Probability[1]

ความน่าจะเป็น จัดทำโดย ครูมาลัยพร เอื้อสุวรรณ กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนพิมายวิทยา อำเภอพิมาย จังหวัดนครราชสีมา สังกัดสำนักงานเขตพื้นที่การศึกษานครราชสีมา เขต 7

ความน่าจะเป็น จุดประสงค์การเรียนรู้ 1. หาจำนวนวิธีต่างๆโดยใช้กฏเกณฑ์เบื้องต้นเกี่ยวกับการนับได้ 2. หาจำนวนวิธีโดยใช้วิธีการเรียงสับเปลี่ยนหรือการจัดหมู่ได้ 3. หาปริภูมิตัวอย่าง เหตุการณ์ จำนวนสมาชิกของปริภูมิตัวอย่างและจำนวนเหตุการณ์ได้ 4. หาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ต่างๆที่น่าสนใจได้ 5. ใช้กฏที่สำคัญบางประการของความน่าจะเป็นไปใช้แก้ปัญหาได้ ประกอบด้วยเนื้อหา ตัวอย่าง แบบฝึกหัดพร้อมเฉลย

ทฤษฎีเบื้องต้นเกี่ยวกับกฎเกณฑ์การนับ 1. กฎเบื้องต้นเกี่ยวกับการคูณ 2. กฎเบื้องต้นเกี่ยวกับการบวก

ทฤษฎีเกี่ยวกับการนับ หลักการนับ 1. หลักการบวก ถ้าการทำงานหนึ่งมีวิธีการทำ k วิธี คือวิธีที่ 1 ถึงวิธีที่ k โดยที่ การทำงานวิธีที่ 1 มีวิธีทำ n 1 วิธี การทำงานวิธีที่ 2 มีวิธีทำ n 2 วิธี การทำงานวิธีที่ k มีวิธีทำ n k วิธี และวิธีการทำงานแต่ละวิธีแตกต่างกันแล้ว จำนวนวิธีทำงานนี้เท่ากับ n 1 + n 2 +….+ n k วิธี

1. หลักการคูณ ถ้าการทำงานหนึ่งมีวิธีการทำ k วิธี คือวิธีที่ 1 ถึงวิธีที่ k โดยที่ การทำงานวิธีที่ 1 มีวิธีทำ n 1 วิธี การทำงานวิธีที่ 2 มีวิธีทำ n 2 วิธี การทำงานวิธีที่ k มีวิธีทำ n k วิธี และวิธีการทำงานแต่ละวิธีแตกต่างกันแล้ว จำนวนวิธีทำงานนี้เท่ากับ n 1 . n 2 . n 3 ... n k วิธี

ตัวอย่างที่ 1 1. ห้องประชุมแห่งหนึ่งมีประตู 4 ประตู เมื่อเข้าประตูใดแล้วห้ามออกประตูนั้น จงหาจำนวนวิธีเข้าไปแล้วออกมาจากห้องประชุมนั้น วิธีทำ ขั้นตอนที่ 1 ขั้นตอนที่ 2 ดังนั้น จำนวนวิธีทั้งหมดที่จะเข้าออก ห้องประชุมคือ 4x 3 = 12 เลือกเข้า 4 ประตู เลือกออก 3 ประตู

ตัวอย่างที่ 2 2. มีกล่อง 5 ใบ วางเรียงกันเป็นแถวตรง จะมีกี่วิธี ที่จะนำบอล 4 ลูกใส่กล่องทีละ 1 ลูก ( ห้ามใส่กล่องซ้ำ ) วิธีทำ งาน คือ การนำลูกบอล 4 ลูก ใส่กล่อง 5 ใบ ขั้นตอนที่ 1 บอลใบที่ 1 สามารถเลือกใส่กล่องได้ 5 วิธี ( สามารถใส่ใบไหนก็ได้ ) ขั้นตอนที่ 2 บอลใบที่ 2 สามารถเลือกใส่กล่องได้ 4 วิธี ( เพราะว่าเหลืออยู่ 4 กล่อง ) ขั้นตอนที่ 3 บอลใบที่ 3 สามารถเลือกใส่กล่องได้ 3 วิธี ขั้นตอนที่ 4 บอลใบที่ 4 สามารถเลือกใส่กล่องได้ 2 วิธี ดังนั้น จำนวนวิธีทั้งหมดที่จะนำลูกบอล 4 ลูกไปใส่กล่องทีละลูกเท่ากับ 5 x4x3x2 =120 วิธี

