[Svtoantin.com] chuyen de cuc tri

www.Vedich.net

A. Một số vấn đề về bất đẳng thức đại số:
Bất đẳng thức là một trong những vấn đề lí thú nhất trong giải tóan phổ thông. Trong mục
này chúng ta sẽ ôn lại một số bất đẳng thức cổ điển và tiếp cận một số phương pháp
chứng minh bất đẳng thức. Do khối lượng kiến thức là tương đối lớn nên một số khái
niệm,tính chất cơ bản đều được bỏ qua. Các bạn có thể tìm thây những tính chất này này
Sách Giáo Khoa của Bộ Giáo Dục và Đào Tạo.
Dưói đây là các nội dung trong chuyên đề này.
a)Bất đẳng thức Cauchy
i)Bất đẳng thức Cauchy có lẽ là đã quen thuộc với nhiều bạn . Ngay từ năm lớp
8,các bạn đã bắt gặp các bất đẳng thức như:
x+ y
≥ xy
2
x+ y+ z 3
≥ xyz
3
x+ y+ z+t 4
≥ xyzt
4
Trong đó x, y , z , t là các số thực không âm
Những bất đẳng thức có dạng này được gọi là bất đẳng thức Cauchy. Bất đẳng
thức Cauchy tổng quát có dạng như sau:
Cho x1 , x2 ,..., xn là các số thực không âm. Khi đó ta có bất đẳng thức sau:

x1 + x2 + ... + xn n
≥ x1 x2 ...xn
n

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x1 = x2 = ... = xn
x + x + ... + xn
Đại lượng 1 2 được gọi là trung bình cộng của các số x1 , x2 ,..., xn .
n
Đại lượng n x1 x 2 ...xn được gọi là trung bình nhân của các số x1 , x2 ,..., xn .
Do đó bất đẳng thức Cauchy còn có tên gọi khác là bất đẳng thức TBC-TBN (bất
đẳng thức giữa đại lượng trung bình cộng và đại lượng trung bình nhân).
Bất đẳng thức Cauchy có nhá nhiều cách chứng minh. Tuy nhiên do khuôn khổ
quyển sách nên ở đây,tác giả chỉ nêu ra cách chứng minh điển hình nhất. Phương pháp
chứng minh này cũng đa gắn liền với một tên gọi: “Quy nạp Cauchy”. Các bạn có thể
tham khảo thêm về phương pháp này trong phần phương pháp Quy Nạp.
Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức cần chứng minh đúng khi n = 2k
Trước hết ta chứng minh cho trường hợp cơ sở , k = 1.
Ta cần chứng minh x + y ≥ 2 xy ⇔ ( x − y ) 2 = 0.
Bất đẳng thức tương đương là đúng do đó bất đẳng thức ban đầu cũng đúng.
Giải sử bất đẳng thức đã đúng cho k = m , tức là

www.Vedich.net

x1 + x2 + ... + x2m
≥ 2m x1 x2 ...x2m
2m
Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức cũng đúng cho k = m + 1.
x1 + x2 + ... + x2m+1 x1 x2 + x3 x4 + ... + x2m+1 −1 x2m+1
Ta có: m +1
≥ m
≥ 2m+1 x1 x2 ...x2m+1
2 2
(Ở trên ta đã sử dụng bất đẳng thức Cauchy cho từng cặp số
x2 k +1 + x2 k + 2 ≥ 2 x2 k +1 x2 k + 2 , ∀k = 1, 2 m − 1 sau đó sử dụng bất đẳng thức Cauchy
cho 2m số x1 x2 , x3 x4 ,..., x2m+1 −1 x2m+1 .
Như vậy bất đẳng thức Cauchy đã đúng cho vô số số hạng. Bây giờ ta sẽ chứng
minh nếu n = m + 1 đúng thì bất đẳng thức cũng đúng cho n = m. Thực vậy,áp
dụng bất đẳng thức Cauchy cho m + 1 số x1 , x2 ,..., xm , m x1 x2 ...xm ta có:
x1 + x2 + ... + xm + m x1 x2 ...xm ≥ (m + 1)m +1 x1 x2 ...xm m x1 x2 ...xm
⇔ x1 + x2 + ... + xm + m x1 x2 ...xm ≥ (m + 1) m x1 x2 ...xm .
⇔ x1 + x2 + ... + xm ≥ m m x1 x2 ...xm
x1 + x2 + ... + xm m
⇔ ≥ x1 x 2 ...xm .
m
Như vậy theo nguyên lý Quy nạp Cauchy ta có điều cần chứng minh.
Nhận xét rằng bất đẳng thức cơ sở chỉ xảy ra dấu bằng khi và chỉ khi x = y do đó
trong bất đẳng thức tổng quát của ta sâu bằng cũng chỉ xảy ra khi và chỉ khi
x1 = x2 = ... = xn .
Ta có nhiều cách nhìn nhận về bất đẳng thức Cauchy, ví dụ như cho các số thực
dương có tổng không thay đổi thì giá trị lớn nhất của tích các số này là gì, hoặc ngược
lại ,tức là tìm giá trị nhỏ nhất của các số thực dương có tích không đổi.
Cũng cần lưu ý với các bạn rằng trong bất dẳng thức Cauchy,điều kiện các số
thực không âm là quan trọng, ví dụ với n = 2k + 1 , ta có thể chỉ ra ví dụ với các số thực
gồm 2k số −1 và một số 2k thì bất đẳng thức không còn đúng nữa.

ii)Bất đẳng thức Cauchy mở rộng
Trong phần này ta hãy xem xét bất đẳng thức Cauchy có trong số.Ta hãy khởi đầu
bằng bất đẳng thức cho hai số thực dương trước.
Cho các số nguyên dương a,b,c,d và hai số thực dương x,y. Khi đó:

a c
x+ y
b d ≥ ad +bc x ad y bc
a c
+
b d

Bất đẳng thức trên còn được gọi là bất đẳng thức Young. Chứng minh bất đẳng
thức được đề cập dưới đây:

www.Vedich.net

a c
x+ y
b d = adx + bcy ≥ ad +bc x ad y bc
a c
+ ad + bc
b d
Ở trên, ta đã áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ad + bc số hạng, bao gồm ad số
x , bc số y .Như vậy bất đẳng thức đã được chứng minh.
Bằng một ý tưởng tương tự,ta có thể phát biểu bất đẳng thức Cauchy trong số
trong trường hợp tổng quát như sau

Cho 2n số nguyên dương a1 , a2 ,..., an , b1 , b2 ,..., bn và n số thực dương x1 , x2 ,..., xn .
Khi đó ta có bất đẳng thức sau:

a1 a a
x1 + 2 x2 + ... + n xn
b1 b2 bn
≥ a 1 b2...bn +...+ anb1b2 ...bn−1 x1a1b2 ...bn ...xn an b1b2 ...bn−1
a1 a2 an
+ + ... +
b1 b2 bn

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x1 = x2 = ... = xn .

Ý tưởng chứng minh hòan tòan tương tự trong trường hợp hai số, do đó xin
nhường lại cho bạn đoc J.

Bây giờ ta hãy xét một số ví dụ ứng dụng bất đẳng thức Cauchy.
Bài tóan : Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của :
Z = x 2 y (4 − x − y )
 x,y ≥ 0.
Trong đó 
x+y ≤ 6.
(Đề thi vào lớp 10 Chuyên Tóan ĐHTH Hà Nội năm 1993)

Trước hết ta nhận xét rằng các số x, y, 4 − x − y có một mối quan hệ nào đó, thật
vậy tổng của chúng bằng 4.Đây chẳng phải là dấu hiệu nhận biết để sử dụng bất đẳng
thức Cauchy hay sao.
Tuy nhiên đề bài lại là x 2 y (4 − x − y ) chứ không phải là xy (4 − x − y ) L.Chẳng lẽ
chịu thua? Ở đây ta sẽ sử dụng kĩ thuật tạo thành các số có tổng không đổi như sau:
xx x x
x 2 y (4 − x − y ) = 4 y (4 − x − y ) .Chẳng phải lúc này ; ; y; 4 − x − y có tổng là
22 2 2
4 hay sao. Tuy nhiên ta còn cần 4 − x − y nhận giá trị không âm,do đó ta xét trường hợp
0 ≤ x + y ≤ 4. Từ đó ta thu được lời giải sau:
Xét 0 ≤ x + y ≤ 4. ,ta có:

www.Vedich.net

4
x x 
xx  2 + 2 + y+4− x− y 
Z = x 2 y (4 − x − y ) = 4 y (4 − x − y ) ≤ 4   =4
22  4 
 
(Bất đẳng thức Cauchy)
Dấu bằng xảy ra chẳng hạn như x = 2, y = 1.
Xét 4 ≤ x + y ,ta có: Z ≤ 0 < 4.
Như vậy trong mọi trường hợp ta đều có Z ≤ 4.
Vậy Z max = 4. Đẳng thức xảy ra chẳng hạn như x = 2; y = 1.

