SlideShare a Scribd company logo

T r a n s f o r m a s i

Download as DOCX, PDF
K
kusnadiyoan

Dokumen tersebut membahas tentang transformasi matematika yang mencakup pengertian transformasi, jenis transformasi (isometri dan non-isometri), dan contoh transformasi seperti translasi dan pencerminan beserta rumus-rumusnya.

Education
1 of 15
Downloaded 34 times
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
MODUL MATEMATIKA | TRANSFORMASI 1 MODUL MATEMATIKA TRANSFORMASI KUSNADI, S.Pd www.mate-math.blogspot.com
MODUL MATEMATIKA | TRANSFORMASI 2 T R A N S F O R M A S I PENGERTIAN TRANSFORMASI Transformasi adalah perpindahan dari suatu posisi ke posisi lain. Dalam geometri, transformasi ialah suatu pemetaan setiap bangun geometri pada suatu bidang ke bangun geometri lainnya pada bidang yang sama, yang disebut transformasi bidang. Ada 2 macam transformasi, yaitu : 1. Transformasi isometri yaitu suatu transformasi yang tidak merubah ukuran bangun semula. Yang termasuk transformasi isometri : pergeseran (translasi), pencerminan (refleksi) dan pemutaran (rotasi). 2. Transformasi non-isometri yaitu suatu transformasi yang merubah ukuran bangun semula. Yang termasuk transformasi non-isometri : perkalian (dilatasi) Untuk menentukan bayangan hasil transformasi biasanya dipergunakan bantuan matriks. 1. PERGESERAN (TRANSLASI) Suatu titik P(x,y) ditranslasikan oleh translasi        b a T menjadi P’(x’,y ’) ditulis P(x,y) T P’(x’,y ’) dimana x’ = x + a y ’ = y + b atau                   b a y x y x ' ' Secara geometri dapat digambarkan sebagai berikut : Y P’(x’ , y ‘) = P’(x+a , y+b) b P(x,y) a O X Contoh 1: Tentukan bayangan (peta) dari titik A(-1,2) oleh translasi        2 3 T Penyelesaian : …………………….. Tidak hanya titik yang dapat ditranslasikan tetapi bisa juga garis atau kurva. Yaitu dengan menyatakan x dan y dengan x’ dan y’ kemudian disubstitusikan ke persamaan garis atau kurva yang ditranslasikan. Contoh 2 : Tentukan bayangan garis y = 2x – 1 oleh translasi        4 3 T Penyelesaian : 4' 3' 4 3 ' '                     yy xx y x y x Substitusi x dan y ke persamaan y = 2x – 1 sehingga : 9'2'1)3'(24'  xyxy Jadi bayangannya y = 2x + 9
MODUL MATEMATIKA | TRANSFORMASI 3 LATIHAN SOAL 1. Titik A(2,5) dipetakan ke bayangannya A’ oleh translasi         7 3 T . Tentukan koordinat titik A’ ! 2. Jika B’ merupakan bayangan titik B oleh translasi I, maka tentukan koordinat titik B jika diketahui titik B’ (-5,7) dan        0 3 I 3. Jika koordiat titik Q(-3,8) ditranslasikan oleh        7 5 1T kemudian ditranslasikan lagi oleh         3 2 2T , maka tentukan bayangan titik Q ! 4. P’(-5,8) adalah bayangan titik P(-12,3) oleh translasi        k h T . Tentukan nilai h dan k ! 5. Diberikan                           5 10 9 2 ,, 6 4 STdanRS b a QRPQ . Jika translasi tunggal yang mewakili jumlah semua translasi tersebut adalah         12 4 , tentukan QR ! 6. Titik (-5,9) ditranslasikan oleh T menjadi (2,-12). Tentukan bayangan titik P(-4,7) oleh translasi T ! 7. Garis OA melalui titik O(0,0) dan A(5,5). Tentukan bayangan garis OA oleh translasi        3 0 T 8. Tentukan bayangan garis y = x + 5 oleh translasi       2 1 9. Tentukan bayangan lingkaran yang berpusat di titik (3,5) dan berjari-jari 3 oleh translasi         9 7 10. D C P A B Jika AB mewakili translasi       1 3 dan BD mewakili translasi         4 2 maka nyatakan translasi yang diwakili oleh PCdanAC !
MODUL MATEMATIKA | TRANSFORMASI 4 2. PENCERMINAN (REFLEKSI) suatu pencerminan ditentukan oleh suatu garis tertentu sebagai sumbu pencerminan. Jarak bangun mula-mula ke sumbu pencerminan sama dengan jarak bangun bayangannya ke sumbu pencerminan. Sumbu pencerminan A K A’ B B’ C M C’ Keterangan : AK = A’K, BL = B’L dan CM = C’M 2.1 PENCERMINAN TERHADAP SUMBU X Y P(x,y) O X P’(x’,y’)                    y x y x 10 01 ' ' 2.2 PENCERMINAN TERHADAP SUMBU Y Y P’(x’,y’) P(x,y) O X                   y x y x 10 01 ' '
MODUL MATEMATIKA | TRANSFORMASI 5 2.3 PENCERMINAN TERHADAP TITIK ASAL Y P(x,y) 0 X P’(x’,y’)                     y x y x 10 01 ' ' 2.4 PENCERMINAN TERHADAP GARIS y = k Y P’(x’,y’) y = k P(x,y) 0 X                          ky x y x 2 0 10 01 ' ' 2.5 PENCERMINAN TERHADAP GARIS x = k                         0 2 10 01 ' ' k y x y x 2.6 PENCERMINAN TERHADAP GARIS y = x                   y x y x 01 10 ' ' 2.7 PENCERMINAN TERHADAP GARIS y = -x                     y x y x 01 10 ' '
MODUL MATEMATIKA | TRANSFORMASI 6 2.8 PENCERMINAN TERHADAP GARIS y = mx m y x y x arctan, 2cos2sin 2sin2cos ' '                       2.9 PENCERMINAN TERHADAP TITIK (a,b)                           b a y x y x 2 2 10 01 ' ' 2.10 PENCERMINAN TERHADAP GARIS x = k DILANJUTKAN x = h P’’(x+2(h – k) , y) 2.11 PENCERMINAN TERHADAP GARIS y = k DILANJUTKAN y = h P”(x , y + 2(h-k)) 2.12 PENCERMINAN TERHADAP DUA GARIS x = k DAN y = h YANG SALING TEGAK LURUS P”(2k – x , 2h – y) Contoh 1 : Tentukan bayangan dari titik P(5,3) oleh pencerminan terhadap garis y = -x ! Penyelesaian : …………… Contoh 2 : Tentukan bayangan titik P(3,-2) oleh pencerminan terhadap garis x = 2 dilanjutkan oleh pencerminan terhadap garis x = 6 ! Penyelesaian : …………….. Contoh 3 : Tentukan bayangan titik P(2,-4) oleh pencerminan terhadap garis x = -1 dilanjutkan pencerminan terhadap garis y = 2 !
MODUL MATEMATIKA | TRANSFORMASI 7 Penyelesaian : …………… LATIHAN SOAL 1. Tentukan bayangan titik (-2,5) dan (3,-6) jika dicerminkan terhadap : a. sumbu X b. sumbu Y 2. Diketahui persegi panjang ABCD dengan A(1,1), B(4,1) , C(4,3) dan D(1,3). Tentukan bayangan persegi panjang tersebut jika dicerminkan terhadap sumbu Y ! 3. Tentukan bayangan titik (-3,1) yang dicerminkan terhadap garis y = 8 ! 4. Tentukan bayangan titik (-2,7) yang dicerminkan terhadap garis x = -12 ! 5. Tentukan bayangan jajargenjang ABCD dengan A(0,0), B(4,1), C(5,3) dan D(1,2) jika dicerminkan terhadap garis y = -1 ! 6. Suatu segitiga ABC dengan A(2,1), B(0,-2) dan C(-1,2) dicerminkan terhadap garis x = 0. Kemudian dicerminkan lagi terhadap garis y = 0. Tentukan koordinatbayangan akhir segitiga ABC tersebut ! 7. Titik-titik sudut segitiga ABC adalah A(1,3), B(3,4) dan C(2,1). Segitiga tersebut dicerminkan terhadap sumbu X, dilanjutkan pencerminan terhadap sumbu Y dan terakhir pencerminan terhadap titik asal. Tentukan koordinat bayangan segitiga tersebut ! 8. Persegi panjang ABCD dengan A(-1,1), B(-1,3), C(3,3) dan D(3,1) dicerminkan terhadap garis y = x. Tentukan koordinat bayangannya ! 9. Tentukan bayangan titik A(-2,1) oleh pencerminan terhadap garis x = 2 dilanjutkan oleh pencerminan garis x = 4 ! 10. Tentukan bayangan titik C(2,3) karena pencerminan terhadap garis y = -1 dilanjutkan oleh pencerminan terhadap garis y = 3 !
MODUL MATEMATIKA | TRANSFORMASI 8 3. PERPUTARAN (ROTASI) Pada rotasi ada 3 komponen, yaitu titik pusat pemutaran, besar sudut putar dan arah sudut putar. Pemutaran mempunyai arah positif jika berlawanan dengan arah putaran jarum jam. 3.1 ROTASI DENGAN PUSAT TITIK ASAL Y P’(x’ , y’) P(x,y)   0 X         cossinsincoscossinsin' sincossinsincoscos)(cos' ),(')','(' ),(),( sin cos yxrrry yxrrrx rPyxP rPyxP ry rx                          y x y x   cossin sincos ' ' Contoh 1 : Tentukan bayangan titik A(2,-4) jika diputar  90 dengan pusat putaran di titik pusat ! Penyelesaian : …………. Rotasi dengan pusat (0,0) sebesar  sering ditulis R
MODUL MATEMATIKA | TRANSFORMASI 9 3.2 ROTASI DENGAN PUSAT (a,b) Y P’(x’,y’) P(x,y)  A(a,b)  X Hal ini sebenarnya sama dengan rotasi dengan pusat (0,0) yang di translasikan sebesar       b a .                        by ax by ax   cossin sincos ' '                            b a by ax y x   cossin sincos ' ' Contoh 2 : Tentukan bayangan titik B(4,5) oleh rotasi sebesar  90 dengan pusat (1,2) ! Penyelesaian : …………….
