University CodeSprint 4 - Magic value

University CodeSprint 4
Magic Value
@satanic0258

問題概要
• 配列𝐵 = [𝐵1, 𝐵2, … , 𝐵 𝑚]に対して，
◦𝑣 𝑖, 𝑗 ∶= 𝑖 ⋅ gcd 𝐵𝑖, 𝐵𝑖+1, … , 𝐵𝑗 , 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚
◦𝑣 𝑚𝑎𝑥 ∶= max
1≤𝑖≤𝑗≤𝑚
{𝑣 𝑖, 𝑗 }
◦𝑣 𝑚𝑖𝑛 ∶= min
1≤𝑖≤𝑗≤𝑚
{𝑣 𝑖, 𝑗 }
としたとき， 𝑣 𝑚𝑎𝑥 − 𝑣 𝑚𝑖𝑛 ⋅ 𝑚を𝐵のmagic valueと定義する．
• 長さ𝑛の配列𝐴 = [𝐴1, 𝐴2, … , 𝐴 𝑛]が与えられたとき，
𝐴のすべての連続部分列のmagic valueの和を求めなさい．
Magic Value 2

制約
• 満点
◦1 ≤ 𝑛 ≤ 2 × 105
◦0 ≤ 𝐴𝑖 ≤ 109
• 部分点(40%)
◦1 ≤ 𝑛 ≤ 4000
Magic Value 3

観察 – 最大公約数について(1/2)
• ある整数𝑎 (𝑎 ≥ 1)に対して，
どんな整数𝑏 (𝑏 ≥ 0)に対しても𝑎 ≥ gcd(𝑎, 𝑏)となります．
• 3個以上の整数𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, … の最大公約数𝑔は，
𝑔 = 𝑎1
𝑔 = gcd(𝑔, 𝑎2)
𝑔 = gcd(𝑔, 𝑎3)
⋮
として得られます．
Magic Value 4

観察 – 最大公約数について(2/2)
• このことから，gcdを取る区間の長さを大きくすると
gcdの値は変わらないか小さくなることがわかります．
• 従って，ある長さ𝑚の配列𝐵に対して，
◦𝑣 𝑚𝑎𝑥は長さ1の区間，すなわち，𝑣 𝑚𝑎𝑥 = max
1≤𝑖≤𝑚
{𝑣 𝑖, 𝑖 } = max
1≤𝑖≤𝑚
{𝑖 ⋅ 𝐵𝑖}
◦𝑣 𝑚𝑖𝑛は長さ𝑚の区間，すなわち，𝑣 𝑚𝑖𝑛 = 𝑣 1, 𝑚 = gcd 𝐵1, … , 𝐵 𝑚
となります．
◦ただし，𝐵に0が含まれるとき𝑣 𝑚𝑖𝑛 = gcd 0 = 0が最も小さいです．
Magic Value 5

部分点解法－𝑂 𝑛2
log max 𝐴
• 以上より，次のようにして部分点を得ることが出来ます．
(MODを取る部分は省略)
Magic Value 6
for l in [1, n]:
int g := A[l]; // 最大公約数
int max := A[l]; // 最大値
bool has0 := false; // 見ている区間に0が含まれているか
for r in [l, n]: // 区間[l,r]について
if(A[r] == 0) has0 := true;
if(max < A[r]) max := A[r];
g := gcd(g, A[r]); // ここの計算量はO(log(max(A)))
if(has0) g := 0; // 区間に0があればgcdを0にする
ans += (max - g) * (r - l + 1);

