random variable and probability distributions

NỘI DUNG:
I. BIẾN NGẪU NHIÊN (BNN)
II. THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA BNN
III. MỘT SỐ LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT
THÔNG DỤNG
CHƯƠNG 2: BIẾN NGẪU NHIÊN
VÀ LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT

 Biểu diễn định lượng các kết quả của thí
nghiệm ngẫu nhiên (phép thử ngẫu nhiên)
 X là biến ngẫu nhiên
(
:
)
 
  R
X
X
B
X(B)
I. BIẾN NGẪU NHIÊN
1. Khái niệm

Biến ngẫu
nhiên
Biến ngẫu nhiên
rời rạc
Biến ngẫu nhiên
liên tục
1. Khái niệm

 BNN rời rạc: Có miền giá trị là tập hữu hạn
hoặc vô hạn đếm được
 Ví dụ
 Tung một con xúc sắc 2 lần
Đặt X là số lần mặt 4 điểm xuất hiện. X có thể nhận
các giá trị 0, 1, hoặc 2.
 Tung đồng xu 5 lần
Đặt Y là số lần xuất hiện mặt hình.
Thì Y = 0, 1, 2, 3, 4, hoặc 5
1. Khái niệm

 BNN liên tục: Có miền giá trị là R hoặc một
tập con của R.
 Ví dụ
- Chiều cao, cân nặng.
- Thời gian để hoàn thành 1 công việc.
1. Khái niệm

 BNN rời rạc X nhận các giá trị x1, x2, …, xn.
 Bảng phân phối xác suất của X:
 Chú ý:  
1
1)
2) 1

 


i i
n
i
i
p P X x
p
1 2
1 2
( )
n
n
x x x
X
P X p p p
2. Bảng phân phối xác suất (BNN rời rạc)

Ví dụ: Tung 2 đồng xu.
Đặt X: số lần xuất hiện mặt hình.
S
S
S
S
H
H
H H
4 khả năng có thể xảy ra
Phân phối xác suất
x P(x)
0 1/4 = .25
1 2/4 = .50
2 1/4 = .25
0 1 2 x
.50
.25
Xác
suất
2. Bảng phân phối xác suất (BNN rời rạc)

 Hàm mật độ xác suất: f(x) gọi là hàm mật độ
xác suất của biến ngẫu nhiên liên tục X nếu
 Ví dụ: cho hàm mật độ xác suất của X
Tìm c
) ( ) 0
) ( ) 1
x
ii f x dx
i f x


 


3. Hàm mật độ xác suất (BNN liên tục)
 
 
2
, 0,2
( )
0 , 0,2
 

 



cx x
f x
x

 Tìm P(a<X<b)?
f(x) P a x b
( )
≤
≤
a b
3. Hàm mật độ xác suất (BNN liên tục)
) (
( )
( ) (
) (
)
 
     
    
b
a
X b P a X
P a X b P a b
P a X b f x dx

 Xét biến ngẫu nhiên X, hàm phân phối xác
suất của X, ký hiệu F(x), được định nghĩa như
sau
 
( )  
F x P X x
4. Hàm phân phối xác suất

 Xét biến ngẫu nhiên rời rạc X nhận n giá trị
x1, x2, …, xn (x1<x2< …< xn) với các xác suất
tương ứng p1, p2, …, pn.
Bảng phân phối xác suất của X
Hàm phân phối xác suất:
X x1 x2 … xn-1 xn
P p1 p2 … pn-1 pn
4. Hàm phân phối xác suất (BNN rời rạc)

 
x x
F(x)
i
i
p

1
1 2
2 3
1
1
2 1
2
1
1
0 ,
,
,
)
,
(
,
) (
1
 


 

 

 

    





 
 
n n n
n
p
p p
F x P
x x
x x x
x x x
x
p p p x x x
x x
X
4. Hàm phân phối xác suất (BNN rời rạc)

 Xét biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm
mật độ xác suất f(x), hàm phân phối xác
suất của X
 
( ) ( )

   
x
F x P X f u du
x
4. Hàm phân phối xác suất (BNN liên tục)

 Ví dụ
Xét biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ
xác suất
 Tìm hàm phân phối F(x).
 Tính P(1<X<3/2).
 
