УСЛОВНОЕ КОНТРОЛИРУЕМОЕ ФАЗОВОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КВАНТОВЫХ СОСТОЯНИЙ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ

Г.П. Мирошниченко, А.И. Трифанов
Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета
информационных технологий, механики и оптики, 2011, № 1 (71)
29
4
АНАЛИЗ И СИНТЕЗ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ
УДК 535.14
УСЛОВНОЕ КОНТРОЛИРУЕМОЕ ФАЗОВОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ
КВАНТОВЫХ СОСТОЯНИЙ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
Предложена модель трехкубитовой квантовой логической операции условного контролируемого фазового преобразо-
вания. Квантовая единица информации – кубит – закодирована в состоянии поляризации квантовой резонаторной мо-
ды. Получен условный полевой оператор эволюции трех квантовых мод, показано, что при некоторых параметрах сис-
темы и временах взаимодействия он с высокой вероятностью осуществляет требуемое фазовое преобразование.
Ключевые слова: квантовые вычисления, логический гейт, условный оператор, фазовое преобразование, однофо-
тонные состояния.
Введение
Квантовые информационные технологии [1–3], опираясь на современное представление о физике
микромира, позволяют передавать, хранить и обрабатывать информацию более эффективно, чем в сис-
темах, построенных на классических принципах. В отличие от классического бита, квантовая единица
информации – кубит – может находиться в суперпозиции состояний «0» и «1». Благодаря этому имеется
возможность осуществлять преобразование состояний большого числа кубитов одновременно (так назы-
ваемый квантовый параллелизм) [4]. Еще одним важным свойством, которым обладают кубиты, является
перепутывание [5]. Оно заключается в том, что в результате взаимодействия двух квантовых подсистем
между ними возникают корреляции, которые сохраняются после прекращения этого взаимодействия. Все
перечисленное широко используется в различных квантовых алгоритмах [6] и протоколах [7]. Преобра-
зование состояний кубитов и их систем осуществляют квантовые логические устройства (вентили, гей-
ты) [8]. Особый интерес вызывают те из них, которые позволят образовать логический базис квантовых
вычислений [9]. К ним относятся двухкубитовый вентиль Фредкина (CNOT – контролируемое НЕ) и
трехкубитовый вентиль Тоффоли (CCNOT  дважды контролируемое НЕ). В основе оптической реали-
зации этих устройств лежит операция контролируемого преобразования фазы (КПФ) [10]. КПФ – это
квантовая операция, в результате которой каждая компонента многокубитового состояния приобретает
фазовый множитель, зависящий от состояний отдельных кубитов компоненты. Реализация этой опера-
ции – нетривиальная задача. Попытки ее решения можно найти, например, в [11, 12].
Настоящая работа посвящена оптической реализации вероятностной операции КПФ трехкубитово-
го состояния. Каждый кубит (обозначим их a , b и c ) кодируется фоковским состоянием j ,
 1,0 j ,  cbaj ,, однофотонной моды резонатора. Операция КПФ действует следующим образом:
  cbacba cba
i   1,1,1,exp . (1)
Реализация (1) осуществляется за счет взаимодействия резонаторных мод с атомом, пролетающим
через резонатор. После взаимодействия над атомом проводится измерение, результаты которого можно
использовать для получения условного оператора эволюции электромагнитных полей. В работе предло-
жены параметры оптической системы и оценено время взаимодействия атома с модами резонатора, при
которых этот оператор осуществляет преобразование (1). Вычислены вероятность и качество (fidelity)
преобразования КПФ.
Оператор Гамильтона системы
Система, в которой реализуется операция КПФ, состоит из источника атомов, находящихся в не-
котором состоянии A , оптического резонатора с тремя возбужденными модами квантового поля и тре-
мя классическими полями, а также детектора атомных состояний. Число фотонов в каждой квантовой
моде может быть 0 или 1. На рис. 1 изображена система уровней атома, помещенного в резонатор с дей-
ствующими электромагнитными полями. Будем считать, что переходы 21  , 43  и 63 
разрешены для квантовых полей с состояниями поляризации a1 , b1 , c1 и частотами a , b и c .
На переходах 32  , 54  , 76  действуют классические поля с частотами 1 , 2 и 3 .
Оператор Гамильтона рассматриваемой системы можно записать так:

УСЛОВНОЕ КОНТРОЛИРУЕМОЕ ФАЗОВОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ...
30
qcFA VVHHH  . (2)
Здесь FA HH ,  атомный и полевой гамильтонианы в отсутствии взаимодействия:
kk
k
kA EH  

