![Shape Sensitivity Analysis in Hyperbolic Problems
with non Smooth Domains
John Cagnol1, Université Léonard de Vinci, FST, DER-CS, 92916 Paris La
Défense Cedex, France, E-mail: John.Cagnol@devinci.fr
Jean-Paul Zolésio, CNRS, Ecole des Mines de Paris, 06902 Sophia Antipolis
Cedex, France. E-mail: Jean-Paul.Zolesio@sophia.inria.fr
Abstract
The control with respect to the domain is inherently not linear due to
the non linear structure of the set of domains. In this paper we investigate
the weak shape differentiability of the solution to the generalized wave
equation when the domain has a Lipschitz continuous boundary. By the
means of the “hidden regularity”, a result for C2
-boundary was obtained
recently, when the right hand side is in L2
. To extend that result to
Lipschitz continuous boundary, we first investigate the regularity of the
solution at the boundary. We need an exact estimate of the L2
-norm
of the normal derivative. Then, we build an increasing sequence of
smooth domains, and we establish the shape differentiability result as a
consequence of the situation for C2
-boundary.
1 Introduction
The control with respect to the domain is inherently not linear due to the non
linear structure of the set of domains. In this paper we investigate the sensitivity
of the solution of an hyperbolic PDE with respect to the domain. This analysis
is carried out with the wave equation with an homogeneous Dirichlet boundary
condition. The novelty lies in the absence of regularity of the domain with
respect to which the analysis is done. In a sense we extend the result presented
in [6] to the case of Lipschitz-continuous domains.
Let N ≥ 2 be an integer and D be a bounded domain of RN . Throughout
this paper Ω will be an open domain, star-shaped, included in D whose
boundary Γ is assumed to be Lipschitz continuous. Moreover we will assume Ω
has a bounded perimeter. The family of such domains Ω shall be denoted O.
1
At the time this paper was presented, the first author was at the University of Virginia,
Charlottesville, VA. Research supported by the INRIA under grant 1/99017.
1](https://image.slidesharecdn.com/60072-250408234021-14c0aff7/85/Control-of-Nonlinear-Distributed-Parameter-Systems-1st-Edition-Goong-Chen-12-320.jpg)
![2 Cagnol and Zolésio
Let T be a non negative real and I = [0, T] be the time interval. We
note Q =]0; T[×Ω the cylindrical evolution domain and Σ =]0, T[×Γ the lateral
boundary associated to any element Ω of the family O.
1.1 Shape Differentiability
Let E be the set of V ∈ C([0, S]; C1(D̄, RN )) with hV, n∂Di = 0 and free
divergence. For any V ∈ E we consider the flow mapping Ts(V ). At the point
x, V has the form as follows:
V (s)(x) =
∂
∂s
Ts
◦ T−1
s (x)
(1)
For each s ∈ [0, S[, Ts is a one-to-one mapping from D onto D such that
i) T0 = I
ii) s 7→ Ts belongs to C1([0; S[, C1(D̄; D̄)) with Ts(∂D) = ∂D
iii) s 7→ T−1
s belongs to C([0; S[, C1(D̄; D̄))
We refer to [8] and [9] for further discussion on such mappings.
The family O is stable under the perturbations Ω 7→ Ωs(V ) = Ts(V )(Ω). We
denote by Qs the perturbed cylinder ]0; T[×Ωs(V ), Γs = ∂Ωs and Σs =]0, T[×Γs
the perturbed lateral boundary.
Let m ≥ 1 be an integer. Let f ∈ L1(I, Hm(D)) with its m-th time-
derivative in L1(I, L2(D)). Let ϕ ∈ Hm+1(D) and ψ ∈ Hm(D). Let K be a
coercive and symmetric N × N-matrix whose coefficients belong to W2,∞(D).
To each element Ω ∈ O we associate the solution y = y(Ω) of the following
problem
∂2
t y − div (K∇y) = f on Q
y = 0 on Σ
y(0) = ϕ on Ω
∂ty(0) = ψ on Ω
(2)
Throughout this paper we shall note P the operator ∂tty − div (K∇).
A Galerking method proves
y ∈ H(I, Ω) = H1
(I, L2
(Ω)) ∩ L2
(I, H1
0 (Ω))
For any V ∈ E and s ∈ [0; S] we set ys = y(Ωs) ∈ L2(Qs). Following [5], [6],
[13] the mapping Ω 7→ y(Ω) is said to be shape differentiable in L2(I, Hm(D))
∃Y ∈ C1
([0; S], L2
(I, Hm
(D)))
(3)
Y (s, ·, ·)|Qs
= y(Ωs)
(4)](https://image.slidesharecdn.com/60072-250408234021-14c0aff7/85/Control-of-Nonlinear-Distributed-Parameter-Systems-1st-Edition-Goong-Chen-13-320.jpg)
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then ∂sY (0, ·, ·)|Q which is the restriction to Q of the derivative with respect
to the perturbation parameter s at s = 0 is independent of the choice of Y
verifying (3) and (4). (cf. [13]).
Definition 1.1 (shape derivative). The shape derivative is that unique
element
y0
(Ω; V ) =
∂
∂s
Y
s=0 (t,x)∈Q
∈ L2
(Q)
The weak shape differentiability can be defined analogously, replacing (3)
by the existence of Y in C1([0; S], L2
σ(I, Hm(D))).
1.2 Known Results for C2
-boundary
When the boundary is C2 it was proven in [11] that (2) has a unique solution
in
Zm
(I, Ω) = ∩m
i=0Ci
(I, Hm−i
(Ω))
In [5], [6] the question of the shape differentiability is solved for various
conditions of regularity of the data, but the domain Ω needs to be C2. The
main result was
Theorem 1.1 (Cagnol-Zolsio, 1997). Let m be a positive integer and
let Ω be a domain with a Cmax{m,2} boundary.
i) If m ≥ 1 then the solution to (2) is shape differentiable at Ω, strongly in
L2(I, Hm−1(D)).
ii) If m = 0 hen the solution to (2) is shape differentiable at Ω, weakly in
L1(I, L2(D)).
the shape derivative y0 ∈ Zm(I, Ω) and is solution to
∂2
t y0 − div (K∇y0) = 0 on Q
y0 = −∂y
∂n hV (0), ni on Σ
y0(0) = 0 on Ω
∂ty0(0) = 0 on Ω
(5)
1.3 Main Result
In this paper we extend the result of theorem 1.1 to the case of Lipschitz
continuous domains Ω. Problem (2) is well-posed and, as we said earlier, the
solution y lies in H(I, Ω). In [7] and [10] it is proven that the normal derivative
belongs to L2(Σ). That leads to the well-posedness of (5). Hence looking for
the shape derivative in the case of Lipschitz continuous boundaries makes sense.
In this paper we shall prove the following result
Theorem 1.2. When m = 0, the solution to problem (2) is weakly shape
differentiable at Ω in L1(I, L2(D)). The shape derivative y0 belongs to H(I, Ω)
and is solution to (5).](https://image.slidesharecdn.com/60072-250408234021-14c0aff7/85/Control-of-Nonlinear-Distributed-Parameter-Systems-1st-Edition-Goong-Chen-14-320.jpg)
![4 Cagnol and Zolésio
Remark 1.1. When m ≥ 1, the result can be improved to a weak
differentiability in L∞(I, L2(D)).
2 Mollification of the Domain
Given a Lipschitz continuous domain Ω, we build an increasing sequence
of smooth sub-domains converging to Ω with Haussdorf convergence of the
boundaries. See also [12].
2.1 Properties of Lipschitz Continuous Domains
Definition 2.1. An open set Ω ⊂ RN is said to have the cone property if
∃R 0, ∃θ ∈]0,
π
2
[, ∀x ∈ ∂Ω, ∃d, Cx(R, θ, d) ⊂ Ω
where Cx(R, θ, d) is the interior of a cone of revolution with the vertex at x,
height R cos(θ/2) and the axis pointing toward the versor d.
When Ω has a Lipschitz continuous boundary then Ω and RN r Ω have
the cone property (cf. [1], [2]). Let R(Ω) and θ(Ω) be the parameters arising
from the cone condition on Ω and R(RN rΩ) and θ(RN rΩ) be the parameters
arising from the cone condition on RN rΩ. We note R = min(R(Ω), R(RN rΩ))
and θ = min(θ(Ω), θ(RN r Ω)).
Remark 2.1. The reals R and θ do not depend on x.
Lemma 2.1. Let |X| denote the measure of X,
∃M−
0, ∃M+
1, ∀κ ≥
1
R
, ∀x ∈ ∂Ω,
M−
κN
≤ Ω ∩ B
x,
1
κ
≤
M+
κN
Proof. Let x ∈ ∂Ω, the cone property yields the existence of a versor d such
that Cx(1
κ , θ, d) ⊂ Ω. Since 1
κ R we get
Cx
1
κ
, θ, d
⊂ Ω ∩ B
x,
1
κ
Let B(p) be the volume of the p-th dimensional ball of radius 1. We refer to [3,
pp. 208–210] for an expression of B(p) as a function of p. The volume of the
p-th dimensional ball of radius r is B(p)rp. Then, the volume of Cx(1
κ, θ, d) is
1
N
1
κ cos(θ/2)B(N − 1)(1
κ )N−1 hence
Ω ∩ B
x,
1
κ
≥
1
N
1
κ
cos(θ/2)B(N − 1)
1
κ
N−1
therefore
Ω ∩ B
x,
1
κ
≥
M−
κN](https://image.slidesharecdn.com/60072-250408234021-14c0aff7/85/Control-of-Nonlinear-Distributed-Parameter-Systems-1st-Edition-Goong-Chen-15-320.jpg)
![Sh. Sensitivity Analysis in Hyperbolic Pb. with non Smooth Domains 5
with M− = 1
N cos(θ/2)B(N − 1).
Considering the cone property for RN r Ω yields the existence of M 0
such that (RN r Ω) ∩ B(x, 1
κ )| ≥ M
κN . Let M+ = 1 − M, we obtain
Ω ∩ B
x,
1
κ
≤
M+
κN
Let χ be the characteristic function of Ω and (ρκ) be a mollifier. Let us
note ξκ = χ ∗ ρκ.
Proposition 2.1. There exists M− 0 and M+ 1 such that
∀κ ≥
1
R
, ∀x ∈ ∂Ω, M−
≤ ξκ(x) ≤ M+
Proof. One has ξκ(x) =
R
R2 χ(t)ρκ(t − x) dt hence ξκ(x) =
R
Ω ρκ(t − x) dt.
thus
ξκ(x) =
Z
Ω∩B(x, 1
κ
)
ρκ(t − x) dt
Using the symmetry property of ρκ we get
ξκ(x) =
Ω ∩ B(x, 1
κ )
B(x, 1
κ)
Z
B(0, 1
κ
)
ρκ(t) dt
Lemma 2.1 applies and gives the result.
Lemma 2.2. supp ξκ = Ω + B(0, 1
κ ) and supp (1 − ξκ) = (RN r Ω) + B(0, 1
κ)
Proof. The lemma is a consequence of supp(χ ∗ρκ) ⊂ supp χ + suppρκ. We
use χ ≥ 0 and ρκ ≥ 0 to prove the first equality. The second equality can be
proven by the same techniques.
Proposition 2.2. Let κ ≥ 1
R and x ∈ RN then
ξκ(x) M+
=⇒ x ∈ Ω
ξκ(x) M−
=⇒ x 6∈ Ω
Proof. From proposition 2.1 we have
ξ−1
κ (]M+
, +∞[) ∩ ∂Ω = ∅
therefore ξ−1
κ (]M+, +∞[) ⊂ Ω or ξ−1
κ (]M+, +∞[) ⊂ RN r Ω. Elements x of Ω
whose distance to the boundary is more than 1
κ satisfy ξκ(x) = 1 thus
ξ−1
κ (]M+
, +∞[) ⊂ Ω
Analogous arguments show that ξ−1
κ (] − ∞, M−[) ⊂ RN r Ω.](https://image.slidesharecdn.com/60072-250408234021-14c0aff7/85/Control-of-Nonlinear-Distributed-Parameter-Systems-1st-Edition-Goong-Chen-16-320.jpg)
![6 Cagnol and Zolésio
2.2 Definitions and Preliminary Results
Let Gκ ⊂ RN × R be the graph of ξκ. Since ξκ is C∞, the set Gκ is a C∞
manifold. We note
π1 : RN
× R : (x, y) 7→ x
π2 : RN
× R : (x, y) 7→ y
The restriction of π2 to Gκ is injective. We note
Γ(κ, t) =
π1 ◦ π2|Gκ
−1
(t) ⊂ RN
Lemma 2.3. Let κ be a positive integer and α and β be two reals such that
0 ≤ α β ≤ 1. There exists t ∈]α, β[ such that Γ(κ, t) is C∞.
Proof. From the Sard’s theorem, the image of the critical points of πκ
2 has
measure 0 in R. Hence there exists t ∈]α, β[ such that (π2|Gκ
)−1 is not critical,
therefore (Γ(κ, t), t) is regular and Γ(κ, t) is C∞.
For a real t provided by lemma 2.3, let Ω(κ, t) = (π1 ◦(π2|Gκ
)−1)(]t, +∞[) ⊂
RN be the level set, then ∂Ω(κ, t) = Γ(κ, t).
Corollary 2.1. Under the hypothesis of lemma 2.3, there exists t ∈]α, β[
such that Ω(κ, t) is C∞.
2.3 Construction of a Sequence
The purpose of this section is to build an isotonic sequence of domains (Ωk)k≥0,
whose projective limit is Ω. Let α M+.
Construction of the first term: Let κ0 be an integer larger that 1
R . Let
β0 = 1, from lemma 2.3 there exists t ∈]α, β0[ such that Ω(κ0, t) is C∞. Let us
note Ω0 = Ω(κ0, t) and β1 = t. The set Ω0 built that way satisfies
Ω0
⊂ Ω
moreover the distance d0 = d(ξ−1
κ0
(M+), ξ−1
κ0
(t)) 0.
Construction of the next terms: Let κ1 ≥ max(κ0 + 1, 1
d0
). There exists
t ∈]α, β1[ such that Ω(k1, t) is C∞. Let Ω1 = Ω(κ1, t) and β2 = t. We have
Ω1
⊂ Ω
Since ξκ1 (x) = 1 for all x whose distance to the boundary of Ω is less than d0
we have ξκ1 (x) = 1 for all x ∈ Ω0 hence
Ω0
⊂ Ω1
Let d1 = d(ξ−1
κ0
(M+), ξ−1
κ1
(t)) 0. Then we build Ω2 and so on so forth.
For each k ≥ 0, Γk = Γ(kκ, βκ) which is also the boundary of Ωk.](https://image.slidesharecdn.com/60072-250408234021-14c0aff7/85/Control-of-Nonlinear-Distributed-Parameter-Systems-1st-Edition-Goong-Chen-17-320.jpg)
![Sh. Sensitivity Analysis in Hyperbolic Pb. with non Smooth Domains 7
2.4 Properties
Proposition 2.3. The sequence (Ωk)k≥0 has the subsequent properties
i) It is an increasing sequence of domains
ii) The limit ∪+∞
k=0Ωk is equal to Ω
Proof.
i) This is a consequence of the construction
ii) Since Ωk ⊂ Ω it is obvious that ∪+∞
k=0Ωk ⊂ Ω. Let x ∈ Ω, since Ω is
open there exists r 0 such that B(x, r) ⊂ Ω. Let k be such that
κk ≥ max(1
r , k0) then ξk(x) = 1 hence x ∈ Ωk. It follows Ω ⊂ ∪+∞
k=0Ωk.
Proposition 2.4. Let K be a compact subset of Ω, there exists k ≥ k0 such
that K ⊂ Ωk.
Proof. Let r be the distance between K and Ω. Let k be such that
κk ≥ max(1
r , κ0) then for all x ∈ K we have ξκk
(x) = 1 hence x ∈ Ωk.
2.5 Mollification of the Transported Domain
Transported domains Ωs = Ts(Ω) were considered in the introduction. They
are Lipschitz continuous so the construction which has been performed with Ω
can be repeated for those domains. That yields an isotonic sequence of domains
(Ωk
s)k≥0 which tends to Ωs. Property 2.4 holds when replacing Ω by Ωs. Once
s is given, all subsequent properties on Ω will hold for Ωs as well.
Remark 2.2. There is no reason to have Ts(Ωk) = Ωk
s.
Let Qk
s = I × Ωk
s, Γk
s = ∂Ωk
s and Σk
s = I × Γk
s. We shall note yk
s the solution
of the problem
∂2
t y − div (K∇yk
s ) = f on Qk
s
yk
s = 0 on Σk
s
yk
s (0) = ϕ on Ωk
s
∂tyk
s (0) = ψ on Ωk
s
(6)
3 Continuity Result for the Wave Equation
In this section and the next one, we suppose m = 0, that is
f ∈ L1
(I, L2
(D)), ϕ ∈ H1
(D), ψ ∈ L2
(D)
The aim of this section is to prove the solution to the wave equation in the
mollified domain tends to the solution of the wave equation in the Lipschitz
continuous domain. It is not a general continuity result (see [4]) since it
only works with the sequence of domain built in the previous section. In the
next section, that convergence will turn out to be enough to prove the shape
differentiability result that we are looking for.](https://image.slidesharecdn.com/60072-250408234021-14c0aff7/85/Control-of-Nonlinear-Distributed-Parameter-Systems-1st-Edition-Goong-Chen-18-320.jpg)
![8 Cagnol and Zolésio
3.1 Weak Convergence
For k ≥ 0 we note Qk = I × Ωk and Σk = I × Γk. Let us consider
Pyk = f on Qk
yk = 0 on Σk
yk(0) = ϕ on Ωk
∂tyk(0) = ψ on Ωk
(7)
That problem has a unique solution in Z1(I, Ωk).
The energy estimate gives the subsequent lemma (see [6, lemma 5]) Lemma
3.1. Let O be an open C2 domain in D and µ ∈ Z2(I, O). We note
a(µ) = kPµkL1(I,L2(O)) and b(µ) =
Z
O
(K∇µ(0).∇µ(0) + (∂tµ(0))2
)dx
then
k∂tµkL∞(I,L2(O)) ≤ 2a(µ) +
p
b(µ)
(8)
kµkL∞(I,H1
0 (O)) ≤ 2a(µ) +
p
b(µ)
(9)
Proposition 3.1. Let O be an open C2 domain in D and µ ∈ Z1(I, O)
with Pµ ∈ L1(I, L2(Ω)). With the notations of lemma 3.1, identities (8) and
(9) hold.
Proof. This proposition is a consequence of lemma 3.1, the the density of
Z2(I, O) in Z1(I, O) and the continuity of the wave equation with respect to
the data.
The hypothesis of that proposition are satisfied for O = Ωk and µ = yk.
Let us note
ak
= kfkL1(I,L2(Ωk)) and bk
=
Z
Ωk
(K∇ϕ.∇ϕ + ψ2
)dx
then
k∂tyk
kL∞(I,L2(Ωk)) ≤ 2ak
+
√
bk
kyk
kL∞(I,H1
0 (Ωk)) ≤ 2ak
+
√
bk
Let a∗ = kfkL1(I,L2(D)) and b∗ =
R
D(K∇ϕ.∇ϕ + ψ2)dx then for all k we have
ak ≤ a∗ and bk ≤ b∗. Moreover yk can be extended by 0 on RN r Ωk. hence
kyk
kW 1,∞(I,L2(Ω))∩L∞(I,H1
0 (Ω)) ≤ 2a∗
+
√
b∗](https://image.slidesharecdn.com/60072-250408234021-14c0aff7/85/Control-of-Nonlinear-Distributed-Parameter-Systems-1st-Edition-Goong-Chen-19-320.jpg)
![10 Cagnol and Zolésio
Lemma 3.3. One has
kykH(I,Ω) = TE∞(0) +
Z T
0
Z
Ω
(T − τ)f∂ty
kyk
kH(I,Ωk) = TEk(0) +
Z T
0
Z
Ωk
(T − τ)f∂tyk
Proof. We shall do the proof for the second identity, the proof of the first
one is analogous. The energy estimates gives
∂tEk(t) =
Z
Ωk
f∂ty
this gives Ek(τ) = Ek(0) +
R τ
0
R
Ωk Pyk ∂tyk we get
kyk
kH(I,Ωk) =
Z T
0
Ek(τ) dτ = TEk(0) +
Z T
0
Z τ
0
Z
Ωk
Pyk
∂tyk
Proposition 3.5. When k tends to +∞ we have
kyk
kH(I,Ω) → kykH(I,Ω)
Proof. Lemma 3.2 and proposition 3.4 give
TEk(0) +
Z T
0
Z
Ωk
(T − τ)f∂ty → E∞(0) +
Z T
0
Z
Ω
(T − τ)f∂ty
lemma 3.3 yields
kyk
kH(I,Ωk) → kykH(I,Ω)
since (Ωk) is an increasing sequence of domains and yk is extend by 0 out of Ωk
we get
kyk
kH(I,Ωk) = kyk
kH(I,Ω)
Corollary 3.1. We have
yk
→ y strongly in H(I, Ω) as Qk
→ Q
Remark 3.2. The same proof gives
yk
s → ys strongly in H(I, Ωs) as Qk
s → Qs
for all s ∈ [0, S].](https://image.slidesharecdn.com/60072-250408234021-14c0aff7/85/Control-of-Nonlinear-Distributed-Parameter-Systems-1st-Edition-Goong-Chen-21-320.jpg)
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4 Shape Differentiability
4.1 Absolute Continuity
Let θ ∈ L1(I, L2(D)), we note
hk
(s) =
Z
Qk
s
yk
s θ dx dt
h(s) =
Z
Qs
yθ dx dt
the shape differentiability for smooth domains gives
h0k
(s) =
Z
Qk
s
y0
sθ dx dt
Let ȳ be the solution to the subsequent well-posed problem
P(ȳ) = 0 on Q
ȳ = −∂y
∂n hV (0), ni on Σ
ȳ(0) = 0 on Ω
∂tȳ(0) = 0 on Ω
(12)
at this point we do not know that ȳ is the shape derivative of the state function
y, and it is precisely what we are going to prove. Let us note
h̄(s) =
Z
Qs
ȳsθ dx dt
The absolute continuity of hk gives
∀k ∈ N∗
, ∀s ∈ [0, S], hk
(s) = hk
(0) +
Z s
0
h0k
(σ) dσ
(13)
From proposition 3.4, the left hand side and the first term of the right hand
side converge to h(s) and h(0) respectively. To prove the absolute continuity of
h it is sufficient to prove that
R s
0 h0k(σ) dσ converges to
R s
0 h̄(σ) dσ as k tends
to +∞. To achieve that goal let us introduce the following adjoint problem
P(Λk
s ) = θ on Qk
s
Λk
s = 0 on Σk
s
Λk
s(T) = 0 on Ωk
s
∂tΛk
s(T) = 0 on Ωk
s
(14)
From proposition 3.1 we get
Λk
s → Λs strongly in H(I, Ωs) as Qk
s → Qs](https://image.slidesharecdn.com/60072-250408234021-14c0aff7/85/Control-of-Nonlinear-Distributed-Parameter-Systems-1st-Edition-Goong-Chen-22-320.jpg)
![12 Cagnol and Zolésio
Following [6] we have
Lemma 4.1. Let Ks = (DTs)−1(K ◦ Ts)(∗DT−1
s ) then
h0k
(s) =
1
4
Z
Σk
s
∂(yk
s + Λk
s )
∂nk
s
2
−
∂(yk
s − Λk
s )
∂nk
s
2
!