 
2
, 0,2
0 , 0,
8
2
3
( )




 

 x
f
x
x
x
4. Hàm phân phối xác suất (BNN liên tục)

 Tính chất
1) .
2) F(x) là hàm không giảm: nếu a<b thì F(a)  F(b).
3)
4)
0 ( ) 1
F x
 
) lim
(
(
( ) 0
) lim ( ) 1
x
x
F
F
F x
F x


 
 




5) Nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục có hàm
phân phối F(x) thì hàm mật độ f(x) = F’(x) tại
những điểm liên tục của X.
4. Hàm phân phối xác suất
)
( ( ) ( )
   
b F b
P F
X a
a

 Kỳ vọng: Là giá trị trung bình theo xác
suất của tất cả các giá trị có thể có của
biến ngẫu nhiên.
 Kỳ vọng phản ánh giá trị trung tâm của
phân phối xác suất
1. Kỳ vọng

 BNN rời rạc X có bảng phân phối xác suất
Kỳ vọng của X:
Kỳ vọng thường được ký hiệu là .
X x1 x2 … xn-1 xn
P p1 p2 … pn-1 pn
1. Kỳ vọng (BNN rời rạc)
1
( )

 
n
i i
i
E X x p

 Ví dụ: Tung 2 đồng xu.
Đặt X = Số lần xuất hiện mặt hình.
Tính E(X).
Bảng phân phối xác suất
E(X) = 0x0.25 + 1x0.5 + 2x0.25=1
X 0 1 2
P 0.25 0.5 0.25
1. Kỳ vọng (BNN rời rạc)

 BNN liên tục X có hàm mật độ xác suất f(x).
Kỳ vọng của X:
( ) ( )




 
E X xf x dx
Ví dụ: Cho BNN liên tục X có hàm mật độ
Tính E(X).
 
 
2
, 0,2
3
8
( )
0 , 0,2


 



 x
f x
x
x
1. Kỳ vọng (BNN liên tục)

Tính chất của kỳ vọng:
 E(a) = a, a: hằng số
 E(aX) = aE(X)
 E(X + Y)=E(X) + E(Y)
 E(XY) = E(X)E(Y) nếu X và Y độc lập
1. Kỳ vọng

 Phương sai: Biểu thị độ phân tán của các giá trị của
biến ngẫu nhiên xung quanh giá trị trung bình của nó.
Nếu phương sai bé thì các giá trị của X tập trung gần
trung bình.
 Xét biến ngẫu nhiên X có kỳ vọng E(X), phương sai
của X
 Phương sai thường được ký hiệu là 2.
 
2
2 2
( )
( ) ( )
 
 
ar(X)
ar(X)=
V E X E X
V E X E X
2. Phương sai

 Xét X là biến ngẫu nhiên rời rạc.
hoặc
   
2 2
1
( ) ( ) ( )

   

n
i i
i
Var X E X E X x E X p
 
2
2 2
1
2
( ) ( ) ( )

   

n
i i
i
Var X E X EX x p E X
2. Phương sai (BNN rời rạc)

Tính Var(X).
E(X) = 0x0.25 + 1x0.5 + 2x0.25 = 1
Var(X) = E(X2) – E(X)2 =
= (02x0.25 + 12 x0.5 + 22x0.25) – 12 = 0.5
X 0 1 2
P 0.25 0.5 0.25
2. Phương sai (BNN rời rạc)

 Xét X là biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật
độ xác suất f(x).
hoặc
   
2 2
( ) ( ) ( ) ( )


   

Var X E X E X x E X f x dx
2 2
2 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( )




   

Var X E X E X x f x dx E X
2. Phương sai (BNN liên tục)

 Ví dụ
Cho biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ
xác suất
Tính E(X), Var(X).
 
