[Vnmath.com] sophuc tu a toi z

Paul Dawkins
Người dịch LÊ LỄ (CĐSP NINH THUẬN)

Complex Numbers Primer
SỐ PHỨC

Complex Numbers Primer- Paul Dawkins - SỐ PHỨC-

Lê Lễ-suphamle2341@gmail.com Page 2


Contents1
LỜI NGƯỜI DỊCH ........................................................................................................................................ 5
1.Tập số phức và các phép toán ..................................................................................................................... 6
1.1Định nghĩa tập số phức ......................................................................................................................... 6
1.2.Các phép toán ...................................................................................................................................... 6
2.Bất đẳng thức tam giác ............................................................................................................................... 9
2.1 Số phức liên hợp .................................................................................................................................. 9
2.2 Môđun của số phức............................................................................................................................ 10
2.3 Bất đẳng thức tam giác ...................................................................................................................... 12
3.Dạng lượng giác và dạng mũ .................................................................................................................... 13
3.1 Biểu diễn hình học của số phức ......................................................................................................... 13
3.2 Dạng lượng giác ................................................................................................................................ 14
3.3 Dạng mũ của số phức ........................................................................................................................ 15
4.Lũy thừa và khai căn................................................................................................................................. 16
4.1 Lũy thừa với số mũ n nguyên dương ................................................................................................. 16
4.2 Căn bậc n của số phức ....................................................................................................................... 17

1
Có thể click chuột vào tiêu đề để nhảy đến nội dung tương ứng



LỜI NGƯỜI DỊCH
Hiện nay trường sô phức ℂ được xây dựng theo nhiều cách, trong đó có hai cách đại số thường
sử dụng :

ℂ là trường phân rã của đa thức bất khả quy x2 1(trên ℝ) . x2 1 0 có nghiệm
trong ℂ , tức là tồn tại i∈ ℂ , i2 1.
2
Xem ℂ = R ={(a;b)}, xây dựng phép toán cộng và nhân thích hợp, rồi chứng minh
(ℂ ,+,x) là một trường. Tác giả xây dựng ℂ trên tinh thần này . Phần lớn quy tắc tính
được thao tác trên các ví dụ một cách hình thức. Tiếp theo là định nghĩa và cuối cùng
kiểm chứng kết quả. Việc xây dựng ℂ của tác giả vừa đảm bảo chính xác vừa dễ hiểu, dễ
áp dụng.
Tài liệu dành phần đầu nêu định nghĩa số phức và các phép toán .
Phần hai nói về bất đẳng thức tam giác.
Dạng lượng giác và mũ của số phức được nêu ở phần ba.
Phần cuối dùng trình bày về lũy thừa và căn bậc n của một số phức.
Đọc tài liệu này:
Học sinh, sinh viên có nhu cầu thực hành các phép toán trên số phức, tìm thấy
hướng dẫn rõ ràng, chi tiết;
Nếu muốn tìm lời giải đáp vì sao tập số phức có nhiều tính chất đẹp mà ℝ không
có, sẽ được thỏa mãn;
Nếu đã biết một ít về số phức vẫn thấy thú vị.
Còn ...tôi thì ít thời gian mà ham nhiều việc, nghĩ rằng thiếu sót không tránh khỏi.
Nước đầm Nại đủ sạch, xin rửa tai nghe chỉ giáo.



1.Tập số phức và các phép toán

1.1Định nghĩa tập số phức
Cho a,b∈ ℝ . Mỗi biểu thức dạng a+bi được gọi là một số phức2
a: phần thực của z.
b: phần ảo của z.
Tập các số phức ký hiệu là ℂ . a∈ ℝ , a= a+0i=z . Vậy ℝ⊂ ℂ 3

Ta cần định nghĩa phép cộng và nhân hai số phức
Cho hai số phức z1 a bi, z2 c di .
Tổng z1 z2 (a c) (b d )i
Tích z1.z2 (ac bd ) (ad bc)i
Công thức trên đúng cho trường hợp hai số thực z1 a 0i, z2 c 0i .4
z1 z2 (a 0i) (c 0i) a c
Thật vậy
z1.z2 (a 0i)(c 0i) ac
2
Điều cuối cùng trong phần này, ta phải chứng minh i 1như một hệ quả
của phép nhân. Thật vậy:

i2 i.i (0 1i)(0 1i) (0.0 1.1) (0.1 1.0)i 1

1.2.Các phép toán
Khi thực hành cộng và nhân hai số phức, chỉ cần thực hiện theo quy tắc cộng
2
và nhân đa thức với chú ý i 1.

2
Dạng đại số của số phức(ND)
3
Tồn tại đơn cấu trường :ℝ→ ℂ (ND).
4
Hai phép toán cộng, nhân cảm sinh trên ℝ thành hai phép toán cộng và nhân thông thường (ND) .



Ví dụ: Tính
a. (58-i)+(2-17i)
b. (6+3i)(10+8i)
c. (4+2i)(4-2i)
Bài giải
a. (58-i)+(2-17i)=58-i+2-17i=60-18i
b. (6+3i)(10+8i)=60+48i+30i+24i2=60+78i+24(-1)=36+78i
c. (4+2i)(4-2i)=16-(2i)2=16+4=20 .

Phép nhân hai số phức , cho ta hệ thức : (a bi)(a bi) a 2 b2 . Hê thức này
được sử dụng khi chia hai số phức ớ phần sau.
Bây giờ xét đến phép trừ và chia hai số phức. Thử làm một cách hình thức ví
dụ sau
Ví dụ :
a. (58 i) (2 17i) 58 i 2 17i 56 16i
6 3i (6 3i) (10 8i)
b. = . =
10 8i (10 8i) (10 8i)
60 48i 30i 24i 2 84 18i 84 18 21 9
i= i
100 64 164 164 164 41 82
5i 5i(1 7i) 35 5i 7 1
c. = i
1 7i (1 7i)(1 7i) 50 10 10
Trước khi định nghĩa phép trừ và phép chia hai số phức, ta cần một số chuẩn
bị:
Số đối của số phức z ký hiệu –z , thỏa mãn z+(-z)=0
Trong các trường đại số tổng quát nói chung không có hệ thức z ( 1).z
Rất may mắn, trong trường ℂ ta có z ( 1).z a bi



Hiệu hai số phức z1 , z2 : z1 z2 z1 ( z2 )
Nên z1 z2 z1 ( z2 ) (a bi) ( c di) (a c) (b d )i
Điều cần chuẩn bị cho định nghĩa thương hai số phức là số nghịch đảo của
một số phức.
Số nghịch đảo của số phức z (≠ 0) là một số phức ký hiệu z-1 sao cho z.z-1=1.
Số nghịch đảo của số phức được làm rõ qua đoạn sau:
Giả sử z-1=u+vi là số nghịch đảo của z=a+bi ,
z.z-1=(a+bi)(u+vi)=(au-bv)+(av+bu)i=1
a
u
au bv 1 a2 b2
Nên ⇒
av bu 0 b
v
a b2
2

1 a b
⇒ z i.
a2 b2 a2 b2
Mọi số phức z khác 0 tồn tại số nghịch đảo z-1.
Định nghĩa thương hai số phức. Cho hai số phức z1, z2 (z2≠ 0)
z1
z1.z2 1
z2
Theo định nghĩa trên , ta có
Ví dụ :
6 3i
(6 3i)(10 8i ) 1 ,
10 8i
1 10 8 10 8i
(10 8i ) i
102 82 102 8 2
164



6 3i 1 10 8i
(6 3i)(10 8i ) (6 3i )
10 8i 164
60 48i 30i 24i 2 21 9
i
164 41 82
Ta có lại kết quả trước đây khi tiến hành chia hai số phức một cách hình thức.
Dựa vào nhận xét này, ta có thể tiến hành chia hai số phức mà không cần bận
tâm đến công thức tìm số nghịch đảo của số phức.
3 i (3 i )(1 i ) 2 4i
Chẳng hạn 1 2i
1 i (1 i)(1 i) 2
1 1 10 8i 10 8i 5 2
hay (10 8i) . i
10 8i (10 8i) 102 82 82 41

2.Bất đẳng thức tam giác

2.1 Số phức liên hợp
Số phức liên hợp của z=a+bi , ký hiệu z ,
z a bi .
(nói cách khác chỉ cần đối dấu phần ảo của z, ta được z )
Một số tính chất của số phức liên hợp
z z
z1 z2 z1 z2
z1.z2 z1.z2
z1 z1
z2 z2



Ví dụ : Tính
(a) z , z 3 15i
(b) z1 z2 , z1 5 i, z2 8 3i

(c) z1 z2 , z1 5 i, z2 8 3i
Bài giải

(a) z 3 15i z 3 15i 3 15i z
(b) z1 z2 13 2i z1 z2 13 2i 13 2i

(c) z1 z2 5 i ( 8 3i) 5 i ( 8 3i) 13 2i
Với số phức z=a+bi, ta có
z z a bi (a bi ) 2a,
z z a bi (a bi ) 2bi

2.2 Môđun của số phức
Cho z=a+bi, Môđun của z ký hiệu |z|,

|z| a2 b2
Môđun của một số phức là số thực không âm.

z là số thực (z=a+0i), | z | a 2 | a | . Vậy Môđun của một số thực chính
là giá trị tuyệt đối của số ấy.

| z |2 a 2 b2 a2 | z | | a | ≥ a.
Tương tự | z | | b | b
Các hệ thức diễn tả mối quan hệ giữa Môđun và số liên hợp của z:

z.z (a bi)(a bi) a 2 b2 ⇒ z.z | z |2
|z| |z |


| z| |z|
z1 z1 z2 z1 z2
z2 z2 z2 | z2 |2
6 3i
Ví dụ:Tính
10 8i
Bài giải

z1 6 3i, z2 10 8i, z2 10 8i,| z |2 164

6 3i (6 3i)(10 8i) 60 48i 30i 24i 2 21 9
i
10 8i 164 164 41 82
Tính chất của Môđun số phức
|z| 0 z 0
| z1 z2 | | z1 || z2 |

z1 | z1 |
z2 | z2 |
Thật vậy:

|z| 0 a2 b2 0 a b 0 z 0

| z1 z2 |2 ( z1 z2 )( z1 z2 )
( z1 z2 )( z1 z2 )
z1 z1 z2 z2
| z1 |2 | z2 |2
| z1 z2 |2 | z1 |2 | z2 |2 | z1 z2 | | z1 || z2 |



2.3 Bất đẳng thức tam giác
Mối quan hệ giữa Môđun số hạng và Môđun tổng hai số phức:
| z1 z2 | | z1 | | z2 |
Chứng minh

| z1 z2 |2 ( z1 z2 )( z1 z2 ) ( z1 z2 )( z1 z2 )

⇒ | z1 z2 |2 z1 z1 z1 z2 z2 z1 z2 z2

Lưu ý rằng z2 z1 z2 z1 z2 z1 Nên

z1 z2 z2 z1 z1 z2 z1 z2 2 e( z1 z2 ) 2 | z1 z2 | 2 | z1 || z2 | 2 | z1 || z2 |
z1 z1 | z1 |2 ; z2 z2 | z2 |2

| z1 z2 |2 z1 z1 z1 z2 z2 z1 z2 z2
| z1 |2 z1 z2 z2 z1 | z2 |2
| z1 |2 2 | z1 || z2 | | z2 |2
(| z1 | | z2 |) 2
Nên | z1 z2 | | z1 | | z2 |

| z1 | | z1 z2 z2 |
| z1 z2 | | z2 | (giả sử | z1 | | z2 | , | z1 | | z2 | luôn
| z1 z2 | | z2 | | z1 z2 | | z1 | | z2 | 0
đúng)

Tương tự



| z1 z2 | | z2 | | z1 | (| z1 | | z2 |) 0 (giả sử | z1 | | z2 |, | z1 | | z2 | luôn
đúng)
Do đó | z1 z2 | || z1 | | z2 ||
Bây giờ thay z2 bởi –z2, ta có
| z1 z2 | | z1 | | z2 |
| z1 z2 | || z1 | | z2 ||

3.Dạng lượng giác và dạng mũ

3.1 Biểu diễn hình học của số phức
Xét mặt phẳng Oxy, mỗi số phức z=a+bi được biểu diễn bởi điểm M(a;b) hoặc

Vectơ có tọa độ (a;b)
Trục Ox gọi là trục thực, Oy gọi là trục ảo, mặt phẳng trên gọi là mặt phẳng phức.



