Кватернионы
5 likes9,946 views
Документ посвящен теории кватернионов и их применению в динамике твёрдого тела. В нем рассматриваются основные операции, свойства и преобразования, связанные с кватернионами, включая определение, умножение, сопряжение и вращение. Также описаны геометрические интерпретации и связи между кватернионами и ортогональными матрицами.
Кватернионы
- 1. кватернионы Динамика твёрдого тела и систем твёрдых тел Юдинцев В. В. 13 сентября 2015 г. Кафедра теоретической механики Самарский государственный аэрокосмический университет им. академика С. П. Королёва (национальный исследовательский университет) http://yudintsev.info
- 2. определение
- 3. ортогональное преобразование AR1 = λ1R1, λ1 = 1 (1) cos φ = trA − 1 2 (2) • R1 – направление оси вращения • φ – угол поворота • 9 элементов матрицы определяют поворот, описываемый 3 параметрами 2
- 4. четырёхмерный вектор Рассмотрим элемент четырёхмерного пространства – четырёхмерный вектор: Λ = λ0i0 + λ1i1 + λ2i2 + λ3i3 (3) где λ0, . . . , λ3 – числа, i0, . . . , i3 – единичные орты. 3
- 5. алгебра кватернионов Определим в пространстве операцию умножения C = A ◦ B со следующими свойствами: 1. ассоциативность A ◦ (B ◦ C) = (A ◦ B) ◦ C (4) 2. дистрибутивность (A + B) ◦ (C + D) = A ◦ C + A ◦ D + B ◦ C + B ◦ D (5) 3. для любых скаляров λ, µ выполняется: (λA) ◦ (µB) = λµA ◦ B (6) 4
- 6. правила умножения i0 ◦ ik = ik, k = 0, 1, 2, 3, ik ◦ i0 = ik, k = 0, 1, 2, 3, ik ◦ ik = −i0, k = 1, 2, 3, i1 ◦ i2 = +i3, i2 ◦ i3 = +i1, i3 ◦ i1 = +i2, i2 ◦ i1 = −i3, i3 ◦ i2 = −i1, i1 ◦ i3 = −i2 5
- 7. кватернион Определение При выполнении условий (4)-(6) и представленных правил умножения, четырехмерные векторы (3) называются кватернионами. 6
- 8. геометрическая интерпретация 1. i0 - вещественная единица, 2. i1, i2, i3 - орты некоторой системы координат евклидова пространства, Λ = λ0 + λ1i1 + λ2i2 + λ3i3 = λ0 + λλλ. (7) 3. В качестве абстрактной операции умножения неодинаковых ортов, рассматривается операция векторного произведения: ik ◦ ik = −1, ik ◦ im = ik × im, k ̸= m (8) 7
- 9. произведение кватернионов Вычисление произведения кватернионов Λ ◦ B = (λ0 + λλλ) ◦ (b0 + b) = (λ0 + λ1i1 + λ2i2 + λ3i3) ◦ (b0 + b1i1 + b2i2 + b3i3) = λ0b0 + λ1b1i1 ◦ i1 + λ2b2i2 ◦ i2 + λ3b3i3 ◦ i3+ +λ0b+b0λ+λ1b2i3 − λ1b3i2 − λ2b1i3 + λ2b3i1 + λ3b1i2 − λ3b2i1 λλλ×b = = λ0b0 − λλλ · b скалярная часть + λ0b + λλλb0 + λλλ × b векторная часть . (9) Умножение кватернионов не обладает свойством коммутативности Λ ◦ B ̸= B ◦ Λ 8