ตัวอย่างที่ 3 3. หนังสือกองหนึ่งมีหนังสือคณิตศาสตร์แตกต่างกัน 5 เล่ม หนังสือเคมีที่แตกต่างกัน 4 เล่ม และหนังสือภาษาไทยแตกต่างกัน 3 เล่มจนหาจำนวนวิธีที่จะหยิบหนังสือ 1 เล่มจากหนังสือ กองนี้ วิธีทำ การหยิบหนังสือหนึ่งเล่ม จากกองหนังสือนี้มีวิธีการ 3 วิธี คือหยิบหนังสือคณิตศาสตร์หรือหยิบหนังสือเคมีหรือหยิบหนังสือภาษาไทย เนื่องจาก การหยิบหนังสือคณิตศาสตร์มีวิธีหยิบ 5 วิธี ( หยิบหนังสือเล่มใดเล่มหนึ่งถือว่าเป็น 1 วิธี ) การหยิบหนังสือเคมีมีวิธีหยิบ 4 วิธี การหยิบหนังสือ ภาษาไทยมีวิธีหยิบ 3 วิธี ดังนั้น วิธีหยิบหนังสือ 1 เล่มจากหนังสือกองนี้มีทั้งหมด 5+4+3 = 12 วิธี

ตัวอย่างที่ 4 4. มีผู้สมัครกรรมการนักเรียนอยู่ 5 คน จะมีวิธีเลือกประธาน รองประธาน และเลขานุการ ได้กี่วิธีถ้ามีอยู่หนึ่งคนที่ไม่สมัครเป็นประธาน วิธีทำ ขั้นตอนที่ 1 เลือกประธาน เนื่องจากมีผู้สมัคร 5 คน แต่มีอยู่หนึ่งคนที่ไม่สมัครเป็นประธาน ดังนั้น เราสามารถเลือกประธานได้ 4 วิธี ขั้นตอนที่ 2 เลือกรองประธาน เราสามารถเลือกได้ 4 วิธีเพราะว่าเหลือคนอีก 4 คน รวมทั้งคนที่ไม่สมัครเป็นประธานด้วย ขั้นตอนที่ 3 เลือก เ ลขานุการเราสามารถเลือกได้ 3 วิธี ดังนั้น จำนวนวิธีในการเลือก ประธาน รองประธาน และเลขานุการ มีทั้งหมด 4x4x3 =48 วิธี

ความน่าจะเป็น การทดลองสุ่ม คือ การที่ผลลัพธ์อาจเกิดขึ้นได้แตกต่างกัน และเราไม่สามารถทำนายผลลัพธ์ได้อย่างแน่นอน เช่น การทอดลูกเต๋าลงในถ้วยเป็นการทดลองสุ่ม ซึ่งเราไม่ทราบผลลัพธ์ว่า ลูกเต๋า จะหงายขึ้นหน้าใด

ปริภูมิตัวอย่างหรือแซมเปิลสเปซ ( S ) คือ เซตของผลลัพธ์ที่เกิดจากการทดลองสุ่ม เช่น โยนเหรียญบาท 3 ครั้ง ปริภูมิตัวอย่างหรือแซมเปิลสเปซ คือ {HHH,HHT,HTH,HTT,TTH,TTT,THT,THH}

เหตุการณ์ ( E ) คือ สับเซตของปริภูมิตัวอย่างหรือแซมเปิลสเปซ เป็น เซตของผลลัพธ์ที่เกิดจากการทดลองสุ่มที่เราสนใจ ให้ E 1 แ ทนเหตุการณ์ที่โยนเหรียญ 1 บาท 3 ครั้ง แล้วได้หัว 2 ครั้ง E 1 = {HHT,HTH,THH} ดังนั้น n ( E 1 ) = 3 n ( E 1 ) คือจำนวนของเหตุการณ์ที่โยนเหรียญ 1 บาท 3 ครั้ง แล้วได้หัว 2 ครั้ง

ความน่าจะเป็น ให้ E เป็นเหตุการณ์ใดๆ n ( E ) แทนจำนวนสมาชิกของเหตุการณ์ ( E ) S เป็นปริภูมิตัวอย่างหรือแซมเปิลสเปซ n ( S ) แทนจำนวนสมาชิกของแซมเปิลสเปซ P ( E ) แทนความน่าจะเป็นที่จะเกิดเหตุการณ์ E P ( E ) =

สมบัติความน่าจะเป็น 1.0 ≤ P ≤ 1 2. P ( S ) = 1 3. P ( E ) = 0 ( หมายถึง เหตุการณ์นี้ไม่มีทางเกิดขึ้นเลย ) 4. P ( E ) = 1 ( หมายถึง เหตุการณ์ที่เกิดขึ้นอย่างแน่นอน ) 5. P ( E 1 UE 2 ) =P ( E 1 ) +P ( E 2 )- P ( E 1 E 2 ) 6.P ( E' ) =1-P ( E )

ตัวอย่างที่ 1 1. ในการทอดลูกเต๋า 2 ลูกได้ S คือ S= { (1 , 1) , (1 , 2) ,…, (1 , 6) (2 , 1) , (2 , 2) , ..... , (2 , 6) (3 , 1) , (3 , 2) ,…. (3 , 6) (6 , 1) , (6 , 2) , .....(6 , 6) } ให้ E 1 แทนเหตุการณ์ทอดลูกเต๋า 2 ลูกพร้อมกันได้ผลบวกของแต้มเป็น 7 ดังนั้น E 1 เท่ากับ { (1 , 6) , (2 , 5) , (3 , 4) , (4 , 3) , (5 , 2) , (6 , 1) } n ( E 1 ) = 6