MODUL MATEMATIKA | TRANSFORMASI 10 LATIHAN SOAL 1. Tentukan bayangan titik A(3,6) dan B(-2,1) karena rotasi : a.  90 R b.  180 R 2. Diketahui segitiga ABC dengan A(2,3), B(-5,1) dan C(3,5).Tentukan bayangan segitiga tersebut karena rotasi  90 R ! 3. Tentukan bayangan koordinat jajargenjang ABCD dengan A(1,2), B(3,5), C(6,1) dan D(m,n) karena rotasi  180 R ! 4. Tentukan bayangan titik (5,4) dengan pusat rotasi (1,2) yang diputar sejauh  90 ! 5. Tentukan bayangan titik (-1,2) dengan pusat rotasi (0,-3) yang diputar sejauh  270 ! 6. Tentukan bayangan titik (-2,3) dengan pusat rotasi (2,-1) yang diputar sejauh  180 ! 7. Tentukan persamaan garis yang melalui titik A(1,-4) dan B(-3,4) yang diputar sejauh -  90 dengan pusat rotasi R(0,-2) ! 8. Tentukan bayangan titik A(-1,2) karena rotasi  90 R dilajutkan dengan rotasi  180 R 9. Tentukan bayangan titik B(3,-2) karena rotasi  180 R dilanjutkan  90 R 10. Tentukan bayangan titik X(-1,-2) karena translasi       1 2 dilajutkan refleksi terhadap garis x = 5 dan terakhir oleh rotasi 90R dengan pusat (1,2) !
MODUL MATEMATIKA | TRANSFORMASI 11 4. PERKALIAN (DILATASI) Pada dilatasi diperlukan suatu titik sebagai pusat perkalian dan faktor skala kR. 4.1 DILATASI DENGAN PUSAT O(0,0) DAN FAKTOR SKALA k Y P’(x’ , y’) P(x,y) O Q Q’ X                   y x k k y x 0 0 ' ' Dilatasi dengan pusat O(0,0) dan faktor skala k sering ditulis  ),kOD Contoh 1 : Tentukan bayangan titik A(-3,4) oleh dilatasi dengan faktor skala 2 dan pusat (0,0) ! Penyelesaian : ……………… 4.2 DILATASI DENGAN PUSAT (a,b) DAN FAKTOR SKALA k Y P’(x’ , y’) P(x,y) A(a,b) 0 X                     b a by ax k y x ' ' Contoh 2 : Tentukan bayangan titik P(4,7) dengan pusat A(2,3) dan faktor skala 2 ! Penyelesaian : ………………
MODUL MATEMATIKA | TRANSFORMASI 12 LATIHAN SOAL 1. Tentukan bayangan titik (5,7) oleh dilatasi  2,O ! 2. Tentukan bayangan titik (12,-27) oleh dilatasi       3 1 ,O ! 3. Tentukan bayangan titik A(2,1) oleh dilatasi  2),3,4(P ! 4. Tentukan bayangan titik B(-3,2) oleh dilatasi        3 2 ),1,3(P ! 5. Tentukan bayangan titik C(4,-1) oleh dilatasi        2 1 ),5,0(P ! 6. Tentukan bayangan segitiga PQR dengan P(3,2), Q(-1,4) dan R(-2,-1) oleh dilatasi  2,O ! 7. Tentukan luas segitiga hasil bayangan dari segitiga ABC dimana A(2,1), B(3,5) dan C(6,1) oleh dilatasi       2 1 ,O 8. Tentukan bayangan titik A(2,3) karena rotasi  90 R dilanjutkan refleksi terhadap garis y = 5 dilanjutkan lagi dengan translasi       2 2 dan diakhiri dengan dilatasi  4),3,0(P ! 5. TRANSFORMASI TEMPAT KEDUDUKAN Yang dimaksud tempat kedudukan dalam hal ini yaitu himpunan titik-titik yang mempunyai pola tertentu. Seperti garis dan kurva. Transformasi terhadap suatu garis atau kurva oleh suatu transformasi (translasi, refleksi, rotasi atau dilatasi) dilakukan dengan dengan menyatakan x dan y dengan x’ dan y’ sesuai dengan transformasi yang digunakan. Kemudian disubstitusikan ke persamaan garis atau kurva yang diketahui. Hasilnya akan berupa persamaan yang menggunakan variabel x’ dan y’ sebagai tanda hasil transformasi (bayangan). Sehingga tanda aksennya bisa dihilangkan. Contoh 1 : Tentukan bayangan parabola 12  xy karena rotasi sebesar  90 dengan pusat O ! Penyelesaian : Rotasi dengan pusat O sebesar  90 ' ' 01 10 90cos90sin 90sin90cos ' ' xy yx x y y x y x y x                                             Substitusi 1'' 2  xykexydanyx sehingga :   11'' 22  yxatauyx
MODUL MATEMATIKA | TRANSFORMASI 13 LATIHAN SOAL 1. Tentukan persamaan garis 01  yxg terhadap pencerminan sumbu X ! 2. Tentukan persamaan garis 01  yxg di atas oleh rotasi  90 R ! 3. Tentukan persamaan bayangan garis y = x + 1 oleh transformasi       10 21 ! 4. Tentukan peta dari garis 2x – y = 7 oleh transformasi        10 12 ! 5. Tentukan bayangan garis x – 2y + 3 = 0 oleh transformasi         52 31 ! 6. Tentukan bayangan lingkaran 922  yx oleh transformasi       10 11 ! 7. Tentukan peta lingkaran 058422  yxyx oleh pencerminan terhadap titik pusat ! 8. Tentukan peta dari parabola 12 2  xy oleh dilatasi  3,O ! 9. Tentukan persamaan bayangan kurva xy = 4 jika diputar terhadap titik O sebesar  45 ! 10. Tentukan persamaan peta lingkaran 922  yx oleh transformasi yang ditentukan : yxy yxx   21 1 6. KOMPOSISI TRANSFORMASI Komposisi transformasi berarti transformasi yang dilakukan lebih dari satu kali terhadap suatu objek (titik, garis atau kurva) tertentu. 6.1 KOMPOSISI BEBERAPA TRANSLASI Komposisi dari dua translasi 1T dan dilanjutkan dengan 2T ditulis 12 TT  . Jadi dalam suatu komposisi, yang dilaksanakan/dioperasikan terlebih dahulu adalah elemen yang paling kanan ( 1T ). Misal titik P(x,y) ditranslasikan oleh 12 TT  dimana              d c Tdan b a T 21 maka bayangan titik P oleh komposisi dua translasi tersebut dapat digambarkan sebagai berikut : P’’(x+a+c , y+b+d) d P’ c b P a
MODUL MATEMATIKA | TRANSFORMASI 14 Jadi untuk menentukan bayangan titik P(x,y) oleh komposisi translasi 12 TT  dapat juga dengan menjumlahkan terlebih dahulu elemen-elemen translasinya yaitu 1 12          db ca TT  baru hasil komposisi translasi tersebut yaitu matriks         db ca untuk mentranslasikan P(x,y) ke P’’. Contoh 1 : Jika titik A(1,-5) maka tentukan bayangan titik A oleh translasi         1 2 1T dilanjutkan        4 3 2T Penyelesaian :                        2 0 41 )3(2 5 1 )5,1)(( 12 TT  Coba tentukan bayangan titik A(1,-5) karena translasi 21 TT  ! Apakah hasil bayangannya sama ? Jika sama sifat apakah yang berlaku untuk komposisi dua translasi tersebut ? 6.3 KOMPOSISI BEBERAPA ROTASI Ada 3 cara menentukan hasil komposisi dua rotasi, yaitu dengan merotasikan satu per satu atau dengan menentukan terlebih dahulu matriks hasil komposisi rotasi kedua rotasi tersebut dengan cara mengalikan. Atau bisa juga dengan menjumlahkan besar rotasi yang digunakan kemudian gunakan matriks rotasi dari hasil penjumlahan tersebut. Contoh 2 : Tentukan bayangan titik A(-1,2) oleh rotasi  90 dilanjutkan dengan rotasi  180 ! Penyelesaian : Sudut hasil komposisi rotasi =  18090  =  270                                    1 2 2 1 01 10 2 1 270cos270sin 270sin270cos "   A 6.4 KOMPOSISI BEBERAPA DILATASI Untuk komposisi dilatasi dengan pusat O bisa dilakukan dengan 2 cara yaitu dengan dilatasi satu per satu atau dengan menentukan terlebih dahulu faktor skala hasil komposisi yaitu dengan mengalikan kedua faktor skala dilatasi. Untuk komposisi dilatasi dengan pusat (a,b) dilakukan satu per satu. LATIHAN SOAL 1. Tentukan bayangan titik (5,3) oleh refleksi terhadap garis x = 2 dan dilanjutkan terhadap garis x = 6 ! 2. Tentukan bayangan titik (-3,8) oleh refleksi terhadap garis y = 3 dan dilanjutkan terhadap garis x = -1 ! 3. Diketahui segitiga PQR dengan P(1,1), Q(-3,4) dan R(-2,-1) . Tentukan bayangannya jika direfleksikan terhadap garis y = -1 dan dilanjutkan terhadap y = 3 !
MODUL MATEMATIKA | TRANSFORMASI 15 4. Tentukan bayangan titik (2,1) yang direfleksikan terhadap garis y = x, kemudian dilajutkan terhadap sumbu Y ! 5. Tentukan bayangan titik (5,5) yang dirotasikan terhadap  90 R dan dilanjutkan  270 R ! 6. Tentukan bayangan titik (-5,4) yang dirotasikan terhadap  150 R dan dilanjutkan  120 R ! 7. Jika yM adalah pencerminan terhadap sumbu Y, 1M adalah pencerminan terhadap garis x = 6 dan 2M adalah pencerminan terhadap garis x = 11. Tentukan peta segitiga ABC dengan A(-1,1), B(- 2,6) dan C(-4,4) oleh komposisi pencerminan : a. 1MM y  b. yMMM  12 8. Jika 1M , 2M dan 3M adalah operasi pencerminan terhadap garis x = 2, x = 3 dan x = 7 berturut- turut, maka tentukan bayangan titik P(3,2) oleh transformasi 321 MMM  ! 9. Pada no. 8, tentukan bayangan garis y + x = 3 oleh transformasi 123 MMM  10. Diketahui transformasi                       1 2 01 10 , 1 2 901 IdanRT . Tentukan bayangan titik (7,10) oleh transformasi 1902 TRT  !