3.2 Dạng lượng giác
Xét số phức z=a+bi≠ 0, M(a;b) trong mặt phẳng phức. Số đo (rađian) của

mỗi góc lượng giác tia đầu Ox, tia cuối OM
gọi là một acgumen của z.
Cho z=a+bi≠ 0
a r cos
|z|=r>0, θ là acgumen của z. Khi đó
b r sin
z a bi r (cos i sin ) : dạng lượng giác của số phức.
Lưu ý
r |z|
z a bi, a 0: b , θ sai khác k2π, thường chọn –π<θ≤ π
tan
a

a=0, chọn .
2
Vi dụ. Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác

(a) z 1 3i
(b) z= -9
(c) z=12i
Bài giải



(a) r=|z|= 1 3 2
3 2 2 2
, tan ⇒ z 2(cos i sin )
1 3 3 3

Không được viết: z 2( cos i sin ) : dấu trừ trước côsin!
3 3

Cũng như z 2(cos i sin ) : r<0!
3 3
r 81 0 9
(b) ⇒ z 9(cos i sin )

r 144 0 12
(c) ⇒ z 12(cos i sin )
2 2
2

3.3 Dạng mũ của số phức
Công thức Euler

ei cos i sin .
Dùng công thức trên số phức có thể được viết dưới dạng mũ:

z r (cos i sin ) rei
Làm việc với số phức dạng mũ có nhiều tiện lợi :

| z | | rei | | r || cos i sin | r2 0 cos 2 sin 2 r

1 1 i( 1
Với z≠ 0, z (rei ) 1
r 1e i
e )
⇒ z
1
[cos( ) i sin( )]
r r
z1 z2 (r1ei 1 )(r2ei 2 ) r1r2ei ( 1 2)
z1 z2 r1r2 [cos( 1 2 ) i sin( 1 2 )]
z1 r1ei 1 r1 i ( 1 2)
z1 r1
e [cos( 1 2 ) i sin( 1 2 )], z2 0
z2 r2ei 2 r2 z2 r2


Lưu ý
acgumen( z1 z2 ) acgumenz1 acgumenz2
z1
acgumen acgumenz1 acgumenz2
z2
z1 r1ei 1 , z2 r2ei 2
r2 r1 .
z1 z2 (k Z)
2 1 2k

4.Lũy thừa và khai căn

4.1 Lũy thừa với số mũ n nguyên dương
Cho z là số phức có |z|=r, θ là một acgumen của z. Tức là

z rei .
zn (rei )n r n ein
[r (cos i sin )]n r n (cos n i sin n ) :công thức Moa-vrơ(Moivre)
5
Ví dụ: Tính (3 3i)
Bài giải
3
r 9 9 3 2 , tan , chọn
3 4
5 5
(3 3i )5 [3 2(cos i sin )]5 (3 2)5 (cos i sin )
4 4 4 4
2 2
972 2( i) 972 972i
2 2



4.2 Căn bậc n của số phức

Khi r=1, ta có (cos i sin )n cos n i sin n .
n
Trước hết tìm căn bậc n của đơn vị, tức là tìm số phức z sao cho z 1.
Giả sử nghiệm z rei (rei )n 1 r n ein 1ei 0
r 1
rn 1
Nên ⇒ 2k . k∈ ℤ
n 0 2k
n
Do đó căn bậc n của đơn vị là n sô phân biệt
2 k
i
n
2 k 2 k
e cos i sin ,k 0,1, 2 ,n 1 .
n n
Ví dụ: Giải phương trình
2
(a) z 1
3
(b) z 1
4
(c) z 1
Bài giải
2 k
i
(a) Căn bậc hai của đơn vị gồm hai số k e 2
ei k , k 0;1

0 e0 1.

1 ei cos i sin 1

2 k
i
(b) Căn bậc ba của đơn vị gồm ba số k e 3
,k 0;1;2

0 e0 1



2
i
3
2 2 1 3
1 e cos i sin i
3 3 2 2
4
i
3
4 4 1 3
2 e cos i sin i
3 3 2 2
2 k k
i i
(c) Căn bậc bốn của đơn vị gồm bốn số k e 4
e 2
,k 0;1;2;3

0 e0 1
i
1 e2 cos i sin i
2 2
i
2 (e 2 ) 2 ei cos i sin 1
3
i
2 3
i
2
3 3
3 (e ) e cos i sin i
2 2
Lưu ý : tổng các căn bậc n của đơn vị bằng 1. Thật vậy
2 k
i
Các căn bậc n của đơn vị là k e n
,k 0;1;2; ; n 1
2
i
k n 1 n 1 n
k 0 k 1 , ( e )
n
1 n
0, ( ei 2 cos2 i sin 2 1)
1
Xét căn bậc n (n∈ N, n>1)của một số phức w tùy ý . Tức là tìm nghiệm
n
phương trình z w . Giả sử
R=|w|, α là một acgumen của w. Tức là w Rei
r =|z|, θ là một acgumen của z. Tức là z r ei
(rei )n Rei r n eni Rei



2 k
suy ra r n
R, , k∈ ℤ .
n
Vậy căn bậc n của w Rei là n số phân biệt:
2 k
n
i( )
n 2 k 2 k
ak Re n n
R [cos( ) i sin( )] , k=0,1,2… n-1.
n n n n
Ví dụ: Tìm
(a) Căn bậc hai của 2i

(b) Căn bậc ba của 3 i

Bài giải
i i( k)
(a) 2i 2e 2 . Căn bậc hai của 2i có hai giá trị: ak 2e 4
, k=0,1

i
a0 2e 4 2(cos i sin ) 1 i
4 4
5
i(
4
) i
4
5 5
a1 2e 2e 2(cos i sin ) 1 i.
4 4
i( )
(b) 3 i 2e 6
. Có 3 giá trị căn bậc ba là:
2 k
i( )
3 18 3
ak 2e , k=0,1,2

i( )
3 18 3
a0 2e 2[cos( ) i sin( )] 1, 24078 0, 21878i
18 18
2 11
3
i(
18 3
)
3
i
18 3 11 11
a1 2e 2e 2(cos i sin ) 0, 43092 1,18394i
18 18



2 2 23
3
i(
18 3
)
3
i
18 3 23 23
a2 2e 2e 2(cos i sin ) 0,80986 0,96516i
18 18

Lưu ý .
Với w≠ 0, các căn bậc n (n≥ 3) của w biểu diễn trên mặt phẳng phức bởi các
n
đỉnh n giác đều nội tiếp đường tròn bán kính R , R | w |.
-----------------------------HẾT-----------------------------------
Mời đọc: Bài tập số phức


TITU ANDREESCU
DORIN ANDRICA
Người dịch LÊ LỄ (CĐSP NINH THUẬN)

BÀI TẬP SỐ PHỨC
(98 VÍ DỤ VÀ BÀI TẬP CÓ LỜI GIẢI)

Bài tập số phức

LỜI GIỚI THIỆU

Như tên sách, ‘’Complex Numbers from A to Z’’, nội dung nguyên bản phủ hầu khắp các
vấn đề liên quan số phức: từ xây dựng trường số phức, số phức dạng lượng giác, đến
hình học phức...

Người dịch chỉ chọn lọc một số vấn đề lý thuyết, bài tập cơ bản, nâng cao của số phức
để giới thiệu bằng tiếng Việt, ngõ hầu phục vụ đối tượng bạn đọc là học sinh trung học
phổ thông, sinh viên, người không chuyên làm toán với số phức.

Trong khả năng có thể, người dịch cố gắng dùng những thuật ngữ phổ biến nhất hiện
nay. Tuy nhiên không thể không dùng những thuật ngữ nếu thiếu nó thì khó lòng diễn
đạt các vấn đề về số phức.

Mọi việc dù muốn hay không, cũng có thể gây ra thiếu, sót (hạn chế sai, lầm). Mong các
em học sinh, sinh viên và quý vị thông cảm.
Người dịch.

Lê Lễ Page 2


Mục lục1
Mục lục............................................................................................................................................. 3
1. Dạng đại số của số phức .................................................................................................................. 5
1.1 Định nghĩa số phức................................................................................................................. 5
1.2 Tính chất phép cộng ................................................................................................................ 5
1.3 Tính chất phép nhân ............................................................................................................... 5
1.4 Dạng đại số của số phức .......................................................................................................... 6
1.5 Lũy thừa của đơn vị ảo i .......................................................................................................... 8
1.6 Số phức liên hợp .................................................................................................................... 8
1.7 Môđun của số phức............................................................................................................... 10
1.8 Giải phương trình bậc hai ...................................................................................................... 14
1.9 Bài tập............................................................................................................................... 17
1.10 Đáp số và hướng dẫn ............................................................................................................. 22
2. Biểu diễn hình học của số phức ....................................................................................................... 25
2.1 Biểu diễn hình học của số phức................................................................................................ 25
2.2 Biểu diễn hình học của Môđun ................................................................................................ 26
2.3 Biểu diễn hình học các phép toán ............................................................................................. 26
2.4 Bài tập............................................................................................................................... 29
3 Dạng lượng giác của số phức .......................................................................................................... 31
3.1 Tọa độ cực của số phức ......................................................................................................... 31
3.2 Biểu diễn lượng giác của số phức ............................................................................................. 33
3.2 Các phép toán trên dạng lượng giác số phức............................................................................... 37
3.4 Biểu diễn hình học của tích hai số phức ..................................................................................... 40
3.5 Bài tập ............................................................................................................................... 41
4 Căn bậc n của đơn vị .................................................................................................................... 45
4.1 Định nghĩa căn bậc n của số phức ............................................................................................ 45
4.2 Căn bậc n của đơn vị ............................................................................................................ 47
4.3 Phương trình nhị thức ........................................................................................................... 51
4.4 Bài tập............................................................................................................................... 52
4.5 Đáp số và hướng dẫn .................................................................................................................. 53