ตัวอย่างที่ 2 กำหนดให้ E 1 และ E 2 เป็นเหตุการณ์ที่ P ( E 1 ) =0. 3 P ( E 2 ) =0.4 และ P ( E 1 E 2 ) =0.1 ดังนั้น P ( E 2 - E 1 ) / เท่ากับเท่าใด วิธีทำ P ( E 1 E 2 ) = 0.1 P ( E 2 - E 1 ) / = 1 -P ( E 2 - E 1 ) =1-[P ( E 2 ) - P ( E 2 E 1 ) ] =1 - [0.4 - 0.1] =0.7

แบบฝึกหัด 1. ถ้าต้องการสลับตัวอักษรในคำว่า mathematician จะสลับได้ทั้งหมดกี่วิธี เมื่อ 1.1 ไม่มีเงื่อนไขเพิ่มเติม 1.2 อักษร a อยู่ติดกันทั้ง 3 ตัว 1.3 อักษร a อยู่ติดกันเพียง 2 ตัว 2. มีหนังสือภาษาไทยเหมือนกัน 3 เล่ม อังกฤษต่างกัน 2 เล่ม ฝรั่งเศสเหมือนกัน 5 เล่ม ถ้าต้องการจัดหนังสือทั้งหมดบนชั้นหนังสือเดียวกันจะมีวิธีการจัดกี่วิธีเมื่อ 2.1 หนังสือเล่มใดอยู่ที่ใดก็ได้ 2.2 หนังสือวิชาเดียวกันต้องอยู่ติดกัน 2.3 หนังสือภาษาไทยต้องอยู่ติดกันทั้ง 3 เล่มแต่หนังสือภาษาอังกฤษอยู่แยกกัน 2. มีนักเรียนชาย 6 คนและนักเรียนหญิง 6 คนยืนเรียงกันเป็นวงกลมได้ทั้งหมดกี่วิธี เมื่อให้ 2.1 ไม่มีข้อกำหนดเพิ่มเติม 2.2 ชายกับหญิงยืนสลับกัน 3. จัดคน 7 คนนั่งรอบโต๊ะกลม ซึ่งในจำนวนนี้มีหน่อย นิดและมดรวมอยู่ด้วยจะจัดได้กี่วิธีที่จะให้หน่อยนั่งติดกับนิดและมดเสมอ 4. ในการร้อยพวงมาลัยเป็นวงกลมพวงหนึ่ง ใช้ดอกไม้ 9 ดอกแต่ละดอกไม่เหมือนกันและมีสีขาว 2 ดอก สีแดง 3 ดอกที่เหลือมีสีไม่ซ้ำกันอยากทราบว่าจะได้พวงมาลัยที่แตกต่างกันกี่วิธีเมื่อ 4.1 ไม่มีเงื่อนไข 4.2 สีขาวอยู่ติดกันและสีแดงอยู่ติดกัน

แบบฝึกหัด ( ต่อ ) 6) กล่องใบหนึ่งมีลูกบอลอยู่ 12 ลูก สีแดง 5 ลูก ขาว 4 ลูก และสีน้ำเงิน 3 ลูก ถ้าหยิบลูกบอล 3 ลูกจากกล่องนี้ จงหาจำนวนวิธีที 6.1 ได้ลูกบอลสีขาว 1 ลูก 6.2 ได้สีขาวอย่างน้อย 1 ลูก 7). จากการสำรวจใบลงทะเบียนของนักเรียน 100 คน พบว่า มีนักเรียน 60 คน เลือกเรียนภาษาอังกฤษ 20 คน เลือกเรียนภาษาฝรั่งเศส 10 คน เลือกเรียนภาษาเยอรมัน 15 คน เลือกเรียนทั้งภาษาอังกฤษและฝรั่งเศส 7 คนเลือกเรียนทั้งภาษาอังกฤษและเยอรมัน 3 เลือกเรียนทั้งภาษาฝรั่งเศสและเยอรมัน 3 คนเลือกเรียนทั้ง 3 ภาษา ถ้าสุ่มใบลงทะเบียนขึ้นมา 1 ใบ จงหาความน่าจะเป็นที่จะได้ใบลงทะเบียนของนักเรียนที่เลือกเรียนภาษาอังกฤษหรือภาษาฝรั่งเศสหรือภาษาเยอรมัน

เฉลยแบบฝึกหัด 1) 1.1 129,729,000 วิธี 1.2 4 , 989,600 วิธี 1.3 49 ,896,000 วิธี 2) 2.1 5 ,040 วิธี 2.2 12 วิธี 2.3 252 วิธี 3) 3.1 120 วิธี 3.2 48 วิธี 3.3 24 วิธี 3.4 72 วิธี 4) 144 วิธี 5) 480 วิธี 6) 6.1 112 วิธี 6.2 164 วิธี 7) 17/25

Probability[1]

More Related Content

What's hot (14)

Similar to Probability[1] (20)

More from numpueng (10)

Probability[1]