More Related Content

PDF
struktur aljabar
mely melyrismawati
 
PDF
Soal matematika smp sistem persamaan linier dua variabel spldv2
Herlina Bayu
 
DOCX
(8.7.1) soal dan pembahasan spldv, matematika sltp kelas 8
kreasi_cerdik
 
PDF
Bank soal-olimpiade-matematika
okto feriana
 
PDF
Matematika Diskrit kombinatorial
Siti Khotijah
 
DOCX
Ulangan harian koordinat kartesius uraian
ika rani
 
PDF
Soal Latihan Matematika Penilaian Akhir Semester Kelas VIII
Soib Thea
 
PPT
Persamaan & pertidaksamaan kuadrat
Eko Supriyadi
 
struktur aljabar
mely melyrismawati
 
Soal matematika smp sistem persamaan linier dua variabel spldv2
Herlina Bayu
 
(8.7.1) soal dan pembahasan spldv, matematika sltp kelas 8
kreasi_cerdik
 
Bank soal-olimpiade-matematika
okto feriana
 
Matematika Diskrit kombinatorial
Siti Khotijah
 
Ulangan harian koordinat kartesius uraian
ika rani
 
Soal Latihan Matematika Penilaian Akhir Semester Kelas VIII
Soib Thea
 
Persamaan & pertidaksamaan kuadrat
Eko Supriyadi
 

What's hot (20)