D
Ksnk
s , nk
s
E D
V (s), nk
s
E
dΓ dt
For the sake of shortness we suppose K = I. Following [6] we have
Lemma 4.2. Let µk
s ∈ L2(I, H1
0 (Ωk
s )) ∩ H1(I, L2(Ωk
s )) such that Pµk
s ∈
L2(Qk
s ) then
Z
Σk
s
∂µk
s
∂nk
s
2 D
V (s), nk
s
E
=
−2
Z
Ωk
s
∂tµk
s (0)
D
∇µk
s(0), V (s)(0)
E
−
Z
Qk
s
D
(div (V (s) − 2ε(V ))∇µk
s , ∇µk
s
E
−2
Z
Qk
s
Pµk
s
D
∇µk
s, V (s)
E
+
Z
Qk
s
∂tµk
s
2
div (V − s) − 2∂tµk
s
D
∇µk
s, V (s)
E
Let µk
s,α = yk
s + αΛk
s with α ∈ {−1; 1}. It satisfies the hypothesis of lemma
4.2 since Pyk
s = f and PΛk
s = θ, Moreover yk
s and Λk
s as well as their time
derivative and its gradient vanish on Ωs rΩk
s, therefore the integrals on Ωk
s and
Qk
s of lemma 4.2 can be replaced by integrals on Ωs and Qs respectively. It
follows that h̄k(s) converges to
Z
Σs
∂(ys + Λs)
∂ns
2
−
∂(ys − Λs)
∂ns
2
!
hKsns, nsi hV (s), nsi dΓ dt
it follows the
Proposition 4.1. One has
lim
k→+∞
h̄k
(s) = h0
(s)
From lemma 3.1, the real hk(s) is dominated by a constant independent of
s and k. Since ak
s and bk
s are bounded by a∗ and b∗ respectively.
Corollary 4.1. The function h is absolutely continuous.
4.2 Differentiability
Lemma 4.3. When s → 0 one has
ys * y in H1
(I × D)
Proof. Proposition 3.1 works with O = Ωs and µ = ys. Since we extend ys
by zero out of Ωs we get
kyskW 1,∞(I,L2(D))∩L∞(I,H1(D)) ≤ 2a∗
+
√
b∗](https://image.slidesharecdn.com/60072-250408234021-14c0aff7/85/Control-of-Nonlinear-Distributed-Parameter-Systems-1st-Edition-Goong-Chen-23-320.jpg)
![Sh. Sensitivity Analysis in Hyperbolic Pb. with non Smooth Domains 13
Since a∗ and b∗ depend only on the hold-all D, we extract a subsequence
converging to an element y∗. The last point to be proven is that y∗ is solution
of (2). Even though we do not have an isotonic sequence, property 2.4 holds
when replacing Ωk by Ωs and “k large enough” by “s small enough”. The only
problem is to prove y∗ vanishes on the lateral boundary Σ. Let dX denote
the distance to the set X. The convergence of the boundary gives dΩs → dΩ
strongly in L2(I × D), hence
dΩs ys → dΩy
in L2(I × D) as s → 0. Since ys = 0 on D r Ω̄s and dΩs = 0 on Ωs, we get
dΩy = 0 hence y = 0 almost everywhere in DrΩ. As Ω is Lipschitz continuous,
it has the Keldysh stability property, therefore y = 0 quasi everywhere in DrΩ̄.
That yields y = 0 on ∂(D r Ω̄). We end up with y∗ = 0 on Σ.
Proposition 4.2. When s → 0 one has
ys → y strongly in H1
(I × D)
Proof. The proof is based on the ideas of section 3.2. The energy to be
considered is
1
2
Z
Ωs
hK∇ys(t), ∇ys(t)i + (∂tys(t))2
Again, we do not have an isotonic sequence, however because Ωs is the image
of Ω by the flow mapping Ts, each compact of Ω is included in Ωs for s small
enough. We derive kyskH(I,Ωs) → kykH(I,Ω) when s → 0. That leads to
kyskH(I,D) → kykH(I,D).
Since a∗ and b∗ depend only on D, the domination of kyskH(I,D) is
straightforward. That proves
lim
s→0
h̄(s) = h̄(0)
That gives the weak shape differentiability in L1(I, L2(D)) of the state function.
Remark 4.1. When m = 0, taking θ ∈ L∞(I, L2(Ω)) is required because
the weak shape differentiability for C2-boundary takes place in L1(I, L2(Ωk)).
When m ≥ 1, the test θ can be taken L1(I, L2(θ)), that leads to the shape
differentiability in L∞(I, L2(D)) of the state function.
References
[1] S. Agmon, Lectures on Elliptic Boundary Value Problems, Van Nostrand Mathe-
matical Studies, 1965.](https://image.slidesharecdn.com/60072-250408234021-14c0aff7/85/Control-of-Nonlinear-Distributed-Parameter-Systems-1st-Edition-Goong-Chen-24-320.jpg)
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[13] J.-P. Zolésio, Introduction to shape optimization and free boundary problems, in
Shape Optimization and Free Boundaries, M. C. Delfour, ed., vol. 380 of NATO
ASI, Series C: Mathematical and Physical Sciences, Kluwer Academic Publishers,
1992, pp. 397–457.](https://image.slidesharecdn.com/60072-250408234021-14c0aff7/85/Control-of-Nonlinear-Distributed-Parameter-Systems-1st-Edition-Goong-Chen-25-320.jpg)
![16 Chen et al.
1 Introduction
In this paper, we study a special property of chaotic vibration of the
wave equation, that of unbounded growth of total variations of snapshots
(wx(·, t), wt(·, t)) on the spatial interval of the one-dimensional (1D) wave
equation as t → ∞.
Earlier, in a series of papers [3–6], we have studied chaotic vibration of the
1D wave equation
wxx(x, t) − wtt(x, t) = 0, 0 x 1, t 0,
(1.1)
subject to the following boundary conditions
left-end x = 0: wt(0, t) = −ηwx(0, t), η 0, η 6= 1, t 0;
(1.2)
right-end x = 1: wx(1, t) = αwt(1, t) − βw3
t (1, t), 0 α ≤ 1, β 0,
(1.3)
where the boundary condition (1.2) signifies energy injection or pumping into
the system, while (1.3) signifies a feedback with cubic nonlinearity of the van
der Pol type. Note that in (1.1) we have set the spatial domain to be the unit
interval I ≡ (0, 1) just for convenience. Two initial conditions
w(x, 0) = w0(x), wt(x, 0) = w1(x), 0 x 1,
(1.4)
are also prescribed. Then it was established in [5] that for fixed α, β, the
composite reflection map Gη ◦ Fα,β : ¯
I → ¯
I is chaotic (cf. [5, (9)–(12)] or
(1.9)–(1.10) below for Gη and Fα,β) and, therefore, for initial conditions (1.4)
of generic type, (wx(x, t), wt(x, t)) displays chaotic behavior. Here, we follow
Devaney’s definition of chaos [8]; see also [2].
To make this paper sufficiently self-contained, let us repeat the solution
procedure for (1.1)–(1.4) from [4] using the method of characteristics. Define
u(x, t) =
1
2
[wx(x, t) + wt(x, t)], v(x, t) =
1
2
[wx(x, t) − wt(x, t)].
(1.5)
Then (u, v) satisfies the following initial-boundary value problem (IBVP), a
first-order diagonalized symmetric hyperbolic system
∂
∂t
u(x, t)
v(x, t)
=
1 0
0 −1
∂
∂x
u(x, t)
v(x, t)
, 0 x 1, t 0,
(1.6)
with boundary conditions
[u(0, t) − v(0, t)] = −η[u(0, t) + v(0, t)],
(1.7)
u(1, t) + v(1, t) = α[u(1, t) − v(1, t)] + β[u(1, t) − v(1, t)]3
.
(1.8)](https://image.slidesharecdn.com/60072-250408234021-14c0aff7/85/Control-of-Nonlinear-Distributed-Parameter-Systems-1st-Edition-Goong-Chen-27-320.jpg)
![Unbounded Growth of Total Variations 17
The algebraic equations (1.7) and (1.8) define the reflection relations
v(0, t) = Gη(u(0, t)) ≡
1 + η
1 − η
u(0, t),
(1.9)
u(1, t) = Fα,β(v(1, t)),
(1.10)
at, respectively, the left-end x = 0 and the right-end x = 1, where in (1.10),
Fα,β : R → R is a nonlinear mapping such that for each given v ∈ R, u ≡ Fα,β(v)
is the unique real solution of the cubic equation
β(u − v)3
+ (1 − α)(u − v) + 2v = 0.
(1.11)
The initial conditions are now
u(x, 0) = u0(x) = 1
2[w0
0(x) + w1(x)],
v(x, 0) = v0(x) = 1
2[w0
0(x) − w1(x)],
0 x 1.
(1.12)
From time to time, we also need that u0 and v0 satisfy the compatibility
conditions
v0(0) = Gη(u0(0)), u0(1) = Fα,β(v0(1)).
(1.13)
Using the maps Fα,β and Gη, we can represent the solution (u, v) of (1.6)
explicitly as follows [5, (13), (14), p. 425]: for t = 2k + τ, k = 0, 1, 2, . . . ,
0 ≤ τ 2 and 0 ≤ x ≤ 1,
u(x, t) =
(Fα,β ◦ Gη)k(u0(x + τ)), τ ≤ 1 − x,
G−1
η ◦ (Gη ◦ Fα,β)k+1(v0(2 − x − τ)), 1 − x τ ≤ 2 − x,
(Fα,β ◦ Gη)k+1(u0(τ + x − 2)), 2 − x τ 2;
v(x, t) =
(Gη ◦ Fα,β)k(v0(x − τ)), τ ≤ x,
Gη ◦ (Fα,β ◦ Gη)k(u0(τ − x)), x τ ≤ 1 + x,
(Gη ◦ Fα,β)k+1(v0(2 + x − τ)), 1 + x τ 2,
(1.14)
where (Gη◦Fα,β)n = (Gη◦Fα,β)◦(Gη◦Fα,β)◦· · ·◦(Gη◦Fα,β), the n-times iterative
composition of Gη ◦ Fα,β. Since the solution representation (1.14) depend on
(Gη ◦ Fα,β)n, it constitutes a natural Poincaré section for the solution of (1.6).
We say that the solution of (1.6) is chaotic if the map Gη ◦ Fα,β : ¯
I → ¯
I (or
Gη ◦ Fα,β : I → I, where I is an invariant subset of Gη ◦ Fα,β contained in ¯
I)
is chaotic. Since (wx, wt) is topologically conjugate to (u, v) in the sense of [4,
§5], we also say that the gradient w of the system (1.1)–(1.4) is chaotic.
The orbit diagram of the map Gη ◦ Fα,β, where α and β are held fixed, say
α = 1/2, β = 1, and only η is varying, can be seen from [5, Fig. 3, p. 433] (for
0 η 1) and [5, Fig. 4, p. 434] (for η 1), wherein period-doubling cascades
are manifest. For the purpose of making this paper sufficiently self-contained,](https://image.slidesharecdn.com/60072-250408234021-14c0aff7/85/Control-of-Nonlinear-Distributed-Parameter-Systems-1st-Edition-Goong-Chen-28-320.jpg)
![18 Chen et al.
we reproduce these two figures in Figs. 1 and 2, respectively. Furthermore, the
existence of homoclinic orbits has been established for the parameter range
1 −
1 + α
3
√
3
.
1 +
1 + α
3
√
3
≤ η 1, 1 η ≤
1 +
1 + α
3
√
3
.
1 −
1 + α
3
√
3
.
(1.15)
See [5, Theorems 4.1 and 4.2, pp. 436–439].
Let us now observe a few snapshots of the solution (u, v) of (1.6)–(1.12).
Choose initial conditions
w(x, 0) = 0.2 sin
π
2
x
, wt(x, 0) = 0.2 sin(πx), x ∈ [0, 1],
(1.16)
and, thus
u0(x) = (0.1) ·
hπ
2
cos
π
2
x
+ sin(πx)
i
, v0(x) = (0.1) ·
hπ
2
cos
π
2
x
− sin πx
i
(1.17)
are the initial conditions for (1.6)–(1.12). We display the snapshots of u(·, t)
and v(·, t) using (1.14) in Figs. 3∼8, with the following parameter values:
α = 0.5, β = 1,
(1.18)
Figs. 3 ∼ 4 : η = 0.525, t = 52,
(1.19)
Figs. 5 ∼ 6 : η = 0.525, t = 102,
(1.20)
Figs. 7 ∼ 8 : η = 1.52 t = 52.
(1.21)
For the value η = 0.525 used for Figs. 3–6, the map Gη ◦Fα,β has just completed
its period-doubling cascade, as can be seen from the orbit diagram [5, Fig. 3,
loc. cit.]. Regarding the profiles of u and v, we see that as t increases from
t = 52 in (1.19) to t = 102 in (1.20), there is a very noticeable increase of
“oscillatory ripples” from Figs. 3∼4 to Figs. 5∼6 (with the presence of some
“macroscopically coherent periodic structure”). Let us further look at Figs. 7
and 8, where for the parameter value η = 1.52 in (1.21), (1.15) implies the
existence of a homoclinic orbit (cf. (1.15)2); the profiles of u and v therein
look extremely oscillatory at time t = 52, resembling something akin to “white
noise”, along with the disappearance of any coherent patterns.
The highly oscillatory behavior of u and v as displayed in these figures
motivated us to pose the following question:
“[Q] Assume that the composite reflection map Gη ◦ Fα,β is chaotic. Does
there exist a large class of initial conditions (u0, v0) for (1.6), (1.9), (1.10),
and (1.12) such that V¯
I(u0, v0) ∞ but
lim
t→∞
[V¯
I((u(·, t)) + V¯
I(v(·, t))] = ∞?”
(1.22)
In (1.22), V[a,b](f) denotes the total variation of a given function f on interval
[a, b]; see the definition in [1, p. 165], for example.](https://image.slidesharecdn.com/60072-250408234021-14c0aff7/85/Control-of-Nonlinear-Distributed-Parameter-Systems-1st-Edition-Goong-Chen-29-320.jpg)
![20 Chen et al.
Fig. 3. The profile of u(x, t)
u(x, t)
u(x, t) at t = 52
t = 52
t = 52, with α = 0.5
α = 0.5
α = 0.5, β = 1, η = 0.525
β = 1, η = 0.525
β = 1, η = 0.525, for the
system (1.6), (1.7), (1.8) and (1.17). (Reprinted from [5, p. 436], courtesy of World
Scientific, Singapore.)
Fig. 4. The profile of v(x, t)
v(x, t)
v(x, t) at t = 52
t = 52
t = 52, with α = 0.5, β = 1, η = 0.525
α = 0.5, β = 1, η = 0.525
α = 0.5, β = 1, η = 0.525, for the
system (1.6) (1.7), (1.8) and (1.17). (Reprinted from [5, p. 346], courtesy of World
Scientific, Singapore.)](https://image.slidesharecdn.com/60072-250408234021-14c0aff7/85/Control-of-Nonlinear-Distributed-Parameter-Systems-1st-Edition-Goong-Chen-31-320.jpg)
![Unbounded Growth of Total Variations 21
Fig. 5. The profile of u(x, t)
u(x, t)
u(x, t) at t = 102
t = 102
t = 102, with α = 0.5, β = 1, η = 0.525
α = 0.5, β = 1, η = 0.525
α = 0.5, β = 1, η = 0.525, for the
system (1.6) (1.7), (1.8) and (1.17). (Reprinted from [5, p. 437], courtesy of World
Scientific, Singapore.) The chaos here is due to the period-doubling cascade.
Fig. 6. The profile of v(x, t)
v(x, t)
v(x, t) at t = 102
t = 102
t = 102, with α = 0.5, β = 1, η = 0.525
α = 0.5, β = 1, η = 0.525
α = 0.5, β = 1, η = 0.525, for the
system (1.6) (1.7), (1.8) and (1.17). (Reprinted from [5, p. 437], courtesy of World
Scientific, Singapore.) As with Fig. 5, the chaos here is due to the period-doubling
cascade.](https://image.slidesharecdn.com/60072-250408234021-14c0aff7/85/Control-of-Nonlinear-Distributed-Parameter-Systems-1st-Edition-Goong-Chen-32-320.jpg)
![22 Chen et al.
Fig. 7. The profile of u(x, t)
u(x, t)
u(x, t) at t = 52
t = 52
t = 52, with α = 0.5, β = 1, η = 1.52
α = 0.5, β = 1, η = 1.52
α = 0.5, β = 1, η = 1.52, for the
system (1.6) (1.7), (1.8) and (1.17). (Reprinted from [5, p. 442], courtesy of World
Scientific, Singapore.) The chaos here is due to a homoclinic orbit of Gη ◦ Fα,β
Gη ◦ Fα,β
Gη ◦ Fα,β.
Fig. 8. The profile of v(x, t)
v(x, t)
v(x, t) at t = 52
t = 52
t = 52, with α = 0.5, β = 1, η = 1.52
α = 0.5, β = 1, η = 1.52
α = 0.5, β = 1, η = 1.52, for the
system (1.6) (1.7), (1.8) and (1.17). (Reprinted from [5, p. 442], courtesy of World
Scientific, Singapore.) As with Fig. 7, the chaos here is due to a homoclinic orbit of
Gη ◦ Fα,β
Gη ◦ Fα,β
Gη ◦ Fα,β.](https://image.slidesharecdn.com/60072-250408234021-14c0aff7/85/Control-of-Nonlinear-Distributed-Parameter-Systems-1st-Edition-Goong-Chen-33-320.jpg)
![Unbounded Growth of Total Variations 23
In this paper, we give some informative answers to the question [Q] posed
above.
The rest of the paper is divided into three parts. In §2, we present a few
facts about linear vibration in order to show the contrasts between linearity and
nonlinearity. The main theorems are established in §3. In §4, miscellaneous
discussions are given. A useful proposition, which was used in §2, is given
separately in the Appendix near the end of the paper.
2 Bounds on the Total Variation of (u(·, t), v(·, t))
(u(·, t), v(·, t))
(u(·, t), v(·, t)) of the Linear
Wave Equation as t → ∞
t → ∞
t → ∞
Consider the wave equation (1.1), but with linear boundary conditions such
as
left-end x = 0 : w(0, t) = 0, t 0,
(2.1)
right-end x = 1 : wx(1, t) = 0, t 0,
(2.2)
in lieu of (1.2) and (1.3). Let the initial conditions satisfy
w(x, 0) = w0(x) ∈ H1
0 (0, 1), wt(x, 0) = w1(x) ∈ L2
(0, 1),
(2.3)
where
H1
0 (0, 1) = {f : (0, 1) → R | f(0) = 0; f, f0
∈ L2
(0, 1)}
is a Sobolev space with norm
kfkH1
0 (0,1) =
Z 1
0
(f2
+ f02
)dx
1/2
.
Then for the system (1.1), (2.1)–(2.3), the energy
E(t) =
1
2
Z 1
0
[w2
x(x, t) + w2
t (x, t)]dx
(2.4)
is conserved and, therefore, we have the estimate
kw(·, t)kH1
0 (0,1) + kwt(·, t)kL2(0,1) ≤ C(kw0kH1
0 (0,1) + kw1kL2(0,1))
(2.5)
for some constant C 0 independent of (w0, w1). This type of Sobolev
estimates is quite well known for the IBVP of the linear wave equation.
Not so well known are similar types of estimates in terms of total variations
for the linear wave equation. Let us convert (1.1), and (2.1)–(2.3) into a first-
order diagonalized symmetric hyperbolic system (1.6) through (1.5). Then (2.1)
and (2.2) lead to the reflection relations
v(0, t) = G(u(0, t)) ≡ u(0, t), u(1, t) = F(v(1, t)) ≡ −v(1, t), t 0.
(2.6)](https://image.slidesharecdn.com/60072-250408234021-14c0aff7/85/Control-of-Nonlinear-Distributed-Parameter-Systems-1st-Edition-Goong-Chen-34-320.jpg)
![24 Chen et al.
Assume that the initial conditions u0 and v0 (cf. (1.12)) are continuous on ¯
I
and satisfy the compatibility conditions
v0(0) = G(u0(0)), u0(1) = F(v0(1)).
(2.7)
Then from the representation formula (1.14) we easily obtain
V¯
I(u(·, t)) + V¯
I(v(·, t)) = V¯
I(u0) + V¯
I(v0), ∀ t 0,
(2.8)
i.e., the sum of the total variations of u and v at any t on ¯
I is conserved.
If u0 and v0 are continuous on ¯
I but the compatibility conditions in (2.7) are
violated, then discontinuities can propagate along characteristics x − t = −k,
x + t = 1 + k for k = 0, 1, 2, . . . so (2.8) needs to be modified to
V¯
I(u(·, t)) + V¯
I(v(·, t)) ≤ V¯
I(u0) + V¯
I(v0) + C, ∀ t 0,
(2.9)
for some constant C:
C ≡ |u0(0) − v0(0)| + |u0(1) + v0(1)|.
(2.10)
Using (1.5) and (2.9), we further deduce that
V¯
I(wx(·, t)) + V¯
I(wt(·, t)) ≤ 2[V¯
I (w0
0) + V¯
I(w1) + e
C]
(2.11)
for some constant e
C 0. From
w(x, t) =
Z x
0
wx(ξ, t)dξ
and for any {xk ∈ [0, 1] | k = 0, 1, . . . , n} satisfying 0 = x0 x1 x2 · · ·
xn = 1,
n−1
X
k=0
|w(xk+1, t) − w(xk, t)| =
n−1
X
k=0
Z xk+1
xk
wx(ξ, t)dξ
≤
n−1
X
k=0
1
2
Z xk+1
xk
dξ +
Z xk+1
xk
w2
x(ξ, t)dξ
=
1
2
+
Z 1
0
w2
x(x, t)dx,
(2.12)
we obtain
V¯
I(w(·, t)) ≤
1
2
+
Z 1
0
w2
x(x, t)dx.
Therefore (2.11) can be furthered strengthened. We summarize the above in
the following.](https://image.slidesharecdn.com/60072-250408234021-14c0aff7/85/Control-of-Nonlinear-Distributed-Parameter-Systems-1st-Edition-Goong-Chen-35-320.jpg)
![Unbounded Growth of Total Variations 25
Theorem 2.1. Consider the system (1.1), (2.1), (2.2) and (2.3), with
w0 ∈ C1([0, 1]) and w1 ∈ C0([0, 1]). Then
V¯
I(w(·, t)) + V¯
I(wx(·, t)) + V¯
I(wt(·, t)) ≤ 2[V¯
I (w0
0) + V¯
I(w1) + E(0) +
e
e
C],
(2.13)
for some
e
e
C 0 depending only on C in (2.10).
From the estimate (2.13) we see that if w0 ∈ C1(¯
I) and w1 ∈ C0(¯
I), then
as t → ∞, the left-hand side (LHS) of (2.13) remains bounded, provided that
initially w0
0 and w1 have bounded total variations. The LHS of (2.13) can grow
unbounded (when and) only when initially (at least one of) w0
0 and w1 have
unbounded total variations. This is possible, as shown in the following example.
Example 2.1. Choose
w0(x) =
Z x
0
ξ(ξ − 1) sin
1
ξ
dξ, w1(x) = 0; 0 x 1.
Then (w0, w1) ∈ H1
0 (0, 1) × L2(0, 1). The compatibility conditions (2.7)1 and
(2.7)2 are satisfied. Therefore the solution (u, v) of (1.6), (2.6)–(1.12) is
continuous for any (x, t) ∈ [0, 1] × [0, ∞). Here
w0
0(x) = x(x − 1) sin
1
x
, 0 x 1,
is easily verified to have
V¯
I(w0
0) = ∞.
We see that the LHS of (2.13) is ∞ for any t 0.
Next, let us consider, again, linear boundary conditions but somewhat
different from the ones in (2.1) and (2.2). The IBVP system is
wxx(x, t) − wtt(x, t) = 0, x ∈ (0, 1), t 0,
wt(0, t) + γw(0, t) = 0, t 0,
wx(1, t) = 0, t 0,
w(x, 0) = w0(x), wt(x, 0) = w1(x), x ∈ (0, 1).
(2.14)
Note that the boundary condition (2.14)2 is integrable along the t-direction:
w(0, t) = w(0, 0)e−γt
, t ≥ 0.
(2.15)
Again, converting (2.14) into a first-order diagonalized symmetric hyperbolic
system using (1.5) and utilizing (2.15), we obtain the following snapshots at
t = 1, 2, . . . , inductively:
u0(x), v0(x) are given (according to (1.12)); and w(0, 0) is also known,
u(x, k + 1) = −v(1 − x, k),
v(x, k + 1) = u(1 − x, k) + γake−γe−γ(1−x),
ak+1 = w(0, k + 1) = e−γw(0, k), w(0, 0) ≡ a0.