1
Có thể click chuột lên tiêu đề để nhảy đến nội dung tương ứng

Lê Lễ Page 3


Lê Lễ Page 4


1. Dạng đại số của số phức
1.1 Định nghĩa số phức
Xét R2 R R {( x, y) | x, y R} .
x1 x2
Hai phần tử ( x1 , y1 ) và ( x2 , y2 ) bằng nhau ⇔ .
y1 y2
∀ ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ) ∈ ℝ2:
Tổng z1 z2 ( x1 , y1 ) ( x2 , y2 ) ( x1 x2 , y1 y2 ) ∈ ℝ2.
Tích z1.z2 ( x1 , y1 ).( x2 , y2 ) ( x1 x2 y1 y2 , x1 y2 x2 y1 ) ∈ ℝ2.
Phép toán tìm tổng hai số phức gọi là phép cộng.
Phép toán tìm tích hai số phức gọi là phép nhân.
Ví dụ 1.
a) z1 ( 5,6), z2 (1, 2)
z1 z2 ( 5,6) (1, 2) ( 4, 4) .
z1 z2 ( 5,6)(1, 2) ( 5 12,10 6) (7,16) .
1 1 1
b) z1 ( ,1), z2 ( , )
2 3 2
1 1 1 5 3
z1 z2 ( ,1 ) ( , )
2 3 2 6 2
1 1 1 1 1 7
z1z2 ( , ) ( , )
6 2 4 3 3 12
Định nghĩa. Tập ℝ2, cùng với phép cộng và nhân ở trên gọi là tập số phức ℂ . Phần tử (x,y)∈ℂ
gọi là một số phức.
1.2 Tính chất phép cộng
(1) Giao hoán: z1 z2 z2 z1, z1, z 2 C .
(2) Kết hợp: ( z1 z2 ) z3 z1 ( z2 z3 ), z1 , z2 , z3 C .
(3) Tồn tại phần tử không: 0 (0,0) C , z 0 0 z z , z C .
(4) Mọi số có số đối: z C , z C : z ( z) ( z) z 0 .
Số z1 z2 z1 ( z2 ) : hiệu của hai số z1 , z2 . Phép toán tìm hiệu hai số gọi là phép trừ,
z1 z2 ( x1 , y1 ) ( x2 , y2 ) ( x1 x2 , y1 y2 ) ∈ ℂ.

1.3 Tính chất phép nhân
(1) Giao hoán: z1.z2 z2 .z1 , z1 , z2 C .

Lê Lễ Page 5


(2) Kết hợp: ( z1.z2 ).z3 z1.( z2 .z3 ), z1 , z2 , z3 C .
(3) Tồn tại phần tử đơn vị: 1 (0,1) C , z.1 1.z z, z C .
(4) Mọi số khác 0 có số nghịch đảo: z C* , z 1 C : z.z 1 z 1.z 1 .
Giả sử z ( x, y) C* , để tìm z 1 ( x ', y ') ,
xx yy 1
( x, y).( x ', y ') (1, 0) . Giải hệ, cho ta
yx xy 0
x y
x' ,y . Vậy
x2 y 2 x2 y 2
1 x y
z1 ( 2 2
, 2 )
z x y x y2
Thương hai số z1 ( x1 , y1 ), z ( x , y ) ∈ ℂ*là
z1 x y x x y y x y y1x
z1.z 1 ( x1, y1 ).( 2 2
, 2 2
) ( 1 2 12 , 12 ) C.
z x y x y x y x y2
Phép toán tìm thương hai số phức gọi là phép chia.
Ví dụ 2.
a) Nếu z (1,2) thì
1 2 1 2
z1 ( 2 , 2 ) ( , ).
1 2 2 1 22 5 5
b) Nếu z1 (1,2), z2 (3,4) thì
z1 3 8 4 6 11 2
( , ) ( , ).
z2 9 16 9 16 25 25
Lũy thừa số mũ nguyên của số phức: z∈ ℂ , *

z 0 1; z1 z; z 2 z.z; z n  , n nguyên dương.
z.z. z
n

z ( z ) n , n nguyên âm.
n 1

0 n 0 , mọi n nguyên dương.
(5) Tính phân phối của phép nhân với phép cộng:
z1.( z2 z3 ) z1.z2 z1.z3 , z1 , z2 , z3 C
Những tính chất trên của phép nhân và cộng, chứng tỏ ℂ cùng hai phép toán cộng và nhân là
một trường.
1.4 Dạng đại số của số phức
Dạng đại số của số phức được nghiên cứu sau đây:

Lê Lễ Page 6


Xét song ánh2
f :R R {0}, f ( x) ( x,0) .
Hơn nữa
( x,0) ( y,0) ( x y,0) ; ( x,0).( y ,0) ( xy ,0) .
Ta đồng nhất
(x,0)=x.
Đặt i=(0,1)
z ( x, y ) ( x,0) (0, y ) ( x,0) ( y,0).(0,1)
x yi ( x,0) (0,1)( y,0) x iy .
Định lý . Số phức bất kỳ z=(x,y) được biểu diễn duy nhất dạng z=x+yi, x,y∈ ℝ ,
trong đó i2=-1.
Hệ thức i2=-1, được suy từ định nghĩa phép nhân :
i 2 i.i (0,1).(0,1) ( 1,0) 1 .
Biểu thức x+yi gọi là dạng đại số của số phức z=(x,y). Do đó:
C {x yi | x R, y R, i 2 1} .
x=Re(z): phần thực của z. y=Im(z): phần ảo của z. Đơn vị ảo là i.
(1) Tổng hai số phức
z1 z2 ( x1 y1i ) ( x2 y2i ) ( x1 x2 ) ( y1 y2 )i C .
Tổng hai số phức là một số phức , mà phần thực ( phần ảo) của nó bằng tổng hai phần thực
(phần ảo) của hai số đã cho.
(2) Tích hai số phức
z1.z2 ( x1 y1i ).( x2 y2i ) ( x1 x2 y1 y2 ) ( x1 y2 x2 y1 )i C .
(3) Hiệu hai số phức
z1 z2 ( x1 y1i ) ( x2 y2i ) ( x1 x2 ) ( y1 y2 )i C .
Hiệu hai số phức là một số phức , mà phần thục ( phần ảo) của nó bằng hiệu hai phần
thực(phần ảo) của hai số phức đã cho.
Khi thực hành cộng, trừ , nhân số phức thực hiện tương tự quy tắc tính đa thức chỉ cần lưu ý
i2 1 là đủ.
Ví dụ 3.
a) z1 5 6i, z2 1 2i
z1 z2 ( 5 6i ) (1 2i) 4 4i .
z1 z2 ( 5 6i )(1 2i ) 5 12 (10 6)i 7 16i .
1 1 1
b) z1 i , z2 i
2 3 2

2
f là một đẳng cấu

Lê Lễ Page 7


1 1 1 1 1 1 5 3
z1 z2 ( i) ( i) (1 )i i
2 3 2 2 3 2 6 2
1 1 1 1 1 1 1 1 7
z1z2 ( i)( i) ( )i i.
2 3 2 6 2 4 3 3 12
1.5 Lũy thừa của đơn vị ảo i
i 0 1; i1 i; i 2 1; i3 i 2 .i i,
4 3 5 4 6 5 7 6
.
i i .i 1; i i .i i; i i .i 1; i i .i i
Bằng quy nạp được :
i 4n 1; i 4n 1 i; i 4n 2 1; i 4n 3 i, ∀ n∈ ℕ*
Do đó
i n { 1,1, i, i}, ∀ n∈ ℕ .
Nếu n nguyên âm , có
1
i n (i 1 ) n ( ) n ( i) n .
i
Ví dụ 4.
a) i105 i 23 i 20 i 34 i 4.26 1 i 4.5 3 i 4.5 i 4.8 2 i i 1 1 2 .
b) Giải phương trình : z3 18 26i, z x yi, x, y Z .
Ta có
( x yi)3 ( x yi)2 ( x yi) ( x2 y 2 2xyi)( x yi)
( x3 3xy 2 ) (3x2 y y3 )i 18 26i.
Sử dụng định nghĩa hai số phức bằng nhau, được:
x3 3xy 2 18
3x 2 y y 3 26
Đặt y=tx, 18(3x2 y y3 ) 26( x3 3xy 2 ) ( cho ta x≠ 0 và y≠ 0)
⇒ 18(3t t 3 ) 26(1 3t 2 ) ⇒ (3t 1)(3t 2 12t 13) 0.
Nghiệm hữu tỷ của phương trình là t=1/3. Do đó
x=3, y=1⇒ z=3+i.
1.6 Số phức liên hợp
Cho z=x+yi. Số phức z x yi gọi là số phức liên hợp của z.
Định lý.
(1) z z z R,
(2) z z ,
(3) z.z là số thực không âm,

Lê Lễ Page 8


(4) z1 z2 z1 z2 ,
(5) z1.z2 z1.z2 ,
(6) z 1
(z ) 1 , z C* ,
z1 z1
(7) , z2 C* ,
z2 z2
z z z z
(8) Re( z ) , Im(z)=
2 2i
Chứng minh.
(1) z z x yi x yi.
Do đó 2yi=0⇒ y=0⇒ z=x∈ ℝ .
(2) z x yi, z x yi z.
(3) z.z ( x yi)( x yi) x2 y 2 0
(4) z1 z2 ( x1 x2 ) ( y1 y2 )i ( x1 x2 ) ( y1 y2 )i
( x1 y1i) ( x2 y2i) z1 z2 .
(5) z1.z2 ( x1x2 y1 y2 ) i( x1 y2 x2 y1 ) ( x1x2 y1 y2 ) i ( x1 y2 x2 y1 )
( x1 iy1 )( x2 iy2 ) z1 z2 .
1 1 1
(6) z. 1 ( z. ) 1 z .( ) 1,
z z z
tức là ( z ) ( z ) 1.
1

z1 1 1 1 z1
(7) ( z1.
) z1.( ) z1. .
z2 z2 z2 z2 z2
(8) z z ( x yi ) ( x yi) 2 x.
z z ( x yi ) ( x yi ) 2 yi.
z z z z
Do đó: Re( z ) , Im(z)=
2 2i
Lưu ý.
a) Việc tính số nghịch đảo của số phức khác 0, được tiến hành:
1 z x yi x y
2 2 2 2
i
z z.z x y x y x y2
2

b) Tính thương hai số phức:
z1 z1.z2 ( x1 y1i )( x2 y2i ) ( x1 x2 y1 y2 ) x1 y2 x2 y1
2 2 2 2 2 2
i
z2 z2 .z2 x2 y2 x2 y2 x2 y2

Lê Lễ Page 9


Khi thực hành tìm số nghịch đảo, tìm thương thực hiện tương tự quy tắc tính đa thức chỉ cần lưu
ý i2 1 là đủ.