PDF
NASKAH SOAL ULANGAN KENAIKAN KELAS (UKK) IPA SMP NEGERI 1 BANCAR-TUBAN KELAS...
sajidintuban
 
DOC
Soal latihan menentukan gradien (3 persamaan garis lurus)
miftakhu syifa
 
DOCX
Soal spldv
Annis Ramadhani
 
DOC
Soal fluida-statik-fluida-dinamik-maret-2008
Muhammad Luthfan
 
PDF
Contoh Soal UAN - Suku Banyak
Naufal Irsyad Arzada
 
DOCX
Himpunan
Muhamad Eko Cahyono
 
PDF
Matematika Diskrit - 09 graf - 08
KuliahKita
 
PDF
SOAL UN MTK TAHUN 2009
Chusnul Labib
 
DOCX
Bangun ruang
imanhadi
 
DOCX
LATIHAN SOAL PYTHAGORAS
Radityo Pras
 
DOCX
Sudut pusat dan sudut keliling
qiera.id
 
DOCX
Persamaan kuadrat 1
XAKUNTANSI3C
 
PPT
Fungsi kuadrat
Dina Astuti
 
PPT
Pertemuan 9 transformasi koordinat
Senat Mahasiswa STIS
 
PDF
Uts matematika kelas 7 SMP Al Falah Dago
Ulin Nuha Abdul Qohar
 
PDF
Lks spldv metode grafik ok
I Putu Budiana
 
DOC
Ulangan Matematika Kelas VI Bab Pecahan
Sekolah Dasar
 
DOCX
Uas matematika kelas 9 2014 2015
Anindhita S
 
DOCX
Ulangan Harian Bilangan Berpangkat dan Bentuk Akar
ika rani
 
DOCX
Soal-soal persamaan kuadrat dan fungsi kuadrat
IlhamsyahIbnuHidayat
 
NASKAH SOAL ULANGAN KENAIKAN KELAS (UKK) IPA SMP NEGERI 1 BANCAR-TUBAN KELAS...
sajidintuban
 
Soal latihan menentukan gradien (3 persamaan garis lurus)
miftakhu syifa
 
Soal spldv
Annis Ramadhani
 
Soal fluida-statik-fluida-dinamik-maret-2008
Muhammad Luthfan
 
Contoh Soal UAN - Suku Banyak
Naufal Irsyad Arzada
 
Himpunan
Muhamad Eko Cahyono
 
Matematika Diskrit - 09 graf - 08
KuliahKita
 
SOAL UN MTK TAHUN 2009
Chusnul Labib
 
Bangun ruang
imanhadi
 
LATIHAN SOAL PYTHAGORAS
Radityo Pras
 
Sudut pusat dan sudut keliling
qiera.id
 
Persamaan kuadrat 1
XAKUNTANSI3C
 
Fungsi kuadrat
Dina Astuti
 
Pertemuan 9 transformasi koordinat
Senat Mahasiswa STIS
 
Uts matematika kelas 7 SMP Al Falah Dago
Ulin Nuha Abdul Qohar
 
Lks spldv metode grafik ok
I Putu Budiana
 
Ulangan Matematika Kelas VI Bab Pecahan
Sekolah Dasar
 
Uas matematika kelas 9 2014 2015
Anindhita S
 
Ulangan Harian Bilangan Berpangkat dan Bentuk Akar
ika rani
 
Soal-soal persamaan kuadrat dan fungsi kuadrat
IlhamsyahIbnuHidayat
 
Ad

Viewers also liked (20)

PPT
Transformasi (Translasi, Rotasi Dan Dilatasi)
guest6ea51d
 
PDF
Transformasi
Yudha Prawira
 
DOC
Rangkuman Geometri Transformasi
Indah Wijayanti
 
PDF
07 bab 6
fitriana416
 
PDF
21. soal soal transformasi geometri
Dian Fery Irawan
 
PDF
BSE: Matematika Bisnis dan Manajemen (3)
Yani Pieter Pitoy
 
PDF
Transformasi geometri
Anggita Dwi Lestari Lestari
 
DOCX
Transformasi
SMKN 9 Bandung
 
PDF
Buku Guru Matematika Kelas VII SMP Kurikulum 2013
Randy Ikas
 
PDF
Smk -matematika_smk_bis_-_2002
Candra Wardanie
 
PPTX
Perbandingan Rata-rata (Mean Comparisons)
Ade Setiawan
 
DOCX
Persamaan pencerminan
taofikzikri
 
PDF
Tempat kedudukan
Nur Fadzri
 
PPTX
Logika Matematika Materi SMP kelas VII
rudatulaini
 
PDF
BSE Buku pelajaran sma kelas 12 matematika aplikasi program ipa jilid 3
Sellianova Ardhanella
 
PDF
Buku pelajaran sma kelas 12 matematika aplikasi program ipa jilid 3
Andrias Eka
 
PDF
Geometri
harisv9
 
PDF
Determinan dan invers matriks
Florensius Putra
 
DOCX
Materi kuasa lingkaran
Dzikra Fu'adiah
 
DOC
transformasi
Taofik Dinata
 
Transformasi (Translasi, Rotasi Dan Dilatasi)
guest6ea51d
 
Transformasi
Yudha Prawira
 
Rangkuman Geometri Transformasi
Indah Wijayanti
 
07 bab 6
fitriana416
 
21. soal soal transformasi geometri
Dian Fery Irawan
 
BSE: Matematika Bisnis dan Manajemen (3)
Yani Pieter Pitoy
 
Transformasi geometri
Anggita Dwi Lestari Lestari
 
Transformasi
SMKN 9 Bandung
 
Buku Guru Matematika Kelas VII SMP Kurikulum 2013
Randy Ikas
 
Smk -matematika_smk_bis_-_2002
Candra Wardanie
 
Perbandingan Rata-rata (Mean Comparisons)
Ade Setiawan
 
Persamaan pencerminan
taofikzikri
 
Tempat kedudukan
Nur Fadzri
 
Logika Matematika Materi SMP kelas VII
rudatulaini
 
BSE Buku pelajaran sma kelas 12 matematika aplikasi program ipa jilid 3
Sellianova Ardhanella
 
Buku pelajaran sma kelas 12 matematika aplikasi program ipa jilid 3
Andrias Eka
 
Geometri
harisv9
 
Determinan dan invers matriks
Florensius Putra
 
Materi kuasa lingkaran
Dzikra Fu'adiah
 
transformasi
Taofik Dinata
 
Ad

Similar to T r a n s f o r m a s i (20)

PDF
Transformasi
Trie Rusdiyono
 
PPTX
Transformasi Geometri_translasi_rotasi_ refleksi_dilatasi
emie41377
 
PPTX
Transformasi geometri smk
Brillian Brilli
 
PPTX
Transformasi geometri MATEMATIKA KELAS 12 SMA lengkap dengan contoh soal dan ...
putrisagut
 
