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- 1. 統計学入門 第三回 様々なデータの分布 慶應義塾大学 大学院 野寺研究室 松尾洋一
- 2. 自己紹介 松尾洋一 慶應義塾大学大学院 理工学研究科 基礎理工学専攻 野寺研究室 修士１年 専門：数学・数値計算 研究：Block Gram-Schmidt法のblock-sizeの決定手法 今年の目標：サブ4 よろしくね!! ≅ 34秒/100 自転車と同じくらい 2 “facebook”
- 4. 今日やること 前回の復習 正規分布 二項分布 様々な分布 正規分布と中心極限定理 ポアソン分布 指数分布 4
- 5. 正規分布 平均と分散で決まる． 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 N(0,1) N(0,0.5) 0.4 N(0,2) N(-2,1) 0.3 0.2 0.1 5 0 -6 -4 -2 0 2 4 6
- 6. 正規分布 正規分布 の役割 他分布の 確率モデル 近似 6
- 7. 正規分布が表す現象 正規分布に似ている?? 男子大学生100人の身長データ 男子大学生 人の身長データ 25 20 15 人数 10 5 0 158 161 164 167 170 173 176 179 182 185 7
- 8. 正規分布 さまざまな現実現象の分布を表す!! 測定誤差の分布 生体物の形態に関する測定値 管理状態で生産される製品の特性値 平均 と分散 から決定される データのばらつきの度合い データから，平均と分散を計算するんや!! 8
- 9. 正規分布が表す現象 このデータから正規分布を計算 男子大学生100人の身長データ 男子大学生 人の身長データ 25 20 15 人数 10 5 0 158 161 164 167 170 173 176 179 182 185 9
- 10. 正規分布 20歳男子の身長は平均170cm，分散64で近似できる． 次のことがわかる． 身長が180cm以上の人の割合は？ Ans. (180-170)/8=1.25 Q(1.25)=0.1056 より，11%程度 一般的に高身長（上位2割とする）になるためには，何cm必 要？ Ans. Q(0.2)=0.842, 10 (a-170)/8=0.845, a=176.76 より，177cm程度
- 11. 正規分布 正規分布 の役割 他分布の 確率モデル 近似 11
- 12. 二項分布 標本数nと確率pによって決まる． 0.16 0.14 0.12 0.1 B(50,0.5) 0.08 B(50,0.25) B(50,0.80) 0.06 0.04 0.02 12 0 0 10 20 30 40 50 60
- 13. 二項分布 二つの項目をn回行った場合の分布 コイン投げの表裏:p=0.5 アンケートに対する，賛成p/反対(1-p)，という回答 不良率がpの，非常に大きい数の製品の集まりの中から，n 個の製品を無作為に取り出したとき，その中に含まれる不良 品の個数x pが0,1に極めて近い値でないならば， nが大きいとき正 規分布による近似が可能 13
- 14. 二項分布 正規分布による近似 回のコイン投げの分布 50回のコイン投げの分布 0.12 0.1 0.08 0.06 B(50,0.5) 0.04 0.02 0 14 0 10 20 30 40 50 60 -0.02
- 15. 世の中の現象って，だいた い正規分布になりそう． 「中心が一番高くて，左右対称」 他の分布を勉強する 必要ってあるの?? 15
- 16. 正規分布は万能?? 19世紀 正規分布は全ての現実現象をモデル化できる!! 「正規分布万能主義」 中心極限定理 同じ現象に従うデータはどんなものであれ， データの数を多くすれば正規分布になる． ガウス 20世紀以降 つまり，ほかの分布は勉強しなくていい!!ﾔﾀｰ!! 16 「それはうそだ．むしろ正規分布にならない方が多い!!」
- 17. その他の分布 正規分布が最も一般的であるが，全てを正規分布で表 せるわけではない． それぞれの分布が，それぞれ別々の現実現象を表す 確率モデルである． いろいろな分布を知っていれば，データの組が与えら れたとき，どのような分布に従うか推測，検証することが できる． 他の分布についてもお勉強するお 17
- 18. その他の分布を紹介する前に，，， 2つの分布の具体例をみた． では，より一般に，グラフの形はどう表されるのか?? 平均µ，分散 ，標本数nなどであらわされる． 文字は何でも良いが，伝統的にこれが使われる． 正規分布: 二項分布: ：値 オイラー数と呼ばれている． 例：平均0，分散1の正規分布 1.2のとき，f x 0.1942 18