 
2
, 0,2
0 , 0,
8
2
3
( )




 

 x
f
x
x
x
2. Phương sai (BNN liên tục)

Tính chất của phương sai:
 Var(a) = 0, a:hằng số
 Var(aX) = a2Var(X)
3) Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y)
(nếu X và Y độc lập)
2. Phương sai

 Độ lệch chuẩn:Là căn bậc hai của
phương sai.
2
VarX

  
3. Độ lệch chuẩn

 Số mode: Là giá trị của BNN có xác suất lớn
nhất.
Mod(X) = 1
Vì P(X = 1) = 0.5
X 0 1 2
P 0.25 0.5 0.25
4. Số mode (Giá trị tin chắc)

 Số trung vị: Là giá trị của BNN chia phân
phối xác suất thành 2 phần có xác suất
bằng nhau.
5. Số trung vị
1
P(X med(X)) P(X med(X))
2
   

BIEÅ
U ÑOÀ
PHAÂ
N PHOÁ
I ÑIEÅ
M CUÛ
A 141 TRÖÔØ
NG ÑAÏ
I HOÏ
C NAÊ
M 2003
12482
12451
19413
26595
32797
34878
35707
35506
35357
34640
33588
32802
31724
30629
29420
28858
27731
26697
25326
24237
23161
21803
20560
19509
18769
17397
16543
15350
14540
13442
12746
11668
10663
10036
9081
8587
7734
6939
6308
5764
5023
4469
3887
3519
3038
2531
2185
1818
1613
1275
1041
825
609
433
293
207
100
60
32
4
2
0
5000
10000
15000
20000
25000
30000
35000
40000
0.0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
6.0
7.0
8.0
9.0
10.0
11.0
12.0
13.0
14.0
15.0
16.0
17.0
18.0
19.0
20.0
21.0
22.0
23.0
24.0
25.0
26.0
27.0
28.0
29.0
30.0
Nguoà
n : Tuoå
i Treû
, ngaø
y 4/9/2003
SOÁ
THÍ SINH
ÑIEÅ
M

 BNN X có phân phối nhị thức,
III. MỘT SỐ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT
1. Phân phối nhị thức
   
n x
x x
n
p(x) P(X x) C p 1 p ; x 0,1, ,n

    
 
X B n,p

Ví dụ: Tỷ lệ sản phẩm bị lỗi trong 1 lô hàng
là 3%. Lấy ngẫu nhiên lần lượt 100 sản phẩm
ra để kiểm tra. Tính xác suất để:
a) Có 3 sản phẩm bị lỗi.
b) Có không quá 3 sản phẩm bị lỗi.

 Nếu n khá lớn và xác suất p không quá gần 0 và 1 thì
ta có công thức xấp xỉ sau:
 Giá trị của hàm f(x) tra bảng phụ lục 1, f(- x) = f(x)
 Giá trị của hàm φ(x) tra bảng phụ lục 2, φ(- x) = - φ(x)
1 k np
1) P(X k) f
np(1 p) np(1 p)
 

   
 
 
 
b np a np
2) P(a X b)
np(1 p) np(1 p)
 
   
 
   
   
   
 
   

Ví dụ: Một nhà máy sản xuất sản phẩm với tỷ
lệ sản phẩm loại A là 20%. Nếu lấy ngẫu
nhiên 400 sản phẩm, tính xác suất để:
a) Được 80 sản phẩm loại A.
b) Được từ 60 đến 80 sản phẩm loại A.

 BNN X có phân phối possion, X  P(λ)
2. Phân phối possion
 
x
p(x) P(X x) e ; x 0,1, ,n
x!

 
   
Ví dụ: Một nhà máy dệt có 1000 ống sợi.
Xác suất để trong 1 giờ máy hoạt động có 1
ống sợi bị đứt là 0,2%. Tính xác suất để trong
1 giờ máy hoạt động có không quá 2 ống sợi
bị đứt.

Mô hình Poisson :
+ Xét n phép thử Bernoulli.
+ Trong đó xác suất thành công là p.
+ Các phép thử độc lập với nhau.
(Kết quả của phép thử này không ảnh hưởng đến kết
quả của các phép thử kia)
+ X – số lần xuất hiện thành công trong n phép
thử.
+ Trong đó n lớn ( n  100) và p nhỏ (p  0,01
và np  20).
Khi đó X ~ P(). Với  =np

 Ví dụ
Trong một đợt tiêm chủng cho 2000 trẻ
em ở một khu vực. Biết xác suất 1 trẻ bị
phản ứng với thuốc khi tiêm là 0.001.
Tính xác suất trong 2000 trẻ có không
quá 1 trẻ bị phản ứng khi tiêm thuốc.