PPTX
TRANSFORMASI GEOMETRI
Nesha Mutiara
 
PDF
Bab xxi transformasi geometri
hawir finec
 
PPT
Transformasi~translasi
spider minecraft
 
PDF
Modul kd.3.24
Abdullah Banjary
 
PPT
transformasi
GODFRIEDSALAMA
 
PPTX
Transformasi geometri sederhana. Jenis-jenis
farahdzilbarr
 
PPT
Transformasi geometri andrie
andriehasan
 
PPTX
transformasi geometri sederhana, jenis jenis transformasi
farahdzilbarr
 
PPT
Transformasi geometri SMA
Irhuel_Abal2
 
DOCX
5. transformasi geometri
Fauziah Nofrizal
 
PPT
Geometri (Transformasi)
Desy Aryanti
 
PPTX
Bab 3 Transformasi Geometri 1.pptx
aulia486903
 
PPTX
Rotasi
Juwita Suwendo
 
PPTX
TRASFORMASI GEOMETRI MATEMATIKA KELAS X.pptx
RismaEstri
 
PPT
Transformasi(translasi rotasi-dilatasi)
mariobopass
 
PPT
Transformasi (Translasi, Rotasi dan Dilatasi)
NurulAriyati3
 
Transformasi
Trie Rusdiyono
 
Transformasi Geometri_translasi_rotasi_ refleksi_dilatasi
emie41377
 
Transformasi geometri smk
Brillian Brilli
 
Transformasi geometri MATEMATIKA KELAS 12 SMA lengkap dengan contoh soal dan ...
putrisagut
 
TRANSFORMASI GEOMETRI
Nesha Mutiara
 
Bab xxi transformasi geometri
hawir finec
 
Transformasi~translasi
spider minecraft
 
Modul kd.3.24
Abdullah Banjary
 
transformasi
GODFRIEDSALAMA
 
Transformasi geometri sederhana. Jenis-jenis
farahdzilbarr
 
Transformasi geometri andrie
andriehasan
 
transformasi geometri sederhana, jenis jenis transformasi
farahdzilbarr
 
Transformasi geometri SMA
Irhuel_Abal2
 
5. transformasi geometri
Fauziah Nofrizal
 
Geometri (Transformasi)
Desy Aryanti
 
Bab 3 Transformasi Geometri 1.pptx
aulia486903
 
Rotasi
Juwita Suwendo
 
TRASFORMASI GEOMETRI MATEMATIKA KELAS X.pptx
RismaEstri
 
Transformasi(translasi rotasi-dilatasi)
mariobopass
 
Transformasi (Translasi, Rotasi dan Dilatasi)
NurulAriyati3
 

More from kusnadiyoan (20)

DOC
Program linear
kusnadiyoan
 
DOC
Program linear
kusnadiyoan
 
DOC
Suku banyak
kusnadiyoan
 
DOC
Komposisi dan fungsi
kusnadiyoan
 
DOC
Limit fungsi
kusnadiyoan
 
DOCX
M a t r i ks
kusnadiyoan
 
DOC
Persamaan trigonometri
kusnadiyoan
 
DOC
Irisan kerucut
kusnadiyoan
 
DOCX
Integral
kusnadiyoan
 
DOC
Barisan dan deret
kusnadiyoan
 
DOC
Turunan fungsi
kusnadiyoan
 
DOCX
Statistika2
kusnadiyoan
 
DOCX
Statistika1
kusnadiyoan
 
DOC
Peluang
kusnadiyoan
 
DOC
Trigonometri
kusnadiyoan
 
DOCX
V e k t o r
kusnadiyoan
 
DOC
Logika matematika
kusnadiyoan
 
DOC
Dimensi tiga
kusnadiyoan
 
DOC
Bentuk pangkat, akar dan logaritma
kusnadiyoan
 
DOC
Eksponen
kusnadiyoan
 
Program linear
kusnadiyoan
 
Program linear
kusnadiyoan
 
Suku banyak
kusnadiyoan
 
Komposisi dan fungsi
kusnadiyoan
 
Limit fungsi
kusnadiyoan
 
M a t r i ks
kusnadiyoan
 
Persamaan trigonometri
kusnadiyoan
 
Irisan kerucut
kusnadiyoan
 
Integral
kusnadiyoan
 
Barisan dan deret
kusnadiyoan
 
Turunan fungsi
kusnadiyoan
 
Statistika2
kusnadiyoan
 
Statistika1
kusnadiyoan
 
Peluang
kusnadiyoan
 
Trigonometri
kusnadiyoan
 
V e k t o r
kusnadiyoan
 
Logika matematika
kusnadiyoan
 
Dimensi tiga
kusnadiyoan
 
Bentuk pangkat, akar dan logaritma
kusnadiyoan
 
Eksponen
kusnadiyoan
 

Recently uploaded (20)

PPT
pengantar algoritma dan pemrograman dasar
kurikulumboda
 
PPTX
PELAKSANAAN (di Htl_GFeruci, 28 Jul'25) + Link2 MATERI Training_LEADERSHIP & ...
Kanaidi ken
 
PPTX
PPT Kurikulum Berbasis Cinta tahun 2025.
HanaFirdaRohman
 
PDF
Timbal Balik yang Timbang: Perdagangan Tak Setara AS–Indonesia
Dadang Solihin
 
PPTX
Analisis-Kasus-PNS-Telat-Pelayanan-Publik-Terhambat Fiks.pptx
dedensafariherdiana
 
PDF
Lembar Kerja Mahasiswa Konsep Sistem Operasi
Ainul Yaqin
 
PDF
883668952-KP-4-Modul-2-Kerangka-Pembelajaran-Mendalam.pdf
herwantoheruw
 
PPTX
lansia berdaya (SIDAYA) di indonesia.pptx
LilianMardalena
 
PPTX
Slide PPT Metode Ilmiah Kelas 7 SMP.pptx
LusianaDwiHastuti
 
PDF
Digital Statecraft Menuju Indonesia Emas 2045: Diplomasi Digital, Ketahanan N...
Dadang Solihin
 
PPTX
PPT SURAT AL FIL LOMBA MAPSI SEKOLAH DASAR
AanWidiyanto4
 
PPTX
Bahan Tayang OJT Pembelajaran Mendalam KS
SARTIKATika40
 
DOCX
Modul Ajar Pembelajaran Mendalam Senbud Seni Musik Kelas XII Terbaru 2025
fubierabita
 
PDF
BAHASA INDONESIA KELAS 6 SD TEKS INFORMATIF
MelaniIndriyani
 
DOCX
CONTOH RANCANGAN MODUL PROYEK KOKURIKULER SMA 1.docx
RizkiNafiah1
 
PDF
KELOMPOK 4 LK Modul 4 KP4 Asesmen PM (3).pdf
herwantoheruw
 
PPTX
PENGIMBASAN PEMBELAJARAN MENDALAM (DEEP LEARNING)
etikamahmuda
 
PDF
INSTRUMEN IMPLEMENTASI DAN REFLEKSI PERENCANAAN PEMBELAJARAN-ARNI.pdf
arnisariningsih98
 
PPTX
ppt kelas XII materi sifat koligatif larutan
MutiaRahmi24
 
DOCX
Modul Ajar Deep Learning Bahasa Inggris Lanjutan Kelas 11 SMA Terbaru 2025
wahyurestu63
 
pengantar algoritma dan pemrograman dasar
kurikulumboda
 
PELAKSANAAN (di Htl_GFeruci, 28 Jul'25) + Link2 MATERI Training_LEADERSHIP & ...
Kanaidi ken
 
PPT Kurikulum Berbasis Cinta tahun 2025.
HanaFirdaRohman
 
Timbal Balik yang Timbang: Perdagangan Tak Setara AS–Indonesia
Dadang Solihin
 
Analisis-Kasus-PNS-Telat-Pelayanan-Publik-Terhambat Fiks.pptx
dedensafariherdiana
 
