![2014/03/19立命館大学競技プログラミング合宿
想定解法
"3
d日目に都市iを見張っている敵の数w[d][i]を求める!
!
!
DPによってd日目に都市iにいるときの最小リスク
を求める!
dp[d+1][i] := min{dp[d][j] + w[d][j]*abs(p[i]-p[j])}!
!](https://image.slidesharecdn.com/editorial-f-140322030100-phpapp02/85/RUPC2014_Day3_F-3-320.jpg)
![2014/03/19立命館大学競技プログラミング合宿
想定TLE解法
d日目に都市iを見張っている敵の数w[d][i]を求める!
それぞれの敵が見張っているか普通に判定: O(DNM)!
!
DPによってd日目に都市iにいるときの最小リスクを求
める!
dp[d+1][i] := min{dp[d][j] + w[d][j]*abs(p[i]-p[j])}!
!
愚直にdpを更新: O(DN2
)
"4](https://image.slidesharecdn.com/editorial-f-140322030100-phpapp02/85/RUPC2014_Day3_F-4-320.jpg)
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想定TLE解法
d日目に都市iを見張っている敵の数w[d][i]を求める!
全ての敵について見張っているか判定: O(DNM)!
!
DPによってd日目に都市iにいるときの最小リスクを
求める!
dp[d+1][i] := min{dp[d][j] + w[d][j]*abs(p[i]-p[j])}!
!
愚直にdpを更新: O(DN2
)
"5](https://image.slidesharecdn.com/editorial-f-140322030100-phpapp02/85/RUPC2014_Day3_F-5-320.jpg)
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想定TLE解法
d日目に都市iを見張っている敵の数w[d][i]を求める!
全ての敵について見張っているか判定: O(DNM)!
!
DPによってd日目に都市iにいるときの最小リスクを
求める!
dp[d+1][i] := min{dp[d][j] + w[d][j]*abs(p[i]-p[j])}!
!
愚直にdpを更新: O(DN^2)
"16](https://image.slidesharecdn.com/editorial-f-140322030100-phpapp02/85/RUPC2014_Day3_F-16-320.jpg)
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DPの高速化
DPの式に注目し、変形を行う!
dp[d+1][i] := min{dp[d][j] + w[d][j]*abs(p[i]-p[j])}!
!
dp[d+1][i] := minj<i{dp[d][j] + w[d][j]*abs(p[i]-p[j])}!
!
dp[d+1][i] := minj<i{dp[d][j] + w[d][j]*(p[i]-p[j])}!
!
dp[d+1][i] := minj<i{w[d][j]*p[i] + dp[d][j] - w[d][j]*p[j]}!
!
赤：iの関数 青：iに関して定数
後戻りは意味がない
p[i]>p[j]
展開・変形
"17](https://image.slidesharecdn.com/editorial-f-140322030100-phpapp02/85/RUPC2014_Day3_F-17-320.jpg)
![2014/03/19立命館大学競技プログラミング合宿
DPの高速化
dp[d+1][i] := minj<i{w[d][j]*p[i] + dp[d][j] -
w[d][j]*p[j]}!
!
dp[d+1][x] := min{a * x + b}の形をしている!
すなわち、傾きw[d][j],切片dp[d][j]-w[d][j]*p[j]
の直線i-1個からなる直線集合のうち、x=p[i]で
最小値をとるものがわかればよい
"18](https://image.slidesharecdn.com/editorial-f-140322030100-phpapp02/85/RUPC2014_Day3_F-18-320.jpg)
![2014/03/19立命館大学競技プログラミング合宿
Convex Hull Trick
dp[d+1][x] := minj<i{a * x + b}の形をしている!
直線i-1個からなる!
最小値を取る直線のみを考え、その直線の1次式
にp[i]を代入することでO(1)で最小値が求まる
"19](https://image.slidesharecdn.com/editorial-f-140322030100-phpapp02/85/RUPC2014_Day3_F-19-320.jpg)
![2014/03/19立命館大学競技プログラミング合宿
Convex Hull Trick
通常の場合、新たに直線を追加するときに「最小値となり
うるか」を動的に管理するためO(logN)必要!
今回は傾きw[d][j]が単調非増加なことを利用することで、
(ならし)O(1)で管理できる!
w[d][j]≧w[d][j+1]: 監視されている人数は右側の都市ほど
少ない
"20](https://image.slidesharecdn.com/editorial-f-140322030100-phpapp02/85/RUPC2014_Day3_F-20-320.jpg)
![2014/03/19立命館大学競技プログラミング合宿
Convex Hull Trick
アバウトな流れ
for(i from 1 to N){
1. 直線集合から、x=p[i]について最小となる直線f(x)を
計算(ならしO(1))
2. dpを更新： dp[d+1][i] = f(p[i])
3. 必要のない直線を削除し(ならしO(1))、傾きw[d][i]、
切片dp[d][i]-w[d][i]*p[i]の直線を追加
}
"21](https://image.slidesharecdn.com/editorial-f-140322030100-phpapp02/85/RUPC2014_Day3_F-21-320.jpg)
![2014/03/19立命館大学競技プログラミング合宿
Convex Hull Trick
Convex Hull Trickにより、dp[d][i]を1≦i≦Nの区間で更新
するのがO(N)でできるようになった!
よって、DPが全体でO(DN)!
!
Convex Hull Trickのより詳細な説明は下記参照!
