Mesataret algjebrike dhe të pozicionit në statistikë
1. Mesataret algjebrike dhe të
pozicionit në statistikë
Kandidati: Mësimdhënësi:
Yll Ferizi Dr. Sc. Faruk Belegu
Nr. Index: 21/10/001
2. Përmbajtja
Përmbajtja
MADHËSITË MESATARE STATISTIKORE .............................................................................2
LLOJET E MADHËSIVE .................................................................................................2
MESATARJA ARITMETIKE .............................................................................................3
MESATARJA ARITMETIKE E THJESHTË............................................................................3
MESATARJA ARITMETIKE E PONDERUAR ........................................................................3
MESATARJA HARMONIKE ............................................................................................4
MESATARJA HARMONIKE E THJESHTË ...........................................................................4
MESATARJA HARMONIKE E PONDERUAR........................................................................4
MESATARJA GJEOMETRIKE ...........................................................................................5
MESATARJA GJEOMETRIKE E THJESHTE .........................................................................6
MESATARJA GJEOMETRIKE E PONDERUAR ......................................................................6
MADHËSITË MESARE TË POZICIONIT ................................................................................8
MESORJA (MEDIANA) .............................................................................................8
GJETJA E MEDIANS .................................................................................................8
MODA ............................................................................................................. 10
LITERATURA...................................................................................................... 10
1
3. Madhësitë mesatare statistikore
Madhësit mesatare shprehin anën sasiore të serive statistikore dhe llogariten vetëm tek seritë
statistikore, ndërsa tek ato cilësore pamundësohet llogaritja e tyre.
Madhësit mesatare në vargun e të dhënave të njësisë statistikore gjenden gjithmonë në mes
të modalitetit (të dhënës) më të vogel dhe modalitetit më të madh të asaj serie.
Llojet e madhësive
Mesatare Algjebrike:
Aritmetike
Harmonike
Gjeometrike
Mesatare të Pozicionit:
Mediana
Moda
2
4. Mesatarja aritmetike
Mesatarja aritmetike përdoret më së shumti nga të gjitha mesataret tjera në hulumtimin e dukurive
masive.
Dallojm dy lloje të mesatares aritmetike:
1. Mesatarja aritmetike e thjeshtë
2. Mesatarja aritmetike e ponderuar
Mesatarja aritmetike e thjeshtë
Mesatarja e thjeshtë aritmetike shprehet në bazë të kësaj formule: ___
X =
∑x
Shembull: n
Për llogaritjen e mesatarës së thjeshtë aritmetike merret mosha e 6 studenteve e cila në mënyrë individuale
është: 19, 20, 21, 23, 25, 26, atëherë mosha mesatare do të ishte:
___
x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 19 + 20 + 21 + 23 + 25 + 26 134
X = = = = 22.33
6 6 6
Mesatarja aritmeti ke e ponderuar
Mesatarja aritmetike e ponderuar përdoret në rastet kur frekuencat e të dhënave të serisë janë të ndryshme
ose të grupuara. n
___ ∑ xi * f i
Formula për llogaritjën e mesatarës aritmetike të ponderuar: X = i =1 n
Llogaritja e mesatares aritmetike paraqitet përmes shembullit në vijim: ∑ fi
i =1
Shuma e celularëve të
Celularët (Copë) "X" Nr. i punëtorve "F"
prodhuar "X*F"
15 4 60
20 6 120
30 8 240
32 10 320
35 11 385
40 13 520
Σ 52 1645
3
5. n
___ ∑x * f i i
15 * 4 + 20 * 6 + 30 * 8 + 32 *10 + 35 *11 + 40 *13 1645
X = i =1
= = = 31.63
n
4 + 6 + 8 + 10 + 11 + 13 52
∑f
i =1
i
Mesatarja harmonike
Mesatarja harmonike definohet si vlerë reciproke e mesatares aritmetike të vlerave reciproke të
dukurisë së caktuar.
