RPG世界の形状及び距離の幾何学的考察(rogyconf61)
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RPG世界の形状はよくトーラスであるといわれるがその数学的議論はウェブ上に見当たらなかった。本スライドはその数学的議論の概要を説明したものである。 数学的議論の詳細はhttps://www.dropbox.com/sh/j5y0uodg937v9i9/AACfgrHmHKy2ABnfWRTtAwIHa?dl=0に置いてある。
![同値類
集合 𝑥 ∈ 𝑋 𝑎~𝑥 }を𝑎の定める同値類といい、
[𝑎]と書く。𝑎を同値類[𝑎]の代表元という。
つまり𝑎と同値であるような元全体の集合。
例
始点O向き(1,1)長さ 2の有向線分𝑣と同じ向きと
長さを持つベクトル(1,1) = 𝑣
同値類の集合が商集合](https://image.slidesharecdn.com/rogyconf61formalized-150712121404-lva1-app6891/85/RPG-rogyconf61-12-320.jpg)
![世界の形状～商空間の構成
商集合𝑅/~に商位相導入
𝑈𝑝−1
𝑈
𝑝: 𝑅 → 𝑅/~
𝑥 ↦ [𝑥]
𝑈が𝑅/~の開集合⇔𝑝−1
𝑈 が𝑅の開集合
𝑝が連続になる](https://image.slidesharecdn.com/rogyconf61formalized-150712121404-lva1-app6891/85/RPG-rogyconf61-25-320.jpg)
![世界の距離
𝑅上の曲線𝛾 𝑡 = 𝑢 𝑡 , 𝑣 𝑡 𝛼 ≤ 𝑡 ≤ 𝛽
を𝑇上に写すと
𝑢 = 𝑢 𝑡 , 𝑣 = 𝑣 𝑡 [𝛼 ≤ 𝑡 ≤ 𝛽]
𝜋 ∘ 𝛾 𝑡 =
1
2𝜋
𝑎 cos
2𝜋𝑢
𝑎
, 𝑎 sin
2𝜋𝑢
𝑎
, 𝑏 cos
2𝜋𝑣
𝑏
, 𝑏 sin
2𝜋𝑣
𝑏](https://image.slidesharecdn.com/rogyconf61formalized-150712121404-lva1-app6891/85/RPG-rogyconf61-41-320.jpg)
![世界の距離
𝑇上の曲線𝜋 ∘ 𝛾 𝑡 [𝛼 ≤ 𝑡 ≤ 𝛽]の長さ
cos2
𝑥 + sin2
𝑥 = 1より
𝐿 𝜋 = 𝛼
𝛽 d𝑢
d𝑡
2
+
d𝑣
d𝑡
2
d𝑡 = 𝐿
𝐿 𝜋 =
𝛼
𝛽
− 𝑢 sin
2𝜋𝑢
𝑎
2
+ 𝑢 cos
2𝜋𝑢
𝑎
2
+ − 𝑣 sin
2𝜋𝑣
𝑏
2
+ 𝑣 cos
2𝜋𝑣
𝑏
2
d𝑡
よって等長](https://image.slidesharecdn.com/rogyconf61formalized-150712121404-lva1-app6891/85/RPG-rogyconf61-42-320.jpg)
RPG世界の形状及び距離の幾何学的考察(rogyconf61)
- 2. 自己紹介 ٩( ᐛ )<و数学さいこ～～～！ カイヤン @chijan_titech ∈ 𝑅𝑃𝐺王国 ∩ 数学の科学
- 9. 商集合・商空間 商集合：集合Aを同値関係～で互いに同値な元を 同一視した集合A/～。位相を入れて商空間 例 有向線分集合を「向きと長さが等しい」という同値 関係で同一視したものが幾何ベクトルの集合