Lembar Kerja Mahasiswa Konsep Sistem Operasi
Ainul Yaqin
 
883668952-KP-4-Modul-2-Kerangka-Pembelajaran-Mendalam.pdf
herwantoheruw
 
lansia berdaya (SIDAYA) di indonesia.pptx
LilianMardalena
 
Slide PPT Metode Ilmiah Kelas 7 SMP.pptx
LusianaDwiHastuti
 
Digital Statecraft Menuju Indonesia Emas 2045: Diplomasi Digital, Ketahanan N...
Dadang Solihin
 
PPT SURAT AL FIL LOMBA MAPSI SEKOLAH DASAR
AanWidiyanto4
 
Bahan Tayang OJT Pembelajaran Mendalam KS
SARTIKATika40
 
Modul Ajar Pembelajaran Mendalam Senbud Seni Musik Kelas XII Terbaru 2025
fubierabita
 
BAHASA INDONESIA KELAS 6 SD TEKS INFORMATIF
MelaniIndriyani
 
CONTOH RANCANGAN MODUL PROYEK KOKURIKULER SMA 1.docx
RizkiNafiah1
 
KELOMPOK 4 LK Modul 4 KP4 Asesmen PM (3).pdf
herwantoheruw
 
PENGIMBASAN PEMBELAJARAN MENDALAM (DEEP LEARNING)
etikamahmuda
 
INSTRUMEN IMPLEMENTASI DAN REFLEKSI PERENCANAAN PEMBELAJARAN-ARNI.pdf
arnisariningsih98
 
ppt kelas XII materi sifat koligatif larutan
MutiaRahmi24
 
Modul Ajar Deep Learning Bahasa Inggris Lanjutan Kelas 11 SMA Terbaru 2025
wahyurestu63
 