- 11. определения • Сопряженный кватернион Λ: Λ = λ0 + λ, Λ = λ0 − λλλ (10) • Норма кватерниона: |Λ| = Λ ◦ Λ = Λ ◦ Λ = λ2 0 + λ2 1 + λ2 2 + λ2 3. (11) • Обратный кватернион: Λ−1 = Λ |Λ| , |Λ| ̸= 0. (12) 10
- 12. свойства Для произведения кватернионов выполняются следующие свойства: A ◦ B = B ◦ A. (13) Норма произведения двух кватернионов равна произведению норм кватернионов: |A ◦ B| = (A ◦ B) ◦ (A ◦ B) = A ◦ B ◦ B ◦ A = |A||B|. (14) 11
- 13. свойства Операция произведения кватернионов инвариантна по отношению к ортогональным преобразованиям их векторной части. То есть если: C0 + C = (Λ0 + Λ) ◦ (B0 + B), (15) то C0 + C′ = (Λ0 + Λ′ ) ◦ (B0 + B′ ), (16) где C′ = AC, Λ′ = AΛ, B′ = AB, A – матрица поворота . Это свойство позволяет переставлять местами операции ортогонального преобразования и умножения кватернионов. 12
- 15. присоединённое отображение Рассмотрим преобразование кватерниона R = r0 + r: R′ = Λ ◦ R ◦ Λ |Λ| = 1. (17) Преобразование (17), не меняет скалярной части кватерниона R Λ ◦ R ◦ Λ = Λ ◦ (r0 + r) ◦ Λ = Λ ◦ r0 ◦ Λ + Λ ◦ r ◦ Λ. Первое слагаемое равно r0, а второе слагаемое не имеет скалярной части, поскольку сопряженный кватернион соответствующий второму слагаемому отличается от исходного только знаком: Λ ◦ r ◦ Λ = Λ ◦ r ◦ Λ = −Λ ◦ r ◦ Λ. 14
- 16. присоединённое отображение При преобразовании R′ = Λ ◦ R ◦ Λ |Λ| = 1 (18) сохраняется норма кватерниона R: |R′ | = |Λ ◦ R ◦ Λ| = |Λ||R||Λ| = |R|. Скалярная часть кватерниона R при преобразовании (18) не меняется, следовательно: |r′ | = |r|. 15
- 17. тригонометрическая форма записи Кватернион Λ с единичной нормой может быть представлен в виде: Λ = λ0 + λe, | e | = 1, λ2 0 + λ2 = 1. Скаляры λ0 и λ определяются следующим образом: λ0 = cos φ 2 , λ = sin φ 2 . Λ = cos φ 2 + e sin φ 2 16
- 18. преобразование вращения Теорема Пусть Λ и R нескалярные кватернионы; в этом случае величина R′ = Λ ◦ R ◦ Λ (19) есть кватернион, норма и скалярная часть которого равны норме и скалярной части кватерниона R, а векторная часть R′ получается вращением векторной части R по конусу вокруг оси вектора, определяемой векторной частью Λ. 17
- 19. преобразование вращения Если Λ = cos φ 2 + e sin φ 2 , то векторная часть R′ получится вращением векторной части R вокруг оси e на угол φ: R′ = Λ ◦ R ◦ Λ 18
- 20. пример: поворот вокруг оси x Пусть вектор e совпадает с ортом i исходной системы координат: Λ = cos φ 2 + i sin φ 2 Орты новой системы: i′ = Λ ◦ i ◦ Λ = (cos φ 2 + i sin φ 2 ) ◦ i ◦ (cos φ 2 − i sin φ 2 ), (20) j′ = Λ ◦ j ◦ Λ = (cos φ 2 + i sin φ 2 ) ◦ j ◦ (cos φ 2 − i sin φ 2 ), (21) k′ = Λ ◦ k ◦ Λ = (cos φ 2 + i sin φ 2 ) ◦ k ◦ (cos φ 2 − i sin φ 2 ), (22) 19