Đối với trường hợp giá trị nhỏ nhất, các bạn có thể nhận xét rằng điều kiện
x + y ≤ 6 vẫn chưa được sử dụng. Và đây là lúc để ta sử dụng điều kiện này.
Nếu các bạn thay x + y = 6 vào Z ,các bạn có thể thấy Z < 0 . Do đó giá trị nhỏ
nhất của Z cũng phải nhận giá trị âm. Từ nhận xét này ,để thuận tiện trong việc nghiên
cứu, rõ ràng ta chỉ cần xét 4 ≤ x + y ≤ 6 . Trong trường hợp này, 4 − x − y ≤ −2 ,( đẳng
thức xảy ra khi x + y = 6 ) nên ta cần tìm giá trị lớn nhất của x 2 y để Z thu được giá trị
nhỏ nhất.
Lúc này có lẽ mọi chuyện đã trở nên tương đối quen thuộc với các bạn rồi chứ.
Do tổng x + y là 6 nên ta cần biến đổi x 2 y thành tích các số hạng có tổng là x+y .
Và ta thu được kết quả mong muốn:
 x + x + 2y   2( x + y ) 
3 3

x.x.2 y      3
x2 y = ≤
3  = 3  ≤ 4 = 32.
2 2 2 2
Từ đây ta đi tới lời giải:
Xét 4 ≤ x + y ≤ 6.
Ta có: x + y − 4 ≤ 6 − 4 ≤ 2.
 2( x + y ) 
3

x.x.2 y   3
 3
 ≤ 4 = 32
x y≤
2
≤
2 2 2
⇒ − x y ≥ −32
2

Nhân các bất đẳng thức trên vế theo vế ta thu được:
x y (4 − x − y ) ≥ − x 2 y.2 ≥ −32.2 = −64 (Nhân hai vế cho số không dương, bất đẳng thức
2

đổi chiều)
Dấu bằng xảy ra chẳng hạn như x = 4, y = 2.
Xét 0 ≤ x + y ≤ 4 ,ta có: Z ≥ 0 > −64.
Vậy trong mọi trường hợp ta đều có Z ≥ −64 ⇒ Z min = −64.
Đẳng thức xảy ra như x = 4, y = 2.
Sau đây là một số bài tập áp dụng:

Bài 1:
Cho x, y thỏa: x 2 + y 2 = 4 + xy.

www.Vedich.net

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của t = x 2 + y 2 .
(Đề thi HSG lớp 9 TP.HCM năm 1995)
Bài 2:
Cho a, b > 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của :
a2 b2
P= +
b −1 a −1
(Đề kiểm tra lớp 9 Chuyên Tóan TP.HCM năm 1994)
Bài 3:
Tìm giá trị nhỏ nhất của:
 1  1   x, y > 0
S =  1 − 2  1 − 2  , biết 
 x  y   x + y = 1.
(Đề thì vào lớp 10 PTTH chuyên Lê Hồng Phong TP.HCM năm 1994)
Bài 4:
Cho a, b, c ≥ 0. Chứng minh rằng:
a 4 + b 4 + c 4 ≥ abc (a + b + c)
(Đề thi học sinh giỏi lớp 9,bảng B,tòan quốc năm 1994)
Bài 5:
Cho a,b,c là các số thực không âm. Chứng minh rằng:
2 2 2
 a  3 b  3 c  33 2
3
  +   +   ≥
b+c a+c  a+b  2
(Tạp chi Toán học và Tuổi Trẻ).
b)Bất đẳng thức Bouniakovski
i)Bất đẳng thức Bouniakovski cũng là một trong những bất cổ điển nổi tiếng nhất.
Bất đẳng thức còn gắn với nhiều tên gọi khác,như Cauchy,Schwarz. Cũng xin chú ý với
bạn đọc rằng, những bất đẳng thức cổ điển thường được hình thành trong các vấn đề cuộc
sống,trong các vấn đề về thiên văn,vật lý. Chúng đã xuất hiện từ rất lâu và
Bouniakovski ,Cauchy,Schwarz là những người gắn bó tên tuổi với các bất đẳng thức
này nhất,không hẳn vì họ là những người đầu tiên phát minh ra bất đẳng thức này, nhưng
có lẽ họ đã góp công sức rất lơn trong việc hệ thống chúng một cách chặt chẽ nhất.
Bây giờ ta hãy xem “hình thù” bất đẳng thức Bouniakovski này:
a , a ,..., an
Cho hai dãy số thực 1 2 .Khi đó ta có bất đẳng thức sau:
b1 , b2 ,..., bn

(a12 + a2 2 + ... + an 2 )(b12 + b2 2 + ... + bn 2 ) ≥ a1b1 + a2b2 + ... + anbn .

a1 a2 a
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi = = ... = n ≥ 0.
b1 b2 bn
Bất đẳng thức Bouniakovski cũng có khá nhiều cách chứng minh. Tuy nhiên ở
đây tác giả sẽ đề cập tới cách chứng minh sử dụng bất đẳng thức chúng ta vừa mới xem
xét qua, bất đẳng thức Cauchy.

www.Vedich.net

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
a1b1 + a2b2 + ... + an bn
≤1
(a1 + a2 2 + ... + an 2 )(b12 + b2 2 + ... + bn 2 )
2

Ta có thể giả sử các số ai , bi , i = 1, n đều là các số thực dương. Bởi lẽ khi đó chúng
ta chỉ cần sử dụng bất đẳng thức trị tuyệt đối:
a1b1 + ... + an bn ≤| a1 || b1 | +...+ | an || bn |
Và lại áp dụng bất đẳng thức Bouniakovski cho các số thực dương
| ai |,| bi |, i = 1, n và ta sẽ có điều phải chứng minh.
Quay lại vấn đề chính. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số thực dương ta
được:
ai bi ai 2 bi 2
≤ + , ∀i = 1, n
(a12 + a2 2 + ... + an 2 )(b12 + b2 2 + ... + bn 2 ) 2(a1 + a2 + ... + an ) 2(b1 + b2 + ... + bn )
2 2 2 2 2 2

Cộng các bất đẳng thức trên vế theo vế ta thu được:
a1b1 + a2 b2 + ... + an bn a12 + a2 2 + ... + an 2 b 2 + b 2 + ... + bn 2
≤ + 12 22 = 1.
(a12 + a2 2 + ... + an 2 )(b12 + b2 2 + ... + bn 2 ) 2(a12 + a2 2 + ... + an 2 ) 2(b1 + b2 + ... + bn 2 )