- 19. N(0,1) 0.45 0.4 0.35 0.3 0.25 f(x)=0.1941 N(0,1) 0.2 0.15 0.1 0.05 0 -6 -4 -2 0 2 4 6 x=1.2 19
- 20. ポアソン分布 稀現象の生起回数 起こることが頻繁ではない事象の一定時間内の生起回数 １時間の交通事故の件数 １時間の機械の故障回数 １時間の電話の呼び出し回数 １枚の生地のキズの個数 どのようなグラフか？ 平均 ，分散 20 に従う分布．
- 21. ポアソン分布 ポアソン分布のグラフ 0.7 0.6 0.5 0.4 Po(1) Po(0.5) Po(2.0) 0.3 Po(10) 0.2 0.1 21 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
- 22. ポアソン分布 馬にけられて死んだプロシャ軍兵士の数 ポーランドの統計学者が20年間にわたり，ポロ者の10軍団で 1年間に馬にけられて死んだ兵士の数のデータを調べた． 年間の 1年間の 回数 確率 の P(0.61)の 死者数 確率 0 109 0.545 0.5434 1 65 0.325 0.3314 2 22 0.110 0.1011 3 3 0.015 0.0206 4 1 0.005 0.0031 5以上 0 0.000 0.0004 計 200 1.000 1.000 22
- 23. ポアソン分布 グラフにしてみると・・・ 0.6 0.5 0.4 0.3 確率 p(0.61) 0.2 0.1 0 0 1 2 3 4 5 6 ほぼ一致!! 23 ポアソン分布が稀現象のモデルになることが証明された．
- 24. でも，それって本当？ 偶然の一致じゃないの？ 数学的に証明でき る？？ たまたますごく似ているだけ ポアソン分布が稀な現象を 表す理由・・・ 24
- 25. ポアソン分布 稀現象の生起回数とは ~特徴~ 例：一定時間内の事故の件数 一定時間をn等分することを考える． １．nを十分大きくとれば，n等分された各区間で事故が2件 以上起こる可能性は無視できて，1回起こるか，または1回も 起こらないかのどちらかと考えられる．（稀少性） 2．各区間で事故が起こる確率はpである．（一定性） 3．ある区間で事故が起こるか否かは，他の区間で事故が起 こるか否かとは無関係である．（独立性） これは，二項分布に従うと考えられる． 25
- 26. ポアソン分布 二項分布の極限（npを一定にしたままnをとても大きく する）をとると，二項分布をポアソン分布で近似できる． ， 二項分布 ポアソン分布 つまり，ポアソン分布は二項分布の特殊な場合 （標本数nが大きいとき，二項分布の計算が非常に面倒になるから） “詳しくは，配布資料を参照のこと“ 26
- 27. 二項分布 正規分布で近似できない二項分布の例 p=0.01 (0に近い） B(50,0.01) 0.7 0.6 0.5 0.4 B(50,0.01) 0.3 0.2 0.1 0 0 5 10 15 20 27 ポアソン分布で近似できる．
- 29. 指数分布 ある一定時間に事故が起こる回数がポアソン分布に従 うならば，その生起間隔は指数分布に従う． 12 10 8 Ex(1) 6 Ex(0.2) Ex(2.0) Ex(10) 4 2 29 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
- 30. 指数分布 例：プロシャ軍のある兵士が馬に蹴られて死んだとき，3 年間誰も死なない確率は?? Ans. つまり，0.4567となる． “なぜ，このように計算できるのかは， 配布資料を参照のこと“ 30
- 32. 参考文献 「統計解析入門」 篠崎信雄著 サイエンス社 32
- 33. 配布資料 二項分布とポアソン分布 二項分布 ポアソン分布 証明 33
- 34. 配布資料 nが大きくなれば， は無視できるほど小さくなる 証明 オイラー数の定義 証明終了 34
- 35. 配布資料 指数分布の計算 1年間に馬に蹴られて死ぬ兵士の平均をθとすれば，a年間 に死ぬ兵士の数の平均はaθ． よって，a年間に兵士が一人も死なない確率は， 平均aθのポアソン分布で0という値の出る確率でり． で与えられる．兵士が一人が死んでから， 次の兵士が死ぬ までの時間をxで表すとすると， xがaより大きいということは，a年間に兵士が誰も死なない ということである．よって となるが，分布関数と確率密度関数の関係から，これはxが 35 指数分布に従うことを示している．