- 11. 商集合・商空間 A 0,0 , B 𝑎, 0 , C 𝑎, 𝑏 , D(0, 𝑏)を頂点とする、 平面内の長方形ABCDを𝑅とする。つまり 𝑅: = { 𝑢, 𝑣 ∈ ℝ2 |0 ≤ 𝑢 ≤ 𝑎 , 0 ≤ 𝑣 ≤ 𝑏} とする。ここにおいて関係~を次で定める: 𝑢, 𝑣 ~ 𝑢, 𝑣 , 𝑢, 0 ~ 𝑢, 𝑏 , 𝑢, 𝑏 ~ 𝑢, 0 , 0, 𝑣 ~ 𝑎, 𝑣 , 𝑎, 𝑣 ~(0, 𝑣)
- 12. 同値類 集合 𝑥 ∈ 𝑋 𝑎~𝑥 }を𝑎の定める同値類といい、 [𝑎]と書く。𝑎を同値類[𝑎]の代表元という。 つまり𝑎と同値であるような元全体の集合。 例 始点O向き(1,1)長さ 2の有向線分𝑣と同じ向きと 長さを持つベクトル(1,1) = 𝑣 同値類の集合が商集合
- 13. 同値類 先ほどの長方形の商集合 𝑅/~ 𝑅/~ = 𝑢, 𝑣 , 𝑢, 0 , 0, 𝑣 , 0,0 𝑢, 𝑣 = 𝑢, 𝑣 𝑢, 0 = 𝑢, 0 , 𝑢, 𝑏 0, 𝑣 = 0, 𝑣 , 𝑎, 𝑣 0,0 = { 0,0 , 𝑎, 0 , 0, 𝑏 , 𝑎, 𝑏 }
- 14. 同値類 先ほどの長方形の商集合 𝑅/~ 𝑅/~ = 𝑢, 𝑣 , 𝑢, 0 , 0, 𝑣 , 0,0 これはトーラスなのか？
- 15. 世界の形状 商集合 𝑅/~ V.S. トーラス
- 16. 世界の形状 商空間 𝑅/~ ≅ トーラス ≅ RPG世界の形状はトーラスである！
- 18. 世界の形状～商空間の構成～位相 ∀𝜀 > 0を固定。 写像𝑓について 実連続：∃𝛿 > 0𝑠. 𝑡. 𝑓 𝑥 − 𝑓 𝑎 < 𝜀 for ∀𝑥( 𝑥 − 𝑎 < 𝛿) 距離連続：∃𝛿 > 0𝑠. 𝑡. 𝑑 𝑓 𝑥 , 𝑓 𝑎 < 𝜀 for ∀𝑥(𝑑 𝑥, 𝑎 < 𝛿)
- 19. 世界の形状～商空間の構成～位相 気持ち：距離がない世界で連続性を考えたい 現状： ℎ𝑜𝑔𝑒 − 𝑓𝑢𝑔𝑎 < 𝑝𝑖𝑦𝑜, 𝑑 𝑓𝑜𝑜, 𝑏𝑎𝑟 < 𝑏𝑎𝑧 ◦ 距離が必要 ◦ ↑そマ？ ◦ 半径piyoの開球やbarのbaz近傍 ◦ 開球や近傍は開集合であった
- 20. 世界の形状～商空間の構成～位相 先ほどの連続の定義を開集合で換言 ∃𝛿 > 0𝑠. 𝑡. 𝑓 𝑥 ∈ 𝑓 𝑎 − 𝜀, 𝑓 𝑎 + 𝜀 for ∀𝑥 ∈ 𝑎 − 𝛿, 𝑎 + 𝛿 ∀𝑉, ∃𝑈 𝑠. 𝑡. 𝑓 𝑎 ∈ 𝑉 for ∀𝑎 ∈ 𝑈 ∀𝑉 nbhd of 𝑓 𝑎 , ∃𝑈 nbhd of 𝑎 𝑠. 𝑡. 𝑓 𝑈 ⊂ 𝑉
- 21. 世界の形状～商空間の構成～位相 先ほどの連続の定義を開集合で換言 ∀𝑉 nbhd of 𝑓 𝑥 , ∃𝑈 nbhd of 𝑥 𝑠. 𝑡. 𝑓 𝑈 ⊂ 𝑉 距離というよりむしろ開集合があれば連続の 抽象化を考えられる 開集合の抽象化が位相
- 22. 世界の形状～商空間の構成～位相 実関数𝑓: 𝑋 → 𝑌が各点連続とは ∀𝑥 ∈ 𝑋, ∀𝜀 > 0, ∃𝛿 > 0𝑠. 𝑡. 𝑓 𝑥 − 𝑓 𝑎 < 𝜀 for ∀𝑥( 𝑥 − 𝑎 < 𝛿) 位相空間間の写像𝑓: 𝑋 → 𝑌が各点連続とは ∀𝑥 ∈ 𝑋, ∀𝑉 nbhd of 𝑓 𝑥 , ∃𝑈 nbhd of 𝑥 𝑠. 𝑡. 𝑓 𝑈 ⊂ 𝑉 ∀𝑉 ⊂ 𝑌 open , 𝑓−1 𝑉 ⊂ 𝑋(open)
- 25. 世界の形状～商空間の構成 商集合𝑅/~に商位相導入 𝑈𝑝−1 𝑈 𝑝: 𝑅 → 𝑅/~ 𝑥 ↦ [𝑥] 𝑈が𝑅/~の開集合⇔𝑝−1 𝑈 が𝑅の開集合 𝑝が連続になる
- 26. 世界の形状～同相性の証明 𝑝: 𝑅 → 𝑅/~ 𝜋: 𝑅 → 𝑇 𝑓: 𝑅/~ → 𝑇 全射連続 全射連続 連続？ 全単射？ 逆写像も連続？