満点解法への準備(1/2)
• 以上のコードは𝑂(𝑛2
log max 𝐴 )時間かかるため，
満点は得られません(gcd操作は𝑂(log max 𝐴 時間)．
• そこで満点解法への準備として，次を定義します．
◦𝑣 𝑚𝑎𝑥 𝑖, 𝑗 ∶= 配列[𝐴𝑖, … , 𝐴𝑗]に対する𝑣 𝑚𝑎𝑥
◦𝑣 𝑚𝑖𝑛 𝑖, 𝑗 ∶= 配列[𝐴𝑖, … , 𝐴𝑗]に対する𝑣 𝑚𝑖𝑛
• このとき，答え𝑎𝑛𝑠は
𝑎𝑛𝑠 = σ1≤𝑖≤𝑗≤𝑛 𝑣 𝑚𝑎𝑥(𝑖, 𝑗) − 𝑣 𝑚𝑖𝑛(𝑖, 𝑗) ⋅ 𝑗 − 𝑖 + 1
となります．
(( 𝑗 − 𝑖 + 1 )は区間[𝑖, 𝑗]の長さ)
Magic Value 7

満点解法への準備(2/2)
• ここで，
𝑎𝑛𝑠 𝑚𝑎𝑥 ∶= σ1≤𝑖≤𝑗≤𝑛 𝑣 𝑚𝑎𝑥(𝑖, 𝑗) ⋅ 𝑗 − 𝑖 + 1
𝑎𝑛𝑠 𝑚𝑖𝑛 ∶= σ1≤𝑖≤𝑗≤𝑛 𝑣 𝑚𝑖𝑛(𝑖, 𝑗) ⋅ 𝑗 − 𝑖 + 1
とすると，
𝑎𝑛𝑠 = 𝑎𝑛𝑠 𝑚𝑎𝑥 − 𝑎𝑛𝑠 𝑚𝑖𝑛
として答えを求めることが出来ます．
• 以下，𝑎𝑛𝑠 𝑚𝑎𝑥, 𝑎𝑛𝑠 𝑚𝑖𝑛をそれぞれ求める方法を述べていきます.
◦𝑎𝑛𝑠 𝑚𝑎𝑥 → 9ページ, 𝑎𝑛𝑠 𝑚𝑖𝑛 → 48ページ
Magic Value 8

満点解法－𝑎𝑛𝑠 𝑚𝑎𝑥(01/37)－整理
• 定義から，
𝑎𝑛𝑠 𝑚𝑎𝑥 = σ1≤𝑖≤𝑗≤𝑛 𝑣 𝑚𝑎𝑥(𝑖, 𝑗) ⋅ 𝑗 − 𝑖 + 1
でした．
• ここで，定義より𝑣 𝑚𝑎𝑥 𝑖, 𝑗 = max
𝑖≤𝑘≤𝑗
{ 𝑘 − 𝑖 + 1 ⋅ 𝐴 𝑘}ですが，
◦𝑘 < 𝑖のとき， 𝑘 − 𝑖 + 1 ⋅ 𝐴 𝑘 ≤ 0
◦𝑘 ≥ 𝑖のとき， 𝑘 − 𝑖 + 1 ⋅ 𝐴 𝑘 ≥ 0
より， 𝑣 𝑚𝑎𝑥 𝑖, 𝑗 = max
1≤𝑘≤𝑗
{ 𝑘 − 𝑖 + 1 ⋅ 𝐴 𝑘}としても良いことが
わかります．
Magic Value 9

• よって，右端𝑗を固定して左端𝑖を動かし和を取ると，
𝑎𝑛𝑠 𝑚𝑎𝑥 = ෍
𝑗=1
𝑛
෍
𝑖=1
𝑗
max
1≤𝑘≤𝑗
𝑘 − 𝑖 + 1 ⋅ 𝐴 𝑘 ⋅ 𝑗 − 𝑖 + 1
となります．
Magic Value 10

• ところで，maxの中身 𝑘 − 𝑖 + 1 ⋅ 𝐴 𝑘を式変形すると，
−𝐴 𝑘 𝑖 + 𝑘 + 1 𝐴 𝑘となります．
• これを見ると，𝑖を独立変数とする直線(一次関数)の形と
なっていることがわかります．
Magic Value 11

• ところで，maxの中身 𝑘 − 𝑖 + 1 ⋅ 𝐴 𝑘を式変形すると，
−𝐴 𝑘 𝑖 + 𝑘 + 1 𝐴 𝑘となります．
• これを見ると，𝑖を独立変数とする直線(一次関数)の形と
なっていることがわかります．
• 従って，このmaxを言い換えると
「𝑗本の直線𝐿 𝑘 𝑥 = −𝐴 𝑘 𝑥 + 𝑘 + 1 𝐴 𝑘 (1 ≤ 𝑘 ≤ 𝑗)の中で
𝑥 = 𝑖のときに直線が取る値の最大値」
となります．
Magic Value 12