(2.16)](https://image.slidesharecdn.com/60072-250408234021-14c0aff7/85/Control-of-Nonlinear-Distributed-Parameter-Systems-1st-Edition-Goong-Chen-36-320.jpg)
![Unbounded Growth of Total Variations 27
Thus
V¯
I(v(·, 2(n + 1))) ≤ V¯
I(u(·, 2n + 1)) + V¯
I(γa0e−2(n+1)γ
e−γ(1−x)
)
≤ V¯
I(u(·, 2n + 1)) + γ|a0|e−2(n+1)γ
≤ V¯
I(v0) + γ|a0|B2n + γ|a0|e−2(n+1)γ
= V¯
I(v0) + γ|a0| ·
e−2γ − e−2(n+1)γ
1 − e−2γ
+ e−2(n+1)γ
#
= V¯
I(v0) + γ|a0| ·
e−2γ − e−2(n+2)γ
1 − e−2γ
= V¯
I(v0) + Bn+1.
(2.20)
Therefore, (2.18)1 and (2.18)3 are verified by (2.19) and (2.20), respectively.
The proof of (2.18)2 and (2.18)4 can be done in the same way. Therefore we
have proved (2.17).
Corollary 2.1. For the IBVP (2.14), assuming that w0 ∈ C1([0, 1]) and
w1 ∈ C0([0, 1]). Then the estimate (2.13) holds for t 0.
If, instead of the linear boundary conditions pair (2.14)2 and (2.14)3, we
consider
wx(0, t) − γw(0, t) = 0, γ 0, t 0,
wt(1, t) = 0, t 0,
(2.21)
where one of them is of Robin type [7, §1.2 and 1.3], then the treatment
becomes much more challenging. After some extra efforts, we have succeeded
in establishing an estimate similar to (2.13), as shown below.
Theorem 2.3. Consider the system (1.1), (2.21), with initial conditions
w0 ∈ C1([0, 1]) and w1 ∈ C0([0, 1]) in (1.4). Then there exist two positive
constants C1, C2 such that
VI(w(·, t)) + VI(wx(·, t)) + VI(wt(·, t)) ≤ C1[VI(w0
0) + VI(w1)] + C2
(2.22)
for all t 0.
Proof. First, we will establish the inequality
VI(u(·, t)) + VI(v(·, t)) ≤ e
C1[VI(u0) + VI(v0)] + e
C2
(2.23)
for some positive constants e
C1 and e
C2, for all t 0, from which (2.22) will
naturally follow. Here, as before, u, v, u0 and v0 are defined through (1.5) and
(1.12).](https://image.slidesharecdn.com/60072-250408234021-14c0aff7/85/Control-of-Nonlinear-Distributed-Parameter-Systems-1st-Edition-Goong-Chen-38-320.jpg)
![28 Chen et al.
From (2.21)1, we have
[u(0, t) + v(0, t)] − γ
Z t
0
[u(0, τ) − v(0, τ)]dτ + w(0, 0)
= 0,
v(0, t) + γ
Z t
0
v(0, τ)dτ = −
u(0, t) − γ
Z t
0
u(0, τ)dτ
+ γw(0, 0),
e−γt d
dt
eγt
Z t
0
v(0, τ)dτ
= −eγt d
dt
e−γt
Z t
0
u(0, τ)dτ
+ γw(0, 0),
which, after further simplification and integrations by parts, leads to
v(0, t) = −u(0, t) + 2γ
Z t
0
e−γ(t−τ)
u(0, τ)dτ + γw(0, 0)e−γt
, t 0.
(2.24)
This is the reflection relation at the left end x = 0. At the right end x = 1, the
reflection relation is
u(0, t) = v(0, t), t 0.
(2.25)
From (2.24) and (2.25), it is clear (based on a representation similar to (1.14))
that (2.23) will hold if we can prove that there exist two positive constants b
C1
and b
C2 such that
V[0,T](v(0, ·)) ≤ b
C1 · V[0,T](u(0, ·)) + b
C1, for all T 0,
(2.26)
under the assumption of (2.24). (The reflection relation (2.25) is easy and
simple so it does not require any separate consideration.)
But (2.24) implies (2.26), following the application of a technical Proposi-
tion A in the Appendix near the end of the paper.
We leave out the details that (2.23) yields (2.22).
Note that if (2.21)2 is replaced by wx(1, t) = 0, then (2.25) correspondingly
will be changed to
u(0, t) = −v(0, t)
and the arguments from (2.24) through (2.26) also need to be adapted
accordingly. Nevertheless, such modifications are straightforward and the
estimate (2.22) remains valid.
As a summary of this section, we have successfully shown that for major
typical homogeneous linear boundary conditions of the wave equation, the total
variations of the snapshot of the gradient as well as the state of the wave
equation at any time t on I will remain uniformly bounded in time, if the
initial total variation on I is finite.](https://image.slidesharecdn.com/60072-250408234021-14c0aff7/85/Control-of-Nonlinear-Distributed-Parameter-Systems-1st-Edition-Goong-Chen-39-320.jpg)
![Unbounded Growth of Total Variations 29
3 Unbounded Growth of the Total Variations of (u(·, t), v(·, t))
(u(·, t), v(·, t))
(u(·, t), v(·, t))
as t → ∞
t → ∞
t → ∞ When Chaotic Vibration Occurs
This is the main section of the paper where we will treat question [Q].
Let us first estimate the growth of total variations of (u(·, t), v(·, t)) due to
the post period-doubling of the reflection map Gη ◦ Fα,β.
We will utilize special properties of the Stefan Cycle as given in Robinson
[11, pp. 67–70]. Let fµ : J → J be continuous on a finite closed interval J ⊂ R.
Assume that fµ has completed a period-doubling cascade as the parameter µ
crosses a value µ0. Therefore, we may now assume that fµ has a prime periodic
point with period n = m·2k, where m is an odd integer greater than or equal to
3, as such an n is above the doubling cascade portion · · ·2j 2j−12j−2· · ·2
in Sharkovskii’s ladder. From now on, to simplify notation, we just write fµ as
f.
Define g = f2k
. Then g has a periodic orbit
O = {xj | j = 1, 2, . . . , m}
(3.1)
of prime odd period m such that
g(xj) = xj+1, for j = 1, 2, . . . , m − 1,
(3.2)
satisfying either
xm xm−2 · · · x3 x1 x2 x4 · · · xm−1
(3.3)
or
xm−1 xm−3 · · · x4 x2 x1 x3 · · · xm−2 xm.
(3.4)
Let us just treat the case (3.3) below because relation (3.4) is just a reflection
of (3.3) centered at x1 and all the arguments for (3.3) will also go through for
(3.4) after a straightforward modification. Now define ([11, p. 67]) m−1 closed
intervals
I1 = [x1, x2], I2 = [x3, x1], I3 = [x2, x4], . . . , I2j−1 = [x2j−2, x2j],
(3.5)
I2j = [x2j+1, x2j−1], . . . , for j = 2, . . . , (m − 1)/2.
For two closed intervals J1 and J2, we say that J1 f-covers J2, in notation
J1
f
−→ J2, if J2 ⊆ f(J1). Then we have the following.
Proposition 3.1. ([11, p. 68]) Assume that J is a finite closed interval
and g: J → J is continuous with a prime periodic orbit of odd period m.
Then there exist m − 1 closed subintervals I1, I2, . . . , Im−1 of J defined through
(3.1)–(3.3) and (3.5) that overlap at most at endpoints such that
I1
g
−→ I2
g
−→ I3
g
−→ · · ·
g
−→ Im−1
g
−→ I1
g
−→ I1 ∪ I2.
(3.6)](https://image.slidesharecdn.com/60072-250408234021-14c0aff7/85/Control-of-Nonlinear-Distributed-Parameter-Systems-1st-Edition-Goong-Chen-40-320.jpg)
![32 Chen et al.
Corollary 3.1. Assume that J is a closed interval f : J → J is continuous
with a prime periodic orbit of period m · 2k, where m is odd. Then
lim
n→∞
VJ (fn
) = ∞.
(3.15)
Proof. Let O1 = {f`(ξ) | ` = 0, 1, . . . , m·2k −1} be an orbit of f with prime
period m · 2k. Then O2 = {fj·2k
(ξ) | j = 1, 2, . . . , m} is an orbit of g ≡ f2k
with prime period m. Write O2 in the form of (3.1) such that (3.2), (3.3) and
(3.5) are satisfied. Therefore, we have O2 = {xj | j = 1, 2, . . . , m} and for some
integer j1 : 0 j1 ≤ m,
x1 = fj1·2k
(ξ), x2 = f(j1+1)·2k
(ξ), . . . , xm = f(j1+m)·2k
(ξ).
The main idea of the proof is to show that
lim
j→∞
Ve
I0
(fj·(m·2k)+`)
= ∞
(3.16)
for any ` = 0, 1, 2, . . . , m·2k −1, for some subinterval e
I0 ⊆ J (where e
I0 depends
on given `). Given any such ` ∈ {0, 1, 2, . . . , m · 2k − 1}, we can find a positive
integer ˆ
` 0 such that
` + ˆ
` = j1 · 2k
(modm · 2k
).
Define
y1 = f
ˆ
`
(ξ), y2 = f
ˆ
`+2k
(ξ), e
I`
0 =
(
[y1, y2], if y1 y2,
[y2, y1], if y1 y2.
(3.17)
Then
f`
(y1) = f`+ˆ
`
(ξ) = fj1·2k
(ξ) = x1, f`
(y2) = f`+ˆ
`+2k
(ξ) = f(j1+1)·2k
(ξ) = x2,
and we have the covering sequence
e
I`
0
f`
−→ I1
g
−→ I2
g
−→ I3
g
−→ · · ·
g
−→ Im−1
g
−→ I1
g
−→ I1 ∪ I2,
where g = f2k
. So e
I`
0 contains two subintervals e
I`
0,1 and e
I`
0,2, overlapping at
most at endpoints, such that
fm·2k+`
(e
I`
0,1) = I1, fm·2k+`
(e
I`
0,2) = I2.
In general, if e
I`
0,a1...ap
is constructed, for aj = 1, 2, j = 1, 2, . . . , p, satisfying the
following covering sequences](https://image.slidesharecdn.com/60072-250408234021-14c0aff7/85/Control-of-Nonlinear-Distributed-Parameter-Systems-1st-Edition-Goong-Chen-43-320.jpg)
![Unbounded Growth of Total Variations 33
(i) if ap = 1, then
e
I`
0,a1... ,ap−11
fpm·2k+`
−
−
−
−
−
−
−
→ I1
g
−→ I2
g
−→ · · ·
g
−→ Im−1
g
−→ I1
g
−→ I1 ∪ I2;
(3.18)
(ii) if ap = 2, then
e
I`
0,a1...ap−12
fpm·2k+`
−
−
−
−
−
−
−
→ I2
g
−→ I3
g
−→ · · ·
g
−→ Im−1
g
−→ I1
g
−→ I1
g
−→ I1 ∪ I2.
(3.19)
From (3.18) and (3.19), we have two subintervals e
I`
0,a1...ap1 and e
I`
0,a1...ap2 of
e
I0,a1...ap , such that
f(p+1)·m·2k+`
(e
I`
0,a1...ap1) = I1, f(p+1)·m·2k+`
(e
I`
0,a1...ap2) = I2.
The rest of the arguments follows in the same way as in the proof of Theorem 3.1.
Therefore (3.16) follows from each ` ∈ {0, 1, . . . , m·2k−1}. Hence (3.15) follows.
Theorem 3.2. Consider the IBVP (1.6)–(1.8), and (1.12). Assume
that the composite reflection map f = Gη ◦ Fα,β has a periodic orbit O =
{f`(ξ) | ` = 0, 1, . . . , m · 2k − 1}, with prime period m · 2k, where m is odd.
Further, assume that the initial conditions u0 and v0 in (1.12) are continuous
and satisfy the compatibility conditions in (1.13) such that for some integer
j0 : 0 ≤ j0 ≤ m · 2k − 1,
fj0
(ξ), fj0+2k
(ξ) ∈ Range z, z ≡ u0 or z ≡ v0.
(3.20)
Then
lim
t→∞
[V¯
I(u(·, t)) + V¯
I(v(·, t))] = ∞.
(3.21)
Proof. Let us assume that {fj0 (ξ), fj0+2k
(ξ)} ⊆ Range u0. Then we can
construct a subinterval e
I`
0 as in (3.17) by letting ` = j0 therein. From the proof
of Cor. 3.1 and (1.14), we easily deduce that
lim
n→∞
[V¯
I(u(·, n)) + V¯
I(v(·, n))] = ∞.
It is also easy to show that for any τ : 0 τ 1, by using the continuity of
the total variations with respect to τ, that
lim
n→∞
[V¯
I(u(·, n + τ)) + V¯
I(v(·, n + τ))] = ∞.
Therefore (3.21) follows.](https://image.slidesharecdn.com/60072-250408234021-14c0aff7/85/Control-of-Nonlinear-Distributed-Parameter-Systems-1st-Edition-Goong-Chen-44-320.jpg)
![34 Chen et al.
Remark 3.1. It seems natural to believe that Theorem 3.2 remains valid
even if condition (3.20) is weakened to the following:
“there exist integers j1 and j2 : 0 ≤ j1 j2 ≤ m · 2k − 1, such that
fj1
(ξ), fj2
(ξ) ∈ (Range u0) ∪ (Range v0).”
(3.22)
However, in order to establish (3.21) under condition (3.22), the arguments
used in the proof of Cor. 3.1 also need to be considerably strengthened in order
to take care of the laborious “bookkeeping” details of finer interval covering
sequences, which we do not yet have an elegant way to handle so far.
Next, we study the growth of total variations of snapshots (u(·, t), v(·, t))
when the composite reflection map Gη ◦ Fα,β has homoclinic orbits. There are
two cases to be considered: (i) η 1, and (ii) 0 η 1.
Write f = Gη ◦ Fα,β. Here we only consider the case that f has a bounded
invariant interval J such that f : J → J. For this to hold, we need [5,
Lemma 2.5] either
(i) M ≡
1 + η
1 − η
1 + α
3
r
1 + α
3β
≤
1 + η
2η
r
1 + αη
βη
, if 0 η 1,
(3.23)
or
(ii) M ≡ −
1 + η
1 − η
1 + α
3
r
1 + α
3β
≤
1 + η
2
r
α + η
β
, if η 1,
(3.24)
in addition to (1.15), with
J = [−M, M].
(3.25)
Two graphs of f are provided in Figs. 9 and 10, where η = 0.552, 1.812,
respectively.
Theorem 3.3. Assume that 0 α ≤ 1, β 0, η 0 and η 6= 1. Assume
also that (1.15), (3.23)–(3.25) are also satisfied so that J = [−M, M] is a
bounded invariant interval of Gη ◦ Fα,β. Then
lim
n→∞
VJ ((Gη ◦ Fα,β)n
) = ∞.
Proof. We first consider the case η 1. Define a sequence of points
{xi ∈ J | i = 0, 1, 2, . . . } as follows. Let
x0 = vI =
q
1+α
β , the positive v-axis intercept of f [5, (32), p. 428],
x1 = min{f−1(x0)},
x2 = f−1(x1),
.
.
.
xn+1 = f−1(xn),
.
.
.
(3.26)](https://image.slidesharecdn.com/60072-250408234021-14c0aff7/85/Control-of-Nonlinear-Distributed-Parameter-Systems-1st-Edition-Goong-Chen-45-320.jpg)
![Unbounded Growth of Total Variations 35
Then for n = 0, 1, 2, . . . , xn ∈ J and xn ↓ 0 as n → ∞. Also, define subintervals
I0 = [x1, x0], I1 = [x2, x1], . . . , In = [xn+1, xn], . . . .
(3.27)
Then because f(I0) = [0, x1] we have the following covering sequence
In
f
−→ In−1
f
−→ In−2
f
−→ · · ·
f
−→ I1
f
−→ I0
f
−→
n
[
j=1
Ij
(3.28)
f
−→ Ik
f
−→ Ik−1
f
−→ · · ·
f
−→ I1
f
−→ I0
f
−→
n
[
`=1
I`, for k = 1, . . . , n.
(3.29)
Therefore from (3.28), In has n subintervals In,j, j = 1, 2, . . . , n, overlapping
at most at endpoints, such that
fn
(In,j) = Ij, j = 1, 2, . . . , n.
(3.30)
Fig. 9. A degenerate homoclinic orbit of the map f = Gη ◦ Fα,β, where
α = 0.5, β = 1
α = 0.5, β = 1
α = 0.5, β = 1 and η = 0.552
η = 0.552
η = 0.552. (Reprinted from [5, p. 426], courtesy of World Scientific,
Singapore.)
Using the second part of the covering sequence in (3.29)
Ik
f
−→ Ik−1
f
−→ · · ·
f
−→ I0
f
−→ In−k
f
−→ · · ·
f
−→ I2
f
−→ I1
f
−→ I0
f
−→
n
[
`=1
I`,](https://image.slidesharecdn.com/60072-250408234021-14c0aff7/85/Control-of-Nonlinear-Distributed-Parameter-Systems-1st-Edition-Goong-Chen-46-320.jpg)
![36 Chen et al.
Fig. 10. A degenerate homoclinic orbit of the map f = Gη ◦ Fα,β
f = Gη ◦ Fα,β
f = Gη ◦ Fα,β, where
α = 0.5
α = 0.5
α = 0.5, β = 1
β = 1
β = 1 and η = 1.812
η = 1.812
η = 1.812. (Reprinted from [5 p. 426], courtesy of World Scientific,
Singapore.)
we also obtain n subintervals Ik,1, . . . , Ik,n of Ik, overlapping at most at
endpoints, such that
fn
(Ik,j) = Ij, j = 1, . . . , n; for k = 1, 2, . . . , n − 1.
(3.31)
From (3.30) and (3.31), we obtain
V[0,x0](fn
) ≥ V[xn+1,x0](fn
)
≥
n
X
k,j=1
VIk,j
(fn
) ≥
n
X
k=1
[(x0 − x1) + (x1 − x2) + · · · + (xn − xn+1)]
= n(x0 − xn+1) → ∞, as n → ∞.
(3.32)
Next, we consider the case 0 η 1. Let us modify (3.26) only slightly by
redefining (3.26)2 as
x1 = max{f−1
(x0)}, x1 0.
(3.33)
The rest of (3.26) remains unchanged. Now, define intervals
I0 = [x2, x0], I1 = [x1, x3], I2 = [x4, x2], I3 = [x3, x5], . . . ,
I2n = [x2n+2, x2n], I2n+1 = [x2n+1, x2n+3], . . . ,
(3.34)
using the fact that
x1 x3 x5 · · · x2n+1 · · · 0 · · · x2n x2n−2 · · · x4 x2 x0.](https://image.slidesharecdn.com/60072-250408234021-14c0aff7/85/Control-of-Nonlinear-Distributed-Parameter-Systems-1st-Edition-Goong-Chen-47-320.jpg)
![Unbounded Growth of Total Variations 37
Then because f(I0) = [x1, 0], we have the following covering sequence
I2n+1
f
−→ I2n
f
−→ I2n−1
f
−→ · · ·
f
−→ I1
f
−→ I0
f
−→
n
[
j=0
I2j+1.
The rest of the proof can be done in the same way as in (3.28)–(3.32).
Theorem 3.4. Consider the IBVP (1.6)–(1.8), (1.12). Assume that η
satisfies either (3.23) or (3.24) so that the composite reflection map f =
Gη ◦ Fα,β has a bounded invariant interval J = [−M, M] and a homoclinic
orbit in J. Further, assume that the initial conditions u0 and v0 in (1.12)
satisfy the compatibility conditions in (1.13) such that
Range z ⊇ In, z ≡ u0 or z ≡ v0 for some n ∈ {0, 1, 2, . . . , }, cf. (3.27) or (3.34).
(3.35)
Then
lim
t→∞
[V¯
I(u(·, t)) + V¯
I(v(·, t))] = ∞.
Proof. Same as that of Theorem 3.2.
Remark 3.2. We believe that (3.35) can be weakened at least to
Range u0∪ Range v0 ⊇ In, for some n ∈ {0, 1, 2, . . . }.
Remark 3.3. The proof of Theorem 3.3 is essentially similar to those of
Theorem 3.1 and Corollary 3.1, and is based on the following fact:
“Let J be a finite closed interval and f : J → J is continuous.
If f has a homoclinic orbit in J, then lim
n→∞
VJ(fn
) = ∞”.
(3.36)
Actually, (3.36) above stands alone as a theorem itself and can also be proved
by quoting the proofs of Theorem 3.1 and Corollary 3.1, provided that the
homoclinic orbit in (3.36) is nondegenerate, because by Theorem 1.16.5 in
Devaney [8, p. 124], the map f is then topologically conjugate to the shift map
σ on
P
2 and, therefore, f has some periodic orbits of prime period m · 2k,
with m being odd and k ∈ {0, 1, 2, . . . }. Hence the proofs of Theorem 3.1 and
Corollary 3.1 apply.
When the homoclinic orbit in (3.36) is degenerate, then f is “more chaotic”
(than the case when the homoclinic orbit is nondegenerate) and has homoclinic
bifurcations. The renormalization procedure for the “model case” quadratic map
fµ(x) = µx(1−x) as µ → 4 (the degenerate homoclinic orbit case) as mentioned
in [8, §1.16] suggests that for µ = 4, f4 should be in the “post period doubling
era” and therefore, f4 has many period-m · 2k orbits, with m being odd. It is
quite obvious that our f in (3.36) ought to also have this kind of period-m · 2k
orbits (when the homoclinic orbit in (3.36) is degenerate) and, therefore, the](https://image.slidesharecdn.com/60072-250408234021-14c0aff7/85/Control-of-Nonlinear-Distributed-Parameter-Systems-1st-Edition-Goong-Chen-48-320.jpg)
![38 Chen et al.
proofs of Theorem 3.1 and Corollary 3.1 again apply. Nevertheless, we could
not locate a precise reference to this effect.
In passing, we may also note that the condition (3.35) is stated quite
differently from (3.20), in the sense that the end-points of intervals In in (3.35)
are not periodic points. (Or rather, the end-points of In have an “infinite
periodicity”.)
4 Miscellaneous Remarks
In this paper, we have successfully shown that when chaotic vibration occurs
for the wave equation caused by the nonlinear boundary condition specified
here, the total variations of snapshots tend to infinity as t → ∞ for a large
class of initial data, even though the total variation of any such initial data
is finite at time t = 0. Our theorems in §3 have covered the case of “stable”
chaos on a bounded invariant interval. A different type of “unstable” chaos,
discussed in [5, §5], happens on an invariant Cantor set (rather than a bounded
invariant interval, because the map Gη ◦ Fα,β does not have one for that set of
α, β and η values). In that case, it is trivial to show that the total variations of
snapshots also tend to infinity as t → ∞ for a large class of initial data, even
though initially, the total variation of the state is finite.
One may ask a converse question to [Q]:
“[−Q] Assume that there exist initial conditions (u0, v0) for (1.6), (1.9), (1.10)
and (1.12) and an invariant interval ¯
I of Gη ◦ Fα,β such that
V¯
I(u0, v0) ∞, V¯
I(u(·, t)) + V¯
I(v(·, t)) → ∞ as t → ∞.
(4.1)
Is the map Gη ◦ Fα,β necessarily chaotic?”
The answer is negative, as the following counterexample has shown.
Example 4.1. Let α = 0.5, β = 1, either η ∈ (0, 0.433) or η ∈ (2.312, ∞).
Then as Figs. 1 and 2 ([5, Figs. 3 and 4, pp. 433–434]) have shown, the map
Gη ◦ Fα,β has a locally attracting period-2 orbit near 0, which is repelling.
Let g(x) = x2. For x ∈ [0, 1],
u0(x) =
x2, if x =
1
n
, n = 1, 2, . . . ,
0, if x =
2n + 1
2n(n + 1)
, n = 1, 2, . . . ,
2(n + 1)
n
x −
2n + 1
n2
, if x ∈
h 2n + 1
2n(n + 1)
,
1
n
i
−
2n
n + 1
x +
2n + 1
(n + 1)2
, if x ∈
h 1
n + 1
,
2n + 1
2n(n + 1)
.