Mesatarja harmonike ndahet në:
1. Mesatare të thjeshtë
2. Mesatare të ponderuar
Mesatarja harmonike e thjeshtë
n
Formula për llogaritje e mesatares së thjeshtë harmonike: H=
1
∑x
Shembull:
Gjeni mesataren e thjeshtë harmonike për numrat: 3, 5, 7, 9 dhe 8.
n 5 5 5
H= = = = = 5.55
1 1 1 1 1 1 0.33 + 0.20 + 0.14 + 0.11 + 0.12 0.90
∑x + + + +
3 5 7 9 8
Mesatarja harmonike e ponderuar
Formula për llogaritjen e mesatares harmonike te pondoruar: H=
∑f
f
∑x
Shembull:
Nga të dhënat në tabelën vijuese për sasinë e prodhuar të lëngjeve të gjendet koha e hargjuar (në orë) për
çdo puntor përmes mesatares harmonike të ponderuar:
4
6. Koha e hargjuar për Sasia e prodhuar
Nr. Emri i ndermarrjës Nr. i puntoreve "F" njësi prodhimi (në orë)
"X" (në mijë)
1 FRUTI 120 8 15
2 DONA 180 6 30
3 EKS 230 5 46
4 FLUIDI 250 2 125
Σ 780 216
H=
∑f =
120 + 180 + 230 + 250
=
780
=
780
= 3.61orë
f 120 180 230 250 15 + 30 + 46 + 125 216
∑x 8
+
6
+
5
+
2
Nëse e përdorim mesataren aritmetike do të kemi:
___
X =
∑ f * x = 120 * 8 + 180 * 6 + 230 * 5 + 250 * 2 = 3690 = 4.73orë
∑f 120 + 180 + 230 + 250 780
Prova: Gjithsejtë 780 punëtorë prodhuan 216 njësi prodhim (në mijë)
1. Mesatarja harmonike e ponderuar:
216 * 3.61 = 780 punëtorë
2. Mesatarja aritmetike e ponderuar:
216 * 4.73 = 1022 punëtorë
Mesatarja gjeometrike
Mesatarja gjeometrike përdoret për llogaritjen e normës mesatare të zhvillimit të dukuris së analizuar.
Dallojmë dy lloje të mesatares gjeometrike:
1. Mesatarja gjeometrike e thjeshte dhe
2. Mesatarja gjeometrike e ponderuar
5
7. Mesatarja gjeometrike e thjeshte
Llogaritja e mesatares gjeometrike të thjeshtë: G = n x1 * x2 * x3 ...xn
Shembull:
Gjeni mesataren gjeometrike të thjeshtë për numrat 5, 7, 9, 12, 13
G = n x1 * x 2 * x 3 * x 4 * x 5 = 5
5 * 7 * 9 * 12 * 13 = 5
49140 log
1 1 4 . 69
log G = log 49140 = * 4 . 69 = = 0 . 94 anti log
5 5 5
G = 8 . 71
Mesatarja gjeometrike e ponderuar
G = ∑ x1 1 * x 2 2 * x3 3 ...x n
f f f f fn
Llogaritja e mesatares gjeometrike të ponderuar:
Shembull:
Për të dhënat në vijim llogariteni mesataren gjeometrike të ponderuar?
x 2 3 5 7 6 Σ
f 4 5 3 6 8 26
G = 26
2 4 * 35 * 53 * 7 6 * 68 log
1
log G = ( 4 log 2 + 5 log 3 + 3 log 5 + 6 log 7 + 8 log 6 ) =
26
1
( 4 * 0 . 30 + 5 * 0 . 47 + 3 * 0 . 70 + 6 * 0 . 84 + 8 * 0 . 78 ) =
26
1 16 . 93
* 16 . 93 = = 0 . 6511 anti log
26 26
G = 4 . 48
6
8. Shembull:
Ndërmarrja “Riza Commerce” në Drenas gjatë përiudhës 2002 – 2007 ka realizuar prodhim si në tabelen
vijues (prodhimi i shprehur në mijë)
Koeficientet Zingjire *
Vitet Sasia e prodhimit(në mijë) Koeficientet(Zingjir)
100 = indeksat zingjir
2002 650 ___ ___
2003 800 1.23 123 - 100 = 23%
2004 700 0.87 87 – 100 = -13%
2005 630 0.9 90 – 100 = -10%
2006 860 1.36 136 – 100 = 36%
2007 900 1.05 105 – 100 = 5%
Sa është norma mesatare e shtimit për një vitë?
G = n −1 k1 * k 2 * k 3 * k 4 * k 5 = 5
1 . 23 * 0 . 87 * 0 . 90 * 1 . 36 * 1 . 05 = 5
1 . 375 log
1 1 0 . 14
log G = log 1 . 375 = * 0 . 14 = = 0 . 028 anti log
5 5 5
G = 1 . 066 * 100 = 106 . 6 − 100 = 6 . 6 %
Norma mesatare e shtimit është 6.6% brenda vitit.
7
9. Madhësitë mesare të pozicionit
Mesataret e pozicionit për dallim nga mesataret algjebrike gjinden në bazë të pozitës që e marrin në serinë
statistikore.