Và như vậy bất đẳng thức đã được chứng minh xong.
ai a 2 + a2 2 + ... + an 2
= 1 , ∀i = 1, n
bi b12 + b2 2 + ... + bn 2
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
a a a
⇔ 1 = 2 = ... = n ≥ 0.
b1 b2 bn
Tương tự như bất đẳng thức Cauchy, bất đẳng thức Bouniakovski cũng có nhiều
cách nhìn nhận. Nói chung các bạn nên cần trọng khi thấy các đại lượng có tổng bình
phương là một hằng số, hoặc cũng có khi là tổng các căn bậc hai của các đại lượng nằm ở
vế bé hơn trong bất đẳng thức cần chứng minh. Đây là những dấu hiệu để sử dụng bất
đẳng thức Bouniakovski.
Ngòai ra bất đẳng thức Bouniakovski cũng thường hay được sử dụng trong các bất
đẳng thức có dạng phân thức.Do đó các bạn nên chú ý khi gặp những dạng này.
ii) Bất đẳng thức Bouniakovski mở rộng.
Cho m dãy số thực không âm (a1 ); (a2 );...(am ). Mỗi dãy gồm n số hạng
ai1 , ai2 ,...., ain . Khi đó ta có bất đẳng thức sau:

m (a11 m + a12 m + ... + a1n m )...(am1 m + am2 m + ... + amn m ) ≥ a11 a21 ...am1 + ... + a1n a2n ...amn

a1 a2 a
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi = = ... = n .
b1 b2 bn
Chứng minh bất đẳng thức Bouniakovski mở rộng có thể làm bằng ý tường tương
tự trong trường hợp m = 2 ,do đó phần này xin dành cho bạn đọc.

www.Vedich.net

Chú ý thêm với các bạn rằng trong trường hợp m là số tự nhiên chẵn thì ta có cho
các dãy số thực là bất kì, không cần không âm,tuy nhiên khi ấy dấu bằng xảy ra thì các tỉ
số vẫn phải bằng nhau và bằng một đại lượng không âm.
Dưới đây ta sẽ xét qua một ví dụ ứng dụng bất đẳng thức Bouniakovski.
Bài tóan:
a) Cho x, y thỏa: x 1 − y 2 + y 1 − x 2 = 1 (1)
Chứng minh: x 2 + y 2 = 1
b) Từ (2) có thể suy ra được (1) hay không.
(Đề thi vào lớp 10 PT Năng Khiếu TP.HCM năm 1999)

Bài tóan được phát biểu dưới dạng đẳng thức, tuy nhiên biều thức trong (1) lại
khiến cho ta có cảm giác quen thuộc. Rõ ràng trong biểu thức ấy,ta có:
y 2 + ( 1 − y 2 )2 = 1
x 2 + ( 1 − x2 ) 2 = 1
Đây là những dâu hiệu rõ ràng nhất cho sự hiện diện của bất đẳng thức
Bouniakovski. Từ đây ta đưa ra lời giải:
a)Áp dụng bất đẳng thức Bouniakovski cho hai dãy: ( x, 1 − x 2 ) và ( 1 − y 2 , y )
ta thu được:
x 1− y2 + 1 − x2 y ≤ (x 2
+ 1 − x 2 ) (1 − y 2 + y 2 )

⇔ x 1 − y2 + y 1 − x2 ≤ 1
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
x 1− y2
= ≥0
1 − x2 y
x2 1 − y2
⇒ =
1 − x2 y2
x2 1 − x2 1 − x 2 + x 2
⇒ = 2 = =1
1 − y2 y 1 − y 2 + y2
⇒ x2 = 1 − y2
⇒ x2 + y2 = 1
b) Từ việc xét dâu bằng, chúng ta thấy ngay nếu x, y ≥ 0 thì (1) ⇔ (2) .Tuy nhiên
ở đây do đề bài không cho x, y là các số thực dương nên ta dễ dàng chỉ ra trường hơp
(2) ⇒ (1) ,chẳng hạn như x = 0, y = −1.
Bài tóan:
Cho a, b, c là các số thực dương.
Chứng minh rằng:
a b c
+ + ≥ 1.
a + 2b b + 2c c + 2a

www.Vedich.net

Bài tóan được nêu ra dưới dạng phân thức, đây là dấu hiệu khiến ta cảnh giác với
bất đẳng thức Bouniakovski.Thông thường, ta sử dụng bất đẳng thức này để triệt tiêu mẫu
thức.Ở đây ta sẽ áp dụng bất đẳng thức này bằng cách như sau:
Ta có:

[ a(a + 2b) + b(b + 2c) + c(c + 2a)] 
a b c 
 a + 2b + b + 2c + c + 2a  ≥ (a + b + c)
2

 
 a b c 
⇔ ( a + b + c) 2  + +  ≥ (a + b + c )
2

 a + 2b b + 2c c + 2a 
a b c
⇔ + + ≥ 1.
a + 2b b + 2c c + 2a
Như vậy bài tóan đã được giải quyết xong.

Sau đây là các bài tập để các bạn áp dụng:
Bài 1:
Cho a, b, c, d > 0 và ab + bc + cd+da=1 .
a3 b3 c3 d3 1
+ + + ≥ .
b+c+d c+d +a d +a +b a+b+c 3
(Đề thi chọn HSG khối PTCT-ĐHSP Hà Nội năm 1995)
Bài 2:
Cho a, b, c > 0 và a 2 + b 2 + c 2 = 1 .
Tìm giá trị nhỏ nhất của:
a3 b3 c3
A= + + .
a + 2b + 3c b + 2c + 3a c + 2a + 3b
(Đề thi đề nghị Olympic 30-4 lần 6,năm 2000)

Bài 3:
Cho a, b, c, p, q > 0 .
1 1 1 p+q p+q p+q
+ + ≥ + + .
a b c pa + qb pb + qc pc + qa
c)Bất đẳng thức Chebysev
i)Cho hai dãy số cùng tính đơn điệu
a1 ≤ a2 ≤ ... ≤ an a ≥ a2 ≥ ... ≥ an
hay 1
b1 ≤ b2 ≤ ... ≤ bn b1 ≥ b2 ≥ ... ≥ bn
Khi đó ta có bất đẳng thức sau:

a1b1 + a2b2 + ... + anbn a1 + a2 + ... + an b1 + b2 + ... + bn
≥
n n n

www.Vedich.net

Trong trường hợp một dãy tăng một dãy giảm
a1 ≤ a2 ≤ ... ≤ an
b1 ≤ b2 ≤ ... ≤ bn
Ta có bất đẳng thức ngược lại như sau:

a1b1 + a2b2 + ... + anbn a1 + a2 + ... + an b1 + b2 + ... + bn
≤
n n n

Bất đẳng trên cũng có nhiều cách chứng minh, nhưng cách chứng minh sau là
ngắn gọn nhất mà tác giả biết được.
Ta có:
a1b1 + a2b2 + ... + an bn a1 + a2 + ... + an b1 + b2 + ... + bn
−
n n n
n(a1b1 + a 2 b2 + ... + an bn ) − (a1 + a2 + ... + an )(b1 + b2 + ... + bn )
=
n2
∑ (aibi − aib j − a j bi + a jb j )
1≤ i < j ≤ n
=
n2
∑ (ai − bi )(a j − b j )
1≤ i < j ≤ n
= .
n2
Trong trường hợp hai dãy cùng tính đơn điệu ta có các đại lượng
(ai − a j )(bi − b j ) là không âm, do đó ta thu được bất đẳng thức như đã nói.
Trong trường hợp hai dãy khác tính đơn điệu ta có các đại lượng
(ai − a j )(bi − b j ) là không âm, do đó ta thu được bất đẳng thức ngược chiều.
Dấu bằng của bất đẳng thức là tương đối phức tạp,ta chỉ có thể nói dấu bằng cảy
ai = ... = aik ; aik +1 = ... = aik +t ;...; aia = ... = aib
ra khi và chỉ khi 1 trong đó im ≠ jn , ∀(i, j ) .
b j1 = ... = b jl ; b jl +1 = .. = b jl + r ;...; b jc = ... = b jn−b
Ta có thể hiểu một cách nôm na là dãy (a) chia thành từng đoạn bằng nhau.Còn
những đoạn còn lại tương ứng là các đoạn bằng nhau của dãy (b) .
ii) Bất đẳng thức với dãy hóan vị.
Trong phần i) của mục này, ta đã đề cập tới bất đẳng thức Chebysev.Từ bất đẳng
thức này ta có thể suy ra được đối với hai dãy:
a1 ≥ a2 ≥ ... ≥ an
b1 ≥ b2 ≥ ... ≥ bn
Thì
(a1 + a2 + ... + an )(b1 + b2 + ... + bn )
a1b1 + a2b2 + ... + an bn ≥ ≥ a1bn + a2bn −1 + ... + anb1.
n

www.Vedich.net

Thế còn đối với tổng a1bi1 + a2bi2 + ... + anbin trong đó (bi1 , bi2 ,..., bin ) là một hóan vị
của các số (b1 , b2 ,..., bn ) (nghĩa là các số hạng b1 , b2 ,..., bn thay đổi vị trí) thì sao nhỉ ? Đây
là một câu hỏi khá tự nhiên, và cuốn hút chúng ta vào việc giải quyết chúng. Đấy chính là
cái vòng xoáy vô tận của Toán học.
Chúng ta có thể đi tới được bất đẳng thức sau,được gọi là bất đẳng thức hoán vị:

a1b1 + a2 b2 + ... + an bn ≥ a1bi1 + a2bi2 + ... + anbin ≥ a1bn + a2bn−1 + ... + an b1