Ví dụ 5.
a) Tìm số nghịch đảo của z 10 8i .
1 1 1 1(10 8i) 10 8i
z (10 8i)
10 8i (10 8i)(10 8i) 102 82
10 8i 5 2
i
164 82 41
5 5i 20
b) Tính z .
3 4i 4 3i
(5 5i)(3 4i) 20(4 3i) 5 35i 80 60i
z .
9 16i 2 16 9i 2 25 25
75 25i
3 i.
25
c) Cho z1 , z2 C . Chứng tỏ E z1.z2 z1.z2 là một số thực
E z1 z2 z1z2 z1z2 z1.z2 E E R.

1.7 Môđun của số phức
Số | z | x 2 y 2 gọi là Môđun của số phức z=x+yi.
Ví dụ 6. Cho
z1 4 3i, z2 3i, z3 2,
| z1 | 42 32 5, | z2 | 02 ( 3)2 3, | z3 | 22 2.
Định lý.
(1) | z | Re( z ) | z |, | z | Im( z ) | z | .
(2) | z | 0,| z | 0 z 0.
(3) | z | | z | | z | .
(4) z.z z 2 .
(5) | z1 z2 | | z1 || z2 | .
(6) | z1 | | z2 | | z1 z2 | | z1 | | z2 | .
(7) | z 1 | | z | 1 , z C*
z | z1 |
(8) | 1 | , z2 C * .
z2 | z2 |
(9) | z1 | | z2 | | z1 z2 | | z1 | | z2 | .

Lê Lễ Page 10


Chứng minh
Dễ kiểm tra (1)-(4) đúng
(5) | z1.z2 |2 ( z1.z2 )( z1z2 ) ( z1.z1 )( z2 z2 ) | z1 |2| z2 |2
| z1 z2 | | z1 || z2 | .
(6) | z1 z2 |2 ( z1 z2 )( z1 z2 ) ( z1 z2 )( z1 z2 ) | z1 |2 z1 z2 z1 z2 | z2 |2
Bởi vì z1 z2 z1 z2 z1z2 , kéo theo
z1 z2 z1z2 2 e( z1 z2 ) 2 | z1 z2 | 2 | z1 || z2 | 2 | z1 || z2 | .
Do đó
| z1 z2 |2 (| z1 | | z2 |)2 . Nên | z1 z2 | | z1 | | z2 | .
Bất đẳng thức bên trái có được do:
| z1 | | z1 z2 z2 | | z1 z2 | | z2 | | z1 z2 | | z2 |
| z1 | | z2 | | z1 z2 |
1 1 1 1
(7) z. 1 | z |. 1 .
z z z |z|
Nên
| z 1 | | z | 1 , z C* .
z1 1 | z1 |
(8) | z1 | | z1z2 1 | | z1 || z2 1 | | z1 || z2 | 1 .
z2 z2 | z2 |
(9) | z1 | | z1 z2 z2 | | z1 z2 | | z2 | Nên | z1 z2 | | z1 | | z2 | .
Mặt khác
| z1 z2 | | z1 ( z2 ) | | z1 | | z2 | | z1 | | z2 | .
Bất đẳng thức | z1 z2 | | z1 | | z2 | là đẳng thức Re( z1 z2 ) | z1 || z2 | ,
tức là z1 tz2 , t là số thực không âm.
Bài tập 1. Chứng minh
| z1 z2 |2 | z1 z2 |2 2(| z1 |2 | z2 |2 ) .
Lời giải. Sử dụng tính chất (4),
| z1 z2 |2 | z1 z2 |2 ( z1 z2 )( z1 z2 ) ( z1 z2 )( z1 z2 )
| z1 |2 z1 z2z2 z1 | z2 |2 | z1 |2 z1 z2 z2 z1 | z2 |2
2(| z1 |2 | z2 |2 ) .
z z
Bài tập 2. Chứng minh nếu | z1 | | z2 | 1, z1 z2 1 thì 1 2 là số thực.
1 z1 z2
Lời giải. Sử dụng tính chất (4),

Lê Lễ Page 11


1
z1 z1 | z1 |2 1, z1 .
z1
1
Tương tự, z2 , đặt số trên là A,
z2
1 1
z1 z2 z1 z2 z1 z2
A A.
1 z1 z2 1 1 1 z1 z2
1
z1 z2
Vậy A là số thực.
Bài tập 3. Cho a là số thực dương và đặt
1
M0 z C * ,| z | a .
z
Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của |z| khi z∈ M0.
Lời giải.
2 1 2 1 1 2 z2 z 2 1
a |z | (z )( z ) |z| 2
z z z |z| | z |2
| z |4 ( z z ) 2 2 | z |2 1
.
| z |2
Do đó
| z |4 | z |2 (a2 2) 1 ( z z )2 0.
2 a2 2 a4 4a 2 a 2 2 a4 4a 2
|z| [ ; ]
2 2
a2 4 a
a a2 4
|z| [ ; ].
2 2
a a2 4 a a2 4
max | z | ,min | z | .
2 2
z M,z z.
Bài tập 4. Chứng minh mọi số phức z,
1
| z 1| , hoặc | z 2 1 | 1.
2
Lời giải. Phản chứng
1
| z 1| và | z 2 1 | 1.
2
Đặt z=a+bi⇒ z a b 2abi.
2 2 2

Lê Lễ Page 12


1
(1 a 2 b 2 ) 2 4a 2b 2 1,(1 a) 2 b2 ,
2
(a2 b2 )2 2(a2 b2 ) 0,2(a2 b2 ) 4a 1 0.
Cộng các bất đẳng thức được
(a2 b2 )2 (2a 1)2 0. Mâu thuẫn
7 7
|1 z | |1 z z 2 | 3 , ∀ z, |z|=1.
2 6
Lời giải. Đặt
t |1 z | [0;2] .
t2 2
t 2 (1 z )(1 z ) 2 2 Re( z ) Re( z ) .
2
Khi đó | 1 z z 2 | | 7 2t 2 |. Xét hàm số
f :[0;2] R, f (t ) t | 7 2t 2 |.
Được
7 7 7 7
f( ) t | 7 2t 2 | f( ) 3 .
2 2 6 6

Bài tập 6. Xét
H {z C , z x 1 xi, x R} .
Chứng minh rằng tồn tại duy nhất số phức z H ,| z | | w |, w H .
Lời giải. Đặt
y 1 yi, y R.
Là đủ nếu chứng minh được ,tồn tại số thực duy nhất x sao cho

Lê Lễ Page 13


( x 1)2 x2 ( y 1)2 y 2 , ∀ y∈ R.
Nói cách khác , x là điểm cực tiểu hàm số
1 2 1
f :R R, f ( y ) ( y 1) 2 y2 2 y2 2 y 1 2( y ) ,
2 2
Do đó điểm cự tiểu là
1 1 1
x z i.
2 2 2
Bài tập 7. Cho x,y,z là các số phức phân biệt sao cho
y tx (1 t ) z , t (0;1).
Chứng minh rằng
| z| | y| | z| | x| | y| | x|
.
|z y| | z x| | y x|
Lời giải. Từ hệ thức y tx (1 t ) z ,
z y t ( z x).
Bất đẳng thức
| z| | y| | z| | x|
.
|z y| | z x|
trở thành
| z | | y | t (| z | | x |),
hay
| y | (1 t ) | z | t | x | .
Vận dụng bất đẳng thức tam giác cho
y (1 t ) z tx , ta có kết quả.
Bất đẳng thức thứ hai , được chứng minh tương tự, bởi
y tx (1 t ) z
tương đương với
y x (1 t )( z x).

1.8 Giải phương trình bậc hai
Phương trình bậc hai với hệ số thực
ax2 bx c 0, a 0
vẫn có nghiệm phức trong cả trường hợp biệt thức b 2 4ac âm.
Phân tích vế trái
b 2
a[( x ) ] 0
2a 4a 2

Lê Lễ Page 14


b 2 2
hay ( x ) i ( )2 0.
2a 2a

b i b i
Do đó x1 , x2 .
2a 2a
Rõ ràng hai nghiệm là hai số phức liên hợp và phân tích nhân tử được
ax2 bx c a( x x1 )( x x2 )
trong cả trường hợp Δ<0.
Bây giờ xét phương trình bậc hai với hệ số phức
az 2 bz c 0, a 0
Sử dụng phân tích như trên , được
b 2
a[( z ) ] 0
2a 4a 2
b 2
⇒ (z ) hay
2a 4a 2
(2az b)2 ,
Đặt y=2az+b, phương trình trở thành
y2 u vi, u,v∈ℝ
Phương trình có nghiệm
r u r u
y1,2 ( ( sgnv) i).
2 2

ở đây r=|Δ| và sgnv là dấu của v.Vậy nghiệm phương trình ban đầu là
1
z1,2 ( b y1,2 ) .
2a
Quan hệ nghiệm và hệ số
b c
z1 z2 , z1z2 ,
2a a
Và luôn có phân tích nhân tử
az 2 bz c a( z z1 )( z z2 ) .
Bài tập 8. Giải phương trình hệ số phức
z 2 8(1 i) z 63 16i 0.
Lời giải.
(4 4i)2 (63 16i) 63 16i

Lê Lễ Page 15


r | | 632 162 65 .
Phương trình
y2 63 16i
65 63 65 63
Có nghiệm y1,2 ( i ) (1 8i) . Kéo theo
2 2
z1,2 4 4i (1 8i).
Do đó z1 5 12i, z2 3 4i
Ta có thể dùng cách khác để giải phương trình bậc hai trên.
(4 4i)2 (63 16i) 63 16i
Tìm hai căn bậc hai của 63 16i , tức là tìm z x yi, z 2 63 16i
2 2 x2 y 2 63 x 1
x y 2 xyi 63 16i .
xy 8 y 8
Δ’ có hai căn bậc hai là 1-8i, -1+8i.
Phương trình có hai nghiệm
z1 4(1 i ) (1 8i) 5 12i,
z2 4(1 i ) (1 8i ) 3 4i
Bài tập 9. Cho p, q là hai số phức , q≠ 0. Chứng minh rằng nếu các nghiệm phương trình bậc
p
hai x2 px q 0 có Môđun bằng nhau, thì là một số thực
q
Lời giải. gọi x1, x2 là các nghiệm phương trình và r | x1 | | x2 | . Khi đó
p 2 ( x1 x2 ) 2 x1 x2 x1 x2 x2 x1 2
2 2 2 Re( x1 x2 )
q2 x1 x2 x2 x1 r2 r2 r2
Là số thực. Hơn nữa
p2
Re( x1 x2 ) | x1 x2 | r 2 , do đó 0.
q2
p
Vậy là một số thực.
q
Bài tập 10. Cho a,b,c là ba số phức khác 0 phân biệt với |a|=|b|=|c|.
a) Chứng minh rằng nếu một nghiệm phương trình az 2 bz c 0 có Môđun bằng 1 thì
b2=ac.
b) Nếu mỗi phương trình
az 2 bz c 0, bz 2 cz a 0 có một nghiệm có Môđun bằng 1 thì
|a-b|=|b-c|=|c-a|.