(4.2)
Then u0(x) is continuous. Choose any v0, continuous of bounded total variation
satisfying the compatibility condition (1.13). On each subinterval
h
1
n+1, 1
n
i
, the](https://image.slidesharecdn.com/60072-250408234021-14c0aff7/85/Control-of-Nonlinear-Distributed-Parameter-Systems-1st-Edition-Goong-Chen-49-320.jpg)
![zusammengeschart hatten. In dem darauffolgenden Gefechte waren
vier Indianer zu Gefangenen gemacht und der Haupthaufen vier
Meilen weit gejagt, aber niemand getötet worden. Wir wollten zuerst
aussteigen und uns den sechzig Soldaten anschließen; als wir uns
jedoch überlegten, daß die Indianer vierhundert Mann stark seien,
beschlossen wir, weiterzufahren und uns den Rothäuten
zuzugesellen.
Der Echo-Cañon[9]
hat eine Länge von zwanzig Meilen. Er hatte
das Ansehen einer langen, ebenen, engen Straße, die sich allmählich
senkte und von ungeheuren, senkrecht aufsteigenden, roh gefügten
Mauern, an vielen Stellen vierhundert Fuß hoch und von Türmen wie
mittelalterliche Burgen überragt, eingeschlossen war. Es war die
tadelloseste Wegstrecke im ganzen Gebirge, so daß der Postillon
meinte, da wolle er sein Gespann einmal laufen lassen. Dies that er
denn auch; und wenn die Eilzüge nach dem Stillen Ozean jetzt etwa
noch rascher durchsausen, als wir damals mit unserer Postkutsche,
so beneide ich die Passagiere um ihr Vergnügen. Es war, als ob wir
nicht mehr auf Rädern fuhren, sondern nur noch flögen, und die
Postsachen schwebten geradezu frei in der Luft. Ich bin kein Freund
von Uebertreibungen, und wenn ich etwas sage, so ist es auch so.
[9] Cañons heißen die tiefeingeschnittenen Flußbette der
Felsengebirge.
Indes, die Zeit drängte. Um vier Uhr nachmittags langten wir auf
der Höhe des Big Mountain, fünfzehn Meilen von der Salzseestadt
an, während eben die sinkende Sonne die Welt mit ihren Strahlen
verklärte und sich plötzlich ein wunderbares Panorama von
Berggipfeln, das alles bisher Geschaute übertraf, vor unsern Blicken
ausbreitete. Ueber uns wölbte sich ein glänzender Regenbogen,
während wir das erhabene Bild betrachteten. Selbst der Postillon
hielt seine Pferde an, um zu schauen.
Vielleicht eine halbe Stunde später wechselten wir die Pferde und
speisten bei einem mormonischen ›Würgengel‹ zu Abend.
›Würgengel‹ sind, soviel ich verstand, ›Heilige des jüngsten Tages‹,](https://image.slidesharecdn.com/60072-250408234021-14c0aff7/85/Control-of-Nonlinear-Distributed-Parameter-Systems-1st-Edition-Goong-Chen-65-320.jpg)
![die von der Kirche mit der besonderen Aufgabe betraut sind,
beständig für das Verschwinden solcher Bürger zu sorgen, die sich
überlästig gemacht haben. Ich hatte viel von diesen mormonischen
Würgengeln und von ihren dunkeln, blutigen Thaten gehört, so daß
ich beim Betreten dieses Hauses auf einen gehörigen Schauder
gefaßt war. Aber, o weh! all unsere Romantik war sofort verflogen –
wir trafen nichts, als einen lärmenden, gemeinen, schimpfenden
Schurken! Mordgierig genug war er vielleicht wohl, um das Amt
eines Würgers zu versehen, aber wer möchte sich wohl irgend eine
Art von Engel ohne alle Würde und Hoheit vorstellen? Wer wollte
sich einen Engel in unsauberem Hemd und ohne Hosenträger
gefallen lassen? Und wer könnte einem Engel Ehrfurcht zollen, der
wiehert, statt zu lachen, und aufschneidet wie ein Bukanier?
Noch mehr solcher Schufte waren da – Kameraden des ersteren;
außerdem auch ein anständig aussehender, großer wohlgewachsener
junger Mann von vielleicht dreißig Jahren. Eine Schar schlampiger
Weiber trippelte eilig mit Kaffeekannen, Tellern voll Brot und
sonstigem Zubehör zum Abendessen hin und her, und das sollten die
Frauen des Engels sein, oder wenigstens einige derselben. Und
natürlich war es so; denn wären sie gemietete ›Aushilfen‹ gewesen,
sie hätten sich dieses über sie Hineinwettern und Fluchen von dem
himmlischen Engel gewiß nicht gefallen lassen.
Dies war die erste Bekanntschaft, die wir mit der ›eigentümlichen
Einrichtung‹ des Westens – wie der Mormonenstaat diplomatisch
bezeichnet wird – machten, und dieselbe war nicht gerade
einnehmender Art. Wir hielten uns mit deren Beobachtung auch
nicht weiter auf, sondern eilten weiter, der Heimat der ›Heiligen des
jüngsten Tages‹,[10]
der Burg des Propheten, der Hauptstadt des
einzigen absoluten Alleinherrschers in Amerika – der Großen
Salzseestadt, zu. Da die Nacht hereinbrach, so nahmen wir Herberge
im Salzseehotel und packten unsere Sachen aus.
[10] ›Heilige des jüngsten Tages‹ – ein Beiname der Mormonen.](https://image.slidesharecdn.com/60072-250408234021-14c0aff7/85/Control-of-Nonlinear-Distributed-Parameter-Systems-1st-Edition-Goong-Chen-66-320.jpg)
Control of Nonlinear Distributed Parameter Systems 1st Edition Goong Chen
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- 3. Nonlinear H Infinity Control Hamiltonian Systems and Hamilton Jacobi Equations 1st Edition M.D.S. Aliyu https://ebookgate.com/product/nonlinear-h-infinity-control- hamiltonian-systems-and-hamilton-jacobi-equations-1st-edition-m-d-s- aliyu-2/ ebookgate.com Nonlinear Conservation Laws Fluid Systems and Related Topics Series in Contemporary Applied Mathematics Gui- Qiang Chen https://ebookgate.com/product/nonlinear-conservation-laws-fluid- systems-and-related-topics-series-in-contemporary-applied-mathematics- gui-qiang-chen/ ebookgate.com Dynamical Inverse Problems of Distributed Systems Vyacheslav I. Maksimov https://ebookgate.com/product/dynamical-inverse-problems-of- distributed-systems-vyacheslav-i-maksimov/ ebookgate.com Nonlinear Dynamics of Production Systems 1st Edition Günter Radons https://ebookgate.com/product/nonlinear-dynamics-of-production- systems-1st-edition-gunter-radons/ ebookgate.com Distributed Systems 4th Edition Maarten Van Steen https://ebookgate.com/product/distributed-systems-4th-edition-maarten- van-steen/ ebookgate.com
- 5. Control of Nonlinear Distributed Parameter Systems edited by Goong Chen, Texas A&M University, College Station, Texas Irena Lasiecka, University of Virginia, Charlottesville, Virginia Jianxin Zhou, Texas A&M University, College Station, Texas
- 6. iii Preface This volume is an outgrowth of the conference “Advances in Control of Nonlinear Distributed Parameter Systems”, held on October 22-23, 1999, at Texas A&M University, College Station, Texas. The conference was jointly sponsored by the National Science Foundation (NSF), The Institute of Math- ematics and Its Applications (IMA) and Texas A&M University. Fifty-five researchers attended and twenty-six talks were delivered during the two-day event. Ten papers in this volume were written by those conference speakers. To further broaden the scope and appeal of this volume, we have invited seven additional papers from experts working in this field. Thus, a total of seventeen papers have constituted the volume. The mathematical theory of control is highly interdisciplinary—it is a part of applied mathematics serving perhaps the most important link between mathematics and technology: complex systems in aerospace, civil and mechanical engineering must be controlled in order to achieve designated mission or operational requirements. Many ultra-modern electronic and optical devices are also designed for and dedicated to the purpose of acting as control mechanisms and media, i.e., actuators and sensors. Most of those devices are inherently nonlinear. The strong interest in mathematical con- trol problems among mathematicians and engineers alike can be witnessed in the large number of papers published in the various journals of IEEE and SIAM. Even though steady progress has been made in the overall study of the mathematics of control, and wider and wider applications to new problems have been found, the leading edge of the field, as a mathematical subject, is indisputably the area of control of distributed parameter systems (DPS). This area concerns investigation of the control laws, stability and optimization of systems and feedback syntheses for systems whose states are spatially and/or temporally distributed and whose governing equations are partial differential or functional (typically time delay) equations. Studies in the area also include the associated questions of modelling, identification and estimation, analysis and design, computation and visualization, etc., of DPS. Rapid progress has occurred in this area since its inception during the 1960’s and its initial burst of growth in the 1970’s. After nearly three decades of research, though many interesting questions remain open, control theory for linear DPS has attained a certain level of maturity. The momentum of DPS research is now visibly moving toward the study of control of nonlinear partial differential equations. Nonlinear DPS (NDPS) are very much model-dependent. Since comprehensive, unified theories are virtually nonexistent, research opportunities and challenges are
- 7. iv extraordinarily numerous. Very substantial payoffs from the study of control and optimization of wide-ranging, application-driven nonlinear DPS in various areas of high technology may be expected to yield a substantial payoff through operational economies and enhanced system performance. We hope the present volume will stimulate active development of the mathematical theory in this critically important area. Two major influences are driving the recent sharp surge of interest in control of nonlinear distributed parameter systems: (A) Advances in “smart” materials, active actuators and sen- sors, microelectromechanical systems (MEMS), etc. Existing advanced, or “smart” materials largely consist of sophisticated laminates incorporating specialized layers in an overall matrix form; they are fabricated to achieve a variety of desirable properties. Actuators and/or sensors consisting of piezoelectric/piezoceramic, opto-thermo-electric materials or microprocessors can be bonded to external surfaces or embedded within the layered structure itself. The response of such individual components is totally nonlinear, resulting in an overall system of nonlinear partial differential equa- tions as the operative mathematical model. For example, aircraft propellers and helicopter rotor blades may be designed so that varying pitch is achieved by torsional actuation within the blade itself rather than by a mechanically articu- lated mechanism at the point where the blades are mounted. Another example concerns active noise suppression in aircraft cabins. This is achieved by means of actuator panels in the cabin walls, acting to achieve cancellation of high amplitude noise signals propagated through the fuselage. Many more examples of ultra-modern micromachined elastic structures in diverse applications may be found in a large number of new technical journals. The complete list of nonlinear distributed parameter systems finding applications in the area of ad- vanced materials is much too long for us to cover in any representative way here. (B) Advances in nonlinear PDEs and dynamical systems The existing, now almost classical, theory of control of linear DPS is of rather limited use in the nonlinear arena. New nonlinear methodology for control, stabilization and optimization needs to be developed for such systems. During the past thirty years, dramatic breakthroughs in theory and methods for nonlinear PDEs have been made, including Lax’s entropy solution and Glimm’s method for hyperbolic conservation laws, The Mountain Pass Lemma of Ambrosetti and Rabinowitz, the method of viscosity solutions, Hopf bifurcation phenomena in infinite dimensional spaces studied by Crandall and Rabinowitz,. . . , enabling researchers to treat an increasing number of genuinely
- 8. v nonlinear PDEs with confidence. These equations, or systems of equations often have unstable, multiple solutions, depending on the geometry of the domain – a totally bewildering situation prior to recent developments. The emergence of the new field of dynamical systems and chaos has likewise shifted the focus of attention from the classical qualitative theory of ODEs and PDEs to that of fractals, strange attractors, randomness, and their manipulations, control and applications—these are some of the most intensively investigated topics in the general scientific community at the present time. Both exogenous and endogenous factors, i.e., (A) and (B), respectively, above, are simultaneously at work, enriching and propelling the study of control of nonlinear distributed parameter systems and cross-fertilizing other intimately allied disciplines. These synergistic effects amply testify to the timeliness of the publication of this volume. The chapters in this volume cover interests in various aspects of NDPS. For example, the paper by Seidman and Antman is related to Category (A) above. The two papers by Ding and by Li and Zhou involve the application of the Mountain Pass Lemma and are thus more associated with Category (B). The paper by Chen, Huang, Juang and Ma studying chaotic phenomena due to nonlinear boundary conditions has overlapping interests in both (A) and (B). We hope the wide range of topics in these, and the other papers not explicitly cited here, will provide a useful reference for the study of nonlinear distributed parameter systems and stimulate further interest and research in this important area. We thank all the contributing authors for their work and and their patience with repetitive revisions. We are grateful to Dr. Deborah Lockhart at NSF, Professor Willard Miller, Jr. of IMA, and Professor Richard E. Ewing, Dean of College of Science at Texas A&M University, for the financial support to the conference. Finally, we thank Ms. Maria Allegra and Helen Paisner at Marcel Dekker and Professor M. Zuhair Nashed of the University of Delaware for their kind assistance in expediting the editorial and publication process. Goong Chen and Jianxin Zhou College Station, Texas Irena Lasiecka Charlottesville, Virginia
- 9. vi Dedicated to Professor David L. Russell on the Occasion of his 60th Birthday
- 10. Contents vii Preface iii 1. Shape Sensitivity Analysis in Hyperbolic Problems with non Smooth Domains John Cagnol and J. Paul Zolesio 1 2. Unbounded Growth of Total Variations of Snapshots of the 1D Linear Wave Equation due to the Chaotic Behavior of Iterates of Composite Nonlinear Boundary Reflection Relations Goong Chen, Tingwen. Huang, Jong Juang and Daowei Ma 15 3. Velocity method and Courant metric topologies in shape analysis of partial differential equations Michel Delfour and J. Pual Zolesio 45 4. Nonlinear Periodic Oscillations In Suspension Bridges Zhonghai Ding 69 5. Canonical Dual Control for Nonconvex Distributed-Parameter Systems: Theory and Method David Y. Gao 85 6. Carleman estimate for a parabolic equation in a Sobolev space of negative order and their applications Oleg Imanuvilev and Masahiro Yamamoto 113 7. Bilinear control for global controllability of the semilinear parabolic equations with superlinear terms Alexander Khapalov 139 8. A Nonoverlapping Domain Decomposition for Optimal Bound- ary Control of the Dynamic Maxwell System John E. Lagnese 157 9. Boundary Stabilizibility of a Nonlinear Structural Acoustic Model Including Thermoelastic Effects Catherine Lebiedzik 177 10. On Modelling, Analysis and Simulation of Optimal Con- trol Problems for Dynamic Networks of Euler-Bernoulli-and Rayleigh-beams Guenter Leugering and Wigand Rathman 199
- 11. viii Contents 11. Local Characterizations of Saddle Points and Their Morse Indices Yongxin Li and Jianxin Zhou 233 12. Static Buckling in a Supported Nonlinear Elastic Beam David Russell and Luther White 253 13. Optimal control of a nonlinearly viscoelastic rod Thomas Seidman and Stuart Antman 273 14. Mathematical Modeling and Analysis for Robotic Control Sze-Kai Tsui 285 15. Optimal Control and Synthesis of Nonlinear Infinite Dimen- sional Systems Yuncheng You 299 16. Forced Oscillation of The Korteweg-De Vries-Burgers Equa- tion and Its Stability Bingyu Zhang 337
- 12. Shape Sensitivity Analysis in Hyperbolic Problems with non Smooth Domains John Cagnol1, Université Léonard de Vinci, FST, DER-CS, 92916 Paris La Défense Cedex, France, E-mail: John.Cagnol@devinci.fr Jean-Paul Zolésio, CNRS, Ecole des Mines de Paris, 06902 Sophia Antipolis Cedex, France. E-mail: Jean-Paul.Zolesio@sophia.inria.fr Abstract The control with respect to the domain is inherently not linear due to the non linear structure of the set of domains. In this paper we investigate the weak shape differentiability of the solution to the generalized wave equation when the domain has a Lipschitz continuous boundary. By the means of the “hidden regularity”, a result for C2 -boundary was obtained recently, when the right hand side is in L2 . To extend that result to Lipschitz continuous boundary, we first investigate the regularity of the solution at the boundary. We need an exact estimate of the L2 -norm of the normal derivative. Then, we build an increasing sequence of smooth domains, and we establish the shape differentiability result as a consequence of the situation for C2 -boundary. 1 Introduction The control with respect to the domain is inherently not linear due to the non linear structure of the set of domains. In this paper we investigate the sensitivity of the solution of an hyperbolic PDE with respect to the domain. This analysis is carried out with the wave equation with an homogeneous Dirichlet boundary condition. The novelty lies in the absence of regularity of the domain with respect to which the analysis is done. In a sense we extend the result presented in [6] to the case of Lipschitz-continuous domains. Let N ≥ 2 be an integer and D be a bounded domain of RN . Throughout this paper Ω will be an open domain, star-shaped, included in D whose boundary Γ is assumed to be Lipschitz continuous. Moreover we will assume Ω has a bounded perimeter. The family of such domains Ω shall be denoted O. 1 At the time this paper was presented, the first author was at the University of Virginia, Charlottesville, VA. Research supported by the INRIA under grant 1/99017. 1
- 13. 2 Cagnol and Zolésio Let T be a non negative real and I = [0, T] be the time interval. We note Q =]0; T[×Ω the cylindrical evolution domain and Σ =]0, T[×Γ the lateral boundary associated to any element Ω of the family O. 1.1 Shape Differentiability Let E be the set of V ∈ C([0, S]; C1(D̄, RN )) with hV, n∂Di = 0 and free divergence. For any V ∈ E we consider the flow mapping Ts(V ). At the point x, V has the form as follows: V (s)(x) = ∂ ∂s Ts ◦ T−1 s (x) (1) For each s ∈ [0, S[, Ts is a one-to-one mapping from D onto D such that i) T0 = I ii) s 7→ Ts belongs to C1([0; S[, C1(D̄; D̄)) with Ts(∂D) = ∂D iii) s 7→ T−1 s belongs to C([0; S[, C1(D̄; D̄)) We refer to [8] and [9] for further discussion on such mappings. The family O is stable under the perturbations Ω 7→ Ωs(V ) = Ts(V )(Ω). We denote by Qs the perturbed cylinder ]0; T[×Ωs(V ), Γs = ∂Ωs and Σs =]0, T[×Γs the perturbed lateral boundary. Let m ≥ 1 be an integer. Let f ∈ L1(I, Hm(D)) with its m-th time- derivative in L1(I, L2(D)). Let ϕ ∈ Hm+1(D) and ψ ∈ Hm(D). Let K be a coercive and symmetric N × N-matrix whose coefficients belong to W2,∞(D). To each element Ω ∈ O we associate the solution y = y(Ω) of the following problem ∂2 t y − div (K∇y) = f on Q y = 0 on Σ y(0) = ϕ on Ω ∂ty(0) = ψ on Ω (2) Throughout this paper we shall note P the operator ∂tty − div (K∇). A Galerking method proves y ∈ H(I, Ω) = H1 (I, L2 (Ω)) ∩ L2 (I, H1 0 (Ω)) For any V ∈ E and s ∈ [0; S] we set ys = y(Ωs) ∈ L2(Qs). Following [5], [6], [13] the mapping Ω 7→ y(Ω) is said to be shape differentiable in L2(I, Hm(D)) ∃Y ∈ C1 ([0; S], L2 (I, Hm (D))) (3) Y (s, ·, ·)|Qs = y(Ωs) (4)
- 14. Sh. Sensitivity Analysis in Hyperbolic Pb. with non Smooth Domains 3 then ∂sY (0, ·, ·)|Q which is the restriction to Q of the derivative with respect to the perturbation parameter s at s = 0 is independent of the choice of Y verifying (3) and (4). (cf. [13]). Definition 1.1 (shape derivative). The shape derivative is that unique element y0 (Ω; V ) = ∂ ∂s Y s=0 (t,x)∈Q ∈ L2 (Q) The weak shape differentiability can be defined analogously, replacing (3) by the existence of Y in C1([0; S], L2 σ(I, Hm(D))). 1.2 Known Results for C2 -boundary When the boundary is C2 it was proven in [11] that (2) has a unique solution in Zm (I, Ω) = ∩m i=0Ci (I, Hm−i (Ω)) In [5], [6] the question of the shape differentiability is solved for various conditions of regularity of the data, but the domain Ω needs to be C2. The main result was Theorem 1.1 (Cagnol-Zolsio, 1997). Let m be a positive integer and let Ω be a domain with a Cmax{m,2} boundary. i) If m ≥ 1 then the solution to (2) is shape differentiable at Ω, strongly in L2(I, Hm−1(D)). ii) If m = 0 hen the solution to (2) is shape differentiable at Ω, weakly in L1(I, L2(D)). the shape derivative y0 ∈ Zm(I, Ω) and is solution to ∂2 t y0 − div (K∇y0) = 0 on Q y0 = −∂y ∂n hV (0), ni on Σ y0(0) = 0 on Ω ∂ty0(0) = 0 on Ω (5) 1.3 Main Result In this paper we extend the result of theorem 1.1 to the case of Lipschitz continuous domains Ω. Problem (2) is well-posed and, as we said earlier, the solution y lies in H(I, Ω). In [7] and [10] it is proven that the normal derivative belongs to L2(Σ). That leads to the well-posedness of (5). Hence looking for the shape derivative in the case of Lipschitz continuous boundaries makes sense. In this paper we shall prove the following result Theorem 1.2. When m = 0, the solution to problem (2) is weakly shape differentiable at Ω in L1(I, L2(D)). The shape derivative y0 belongs to H(I, Ω) and is solution to (5).
- 15. 4 Cagnol and Zolésio Remark 1.1. When m ≥ 1, the result can be improved to a weak differentiability in L∞(I, L2(D)). 2 Mollification of the Domain Given a Lipschitz continuous domain Ω, we build an increasing sequence of smooth sub-domains converging to Ω with Haussdorf convergence of the boundaries. See also [12]. 2.1 Properties of Lipschitz Continuous Domains Definition 2.1. An open set Ω ⊂ RN is said to have the cone property if ∃R 0, ∃θ ∈]0, π 2 [, ∀x ∈ ∂Ω, ∃d, Cx(R, θ, d) ⊂ Ω where Cx(R, θ, d) is the interior of a cone of revolution with the vertex at x, height R cos(θ/2) and the axis pointing toward the versor d. When Ω has a Lipschitz continuous boundary then Ω and RN r Ω have the cone property (cf. [1], [2]). Let R(Ω) and θ(Ω) be the parameters arising from the cone condition on Ω and R(RN rΩ) and θ(RN rΩ) be the parameters arising from the cone condition on RN rΩ. We note R = min(R(Ω), R(RN rΩ)) and θ = min(θ(Ω), θ(RN r Ω)). Remark 2.1. The reals R and θ do not depend on x. Lemma 2.1. Let |X| denote the measure of X, ∃M− 0, ∃M+ 1, ∀κ ≥ 1 R , ∀x ∈ ∂Ω, M− κN ≤ Ω ∩ B x, 1 κ ≤ M+ κN Proof. Let x ∈ ∂Ω, the cone property yields the existence of a versor d such that Cx(1 κ , θ, d) ⊂ Ω. Since 1 κ R we get Cx 1 κ , θ, d ⊂ Ω ∩ B x, 1 κ Let B(p) be the volume of the p-th dimensional ball of radius 1. We refer to [3, pp. 208–210] for an expression of B(p) as a function of p. The volume of the p-th dimensional ball of radius r is B(p)rp. Then, the volume of Cx(1 κ, θ, d) is 1 N 1 κ cos(θ/2)B(N − 1)(1 κ )N−1 hence Ω ∩ B x, 1 κ ≥ 1 N 1 κ cos(θ/2)B(N − 1) 1 κ N−1 therefore Ω ∩ B x, 1 κ ≥ M− κN
- 16. Sh. Sensitivity Analysis in Hyperbolic Pb. with non Smooth Domains 5 with M− = 1 N cos(θ/2)B(N − 1). Considering the cone property for RN r Ω yields the existence of M 0 such that (RN r Ω) ∩ B(x, 1 κ )| ≥ M κN . Let M+ = 1 − M, we obtain Ω ∩ B x, 1 κ ≤ M+ κN Let χ be the characteristic function of Ω and (ρκ) be a mollifier. Let us note ξκ = χ ∗ ρκ. Proposition 2.1. There exists M− 0 and M+ 1 such that ∀κ ≥ 1 R , ∀x ∈ ∂Ω, M− ≤ ξκ(x) ≤ M+ Proof. One has ξκ(x) = R R2 χ(t)ρκ(t − x) dt hence ξκ(x) = R Ω ρκ(t − x) dt. thus ξκ(x) = Z Ω∩B(x, 1 κ ) ρκ(t − x) dt Using the symmetry property of ρκ we get ξκ(x) = Ω ∩ B(x, 1 κ ) B(x, 1 κ) Z B(0, 1 κ ) ρκ(t) dt Lemma 2.1 applies and gives the result. Lemma 2.2. supp ξκ = Ω + B(0, 1 κ ) and supp (1 − ξκ) = (RN r Ω) + B(0, 1 κ) Proof. The lemma is a consequence of supp(χ ∗ρκ) ⊂ supp χ + suppρκ. We use χ ≥ 0 and ρκ ≥ 0 to prove the first equality. The second equality can be proven by the same techniques. Proposition 2.2. Let κ ≥ 1 R and x ∈ RN then ξκ(x) M+ =⇒ x ∈ Ω ξκ(x) M− =⇒ x 6∈ Ω Proof. From proposition 2.1 we have ξ−1 κ (]M+ , +∞[) ∩ ∂Ω = ∅ therefore ξ−1 κ (]M+, +∞[) ⊂ Ω or ξ−1 κ (]M+, +∞[) ⊂ RN r Ω. Elements x of Ω whose distance to the boundary is more than 1 κ satisfy ξκ(x) = 1 thus ξ−1 κ (]M+ , +∞[) ⊂ Ω Analogous arguments show that ξ−1 κ (] − ∞, M−[) ⊂ RN r Ω.