• 今，求めたい𝑎𝑛𝑠 𝑚𝑎𝑥は
𝑗=1
𝑛
෍
𝑖=1
𝑗
max
1≤𝑘≤𝑗
𝑘 − 𝑖 + 1 ⋅ 𝐴 𝑘 ⋅ 𝑗 − 𝑖 + 1
であったので，𝑗を増やす度に直線𝐿𝑗 𝑥 = −𝐴𝑗 𝑥 + 𝑗 + 1 𝐴𝑗を
追加し，1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑗なる𝑖について和を求めればよいです．
Magic Value 13

• 今，求めたい𝑎𝑛𝑠 𝑚𝑎𝑥は
𝑗=1
𝑛
෍
𝑖=1
𝑗
max
1≤𝑘≤𝑗
𝑘 − 𝑖 + 1 ⋅ 𝐴 𝑘 ⋅ 𝑗 − 𝑖 + 1
であったので，𝑗を増やす度に直線𝐿𝑗 𝑥 = −𝐴𝑗 𝑥 + 𝑗 + 1 𝐴𝑗を
追加し，1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑗なる𝑖について和を求めればよいです．
• これは例えばConvex-Hull Trickで解くことが出来ますが，
各𝑗について全ての𝑖を調べていると結局𝑂(𝑛2
)時間かかります．
(最大値取得に𝑓(𝑛)時間かかれば𝑂(𝑛2 𝑓 𝑛 )時間)
Magic Value 14

• ここで，直線を𝑗本追加したあとについて，
𝑔𝑒𝑡 𝑖 ≔ max
1≤𝑘≤𝑗
𝑘 − 𝑖 + 1 ⋅ 𝐴 𝑘 とし，
𝑗=1
𝑛
෍
𝑖=1
𝑗
𝑔𝑒𝑡 𝑖 ⋅ 𝑗 − 𝑖 + 1
= ෍
𝑗=1
𝑛
෍
𝑖=1
𝑗
𝑔𝑒𝑡 𝑖 ⋅ 𝑗 + 1 − 𝑔𝑒𝑡 𝑖 ⋅ 𝑖
= ෍
𝑗=1
𝑛
෍
𝑖=1
𝑗
𝑔𝑒𝑡 𝑖 ⋅ 𝑗 + 1 − ෍
𝑖=1
𝑗
𝑔𝑒𝑡 𝑖 ⋅ 𝑖
と変形し，
Magic Value 15

• 次のクエリを処理するデータ構造𝐷を考えます:
◦𝑎𝑑𝑑𝐿𝑖𝑛𝑒 𝑎, 𝑏 : 直線𝐿 𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝑏を追加する
◦𝑆0 𝑖, 𝑗 : σ 𝑘=𝑖
𝑗
𝑔𝑒𝑡 𝑘 の値を取得する
◦𝑆1 𝑖, 𝑗 : σ 𝑘=𝑖
𝑗
(𝑔𝑒𝑡 𝑘 ⋅ 𝑘)の値を取得する
• このとき，𝑎𝑛𝑠 𝑚𝑎𝑥は次のように求められます:
• このときの計算量は，各クエリの計算量がそれぞれ
𝑂 𝑓 𝑛 , 𝑂 𝑔 𝑛 , 𝑂 ℎ 𝑛 であれば𝑂 𝑛 𝑓 𝑛 + 𝑔 𝑛 + ℎ 𝑛 です．
Magic Value 16
for j in [1, n]:
D.addLine(-A[j], (j+1)*A[j]); // 直線L_j(x)を追加する
ans_max += D.S0(1,j)*(j+1) – D.S1(1,j);