- 27. 世界の形状～同相性の証明 𝜋: 𝑅 → 𝑇 𝜋: 𝑢, 𝑣 ↦ 1 2𝜋 𝑎𝑐𝑜𝑠 2𝜋 𝑎 𝑢 , 𝑎 sin 2𝜋 𝑎 𝑢 , 𝑏 cos 2𝜋 𝑏 𝑣 , 𝑏 sin 2𝜋 𝑏 𝑣 ←なのでこの絵は嘘 ↑ほんとは4次元空間の曲面 明らかに全射
- 28. 世界の形状～同相性の証明 𝑓: 𝑅/~ → 𝑇 𝑓: 𝑢, 𝑣 ↦ 1 2𝜋 𝑎cos 2𝜋 𝑎 𝑢 , 𝑎sin 2𝜋 𝑎 𝑢 , 𝑏cos 2𝜋 𝑏 𝑣 , 𝑏sin 2𝜋 𝑏 𝑣 周囲の同一視と1周期ぶん だけの定義域なので 単射もOK
- 29. 世界の形状～同相性の証明 𝑝: 𝑅 → 𝑅/~ 𝜋: 𝑅 → 𝑇 𝑓: 𝑅/~ → 𝑇 全射連続 全射連続 全単射
- 30. 世界の形状～同相性の証明 定理(報告書Lem.2.3.2) 連続写像𝑓: 𝑋 → 𝑌、 𝑓は全射で𝑌 = 𝑋/~に 𝑓による商位相が入っているものとする。更に 写像𝑔: 𝑋 → 𝑍, ℎ: 𝑌 → 𝑍があって𝑔 = ℎ ∘ 𝑓で あるとき、𝑔が連続であることとℎが連続である ことは同値である。
- 31. 世界の形状～同相性の証明 𝑝: 𝑅 → 𝑅/~ 𝜋: 𝑅 → 𝑇 𝑓: 𝑅/~ → 𝑇 全射連続 全射連続 定理により連続全単射 Hausdorff コンパクト コンパクト
- 32. 世界の形状～同相性の証明 定理(報告書Lem.2.3.4) コンパクト位相空間𝑋とHausdorff位相空間𝑌と の間の写像𝑓: 𝑋 → 𝑌が連続全単射であると する. 𝑓は同相写像となる.
- 33. 世界の形状～同相性の証明 𝑝: 𝑅 → 𝑅/~ 𝜋: 𝑅 → 𝑇 𝑓: 𝑅/~ → 𝑇 全射連続 全射連続 連続全単射 Hausdorff コンパクト コンパクト 定理によりfは同相
- 34. 世界の形状 商空間 𝑅/~ ≅ トーラス ≅ RPG世界の形状はトーラスである！
- 37. 世界の距離 ３次元空間のトーラスじゃRPG世界にならない のか？ 球面同様に、基本量が等長地図の条件を満 たさない(『曲線と曲面』68-70ページ) 𝜋′: 𝑢, 𝑣 ↦ 1 2𝜋 𝑎 + 𝑏 cos 2𝜋 𝑎 𝑢 cos 2𝜋 𝑏 𝑣 , 𝑎 + 𝑏 cos 2𝜋 𝑎 𝑢 sin 2𝜋 𝑏 𝑣 , 𝑏 sin 2𝜋 𝑎 𝑢
- 40. 世界の距離 𝑅上の滑らかな曲線𝛾 𝑡 = 𝑢 𝑡 , 𝑣 𝑡 𝛼 ≤ 𝑡 ≤ 𝛽 の長さ 𝐿 = 𝛼 𝛽 d𝑢 d𝑡 2 + d𝑣 d𝑡 2 d𝑡
- 41. 世界の距離 𝑅上の曲線𝛾 𝑡 = 𝑢 𝑡 , 𝑣 𝑡 𝛼 ≤ 𝑡 ≤ 𝛽 を𝑇上に写すと 𝑢 = 𝑢 𝑡 , 𝑣 = 𝑣 𝑡 [𝛼 ≤ 𝑡 ≤ 𝛽] 𝜋 ∘ 𝛾 𝑡 = 1 2𝜋 𝑎 cos 2𝜋𝑢 𝑎 , 𝑎 sin 2𝜋𝑢 𝑎 , 𝑏 cos 2𝜋𝑣 𝑏 , 𝑏 sin 2𝜋𝑣 𝑏
- 42. 世界の距離 𝑇上の曲線𝜋 ∘ 𝛾 𝑡 [𝛼 ≤ 𝑡 ≤ 𝛽]の長さ cos2 𝑥 + sin2 𝑥 = 1より 𝐿 𝜋 = 𝛼 𝛽 d𝑢 d𝑡 2 + d𝑣 d𝑡 2 d𝑡 = 𝐿 𝐿 𝜋 = 𝛼 𝛽 − 𝑢 sin 2𝜋𝑢 𝑎 2 + 𝑢 cos 2𝜋𝑢 𝑎 2 + − 𝑣 sin 2𝜋𝑣 𝑏 2 + 𝑣 cos 2𝜋𝑣 𝑏 2 d𝑡 よって等長
- 43. 世界の形状・距離 ≅ RPG世界の形状は式πによるトーラスである！ 距離も矛盾しない！ 𝜋: 𝑢, 𝑣 ↦ 1 2𝜋 𝑎𝑐𝑜𝑠 2𝜋 𝑎 𝑢 , 𝑎 sin 2𝜋 𝑎 𝑢 , 𝑏 cos 2𝜋 𝑏 𝑣 , 𝑏 sin 2𝜋 𝑏 𝑣