA
6)2(3)5)(1()1(1)2(2, CA

CONTOH 2
((VEKTOR-VEKTOR ORTOGONAL PADA ))
Misalkan memiliki hasil kali dalam
Dan misalkan p = x q =
Maka ::
2P2P


1
1
)()(, dxxqxpqp
2
x
  

1
1
1
1
32
0, dxxdxxxqp
Karena
Vektor-vektor p = x dan q=
Adalah ortogonal relatif terhadap hasilkali dalam yang
diberikan
0, qp
2
x

Teorema 6.2.4
“Generalisasi Teorema Pythagoras”
Jika u dan v adalah vektor-vektor ortogonal di
dalam sebuah ruang hasilkali dalam , maka
222
vuvu 
Bukti :
Ortogonalitas u dan v mengimplikasikan bahwa
sehingga ::
0, vu
22222
,2, vuvvuuvuvuvu 

CONTOH 5
TEOREMA PHYTAGHORAS PADA
Dalam Contoh 2 kita telah menunjukkan bahwa
vektor-vektor p = x dan q=
Adalah ortogonal relatif terhadap hasilkali
Dalam pada
Dari teorema phytaghoras kita mengetahui
bahwa
maka ::
2p
2
x


1
1
)()(, dxxqxpqp 2p
222
qpqp 

5
2
,
3
2
,
2
1
1
1
42
1
2
1
1
2
2
1
2
1
1
1
22
1
1
1
2
1






















xdxxxqqq
dxxdxxxppp
15
16
5
2
3
2
5
2
3
2
22
2
















 qp

Kita dapat memeriksa kebenaran hasil ini
dengan melakukan integrasi langsung ::
15
16
5
2
0
3
2
2
))((,
4
1
1
32
1
1
222







dxxxx
dxxxxxqpqpqp

8
Definisi
Anggap W adalah suatu subruang dari suatu hasilkali dalam V.
 Jika u ortogonal terhadap setiap vektor dalam W  vektor u dalam V orthogonal
terhadap W; dan
 Himpunan semua vektor dalam V yang ortogonal terhadap W disebut komplemen
ortogonal dari W.

6.2.5 Sifat-sifat komplemen ortogonal
Jika W adalah sebuah subruang dari suatu ruang hasilkali dalam
berdimensi terhingga V, maka :
a) adalah subruang dari V
b) Satu-satunya vektor dimana W dan adalah 0
c) Komplemen ortogonal dari adalah W, yaitu = W.

W 
W

W

)(W
= komplemen sebuah subruang W, dibaca”W tegak lurus”
Karena dan W adalah komplemen orthogonal satu sama lain,
maka dan W adalah komplemen orthogonal.

W

W

W

Kaitan Geometri antara Ruang Nul gengan Ruang Baris
Jika A adalah m x n matrix, maka:
 Ruang Kosong A & Ruang baris A adalah komplemen–komplemen
ortogonal dalam Rn berkenaan dengan Euclidean inner product.
 Ruang Kosong AT & Ruang Kolom A adalah komplemen-komplemen
Ortogonal dalam Rm berkenaan dengan Euclidean inner product.
T
A
O
R
M
E
E 6
.
2
.
6

1 A Dapat dibalik
2 Ax = 0 hanya memiliki satu solusi
3 Bentek eselon baris tereduksi dari A adalah In
4 A dapat dinyatakan sebagai hasilkali dari matriks-
matriks elementer
5 Ax = b konsisten untuk setiap matriks b, n x 1
6 Ax = b memiliki tepat satu solusi untuk setiap matriks
b, n x 1
7 Det(A) 0
8 Range dari TA adalah Rn
9 TA adalah satu ke satu
10 Vektor-vektor kolom dari A bebas linear
11 Vektor-vektor baris dari A bebas linear
12 Vektor-vektor kolom dari A merentang Rn
13 Vektor-vektor baris dari A merentang Rn
14 Vektor-vektor kolom dari A membentuk basis untuk Rn
15 Vektor-vektor baris dari A membentuk basis untuk Rn
16 A memiliki rank n
17 A memiliki nulitas 0
18 Komplemen ortogonal ruang nul dari A adalah Rn
19 Komplemen ortogonal ruang baris dari A adalah {0}
T e o r e m a 6 . 2 . 7
Jika A adalah sebuah matriks n x n, dan jika TA : Rn  Rn adalah perkalian dengan A, maka pernyataan-pernyataan Berikut
ini adalah ekuivalen.

Presentation2

More Related Content

What's hot (20)

Similar to Presentation2 (20)

Recently uploaded (20)

Presentation2