Master Thesis
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Master Thesis
- 1. 自己相似集合上の グリーン関数の最大値 京都大学大学院 情報学研究科 複雑系科学専攻 応用解析学講座 修士課程 下野寿之
- 2. 自己相似集合上の解析 ディリクレ形式・ラプラシアン ･拡散過程 確率論的アプローチ – 楠岡・ Goldstein 解析的アプローチ (p.c.f. 自己相似集 合) - 木上
- 3. • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • V0 V1 V2 K = U i ≥0 Vi シルピンスキガスケット • p の隣接点 • • Vm, p • • • 赤丸 • p : • • • • 青丸 • : V の元 m, p • • • • • 差分作用素 Vm Vm Lm : ¡ →¡ を ( Lm u )( p ) := ∑ ( u (q) − u ( p) ) q ∈Vm, p 隣接点との差分の和 ▼ Lmは離散的なラプラシアンである
- 4. 電気抵抗回路の構成 2 3 3 5 5 C0 C1 C2 Vm 回路 Cm の Vm の各端子に電圧分布 u ∈ ¡ を 与えると､端子p ∈ Vmから湧出する電流 i p は m m 5 5 ip = 3 ∑ ( u (q) − u ( p) ) = 3 ( Lmu ) ( p) q∈Vm, p
- 5. m 5 Em ( u , v ) := − 3 ∑ u ( p ) g( Lmv ) ( p ) p∈Vm を u , v ∈ Vm に対して定義｡ { ▼ Em ( u , u ) = min Em +1 ( v, v ) ; v |Vm = u } の単調性が成り立つ。 ▼ Em ( u , u ) は電圧分布 u を与えた 回路 Cm の消費電力に等しい。 ( E ( u , u ) := lim Em u |Vm , u |Vm m→∞ ) F := { u ∈ C ( K ) ; E ( u, u ) < ∞ } ▼ ( E, F ) は二次形式。
- 6. ラプラシアン ラプラシアン∆ は 3 m −→ ∆ u 5 Lmu −→ ( m → ∞) 2 で定義される｡ ∆の定義域をD とする。 s ガウス･グリーンの公式 u |V = v |V = 0V であるような 0 0 0 u ∈ F , v ∈ D iに対して - ∫ u ∆v d µ = E ( u , v ) K
- 7. グリーン関数 g ( x, y ) ∃ g : K × K 上の連続関数 s . t . ∆u = f u = 0 ( ポアソン方程式 ) | V0 V0 ⇔ u ( x ) = − ∫ g ( x, y ) f ( y ) d µ y K g をグリーン関数と呼ぶ｡ ▼ g ( x, x ) ≥ g ( x, y ) = g ( y , x ) ≥ 0
- 8. グリーン関数の形状 { g ( x, x) } x∈K
- 9. シルピンスキガスケッ トに座標を与える • p1 = π (1) = π (111...) • K11 K12 K13 • π (231) • • K 212 = π (213) K3 K 222 • • p = π (222..) p 3 = π (333..) 2
- 10. 主要定理 • • • • • • { ξ i } i=1..6:= π {12321,13231,21312, • • • • • • 23132,31213,32123} • • 12321は12 321 321.....を表す。 cma x := 178839 / 902500 = 0.1981595567.. = cma x ( x, y ) ∈ {ξ i , ξ i}i =1..6 g ( x, y ) < cmax ( x, y ) ∈ K × K {ξ i , ξ i}i =1..6 が成り立つ。
- 11. 最大値を与える点 1 • • • • π (12321) π (13231) • • • • π (21312) • • 2 • • π (31213) • π (23132) • • • • π (32123) • 3
- 12. g ( x, x) の意味 g ( x, x) は境界V0の点同士を短絡させたものと x の間の( E, F ) から決まる抵抗になっている。 i.e. u∈F { g ( x, x) = max E ( u, u ) −1 } ; u |V = 0V , u ( x) = 1 0 0 max g ( x, x) を与える x は抵抗距離でV0 から 最も遠い点。 R