- 17. 6 Cagnol and Zolésio 2.2 Definitions and Preliminary Results Let Gκ ⊂ RN × R be the graph of ξκ. Since ξκ is C∞, the set Gκ is a C∞ manifold. We note π1 : RN × R : (x, y) 7→ x π2 : RN × R : (x, y) 7→ y The restriction of π2 to Gκ is injective. We note Γ(κ, t) = π1 ◦ π2|Gκ −1 (t) ⊂ RN Lemma 2.3. Let κ be a positive integer and α and β be two reals such that 0 ≤ α β ≤ 1. There exists t ∈]α, β[ such that Γ(κ, t) is C∞. Proof. From the Sard’s theorem, the image of the critical points of πκ 2 has measure 0 in R. Hence there exists t ∈]α, β[ such that (π2|Gκ )−1 is not critical, therefore (Γ(κ, t), t) is regular and Γ(κ, t) is C∞. For a real t provided by lemma 2.3, let Ω(κ, t) = (π1 ◦(π2|Gκ )−1)(]t, +∞[) ⊂ RN be the level set, then ∂Ω(κ, t) = Γ(κ, t). Corollary 2.1. Under the hypothesis of lemma 2.3, there exists t ∈]α, β[ such that Ω(κ, t) is C∞. 2.3 Construction of a Sequence The purpose of this section is to build an isotonic sequence of domains (Ωk)k≥0, whose projective limit is Ω. Let α M+. Construction of the first term: Let κ0 be an integer larger that 1 R . Let β0 = 1, from lemma 2.3 there exists t ∈]α, β0[ such that Ω(κ0, t) is C∞. Let us note Ω0 = Ω(κ0, t) and β1 = t. The set Ω0 built that way satisfies Ω0 ⊂ Ω moreover the distance d0 = d(ξ−1 κ0 (M+), ξ−1 κ0 (t)) 0. Construction of the next terms: Let κ1 ≥ max(κ0 + 1, 1 d0 ). There exists t ∈]α, β1[ such that Ω(k1, t) is C∞. Let Ω1 = Ω(κ1, t) and β2 = t. We have Ω1 ⊂ Ω Since ξκ1 (x) = 1 for all x whose distance to the boundary of Ω is less than d0 we have ξκ1 (x) = 1 for all x ∈ Ω0 hence Ω0 ⊂ Ω1 Let d1 = d(ξ−1 κ0 (M+), ξ−1 κ1 (t)) 0. Then we build Ω2 and so on so forth. For each k ≥ 0, Γk = Γ(kκ, βκ) which is also the boundary of Ωk.
- 18. Sh. Sensitivity Analysis in Hyperbolic Pb. with non Smooth Domains 7 2.4 Properties Proposition 2.3. The sequence (Ωk)k≥0 has the subsequent properties i) It is an increasing sequence of domains ii) The limit ∪+∞ k=0Ωk is equal to Ω Proof. i) This is a consequence of the construction ii) Since Ωk ⊂ Ω it is obvious that ∪+∞ k=0Ωk ⊂ Ω. Let x ∈ Ω, since Ω is open there exists r 0 such that B(x, r) ⊂ Ω. Let k be such that κk ≥ max(1 r , k0) then ξk(x) = 1 hence x ∈ Ωk. It follows Ω ⊂ ∪+∞ k=0Ωk. Proposition 2.4. Let K be a compact subset of Ω, there exists k ≥ k0 such that K ⊂ Ωk. Proof. Let r be the distance between K and Ω. Let k be such that κk ≥ max(1 r , κ0) then for all x ∈ K we have ξκk (x) = 1 hence x ∈ Ωk. 2.5 Mollification of the Transported Domain Transported domains Ωs = Ts(Ω) were considered in the introduction. They are Lipschitz continuous so the construction which has been performed with Ω can be repeated for those domains. That yields an isotonic sequence of domains (Ωk s)k≥0 which tends to Ωs. Property 2.4 holds when replacing Ω by Ωs. Once s is given, all subsequent properties on Ω will hold for Ωs as well. Remark 2.2. There is no reason to have Ts(Ωk) = Ωk s. Let Qk s = I × Ωk s, Γk s = ∂Ωk s and Σk s = I × Γk s. We shall note yk s the solution of the problem ∂2 t y − div (K∇yk s ) = f on Qk s yk s = 0 on Σk s yk s (0) = ϕ on Ωk s ∂tyk s (0) = ψ on Ωk s (6) 3 Continuity Result for the Wave Equation In this section and the next one, we suppose m = 0, that is f ∈ L1 (I, L2 (D)), ϕ ∈ H1 (D), ψ ∈ L2 (D) The aim of this section is to prove the solution to the wave equation in the mollified domain tends to the solution of the wave equation in the Lipschitz continuous domain. It is not a general continuity result (see [4]) since it only works with the sequence of domain built in the previous section. In the next section, that convergence will turn out to be enough to prove the shape differentiability result that we are looking for.
- 19. 8 Cagnol and Zolésio 3.1 Weak Convergence For k ≥ 0 we note Qk = I × Ωk and Σk = I × Γk. Let us consider Pyk = f on Qk yk = 0 on Σk yk(0) = ϕ on Ωk ∂tyk(0) = ψ on Ωk (7) That problem has a unique solution in Z1(I, Ωk). The energy estimate gives the subsequent lemma (see [6, lemma 5]) Lemma 3.1. Let O be an open C2 domain in D and µ ∈ Z2(I, O). We note a(µ) = kPµkL1(I,L2(O)) and b(µ) = Z O (K∇µ(0).∇µ(0) + (∂tµ(0))2 )dx then k∂tµkL∞(I,L2(O)) ≤ 2a(µ) + p b(µ) (8) kµkL∞(I,H1 0 (O)) ≤ 2a(µ) + p b(µ) (9) Proposition 3.1. Let O be an open C2 domain in D and µ ∈ Z1(I, O) with Pµ ∈ L1(I, L2(Ω)). With the notations of lemma 3.1, identities (8) and (9) hold. Proof. This proposition is a consequence of lemma 3.1, the the density of Z2(I, O) in Z1(I, O) and the continuity of the wave equation with respect to the data. The hypothesis of that proposition are satisfied for O = Ωk and µ = yk. Let us note ak = kfkL1(I,L2(Ωk)) and bk = Z Ωk (K∇ϕ.∇ϕ + ψ2 )dx then k∂tyk kL∞(I,L2(Ωk)) ≤ 2ak + √ bk kyk kL∞(I,H1 0 (Ωk)) ≤ 2ak + √ bk Let a∗ = kfkL1(I,L2(D)) and b∗ = R D(K∇ϕ.∇ϕ + ψ2)dx then for all k we have ak ≤ a∗ and bk ≤ b∗. Moreover yk can be extended by 0 on RN r Ωk. hence kyk kW 1,∞(I,L2(Ω))∩L∞(I,H1 0 (Ω)) ≤ 2a∗ + √ b∗
- 20. Sh. Sensitivity Analysis in Hyperbolic Pb. with non Smooth Domains 9 that yields kykkH(I,Ω) is bounded, hence there exists a converging subsequence weakly in H1(Q) Let us note y∗ such an2 element. We have y∗ ∈ H(I, Ω) (10) Remark 3.1. As a corollary of (10) we have y∗ = 0 on Σ. Proposition 3.2. One has Py∗ = f on Q Proof. Let θ ∈ C∞ 0 (Q), since Pyk = f on Qk we get ∀θ ∈ C∞ 0 (Q), Z Qk (Pyk )θ − fθ = 0 using proposition 2.4 we obtain the subsequent identity, when k is large enough ∀θ ∈ C∞ 0 (Q), Z Q (Pyk )θ − fθ = 0 lemma 3.4 yields ∀θ ∈ C∞ 0 (Q), R Q(Py∗)θ − fθ = 0 therefore Py∗ = f on Q. Proposition 3.3. One has yk(0) = ϕ and ∂tyk(0) = ψ on Ω. The proof of that lat proposition is analogous to the proof of proposition 3.2. Then we obtain Py∗ = f on Q y∗ = 0 on Σ y∗(0) = ϕ on Ω ∂ty∗(0) = ψ on Ω (11) Since that problem is well-posed we have y∗ = y. The subsequent lemma follows: Proposition 3.4. yk * y weakly in H(I, Ω) as Qk → Q 3.2 Strong Convergence We consider Ek(t) = 1 2 Z Ωk D K∇yk (t), ∇yk (t) E + (∂tyk (t))2 and E∞(t) the corresponding energy when replacing Ωk by Ω and yk by y. Lemma 3.2. Ek(0) → E∞(0) when k → +∞. Proof. One has Ek(0) = 1 2 Z Ωk hKϕ, ϕi + ψ2 since supp ϕ b Ω and supp ψ b Ω, proposition 2.4 gives Ek(0) = 1 2 Z Ω hKϕ, ϕi + ψ2 when k is large enough. 2 At this point we do not know it is unique
- 21. 10 Cagnol and Zolésio Lemma 3.3. One has kykH(I,Ω) = TE∞(0) + Z T 0 Z Ω (T − τ)f∂ty kyk kH(I,Ωk) = TEk(0) + Z T 0 Z Ωk (T − τ)f∂tyk Proof. We shall do the proof for the second identity, the proof of the first one is analogous. The energy estimates gives ∂tEk(t) = Z Ωk f∂ty this gives Ek(τ) = Ek(0) + R τ 0 R Ωk Pyk ∂tyk we get kyk kH(I,Ωk) = Z T 0 Ek(τ) dτ = TEk(0) + Z T 0 Z τ 0 Z Ωk Pyk ∂tyk Proposition 3.5. When k tends to +∞ we have kyk kH(I,Ω) → kykH(I,Ω) Proof. Lemma 3.2 and proposition 3.4 give TEk(0) + Z T 0 Z Ωk (T − τ)f∂ty → E∞(0) + Z T 0 Z Ω (T − τ)f∂ty lemma 3.3 yields kyk kH(I,Ωk) → kykH(I,Ω) since (Ωk) is an increasing sequence of domains and yk is extend by 0 out of Ωk we get kyk kH(I,Ωk) = kyk kH(I,Ω) Corollary 3.1. We have yk → y strongly in H(I, Ω) as Qk → Q Remark 3.2. The same proof gives yk s → ys strongly in H(I, Ωs) as Qk s → Qs for all s ∈ [0, S].
- 22. Sh. Sensitivity Analysis in Hyperbolic Pb. with non Smooth Domains 11 4 Shape Differentiability 4.1 Absolute Continuity Let θ ∈ L1(I, L2(D)), we note hk (s) = Z Qk s yk s θ dx dt h(s) = Z Qs yθ dx dt the shape differentiability for smooth domains gives h0k (s) = Z Qk s y0 sθ dx dt Let ȳ be the solution to the subsequent well-posed problem P(ȳ) = 0 on Q ȳ = −∂y ∂n hV (0), ni on Σ ȳ(0) = 0 on Ω ∂tȳ(0) = 0 on Ω (12) at this point we do not know that ȳ is the shape derivative of the state function y, and it is precisely what we are going to prove. Let us note h̄(s) = Z Qs ȳsθ dx dt The absolute continuity of hk gives ∀k ∈ N∗ , ∀s ∈ [0, S], hk (s) = hk (0) + Z s 0 h0k (σ) dσ (13) From proposition 3.4, the left hand side and the first term of the right hand side converge to h(s) and h(0) respectively. To prove the absolute continuity of h it is sufficient to prove that R s 0 h0k(σ) dσ converges to R s 0 h̄(σ) dσ as k tends to +∞. To achieve that goal let us introduce the following adjoint problem P(Λk s ) = θ on Qk s Λk s = 0 on Σk s Λk s(T) = 0 on Ωk s ∂tΛk s(T) = 0 on Ωk s (14) From proposition 3.1 we get Λk s → Λs strongly in H(I, Ωs) as Qk s → Qs
- 23. 12 Cagnol and Zolésio Following [6] we have Lemma 4.1. Let Ks = (DTs)−1(K ◦ Ts)(∗DT−1 s ) then h0k (s) = 1 4 Z Σk s ∂(yk s + Λk s ) ∂nk s 2 − ∂(yk s − Λk s ) ∂nk s 2 ! D Ksnk s , nk s E D V (s), nk s E dΓ dt For the sake of shortness we suppose K = I. Following [6] we have Lemma 4.2. Let µk s ∈ L2(I, H1 0 (Ωk s )) ∩ H1(I, L2(Ωk s )) such that Pµk s ∈ L2(Qk s ) then Z Σk s ∂µk s ∂nk s 2 D V (s), nk s E = −2 Z Ωk s ∂tµk s (0) D ∇µk s(0), V (s)(0) E − Z Qk s D (div (V (s) − 2ε(V ))∇µk s , ∇µk s E −2 Z Qk s Pµk s D ∇µk s, V (s) E + Z Qk s ∂tµk s 2 div (V − s) − 2∂tµk s D ∇µk s, V (s) E Let µk s,α = yk s + αΛk s with α ∈ {−1; 1}. It satisfies the hypothesis of lemma 4.2 since Pyk s = f and PΛk s = θ, Moreover yk s and Λk s as well as their time derivative and its gradient vanish on Ωs rΩk s, therefore the integrals on Ωk s and Qk s of lemma 4.2 can be replaced by integrals on Ωs and Qs respectively. It follows that h̄k(s) converges to Z Σs ∂(ys + Λs) ∂ns 2 − ∂(ys − Λs) ∂ns 2 ! hKsns, nsi hV (s), nsi dΓ dt it follows the Proposition 4.1. One has lim k→+∞ h̄k (s) = h0 (s) From lemma 3.1, the real hk(s) is dominated by a constant independent of s and k. Since ak s and bk s are bounded by a∗ and b∗ respectively. Corollary 4.1. The function h is absolutely continuous. 4.2 Differentiability Lemma 4.3. When s → 0 one has ys * y in H1 (I × D) Proof. Proposition 3.1 works with O = Ωs and µ = ys. Since we extend ys by zero out of Ωs we get kyskW 1,∞(I,L2(D))∩L∞(I,H1(D)) ≤ 2a∗ + √ b∗
- 24. Sh. Sensitivity Analysis in Hyperbolic Pb. with non Smooth Domains 13 Since a∗ and b∗ depend only on the hold-all D, we extract a subsequence converging to an element y∗. The last point to be proven is that y∗ is solution of (2). Even though we do not have an isotonic sequence, property 2.4 holds when replacing Ωk by Ωs and “k large enough” by “s small enough”. The only problem is to prove y∗ vanishes on the lateral boundary Σ. Let dX denote the distance to the set X. The convergence of the boundary gives dΩs → dΩ strongly in L2(I × D), hence dΩs ys → dΩy in L2(I × D) as s → 0. Since ys = 0 on D r Ω̄s and dΩs = 0 on Ωs, we get dΩy = 0 hence y = 0 almost everywhere in DrΩ. As Ω is Lipschitz continuous, it has the Keldysh stability property, therefore y = 0 quasi everywhere in DrΩ̄. That yields y = 0 on ∂(D r Ω̄). We end up with y∗ = 0 on Σ. Proposition 4.2. When s → 0 one has ys → y strongly in H1 (I × D) Proof. The proof is based on the ideas of section 3.2. The energy to be considered is 1 2 Z Ωs hK∇ys(t), ∇ys(t)i + (∂tys(t))2 Again, we do not have an isotonic sequence, however because Ωs is the image of Ω by the flow mapping Ts, each compact of Ω is included in Ωs for s small enough. We derive kyskH(I,Ωs) → kykH(I,Ω) when s → 0. That leads to kyskH(I,D) → kykH(I,D). Since a∗ and b∗ depend only on D, the domination of kyskH(I,D) is straightforward. That proves lim s→0 h̄(s) = h̄(0) That gives the weak shape differentiability in L1(I, L2(D)) of the state function. Remark 4.1. When m = 0, taking θ ∈ L∞(I, L2(Ω)) is required because the weak shape differentiability for C2-boundary takes place in L1(I, L2(Ωk)). When m ≥ 1, the test θ can be taken L1(I, L2(θ)), that leads to the shape differentiability in L∞(I, L2(D)) of the state function. References [1] S. Agmon, Lectures on Elliptic Boundary Value Problems, Van Nostrand Mathe- matical Studies, 1965.
- 25. 14 Cagnol and Zolésio [2] C. Baiocchi and A. Capelo, Variational and quasivariational inequalities, John Wiley Sons Inc., New York, 1984. [3] M. Berger and B. Gostiaux, Differential geometry: manifolds, curves, and surfaces, Springer-Verlag, New York, 1988. [4] D. Bucur, Contrôle par rapport au domaine dans les EDP, PhD thesis, Ecole des Mines de Paris, 1995. [5] J. Cagnol and J.-P. Zolésio, Hidden shape derivative in the wave equation, in Systems modelling and optimization (Detroit, MI, 1997), Chapman Hall/CRC, Boca Raton, FL, 1999, pp. 42–52. [6] , Shape derivative in the wave equation with Dirichlet boundary conditions, J. Differential Equations, 158 (1999), pp. 175–210. [7] A. Chaïra, Equation des ondes et régularité sur un ouvert lipschitzien, Comptes Rendus de l’Académie des Sciences, Paris, series I, Partial Differential Equations, 316 (1993), pp. 33–36. [8] M. C. Delfour and J.-P. Zolésio, Structure of shape derivatives for non smooth domains, Journal of Functional Analysis, 104 (1992), pp. 1–33. [9] , Shape analysis via oriented distance functions, Journal of Functional Analysis, 123 (1994), pp. 129–201. [10] , Hidden boundary smoothness in hyperbolic tangential problems on non- smooth domains, in Systems modelling and optimization (Detroit, MI, 1997), Chapman Hall/CRC, Boca Raton, FL, 1999, pp. 53–61. [11] I. Lasiecka, J.-L. Lions, and R. Triggiani, Non homogeneous boundary value problems for second order hyperbolic operators, Journal de Mathématiques pures et Appliquées, 65 (1986), pp. 149–192. [12] J. Nečas, Sur les domaines de type N, Czechoslovak Math, 12 (1962), pp. 274–287. (Russian with a French summary). [13] J.-P. Zolésio, Introduction to shape optimization and free boundary problems, in Shape Optimization and Free Boundaries, M. C. Delfour, ed., vol. 380 of NATO ASI, Series C: Mathematical and Physical Sciences, Kluwer Academic Publishers, 1992, pp. 397–457.