Lê Lễ Page 16


Lời giải.
c 1
a) gọi z1 , z2 là các nghiệm phương trình với |z1|=1. Từ z2 . kéo theo
a z1
c 1 b
| z2 | | |. 1. Bởi vì z1 z2 ,| a | | b |, ta có | z1 z2 |2 1. Hệ thức tương
a | z1 | a
đương với
1 1
( z1 z2 )( z1 z2 ) 1 , tức là ( z1 z2 )( ) 1.
z1 z2
b 2 c
( z1 z2 )2 z1z2 , hay ( ) ⇒ b 2 ac .
a a
b) Theo câu a) b2 ac, c2 ab . Nhân các hệ thức được b2c 2 a 2bc a2 bc. Do đó
a 2 b 2 c 2 ab bc ca.
Hệ thức tương đương với
(a b)2 (b c)2 (c a)2 0,
Tức là
(a b)2 (b c)2 2(a b)(b c) (c a)2 2(a b)(b c).
Kéo theo (a c)2 (a b)(b c) . Lấy giá trị tuyệt đối, được 2 ,
ở đây | b c |, | c a |, | a b | . Tương tự được 2
, 2
. Cộng
các hệ thức, được
2 2 2

Tức là ( )2 ( )2 ( )2 0 . Do đó α=β=γ.

1.9 Bài tập
1. Cho các số phức z1 1 2i, z2 2 3i, z3 1 i . Tính
a) z1 z2 z3 ,
b) z1 z2 z2 z3 z3 z1 ,
c) z1 z2 z3 ,
d) z12 2
z2 z3 , 2

z z2 z3
e) 1 ,
z2 z3 z1
z12 z22
f) 2 2
.
z 2 z3
2. Giải phương trình
a) z 5 7i 2 i;

Lê Lễ Page 17


b) 2 3i z 5 i;
c) z (2 3i) 4 5i ;
z
d) 3 2i .
1 3i
3. Trong C, giải phương trình sau
a) z 2 z 1 0;
b) z 3 1 0.
n
4. Cho z=i. Tính z k , tùy theo số nguyên dương n .
k 0
a) z (1 2i) 1 3i;
b) (1 i) z 2 1 7i.
6. Cho z=a+bi. Tính z 2 , z 3 , z 4 .
7. Cho z0 a bi. Tìm z∈ C sao cho z 2 z0 .
8. Cho z=1-i. Tính z n , n nguyên dương.
9. Tìm các số thực x, y sao xho
a) (1 2i) x (1 2 y)i 1 i;
x 3 y 3
b) i;
3 i 3 i
1 2
c) (4 3i ) x 2 (3 2i ) xy 4 y2 x (3xy 2 y 2 )i.
2
10. Tính
a) (2 i )( 3 2i )(5 4i );
b) (2 4i)(5 2i ) (3 4i)( 6 i);
1 i 16 1 i 8
c) ( ) ( );
1 i 1 i
1 i 3 6 1 i 7 6
d) ( ) ( );
2 2
3 7i 5 8i
e) .
2 3i 2 3i
11. Tính
a) i 2000 i1999 i 201 i82 i 47 ;
b) En 1 i i 2 i3 i n ; n≥ 1;
c) i1.i 2 .i3. i 2000 ;

Lê Lễ Page 18


d) i 5 ( i) 7 ( i)13 i 100
( i)94 ;
a) z 2 i;
b) z 2 i;
1 2
c) z 2 i ;
2 2
1
13. Tìm các số phức z≠ 0 sao cho z R
z
14. Chứng minh rằng
a) E1 (2 i 5)7 (2 i 5)7 R;
n n
19 7i 20 5i
b) E2 R.
9 i 7 6i
15. Chứng minh
a) | z1 z2 |2 | z2 z3 |2 | z3 z1 |2 | z1 |2 | z2 |2 | z3 |2 | z1 z2 z3 |2 ;
b) |1 z1 z2 |2 | z1 z2 |2 (1 | z1 |2 )(1 | z2 |2 );
c) |1 z1 z2 |2 | z1 z2 |2 (1 | z1 |2 )(1 | z2 |2 );
d) | z1 z2 z3 |2 | z1 z2 z3 |2 | z1 z2 z3 |2 | z1 z2 z3 |2
4(| z1 |2 | z2 |2 | z3 |2 )2 .
1 1
16. Cho z C * , | z 3 3
| 2. Chứng minh | z | 2.
z z
17. Tìm tất cả các số phức z sao cho
| z | 1,| z 2 z 2 | 1 .
4z 2 8 | z |2 8.
19. Tìm tất cả các số phức z sao cho z 3 z .
20. Xét z∈ ℂ , Re(z)>1. Chứng minh
1 1 1
| | .
z 2 2
1 3
21. Cho các số thực a,b và i . Tính
2 2
(a b c 2 )(a b 2 c ) .
a) | z | 2 z 3 4i;

Lê Lễ Page 19


b) | z | z 3 4i;
c) z3 2 11i, z x yi, x, y Z
d) iz 2 (1 2i) z 1 0;
e) z 4 6(1 i) z 2 5 6i 0;
f) (1 i)z 2 2 11i 0.
23. Tìm tất cả các số thực m sao cho phương trình
z3 (3 i) z 2 3z (m i) 0
Có ít nhất một nghiệm thực.
z ' ( z 2)( z i )
là số thực.
1
25. Tìm tất cả số phức z sao cho | z | | | .
z
26. Cho z1 , z2 C , sao cho | z1 z2 | 3,| z1 | | z2 | 1 . Tính | z1 z2 | .
27. Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho
1 i 3 n 1 i 3 n
( ) ( ) 2.
2 2
28. Cho số nguyên n>2. Tìm số nghiệm phương trình
z n 1 iz .
29. Cho z1 , z2 , z3 là ba số phức | z1 | | z2 | | z3 | R 0 .
Chứng minh
| z1 z2 || z2 z3 | | z3 z1 || z1 z2 | | z2 z3 || z3 z1 | 9R2 .
v(u z )
30. Cho u,v,w là ba số phức | u | 1,| v | 1, w . Chứng minh | w | 1 | z | 1 .
u .z 1
31. Cho z1 , z2 , z3 là ba số phức sao cho
z1 z2 z3 0,| z1 | | z2 | | z3 | 1.
Chứng minh
z12 z2 z3 0 .
2 2

32. Cho các số phức z1 , z2 , , zn sao cho
| z1 | | z2 | | zn | r 0
Chứng tỏ
( z1 z2 )( z2 z3 ) ( zn 1 zn )( zn z1 )
E là số thực.
z1 z2 zn
33. Cho các số phức phân biệt z1 , z2 , z3 sao cho

Lê Lễ Page 20


| z1 | | z2 | | z3 | 0
Nếu z1 z2 z3 , z2 z3 z1 , z3 z1 z2 là các số thực, chứng tỏ z1 z2 z3 1 .
34. Cho x1 , x2 là các nghiệm phương trình x 2 x 1 0 . Tính
a) x12000 x2 ; 2000

1999
b) x1 x1999 ;
2
n n
c) x1 x2 ; n N .
35. Phân tích thành tích các đa thức bậc nhất các đa thức
a) x4 16;
b) x 3 27 ;
c) x3 8 ;
d) x 4 x 2 1.
36. Tìm tất cả các phương trình bậc hai hệ số thực có một trong các nghiệm sau
a) (2 i )(3 i) ;
5 i
b) ;
2 i
c) i 51 2i80 3i 45 4i 38 .
37. (Bất đẳng thức Hlawka) chứng minh
| z1 z2 | | z2 z3 | | z3 z1 | | z1 | | z2 | | z3 | | z1 z2 z3 |, z1 , z2 , z3 C

Lê Lễ Page 21


1.10 Đáp số và hướng dẫn

Lê Lễ Page 22


8. Với mọi số nguyên k không âm, ta có

Lê Lễ Page 23


37.
2 | z1 z2 | .| z2 z3 | 2 | z2 ( z1 z2 z3 ) z1 z3 | 2 | z2 | .| z1 z2 z3 | 2 | z1 || z3 |
2 | z2 z3 | .| z3 z1 | 2 | z3 | .| z1 z2 z3 | 2 | z2 || z1 |
2 | z3 z1 | .| z1 z2 | 2 | z1 | .| z1 z2 z3 | 2 | z2 || z3 |
Cộng các bất đẳng thức với
| z1 z2 |2 | z2 z3 |2 | z3 z1 |2 | z1 |2 | z2 |2 | z3 |2 | z1 z2 z3 |2
có điều phải chứng minh.

Lê Lễ Page 24


2. Biểu diễn hình học của số phức
2.1 Biểu diễn hình học của số phức
Định nghĩa. Điểm M(x,y) trên mặt phẳng Oxy gọi là điểm biểu diễn hình học của số phức
z=x+yi. Số phức z=x+yi gọi là tọa độ phức của điểm M(x,y). ta dùng ký hiệu M(z) để chỉ tọa độ
phức của M là z.
Mặt phẳng tọa độ với việc biểu diễn số phức như trên gọi là mặt phẳng phức.

Các điểm M,M’ (tương ứng với z , z ) đối xứng nhau qua Ox.
Các điểm M,M’’ (tương ứng với z, z ) đối xứng nhau qua gốc tọa độ O.

 

Mặt khác, ta có thể đồng nhất số phức z=x+yi với v OM , M(x,y) .

Lê Lễ Page 25


2.2 Biểu diễn hình học của Môđun
z x yi. OM x 2 y 2 | z | . Khoảng cách từ M(z) đến O là Môđun của số phức z.
Lưu ý.
a) Với số thực dương r, tập các số phức với Môđun r biểu diễn trên mặt phẳng phức là đường
tròn ℭ (O;r).
b) Các số phức z, |z|<r là các điểm nằm trong đường tròn ℭ (O;r). Các số phức z, |z|>r là các
điểm nằm ngoài đường tròn ℭ (O;r).
1 3
Ví dụ 7. Các số phức zk i, k 1,2,3,4 được biểu diễn trong mặt phẳng phức
2 2
bởi bốn điểm trên đường tròn đơn vị tâm O. Bởi vì
| z1 | | z2 | | z3 | | z4 | 1 .

2.3 Biểu diễn hình học các phép toán
(1) Phép toán cộng và nhân. Xét số phức z1 x1 y1i, z2 x2 y2i và các vectơ tương
   
  
ứng v1 x1i y1 j , v2 x2i y2 j .
Tổng hai số phức
z1 z2 ( x1 y1i ) ( x2 y2i ) ( x1 x2 ) ( y1 y2 )i .
Tổng hai vectơ     
v1 v2 ( x1 x2 )i ( y1 y2 ) j .
 

Tổng z1 z2 tương ứng với vectơ tổng v1 v2 .

Lê Lễ Page 26


Ví dụ 8.
a) (3 5i) (6 i) 9 6i : biểu diễn hình học của tổng ở hình 1.5.
b) (6 2i) ( 2 5i) 4 3i : biểu diễn hình học ở hình 1.6.

 

Tương tự, hiệu z1 z2 tương ứng với vectơ v1 v2
c) Ta có ( 3 i) (2 3i) ( 3 i) ( 2 3i) 5 2i , hình 1.7.

d) (3 2i ) ( 2 4i ) (3 2i ) (2 4i ) 5 2i , hình 1.8.

Lê Lễ Page 27


Khoảng cách hai điểm M 1 ( x1 , y1 ), M 2 ( x2 , y2 ) bằng Môđun của số phức z1 z2 bằng độ dài
  
vectơ v1 v2 .
  