- 13. Near Diagonal Formula w w2 gggwm 1 G jk • • := g π ( w1 g g m j ), π ( w1 g g m k ) gw gw w GG wi m ∅ wi wt 3 i G =0V ×V , G = Ai G Ai + B 0 0 5 が成り立つ。 5 0 0 2 2 1 2 1 2 1 1 1 A1 = 2 2 1 , A2 = 0 5 0, A3 = 1 2 2 5 5 5 2 1 2 1 2 2 0 0 5 0 0 0 3 0 1 0 0 0 3 3 3 B1 = 0 3 1 , B2 = 0 0 0 , B3 = 0 3 1 50 50 50 0 1 3 1 0 3 0 1 3
- 14. 補題 −|w| 3 9 (G w − c) < − ⇒ max g ( x, x ) < c 5 20 x∈K w • • {w ; K w ⊆ K 22 ∪ K 21 π (21312)}の ( 含有関係により v Kw ⊆ K ) 極大な各元 wに対して −|w|−10 max 3 v:|v|=10 5 ( G wv − cma x ≤ − jk 9 20 ) が成り立てば主要定理が成り立つ。 主要定理の証明 | w | ≤ 5) 全ての場合を計算(#)。 ∃ { H n } n=1..6 : −10 max 3 v:|v|=10 5 ( v H ∀n − cma x ) 9 ≤ − を計算(#)。 20 −|w| 3 | w | ≥ 6) (G w − cma x ) ≤ H ∃n − cma x 5 を証明。 はMapleによる有理数の誤差なしの厳密な計算。 (#)
- 15. 補題 −|w| 3 9 (G w − c) < − ⇒ max g ( x, x ) < c 5 20 x∈K w • • {w ; K w ⊆ K 22 ∪ K 21 π (21312)}の ( 含有関係により v Kw ⊆ K ) 極大な各元 w に対して −|w|−10 max 3 v:|v|=10 5 ( G wv − cma x ≤ − jk 9 20 ) が成り立てば主要定理が成り立つ。 主要定理の証明 | w | ≤ 5) 全ての場合を計算(#)。 ∃ 9 { H n } n=1..6 : max v H ∀n ≤ − を計算(#)。 v:|v|=10 20 −|w| 3 | w | ≥ 6) (G w − cma x ) ≤ H ∃n 5 を証明。 はMapleによる有理数の誤差なしの厳密な計算。 (#)
Editor's Notes
- #2: 私下野寿之の修士論文の発表をはじめます。 本研究は､自己相似集合のグリーン関数の最大値に関するもので､ 特にシルピンスキガスケットの話をいたします。 この内容は、ある別の論文で､最大値及び最大値を与える点について、 予想として記載されていたのですが､それを 私が証明をいたしました。 シルピンスキガスケットは、このスライドの右の図のように､ 正三角形から半分の大きさの逆三角形を再帰的にくり抜いてできる図形です。
- #4: 差分を定義するために､図のように V_0 , V_1, V_2 ,.. を定義します。 そして、このときにある点 p の V_m の近傍をスライドの真中のように定義します。 赤い点に隣接する点とは､一本の辺で直接つながっている青い４点です。 もし赤い点が V_0 のような点であれば､その隣接点は 2 点ということになります。 このときに、差分作用素 Ｌ＿ｍ をスライドのように定義します。 これは点の周りがどれだけ持ち上がっているかを見る量になります。 ( 前のスライドに戻って ) このように差分作用素 L ＿ｍを用いると、 シルピンスキガスケットの場合は 定数に 5 のスケーリングをかけて、ラプラシアンが定義できます。
- #8: シルピンスキガスケット上のグリーン関数は、 ラプラシアンを定義したときにスライドのような ポアソン方程式の解を書き表すときに 積分核として現れます。 ポアソン方程式を考えるために､ ラプラシアンを定義する必要がありますが､ これは差分のスケーリング極限として定義します。
- #10: ちょっとここで､シルピンスキガスケットの上の点を 表す方法について言及しておきます。 K_1, K_2,K_3 はこれです。
- #12: では、最大値を与える点はどこであるかですけれど､ それは、図の赤い点で書かれたような６点です。 この６点は、 120 度回転や線対称変換で移りあうような点です。 ひとつ､注意したいのは、グリーン関数は ２変数関数ですので、 最大値を与える点というのは（ｘ，ｙ）で与えられますが､ 必ず､対角線にある点 (x,x) での値が (x,y) での値より大きいということが 知られているので､対角線上の関数として考えたらいいのです。 また、このシルピンスキガスケットでのグリーン関数は、 有界で連続であるという性質を持っています。