Ý tưởng trong chứng minh bất đẳng thức này là quy nạp.
Với n = 2 ,ta chỉ cần chứng minh bất đẳng thức:
a1b1 + a2b2 ≥ a1b2 + a2b1
⇔ (a1 − a2 )(b1 − b2 ) ≥ 0.
Bất đẳng thức tương đương cuối cùng là đúng, do đó ta có điều phải chứng minh.
Giả sử bất đẳng thức đã đúng cho n = k ,tức là
a1b1 + a2b2 + ... + ak bk ≥ a1bi1 + a2bi2 + ... + ak bik ≥ a1bk + a2bk −1 + ... + ak b1 .
Ta cần chứng minh bất đẳng thức cũng đúng cho n = k + 1.
Đối với bầt đẳng thức đầu tiên, sử dụng bất đẳng thức quy nạp và ta chỉ cần chứng
minh:
ak +1bk +1 + ai b j ≥ ai bk +1 + ak +1b j
⇔ (ak +1 − ai )(bk +1 − b j ) ≥ 0.
Đối với bất đẳng thức thứ hai, sử dụng bất đẳng thức quy nạp và ta chỉ cần chứng
minh:
ak +1b1 + ai b j ≤ ak +1b j + ai b1
⇔ (ak +1 − ai )(b1 − b j ) ≤ 0.
Hai bất đẳng thức tương đương cuối cùng là đúng, do đó các bất đẳng thức ban
đầu cũng vậy.
Tóm lại theo nguyên lý quy nạp, ta có điều phải chứng minh.
d)Bất đẳng thức Bernoulli.
Cho a ∈ N , x ∈ R, x ≥ −1. Khi đó ta có bất đẳng thức sau:

(1 + x )a ≥ 1 + ax

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = 0 hay a = 0 hay x = −1; a = 1.
Chúng ta cũng có khá nhiều cách để chứng minh bất đẳng thức này.Tuy nhiên ở
đây tác giải xin trình bày cách chứng minh bằng bất đẳng thức Cauchy, cách chứng minh
này tuy không phải là ngắn gọn nhất trong trường hợp đã nêu, tuy nhiên nó sẽ còn giúp
ích các bạn rất nhiều về mặt ý tưởng trong quá trình học cấp ba của mình.
Nếu 1 + ax ≤ 0 thì bất đẳng thức hiển nhiên đúng do (1 + x )a ≥ 0.
Xét 1 + ax ≥ 0 .
Bất đẳng thức đã cho tương đương với:
1 + x ≥ a 1 + ax

www.Vedich.net

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho a số hạng,gồm một số 1 + ax và a-1 số 1,ta thu
được:
1 + ax+(a-1) a
≥ 1 + ax
a
⇔ 1 + x ≥ a 1 + ax .
Như vậy ta có điều phải chứng minh.
Các bạn có thể dễ dàng kiểm tra được dẩu bằng.

e)Một số ý tưởng từ bất đẳng thức x2 ≥ 0
Trong các phần ở trên, chúng ta đã biết cách ứng dụng các bất đẳng thức cổ điển
vào việc chứng minh các bất đẳng thức. Tuy nhiên trong thực tế, không phải bao giờ
chúng ta cũng có thể áp dụng bất đẳng thức một cách dễ dàng như vậy, những lúc ấy
chúng ta phải làm gì.
Nếu chúng ta chú ý kĩ càng, bất đẳng thức Cauchy dường như là gốc gác của hầu
hết các bất đẳng thức cổ điển khác. Như vậy,điều gì là khởi nguồn của bất đẳng thức. Câu
trả lời không phải là bất đẳng thức Cauchy,bởi lẻ chúng ta đã sử dụng một kết quả khác
để chứng minh bất đẳng thức này, đó là kết quả x 2 ≥ 0 ,hay cụ thể hơn là ta đã đưa về
(a − b) 2 ≥ 0. Vậy phải chăng mọi bất đẳng thức hai biến a và b,dấu bằng xảy ra khi chúng
bằng nhau luôn đưa về được dạng (a − b)2 ,như vậy ta chỉ cần đưa chúng về dạng này thì
chẳng phải là bài tóan đã được giải quyết rồi ư?
Câu trả lời là đúng,và trong phần này chúng ta sẽ sử dụng bất đẳng thức nguyên
thủy này để thu hoạch được những kết quả độc đáo.
Trước hết ta hãy làm quen với việc đưa các bất đẳng thức hai biến về dạng
(a − b) g (a, b) . Khi đã đưa được về dạng này thì ta chỉ cần chứng minh g (a, b) ≥ 0 nữa
2

là xong. Bất đẳng thức g (a, b) ≥ 0 , thông thường là không có dấu bằng,tức là không
“chặt” hòan tòan, hoặc là không mấy phức tạp.Do đó việc giải quyết chúng là tương đối
dễ dàng.
Ta hãy bắt đầu bằng một số hằng đẳng thức sau:
a 2 + b 2 − 2ab = (a − b) 2
(a + b)2 − 4ab = (a − b)2
2(a 2 + b 2 ) − (a + b)2 = (a − b)2
a3 + b3 − ab(a + b) = (a + b)(a − b)2
a 4 + b 4 − ab(a 2 + b 2 ) = (a 2 + ab + b 2 )(a − b)2
Trong trường hợp gặp phân thức hay căn thức,các bạn có thể quy đồng mẫu số
hay nhân với lượng lien hợp để đưa về dạng quen thuộc đã biết. Ta xét một số ví dụ:
2(a 2 + b 2 ) − (a + b)2 ( a − b) 2
2(a 2 + b 2 ) − (a + b) = = (1)
2(a 2 + b 2 ) + a + b 2(a 2 + b 2 ) + a + b
1 1 4 (a + b)2 − 4ab (a − b)2
+ − = =
a b a +b ab(a + b) ab(a + b)

www.Vedich.net

Ý tưởng của phương pháp thật đơn giản phải không các bạn. Tuy nhiên ta có thể
làm gì với phương pháp này.Chúng ta hãy thử xét một ví dụ xem,chẳng hạn đối với đẳng
thức (1), nếu sử dụng bất đẳng thức 2(a 2 + b 2 ) + a + b ≥ 2(a + b). Ta thu được bất đẳng
thức:
( a − b) 2
2(a + b ) − (a + b) ≤
2 2

2(a + b)
(a − b)2 2(a 2 + b 2 )
⇔ 2(a + b ) +
2 2
≤
2(a + b) a +b
(a − b) 2
⇔ a +b+ ≤ 2(a 2 + b 2 )
2 2(a + b )
2 2