- 21. матрица поворота Орты новой системы: i′ = i, j′ = j cos φ + k sin φ, k′ = −j sin φ + k cos φ. Т.е. соответствующая матрица A имеет вид: A = 1 0 0 0 cos φ − sin φ 0 sin φ cos φ . (23) 20
- 23. активная точка зрения • Первый поворот: R′ = A ◦ R ◦ A • Второй поворот: R′′ = B ◦ R′ ◦ B • Результирующий поворот: R′′ = B ◦ A ◦ R ◦ A ◦ B = C ◦ R ◦ C Кватернионы последовательных поворотов записываются в исходном базисе и перемножаются в обратном порядке. C = B ◦ A 22
- 24. пример • Поворот вокруг оси x0 на угол φ1 = π/2: A = cos π 4 + ex sin π 4 • Поворот вокруг оси y0 на угол φ2 = π/2 B = cos π 4 + ey sin π 4 23
- 25. пример Итоговое преобразование: C = B ◦ A B ◦ A = (cos π 4 + ey sin π 4 )◦ (cos π 4 + ex sin π 4 ) = cos2 π 4 + + 1 2 ex sin π 2 + 1 2 ey sin π 2 −ez sin2 π 4 = = 1 2 + 1 2 ex + 1 2 ey − 1 2 ez = C = cos π 3 + (ex + ey + ez) √ 3 sin π 3 24
- 26. пассивная точка зрения (поворот базиса) • Вектор в исходном базисе: R = xe0 1 + ye0 2 + ze0 3 • Вектор в новом базисе: R = x′ e1 1 + y′ e1 2 + z′ e1 3 • Поворот базисных векторов: e1 1 = A ◦ e0 1 ◦ A, e1 2 = A ◦ e0 2 ◦ A, e1 3 = A ◦ e0 3 ◦ A, (24) e0 1 = A ◦ e1 1 ◦ A, e0 2 = A ◦ e1 2 ◦ A, e0 3 = A ◦ e1 3 ◦ A. (25) 25
- 27. пассивная точка зрения (поворот базиса) • Вектор R в исходном и в новом базисе: R = e0 1 x + e0 2y + e0 3z = A ◦ (e0 1 x′ + e0 2y′ + e0 3z′ ) ◦ A • Для e0 1 = 1 0 0 , e0 2 = 0 1 0 , e0 3 = 0 0 1 . R = A ◦ R′ ◦ A ⇒ R′ = A ◦ R′ ◦ A (26) Если преобразование единичных векторов базиса определяется операцией (24), то преобразование координат неизменного вектора R определяется обратной операцией (26). 26
- 28. параметры родрига-гамильтона Определение Компоненты кватерниона в базисе, преобразуемом этим кватернионом, заданные в форме λ0 = cos φ 2 , λ1 = ex sin φ 2 , λ2 = ey sin φ 2 , λ3 = ez sin φ 2 (27) называются параметрами Родрига-Гамильтона. 27
- 29. параметры родрига-гамильтона Кватернион, компонентами которого являются параметры Родрига-Гамильтона, имеет одинаковые компоненты в исходной и новой (повёрнутой) системах координат – это собственный кватернион преобразования Λ∗ . • Для преобразования e0 Λ −→ e1 , • компоненты кватерниона преобразования в новом базисе: Λ(1) = Λ ◦ Λ ◦ Λ = Λ. 28
- 30. пассивная точка зрения • Первый поворот e0 A −→ e1: R′ = A ◦ R ◦ A • Второй поворот e1 B −→ e2: R′′ = B ◦ R′ ◦ B • Результирующий поворот e0 C −→ e2: C = B0 ◦ A = A ◦ B ◦ A B1→B0 ◦A = A ◦ B R′′ = B ◦ A ◦ R ◦ A ◦ B = C ◦ R ◦ C, C = A ◦ B Кватернионы последовательных поворотов записываются в поворачиваемых базисах и перемножаются в прямом порядке. 29