M1M 2 | z1 z2 | | v1 v2 | ( x2 x1 ) 2 ( y2 y1 ) 2 .
  
(2) Tích của số phức với số thực. Xét số phức z=x+yi và vectơ tương ứng v xi yj . Nếu λ
là số thực thì tích λ z=λ x+λyi tương ứng với vectơ
  
v xi yj .
 
Nếu λ >0 thì v , v cùng hướng và
 
| v | | v |.
 
Nếu λ<0 thì v , v ngược hướng và
 
| v| | v |.
 
Tất nhiên , λ =0 thì v 0 .

Ví dụ 9.
a) Ta có 3(1 2i ) 3 6i , hình 1.10
b) 2( 3 2i) 6 4i

Lê Lễ Page 28


2.4 Bài tập
1. Biểu diễn hình học các số phức sau trên mặt phẳng phức
z1 3 i, z2 4 2i, z3 5 4i, z4 5 i,
z5 1, z6 3i, z 7 2i, z8 4.
2. Biểu diễn hình học các hệ thức
a) ( 5 4i) (2 3i) 3 i;
b) 4 i 6 4i 2 3i ;
c) ( 3 2i) ( 5 i) 2 3i ;
d) (8 i ) (5 3i ) 3 4i ;
e) 2( 4 2i) 8 4i ;
f) 3( 1 2i) 3 6i .
3. Biểu diễn hình học z
a) | z 2 | 3 ;
b) | z i | 1;
c) | z 1 2i | 3 ;
d) | z 2 | | z 2 | 2 ;
e) 0 Re( z ) 1 ;
f) 1 Im( z ) 1 ;
z 2
g) Re( ) 0;
z 1
1 z
h) R
z
4. Tìm tập các điểm M(x,y) trong mặt phẳng phức

Lê Lễ Page 29


| x 2 4 i y 4 | 10 .
5. Cho z1 1 i, z 2 1 i . Tìm z3∈ ℂ sao cho các điểm biểu diễn của z1 , z2 , z3 tạo
thành tam giác đều.
6. Tìm các điểm biểu diễn z, z 2 , z 3 sao cho chúng tạo thành tam giác vuông.
7. Tìm các điểm biểu diễn số phức z sao cho
1
|z | 2.
z
3.
a) Đường tròn tâm (2,0) bán kinh 3.
b) Hình tròn tâm (0,-1) bán kính 1.
c) Phần ngoài đường tròn tâm (-1,-2) bán kính 3.

7.Hợp hai đường tròn
x2 y2 2 y 1 0, x 2 y2 2y 1 0 .

Lê Lễ Page 30


3 Dạng lượng giác của số phức
3.1 Tọa độ cực của số phức
Trong mặt phẳng Oxy, cho M(x,y) khác gốc tạo độ.
Số thực r x 2 y 2 gọi là bán kính cực của điểm M. Số đo θ∈ [0;2π) của góc lượng giác
 

(Ox, OM ) gọi là argument của M. Cặp có thứ tự (r,θ) gọi là tọa độ cực của M, viết M(r,θ).
Song ánh
h : R R  (0,0) (0, ) [0,2 ), h(( x, y)) ( r , )
Điểm gốc O là điểm duy nhất có r=0, θ không xác định.
Mỗi điểm M trong mặt phẳng có P là giao điểm duy nhất của tia OM với đường tròn đơn vị
tâm O.
Rõ ràng
x r cos
.
y r sin
Xét argument cực của M với các trường hợp sau:

y
a) Nếu x≠ 0, từ tan , được
x
y
arctan k ,
x
ở đây

Lê Lễ Page 31


0, x 0 & y 0
k 1, x 0, y R
2, x 0, y 0
b) Nếu x= 0, và y≠ 0 được

,y 0
2 .
3
,y 0
2
Ví dụ 10. Tìm các tọa độ cực của
M1 (2, 2), M 2 ( 1,0), M 3 ( 2 3, 2), M 4 ( 3,1), M 5 (3,0), M 6 ( 2,2), M 7 (0,1), M 8 (0, 4)
Dễ thấy
7 7
r1 22 ( 2) 2 2 2; 1 arctan( 1) 2 2 , M 1 (2 2, ) .
4 4 4
r2 1; 2 arctan 0 , M 2 (1, )
3 7 7
r3 4; 2 arctan , M 3 (4, )
3 6 6
3
r4 2; 4 arctan , M 4 (2, )
3 6 6
r5 3; 2 arctan 0 0 0, M 5 (3,0)
3 3
r6 2 2; 6 arctan( 1) , M 6 (2 2, )
4 4 4
r7 1; 7 , M 7 (1, )
2 2
3 3
r8 4; 8 , M 8 (1, ) .
2 2
Ví dụ 11.Tìm tọa độ vuông góc của các điểm cho bởi tọa độ cực
2 7
M1 (2, ), M 2 (3, ), M 3 (1,1) .
3 4
2 1 2 3
x1 2cos 2( ) 1, y1 2sin 2 3, M1 ( 1, 3) .
3 2 3 2
7 3 2 7 3 2 3 2 3 2
x2 3cos , y2 3sin , M2( , ).
4 2 4 2 2 2
Tương tự x3 cos1, y3 sin1, M 3 (cos1,sin1) .

Lê Lễ Page 32


3.2 Biểu diễn lượng giác của số phức
Cho số phức z=x+yi ta có thể viết z dạng cực:
z r (cos i sin ) ,
r=|z|∈ [0,∞), θ là một argument của z và [0;2 ) .
Với z≠ 0, r và θ xác định duy nhất.
Xét z r (cos i sin ) , đặt 2k , k Z thì
z r[cos( 2k ) i sin( 2k )] r (cos i sin )
Tức là , với số phức bất kỳ z có thể viết z r (cos t i sin t ), r 0, t R . Khi đó ta nói z
được biểu diễn dạng lượng giác.
Tập Argz {t , t 2k , k Z } gọi là argument mở rộng của z.
Do đó hai số phức z1 , z2 0 biểu diễn dạng lượng giác
r1 r2
z1 r1 (cos t1 i sin t1 ), z2 r2 (cos t2 i sin t2 ) bằng nhau , k∈ ℤ
t1 t2 2k
Ví dụ 12. Viết các số sau dưới dạng cực và xác định tập Argz
a) z1 1 i,
b) z2 2 2i ,
c) z3 1 i 3,
d) z4 1 i 3
a) P ( 1, 1) nằm ở góc phần tư thứ ba.
1

y 5
r1 ( 1)2 ( 1)2 2, arctan arctan1
x 4 4

5 5
z1 2(cos i sin )
4 4

Lê Lễ Page 33


5
Argz1 { 2k , k Z} .
4
b) P2 (2, 2) nằm ở góc phần tư thứ nhất
r2 2 2, 2
4
z2 2 2(cos i sin )
4 4
Argz2 { 2k , k Z}
4
c) P3 ( 1, 3) thuộc góc phần tư thứ hai
2
r3 2, 3
3
2 2
z3 2(cos i sin )
3 3

2
Argz3 { 2k , k Z}.
3
d) P4 (1, 3) thuộc góc phần tư thứ tư
5
r4 2, 4
3

Lê Lễ Page 34


5 5
z4 2(cos i sin )
3 3
5
Argz4 { 2k , k Z} .
3
Ví dụ 13. Viết các số phức sau dưới dạng cực
a) z1 2i ,
b) z2 1,
c) z3 2 ,
d) z4 3i .
Và xác định Arg của chúng.
a) Điểm P (0, 2) thuộc phần dương trục tung, nên
1

r1 2, 1 , z1 2(cos i sin )
2 2 2
Argz1 { 2k , k Z }
2
b) Điểm P2 ( 1,0) thuộc phần âm trục hoành, nên
r2 1, 2 , z2 cos i sin
Argz2 { 2k }
c) Điểm P3 (2,0) thuộc phần dương trục hoành, nên
r3 2, 3 0, z3 2(cos0 i sin 0)
Argz3 {2k , k Z }
d) Điểm P4 (0, 3) thuộc phần âm trục tung, nên

Lê Lễ Page 35


3 3 3
r4 3, 4 , z4 2(cos i sin )
2 2 2
3
Argz4 { 2k , k Z}
2
Rõ ràng
1 cos 0 i sin 0; i cos i sin ;
2 2
3 3
1 cos i sin ; i cos i sin .
2 2
Bài tập 11. Viết số phức sau dưới dạng cực
z 1 cos a i sin a, a (0,2 ) .
Lời giải.
a a
| z | (1 cos a)2 sin 2 a 2(1 cos a) 4cos 2 2 | cos | .
2 2
a
a) Nếu a (0, ) (0, ) , P nằm góc phần tư thứ nhất . Do đó
2 2
sin a a a
arctan arctan(tan ) ,
1 cos a 2 2
.
a a a
z 2cos (cos i sin )
2 2 2
a
b) Nếu a ( ,2 ) ( , ) , P nằm góc phần tư thứ tư . Do đó
2 2
a a a
a rctan(tan ) 2 2 ,
2 2 2
a a a
z 2cos [cos( ) i sin( )]
2 2 2
c) Nếu a , thì z=0.
Bài tập 12. Tìm các số phức z sao cho
z z
| z | 1,| | 1.
z z
Lời giải. Đặt z cos x i sin x, x [0,2 ).
z z | z2 z 2 |
1 | |
z z | z |2
| cos 2 x i sin 2 x cos 2 x i sin 2 x |
2 | cos 2 x |

Lê Lễ Page 36


Do đó
1 1
cos 2 x hoặc cos 2 x .
2 2
1
Nếu cos 2 x thì
2
5 7 11
x1 , x2 , x3 , x4
6 6 6 6
1
Nếu cos 2 x thì
2
2 4 5
x5 , x6 , x7 , x8
3 3 3 3
Do đó có 8 nghiệm
zk cos xk i sin xk k 1,2,3, ,8.