Như vậy là ta đã thu được các bất đẳng thức mạnh hơn bất đẳng thức
Bouniakovski rất lý thú sau :
( a − b) 2 ( a − b) 2
a+b+ ≤ 2(a 2 + b 2 ) ≤ a + b +
2 2(a 2 + b 2 ) 2(a + b)
Các bạn có lẽ đã thấy được phần nào sự lý thú và sức mạnh của phương pháp này
rồi chứ. J
Chúng ta hãy xét thêm một ví dụ nữa mà chúng ta bị ép vào thế tìm lời giải chứ
không phải là sáng tạo toán học xem nào.
Bài tóan:
Chứng minh rằng với mọi số thực dương a,b ta có bất đẳng thức sau:
a +b (a − b)2 (a + 3b)(b + 3a )
≥ ab + .
2 16(a + b)3
(Tạp chí Toán Học và Tuổi Trẻ)
(a − b) 2 (a + 3b)(b + 3a )
Ở đây dấu bằng xảy ra khi a = b , tuy nhiên biểu thức đã
8(a + b)3
a +b
có chứa (a − b)2 rồi, do đó ta chỉ cần phải đưa − ab về dạng (a − b) 2 f (a, b).
2
a +b ( a − b )2 ( a − b) 2
Ta có: − ab = = . Như vậy ta cần chứng minh:
2 2 2( a + b ) 2
( a − b) 2 (a − b) 2 (a + 3b)(b + 3a )
≥
2( a + b ) 2 16(a + b)3
⇔ 8(a + b)3 ≥ ( a + b ) 2 (a + 3b)(b + 3a )
Mặt khác,áp dụng bất đẳng thức Cauchy và Bouniakovski ,ta thu được:
(1. a + 1. b ) 2 ≤ 2(a + b)
(a + 3b + b + 3a )2
(a + 3b)(b + 3a ) ≤ = 4(a + b) 2
4
Nhân vế theo vế ta thu được điều phải chứng minh.
Dưới đây là một số bài tập áp dụng :

www.Vedich.net

Bài 1:
Cho các số thực dương a, b .Chứng minh rằng:
a 2 b2
+ + 7(a + b) ≥ 8 2(a 2 + b 2 )
b a
Bài 2:
Cho a + b + c = 1. Chứng minh rằng:
a 2 + b 2 − 2ab
a3 + b3 + c 3 − 3abc ≥ .
4
Xác định trường hợp đẳng thức xảy ra.
Gợi ý: Sử dụng hằng đẳng thức
(a + b + c )
a3 + b3 + c3 − 3abc =  ( a − b ) 2 + (b − c ) 2 + (c − a ) 2 
 
2

f)Sức mạnh của phép biến đổi tương đương.
Thông thường khi gặp các bài tóan về bất đẳng thức dạng phân thức, người ta
luôn nghĩ đến các bất đẳng thức cổ điển như Cauchy, Bouniakovski.Tuy nhiên việc áp
dụng chúng đôi khi rất rắc rổi và không phải lúc nào cũng thực hiện được.
Toán học ngày nay đã có nhiều bất đẳng thức tốt hơn, thuận tiện hơn trong việc
đánh giá các biểu thức dạng đa thức. Do đó khi gặp các bài tóan dạng phân thức,hay dạng
tích các đa thức một phương pháp khá thể lực nhưng hiệu quả là quy đồng mẫu số, khai
triển đưa về dạng đa thức và sau đó là sử dụng một số bất đẳng thức đã biết vào việc
chứng minh.
Dưới đây tác giả xin liệt kê một số bất đẳng thức dạng đa thức ba biến thường
gặp:
Cho a, b, c là các số thực dương.Khi đó ta có các bất đẳng thức sau:
a 2 + b 2 ≥ 2ab
a3 + b3 ≥ ab(a + b)
a 4 + b 4 ≥ ab(a 2 + b 2 ) ≥ 2a 2b 2
a 4 + b 4 + 2a 2b 2 ≥ 2ab(a 2 + b 2 )
a 2 + b 2 + c 2 ≥ ab + ac + bc
2(a3 + b 3 + c 3 ) ≥ ab(a + b) + bc(b + c ) + ac (a + c ) ≥ 6abc
3(a 4 + b 4 + c 4 ) ≥ ab(a 2 + b 2 ) + bc(b 2 + c 2 ) + ac(a 2 + c 2 ) ≥ 3(a 2b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2 ) ≥ 3abc (a + b + c)
Các bất đẳng thức trên hầu hết đều có thể chứng minh bằng bất đẳng thức Cauchy
Ngòai ra chúng ta còn hay sử dụng bất đẳng thức sau:
a3 + b3 + c 3 + 3abc ≥ ab(a + b) + bc (b + c) + ac(a + c) .
Đẳng thức xảy ra khi ba số bằng nhau, hoặc hai số bằng nhau, một số bằng 0.
Bất đẳng thức trên có tên gọi là bất đẳng thức Schur. Chứng minh của bất đẳng
thức được đề cập dưới đây:
Do tính đối xứng của bất đẳng thức mà ta có thể giả sử a ≥ b ≥ c . Bất đẳng thức
tương đương với:

www.Vedich.net

a(a − b)(a − c) + b(b − a )(b − c ) + c(c − a )(c − b) ≥ 0
⇔ (a − b) [ a(a − c) − b(b − c)] + c(c − a)(c − b) ≥ 0.
⇔ (a − b) 2 (a + b − c) + c (a − c )(a − b) ≥ 0.
Bất đẳng thức tương đương cuối cùng là đúng, do đó bất đẳng thức ban đầu cũng
đúng.
Dưới đây ta sẽ xem xét ví dụ:

Bài tóan:
Chứng minh rằng với mọi bộ số thưc dương (a, b, c ) ,ta có bất đẳng thức sau:
9(a + b)(a + c )(b + c) ≥ 8(a + b + c)(ab + ac + bc)
Bất đẳng thức trên thật sự không ở dạng thuận tiện cho ta ứng dụng các bất đẳng
thức cổ điển đã học. Vì vậy một ý tưởng là khai triển, chúng ta hãy thủ xem:
9(a + b)(a + c)(b + c) = 9 [ ab(a + b) + bc (b + c) + ca (c + a) + 2abc ]
8(a + b + c )(ab + ac + bc) = 8 [ ab(a + b) + bc(b + c ) + ca(c + a ) + 3abc ]
Do đó bất đẳng thức đã cho là tương đương với:
9 [ ab(a + b) + bc(b + c) + ca (c + a ) + 2abc ] ≥ 8 [ ab(a + b) + bc (b + c) + ca(c + a) + 3abc ]
⇔ ab(a + b) + bc(b + c) + ca (c + a ) ≥ 6abc .
Bất đẳng thức thu được cuối cùng trong phép biến đổi tương đương là đúng, do đó bất
đẳng thức ban đầu cũng vậy.
Ý tưởng của phương pháp này tuy đơn giản nhưng cũng không kém phần hiệu quả .Nó có
thể sẽ giúp ích bạn nhiều khi bạn bị giới hạn thời gian để làm một vấn đề gì đó.Tìm một
lời giải đẹp bằng các bất đẳng thức cổ điển là rất tốt, nhưng điều này đôi khi sẽ ngốn của
bạn rất nhiều thời gian. Những lúc ấy tại sao bạn không thử ứng dụng phương pháp này
xem, tuy khổ cực ban đầu nhưng thành công đến với bạn là rất sớm. Chúc bạn đạt được
những kết quả tốt. J
Dưới đây là một số bài tập áp dụng:
Bài 1:
2
 x  y  x y
2

  +   ≥ 3  +  − 4, ∀x, y ≠ 0.
 y  x y x
(Đề thi HSG bảng A lớp 9,tòan quốc năm 1995)
Bài 2:
 a , b, c ≥ 0
Cho hệ 
a + b + c = 1.
Tìm k lớn nhất sao cho:
1 k
a3 + b 3 + c 3 + kabc ≥ +
9 27
g)Một phương pháp tiếp cận dấu bằng.
Trong chương trình tóan trung học, có lẽ các bạn cũng đã từng bắt gặp rất nhiều
bài toán bất đẳng thức. Hầu hết trong chúng, các bạn đều có thể đóan ngay được các điểm
cho ta dầu đẳng thức. Làm được như vậy, hầu như bạn đã đi được 20% chặn đường rồi.
Việc cuối cùng là làm sao để tiếp cận được dấu bằng ấy nữa mà thôi.