満点解法－𝑎𝑛𝑠 𝑚𝑎𝑥(07/37)－𝐷の実現方法
• この𝐷は，遅延評価Segment Treeを用いて
各クエリを𝑂(log 𝑛)で実現することができます．
◦遅延評価Segment Treeについては省略
• 以降，この実現方法について述べていきます．
Magic Value 17

• 𝑆0(𝑖, 𝑗)クエリ，𝑆1(𝑖, 𝑗)クエリについては，
𝑆0 𝑖, 𝑗 = 𝑆0 𝑖, 𝑘 + 𝑆0 𝑘 + 1, 𝑗
𝑆1 𝑖, 𝑗 = 𝑆1 𝑖, 𝑘 + 𝑆1 𝑘 + 1, 𝑗
が成り立ちます．
• よって，区間[𝑖, 𝑗]にσ 𝑘=𝑖
𝑗
𝑔𝑒𝑡 𝑘 , σ 𝑘=𝑖
𝑗
(𝑔𝑒𝑡 𝑘 ⋅ 𝑘)の値を
乗せることで𝑆0(𝑖, 𝑗)クエリ，𝑆1(𝑖, 𝑗)クエリを𝑂(log 𝑛)で
実現することができます．
Magic Value 18

• あとは𝑎𝑑𝑑𝐿𝑖𝑛𝑒 𝑎, 𝑏 クエリを処理する方法について
考えていきます．
Magic Value 19

• 𝑗本直線を追加した後，直線集合は例えば次のようになります:
Magic Value 20

• ここでmaxをとる部分(以降，凸包と言います)に注目すると，
直線の傾きが非減少，すなわち，下に凸であることがわかります．
Magic Value 21

• このことから，新たな直線を追加したとき，
凸包の更新部分は必ず連続になります．
Magic Value 22

• 従って，この更新部分の両端位置𝑖, 𝑗が分かれば，
区間[𝑖, 𝑗]に対してのみ凸包を更新すればよいことがわかります.
Magic Value 23
𝑖
𝑗

• 遅延セグ木で区間更新を行うとき，
区間に作用素を乗せて，取得クエリ時に評価を行います．
• そのため，区間[𝑖, 𝑗]にその区間内を直線𝐿 𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝑏で
更新することを意味する作用素{𝑎, 𝑏}も乗せます．
(実装によりますが更新が無いことを表すフラグも
別途持つとよい)
Magic Value 24

• さて，更新位置[𝑖, 𝑗]を特定したいですが，
直線を追加したとき，元の凸包と新たな直線との間に
大きく分けて3つの関係があることがわかります．
Magic Value 25
Type 1 Type 2 Type 3

• 更新部分の左側であるType 1は，元の凸包に比べ，
新しい直線の取る値が小さく，傾きは大きいです．
Magic Value 26
値:小
傾き:大

• 更新部分であるType 2は，元の凸包に比べ，
新しい直線の取る値が大きいです(傾きは大小あります)．
Magic Value 27
値:小
傾き:大
値:大

• 更新部分の右側であるType 3は，元の凸包に比べ，
新しい直線の取る値が小さく，傾きも小さいです．
Magic Value 28
値:小
傾き:大
値:大値:小
傾き:小

• また，Type1, Type2, Type3は必ず左からこの順に並びます．
(更新部分が存在しない場合，Type1→Type3と並びます)
Magic Value 29
値:小
傾き:大
値:大値:小
傾き:小

• 以上から，区間[𝑖, 𝑗]に
◦𝑥 = 𝑖において凸包を形作る直線𝐿 𝑥 = 𝑎𝑖 𝑥 + 𝑏𝑖
◦𝑥 = 𝑗において凸包を形作る直線𝐿 𝑥 = 𝑎𝑗 𝑥 + 𝑏𝑗
の情報 𝑎𝑖, 𝑏𝑖 , 𝑎𝑗, 𝑏𝑗 を乗せておき，𝑎𝑑𝑑𝐿𝑖𝑛𝑒クエリを処理する際には
次のルールで遅延セグ木上を遷移すれば𝑂(log 𝑛)で実現できます:
◦𝑥 = 𝑖と𝑥 = 𝑗でのTypeが異なる場合，子ノードへ探索を進める
◦𝑥 = 𝑖と𝑥 = 𝑗でのTypeが同じ場合，そのTypeが1か3なら何もせず，
2ならその区間全体を更新する
Magic Value 30