3.2 Các phép toán trên dạng lượng giác số phức
(1) Phép nhân
Định lý. z1 r1 (cos t1 i sin t1 ), z2 r2 (cos t2 i sin t2 )
Khi đó
z1.z2 r1r2 [cos(t1 t2 ) i sin(t1 t2 )] .
Chứng minh.
z1.z2 r1r2 (cos t1 i sin t1 )(cos t2 i sin t2 )
r1r2 [(cos t1 cos t2 sin t1 sin t2 ) i (sin t1 cos t2 sin t2 cos t1 )]
r1r2 [cos(t1 t2 ) i sin(t1 t2 )]
Lưu ý
a) Một lần nữa ta lại | z1 z2 | | z1 || z2 | .
b) arg( z1 z2 ) argz1 argz2 2k ,
0, argz1 argz2 2
k .
1, argz1 argz2 2
c) Có thể viết A rg( z1 z2 ) {argz1 argz2 2k , k Z }
d) Mở rộng với n≥ 2 số phức . Nếu zk rk (cos tk i sin tk ), k 1,2, , n
z1 z2 zn r1r2 rn [cos(t1 t2 tn ) i sin(t1 t2 tn )]
Công thức trên có thể viết
n n n n
zk rk (cos tk i sin tk ) .
k 1 k 1 k 1 k 1

Lê Lễ Page 37


Ví dụ 14. Cho z1 1 i, z2 3 i.
7 7
z1 2(cos i sin ), z2 2(cos i sin )
4 4 6 6
7 7
z1 z2 2 2[cos( ) i sin( )]
4 6 4 6
23 23
2 2(cos i sin )
12 12
(2) Lũy thừa của một số phức
Định lý. (De Moivre3) Cho z r (cos t i sin t ) và n∈ ℕ , ta có
z n r n (cos nt i sin nt ) .
Chứng minh. Dùng công thức nhân với z z1 z2 zn được
n
z r.r. .r [cos(t t
 t ) i sin(t t t )]
 
n n n
n
= r (cos nt i sin nt )
Lưu ý.
a) Chúng ta tìm lại được | z n | | z |n .
b) Nếu r=1, thì (cos t i sin t )n cos nt i sin nt .
c) Ta có thể viết Argz n {n.arg z 2k , k Z}.
Ví dụ 15. Tính (1 i)1000 .
1 i 2(cos i sin ) .
4 4
1000
(1 i)1000 2 (cos1000 i sin1000 )
4 4
2500 (cos 250 i sin 250 ) 2 500

sin 5t 16sin 5 t 20sin 3 t 5sin t ;
.
cos5t 16cos5 t 20cos3 t 5cos t
Lời giải. Dùng công thức Moivre và khai triển nhị thức (cos t i sin t )5 ,
cos5t i sin 5t cos5 t 5i cos 4 t sin t 10i 2 cos3 t sin 2 t
.
10i 3 cos 2 t sin 3 t 5i 4 cos t sin 4 t i 5 sin 5 t
Do đó

3
Abraham de Moivre (1667-1754), nhà toán học Pháp.

Lê Lễ Page 38


cos5t i sin5t cos5 t 10cos3 t (1 cos 2 t ) 5cos t (1 cos 2 t ) 2
i[sin t (1 sin 2 t )2 sin t 10(1 sin 2 t )sin 3 t sin 5 t ]
Đồng nhất hai vế cho điều phải chứng minh.
(3) Phép chia.
Định lý. Giả sử z1 r1 (cos t1 i sin t1 ), z2 r2 (cos t2 i sin t2 ) 0
z1 r1 (cos t1 i sin t1 )
z2 r2 (cos t2 i sin t2 )
r1 (cos t1 i sin t1 )(cos t2 i sin t2 )
r2 (cos 2 t2 sin 2 t2 )
r1
[(cos t1 cos t2 sin t1 sin t2 ) i (sin t1 cos t2 sin t2 cos t1 )]
r2
r1
[cos(t1 t2 ) i sin(t1 t2 )]
r2
Lưu ý.
z1 | z1 |
a)Ta có lại kết quả | | ;
z2 | z2 |
z1
b) Arg ( ) {argz1 argz2 2k , k Z } ;
z2
1 1
c)Với z1 1, z2 z , z1 [cos( t ) i sin( t )] ;
z r
d)Công thức De Moivre còn đúng cho lũy thừa nguyên âm, tức là với n nguyên âm, ta có
z n r n (cos nt i sin nt ) .
Bài tập 14. Tính
(1 i )10 ( 3 i )5
z .
( 1 i 3)10
Lời giải.

Lê Lễ Page 39


10 7 7 10 5
2 (cos i sin ) .2 (cos i sin )5
z 4 4 6 6
4 4 10
210 (cos i sin )
3 3
35 35 5 5
210 (cos i sin )(cos i sin )
2 2 6 6 .
10 40 40
2 (cos i sin )
3 3
55 55
cos i sin
3 3 cos5 i sin 5 1
40 40
cos i s in
3 3
3.4 Biểu diễn hình học của tích hai số phức
Xét số phức z1 r1 (cos 1 i sin 1 ), z2 r2 (cos 2 i sin 2 ) . Gọi P , P2 là giao điểm
1

của đường tròn ℭ (0,1) với tia OM 1 , OM 2 .
Dựng P3 thuộc đường tròn và có argument cực 1 2 , chọn M 3 thuộc tia
OP3 , OM 3 OM 1.OM 2 .
Gọi z3 là tọa độ phức của M3. Điểm M 3 (r1r2 , 1 2 ) biểu diễn tích z1 z2 .
Gọi A là điểm biểu diễn của z=1.
OM 3 OM 2 OM 3 OM 2  
và M 2OM 3 AOM1 . Suy ra hai tam giác
OM1 1 OM 2 OA
OAM 1 ,OM 2 M 3 đồng dạng.

z3
Để xây dựng biểu diễn hình học của thương, lưu ý điểm tương ứng của là M1.
z2

Lê Lễ Page 40


3.5 Bài tập
1. Dựa vào tọa độ vuông góc ,tìm tọa độ cực của các điểm
a) M 1 ( 3,3)
b) M 2 ( 4 3, 4)
c) M 3 (0, 5)
d) M 4 ( 2, 1)
e) M 5 (4, 2)
2. Dựa vào tọa độ cực ,tìm tọa độ vuông góc các điểm
a) P (2, )
1
3
3
b) P2 (4,2 arcsin )
5
c) P3 (2, )
d) P4 (3, )

e) P5 (1, )
2
3
f) P6 (4, )
2
3. Biểu diễn arg( z ) và arg( z ) qua arg(z).
4. Biểu diễn hình học các số phức z:
a) | z | 2 ;
b) | z i | 2 ;
c) | z i | 3 ;
5
d) argz ;
4
3
e) arg z ;
2
f) arg z ;
2
g) arg( z ) ( , )
6 3
|z 1 i| 3
h)
0 argz
6
5. Viết các số sau dưới dạng cực

Lê Lễ Page 41


a) z1 6 6i 3;
1 3
b) z2 i ;
4 4
1 3
c) z3 i ;
2 2
d) z4 9 9i 3;
e) z5 3 2i;
f) z6 4i
6. Viết các số sau dưới dạng cực
a) z1 cos a i sin a, a [0, 2 ) ,
b) z2 sin a i (1 cos a), a [0,2 ) ,
c) z3 cos a sin a i (sin a cos a), a [0,2 ) ,
d) z4 1 cos a i sin a, a [0,2 ) .
7. Sử dụng dạng cực của số phức để tính tích sau đây
1 3
a) ( i )( 3 3i)(2 3 2i);
2 2
b) (1 i )( 2 2i)i ;
c) 2i( 4 4 3i)(3 3i) ;
d) 3(1 i )( 5 5i)
Mô tả các kết quả dạng đại số
8. Tìm | z |,arg z, Argz, arg z ,arg( z )
a) z (1 i)(6 6i ) ;
b) z (7 7 3i)( 1 i) .
9. Tìm |z| và argument cực của z:
(2 3 2i )8 (1 i) 6
a) z ,
(1 i )6 (2 3 2i )8
( 1 i)4 1
b) z ,
( 3 i)10 (2 3 2i) 4
c) z (1 i 3)n (1 i 3)n .
10. Chứng tỏ công thức Moivre đúng với số nguyên âm
11. Tính
a) (1 cos a i sin a)n , a [0,2 ), n N ,

Lê Lễ Page 42


1 1
b) z n , nếu z 3.
zn z

Lê Lễ Page 43



Lê Lễ Page 44


4 Căn bậc n của đơn vị
4.1 Định nghĩa căn bậc n của số phức
Xét số nguyên n≥ 2 và số phức w 0 . Như trong trường số thực ℝ , phương trình
zn w 0
được dùng định nghĩa căn bậc n của số w. Ta gọi nghiệm z của phương trình là một căn bậc n
của w.
Định lý. Cho w r (cos i sin ) là số phức với r>0 và θ∈ [0,2π).
Căn bậc n của w gồm n số phân biệt, cho bởi
2k 2k
zk n r (cos i sin ), k 0,1, , n 1 .
n n
Chứng minh. Biểu diễn số phức z dạng lượng giác, tức là
z (cos i sin ).
Theo định nghĩa, ta có z w , nên
n

n
(cos n i sin n ) r (cos i sin )
Do đó
n n 2
r, n 2k , k Z r, k k .
n n
Vậy nghiệm phương trình có dạng
zk n r (cos k i sin k ), k Z
Lưu ý rằng 0 0 1 n 1 2 . Do đó k , k {0,1, , n 1} là argument cực .
Bởi tính duy nhất của tọa độ cực, Ta có n nghiệm phân biệt của phương trình là
z0 , z1 , , zn 1 .
Đến đây ta chứng minh phương trình có đúng n nghiệm phân biệt.
Với số nguyên k bất kỳ, lấy k chia cho n có thương q và số dư r, tức là k=nq+r, q∈ Z,
r∈{0,1,2,…,n-1}
2 2
k (nq r ) r 2q r 2q .
n n n n
Rõ ràng zk zr . Do đó
{zk , k Z } {z0 , z1 , , zn 1} .
Nói cách khác phương trình có đúng n nghiệm phân biệt.
Biểu diễn hình học các căn bậc n của w≠ 0 (n≥ 3) là đỉnh của một n giác đều nội tiếp đường tròn
tâm O bán kính n r , r=|w|.

Lê Lễ Page 45


Để chứng minh điều này, ký hiệu M 0 ( z0 ), M 1 ( z1 ), , M n 1 ( zn 1 ) . Bởi vì
OM k | zk | n r , k {0,1, , n 1} Mk C(0, n r ) . Mặt khác , số đo cung

M M bằng
k k 1
2(k 1) ( 2k )
2
arg zk 1 argzk , k {0,1, , n 2} .
n n
 2 2
⇒ M n 1M 0 bằng 2 (n 1) .
n n
 
Bởi vì các cung M 0 M1, M1M 2 , , M n 1M 0 bằng nhau nên đa giác M 0 M 1 M n 1 đều.
Ví dụ 16. Tìm các căn bậc ba của z=1+i và biểu diễn chúng lên mặt phẳng phức.
Dạng lượng giác của z là
z 2(cos i sin ) .
4 4
Các căn bậc ba của z
6 2 2
zk 2[cos( k ) i sin( k )], k 0,1,2
12 3 12 3
⇒ z0 6
2(cos i sin ),
12 12
3 3
z1 6 2 (cos i sin ),
4 4
17 17
z2 6 2(cos i sin ),
12 12
Dùng tọa độ cực, các điểm biểu diễn z0 , z1 , z2 lần lượt là
3 17
M 0 ( 6 2, ) , M 1 ( 6 2, ) , M 2 ( 6 2, )
12 4 12
Tam giác đều biểu diễn kết quả hình 2.6

Lê Lễ Page 46


4.2 Căn bậc n của đơn vị
Một nghiệm phương trình z n 1 0 gọi là một căn bậc n của đơn vị.
Biểu diễn 1 dưới dạng lượng giác , 1 cos0 i sin 0, từ công thức tìm căn bậc n của số
phức, ta có căn bậc n của đơn vị là
2k 2k
k cos i sin , k {0,1, , n 1} .
n n
⇒ 0 cos0 i sin 0 1 ,
2 2 2 2
1 cos i sin . (đặt cos i sin )
n n n n
4 4 2
2 cos i sin ,
n n
...
2(n 1) 2(n 1) n 1
n 1 cos i sin .
n n
2 2
Ký hiệu Un {1, , 2 , , n 1} ,cũng cần nhắc lại cos i sin .
n n
Như phần trước đã đề cập, Biểu diễn hình học các căn bậc n của đơn vị (n≥ 3) là các điểm tạo
thành một n giác đều nội tiếp đường tròn tâm O bán kính 1.
Chẳng hạn
i) Với n=2, hai căn bậc hai của 1(nghiệm phương trình z 2 1 0 ) là -1,1.
ii) Với n=3, căn bậc ba của 1( nghiệm phương trình z 3 1 0 )cho bởi
2k 2k
k cos i sin , k∈ {0,1,2},
n n
⇒ 0 1,
2 2 1 3
1 cos i sin i ,
3 3 2 2
4 4 1 3 2
2 cos i sin i
3 3 2 2
Biểu diễn lên mặt phẳng phức được tam giác đều nội tiếp đường tròn ℭ (O,1).