www.Vedich.net

Trong phần này chúng tôi sẽ trình bày cho các bạn một phương pháp tiếp cận dấu
bằng sử dụng trong một lớp bất đẳng thức trong đó các biến của ta bị chặn trong từng
khoảng. Ta sẽ phát biểu dạng tổng quát của bất đẳng thức:
Cho x1 , x2 ,..., xn ∈ [ a, b ] . Chứng minh rằng f ( x1 , x2 ,..., xn ) ≥ ( ≤ ) C .
Gặp những tình huống như thế này, dấu bằng của bất đẳng thức thường xảy ra tại
các giá trị biên, nghía là bằng a hay b . Trong trường hợp như vậy,ta sẽ cố gắng chứng
minh,chẳng hạn như f ( x1 , x2 ,..., xn ) ≥ (≤) f ( a, x2 ,..., xn ) . Và lại tiếp tục như vậy
f (a, x2 ,..., xn ) ≥ (≤) f ( a, b,..., xn ) . Và cuối cùng ta thu được giá trị nhỏ nhất của f ,chẳng
hạn như f (a, b, b, b, a,..., a ) .Lúc này ta chỉ cần tính giá trị cụ thể của f và so sánh với C.
Ta hãy xét một số ví dụ cụ thể sau:
Bài tóan:
Cho a, b, c ∈ [0,1] . Tìm giá trị lớn nhất của:
f (a, b, c) = a + b + c − ab − ac − bc
(Chuyên đề Tóan học số 7- PTNK Tp.HCM)
Bài tóan trên rõ ràng năm trong phương pháp mà ta đã đề cập, ta hãy thử áp dụng
phương pháp này xem:
Ta sẽ chứng minh:
f (a, b, c) ≤ max { f (a, b, 0), f (a, b,1)} . Thực vậy
Nếu 1− a − b ≥ 0 thì
f (a, b, c) = a + b − ab + c (1 − a − b) ≤ a + b − ab + (1 − a − b) = f (a, b,1)
Nếu 1 − a − b ≤ 0 thì f (a, b, c) = a + b − ab + c (1 − a − b) ≤ a + b − ab = f (a, b, 0)
Như vậy f (a, b, c) ≤ max {f(a,b,1),f(a,b,0)}
Ở đây ta có thể lý luận một cách tương tự như trên để suy ra rằng:
f (a, b, c) ≤ max {f(0,0,0);f(0,0,1);f(0,1,1);f(1,1,1)} và tính tóan trực tiếp các gía
trị trên để suy ra f (a, b, c ) ≤ 1 . Dấu bằng xảy ra chẳng hạn như a = b = 0, c = 1.
Hoặc là ta sẽ đánh giá f (a, b,1); f (a, b, 0) .
f (a, b,1) = 1 − ab ≤ 1.
f (a, b, 0) = a + b − ab = (a − 1)(1 − b) + 1 ≤ 1 .
Dấu bằng xảy ra chẳng hạn như a = b = 0, c = 1.
Vậy f (a, b, c) max = 1 . Dấu bằng xảy ra chẳng hạn như a = b = 0, c = 1.
Bài tóan:
Cho a, b, c ∈ [1, 2] . Chứng minh rằng:

(a + b + c)
1 1 1
 + +  ≤ 10
a b c
(Tóan học và Tuổi trẻ)
Ta cũng sẽ sử dụng phương pháp tương tự như đã nói ở trên. Đặt:
 1 1 1
f (a, b, c) = (a + b + c )  + + 
a b c
Do tính đối xứng của bất đẳng thức mà ta có thể giả sử: a ≥ b ≥ c .
Ta sẽ chứng minh:

www.Vedich.net

f (a, b, c) ≤ f (a, b,1) . Thực vậy ta có:
 1 1 1 1 1 
f (a, b, c) − f (a, b,1) = (a + b + c)  + +  − (a + b + 1)  + + 1
a b c a b 
1  1 1
= (a + b)  − 1 +  +  (c − 1)
c  a b
1 1 a b
= (c − 1)  + − − 
a b c c
Ta có:
c − 1 ≥ 0.
1 a
a ≤1≤ c
 1 1 a b
 ⇒ + − − ≤ 0.
1 ≤1≤ b a b c c
b
 c
1 1 a b
Do đó (c − 1)  + − −  ≤ 0 ⇒ f (a, b, c) ≤ f (a, b,1)
a b c c
Ta lại tiếp tục chứng minh: f (a, b,1) ≤ f (2, b,1) . Thực vậy:
1 1  1 1 
f (a, b,1) − f (2, b,1) = ( a + b + 1)  + + 1  − (2 + b + 1)  + + 1
a b  2 b 
1  1 1
= (a − 2)  + 1 +  −  (b + 1)
b  a 2
1 b 1 
= (a − 2)  + 1 − − 
b 2a 2a 
Ta có:
a-2 ≤ 0
1 1
 b > 2a
 1 b 1
 ⇒ +1− − > 0.
1 > b b 2a 2a

 2a
Do đó: f (a, b,1) ≤ f (2, b,1) .
Bây giờ ta xét f (2, b,1).
 3 1  11 3 3b
f (2, b,1) = ( 3 + b )  +  = + +
2 b 2 b 2
11  1 b  11  (b − 1)(b − 2) 3  11 9
= + 3 +  = + 3 +  ≤ + = 10.
2 b 2 2  2b 2 2 2
Vậy tòm lại f (a, b, c) ≤ f (a, b,1) ≤ f (2, b,1) ≤ 10.
Các bạn hãy thử áp dụng phương pháp này vào một số bài tóan sau nhé J

www.Vedich.net

Bài 1:
Cho a, b, c ∈ [1, 2] . Tìm giá trị lớn nhất của:
a 3 + b3 + c3
A=
3abc
Tạp chí Toán Học và Tuổi Trẻ.
Bài 2:
Cho a, b, c, d , e ∈ [0,1] .Tìm giá trị lớn nhất của
B = a (1 − b) + b(1 − c) + c (1 − d ) + d (1 − a).
Bài 3:
Cho x, y , z ∈ [1, 2] . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:
xy xz yz
C= + +
xz + yz xy + yz xy + xz
Bài 4:
Cho a, b, c ∈ [0,1] .Chứng minh rằng:
2(a3 + b3 + c 3 ) − (a 2b + b 2c + c 2 a ) ≤ 3.
Tạp chí Toán Học và Tuổi Trẻ.
h)Sử dụng tam thức bậc hai trong chứng minh bất đẳng thức.
Tam thức bậc hai có rất nhiều ứng dụng trong chứng minh bất đẳng thức. Các kic
thuật sử dụng tam thức bậc hai là khá nhiều, tuy nhiên do khuôn khổ cuốn sách co hạn
nên tác giả chỉ nêu ra các phương pháp thường hay được sử dụng.
i)Phương pháp tam thức hóa
Để chứng minh f ≥ g . Ta có thể chuyển f − g = h( x) = ax 2 + bx + c ≥ 0, ∀x. Khi
a > 0
đo việc bất đẳng thức đúng tương đương với với 
∆ ≤ 0.
Các bạn nên chú ý các bài tóan mà bậc của một biến nào đó là bậc hai, chúng ta
có thể xét tam thức bậc hai theo biến này.
Ta hãy xem xét một số ví dụ cụ thể
Bài tóan:
Cho a, b, c là ba cạnh tam giác. Chứng minh rằng:
pa 2 + qb 2 > pqc 2 , ∀p, q : p + q = 1.
Bất đẳng thức có vẻ không quen thuộc lắm với các phương pháp đã biết của
ta.Tuy nhiên điều kiện có vẻ là đơn giản,ta có thể loại bỏ luôn điều kiện này bằng cách
thế q = 1 − p ,ta được:
pa 2 + (1 − p )b 2 ≥ p(1 − p)c 2 , ∀p.
⇔ c 2 p 2 + (a 2 − b 2 − c 2 ) p + b 2 > 0, ∀p.
Như vậy là ta đã thu được một bất đẳng thức có các biến đều bậc 2,tuy nhiên bất
đẳng thức cần chứng minh đúng với mọi p nên ta chọn xét tam thức f ( p ) là hợp lý nhất.
Xét f ( p ) = c 2 p 2 + (a 2 − b 2 − c 2 ) p + b 2
f ( p ) > 0, ∀p ⇔ ∆ = (a 2 − b 2 − c 2 )2 − 4b 2c 2 ≤ 0
⇔ ∆ = −(a + b + c)(a + b − c)(a − b + c)(− a + b + c) ≤ 0.

www.Vedich.net

Bất đẳng thức cuối cùng là đúng,như vậy bài toán đã được giải quyết.
ii)Phương pháp tạo tam thức.