T r a n s f o r m a s i

  • 1. MODUL MATEMATIKA | TRANSFORMASI 1 MODUL MATEMATIKA TRANSFORMASI KUSNADI, S.Pd www.mate-math.blogspot.com
  • 2. MODUL MATEMATIKA | TRANSFORMASI 2 T R A N S F O R M A S I PENGERTIAN TRANSFORMASI Transformasi adalah perpindahan dari suatu posisi ke posisi lain. Dalam geometri, transformasi ialah suatu pemetaan setiap bangun geometri pada suatu bidang ke bangun geometri lainnya pada bidang yang sama, yang disebut transformasi bidang. Ada 2 macam transformasi, yaitu : 1. Transformasi isometri yaitu suatu transformasi yang tidak merubah ukuran bangun semula. Yang termasuk transformasi isometri : pergeseran (translasi), pencerminan (refleksi) dan pemutaran (rotasi). 2. Transformasi non-isometri yaitu suatu transformasi yang merubah ukuran bangun semula. Yang termasuk transformasi non-isometri : perkalian (dilatasi) Untuk menentukan bayangan hasil transformasi biasanya dipergunakan bantuan matriks. 1. PERGESERAN (TRANSLASI) Suatu titik P(x,y) ditranslasikan oleh translasi        b a T menjadi P’(x’,y ’) ditulis P(x,y) T P’(x’,y ’) dimana x’ = x + a y ’ = y + b atau                   b a y x y x ' ' Secara geometri dapat digambarkan sebagai berikut : Y P’(x’ , y ‘) = P’(x+a , y+b) b P(x,y) a O X Contoh 1: Tentukan bayangan (peta) dari titik A(-1,2) oleh translasi        2 3 T Penyelesaian : …………………….. Tidak hanya titik yang dapat ditranslasikan tetapi bisa juga garis atau kurva. Yaitu dengan menyatakan x dan y dengan x’ dan y’ kemudian disubstitusikan ke persamaan garis atau kurva yang ditranslasikan. Contoh 2 : Tentukan bayangan garis y = 2x – 1 oleh translasi        4 3 T Penyelesaian : 4' 3' 4 3 ' '                     yy xx y x y x Substitusi x dan y ke persamaan y = 2x – 1 sehingga : 9'2'1)3'(24'  xyxy Jadi bayangannya y = 2x + 9
  • 3. MODUL MATEMATIKA | TRANSFORMASI 3 LATIHAN SOAL 1. Titik A(2,5) dipetakan ke bayangannya A’ oleh translasi         7 3 T . Tentukan koordinat titik A’ ! 2. Jika B’ merupakan bayangan titik B oleh translasi I, maka tentukan koordinat titik B jika diketahui titik B’ (-5,7) dan        0 3 I 3. Jika koordiat titik Q(-3,8) ditranslasikan oleh        7 5 1T kemudian ditranslasikan lagi oleh         3 2 2T , maka tentukan bayangan titik Q ! 4. P’(-5,8) adalah bayangan titik P(-12,3) oleh translasi        k h T . Tentukan nilai h dan k ! 5. Diberikan                           5 10 9 2 ,, 6 4 STdanRS b a QRPQ . Jika translasi tunggal yang mewakili jumlah semua translasi tersebut adalah         12 4 , tentukan QR ! 6. Titik (-5,9) ditranslasikan oleh T menjadi (2,-12). Tentukan bayangan titik P(-4,7) oleh translasi T ! 7. Garis OA melalui titik O(0,0) dan A(5,5). Tentukan bayangan garis OA oleh translasi        3 0 T 8. Tentukan bayangan garis y = x + 5 oleh translasi       2 1 9. Tentukan bayangan lingkaran yang berpusat di titik (3,5) dan berjari-jari 3 oleh translasi         9 7 10. D C P A B Jika AB mewakili translasi       1 3 dan BD mewakili translasi         4 2 maka nyatakan translasi yang diwakili oleh PCdanAC !
  • 4. MODUL MATEMATIKA | TRANSFORMASI 4 2. PENCERMINAN (REFLEKSI) suatu pencerminan ditentukan oleh suatu garis tertentu sebagai sumbu pencerminan. Jarak bangun mula-mula ke sumbu pencerminan sama dengan jarak bangun bayangannya ke sumbu pencerminan. Sumbu pencerminan A K A’ B B’ C M C’ Keterangan : AK = A’K, BL = B’L dan CM = C’M 2.1 PENCERMINAN TERHADAP SUMBU X Y P(x,y) O X P’(x’,y’)                    y x y x 10 01 ' ' 2.2 PENCERMINAN TERHADAP SUMBU Y Y P’(x’,y’) P(x,y) O X                   y x y x 10 01 ' '
  • 5. MODUL MATEMATIKA | TRANSFORMASI 5 2.3 PENCERMINAN TERHADAP TITIK ASAL Y P(x,y) 0 X P’(x’,y’)                     y x y x 10 01 ' ' 2.4 PENCERMINAN TERHADAP GARIS y = k Y P’(x’,y’) y = k P(x,y) 0 X                          ky x y x 2 0 10 01 ' ' 2.5 PENCERMINAN TERHADAP GARIS x = k                         0 2 10 01 ' ' k y x y x 2.6 PENCERMINAN TERHADAP GARIS y = x                   y x y x 01 10 ' ' 2.7 PENCERMINAN TERHADAP GARIS y = -x                     y x y x 01 10 ' '
  • 6. MODUL MATEMATIKA | TRANSFORMASI 6 2.8 PENCERMINAN TERHADAP GARIS y = mx m y x y x arctan, 2cos2sin 2sin2cos ' '                       2.9 PENCERMINAN TERHADAP TITIK (a,b)                           b a y x y x 2 2 10 01 ' ' 2.10 PENCERMINAN TERHADAP GARIS x = k DILANJUTKAN x = h P’’(x+2(h – k) , y) 2.11 PENCERMINAN TERHADAP GARIS y = k DILANJUTKAN y = h P”(x , y + 2(h-k)) 2.12 PENCERMINAN TERHADAP DUA GARIS x = k DAN y = h YANG SALING TEGAK LURUS P”(2k – x , 2h – y) Contoh 1 : Tentukan bayangan dari titik P(5,3) oleh pencerminan terhadap garis y = -x ! Penyelesaian : …………… Contoh 2 : Tentukan bayangan titik P(3,-2) oleh pencerminan terhadap garis x = 2 dilanjutkan oleh pencerminan terhadap garis x = 6 ! Penyelesaian : …………….. Contoh 3 : Tentukan bayangan titik P(2,-4) oleh pencerminan terhadap garis x = -1 dilanjutkan pencerminan terhadap garis y = 2 !
  • 7. MODUL MATEMATIKA | TRANSFORMASI 7 Penyelesaian : …………… LATIHAN SOAL 1. Tentukan bayangan titik (-2,5) dan (3,-6) jika dicerminkan terhadap : a. sumbu X b. sumbu Y 2. Diketahui persegi panjang ABCD dengan A(1,1), B(4,1) , C(4,3) dan D(1,3). Tentukan bayangan persegi panjang tersebut jika dicerminkan terhadap sumbu Y ! 3. Tentukan bayangan titik (-3,1) yang dicerminkan terhadap garis y = 8 ! 4. Tentukan bayangan titik (-2,7) yang dicerminkan terhadap garis x = -12 ! 5. Tentukan bayangan jajargenjang ABCD dengan A(0,0), B(4,1), C(5,3) dan D(1,2) jika dicerminkan terhadap garis y = -1 ! 6. Suatu segitiga ABC dengan A(2,1), B(0,-2) dan C(-1,2) dicerminkan terhadap garis x = 0. Kemudian dicerminkan lagi terhadap garis y = 0. Tentukan koordinatbayangan akhir segitiga ABC tersebut ! 7. Titik-titik sudut segitiga ABC adalah A(1,3), B(3,4) dan C(2,1). Segitiga tersebut dicerminkan terhadap sumbu X, dilanjutkan pencerminan terhadap sumbu Y dan terakhir pencerminan terhadap titik asal. Tentukan koordinat bayangan segitiga tersebut ! 8. Persegi panjang ABCD dengan A(-1,1), B(-1,3), C(3,3) dan D(3,1) dicerminkan terhadap garis y = x. Tentukan koordinat bayangannya ! 9. Tentukan bayangan titik A(-2,1) oleh pencerminan terhadap garis x = 2 dilanjutkan oleh pencerminan garis x = 4 ! 10. Tentukan bayangan titik C(2,3) karena pencerminan terhadap garis y = -1 dilanjutkan oleh pencerminan terhadap garis y = 3 !
  • 8. MODUL MATEMATIKA | TRANSFORMASI 8 3. PERPUTARAN (ROTASI) Pada rotasi ada 3 komponen, yaitu titik pusat pemutaran, besar sudut putar dan arah sudut putar. Pemutaran mempunyai arah positif jika berlawanan dengan arah putaran jarum jam. 3.1 ROTASI DENGAN PUSAT TITIK ASAL Y P’(x’ , y’) P(x,y)   0 X         cossinsincoscossinsin' sincossinsincoscos)(cos' ),(')','(' ),(),( sin cos yxrrry yxrrrx rPyxP rPyxP ry rx                          y x y x   cossin sincos ' ' Contoh 1 : Tentukan bayangan titik A(2,-4) jika diputar  90 dengan pusat putaran di titik pusat ! Penyelesaian : …………. Rotasi dengan pusat (0,0) sebesar  sering ditulis R
  • 9. MODUL MATEMATIKA | TRANSFORMASI 9 3.2 ROTASI DENGAN PUSAT (a,b) Y P’(x’,y’) P(x,y)  A(a,b)  X Hal ini sebenarnya sama dengan rotasi dengan pusat (0,0) yang di translasikan sebesar       b a .                        by ax by ax   cossin sincos ' '                            b a by ax y x   cossin sincos ' ' Contoh 2 : Tentukan bayangan titik B(4,5) oleh rotasi sebesar  90 dengan pusat (1,2) ! Penyelesaian : …………….