Lê Lễ Page 47


iii) Với n=4, các căn bậc bốn của 1 là
2k 2k
k cos i sin , k {0,1, 2, 3} .
4 4
Ta có
0 cos0 i sin 0 1 ,

1 cos i sin i,
2 2
2 cos i sin 1,
3 3
3 cos i sin i.
2 2
Tức là U4 {1, i, i 2 , i3} {1, i, 1, i}. Biểu diễn hình học của chúng là hình vuông nội tiếp
đường tròn ℭ (O,1).

Số k U n gọi là căn nguyên thủy bậc n của đơn vị , nếu mọi số nguyên dương m<n ta có
m
k 1.

Lê Lễ Page 48


Định lý.
a) Nếu n|q thì nghiệm bất kỳ của z n 1 0 cũng là nghiệm z q 1 0 .
b)Các nghiệm chung của phương trình z m 1 0 và z n 1 0 là các nghiệm của
z d 1 0 , d=UCLN(m,n), tức là U m U n U d .
c)Các nghiệm nguyên thủy của z m 1 0 là
2k 2k
k cos i sin , 0 k m,UCLN (k , m) 1 .
m m
Chứng minh.
a)Nếu q=pn thì z q 1 ( z n ) p 1 ( z n 1)( z (q 1) z n 1) . Do đó điều phải chứng
minh là hệ quả trực tiếp suy từ hệ thức trên.
2p 2p
b)Xét p cos i sin là một nghiệm của z m 1 0 và
m m
2q 2q
q' cos i sin là một nghiệm của z n 1 0 . Bởi vì
m m
, 2p 2q
| p | | q ' | 1, ta có p q 2r , r Z .
m n
p q
Cho ta r pn qm rmn .
m n
Mặt khác, m m ' d , n n ' d , UCLN (m ', n ') 1.
pn qm rmn n p m q rm n d .
m'| n' p m | p p p m , p ' Z và
2p 2 p 'm' 2 p' d
arg p và p 1 .
m m'd d
Ngược lại , d | m, d | n , bất kỳ nghiệm của z 1 0 là nghiệm của z m 1 0 và
d

z n 1 0 (tính chất a).
c)Trước hết ta tìm số nguyên dương nhỏ nhất p sao cho kp 1. Từ hệ thức kp 1. Suy ra
2kp kp
2k , k’∈ ℤ . Tức là k ' Z . Xét d=UCLN(k,m) và k=k’d, m=m’d, ở đây
m m
k pd k p
UCLN(k’,m’)=1. Ta có Z . Bởi vì k’ và m’ nguyên tố cùng nhau , ta có m’|p.
md m
Do đó số nguyên dương nhỏ nhất p thỏa mãn kp 1là p=m’. Kết hợp với hệ thức m=m’d suy
m
ra p , d UCLN (k , m) .
d

Lê Lễ Page 49


m
Nếu k là căn nguyên thủy bậc m của đơn vị, thì từ hệ thức k
p
1, p suy
UCLN (k , m)
ra p=m, tức là UCLN(k,m)=1.
Lưu ý .
Từ b) ta thu được phương trình z m 1 0 và phương trình z n 1 0 có nghiệm chung duy
nhất là 1 nếu và chỉ nếu UCLN(m,n)=1.
Định lý. Nếu U n là một căn nguyên thủy bậc n của đơn vị thì các nghiệm của phương trình
z n 1 0 là
r
, r 1 , r n 1 , r là một số nguyên dương cho trước.
Chứng minh. Cho r là một số nguyên dương và h {0,1, , n 1} . Khi đó
( r h )n ( n )r h 1, tức là r h là một nghiệm của z n 1 0 .
Chỉ cần chứng minh r , r 1, , r n 1 phân biệt. Giả sử không phân biệt, tức tồn tại
r h1 r h2 , h1 h2 mà r h1 r h2
. Khi đó r h2 ( h1 h2 1) 0 . Nhưng
r h2
0 h1 h2
1. Đối chiếu với 0 h1 h2 n và ω là một căn nguyên thủy bậc n
của đơn vị, ta có mâu thuẩn.
Bài tập 15. Tìm số cặp thứ tự (a,b) các số thực sao cho (a bi)2002 a bi .
Lời giải. Đặt z=a+bi⇒ z a bi,| z | a 2 b2 . Hệ thức đã cho trở thành z 2002 z .
| z |2002 | z 2002 | | z | | z | | z | (| z |2001 1) 0.
Do đó |z|=0, tức là (a,b)=(0,0) hoặc |z|=1. Trong trường hợp |z|=1, ta có
z 2002 z z 2003 z .z | z |2 1.
Do phương trình z 2003 1 có 2003 nghiệm phân biệt⇒ có 2004 cặp thứ tự theo yêu cầu.
Bài tập 16. Hai đa giác đều cùng nội tiếp trong một đường tròn. Đa giác thứ nhất có 1982 cạnh,
đa giác thứ hai có 2973 cạnh. Tìm số đỉnh chung của hai đa giác đó.
Lời giải. Số đỉnh chung bằng số nghiệm chung của hai phương trình
z1982 1 0, z 2973 1 0 . Ứng dụng định lý trên, số nghiệm chung là
d UCLN (1982,2973) 991.
Bài tập 17. Cho U n là một căn nguyên thủy bậc n của đơn vị và z là số phức sao cho
|z k
| 1, k 0,1, , n 1. Chứng minh z 0 .
Lời giải. Từ giả thiết , được
(z k
)( z k
) 1 | z |2 z k z k , k 0,1, , n 1 . Lấy tổng các hệ thức trên,
n 1 n 1
2 k k
n| z| z( ) z. 0.
k 0 k 0
Do đó z=0.
Bài tập 18. Cho P0 P1 Pn 1 là đa giác đều nội tiếp đường tròn bán kính 1. Chứng minh
Lê Lễ Page 50


a) P0 P .P0 P2
1 P0 Pn 1 n
2 (n 1) n
b) sin sin sin
n n n 2n 1
3 (2n 1) 1
c) sin sin sin
2n 2n 2n 2n 1
Lời giải.
a)Không mất tổng quát, giả sử các đỉnh đa giác là các điểm biểu diễn hình học các căn bậc n của
đơn vị, P0 1 . Xét đa thức
2 2
f z n 1 ( z 1)( z ) (z n 1
), cos i sin .
n n
Rõ ràng
2 n 1
n f '(1) (1 )(1 ) (1 ).
Lấy Môđun hai vế được kết quả.
b)Ta có
k 2k 2k k k k
1 1 cos i sin 2sin 2 2i sin cos
n n n n n
k k k
2sin (sin i cos )
n n n
k
Do đó | 1 k
| 2sin , k 1, 2, , n 1 . Sử dụng a) ta có điều phải chứng minh.
n
c)Xét đa giác đều Q0Q1 Q2 n 1 nội tiếp trong đường tròn , các đỉnh của nó là điểm biểu diễn
hình học của căn bậc 2n của đơn vị. Theo a)
Q0Q1.Q0Q2 Q0Q2 n 1 2n
Bây giờ xét đa giác đều Q0Q2 Qn 2 , ta có Q0Q2 .Q0Q4 Q0Q2 n 2 n
Do đó Q0Q1.Q0Q3 Q0Q2 n 1 2 . Tính toán tương tự phần b) ta được
(2k 1)
Q0Q2 k 1 2sin , k 1,2 n và ta có điều phải chứng minh
2n
4.3 Phương trình nhị thức
Phương trình nhị thức là một phương trình có dạng z n a 0 , n∈ ℕ và n≥ 2. Giải phương
trình là tìm căn bậc n của số phức –a. Đây là một dạng đơn giản của phương trình bậc n hệ số
phức. Theo định lý cơ bản, phương trình có đúng n nghiệm. Và cũng dễ thấy trong trường hợp
này phương trình có n nghiệm phân biệt.
Ví dụ 17.
a) Giải phương trình z 3 8 0 .
8 8(cos i sin ) , các nghiệm là

Lê Lễ Page 51


2k 2k
zk 2(cos i sin ), k 0,1,2 .
3 3
b) Giải phương trình z 6 z3 (1 i) i 0 .
Phương trình tương đương với
( z 3 1)( z 3 i) 0 .
Giải phương trình nhị thức z3 1 0, z3 i 0 có các nghiệm
2k 2k
k cos i sin , k 0,1,2 và
3 3
2k 2k
zk cos 2 i sin 2 ,k 0,1,2 .
3 3
4.4 Bài tập
1. Tìm các căn bậc hai của z
a) z 1 i ;
b) z i ;
1 i
c) z ;
2 2
d) z 2(1 i 3) ;
e) z 7 24i .
2. Tìm các căn bậc ba của z
a) z i;
b) z 27 ;
c) z 2 2i ;
1 3
d) z i ;
2 2
e) z 18 26i .
3. Tìm các căn bậc bốn của z
a) z 2 i 12 ;
b) z 3 i;
c) z i ;
d) z 2i ;
e) z 7 24i .
4. Tìm căn bậc 5,6,7,8, 12 các số trên.
5. Cho U n { 0 , 1 , , n 1} 4 là các căn bậc n của đơn vị. Chứng minh

4
Un cùng với phép nhân là một nhóm Abel. Nó còn là nhóm xyclic sinh bởi căn nguyên thủy bậc n của đơn vị.

Lê Lễ Page 52


a) j k Un , j, k {0,1, , n 1};
b) j 1 U n , j {0,1, , n 1} .
a) z 3 125 0 ;
b) z 4 16 0 ;
c) z 3 64i 0 ;
d) z 3 27i 0 .
a) z 7 2iz 4 iz 3 2 0 ;
b) z 6 iz 3 i 1 0 ;
c) (2 3i) z 6 1 5i 0 ;
d) z10 ( 2 i) z5 2i 0 .
z 4 5( z 1)( z 2 z 1) .


Lê Lễ Page 53


Lê Lễ Page 54

[Vnmath.com] sophuc tu a toi z

More Related Content

What's hot (18)

Similar to [Vnmath.com] sophuc tu a toi z (20)

[Vnmath.com] sophuc tu a toi z