Để chứng minh f ≥ g . Ta có thể chuyển f − g = b 2 − 4ac = b,2 − ac ≥ 0 Khi đó ta
sẽ tạo ra tam thức bậc hai f ( x ) = ax 2 + bx + c và chứng minh f ( x ) luôn có nghiệm bằng
cách chứng minh tồn tại α sao cho af (α ) ≤ 0 hay tồn tại α , β sao cho f (α ) f ( β ) ≤ 0 .
Ta xét ví dụ sau:
Bài tóan:
Cho a12 ≥ a2 2 + a32 + ... + an 2 . Chứng minh rằng:
(a1
2
− a2 2 − ... − an 2 )( b12 − b22 − ... − bn 2 ) ≤ (a1b1 − a2b2 − ... − anbn ) 2
Bất đẳng thức trên có tên gọi là bất đẳng thức Aczela.
Bất đẳng thức đã nằm ở một dạng rất đẹp mà t among muốn: ac ≤ b,2 , a ≥ 0.
Trước hêt ta xét trường hợp a12 = a2 2 + a32 + ... + a n 2 ,khi đó bất đẳng thức là hiển
nhiên vì vế phải luôn không âm.
Trường hợp a12 > a2 2 + a32 + ... + an 2 ,ta xét tam thức bậc hai:
f ( x) = (a12 − a2 2 − ... − an 2 ) x 2 − 2(a1b1 − a2b2 − ... − an bn ) x + (b12 − b22 − ... − bn 2 )
= (a1 x − b1 ) 2 − (a 2 x − b2 )2 − (a3 x − b3 )2 − ... − (an x − bn ) 2
 b1   a 
2
 an  
2

Ta có: f   = −  b1 − b2  + ... +  b1 − bn   ≤ 0
2

 a1   a1
   a1   
Do đó phương trình f ( x ) = 0 luôn có nghiệm, do đó:
∆' = (a1b1 − a2b2 − ... − an bn )2 − (a1 − a2 − ... − an )(b1 − b2 − ... − bn ) ≤ 0.
⇒ (a12 − a2 2 − ... − an 2 )(b12 − b2 2 − ... − bn 2 ) ≤ (a1b1 − a2b2 − ... − anbn )2

Sau đâu sẽ là phần bài tập dành cho các bạn:
Bài 1:
a 2 + b 2 + c 2 + d 2 + e 2 ≥ a(b + c + d + e), ∀a, b, c, d , e.
Bài 2:
(1 + a1 + a2 + ... + an ) 2 ≥ 4(a12 + a2 2 + ... + an 2 ), ∀ai ∈ [0,1]
Bài 3:
(a 2 + b 2 + c 2 )2 ≥ 3(a 3b + b3c + c 3a ) .

Bài tóan số 3 là một bài tóan ứng dụng tam thức bậc hai cực khó, bạn nào làm
được bài tóan này xin hãy gửi thư cho chúng tôi, “nhóm chuyên đề 12 Toán trường Phổ
thông Năng Khiếu-Đại học Quốc Gia,Thành phố Hồ Chí Minh”. Năm bạn gửi lời giải

www.Vedich.net

sớm nhất sẽ được gửi tặng một món quà của chúng tôi,các bạn nhớ ghi địa chỉ rõ ràng
trong thư gửi đến để thuận tiện trong việc gửi quà cho các bạn J.
i)Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối.
Các biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối luôn gây khó khăn cho chúng ta trong
việc tính tóan, do đó bất đẳng thức với dấu giá trị tuyệt đối không phải là một vấn đề đơn
giản. Trước hết chúng ta hãy điểm qua một số bất đẳng thức trị tuyệt đối cơ bản:
x ≥0
x ≥x
x+ y ≤ x + y
x− y ≥ x − y
Các bất đẳng thức trên tuy cơ bản và đơn giản nhưng chúng ứng dụng vào việc
giải quyết các bài tóan về dấu giá trị tuyệt đối rất tốt,chúng ta hãy xét qua một số ví dụ
Bài tóan:
Cho a1 ≤ a2 ≤ ... ≤ an
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
A = x − a1 + x − a2 + ... + x − an
(Đề thi vào lớp 10 chuyên Toán trường PTNK Tp.HCM)
Giải:
Ta xét 2 trường hợp, n chẵn và n lẻ.
Với n chẵn,đặt n = 2k . Ta có:
A = x − a1 + x − a2 + ... + x − ak + ak +1 − x + ak + 2 − x + ... + a2 k − x
≥ x − a1 + x − a2 + ... + x − ak + ak +1 − x + ak + 2 − x + ... + a2 k − x
= − a1 − a2 − ... − ak + ak +1 + ak + 2 + ... + a2 k .
Dấu bằng có thể xảy ra, chẵn hạn như x = ak .
Với n lẻ, đặt n = 2k + 1 . Ta có:
A = x − a1 + x − a2 + ... + x − ak + x − ak +1 + ak + 2 − x + ak +3 − x + ... + a2 k +1 − x
≥ x − a1 + x − a2 + ... + x − ak + 0 + ak + 2 − x + ak +3 − x + ... + a2 k +1 − x
= − a1 − a2 − ... − ak + ak + 2 + ak +3 + ... + a2 k +1
Dấu bằng có thể xảy ra, chẵn hạn như x = ak +1 .
Lời giải của bài tóan trên có lẽ là khá kỹ thuật, tuy nhiên mọi thứ đều có nguồn
gốc của nó. Tác giả đã phải làm với các trường hợp n nhỏ rồi mới có thể giải một cách
tổng quát. Đây cũng là một kinh nghiệm trong học và làm Tóan, chúng ta nên bắt đầu từ
những cái nhỏ và khái quát lên cho cái lớn.
Ngòai việc áp dụng bất đẳng thức x ≥ x , ta còn có thể sử dụng bất đẳng thức:
x1 + x2 + ... + xn ≥ x1 + x2 + ... + xn để giải quyết bài tóan trên.

Một phương pháp cũng hay sử dụng đối với dấu giá trị tuyệt đối nói dhung là xét
từng khỏang để bỏ dấu giá trị tuyệt đối.
Đôi khi,chúng ta cũng thường xuyên dử dụng các bất đẳng thức cổ điển trong việc
chứng minh các bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối, nhất là bất đẳng thức

www.Vedich.net

Bouniakovski. Bởi lẻ áp dụng bất đẳng thức này, các giá trị tuyệt đối sẽ được bình
phương làm mất dấu giá trị tuyệt đối.
Ta thử xét một ví dụ
Bài toán:
Cho a, b là các số thực thỏa mãn a 2 + b 2 = 1. Chứng minh rằng:
( a + 1 + b + 1 ) + ( a −1 + b − 1 ) ≤ 2 6
Lời giải dựa trên bất đẳng thức Bouniakovski. Ta làm như sau:
1. a + 1 + 1. a − 1 ≤ 2  (a − 1)2 + (a − 1)2  = 2 a 2 + 1
 
1. b + 1 + 1. b − 1 ≤ 2 (b − 1)2 + (b + 1) 2  = 2 b 2 + 1
 
2. a 2 + 1 + 2. b 2 + 1 ≤ 8(a 2 + b 2 + 2) = 2 6.
Cộng các bất đẳng thức trên vế theo vế,ta có điều phải chứng minh.