Te këto mesatare nuk kanë ndikim vlerat ekstreme, gjegjësisht vlerat minimale dhe maksimale.
Në mesatare të pozicionit bëjnë pjesë:
1. Mediana
2. Moda
Mesorja (Mediana)
Mesorja apo mediana paraqet variantin (madhesinë) e tiparit, i cili ndodhet në mes të serisë statistikore. Pra,
mesorja serinë e tiparit e ndan në dy pjesë të barabarta, në pjesen ku variantet janë më të vogla ose të
barabarta dhe në pjesën tjetër ku variantet janë të barabarta ose më të mëdha se mesorja.
Mesorja mund të jetë :
1. Mesore e serive të thjeshta
2. Mesore e ponderuar
Gjetja e medians
n +1
Pozita e medianes = 2 pozita në të dhënat e rregulluara
Nëse numri i të dhënave është qift, mediana është mesatare e dy numrave të mesit.
n +1
Kujdes : 2 nuk është vlera e medianës , por vetëm pozita e medianës (vendi ku gjindet
mediana) në të dhënat e rregulluara.
Shembull 1: Të llogaritet mesorja nga seria e të dhënave në vijim: A = 13,17,20,23,27
1 { }
n +1 n +1 5 +1
Pozicioni i mesores në serinë e dhënë caktohet në bazë të formulës: prandaj = =3
2 2 2
Pra madhësia e tretë paraqet mesoren e serisë së dhënë, e ky është numri 20, pra, Me A = 20
{ 1}
Shembulli 2: Të llogaritet mesorja nga seria e të dhënave në vijim:
E1 = {22, 22, 28, 28, 28,33,39, 42, 45, 45, 45, 48,51}
Meqë seria e të dhënave është e ponderuar pozicioni i mesores caktohet përmes formulës
∑f + 1 13 + 1 14 pra, Me { E1} = 39
i
= = =7
2 2 2
8
10. 22 28 33 39 42 45 48 51
2 3 1 1 1 3 1 1
Komul. 2 5 6 7 8 11 12 13
Shembulli 3:
Në bazë të anketave të realizuara me198 punëtorë në Drenas del se 20 punëtorë realizojnë paga deri në 80
€, 50 punëtorë 80-140 €, 100 punëtorë 140-200 €, 15 punëtorë 200-260 €, 8 punëtorë 260-320 €, 5
punëtorë realizojnë të ardhura mbi 320. Të llogaritet mesorja e kësaj dukurie.
Paga ( ) Punëtorët ( ) kumulativi
1 2 3
Deri 80 20 20
80-140 50 70
140-200 100 170
200-260 15 185
260-320 8 193
320 e mbi 5 198 ∑f i ∑f i
=
198
= 99
2 2 2
- 198 -
(nëse numri i madhësive është çift), prandaj
Së pari përcaktohet pozicioni i mesores në bazë të formulës
x − x ∑ f i
Me = x1 + 2 1
w − w 2 − w1
2 1
Pra, vlera e modës është 26.82 vjeç si moshë mesatare e punësimit të anketuarve.
9
11. oda
M od a
Moda është vlera e vrojtimeve që shfaqet më së shpeshti, gjegjësisht vlera e karakteristikës që e ka
frekuencën më të madhe.
Te seritë e thjeshta nuk ka modë.
Shembulli 1: Të gjendet moda nga anketa e realizuar me 303 të punësuar prej të cilëve 90 vetë janë
punësuar në moshën 20-25 vjeçare, 130 në moshën 25-30, 60 në moshën 30-35 , 20 në moshën 35-40 dhe
vetëm 3 në moshën 40-45 vjeçare:
Numri i të
Mosha ( ) punësuarve( )
1 2
20-25 90
25-30 130
30-35 60
35-40 20
40-45 3
- 303
f m2 − f m1 130 − 90 40
M0 = X0 + d ⋅ = 25 + 5 ⋅ = 25 + 5 ⋅ =
( f m2 − f m1 ) + ( f m2 − f m3 ) (130 − 90 ) + (130 − 60 ) 40 + 70
40
= 25 + 5 ⋅ = 25 + 5 ⋅ 0.36 = 25 + 1.82 = 26.82
110
Pra, vlera e modës është 26.82 vjeç si moshë mesatare e punësimit të anketuarve.
Li t er at ura
Bazat e statistikes – Prof. Dr. Sc. Rahmil Nuhiu dhe Mr. Sc. Ahmet Shala
Nga ligjersatat e Prof. Dr. Faruk Belegu
10