- 32. кватернионы и ортогональные матрицы Рассмотрим преобразование поворота R′ = Λ ◦ R ◦ Λ где R = xe1 + ye2 + ze3 и R′ = x′e1 + y′e2 + z′e3 R′ = (λ0 + λ1e1 + λ2e2 + λ3e3) ◦ R ◦ (λ0 − λ1e1 − λ2e2 − λ3e3) Координаты нового вектора: x′ = (λ2 0 + λ2 1 − λ2 2 − λ2 3)x + 2(λ1λ2 − λ0λ3)y + 2(λ1λ3 + λ0λ2)z, y′ = 2(λ1λ2 + λ0λ3)x + (λ2 0 + λ2 2 − λ2 1 − λ2 3)y + 2(λ2λ3 − λ0λ1)z, z′ = 2(λ1λ3 − λ0λ2)x + 2(λ2λ3 + λ0λ1)y + (λ2 0 + λ2 3 − λ2 1 − λ2 2)z. 31
- 33. кватернион → матрица поворота A = 2(λ2 0 + λ2 1) − 1 2(λ1λ2 − λ0λ3) 2(λ1λ3 + λ0λ2) 2(λ1λ2 + λ0λ3) 2(λ2 0 + λ2 2) − 1 2(λ2λ3 − λ0λ1) 2(λ1λ3 − λ0λ2) 2(λ2λ3 + λ0λ1) 2(λ2 0 + λ2 3) − 1 32
- 34. матрица поворота → кватернион λ2 0 = trA + 1 4 , (28) λ2 i = aii 2 − trA − 1 4 , i = 1, 2, 3. (29) 33
- 35. кватернионы и углы эйлера • Кватернионы поворотов вокруг осей z, x, z поворачиваемых базисов: Λψ = cos ψ 2 + ez sin ψ 2 , (30) Λθ = cos θ 2 + ex sin θ 2 , (31) Λφ = cos φ 2 + ez sin φ 2 . (32) • Результирующий поворот Λ = Λψ ◦ Λθ ◦ Λφ (33) 34
- 36. углы эйлера (z-x-z) → Λ Для последовательности Z − X − Z (ψ, θ, φ): λ0 = + cos θ 2 cos φ + ψ 2 , λ1 = + sin θ 2 cos φ − ψ 2 , λ2 = − sin θ 2 sin φ − ψ 2 , λ3 = + cos θ 2 sin φ + ψ 2 . 35
- 37. углы брайнта (x-y-z) → Λ Для последовательности X − Y − Z (ψ, θ, φ): λ0 = cos θ 2 cos φ 2 cos ψ 2 − sin θ 2 sin φ 2 sin ψ 2 , λ1 = sin θ 2 sin φ 2 cos ψ 2 + cos θ 2 cos φ 2 sin ψ 2 , λ2 = sin θ 2 cos φ 2 cos ψ 2 − cos θ 2 sin φ 2 sin ψ 2 , λ3 = cos θ 2 sin φ 2 cos ψ 2 + sin θ 2 cos φ 2 sin ψ 2 . 36
- 39. матричная интерпретация алгебры кватернионов Определим орты кватерниона при помощи матриц: i0 = ( 1 0 0 1 ) , i1 = ( 0 i i 0 ) , i2 = ( 0 −1 1 0 ) , i3 = ( i 0 0 −i ) где i = √ −1. Кватернион может быть записан в виде: Λ = λ0 ( 1 0 0 1 ) + λ1 ( 0 i i 0 ) + λ2 ( 0 −1 1 0 ) + λ3 ( i 0 0 −i ) или Λ = ( λ0 + iλ3 −λ2 + iλ1 λ2 + iλ1 λ0 − iλ3 ) 38
- 40. матричная интерпретация алгебры кватернионов. 1. Перемножение кватернионов выполняется как обычное перемножение матриц. 2. Сопряженный кватернион будет определятся, операцией транспонирования исходной матрицы и замены элементов на комплексно-сопряженные. Получившаяся матрица называется эрмитово-сопряженной: Λ = Λ∗ 3. Норма кватерниона вычисляется как определитель матрицы. 39
- 41. список использованных источников 1. Бранец В.Н., Шмыглевский И.П. Применение кватернионов в адачах ориентации твердого тела. Москва: Наука, 1973. 2. Журавлев В.Ф. Основы теоретической механики. Издательство физико-математической литературы, 2001. 40