7
1
,
 
mm
cbam
mF aaH 

 
,,
 ,
где kkkk  ,  7,,2,1 k  проекторы на подпространства, соответствующие собственным значени-
ям AH : kEkH kA  ; 
ma и ma  соответственно операторы рождения и уничтожения фотона в моде
частоты m ,  cbam ,, ; cV и qV  зависящие от времени операторы взаимодействия атома с классиче-
скими и квантовыми полями:
        ..expexpexp 367324521231 chtititiVc   ,
     
 cccbbbaaaq aagaagaagV 566534431221  .
Рис. 1. Схема энергетических уровней атома с действующими квантовыми и классическими
электромагнитными полями
Здесь 1 , 2 , 3  частоты Раби классических полей, kg  константы связи для квантовых по-
лей. Запишем уравнение Шредингера с гамильтонианом (2):
       tVHHtHt
t
i FA 


 , (3)
где qc VVV  . Используем резонансное приближение. Определим следующие унитарные преобразова-
ния:
      kk
k
ktiiRttG  

7
1
expexp  , (4)
     
 




cbam
mmm taaiiQttW
,,
expexp  . (5)
Будем искать решение (3) в виде
       ttGtWt  . (6)
После подстановки (6) в уравнение (3) и дифференцирования получим:
             .t
t
ittWtVGtGtWQHRH FA 


 
 (7)
Здесь учтено, что операторы (4) и (5) коммутируют с 0H . Параметры k и k выберем так, что-
бы операторы cV и qV не содержали колебаний на оптических частотах. В результате получим следую-
щие выражения для операторов в левой части (7):
  kk
k
kkk
k
kkA ERH  

7
1
7
1
 ,
 
   
mm
cbam
mmm
cbam
mmF aaaaQH 



 
,,,,
 .

31
В силу того, что число условий на k и m меньше, чем количество этих параметров, часть из
них можно выбрать произвольно. Выберем 1 1E  и m m   . Определим однофотонные отстройки j ,
,,,
,,,
376625441322
365343121




EEEEEE
EEEEEE cba
и многофотонные отстройки k , которые выражаются через однофотонные следующим образом:
1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 4
5 1 2 5 6 1 2 5 6
, , , ,
, .
                       
               
В результате получим стационарный гамильтониан, который будем использовать в дальнейших
вычислениях:
 
      .
..
766735445232231
654321
7
1

 


 chagagagH ccbbaa
k
kkk
(8)
Во всех численных расчетах использовались следующие величины параметров системы (в едини-
цах 8
10 cba ggg Гц):
1,01  , 132  , 031  , 42  , 1054  , 76  , 27  . (9)
Условные полевые состояния
Будем решать уравнение Шредингера с оператором Гамильтона (8). Для этого разложим вектор
 t по базису атомных и полевых состояний:
   .111100000 111001000
7
1
Fcba
k
Fcba
k
Fcba
k
k
A
ccckt  

 (10)
Выберем следующее начальное условие:
    FA
010  . (11)
Решение уравнения Шредингера будем искать с помощью унитарного оператора эволюции  tU :
            FA
tUtUHt
i
t 0100exp 







. (12)
Функция  t содержит всю информацию о состоянии атомно-полевой системы. Однако она не
факторизуется в прямое произведение атомного вектора и полевого – произошло перепутывание. Для
того чтобы получить информацию, закодированную в полевом состоянии, необходимо произвести изме-
рение над атомом. Положим, что в момент времени t в результате измерения получилось состояние
A
s . Учитывая этот результат, можно получить условное полевое состояние в момент времени t :
            FFAF
tsKtUstst 0,1,01  . (13)
Оператор эволюции, действующий на начальное полевое состояние, носит название оператора
Крауса. Этот оператор условный, так как зависит от результата измерения состояния атомной подсисте-
мы. Он не является унитарным. Теперь решим следующую задачу: найдем такие соотношения между
величинами частот Раби полей, константами взаимодействия и многофотонными отстройками, при кото-
рых матрица  tK оператора  tsK ,1, в базисе фоковских состояний FF
10 совпадает с матрицей пре-
образования КПФ (1). Используем численное моделирование. Настроим детектор на измерение состоя-
ния A
1 и найдем зависимость элементов матрицы  tK от времени. Легко проверить аналитически, что
 tK  диагональная матрица и ее элементы     14411  tKtK  от времени не зависят. Временная
зависимость оставшихся элементов изображена на рис. 2. Здесь представлены модули и аргументы вели-
чин  tK77 и  tK88 . Поведение во времени элементов  tK55 и  tK66 отличается от  tK77 очень мало.
Величины полей и однофотонных отстроек соответствуют (9). Время взаимодействия выбираем из усло-
вия, что модули всех элементов равны единице, и аргумент элемента 88K отличается от остальных на  .
Это достигается в момент времени 0t . Значит, если атом покинет резонатор через время 0t , результатом
измерения его состояния будет A
1 , и с высокой вероятностью, которая вычисляется ниже, можно за-
ключить, что требуемая операция КПФ произошла.