- 26. Unbounded Growth of Total Variations of Snapshots of the 1D Linear Wave Equation due to the Chaotic Behavior of Iterates of Composite Nonlinear Boundary Reflection Relations Goong Chen(1),(2), Texas AM University, College Station, Texas Tingwen Huang(1), Texas AM University, College Station, Texas Jonq Juang(3), National Chiao Tung University, Hsinchu, Taiwan, ROC Daowei Ma(4), Wichita State University, Wichita, Kansas Abstract Consider a linear one-dimensional wave equation on an interval. If the boundary conditions are also linear, then the total variation of the gradient (wx(·, t), wt(·, t)) on the spatial interval remains bounded as t → ∞, provided that the initial condition (w(·, 0), wt(·, 0)) has finite total variation. However, if we let the left-end boundary condition pump energy into the system linearly, while the right-end boundary condition be self- regulating of the van der Pol type with a cubic nonlinearity, then chaotic vibrations occur when the parameters enter a certain regime. In this paper, we characterize the chaotic behavior of the gradient (wx(·, t), wt(·, t)) by proving that its total variation grows unbounded (with generically given initial conditions) as t → ∞, even though the initial condition has a finite total variation. The proofs are obtained by the technique of interval covering sequences based on Stefan cycles and homoclinic orbits of the composite nonlinear boundary reflection map. (1) E-mails: gchen@math.tamu.edu and tingwen.huang@math.tamu.edu. (2) Supported in part by Texas AM University Interdisciplinary Research Initiative IRI 99-22. (3) Work completed while on sabbatical at Texas AM University. Supported in part by a grant from NSC of R.O.C. E-mail: jjuang@math.nctu.edu.tw. (4) E-mail: dma@math.twsu.edu. 15
- 27. 16 Chen et al. 1 Introduction In this paper, we study a special property of chaotic vibration of the wave equation, that of unbounded growth of total variations of snapshots (wx(·, t), wt(·, t)) on the spatial interval of the one-dimensional (1D) wave equation as t → ∞. Earlier, in a series of papers [3–6], we have studied chaotic vibration of the 1D wave equation wxx(x, t) − wtt(x, t) = 0, 0 x 1, t 0, (1.1) subject to the following boundary conditions left-end x = 0: wt(0, t) = −ηwx(0, t), η 0, η 6= 1, t 0; (1.2) right-end x = 1: wx(1, t) = αwt(1, t) − βw3 t (1, t), 0 α ≤ 1, β 0, (1.3) where the boundary condition (1.2) signifies energy injection or pumping into the system, while (1.3) signifies a feedback with cubic nonlinearity of the van der Pol type. Note that in (1.1) we have set the spatial domain to be the unit interval I ≡ (0, 1) just for convenience. Two initial conditions w(x, 0) = w0(x), wt(x, 0) = w1(x), 0 x 1, (1.4) are also prescribed. Then it was established in [5] that for fixed α, β, the composite reflection map Gη ◦ Fα,β : ¯ I → ¯ I is chaotic (cf. [5, (9)–(12)] or (1.9)–(1.10) below for Gη and Fα,β) and, therefore, for initial conditions (1.4) of generic type, (wx(x, t), wt(x, t)) displays chaotic behavior. Here, we follow Devaney’s definition of chaos [8]; see also [2]. To make this paper sufficiently self-contained, let us repeat the solution procedure for (1.1)–(1.4) from [4] using the method of characteristics. Define u(x, t) = 1 2 [wx(x, t) + wt(x, t)], v(x, t) = 1 2 [wx(x, t) − wt(x, t)]. (1.5) Then (u, v) satisfies the following initial-boundary value problem (IBVP), a first-order diagonalized symmetric hyperbolic system ∂ ∂t u(x, t) v(x, t) = 1 0 0 −1 ∂ ∂x u(x, t) v(x, t) , 0 x 1, t 0, (1.6) with boundary conditions [u(0, t) − v(0, t)] = −η[u(0, t) + v(0, t)], (1.7) u(1, t) + v(1, t) = α[u(1, t) − v(1, t)] + β[u(1, t) − v(1, t)]3 . (1.8)
- 28. Unbounded Growth of Total Variations 17 The algebraic equations (1.7) and (1.8) define the reflection relations v(0, t) = Gη(u(0, t)) ≡ 1 + η 1 − η u(0, t), (1.9) u(1, t) = Fα,β(v(1, t)), (1.10) at, respectively, the left-end x = 0 and the right-end x = 1, where in (1.10), Fα,β : R → R is a nonlinear mapping such that for each given v ∈ R, u ≡ Fα,β(v) is the unique real solution of the cubic equation β(u − v)3 + (1 − α)(u − v) + 2v = 0. (1.11) The initial conditions are now u(x, 0) = u0(x) = 1 2[w0 0(x) + w1(x)], v(x, 0) = v0(x) = 1 2[w0 0(x) − w1(x)], 0 x 1. (1.12) From time to time, we also need that u0 and v0 satisfy the compatibility conditions v0(0) = Gη(u0(0)), u0(1) = Fα,β(v0(1)). (1.13) Using the maps Fα,β and Gη, we can represent the solution (u, v) of (1.6) explicitly as follows [5, (13), (14), p. 425]: for t = 2k + τ, k = 0, 1, 2, . . . , 0 ≤ τ 2 and 0 ≤ x ≤ 1, u(x, t) = (Fα,β ◦ Gη)k(u0(x + τ)), τ ≤ 1 − x, G−1 η ◦ (Gη ◦ Fα,β)k+1(v0(2 − x − τ)), 1 − x τ ≤ 2 − x, (Fα,β ◦ Gη)k+1(u0(τ + x − 2)), 2 − x τ 2; v(x, t) = (Gη ◦ Fα,β)k(v0(x − τ)), τ ≤ x, Gη ◦ (Fα,β ◦ Gη)k(u0(τ − x)), x τ ≤ 1 + x, (Gη ◦ Fα,β)k+1(v0(2 + x − τ)), 1 + x τ 2, (1.14) where (Gη◦Fα,β)n = (Gη◦Fα,β)◦(Gη◦Fα,β)◦· · ·◦(Gη◦Fα,β), the n-times iterative composition of Gη ◦ Fα,β. Since the solution representation (1.14) depend on (Gη ◦ Fα,β)n, it constitutes a natural Poincaré section for the solution of (1.6). We say that the solution of (1.6) is chaotic if the map Gη ◦ Fα,β : ¯ I → ¯ I (or Gη ◦ Fα,β : I → I, where I is an invariant subset of Gη ◦ Fα,β contained in ¯ I) is chaotic. Since (wx, wt) is topologically conjugate to (u, v) in the sense of [4, §5], we also say that the gradient w of the system (1.1)–(1.4) is chaotic. The orbit diagram of the map Gη ◦ Fα,β, where α and β are held fixed, say α = 1/2, β = 1, and only η is varying, can be seen from [5, Fig. 3, p. 433] (for 0 η 1) and [5, Fig. 4, p. 434] (for η 1), wherein period-doubling cascades are manifest. For the purpose of making this paper sufficiently self-contained,
- 29. 18 Chen et al. we reproduce these two figures in Figs. 1 and 2, respectively. Furthermore, the existence of homoclinic orbits has been established for the parameter range 1 − 1 + α 3 √ 3 . 1 + 1 + α 3 √ 3 ≤ η 1, 1 η ≤ 1 + 1 + α 3 √ 3 . 1 − 1 + α 3 √ 3 . (1.15) See [5, Theorems 4.1 and 4.2, pp. 436–439]. Let us now observe a few snapshots of the solution (u, v) of (1.6)–(1.12). Choose initial conditions w(x, 0) = 0.2 sin π 2 x , wt(x, 0) = 0.2 sin(πx), x ∈ [0, 1], (1.16) and, thus u0(x) = (0.1) · hπ 2 cos π 2 x + sin(πx) i , v0(x) = (0.1) · hπ 2 cos π 2 x − sin πx i (1.17) are the initial conditions for (1.6)–(1.12). We display the snapshots of u(·, t) and v(·, t) using (1.14) in Figs. 3∼8, with the following parameter values: α = 0.5, β = 1, (1.18) Figs. 3 ∼ 4 : η = 0.525, t = 52, (1.19) Figs. 5 ∼ 6 : η = 0.525, t = 102, (1.20) Figs. 7 ∼ 8 : η = 1.52 t = 52. (1.21) For the value η = 0.525 used for Figs. 3–6, the map Gη ◦Fα,β has just completed its period-doubling cascade, as can be seen from the orbit diagram [5, Fig. 3, loc. cit.]. Regarding the profiles of u and v, we see that as t increases from t = 52 in (1.19) to t = 102 in (1.20), there is a very noticeable increase of “oscillatory ripples” from Figs. 3∼4 to Figs. 5∼6 (with the presence of some “macroscopically coherent periodic structure”). Let us further look at Figs. 7 and 8, where for the parameter value η = 1.52 in (1.21), (1.15) implies the existence of a homoclinic orbit (cf. (1.15)2); the profiles of u and v therein look extremely oscillatory at time t = 52, resembling something akin to “white noise”, along with the disappearance of any coherent patterns. The highly oscillatory behavior of u and v as displayed in these figures motivated us to pose the following question: “[Q] Assume that the composite reflection map Gη ◦ Fα,β is chaotic. Does there exist a large class of initial conditions (u0, v0) for (1.6), (1.9), (1.10), and (1.12) such that V¯ I(u0, v0) ∞ but lim t→∞ [V¯ I((u(·, t)) + V¯ I(v(·, t))] = ∞?” (1.22) In (1.22), V[a,b](f) denotes the total variation of a given function f on interval [a, b]; see the definition in [1, p. 165], for example.
- 30. Unbounded Growth of Total Variations 19 Fig. 1. The orbit diagram of Gη ◦ Fα,β Gη ◦ Fα,β Gη ◦ Fα,β, with α = 0.5, β = 1 α = 0.5, β = 1 α = 0.5, β = 1, and η η η being the varying parameter, 0 η 1 0 η 1 0 η 1. Fig. 2. The orbit diagram of Gη ◦ Fα,β Gη ◦ Fα,β Gη ◦ Fα,β, with α = 0.5, β = 1 α = 0.5, β = 1 α = 0.5, β = 1, and η η η being the varying parameter, η 1 η 1 η 1.
- 31. 20 Chen et al. Fig. 3. The profile of u(x, t) u(x, t) u(x, t) at t = 52 t = 52 t = 52, with α = 0.5 α = 0.5 α = 0.5, β = 1, η = 0.525 β = 1, η = 0.525 β = 1, η = 0.525, for the system (1.6), (1.7), (1.8) and (1.17). (Reprinted from [5, p. 436], courtesy of World Scientific, Singapore.) Fig. 4. The profile of v(x, t) v(x, t) v(x, t) at t = 52 t = 52 t = 52, with α = 0.5, β = 1, η = 0.525 α = 0.5, β = 1, η = 0.525 α = 0.5, β = 1, η = 0.525, for the system (1.6) (1.7), (1.8) and (1.17). (Reprinted from [5, p. 346], courtesy of World Scientific, Singapore.)
- 32. Unbounded Growth of Total Variations 21 Fig. 5. The profile of u(x, t) u(x, t) u(x, t) at t = 102 t = 102 t = 102, with α = 0.5, β = 1, η = 0.525 α = 0.5, β = 1, η = 0.525 α = 0.5, β = 1, η = 0.525, for the system (1.6) (1.7), (1.8) and (1.17). (Reprinted from [5, p. 437], courtesy of World Scientific, Singapore.) The chaos here is due to the period-doubling cascade. Fig. 6. The profile of v(x, t) v(x, t) v(x, t) at t = 102 t = 102 t = 102, with α = 0.5, β = 1, η = 0.525 α = 0.5, β = 1, η = 0.525 α = 0.5, β = 1, η = 0.525, for the system (1.6) (1.7), (1.8) and (1.17). (Reprinted from [5, p. 437], courtesy of World Scientific, Singapore.) As with Fig. 5, the chaos here is due to the period-doubling cascade.
- 33. 22 Chen et al. Fig. 7. The profile of u(x, t) u(x, t) u(x, t) at t = 52 t = 52 t = 52, with α = 0.5, β = 1, η = 1.52 α = 0.5, β = 1, η = 1.52 α = 0.5, β = 1, η = 1.52, for the system (1.6) (1.7), (1.8) and (1.17). (Reprinted from [5, p. 442], courtesy of World Scientific, Singapore.) The chaos here is due to a homoclinic orbit of Gη ◦ Fα,β Gη ◦ Fα,β Gη ◦ Fα,β. Fig. 8. The profile of v(x, t) v(x, t) v(x, t) at t = 52 t = 52 t = 52, with α = 0.5, β = 1, η = 1.52 α = 0.5, β = 1, η = 1.52 α = 0.5, β = 1, η = 1.52, for the system (1.6) (1.7), (1.8) and (1.17). (Reprinted from [5, p. 442], courtesy of World Scientific, Singapore.) As with Fig. 7, the chaos here is due to a homoclinic orbit of Gη ◦ Fα,β Gη ◦ Fα,β Gη ◦ Fα,β.
- 34. Unbounded Growth of Total Variations 23 In this paper, we give some informative answers to the question [Q] posed above. The rest of the paper is divided into three parts. In §2, we present a few facts about linear vibration in order to show the contrasts between linearity and nonlinearity. The main theorems are established in §3. In §4, miscellaneous discussions are given. A useful proposition, which was used in §2, is given separately in the Appendix near the end of the paper. 2 Bounds on the Total Variation of (u(·, t), v(·, t)) (u(·, t), v(·, t)) (u(·, t), v(·, t)) of the Linear Wave Equation as t → ∞ t → ∞ t → ∞ Consider the wave equation (1.1), but with linear boundary conditions such as left-end x = 0 : w(0, t) = 0, t 0, (2.1) right-end x = 1 : wx(1, t) = 0, t 0, (2.2) in lieu of (1.2) and (1.3). Let the initial conditions satisfy w(x, 0) = w0(x) ∈ H1 0 (0, 1), wt(x, 0) = w1(x) ∈ L2 (0, 1), (2.3) where H1 0 (0, 1) = {f : (0, 1) → R | f(0) = 0; f, f0 ∈ L2 (0, 1)} is a Sobolev space with norm kfkH1 0 (0,1) = Z 1 0 (f2 + f02 )dx 1/2 . Then for the system (1.1), (2.1)–(2.3), the energy E(t) = 1 2 Z 1 0 [w2 x(x, t) + w2 t (x, t)]dx (2.4) is conserved and, therefore, we have the estimate kw(·, t)kH1 0 (0,1) + kwt(·, t)kL2(0,1) ≤ C(kw0kH1 0 (0,1) + kw1kL2(0,1)) (2.5) for some constant C 0 independent of (w0, w1). This type of Sobolev estimates is quite well known for the IBVP of the linear wave equation. Not so well known are similar types of estimates in terms of total variations for the linear wave equation. Let us convert (1.1), and (2.1)–(2.3) into a first- order diagonalized symmetric hyperbolic system (1.6) through (1.5). Then (2.1) and (2.2) lead to the reflection relations v(0, t) = G(u(0, t)) ≡ u(0, t), u(1, t) = F(v(1, t)) ≡ −v(1, t), t 0. (2.6)
- 35. 24 Chen et al. Assume that the initial conditions u0 and v0 (cf. (1.12)) are continuous on ¯ I and satisfy the compatibility conditions v0(0) = G(u0(0)), u0(1) = F(v0(1)). (2.7) Then from the representation formula (1.14) we easily obtain V¯ I(u(·, t)) + V¯ I(v(·, t)) = V¯ I(u0) + V¯ I(v0), ∀ t 0, (2.8) i.e., the sum of the total variations of u and v at any t on ¯ I is conserved. If u0 and v0 are continuous on ¯ I but the compatibility conditions in (2.7) are violated, then discontinuities can propagate along characteristics x − t = −k, x + t = 1 + k for k = 0, 1, 2, . . . so (2.8) needs to be modified to V¯ I(u(·, t)) + V¯ I(v(·, t)) ≤ V¯ I(u0) + V¯ I(v0) + C, ∀ t 0, (2.9) for some constant C: C ≡ |u0(0) − v0(0)| + |u0(1) + v0(1)|. (2.10) Using (1.5) and (2.9), we further deduce that V¯ I(wx(·, t)) + V¯ I(wt(·, t)) ≤ 2[V¯ I (w0 0) + V¯ I(w1) + e C] (2.11) for some constant e C 0. From w(x, t) = Z x 0 wx(ξ, t)dξ and for any {xk ∈ [0, 1] | k = 0, 1, . . . , n} satisfying 0 = x0 x1 x2 · · · xn = 1, n−1 X k=0 |w(xk+1, t) − w(xk, t)| = n−1 X k=0 Z xk+1 xk wx(ξ, t)dξ ≤ n−1 X k=0 1 2 Z xk+1 xk dξ + Z xk+1 xk w2 x(ξ, t)dξ = 1 2 + Z 1 0 w2 x(x, t)dx, (2.12) we obtain V¯ I(w(·, t)) ≤ 1 2 + Z 1 0 w2 x(x, t)dx. Therefore (2.11) can be furthered strengthened. We summarize the above in the following.
- 36. Unbounded Growth of Total Variations 25 Theorem 2.1. Consider the system (1.1), (2.1), (2.2) and (2.3), with w0 ∈ C1([0, 1]) and w1 ∈ C0([0, 1]). Then V¯ I(w(·, t)) + V¯ I(wx(·, t)) + V¯ I(wt(·, t)) ≤ 2[V¯ I (w0 0) + V¯ I(w1) + E(0) + e e C], (2.13) for some e e C 0 depending only on C in (2.10). From the estimate (2.13) we see that if w0 ∈ C1(¯ I) and w1 ∈ C0(¯ I), then as t → ∞, the left-hand side (LHS) of (2.13) remains bounded, provided that initially w0 0 and w1 have bounded total variations. The LHS of (2.13) can grow unbounded (when and) only when initially (at least one of) w0 0 and w1 have unbounded total variations. This is possible, as shown in the following example. Example 2.1. Choose w0(x) = Z x 0 ξ(ξ − 1) sin 1 ξ dξ, w1(x) = 0; 0 x 1. Then (w0, w1) ∈ H1 0 (0, 1) × L2(0, 1). The compatibility conditions (2.7)1 and (2.7)2 are satisfied. Therefore the solution (u, v) of (1.6), (2.6)–(1.12) is continuous for any (x, t) ∈ [0, 1] × [0, ∞). Here w0 0(x) = x(x − 1) sin 1 x , 0 x 1, is easily verified to have V¯ I(w0 0) = ∞. We see that the LHS of (2.13) is ∞ for any t 0. Next, let us consider, again, linear boundary conditions but somewhat different from the ones in (2.1) and (2.2). The IBVP system is wxx(x, t) − wtt(x, t) = 0, x ∈ (0, 1), t 0, wt(0, t) + γw(0, t) = 0, t 0, wx(1, t) = 0, t 0, w(x, 0) = w0(x), wt(x, 0) = w1(x), x ∈ (0, 1). (2.14) Note that the boundary condition (2.14)2 is integrable along the t-direction: w(0, t) = w(0, 0)e−γt , t ≥ 0. (2.15) Again, converting (2.14) into a first-order diagonalized symmetric hyperbolic system using (1.5) and utilizing (2.15), we obtain the following snapshots at t = 1, 2, . . . , inductively: u0(x), v0(x) are given (according to (1.12)); and w(0, 0) is also known, u(x, k + 1) = −v(1 − x, k), v(x, k + 1) = u(1 − x, k) + γake−γe−γ(1−x), ak+1 = w(0, k + 1) = e−γw(0, k), w(0, 0) ≡ a0. (2.16)
- 37. 26 Chen et al. If γ 0, then (2.15) implies that w(x, t) can grow unbounded in general and, therefore, the total variations of w, wx, wt, u and v can not be expected to remain bounded even if the initial condition w0 and w1 (or u0, v0) have bounded total variations at t = 0. This is a classical instability case. So let us only consider the case γ 0. (The case γ = 0 is already covered in Theorem 2.1.) Theorem 2.2. For (2.14), let u and v be defined by (1.5). Then there exist a constant C 0, depending only on γ 0 and the right side of (2.10), such that V¯ I(u(·, t)) + V¯ I(v(·, t)) ≤ V¯ I(u0) + V¯ I(v0) + C. (2.17) Proof. We need only establish (2.17) for integral values of t. Let us use (2.16) to verify that the following holds: V¯ I(u(·, 2k)) ≤ V¯ I(u0) + γ|a0|Ak, V¯ I(u(·, 2k + 1)) ≤ V¯ I(v0) + γ|a0|Bk, V¯ I(v(·, 2k)) ≤ V¯ I(v0) + γ|a0|Bk, V¯ I(v(·, 2k + 1)) ≤ V¯ I(u0) + γ|a0|Ak+1, (2.18) for k = 1, 2, . . . , where Ak = e−γ − e−(2k−1)γ 1 − e−2γ , Bk = e−2γ − e−2(k+1)γ 1 − e−2γ . We prove by induction. When k = 1, (2.16) gives u(x, 1) = −v0(1 − x), v(x, 1) = u0(1 − x) + γa0e−γe−γ(1−x), a1 = a0e−γ; u(x, 2) = −u0(x) − γa0e−γe−γx, v(x, 2) = −v0(x) + γa0e−2γe−γ(1−x), a2 = a0e−2γ; u(x, 3) = v0(1 − x) − γa0e−2γe−γx, v(x, 3) = −u0(1 − x) − γa0e−γe−γ(1−x) + γa0e−3γe−γ(1−x), a3 = a0e−3γ. Therefore, (2.18) is clear for k = 1. Suppose (2.18) is valid for k ≤ n. We now prove (2.18) for k = n + 1. By (2.16), u(x, 2(n + 1)) = −v(1 − x, 2n + 1); V¯ I(u(·, 2(n + 1))) = V¯ I(v(·, 2n + 1)) ≤ V¯ I(u0) + γ|a0|An+1; (2.19) v(x, 2(n + 1)) = u(1 − x, 2n + 1) + γa2n+1e−γ e−γ(1−x) = u(1 − x, 2n + 1) + γa0e−(2n+2)γ e−γ(1−x) .
- 38. Unbounded Growth of Total Variations 27 Thus V¯ I(v(·, 2(n + 1))) ≤ V¯ I(u(·, 2n + 1)) + V¯ I(γa0e−2(n+1)γ e−γ(1−x) ) ≤ V¯ I(u(·, 2n + 1)) + γ|a0|e−2(n+1)γ ≤ V¯ I(v0) + γ|a0|B2n + γ|a0|e−2(n+1)γ = V¯ I(v0) + γ|a0| · e−2γ − e−2(n+1)γ 1 − e−2γ + e−2(n+1)γ # = V¯ I(v0) + γ|a0| · e−2γ − e−2(n+2)γ 1 − e−2γ = V¯ I(v0) + Bn+1. (2.20) Therefore, (2.18)1 and (2.18)3 are verified by (2.19) and (2.20), respectively. The proof of (2.18)2 and (2.18)4 can be done in the same way. Therefore we have proved (2.17). Corollary 2.1. For the IBVP (2.14), assuming that w0 ∈ C1([0, 1]) and w1 ∈ C0([0, 1]). Then the estimate (2.13) holds for t 0. If, instead of the linear boundary conditions pair (2.14)2 and (2.14)3, we consider wx(0, t) − γw(0, t) = 0, γ 0, t 0, wt(1, t) = 0, t 0, (2.21) where one of them is of Robin type [7, §1.2 and 1.3], then the treatment becomes much more challenging. After some extra efforts, we have succeeded in establishing an estimate similar to (2.13), as shown below. Theorem 2.3. Consider the system (1.1), (2.21), with initial conditions w0 ∈ C1([0, 1]) and w1 ∈ C0([0, 1]) in (1.4). Then there exist two positive constants C1, C2 such that VI(w(·, t)) + VI(wx(·, t)) + VI(wt(·, t)) ≤ C1[VI(w0 0) + VI(w1)] + C2 (2.22) for all t 0. Proof. First, we will establish the inequality VI(u(·, t)) + VI(v(·, t)) ≤ e C1[VI(u0) + VI(v0)] + e C2 (2.23) for some positive constants e C1 and e C2, for all t 0, from which (2.22) will naturally follow. Here, as before, u, v, u0 and v0 are defined through (1.5) and (1.12).
- 39. 28 Chen et al. From (2.21)1, we have [u(0, t) + v(0, t)] − γ Z t 0 [u(0, τ) − v(0, τ)]dτ + w(0, 0) = 0, v(0, t) + γ Z t 0 v(0, τ)dτ = − u(0, t) − γ Z t 0 u(0, τ)dτ + γw(0, 0), e−γt d dt eγt Z t 0 v(0, τ)dτ = −eγt d dt e−γt Z t 0 u(0, τ)dτ + γw(0, 0), which, after further simplification and integrations by parts, leads to v(0, t) = −u(0, t) + 2γ Z t 0 e−γ(t−τ) u(0, τ)dτ + γw(0, 0)e−γt , t 0. (2.24) This is the reflection relation at the left end x = 0. At the right end x = 1, the reflection relation is u(0, t) = v(0, t), t 0. (2.25) From (2.24) and (2.25), it is clear (based on a representation similar to (1.14)) that (2.23) will hold if we can prove that there exist two positive constants b C1 and b C2 such that V[0,T](v(0, ·)) ≤ b C1 · V[0,T](u(0, ·)) + b C1, for all T 0, (2.26) under the assumption of (2.24). (The reflection relation (2.25) is easy and simple so it does not require any separate consideration.) But (2.24) implies (2.26), following the application of a technical Proposi- tion A in the Appendix near the end of the paper. We leave out the details that (2.23) yields (2.22). Note that if (2.21)2 is replaced by wx(1, t) = 0, then (2.25) correspondingly will be changed to u(0, t) = −v(0, t) and the arguments from (2.24) through (2.26) also need to be adapted accordingly. Nevertheless, such modifications are straightforward and the estimate (2.22) remains valid. As a summary of this section, we have successfully shown that for major typical homogeneous linear boundary conditions of the wave equation, the total variations of the snapshot of the gradient as well as the state of the wave equation at any time t on I will remain uniformly bounded in time, if the initial total variation on I is finite.