満点解法－𝑎𝑛𝑠 𝑚𝑎𝑥(21/37)－セグ木探索例
• では，先ほどの例についてセグ木上を探索していく
流れを示します．
Magic Value 31

• Typeが異なるので子ノードを探索する
Magic Value 32
𝑖 𝑗

Magic Value 33
𝑖 𝑗未未

• Typeが同じでそのTypeは1なので何もしない
Magic Value 34
𝑖 𝑗 未未未未

Magic Value 35
𝑖 未未𝑗

Magic Value 36
𝑖 未未未𝑗 未

• Typeが同じでそのTypeは2なので更新する
Magic Value 37
未未𝑖 𝑗

Magic Value 38
更新 𝑖 𝑗

Magic Value 39
更新 𝑖 未𝑗 未

• Typeが同じでそのTypeは2なので更新する
Magic Value 40
更新 𝑖 未未未𝑗 未

Magic Value 41
更新未未更新 𝑖 𝑗

Magic Value 42
更新更新 𝑖 𝑗

• こうして更新部分を特定することが出来ました．
Magic Value 43
更新更新

満点解法－𝑎𝑛𝑠 𝑚𝑎𝑥(34/37)－𝐷のまとめ
• 以上をまとめます．
• 遅延セグ木上の区間[𝑖, 𝑗]に対応するノードには
◦σ 𝑘=𝑖
𝑗
𝑔𝑒𝑡 𝑘 の値
◦σ 𝑘=𝑖
𝑗
(𝑔𝑒𝑡 𝑘 ⋅ 𝑘)の値
◦𝑥 = 𝑖において凸包を形作る直線𝐿 𝑥 = 𝑎𝑖 𝑥 + 𝑏𝑖のパラメータ{𝑎𝑖, 𝑏𝑖}
◦𝑥 = 𝑗において凸包を形作る直線𝐿 𝑥 = 𝑎𝑗 𝑥 + 𝑏𝑗のパラメータ 𝑎𝑗, 𝑏𝑗
◦その区間を直線𝐿 𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝑏で更新することを表す作用素{𝑎, 𝑏}
を乗せます．
Magic Value 44

• 𝑆0(𝑖, 𝑗)クエリ
◦被覆する各区間について， σ 𝑘 𝑔𝑒𝑡 𝑘 の和を答える
• 𝑆1(𝑖, 𝑗)クエリ
◦被覆する各区間について， σ 𝑘 𝑔𝑒𝑡 𝑘 ⋅ 𝑘 の和を答える
• 𝑎𝑑𝑑𝐿𝑖𝑛𝑒(𝑎, 𝑏)クエリ
◦区間[1, 𝑛]の根ノードからはじめ，以下のルールで更新:
▪𝑥 = 𝑖と𝑥 = 𝑗でのTypeが異なる場合，子ノードへ探索を進める
▪𝑥 = 𝑖と𝑥 = 𝑗でのTypeが同じ場合，そのTypeが1か3なら何もせず，
2ならその区間の作用素を更新する
Magic Value 45

• なお，区間[𝑖, 𝑗]に作用素{𝑎, 𝑏}を作用させるときは，
◦σ 𝑘=𝑖
𝑗
𝑔𝑒𝑡 𝑘 = σ 𝑘=𝑖
𝑗
(𝑎𝑘 + 𝑏) = 𝑎 ⋅
𝑗 𝑗+1
2
+ 𝑏𝑗 − 𝑎 ⋅
𝑖−1 𝑖
2
+ 𝑏 𝑖 − 1
◦σ 𝑘=𝑖
𝑗
𝑔𝑒𝑡 𝑘 ⋅ 𝑘 = σ 𝑘=𝑖
𝑗
𝑎𝑘2 + 𝑏𝑘
= 𝑎 ⋅
𝑗 𝑗 + 1 2𝑗 + 1
6
+ 𝑏 ⋅
𝑗 𝑗 + 1
2
− 𝑎 ⋅
𝑖 − 1 𝑖 2𝑖 − 1
6
+ 𝑏 ⋅
𝑖 − 1 𝑖
2
◦ 𝑎𝑖, 𝑏𝑖 = 𝑎, 𝑏
◦ 𝑎𝑗, 𝑏𝑗 = 𝑎, 𝑏
とします．
Magic Value 46