 BNN X có phân phối siêu bội, X H(N, M, n)
3. Phân phối siêu bội
 
x n x
M N M
n
N
C C
p(x) P(X x) ; x 0,1, ,n
C


   
Ví dụ: Một lô hàng gồm có 10 sản phẩm,
trong đó có 4 loại A. Lấy ngẫu nhiên 4 sản
phẩm từ lô hàng, tính xác suất để có 2 sản
phẩm loại A

Nhận xét:
Nếu n << N thì  ,p =
Suy ra:
Khi n << N, thì H(N, M, n)  B(n;p) , p =
3. Phân phối siêu bội
x n x
M N M
n
N
C .C
C


x x n x
n
C p (1 p) 

N
M
N
M

 BNN X có phân phối chuẩn, X  N(μ; σ2)
 Xét biến ngẫu nhiên X ~ N(, 2). Chuẩn hóa X
bằng cách đặt
 Khi đó E(Z) = 0 và Var(Z) = 1. Ta nói Z có phân
phối chuẩn hóa. Ký hiệu X  N(0; 12)

4. Phân phối chuẩn
2
2
(x )
2
1
f (x) e
2


 



σ
μ
X
Z



Nhận xét: X  N(μ; σ2)
2 1
1 2
x x
1) P(x X x )
 
 
 
 
   
   
   
   
 
2) P X 2

  

 
    
 
x
3) P(X x) 0.5




 
    
 
 
 
 
P X 68%
P X 2 95%;
P X 3 99.99%
 
 
 
   

   


  



 Ví dụ: Lãi suất đầu tư vào Công ty B là biến
ngẫu nhiên có phân phối chuẩn , biết xác
suất để đạt được lãi suất trên 20%/ 1 năm là
0.2 và dưới 10%/ 1 năm là 0.1.
a) Tìm kỳ vọng và phương sai .
b) Tính xác suất để khi đầu tư vào công ty B đó
được lãi suất ít nhất 14%/ 1 năm.

 BNN X có phân phối mũ, X  Exp(λ)
5. Phân phối mũ
x
p(x) P(X x) e , x 0

 
   
: số biến cố xảy ra trung bình trong một đơn vị
thời gian.
x: số đơn vị thời gian cho đến biến cố kế tiếp.
e = 2.71828

Ví dụ: Số khác hàng đến một quầy dịch vụ với tỷ lệ là
15 người một giờ. Hỏi xác suất thời gian giữa 2 khách
hàng liên tiếp đến quầy dịch vụ ít hơn 3 phút là bao
nhiêu.
 Trung bình có 15 khách hàng đến trong 1 giờ, do đó 
= 15
 3 phút = 0.05 giờ
 T: thời gian giữa 2 khách hàng liên tiếp đến quầy.
 P(T < .05) = 1 – e- t = 1 – e-(15)(.05) = 0.5276
 Vậy có khoảng 52,76% khoảng thời gian giữa 2 khách
hàng liên tiếp đến làm dịch vụ tại quầy ít hơn 3 phút.
5. Phân phối mũ

 Xét biến ngẫu nhiên X ~ N(0,1) và Y ~ 2(n);
X và Y độc lập với nhau.
 Đặt
 Đại lượng ngẫu nhiên T gọi là có phân phối
Student với n bậc tự do.
 Ký hiệu: T ~ t(n)
X
T
Y
n

6. Phân phối student

 Xét Z1, Z2, ..., Zn là n biến ngẫu nhiên có phân phối
chuẩn hóa, tức là Zi ~ N(0,1) với i=1,..,n. Z1, Z2, ...,
Zn độc lập với nhau.
 Đặt
 Biến ngẫu nhiên gọi là có phân phối Chi – bình
phương với n bậc tự do.
 Ký hiệu:
2
1
2 2 2 2
1 2


  


n
n
i
i
Z Z Z
Z
2 2
~ ( )
  n
7. Phân phối chi bình phương
2


random variable and probability distributions

More Related Content

Similar to random variable and probability distributions (20)

More from novrain1 (13)

Recently uploaded (20)

random variable and probability distributions