- 40. Unbounded Growth of Total Variations 29 3 Unbounded Growth of the Total Variations of (u(·, t), v(·, t)) (u(·, t), v(·, t)) (u(·, t), v(·, t)) as t → ∞ t → ∞ t → ∞ When Chaotic Vibration Occurs This is the main section of the paper where we will treat question [Q]. Let us first estimate the growth of total variations of (u(·, t), v(·, t)) due to the post period-doubling of the reflection map Gη ◦ Fα,β. We will utilize special properties of the Stefan Cycle as given in Robinson [11, pp. 67–70]. Let fµ : J → J be continuous on a finite closed interval J ⊂ R. Assume that fµ has completed a period-doubling cascade as the parameter µ crosses a value µ0. Therefore, we may now assume that fµ has a prime periodic point with period n = m·2k, where m is an odd integer greater than or equal to 3, as such an n is above the doubling cascade portion · · ·2j 2j−12j−2· · ·2 in Sharkovskii’s ladder. From now on, to simplify notation, we just write fµ as f. Define g = f2k . Then g has a periodic orbit O = {xj | j = 1, 2, . . . , m} (3.1) of prime odd period m such that g(xj) = xj+1, for j = 1, 2, . . . , m − 1, (3.2) satisfying either xm xm−2 · · · x3 x1 x2 x4 · · · xm−1 (3.3) or xm−1 xm−3 · · · x4 x2 x1 x3 · · · xm−2 xm. (3.4) Let us just treat the case (3.3) below because relation (3.4) is just a reflection of (3.3) centered at x1 and all the arguments for (3.3) will also go through for (3.4) after a straightforward modification. Now define ([11, p. 67]) m−1 closed intervals I1 = [x1, x2], I2 = [x3, x1], I3 = [x2, x4], . . . , I2j−1 = [x2j−2, x2j], (3.5) I2j = [x2j+1, x2j−1], . . . , for j = 2, . . . , (m − 1)/2. For two closed intervals J1 and J2, we say that J1 f-covers J2, in notation J1 f −→ J2, if J2 ⊆ f(J1). Then we have the following. Proposition 3.1. ([11, p. 68]) Assume that J is a finite closed interval and g: J → J is continuous with a prime periodic orbit of odd period m. Then there exist m − 1 closed subintervals I1, I2, . . . , Im−1 of J defined through (3.1)–(3.3) and (3.5) that overlap at most at endpoints such that I1 g −→ I2 g −→ I3 g −→ · · · g −→ Im−1 g −→ I1 g −→ I1 ∪ I2. (3.6)
- 41. 30 Chen et al. Theorem 3.1. Assume that J is a closed interval and g: J → J is continuous with a prime periodic orbit of odd period m. Then lim n→∞ VJ (gn ) = ∞. (3.7) Proof. We first show that lim k→∞ VI1 (gkm ) = ∞; see I1 defined in (3.5)). (3.8) Utilizing (3.6), we have I1 gm-covers I1 ∪ I2. Therefore VI1 (gm ) ≥ `(I1) + `(I2) = (x2 − x1) + (x1 − x3) = x2 − x3, by (3.5), (3.9) where `(Ij) denotes the length of the interval Ij. Also, since I1 gm-covers I1 ∪I2, we can find two subintervals I1,1 and I1,2 of I1, overlapping at most at endpoints, such that gm (I1,1) = I1, gm (I1,2) = I2. (3.10) Next, from (3.6) and (3.10), we have I1,1 gm −→ I1 g −→ I2 g −→ I3 g −→ · · · Im−1 g −→ I1 g −→ I1 ∪ I2, (3.11) I1,2 gm −→ I2 g −→ I3 g −→ I4 g −→ · · · Im−1 g −→ I1 g −→ I1 g −→ I1 ∪ I2, (3.12) and, therefore, I1,1 has two subintervals I1,11 and I1,12 such that g2m (I1,11) = I1 and g2m (I1,12) = I2, (3.13) with I1,11 and I1,12 overlapping at most at endpoints. Similarly, from (3.12), we obtain two closed subintervals I1,21 and I1,22 of I1,2, overlapping at most at endpoints, such that g2m (I1,21) = I1, g2m (I1,22) = I2. We therefore obtain VI1 (g2m ) ≥ VI1,11 (g2m ) + VI1,12 (g2m ) + VI1,21 (gm ) + VI1,22 (gm ) ≥ `(I1) + `(I2) + `(I1) + `(I2) = 2(x2 − x3). This process can be continued indefinitely. In general, from a subinterval I1,a1a2...ak where aj = 1 or 2 for j = 1, 2, . . . , k, we have I1,a1a2...ak−1,1 gkm −→ I1 g −→ I2 g −→ I3 g −→ · · · g −→ Im−1 g −→ I1 ∪ I2, I1,a1a2...ak−1,2 gkm −→ I2 g −→ I3 g −→ I4 g −→ · · · g −→ Im−1 g −→ I1 g −→ I1 ∪ I2.
- 42. Unbounded Growth of Total Variations 31 From either of the above two sequences we can find two subintervals I1,a1...ak1 and I1,a1...ak2 of I1,a1...ak , overlapping at most at endpoints, such that g(k+1)m (I1,a1...ak1) = I1 and g(k+1)m (I1,a1... ,ak2) = I2, and because the collection of subintervals {I1,a1a2...akak+1 | aj = 1, 2; j = 1, 2, . . . , k + 1} has non-overlapping interior, VI1 (g(k+1)m ) ≥ X aj =1,2 j=1,... ,k+1 VI1,a1a2...akak+1 (g(k+1)m) ) ≥ (k + 1)(x2 − x3) → ∞ as k → ∞. (3.14) Therefore, we have established (3.8). To show (3.7), it is sufficient to show lim k→∞ VI1 (gkm+j ) = ∞, for j = 1, 2, . . . , m − 1. We utilize the covering sequence I1 gj −→ Ij+1 g −→ Ij+2 g −→ · · · g −→ Im−1 g −→ I1 g −→ I1 g −→ · · · g −→ I1 | {z } I1 appearing j+1 times g −→ I1 ∪ I2 to deduce that I1 has two closed subintervals I (j) 1,1 and I (j) 1,2, overlapping at most at endpoints, such that gm+j (I (j) 1,1) = I1, gm+j (I (j) 1,2) = I2. Inductively, if I (j) 1,a1... ,ak is constructed, satisfying either I (j) 1,a1... ,ak−11 gkm+j − − − − − − − → I1 g −→ I2 g −→ I3 g −→ · · · g −→ Im−1 g −→ I1 g −→ I1 ∪ I2, or I (j) 1,a1...ak−12 gkm+j − − − − − − − → I2 g −→ I3 g −→ I4 g −→ · · · g −→ Im−1 g −→ I1 g −→ I1 g −→ I1∪I2, depending, respectively, on ak = 1 or 2, then we can find I (j) 1,a1... ,ak ’s two subintervals I (j) 1,a1... ,ak1 and I (j) 1,a1... ,ak2, overlapping at most at endpoints, such that g(k+1)m+j (I (j) 1,a1...ak1) = I1, g(k+1)m+j (I (j) 1,a1...ak2) = I2. Again, we have VI1 (g(k+1)m+j ) ≥ X aj =1,2 j=1,... ,k+1 VI1,a1...ak+1 (g(k+1)m+j) ≥ (k+1)(x2 −x3) → ∞ as k → ∞. The proof of (3.7) is now complete.
- 43. 32 Chen et al. Corollary 3.1. Assume that J is a closed interval f : J → J is continuous with a prime periodic orbit of period m · 2k, where m is odd. Then lim n→∞ VJ (fn ) = ∞. (3.15) Proof. Let O1 = {f`(ξ) | ` = 0, 1, . . . , m·2k −1} be an orbit of f with prime period m · 2k. Then O2 = {fj·2k (ξ) | j = 1, 2, . . . , m} is an orbit of g ≡ f2k with prime period m. Write O2 in the form of (3.1) such that (3.2), (3.3) and (3.5) are satisfied. Therefore, we have O2 = {xj | j = 1, 2, . . . , m} and for some integer j1 : 0 j1 ≤ m, x1 = fj1·2k (ξ), x2 = f(j1+1)·2k (ξ), . . . , xm = f(j1+m)·2k (ξ). The main idea of the proof is to show that lim j→∞ Ve I0 (fj·(m·2k)+`) = ∞ (3.16) for any ` = 0, 1, 2, . . . , m·2k −1, for some subinterval e I0 ⊆ J (where e I0 depends on given `). Given any such ` ∈ {0, 1, 2, . . . , m · 2k − 1}, we can find a positive integer ˆ ` 0 such that ` + ˆ ` = j1 · 2k (modm · 2k ). Define y1 = f ˆ ` (ξ), y2 = f ˆ `+2k (ξ), e I` 0 = ( [y1, y2], if y1 y2, [y2, y1], if y1 y2. (3.17) Then f` (y1) = f`+ˆ ` (ξ) = fj1·2k (ξ) = x1, f` (y2) = f`+ˆ `+2k (ξ) = f(j1+1)·2k (ξ) = x2, and we have the covering sequence e I` 0 f` −→ I1 g −→ I2 g −→ I3 g −→ · · · g −→ Im−1 g −→ I1 g −→ I1 ∪ I2, where g = f2k . So e I` 0 contains two subintervals e I` 0,1 and e I` 0,2, overlapping at most at endpoints, such that fm·2k+` (e I` 0,1) = I1, fm·2k+` (e I` 0,2) = I2. In general, if e I` 0,a1...ap is constructed, for aj = 1, 2, j = 1, 2, . . . , p, satisfying the following covering sequences
- 44. Unbounded Growth of Total Variations 33 (i) if ap = 1, then e I` 0,a1... ,ap−11 fpm·2k+` − − − − − − − → I1 g −→ I2 g −→ · · · g −→ Im−1 g −→ I1 g −→ I1 ∪ I2; (3.18) (ii) if ap = 2, then e I` 0,a1...ap−12 fpm·2k+` − − − − − − − → I2 g −→ I3 g −→ · · · g −→ Im−1 g −→ I1 g −→ I1 g −→ I1 ∪ I2. (3.19) From (3.18) and (3.19), we have two subintervals e I` 0,a1...ap1 and e I` 0,a1...ap2 of e I0,a1...ap , such that f(p+1)·m·2k+` (e I` 0,a1...ap1) = I1, f(p+1)·m·2k+` (e I` 0,a1...ap2) = I2. The rest of the arguments follows in the same way as in the proof of Theorem 3.1. Therefore (3.16) follows from each ` ∈ {0, 1, . . . , m·2k−1}. Hence (3.15) follows. Theorem 3.2. Consider the IBVP (1.6)–(1.8), and (1.12). Assume that the composite reflection map f = Gη ◦ Fα,β has a periodic orbit O = {f`(ξ) | ` = 0, 1, . . . , m · 2k − 1}, with prime period m · 2k, where m is odd. Further, assume that the initial conditions u0 and v0 in (1.12) are continuous and satisfy the compatibility conditions in (1.13) such that for some integer j0 : 0 ≤ j0 ≤ m · 2k − 1, fj0 (ξ), fj0+2k (ξ) ∈ Range z, z ≡ u0 or z ≡ v0. (3.20) Then lim t→∞ [V¯ I(u(·, t)) + V¯ I(v(·, t))] = ∞. (3.21) Proof. Let us assume that {fj0 (ξ), fj0+2k (ξ)} ⊆ Range u0. Then we can construct a subinterval e I` 0 as in (3.17) by letting ` = j0 therein. From the proof of Cor. 3.1 and (1.14), we easily deduce that lim n→∞ [V¯ I(u(·, n)) + V¯ I(v(·, n))] = ∞. It is also easy to show that for any τ : 0 τ 1, by using the continuity of the total variations with respect to τ, that lim n→∞ [V¯ I(u(·, n + τ)) + V¯ I(v(·, n + τ))] = ∞. Therefore (3.21) follows.
- 45. 34 Chen et al. Remark 3.1. It seems natural to believe that Theorem 3.2 remains valid even if condition (3.20) is weakened to the following: “there exist integers j1 and j2 : 0 ≤ j1 j2 ≤ m · 2k − 1, such that fj1 (ξ), fj2 (ξ) ∈ (Range u0) ∪ (Range v0).” (3.22) However, in order to establish (3.21) under condition (3.22), the arguments used in the proof of Cor. 3.1 also need to be considerably strengthened in order to take care of the laborious “bookkeeping” details of finer interval covering sequences, which we do not yet have an elegant way to handle so far. Next, we study the growth of total variations of snapshots (u(·, t), v(·, t)) when the composite reflection map Gη ◦ Fα,β has homoclinic orbits. There are two cases to be considered: (i) η 1, and (ii) 0 η 1. Write f = Gη ◦ Fα,β. Here we only consider the case that f has a bounded invariant interval J such that f : J → J. For this to hold, we need [5, Lemma 2.5] either (i) M ≡ 1 + η 1 − η 1 + α 3 r 1 + α 3β ≤ 1 + η 2η r 1 + αη βη , if 0 η 1, (3.23) or (ii) M ≡ − 1 + η 1 − η 1 + α 3 r 1 + α 3β ≤ 1 + η 2 r α + η β , if η 1, (3.24) in addition to (1.15), with J = [−M, M]. (3.25) Two graphs of f are provided in Figs. 9 and 10, where η = 0.552, 1.812, respectively. Theorem 3.3. Assume that 0 α ≤ 1, β 0, η 0 and η 6= 1. Assume also that (1.15), (3.23)–(3.25) are also satisfied so that J = [−M, M] is a bounded invariant interval of Gη ◦ Fα,β. Then lim n→∞ VJ ((Gη ◦ Fα,β)n ) = ∞. Proof. We first consider the case η 1. Define a sequence of points {xi ∈ J | i = 0, 1, 2, . . . } as follows. Let x0 = vI = q 1+α β , the positive v-axis intercept of f [5, (32), p. 428], x1 = min{f−1(x0)}, x2 = f−1(x1), . . . xn+1 = f−1(xn), . . . (3.26)
- 46. Unbounded Growth of Total Variations 35 Then for n = 0, 1, 2, . . . , xn ∈ J and xn ↓ 0 as n → ∞. Also, define subintervals I0 = [x1, x0], I1 = [x2, x1], . . . , In = [xn+1, xn], . . . . (3.27) Then because f(I0) = [0, x1] we have the following covering sequence In f −→ In−1 f −→ In−2 f −→ · · · f −→ I1 f −→ I0 f −→ n [ j=1 Ij (3.28) f −→ Ik f −→ Ik−1 f −→ · · · f −→ I1 f −→ I0 f −→ n [ `=1 I`, for k = 1, . . . , n. (3.29) Therefore from (3.28), In has n subintervals In,j, j = 1, 2, . . . , n, overlapping at most at endpoints, such that fn (In,j) = Ij, j = 1, 2, . . . , n. (3.30) Fig. 9. A degenerate homoclinic orbit of the map f = Gη ◦ Fα,β, where α = 0.5, β = 1 α = 0.5, β = 1 α = 0.5, β = 1 and η = 0.552 η = 0.552 η = 0.552. (Reprinted from [5, p. 426], courtesy of World Scientific, Singapore.) Using the second part of the covering sequence in (3.29) Ik f −→ Ik−1 f −→ · · · f −→ I0 f −→ In−k f −→ · · · f −→ I2 f −→ I1 f −→ I0 f −→ n [ `=1 I`,
- 47. 36 Chen et al. Fig. 10. A degenerate homoclinic orbit of the map f = Gη ◦ Fα,β f = Gη ◦ Fα,β f = Gη ◦ Fα,β, where α = 0.5 α = 0.5 α = 0.5, β = 1 β = 1 β = 1 and η = 1.812 η = 1.812 η = 1.812. (Reprinted from [5 p. 426], courtesy of World Scientific, Singapore.) we also obtain n subintervals Ik,1, . . . , Ik,n of Ik, overlapping at most at endpoints, such that fn (Ik,j) = Ij, j = 1, . . . , n; for k = 1, 2, . . . , n − 1. (3.31) From (3.30) and (3.31), we obtain V[0,x0](fn ) ≥ V[xn+1,x0](fn ) ≥ n X k,j=1 VIk,j (fn ) ≥ n X k=1 [(x0 − x1) + (x1 − x2) + · · · + (xn − xn+1)] = n(x0 − xn+1) → ∞, as n → ∞. (3.32) Next, we consider the case 0 η 1. Let us modify (3.26) only slightly by redefining (3.26)2 as x1 = max{f−1 (x0)}, x1 0. (3.33) The rest of (3.26) remains unchanged. Now, define intervals I0 = [x2, x0], I1 = [x1, x3], I2 = [x4, x2], I3 = [x3, x5], . . . , I2n = [x2n+2, x2n], I2n+1 = [x2n+1, x2n+3], . . . , (3.34) using the fact that x1 x3 x5 · · · x2n+1 · · · 0 · · · x2n x2n−2 · · · x4 x2 x0.
- 48. Unbounded Growth of Total Variations 37 Then because f(I0) = [x1, 0], we have the following covering sequence I2n+1 f −→ I2n f −→ I2n−1 f −→ · · · f −→ I1 f −→ I0 f −→ n [ j=0 I2j+1. The rest of the proof can be done in the same way as in (3.28)–(3.32). Theorem 3.4. Consider the IBVP (1.6)–(1.8), (1.12). Assume that η satisfies either (3.23) or (3.24) so that the composite reflection map f = Gη ◦ Fα,β has a bounded invariant interval J = [−M, M] and a homoclinic orbit in J. Further, assume that the initial conditions u0 and v0 in (1.12) satisfy the compatibility conditions in (1.13) such that Range z ⊇ In, z ≡ u0 or z ≡ v0 for some n ∈ {0, 1, 2, . . . , }, cf. (3.27) or (3.34). (3.35) Then lim t→∞ [V¯ I(u(·, t)) + V¯ I(v(·, t))] = ∞. Proof. Same as that of Theorem 3.2. Remark 3.2. We believe that (3.35) can be weakened at least to Range u0∪ Range v0 ⊇ In, for some n ∈ {0, 1, 2, . . . }. Remark 3.3. The proof of Theorem 3.3 is essentially similar to those of Theorem 3.1 and Corollary 3.1, and is based on the following fact: “Let J be a finite closed interval and f : J → J is continuous. If f has a homoclinic orbit in J, then lim n→∞ VJ(fn ) = ∞”. (3.36) Actually, (3.36) above stands alone as a theorem itself and can also be proved by quoting the proofs of Theorem 3.1 and Corollary 3.1, provided that the homoclinic orbit in (3.36) is nondegenerate, because by Theorem 1.16.5 in Devaney [8, p. 124], the map f is then topologically conjugate to the shift map σ on P 2 and, therefore, f has some periodic orbits of prime period m · 2k, with m being odd and k ∈ {0, 1, 2, . . . }. Hence the proofs of Theorem 3.1 and Corollary 3.1 apply. When the homoclinic orbit in (3.36) is degenerate, then f is “more chaotic” (than the case when the homoclinic orbit is nondegenerate) and has homoclinic bifurcations. The renormalization procedure for the “model case” quadratic map fµ(x) = µx(1−x) as µ → 4 (the degenerate homoclinic orbit case) as mentioned in [8, §1.16] suggests that for µ = 4, f4 should be in the “post period doubling era” and therefore, f4 has many period-m · 2k orbits, with m being odd. It is quite obvious that our f in (3.36) ought to also have this kind of period-m · 2k orbits (when the homoclinic orbit in (3.36) is degenerate) and, therefore, the
- 49. 38 Chen et al. proofs of Theorem 3.1 and Corollary 3.1 again apply. Nevertheless, we could not locate a precise reference to this effect. In passing, we may also note that the condition (3.35) is stated quite differently from (3.20), in the sense that the end-points of intervals In in (3.35) are not periodic points. (Or rather, the end-points of In have an “infinite periodicity”.) 4 Miscellaneous Remarks In this paper, we have successfully shown that when chaotic vibration occurs for the wave equation caused by the nonlinear boundary condition specified here, the total variations of snapshots tend to infinity as t → ∞ for a large class of initial data, even though the total variation of any such initial data is finite at time t = 0. Our theorems in §3 have covered the case of “stable” chaos on a bounded invariant interval. A different type of “unstable” chaos, discussed in [5, §5], happens on an invariant Cantor set (rather than a bounded invariant interval, because the map Gη ◦ Fα,β does not have one for that set of α, β and η values). In that case, it is trivial to show that the total variations of snapshots also tend to infinity as t → ∞ for a large class of initial data, even though initially, the total variation of the state is finite. One may ask a converse question to [Q]: “[−Q] Assume that there exist initial conditions (u0, v0) for (1.6), (1.9), (1.10) and (1.12) and an invariant interval ¯ I of Gη ◦ Fα,β such that V¯ I(u0, v0) ∞, V¯ I(u(·, t)) + V¯ I(v(·, t)) → ∞ as t → ∞. (4.1) Is the map Gη ◦ Fα,β necessarily chaotic?” The answer is negative, as the following counterexample has shown. Example 4.1. Let α = 0.5, β = 1, either η ∈ (0, 0.433) or η ∈ (2.312, ∞). Then as Figs. 1 and 2 ([5, Figs. 3 and 4, pp. 433–434]) have shown, the map Gη ◦ Fα,β has a locally attracting period-2 orbit near 0, which is repelling. Let g(x) = x2. For x ∈ [0, 1], u0(x) = x2, if x = 1 n , n = 1, 2, . . . , 0, if x = 2n + 1 2n(n + 1) , n = 1, 2, . . . , 2(n + 1) n x − 2n + 1 n2 , if x ∈ h 2n + 1 2n(n + 1) , 1 n i − 2n n + 1 x + 2n + 1 (n + 1)2 , if x ∈ h 1 n + 1 , 2n + 1 2n(n + 1) . (4.2) Then u0(x) is continuous. Choose any v0, continuous of bounded total variation satisfying the compatibility condition (1.13). On each subinterval h 1 n+1, 1 n i , the
- 50. Other documents randomly have different content
- 51. Im Schießen mit seinem Matrosenrevolver that es niemand Slade gleich. Wie die Sage erzählt, sah er eines Morgens in Rocky Ridge, als er eben recht gut aufgelegt war, einen Mann daherkommen, der ihm einige Tage vorher zu nahe getreten war. Er zog seinen Revolver mit den Worten: »Meine Herren, ein Schuß auf gut zwanzig Schritt – ich halte auf den dritten Rockknopf!« Und er traf den Knopf zur Bewunderung aller Umstehenden. Diese gingen dann auch sämtlich mit zur Leiche. Einmal fiel Slade in die Hände einer Bande, die sich zusammen gethan hatte, um ihn zu lynchen. Er wurde entwaffnet und in einem starken Blockhause bewacht. Da überredete er seine Feinde, seine Frau holen zu lassen, um sie noch ein letztesmal zu sehen. Sie war ein tapferes, mutiges Weib und ihm unbedingt ergeben. Sofort warf sie sich auf ein Pferd und ritt davon auf Leben und Tod. Man ließ sie undurchsucht zu ihm hinein, und ehe man noch die Thür zu schließen vermochte, hatte sie ein paar Pistolen hervorgeholt, unter deren Schutz sie samt ihrem Herrn Gemahl siegreich herausdrang, worauf sie beide unter lebhaftem Feuer ihre Pferde bestiegen und unverletzt davonsprengten! Fahrplanmäßig waren wir indessen bei einer Poststation angerasselt und ließen uns mit einer halbwilden Gesellschaft bewaffneter bärtiger Gebirgsbewohner, Bauern und Stationsleute, zum Frühstück nieder. Nirgends noch hatten wir einen so anständigen, ruhigen und freundlichen Beamten auf unserer ganzen Reise getroffen, wie den, der hier am Tische obenan saß, Schulter an Schulter neben mir. Wer beschreibt mein Staunen und mein Entsetzen, als ich ihn Slade nennen hörte. Hier saß der Romanheld, und ich ihm gegenüber Aug' in Auge! Ich sah ihn, – berührte ihn – trank sozusagen mit ihm aus einem Glase! Da, dicht neben mir saß der Menschenfresser, der in Gefechten, bei Raufereien und sonstigen Anlässen sechsundzwanzig Menschen das Lebenslicht ausgeblasen hatte, es müßte denn alle Welt an ihm zum Lügner geworden sein. In diesem Augenblick erfüllte mich ein Gefühl
- 52. des Stolzes, wie es wohl vor mir noch nie ein so junges Bürschchen empfunden hatte, das ausgezogen war, um fremde Länder und merkwürdige Menschen zu schauen. Er war so freundlich und artig, daß ich mich trotz seiner abstoßenden Lebensgeschichte zu ihm hingezogen fühlte. Man vermochte es nur mit Mühe zu fassen, daß diese angenehme Persönlichkeit die erbarmungslose Geißel verbrecherischen Gesindels, der Popanz und wilde Mann war, mit dem die Mütter im Gebirge ihre kleinen Kinder fürchten machten. Und noch heute wüßte ich von Slade nichts irgend Auffallendes zu berichten, als daß sein Gesicht über die Backenknochen herüber ziemlich breit war, während diese selbst niedrig standen, und daß er auffallend schmale und gerade geschnittene Lippen hatte. Doch genügten diese Züge, um einen nachhaltigen Eindruck auf mich zu machen, denn so ich seither ein Gesicht mit den erwähnten besonderen Merkmalen sehe, muß ich fast immer in dem Besitzer desselben einen gefährlichen Menschen vermuten. Der Kaffee ging zur Neige. Wenigstens war nur noch eine einzige Blechtasse voll da, welche Slade eben für sich nehmen wollte, als er sah, daß ich eine leere Tasse vor mir hatte. Höflich bot er mir an, mir solche zu füllen, was ich, obwohl ich den Kaffee recht gut brauchen konnte, ebenso höflich ablehnte. Ich fürchtete, daß er an jenem Morgen vielleicht noch niemand umgebracht haben und deshalb einer Zerstreuung benötigen könnte. Allein er bestand mit fester Höflichkeit darauf, mir die Tasse vollzugießen und meinte, ich sei die ganze Nacht durch gefahren und habe es nötiger als er – und unter diesen Worten schenkte er mir den Kaffee bis auf den letzten Tropfen ein. Dankend trank ich denselben aus, allein er schmeckte mir nicht sonderlich, denn ich konnte immer noch nicht gewiß wissen, ob ihn seine Freigebigkeit nicht gereuen und er mich dann etwa umbringen würde, um seine Gedanken von seinem Verluste abzulenken. Es kam jedoch nichts derart vor. Als wir uns von ihm verabschiedeten, hatte er nicht mehr als sechsundzwanzig Blutthaten auf dem Gewissen und ich empfand eine recht angenehme Befriedigung bei dem Gedanken, daß ich durch die
- 53. weise Rücksicht, die ich der Nummer 1 am Frühstückstisch hatte zu teil werden lassen, mir das Schicksal erspart hatte, Nummer 27 zu werden. Slade kam heraus an den Wagen und sah uns zu beim Wegfahren, nachdem er zuvor die Postsäcke bequemer für uns hatte packen lassen; dann nahmen wir Abschied von ihm, in der angenehmen Hoffnung, bald wieder etwas von ihm zu vernehmen und waren nur begierig, in welchem Zusammenhang dies der Fall sein werde.