УСЛОВНОЕ КОНТРОЛИРУЕМОЕ ФАЗОВОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ...
32
t0
t0
а
б
Рис. 2. Зависимость модуля (а) и аргумента (б) элементов матрицы  K t от времени. В момент 0t
матрица  0K t соответствует преобразованию КПФ. Значения используемых параметров соответствуют (9)
Вероятность и качество преобразования
Вычислим вероятность того, что при измерении атома после его взаимодействия с электромагнит-
ным полем резонатора в течение времени 0t будет получено состояние A
1 :    tKtK 11 ,1,1  :
          .00 11 tKtKTrtP FF

 (14)
Здесь FTr  операция взятия следа в подпространстве полевых состояний. Пусть далее F
CPS 
состояние поля после идеального фазового преобразования (CPS – Controlled Phase Shift – то же, что
КПФ). Тогда качество преобразования определяется следующим образом:
 
   
        tKtKTr
tKCPS
tF
FF
F




11
1
00
0
. (15)
На рис. 3 приведены графики зависимости функций  tP и  tF от времени. Вычислим эти зна-
чения для момента 0t :     98,0,76,0 00  tFtP .
t0
Р(t)
F(t)
Рис. 3. Зависимость вероятности  tP и качества  tF фазового преобразования от времени.
Параметры системы соответствуют (9)
Заключение
В работе предложена реализация квантовой логической операции условного контролируемого фа-
зового преобразования. В модели использовалось квантово-механическое описание процессов эволюции
атомной и полевой подсистем. Предъявлены величины параметров оптической системы, при которых
реализуется требуемая операция КПФ. Следует отметить, что наряду с высоким значением качества пре-
образования (0,98) вероятность срабатывания устройства не очень велика (0,76). Это отчасти связано с
тем, что аналитическое выражение для матрицы  tK не найдено, и поэтому сложно отыскать оптималь-
ные значения параметров оптической системы. Исходя из результатов численного расчета, можно лишь
сделать некоторые предположения относительно поведения элементов  tK . Для оптимизации парамет-
ров, очевидно, потребуется строить теорию возмущений по параметру 1 . С другой стороны, объектив-
но повысить вероятность можно при помощи повторения акта взаимодействия атома с полем резонатора
и нового измерения. Включение в систему каналов обратной связи также может улучшить вероятность
срабатывания. Дальнейшее уточнение модели связано с учетом механизмов затухания.

А.А. Бобцов, С.В. Шаветов
33
Литература
1. Килин С.Я. Квантовая информация // Успехи физических наук. – 1999. – Т. 169. – № 5. – С. 507–527.
2. Стин Э. Квантовые вычисления. – Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2000. – 100 с.
3. Валиев К.А., Кокин А.А. Квантовые компьютеры: надежды и реальность. – Ижевск: РХД, 2001. –
352 с.
4. Dugic’ M., C’irkovi’c M.M. Quantum parallelism in quantum information processing // J. Theor. Phys. –
2002. – V. 14. – № 9. – Р. 1641–1649.
5. Horodecki R. et. al. Quantum entanglement // Rev. Mod. Phys. – 2009. – V. 81. – № 2. – Р. 865–942.
6. Smith J., Moska M. Algorithms for quantum computers. 2010 [Электронный ресурс]. – Режим доступа:
arXiv:1001.0767v2 [quant-ph] 2010, своб.
7. Scarani V. et.al. The security of practical quantum key distribution // Rev. Mod. Phys. – 2009. – V. 81. –
№ 3. – Р. 1301–1350.
8. Fredkin E., Toffoli T. Conservative logic // Inter. Journ. of Theor. Phys. – 1982. – V. 21. – № 12. – P. 219–
253.
9. Lloid S. Almost any Quantum Logic Gate is Universal // Phys. Rev. Let. – 1995. – V. 75. – № 2. – Р. 346–
349.
10. Turchette Q.A. et. al. Measurement of Conditional Phase Shift for Quantum Logic // Phys. Rev. Lett. –
1995. – V. 75. – P. 4710– 4713.
11. Ottaviani C. et. al. Polarization Qubit Phase Gate in Driven Atomic Media // Phys. Rev. Lett. – 2003. –
V. 90. – P.197902.
12. Ottaviani C. et. al. Quantum phase-gate operation based on nonlinear optics: Full quantum analysis // Phys.
Rev. A. – 2006. – V. 73. – P. 010301.
Мирошниченко Георгий Петрович – Санкт-Петербургский государственный университет информационных
технологий, механики и оптики, доктор физ.-мат. наук, профессор,
gpmirosh@gmail.com
Трифанов Александр Игоревич – Санкт-Петербургский государственный университет информационных
технологий, механики и оптики, аспирант, alextrifanov@gmail.com

УСЛОВНОЕ КОНТРОЛИРУЕМОЕ ФАЗОВОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КВАНТОВЫХ СОСТОЯНИЙ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ

More Related Content

What's hot (20)

Viewers also liked (20)

Similar to УСЛОВНОЕ КОНТРОЛИРУЕМОЕ ФАЗОВОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КВАНТОВЫХ СОСТОЯНИЙ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ (20)

More from ITMO University (20)

УСЛОВНОЕ КОНТРОЛИРУЕМОЕ ФАЗОВОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КВАНТОВЫХ СОСТОЯНИЙ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