満点解法－𝑎𝑛𝑠 𝑚𝑎𝑥(37/37)－まとめ
• 各クエリの計算量はいずれも𝑂(log 𝑛)です．
• 以上で𝑎𝑛𝑠 𝑚𝑎𝑥を𝑂(𝑛 log 𝑛)で求めることが出来ました．
Magic Value 47

満点解法－𝑎𝑛𝑠 𝑚𝑖𝑛(01/11)－整理
• 定義から，
𝑎𝑛𝑠 𝑚𝑖𝑛 = σ1≤𝑖≤𝑗≤𝑛 𝑣 𝑚𝑖𝑛(𝑖, 𝑗) ⋅ 𝑗 − 𝑖 + 1
でした．
• ここで，区間[𝑖, 𝑗]に𝐴 𝑘 = 0なる𝑘が含まれていた場合，
𝑣 𝑚𝑖𝑛 𝑖, 𝑗 = 0となります．
• 任意の整数に0を足しても値は変わらないため，
0を含む区間については計算する必要がないことがわかります.
Magic Value 48

• よって，与えられた𝐴を0で分割し，
0を含まない各小区間で𝑎𝑛𝑠 𝑚𝑖𝑛′を求めて足し合わせれば
𝑎𝑛𝑠 𝑚𝑖𝑛を求めることが出来ます．
• 以降，0を含まない列における𝑎𝑛𝑠 𝑚𝑖𝑛を求める方法について
考えます．
Magic Value 49

• 観察から， 𝑣 𝑚𝑖𝑛 𝑖, 𝑗 = gcd 𝐴𝑖, 𝐴𝑖+1, … , 𝐴𝑗 であったため，
右端𝑗を固定して左端𝑖を動かし和を取ると，
𝑎𝑛𝑠 𝑚𝑖𝑛 = ෍
𝑗=1
𝑛
෍
𝑖=1
𝑗
gcd 𝐴𝑖, 𝐴𝑖+1, … , 𝐴𝑗 ⋅ 𝑗 − 𝑖 + 1
となります．
Magic Value 50

for j in [1, n]:
for i in [1, j]:
G[i][j] = gcd(G[i][j-1], A[j]);
ans_min += G[i][j] * (j-i+1);
Magic Value 51
• これを𝐺𝑖,𝑗 ≔ gcd 𝐴𝑖, … , 𝐴𝑗 として，
𝐺𝑖,𝑗 = gcd 𝐺𝑖,𝑗−1, 𝐴𝑗 であることを利用すると,
次のようにして𝑎𝑛𝑠 𝑚𝑖𝑛を求めることができます．
(計算量は𝑂 𝑛2
log max 𝐴 であり，まだ遅い)

for j in [1, n]:
for i in [1, j]:
G[i][j] = gcd(G[i][j-1], A[j]);
ans_min += G[i][j] * (j-i+1);
Magic Value 52
• なお，𝐺𝑖,𝑗を更新する際には𝐺𝑖,𝑗−1しか使っておらず,
またそのときもう𝐺𝑖,𝑘(𝑘 ≤ 𝑗 − 1)の値は必要ないため，
次のようにGを一次元配列としてしまっても構いません.