Sau đây là các bài tập áp dụng dành cho bạn đọc:
Bài 1:
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các biểu thức sau ,biết x ∈ [ −2,3]
a) A = 2 x + 1 + 3.
b) B = x + 1 + 2 x − 1
c) C = x 2 − 2 x
Bài 2:
3( ab + 1 + ab − 1) + 4( a + b + a − b ) ≤ 10 (a 2 + 1)(b 2 + 1)
Bài 3:
Cho các số thực x, y , z ∈ [1, 2]
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
2 − xy 2 − yz 2 − xz
P= + +
z ( x + y ) x( y + z ) y ( x + z )

B. Một số vấn đề về cực trị phân thức.
a)Một số kiến thức cần nhớ:
b  b 2 − 4ac
2

Tam thức bậc hai f ( x ) = ax 2 + bx + c = a  x +  −
 a 4a
b − 4ac
2
−b
i) Nếu a > 0, f min = − khi x =
4a 2a
b 2 − 4ac −b
ii)Nếu a < 0, f max = − khi x =
4a 2a
Định lý: Nếu tam thức bậc hai f ( x ) có hai nghiệm thì phân tích được thành nhân tử.
b)Một số dạng toán:

www.Vedich.net

i) Dạng f ( x ) = ax 2 + bx + c
Phương pháp giải và các kết quả về dạng bất đẳng thức này đã được nêu trong phần một
số kiến thức cần nhớ.
Dưới đây là một số bài tập áp dụng.
Bài 1: Tìm cực trị các đa thức sau:
a. Tìm min A = 4 x 2 − 4 x + 6. b.Tìm max B=-x+3 x − 7
c. Tìm min và max của f ( x ) = x − 4 x + 6 khi x ∈ [ −3, 4]
2

Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất f ( x ) = ( x − 1)( x + 2)( x + 3)( x + 6)
m
ii) Dạng f ( x ) = 2
ax + bx + c
Phương pháp chủ đạo trong việc tìm giá trị nhỏ nhất,lớn nhất của g ( x ) = ax 2 + bx + c , sau
1
đó tương ứng thành giá trị lớn nhất của ,sau đó nhân vào m để đạt được điều cần
g ( x)
m
tìm với .
g ( x)
Dưới đây là một số bài tập áp dụng.
2
Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của f ( x) = .
6x − 5 − 9x2
−6
Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất của f ( x ) =
x−3 x +7
mx + n
iii)Dạng f ( x ) = 2
ax + bx + c
Phương pháp tổng quát để hạ bệ những phân thức dạng này là:
Bước 1: (Đổi biến)
Đặt mx + n = y .
Bước 2: (Chuyển biến)
Chuyển f ( x ) thành f ( y ) bằng cách chuyển ax 2 + bx + x = a ' y 2 + b ' y + c ' (thay
y−n
x= )
m
y
Khi đó: f ( x ) = f ( y ) = ' 2 '
a y + b y + c'
Thông thường a 'c ' .Khi đó áp dụng bất đẳng thức Cauchy:
a ' y 2 + c ' ≥ 2 a 'c ' y để đánh giá. Tuy nhiên nhớ cẩn thận các
trường hợp y < 0.
Bài tập áp dụng:
3 − 4x
Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của A =
x2 + 1
4x + 3
Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của phân thức B= 2
x + x +1

www.Vedich.net

mx 2 + nx + d
iv) Dạng f ( x ) = , am ≠ 0.
ax 2 + bx + c
Phương pháp giải là đưa về dạng iii), cụ thể như sau:

mx + nx + d a
2
m
( ax 2 + bx + c ) +  n − mb  x +  d − mc 

 a 

 a 
=
ax + bx + c
2
ax + bx + c
2

 mb   mc 
m  n − x +d − 
a   a 
= +
a ax 2 + bx + c
Ta xét qua một số bài tập sau:
3x 2 − 8 x + 6
Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất A = 2
x − 2x +1
3x 2 + 14
Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất B = 2
x +4
C.Từ một đẳng thức đại số.
Bài viêt này sẽ cung cấp cho các bạn một số bất đẳng thức được hình thành từ các đẳng
thức đại số:
Trước hết ta nếu lại một số đẳng thức hay của đại số:
ab bc ca
+ + = −1 (1)
(b − c)(c − a ) (c − a)(a − b) (a − b)(b − c )
( x + y )( y + z ) ( y + z )( z + x) ( z + x )( x + y )
+ + = −1 (2)
( x − y )( y − z ) ( y − x)( z − x) ( z − x )( x − y )
Trong đó (a, b, c ) và ( x, y , z ) là các bộ số khác nhau phần biệt.
Lưu ý với các bạn rằng hai đẳng thức này là tương đương nhau, chẵn hạn trong (2) , đặt
x + y = a, y + z = b, z + x = c ta sẽ thu được đẳng thức (1)
Từ các đẳng thức trên ta rút ra một số hệ quả trực tiếp sau đây:

2 2 2
 a   b   c 
  +  +  ≥2
 b −c   c −a   a −b 
2 2
 x+ y  y+z  z+x
2

  +  +  ≥2
 x− y  y−z   z−x
Đề thi vào lớp 10 PTTH Chuyên Lê Hồng Phong TP.HCM năm 1999.
x2 + y2 y2 + z2 z2 + x2 5
+ + ≥ .
( x − y )2 ( y − z )2 ( z − x )2 2
xy yz zx 1
+ + ≥−
( x − y) ( y − z ) ( z − x)
2 2 2
4
Ta hãy xét một số bài tóan lien quan đến các bất đẳng thức thú vị này.
Bài tóan dưới đây là bài tóan về bất đẳng thức Nesbit ở dạng hiệu:
Bài toán:
Cho a, b, c là các số thực phân biệt. Chứng minh rằng:

www.Vedich.net

a b c
+ + ≥ 2.
b −c c − a a −b
Rõ rang các bạn cũng thấy được mối lien hệ với các bất đẳng thức ta đang xét rồi
chứ, để mối quan hệ thêm rõ rang ta bình phương hai vế của bất đẳng thức, và ta thu
được:
 
2 2 2
 a   b   c  ab bc ca
 b − c  +  c − a  +  a − b  + 2  (b − c)(c − a) + (c − a)(a − b) + (a − b)(b − c )  ≥ 4
       
Mặc khác ta đã có:
2 2 2
 a   b   c 
  +  +  ≥2
b−c  c−a   a−b
 ab bc ca  ab bc ca
2 + + ≥2 + + =2
 (b − c)(c − a ) (c − a)(a − b) (a − b)(b − c )  (b − c )(c − a ) (c − a )(a − b) (a − b)(b − c)

Cộng các bất đẳng thức trên vế theo vế và ta thu được điều cần chứng minh.
Sau đây là một số bài tập dành cho các bạn đọc:
Bài 1: Cho các số thực x, y, z khác nhau đôi một. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
x3 − y 3 y3 − z 3 z 3 − x 3
A= + + .
( x − y )3 ( y − z )3 ( z − x ) 3
Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
 1 1 1 
B = ( x2 + y 2 + z 2 )  + + 2
 ( x − y ) ( y − z ) ( z − x) 
2 2

Trong đó x, y, z là các số thực phân biệt.
Bài 3: (Dành cho các bạn học sinh lớp 10 hoặc cao hơn)
π
Chứng minh rằng nếu x + y + z = thì ta có bất đẳng thức sau:
2
cos x cos y cos z
+ + ≥ 2.
sin( y − z ) sin( z − x ) sin( x − y )

Tài liệu tham khảo
• Bất Đẳng Thức Trần Phương.
• Giới thiệu tóm tắt cuộc đời và GS.Nguyễn Cang
sự nghiệp các nhà Tóan Học-Tập 1,2 PGS.Nguyễn Đăng Phất.
• Tạp chí Toán Học và Tuổi Trẻ
• Các bài tóan cực trị của hàm số-Tập 1 Phan Huy Khải.

[Svtoantin.com] chuyen de cuc tri

More Related Content

What's hot (20)

Similar to [Svtoantin.com] chuyen de cuc tri (20)

More from Minh Tâm Đoàn (13)

[Svtoantin.com] chuyen de cuc tri