  • 10. MODUL MATEMATIKA | TRANSFORMASI 10 LATIHAN SOAL 1. Tentukan bayangan titik A(3,6) dan B(-2,1) karena rotasi : a.  90 R b.  180 R 2. Diketahui segitiga ABC dengan A(2,3), B(-5,1) dan C(3,5).Tentukan bayangan segitiga tersebut karena rotasi  90 R ! 3. Tentukan bayangan koordinat jajargenjang ABCD dengan A(1,2), B(3,5), C(6,1) dan D(m,n) karena rotasi  180 R ! 4. Tentukan bayangan titik (5,4) dengan pusat rotasi (1,2) yang diputar sejauh  90 ! 5. Tentukan bayangan titik (-1,2) dengan pusat rotasi (0,-3) yang diputar sejauh  270 ! 6. Tentukan bayangan titik (-2,3) dengan pusat rotasi (2,-1) yang diputar sejauh  180 ! 7. Tentukan persamaan garis yang melalui titik A(1,-4) dan B(-3,4) yang diputar sejauh -  90 dengan pusat rotasi R(0,-2) ! 8. Tentukan bayangan titik A(-1,2) karena rotasi  90 R dilajutkan dengan rotasi  180 R 9. Tentukan bayangan titik B(3,-2) karena rotasi  180 R dilanjutkan  90 R 10. Tentukan bayangan titik X(-1,-2) karena translasi       1 2 dilajutkan refleksi terhadap garis x = 5 dan terakhir oleh rotasi 90R dengan pusat (1,2) !
  • 11. MODUL MATEMATIKA | TRANSFORMASI 11 4. PERKALIAN (DILATASI) Pada dilatasi diperlukan suatu titik sebagai pusat perkalian dan faktor skala kR. 4.1 DILATASI DENGAN PUSAT O(0,0) DAN FAKTOR SKALA k Y P’(x’ , y’) P(x,y) O Q Q’ X                   y x k k y x 0 0 ' ' Dilatasi dengan pusat O(0,0) dan faktor skala k sering ditulis  ),kOD Contoh 1 : Tentukan bayangan titik A(-3,4) oleh dilatasi dengan faktor skala 2 dan pusat (0,0) ! Penyelesaian : ……………… 4.2 DILATASI DENGAN PUSAT (a,b) DAN FAKTOR SKALA k Y P’(x’ , y’) P(x,y) A(a,b) 0 X                     b a by ax k y x ' ' Contoh 2 : Tentukan bayangan titik P(4,7) dengan pusat A(2,3) dan faktor skala 2 ! Penyelesaian : ………………
  • 12. MODUL MATEMATIKA | TRANSFORMASI 12 LATIHAN SOAL 1. Tentukan bayangan titik (5,7) oleh dilatasi  2,O ! 2. Tentukan bayangan titik (12,-27) oleh dilatasi       3 1 ,O ! 3. Tentukan bayangan titik A(2,1) oleh dilatasi  2),3,4(P ! 4. Tentukan bayangan titik B(-3,2) oleh dilatasi        3 2 ),1,3(P ! 5. Tentukan bayangan titik C(4,-1) oleh dilatasi        2 1 ),5,0(P ! 6. Tentukan bayangan segitiga PQR dengan P(3,2), Q(-1,4) dan R(-2,-1) oleh dilatasi  2,O ! 7. Tentukan luas segitiga hasil bayangan dari segitiga ABC dimana A(2,1), B(3,5) dan C(6,1) oleh dilatasi       2 1 ,O 8. Tentukan bayangan titik A(2,3) karena rotasi  90 R dilanjutkan refleksi terhadap garis y = 5 dilanjutkan lagi dengan translasi       2 2 dan diakhiri dengan dilatasi  4),3,0(P ! 5. TRANSFORMASI TEMPAT KEDUDUKAN Yang dimaksud tempat kedudukan dalam hal ini yaitu himpunan titik-titik yang mempunyai pola tertentu. Seperti garis dan kurva. Transformasi terhadap suatu garis atau kurva oleh suatu transformasi (translasi, refleksi, rotasi atau dilatasi) dilakukan dengan dengan menyatakan x dan y dengan x’ dan y’ sesuai dengan transformasi yang digunakan. Kemudian disubstitusikan ke persamaan garis atau kurva yang diketahui. Hasilnya akan berupa persamaan yang menggunakan variabel x’ dan y’ sebagai tanda hasil transformasi (bayangan). Sehingga tanda aksennya bisa dihilangkan. Contoh 1 : Tentukan bayangan parabola 12  xy karena rotasi sebesar  90 dengan pusat O ! Penyelesaian : Rotasi dengan pusat O sebesar  90 ' ' 01 10 90cos90sin 90sin90cos ' ' xy yx x y y x y x y x                                             Substitusi 1'' 2  xykexydanyx sehingga :   11'' 22  yxatauyx
  • 13. MODUL MATEMATIKA | TRANSFORMASI 13 LATIHAN SOAL 1. Tentukan persamaan garis 01  yxg terhadap pencerminan sumbu X ! 2. Tentukan persamaan garis 01  yxg di atas oleh rotasi  90 R ! 3. Tentukan persamaan bayangan garis y = x + 1 oleh transformasi       10 21 ! 4. Tentukan peta dari garis 2x – y = 7 oleh transformasi        10 12 ! 5. Tentukan bayangan garis x – 2y + 3 = 0 oleh transformasi         52 31 ! 6. Tentukan bayangan lingkaran 922  yx oleh transformasi       10 11 ! 7. Tentukan peta lingkaran 058422  yxyx oleh pencerminan terhadap titik pusat ! 8. Tentukan peta dari parabola 12 2  xy oleh dilatasi  3,O ! 9. Tentukan persamaan bayangan kurva xy = 4 jika diputar terhadap titik O sebesar  45 ! 10. Tentukan persamaan peta lingkaran 922  yx oleh transformasi yang ditentukan : yxy yxx   21 1 6. KOMPOSISI TRANSFORMASI Komposisi transformasi berarti transformasi yang dilakukan lebih dari satu kali terhadap suatu objek (titik, garis atau kurva) tertentu. 6.1 KOMPOSISI BEBERAPA TRANSLASI Komposisi dari dua translasi 1T dan dilanjutkan dengan 2T ditulis 12 TT  . Jadi dalam suatu komposisi, yang dilaksanakan/dioperasikan terlebih dahulu adalah elemen yang paling kanan ( 1T ). Misal titik P(x,y) ditranslasikan oleh 12 TT  dimana              d c Tdan b a T 21 maka bayangan titik P oleh komposisi dua translasi tersebut dapat digambarkan sebagai berikut : P’’(x+a+c , y+b+d) d P’ c b P a
  • 14. MODUL MATEMATIKA | TRANSFORMASI 14 Jadi untuk menentukan bayangan titik P(x,y) oleh komposisi translasi 12 TT  dapat juga dengan menjumlahkan terlebih dahulu elemen-elemen translasinya yaitu 1 12          db ca TT  baru hasil komposisi translasi tersebut yaitu matriks         db ca untuk mentranslasikan P(x,y) ke P’’. Contoh 1 : Jika titik A(1,-5) maka tentukan bayangan titik A oleh translasi         1 2 1T dilanjutkan        4 3 2T Penyelesaian :                        2 0 41 )3(2 5 1 )5,1)(( 12 TT  Coba tentukan bayangan titik A(1,-5) karena translasi 21 TT  ! Apakah hasil bayangannya sama ? Jika sama sifat apakah yang berlaku untuk komposisi dua translasi tersebut ? 6.3 KOMPOSISI BEBERAPA ROTASI Ada 3 cara menentukan hasil komposisi dua rotasi, yaitu dengan merotasikan satu per satu atau dengan menentukan terlebih dahulu matriks hasil komposisi rotasi kedua rotasi tersebut dengan cara mengalikan. Atau bisa juga dengan menjumlahkan besar rotasi yang digunakan kemudian gunakan matriks rotasi dari hasil penjumlahan tersebut. Contoh 2 : Tentukan bayangan titik A(-1,2) oleh rotasi  90 dilanjutkan dengan rotasi  180 ! Penyelesaian : Sudut hasil komposisi rotasi =  18090  =  270                                    1 2 2 1 01 10 2 1 270cos270sin 270sin270cos "   A 6.4 KOMPOSISI BEBERAPA DILATASI Untuk komposisi dilatasi dengan pusat O bisa dilakukan dengan 2 cara yaitu dengan dilatasi satu per satu atau dengan menentukan terlebih dahulu faktor skala hasil komposisi yaitu dengan mengalikan kedua faktor skala dilatasi. Untuk komposisi dilatasi dengan pusat (a,b) dilakukan satu per satu. LATIHAN SOAL 1. Tentukan bayangan titik (5,3) oleh refleksi terhadap garis x = 2 dan dilanjutkan terhadap garis x = 6 ! 2. Tentukan bayangan titik (-3,8) oleh refleksi terhadap garis y = 3 dan dilanjutkan terhadap garis x = -1 ! 3. Diketahui segitiga PQR dengan P(1,1), Q(-3,4) dan R(-2,-1) . Tentukan bayangannya jika direfleksikan terhadap garis y = -1 dan dilanjutkan terhadap y = 3 !
  • 15. MODUL MATEMATIKA | TRANSFORMASI 15 4. Tentukan bayangan titik (2,1) yang direfleksikan terhadap garis y = x, kemudian dilajutkan terhadap sumbu Y ! 5. Tentukan bayangan titik (5,5) yang dirotasikan terhadap  90 R dan dilanjutkan  270 R ! 6. Tentukan bayangan titik (-5,4) yang dirotasikan terhadap  150 R dan dilanjutkan  120 R ! 7. Jika yM adalah pencerminan terhadap sumbu Y, 1M adalah pencerminan terhadap garis x = 6 dan 2M adalah pencerminan terhadap garis x = 11. Tentukan peta segitiga ABC dengan A(-1,1), B(- 2,6) dan C(-4,4) oleh komposisi pencerminan : a. 1MM y  b. yMMM  12 8. Jika 1M , 2M dan 3M adalah operasi pencerminan terhadap garis x = 2, x = 3 dan x = 7 berturut- turut, maka tentukan bayangan titik P(3,2) oleh transformasi 321 MMM  ! 9. Pada no. 8, tentukan bayangan garis y + x = 3 oleh transformasi 123 MMM  10. Diketahui transformasi                       1 2 01 10 , 1 2 901 IdanRT . Tentukan bayangan titik (7,10) oleh transformasi 1902 TRT  !