満点解法－𝑎𝑛𝑠 𝑚𝑖𝑛(06/11)－𝐺について
• ここで，ある𝑗での各𝐺𝑖には次の値が格納されています:
Magic Value 53
𝒊 𝑮𝒊
1 gcd(𝐴1, 𝐴2, 𝐴3, … , 𝐴𝑗)
2 gcd(𝐴1, 𝐴2, 𝐴3, … , 𝐴𝑗)
⋮ ⋮
𝑗 gcd 𝐴1, 𝐴2, 𝐴3, … , 𝐴𝑗 = 𝐴𝑗
𝑗 + 1 0
⋮ ⋮
𝑛 0

• gcdの定義から，𝑖 < 𝑗で𝐺𝑖は𝐺𝑖+1を割り切ります.
Magic Value 54
𝒊 𝑮𝒊
1 gcd(𝐴1, 𝐴2, 𝐴3, … , 𝐴𝑗)
2 gcd(𝐴1, 𝐴2, 𝐴3, … , 𝐴𝑗)
⋮ ⋮
𝑗 gcd 𝐴1, 𝐴2, 𝐴3, … , 𝐴𝑗 = 𝐴𝑗
𝑗 + 1 0
⋮ ⋮
𝑛 0
割り切る
割り切る
割り切る

• このことから，𝐺には高々𝑂(log 𝐴𝑗)種類の数しか
含まれないことがわかります.
• さらに，𝑖 < 𝑗で𝐺𝑖 ≤ 𝐺𝑖+1より，同じ数は連続で含まれている
ことがわかります．
• 以上から，同じ数が含まれている区間は
1つにまとめてしまえばよいことがわかります．
Magic Value 55

満点解法－𝑎𝑛𝑠 𝑚𝑖𝑛(09/11)－𝐺をまとめる例
Magic Value 56
A 80 36 40 20 72 90 36 20
j
0 1 2 3 4 5 6 7
i 0 80 4 4 4 4 2 2 2
1 0 36 4 4 4 2 2 2
2 0 0 40 20 4 2 2 2
3 0 0 0 20 4 2 2 2
4 0 0 0 0 72 18 18 2
5 0 0 0 0 0 90 18 2
6 0 0 0 0 0 0 36 4
7 0 0 0 0 0 0 0 20
A 80 36 40 20 72 90 36 20
j
0 1 2 3 4 5 6 7
i 0 80 4
4 4
4 2 2
2
1 0 36
2 0 0 40
20
3 0 0 0
4 0 0 0 0 72 18
18
5 0 0 0 0 0 90
6 0 0 0 0 0 0 36 4
7 0 0 0 0 0 0 0 20
Before After

満点解法－𝑎𝑛𝑠 𝑚𝑖𝑛(10/11)－𝐺をまとめる
• ここで，𝐴𝑗まで更新した後で，𝑙 ≤ 𝑖 ≤ 𝑟において
𝐺𝑖,𝑗 = 𝑔という一定の値を取っていた場合，
その区間で足される値𝑆は，
𝑆 = ෍
𝑖=𝑙
𝑟
𝑔 ⋅ 𝑗 − 𝑖 + 1
= 𝑔 𝑗 + 1 𝑟 − 𝑔 ⋅
𝑟 𝑟 + 1
2
− 𝑔 𝑗 + 1 𝑙 − 1 − 𝑔 ⋅
𝑙 − 1 𝑙
2
となります．
Magic Value 57

満点解法－𝑎𝑛𝑠 𝑚𝑖𝑛(11/11)－𝐺をまとめる
• よって，𝐺の各要素には値𝑔, 左端𝑙, 右端𝑟 を持たせることで
正しく𝑎𝑛𝑠 𝑚𝑖𝑛の値を求めることが出来ます．
• 実装では，先に𝐺の各要素にgcdを適用したあとで，
隣り合う要素の値𝑔が一致していれば，それらをマージすれば
よいです．
• 以上で𝑎𝑛𝑠 𝑚𝑖𝑛を𝑂 𝑛 log2 max 𝐴 で求めることが出来ました．
Magic Value 58

満点解法－𝑎𝑛𝑠
• 最後に，𝑎𝑛𝑠 = 𝑎𝑛𝑠 𝑚𝑎𝑥 − 𝑎𝑛𝑠 𝑚𝑖𝑛として終わりです．
• 全体で𝑂 𝑛 log 𝑛 + log2 max 𝐴 で解くことが出来ました！
Magic Value 59

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