蟻本2版 p.304 「K-Anonymous Sequence」!
sune2さんのブログ: http://d.hatena.ne.jp/sune2/
20140310/1394440369
"22](https://image.slidesharecdn.com/editorial-f-140322030100-phpapp02/85/RUPC2014_Day3_F-22-320.jpg)
RUPC2014_Day3_F
- 1. 2014/03/19立命館大学競技プログラミング合宿 F: Dangerous Delivery! - 危険な輸送 - 原案：井上! 解答：井上 "1
- 3. 2014/03/19立命館大学競技プログラミング合宿 想定解法 "3 d日目に都市iを見張っている敵の数w[d][i]を求める! ! ! DPによってd日目に都市iにいるときの最小リスク を求める! dp[d+1][i] := min{dp[d][j] + w[d][j]*abs(p[i]-p[j])}! !
- 4. 2014/03/19立命館大学競技プログラミング合宿 想定TLE解法 d日目に都市iを見張っている敵の数w[d][i]を求める! それぞれの敵が見張っているか普通に判定: O(DNM)! ! DPによってd日目に都市iにいるときの最小リスクを求 める! dp[d+1][i] := min{dp[d][j] + w[d][j]*abs(p[i]-p[j])}! ! 愚直にdpを更新: O(DN2 ) "4
- 5. 2014/03/19立命館大学競技プログラミング合宿 想定TLE解法 d日目に都市iを見張っている敵の数w[d][i]を求める! 全ての敵について見張っているか判定: O(DNM)! ! DPによってd日目に都市iにいるときの最小リスクを 求める! dp[d+1][i] := min{dp[d][j] + w[d][j]*abs(p[i]-p[j])}! ! 愚直にdpを更新: O(DN2 ) "5
- 15. 2014/03/19立命館大学競技プログラミング合宿 敵の処理 敵の位置をx軸に集めソートする = O(M logM)! 都市の右にいる敵の数=都市を監視する敵の数! 左の都市・左の敵から順に調べることで線形で 計算できる = O(D(N+M)) 計6人都市2の左! :1人 都市1の左! :0人 1人抜かした 2人抜かした 都市3の左! :3人 "15
- 16. 2014/03/19立命館大学競技プログラミング合宿 想定TLE解法 d日目に都市iを見張っている敵の数w[d][i]を求める! 全ての敵について見張っているか判定: O(DNM)! ! DPによってd日目に都市iにいるときの最小リスクを 求める! dp[d+1][i] := min{dp[d][j] + w[d][j]*abs(p[i]-p[j])}! ! 愚直にdpを更新: O(DN^2) "16
- 17. 2014/03/19立命館大学競技プログラミング合宿 DPの高速化 DPの式に注目し、変形を行う! dp[d+1][i] := min{dp[d][j] + w[d][j]*abs(p[i]-p[j])}! ! dp[d+1][i] := minj<i{dp[d][j] + w[d][j]*abs(p[i]-p[j])}! ! dp[d+1][i] := minj<i{dp[d][j] + w[d][j]*(p[i]-p[j])}! ! dp[d+1][i] := minj<i{w[d][j]*p[i] + dp[d][j] - w[d][j]*p[j]}! ! 赤：iの関数 青：iに関して定数 後戻りは意味がない p[i]>p[j] 展開・変形 "17
- 18. 2014/03/19立命館大学競技プログラミング合宿 DPの高速化 dp[d+1][i] := minj<i{w[d][j]*p[i] + dp[d][j] - w[d][j]*p[j]}! ! dp[d+1][x] := min{a * x + b}の形をしている! すなわち、傾きw[d][j],切片dp[d][j]-w[d][j]*p[j] の直線i-1個からなる直線集合のうち、x=p[i]で 最小値をとるものがわかればよい "18
- 19. 2014/03/19立命館大学競技プログラミング合宿 Convex Hull Trick dp[d+1][x] := minj<i{a * x + b}の形をしている! 直線i-1個からなる! 最小値を取る直線のみを考え、その直線の1次式 にp[i]を代入することでO(1)で最小値が求まる "19
- 20. 2014/03/19立命館大学競技プログラミング合宿 Convex Hull Trick 通常の場合、新たに直線を追加するときに「最小値となり うるか」を動的に管理するためO(logN)必要! 今回は傾きw[d][j]が単調非増加なことを利用することで、 (ならし)O(1)で管理できる! w[d][j]≧w[d][j+1]: 監視されている人数は右側の都市ほど 少ない "20
- 21. 2014/03/19立命館大学競技プログラミング合宿 Convex Hull Trick アバウトな流れ for(i from 1 to N){ 1. 直線集合から、x=p[i]について最小となる直線f(x)を 計算(ならしO(1)) 2. dpを更新： dp[d+1][i] = f(p[i]) 3. 必要のない直線を削除し(ならしO(1))、傾きw[d][i]、 切片dp[d][i]-w[d][i]*p[i]の直線を追加 } "21
- 22. 2014/03/19立命館大学競技プログラミング合宿 Convex Hull Trick Convex Hull Trickにより、dp[d][i]を1≦i≦Nの区間で更新 するのがO(N)でできるようになった! よって、DPが全体でO(DN)! ! Convex Hull Trickのより詳細な説明は下記参照! 蟻本2版 p.304 「K-Anonymous Sequence」! sune2さんのブログ: http://d.hatena.ne.jp/sune2/ 20140310/1394440369 "22
- 24. 2014/03/19立命館大学競技プログラミング合宿 提出状況 First Acceptance! on-site: 正答者なし! on-line: Komaki (01:59)! 正答率 1/4 (25.0%)