- 54. Elftes Kapitel. nd richtig hörten wir zwei oder drei Jahre darauf wieder von ihm. Da traf die Kunde an den Gestaden des Stillen Ozeans ein, daß er vom Sicherheitsausschuß in Montana (dahin war er von Rocky Ridge aus übergesiedelt) gehenkt worden sei. Slade hatte sich hier dem Trunke ergeben. Während er in nüchternem Zustand für einen aufmerksamen Ehegatten, einen höchst gastfreien Wirt und einen höflichen Mann gelten mußte, konnte dagegen jeder, der ihm im Branntweinrausch inmitten einer Bande bewaffneter Lümmel begegnete, in ihm nur einen eingefleischten Teufel erblicken. Oft sah man ihn mit einem oder einigen seiner Genossen auf einem und demselben Pferde in der Stadt Virginia erscheinen, wo er unter Jauchzen, Brüllen und Pistolenschüssen durch die Straßen galoppierte. Er ritt dann in Läden hinein, zerbrach die Ladentische, warf die Wagschalen auf die Straße und überschüttete die Anwesenden mit den gröbsten Beleidigungen. Er trat in Schank- und Tanzlokale und schoß nach den Lampen, so daß alles Reißaus nahm. Es war etwas ganz Alltägliches, daß die Kaufleute, wenn Slade ›sich einen Jux machte‹, die Läden schlossen und die Lichter löschten. So machte er sich viele Feinde und schließlich kam es zur entscheidenden Wendung. Slade war wieder einmal betrunken gewesen und hatte die Stadt zur reinen Hölle gemacht. Am andern Morgen verhaftete ihn der Sheriff und brachte ihn vor Gericht, wo er ihm den Verhaftsbefehl vorzulesen versuchte. Allein Slade, wütend darüber, nahm das Schriftstück, zerriß es und trat es mit Füßen. Gleichzeitig hörte man an den Revolvern aller seiner Gefährten die Hähne knacken; so mußte der Sheriff vorläufig nachgeben und Slade als Herrn der Situation, triumphierend über Gesetz und Recht, ziehen lassen. Damit war der Krieg erklärt. Der Sicherheitsausschuß fühlte, daß jetzt bei diesem Anlaß die Frage zur Entscheidung kommen müsse, ob die gesellschaftliche Ordnung und die gesetzliebenden Bürger
- 55. oder Slades dreister Uebermut die Oberhand behalten sollten. Seinen Tod wollte man noch nicht, nur gezüchtigt und gebändigt sollte er werden. Ein Mitglied des Ausschusses warnte ihn und erteilte ihm den Rat, unverzüglich zu Pferde zu steigen und nach Hause zu reiten. Allein er schlug die Warnung in den Wind. Nun sollte er abermals verhaftet werden, und da man zu zeigen wünschte, daß im ganzen Thale eine und dieselbe Anschauung über die Sache herrsche, so wurde ein Bote nach Nevada geschickt, um die maßgebenden Persönlichkeiten von den Vorgängen zu unterrichten. Darauf traten die Bergleute in Masse zusammen, verließen ihre Arbeit und rückten in einer sechshundert Mann starken Abteilung, sämtlich bis an die Zähne bewaffnet, nach Virginia hinauf. Der Führer kannte die Erbitterung seiner Leute gegen Slade und seine Genossen. Er jagte voraus, rief den Ausschuß zusammen und sagte offen, die Bergleute nehmen die Sache ernst; sich in einem Straßenkampfe von Slade und dessen Leuten totschießen zu lassen, dazu hätten sie keine Lust, sie hätten vielmehr vor, denselben zu fassen und zu hängen. Obwohl der Ausschuß dieses Aeußerste nicht wollte, erklärte derselbe schließlich doch, er wolle sich dem Willen der Bergleute fügen und die Sache in deren Hände legen. Slade befand sich gerade in einem Kaufladen, als die Kolonne der Bergleute im Geschwindschritt vor denselben rückte. Der
- 56. Vollstreckungsbeamte des Ausschusses trat vor und verhaftete Slade mit der Eröffnung, daß sein Tod beschlossen sei. Dieser war hierüber im höchsten Maße betroffen; er versank in die tiefste Niedergeschlagenheit und bat unaufhörlich um sein Leben sowie um die Vergünstigung, seine Frau sehen zu dürfen, die auf ihrem Rancho am Madisonflusse wohnte. Sie wurde durch einen Boten benachrichtigt, worauf sie sich ohne Besinnen aufs Pferd warf, um die zwölf Meilen rauhen Felsbodens, die sie von dem Gegenstand ihrer heißen Liebe trennten, im Fluge zu durcheilen. Inzwischen hatte eine Anzahl Freiwilliger die erforderlichen Vorkehrungen für die Hinrichtung getroffen. In einem Viehhof mit hohem Thor wurde dieses letztere zu einem Galgen hergerichtet, indem man den Strick am oberen Querbalken befestigte. Eine Kiste wurde als Tritt darunter gestellt. Hierher wurde Slade von einer starken wohlbewaffneten Mannschaft geleitet. Er hatte sich mit Thränen, Gebeten und Klagen dermaßen erschöpft, daß er kaum imstande war, sich unter dem verhängnisvollen Balken auf den Füßen zu halten. So bot sich auch bei ihm das psychologisch so merkwürdige und doch im Charakter des echten Desperado tief begründete Schauspiel, daß ein Mann, der in den gefährlichsten Lagen des Lebens jederzeit einen bis zur Tollkühnheit gehenden Mut bewiesen, angesichts eines der Aufregung des Kampfes entbehrenden Todes die Fassung völlig verlor. Seine Frau bekam er all seines Bittens und Flehens ungeachtet nicht mehr zu sehen. Dieselbe würde jedenfalls den Versuch gemacht haben, ihn mit Hilfe ihrer Freunde zu befreien, und die Rücksicht auf die damit unvermeidlich verbundenen blutigen Folgen erlaubte es nicht, seinem Verlangen zu willfahren. Sobald alles bereit war, erging der Befehl: »Leute, thut eure Pflicht!« Die Kiste wurde ihm unter den Füßen weggezogen und fast augenblicklich war der Tod eingetreten. Nach einer Weile wurde der Leichnam abgeschnitten und in einem verdunkelten Zimmer des Virginia-Hotels aufgebahrt. Kaum war man damit zustandegekommen, so kam die unglückliche Lebensgefährtin des Hingerichteten angesprengt, aber nur um sich zu überzeugen, daß alles bereits vorüber und sie Witwe geworden.
- 58. Zwölftes Kapitel. leich hinter der Frühstücksstation holten wir einen Zug mormonischer Auswanderer von dreiunddreißig Wagen ein. Müde einherschreitend und ihre Viehherde vor sich hertreibend, kamen Dutzende grob gekleideter Männer, Weiber und Kinder mit trübseligen Mienen an uns vorüber, die so wie heute acht endlose Wochen lang Tag für Tag marschiert waren, um eine Strecke zurückzulegen, die wir mit der Post in acht Tagen und drei Stunden durchmessen hatten – siebenhundertachtundneunzig Meilen. Sie waren staubüberzogen und ungekämmt, ohne Kopfbedeckung, zerlumpt und sahen, ach, so müde aus! Nach dem Frühstück nahmen wir ein Bad im Horse Creek, einem (voreinst) klaren, perlenden Bache – ein sehr schätzenswerter Genuß – denn es kam höchst selten vor, daß unsre rasende Kutsche lange genug hielt, um uns etwas derartiges zu
- 59. gestatten. Alle vierundzwanzig Stunden wechselten wir zehn- oder zwölfmal die Pferde – oder vielmehr die Maultiere – und dazu brauchten wir fast immer nur vier Minuten. Da ging es lebhaft zu. Sobald unsre Kutsche an der Station angerasselt kam, schritten sechs angeschirrte Maultiere frisch und munter aus dem Stalle; und fast mit Augenblickesschnelle war der alte Zug aus- und der neue eingespannt und wir schon wieder auf und davon. Während des Nachmittags kamen wir an Sweetwater Creek, Independance Rock, Devils Gate und Devils Gap vorüber. Die letzteren boten eine wilde, hochromantische und interessante Scenerie – wir waren jetzt im Herzen der Felsengebirge. Auch am ›Alkali-‹ oder ›Soda-See‹ kamen wir vorbei; und als der Postillon bemerkte, daß die Mormonen häufig von der Salzseestadt aus hieher kämen, um Saleratus zu holen, kam es uns doch recht zum Bewußtsein, daß wir schon ein hübsches Stückchen Welt durchreist hatten. Erst wenige Tage vorher hätten sie zwei Wagenladungen reinen Saleratus vom Boden des Sees (dieser lag trocken) aufgeschaufelt, der nichts koste und den sie zu Hause für fünfundzwanzig Cents das Pfund verkaufen könnten. In der Nacht fuhren wir an einer höchst beachtenswerten Merkwürdigkeit vorüber, von der wir seit einem oder zwei Tagen viel hatten reden hören und auf die wir sehr begierig waren. Es war dies sozusagen ein natürlicher Eiskeller. Es war jetzt August und unter Tags glühend heiß, und doch brauchte man auf einer Station den Boden unter einigen Felsbrocken am Bergesabhang nur sechs Zoll tief aufzuscharren, um reine Eisblöcke herauszuschneiden – hart, festgefroren und kristallklar! Gegen Morgengrauen gingen wir wieder unter Segel, und während wir eben bei aufgezogenen Vorhängen unsere Morgenpfeife genossen und den ersten Schimmer der aufgehenden Sonne betrachteten, wie er an der langen Reihe von Bergkuppen hinschwebte und Zacke um Zacke, Gipfel um Gipfel vergoldete, als wenn der unsichtbare Schöpfer Heerschau über seine Veteranen hielte und diese ihm lächelnd ihren Gruß entböten, kamen wir in
- 60. Sicht der Südpaßstadt. Der Gasthofbesitzer, der Postmeister, der Grobschmied, der Bürgermeister, der Konstabler, der Stadtmarschall und der ansehnlichste Bürger und Hausbesitzer, sie allesamt kamen freundlich grüßend heraus und wir wünschten ihnen guten Tag. Sie erzählten uns einiges von den Indianern und aus dem Gebirge, und wir berichteten dagegen etwas von den Ebenen. Dann zogen die Herrschaften sich in ihre einsame Größe zurück, während wir zwischen den wolkenumhangenen Felszacken weiter aufwärts kletterten. Die Südpaßstadt bestand aus vier Blockhütten, worunter eine noch unfertige, und zählte zehn Bürger. Der vornehmste derselben vereinigte in seiner Person die sämtlichen oben erwähnten Aemter und Titel. Man denke nur: Gasthofbesitzer, Postmeister, Grobschmied, Bürgermeister, Konstabler, Stadtmarschall und erster Bürger – alles zu einer Person verdichtet und in eine Haut gestopft! Bemis meinte, das sei ein wahrer Allen-Revolver von Würden; sollte der Mann in seiner Eigenschaft als Postmeister oder als Grobschmied, oder auch am Ende in diesen beiden Eigenschaften mit Tod abgehen, so wäre das vielleicht für die Bürgerschaft noch zu ertragen; müßte er dagegen in all seinen Eigenschaften zugleich sterben, so wäre dies ein ganz entsetzlicher Verlust für die Gemeinde. Und so waren wir denn endlich in dem berühmten Südpasse und rollten lustig über der gemeinen Welt dahin. Wir fuhren auf der höchsten Stelle der Hauptkette des Felsengebirges, nach der wir Tag und Nacht geduldig, unablässig emporgeklettert waren, inmitten einer Versammlung von Bergkönigen, die ihre Häupter zehn-, zwölf-, ja dreizehntausend Fuß erhoben. Diese Sultane des Gebirges trugen Turbane aus zusammengeballten Wolkenmassen, die sich bisweilen in einzelne Fetzen auflösten und zerfranst und zerzaust davonschwebten, ihre langgedehnten Schatten hinter sich her schleifend, bis sie bald wieder an einem Felshorn hängen blieben. Sie hüllten dasselbe eine Zeitlang brütend ein und zogen darauf abermals in Fetzen davon, indem sie die Felsenspitze mit einer flaumigen Decke blendend weißen Schnees zurückließen. Im Vorüberschweben hingen diese riesigen Wolkenfetzen tief herab und
- 61. fegten dicht über unsern Köpfen hin, so daß die Fransen uns fast das Gesicht streiften und wir dann allemal uns unwillkürlich versucht fühlten zurückzufahren. Wir rollten lustig weiter und kamen jetzt, auf der eigentlichen Höhe, an eine Quelle, welche ihr Wasser durch zwei verschiedene Abflüsse nach entgegengesetzten Richtungen sandte. Wie der Kondukteur erklärte, ging der eine der beiden vor unsern Augen dahinfließenden Bäche geradeswegs durch Hunderte, ja Tausende von Meilen wüsten, öden Landes dem Kalifornischen Busen des Stillen Ozeans zu, während der andere die Schneegipfel seiner Geburtsstätte verließ, um eine ähnliche noch mühseligere Reise nach Osten anzutreten. Er plätscherte über die Abhänge und durch die Schluchten des Gebirges, lief weiter zwischen den Ufern des Yellowstone und gelangte endlich im Schoße des Missouri und des Mississippi nach zwei langen Monaten voll von Vergnügen, Abenteuern und Gefahren bis in den Mexikanischen Golf, um dort am Busen der tropischen See zur Ruhe zu gehen und die heimischen Schneegipfel auf ewig zu vergessen. Ich gab einem Blatt in Gedanken eine Botschaft an die Freunde in der Heimat und ließ es in den Bach fallen. Allein da ich keine
- 62. Postmarke darauf klebte, so ist dasselbe irgendwo unterwegs nicht weiter befördert worden. Noch oben auf der Höhe holten wir einen Auswandererzug mit vielen Wagen, vielen müden Männern und Weibern und vielen maßleidigen Schafen und Kühen ein. In dem traurig mit Staub überzogenen Reiter, der den Zug anführte, erkannte ich John * * *. Von allen Menschen auf der Welt war er der letzte, dem ich auf dem Kamm des Felsengebirges, Tausende von Meilen fern von der Heimat zu begegnen erwartet hätte. Wir waren Schulkameraden und Jahre lang warme Freunde gewesen. Ein Knabenstreich von meiner Seite hatte jedoch die Freundschaft zerrissen und dieselbe war nicht wieder angeknüpft worden. Der Vorfall, den ich meine, war der folgende. Ich besuchte manchmal einen Zeitungsredakteur, dessen Zimmer drei Treppen hoch lag und auf die Straße ging. Eines Tages erhielt ich von ihm eine Wassermelone, die ich sofort zu verspeisen Anstalt machte, als ich zufällig aus dem Fenster schaute und John gerade unter demselben stehen sah. Ein unwiderstehliches Verlangen wandelte mich an, John die Melone auf den Kopf fallen zu lassen, was ich denn auch sogleich that. Ich hatte den Schaden davon, denn die Melone ging entzwei und John verzieh es mir nie, wir brachen unsern Verkehr völlig ab und kamen auseinander; jetzt, unter solchen Umständen trafen wir uns wieder. Wir erkannten uns gleichzeitig und drückten uns die Hände so warm, als hätte nie eine Erkältung zwischen uns bestanden und wir erwähnten dieselbe auch mit keiner Silbe. Alle Empfindlichkeiten waren begraben, und die einfache Thatsache, an dieser einsamen Stelle so ferne der Heimat ein bekanntes Gesicht anzutreffen, genügte, um uns alles vergessen zu lassen außer den angenehmen Erinnerungen. Als wir uns wieder trennen mußten, erklang ein aufrichtiges ›Lebe wohl‹ und ›Gottes Segen mit dir‹ von beiden Seiten. Manche saure Stunde lang waren wir die langgestreckten Schultern des Felsengebirges hinaufgeklettert – jetzt ging es wieder abwärts. Und es ging in keinem schlechten Tempo.
- 63. Wir ließen die schneebedeckten Windriver Berge und das Uinta- Gebirge hinter uns und jagten weiter, stets durch prächtige Landschaften, aber auch gelegentlich an langen Reihen von Maultier- und Ochsengerippen vorüber – Denkmälern der gewaltigen Auswanderung früherer Tage – und da und dort bemerkte man senkrecht in die Erde gesteckte Pfähle und kleine Steinhaufen, welche, wie der Postillon sagte, die Ruheplätze wertvollerer Ueberreste bezeichneten. Für ein Grab konnte es keinen einsameren Platz geben. Hier herrschte der Cayote und der Rabe – damit ist die völlig trostlose Einöde genügend bezeichnet. In feuchten, trüben Nächten strömte von diesen verstreuten Gerippen ein fahles, gespenstiges Glühlicht aus, so daß die öde Fläche an manchen Stellen wie von schwachem Mondschein beleuchtet dalag. Diese Erscheinung rührte von dem in den Knochen enthaltenen Phosphor her. Allein trotz dieser wissenschaftlichen Erklärung konnte man sich doch eines Schauders nicht erwehren, wenn man an einem dieser gespenstischen Lichter vorüberkam und sich vorstellte, daß dasselbe von einem Totenschädel ausging. Um Mitternacht fing es an zu regnen, wie ich es noch nie in meinem Leben gesehen habe – das heißt, ich sah auch diesmal nichts davon, weil es zu finster war. Wir zogen die Vorhänge fest herunter und verstopften die Fenster sogar noch mit Kleidungsstücken, aber der Regen strömte demungeachtet an Dutzend Stellen herein. Da war kein Entrinnen. Zog man seine Füße aus einem Strom heraus, so geriet man mit dem Oberkörper in einen andern; und brachte man diesen beiseite, so traf er einen sonst irgendwo. Strampelte man sich aus den triefend nassen Decken heraus und setzte sich auf, so mußte man sich einen Wasserfall ins Genick fließen lassen. Inzwischen irrte unsere Kutsche über eine Ebene voll gähnender Löcher hin; der Postillon war nämlich nicht imstande, eine Spanne weit zu sehen und konnte sich nicht auf der Straße halten; und der Sturm peitschte so unbarmherzig, daß es keine Möglichkeit gab, die Pferde zum Stillstehen zu bringen. Sobald das Unwetter etwas nachließ, machte sich der Kondukteur mit einer Laterne auf, um die Straße zu suchen, und fiel dabei gleich in einen
- 64. etwa vierzehn Fuß tiefen Abgrund hinab, wobei ihm seine Laterne nachflog wie eine Sternschnuppe. Sobald er Boden unter den Füßen hatte, schrie er wie toll: »Nur nicht daher kommen!« worauf der Postillon, der über den Abhang blickte, hinter welchem jener verschwunden war, mit beleidigter Miene versetzte: »Halten mich scheint's für einen verdammten Esel?« Ueber eine Stunde brauchte der Kondukteur, bis er die Straße aufgefunden hatte, – daraus konnten wir entnehmen, wie weit wir uns verirrt hatten und was uns alles hätte begegnen können. An zwei Stellen verfolgte er die Spuren unsrer Räder bis hart an den Rand drohender Gefahr. Ich war immer froh darüber, daß wir in jener Nacht nicht umkamen. An unserm zehnten Reisetage morgens setzten wir über den Green River, einen schönen, breiten, klaren Fluß, in dem wir so tief steckten, daß das Wasser bis an den oberen Rand unseres Postsackbettes reichte. Wir mußten auf Vorspannpferde warten, um uns das steile Ufer hinaufziehen zu lassen. Es war recht kühles Wasser, das uns übrigens nirgends nässer zu machen vermochte, als wir zuvor schon waren. Auf der Green River-Station nahmen wir unser Frühstück ein – warme Biskuits, frische Antilopensteaks und Kaffee – die einzige ordentliche Mahlzeit, die wir zwischen den Vereinigten Staaten und der Salzseestadt zu kosten bekamen, und die einzige, für die wir wirklich dankbar waren. Man stelle sich nur die einförmige Abscheulichkeit der dreißig vorhergehenden vor und man wird es begreifen, daß dies eine einfache Frühstück nach so vielen Jahren noch wie ein Wartturm in meiner Erinnerung emporragt. Um fünf Uhr nachmittags erreichten wir Fort Bridger, hundertsiebzehn Meilen vom Südpaß und tausendundfünfundzwanzig von St. Joseph entfernt. Zweiundfünfzig Meilen weiter, in der Nähe des Eingangs zum Echo Cañon, stießen wir auf sechzig Soldaten der Vereinigten Staaten von Camp Floyd. Dieselben hatten den Tag vorher auf drei- oder vierhundert Indianer gefeuert, die sich ihrer Ueberzeugung nach in keiner guten Absicht
- 65. zusammengeschart hatten. In dem darauffolgenden Gefechte waren vier Indianer zu Gefangenen gemacht und der Haupthaufen vier Meilen weit gejagt, aber niemand getötet worden. Wir wollten zuerst aussteigen und uns den sechzig Soldaten anschließen; als wir uns jedoch überlegten, daß die Indianer vierhundert Mann stark seien, beschlossen wir, weiterzufahren und uns den Rothäuten zuzugesellen. Der Echo-Cañon[9] hat eine Länge von zwanzig Meilen. Er hatte das Ansehen einer langen, ebenen, engen Straße, die sich allmählich senkte und von ungeheuren, senkrecht aufsteigenden, roh gefügten Mauern, an vielen Stellen vierhundert Fuß hoch und von Türmen wie mittelalterliche Burgen überragt, eingeschlossen war. Es war die tadelloseste Wegstrecke im ganzen Gebirge, so daß der Postillon meinte, da wolle er sein Gespann einmal laufen lassen. Dies that er denn auch; und wenn die Eilzüge nach dem Stillen Ozean jetzt etwa noch rascher durchsausen, als wir damals mit unserer Postkutsche, so beneide ich die Passagiere um ihr Vergnügen. Es war, als ob wir nicht mehr auf Rädern fuhren, sondern nur noch flögen, und die Postsachen schwebten geradezu frei in der Luft. Ich bin kein Freund von Uebertreibungen, und wenn ich etwas sage, so ist es auch so. [9] Cañons heißen die tiefeingeschnittenen Flußbette der Felsengebirge. Indes, die Zeit drängte. Um vier Uhr nachmittags langten wir auf der Höhe des Big Mountain, fünfzehn Meilen von der Salzseestadt an, während eben die sinkende Sonne die Welt mit ihren Strahlen verklärte und sich plötzlich ein wunderbares Panorama von Berggipfeln, das alles bisher Geschaute übertraf, vor unsern Blicken ausbreitete. Ueber uns wölbte sich ein glänzender Regenbogen, während wir das erhabene Bild betrachteten. Selbst der Postillon hielt seine Pferde an, um zu schauen. Vielleicht eine halbe Stunde später wechselten wir die Pferde und speisten bei einem mormonischen ›Würgengel‹ zu Abend. ›Würgengel‹ sind, soviel ich verstand, ›Heilige des jüngsten Tages‹,
- 66. die von der Kirche mit der besonderen Aufgabe betraut sind, beständig für das Verschwinden solcher Bürger zu sorgen, die sich überlästig gemacht haben. Ich hatte viel von diesen mormonischen Würgengeln und von ihren dunkeln, blutigen Thaten gehört, so daß ich beim Betreten dieses Hauses auf einen gehörigen Schauder gefaßt war. Aber, o weh! all unsere Romantik war sofort verflogen – wir trafen nichts, als einen lärmenden, gemeinen, schimpfenden Schurken! Mordgierig genug war er vielleicht wohl, um das Amt eines Würgers zu versehen, aber wer möchte sich wohl irgend eine Art von Engel ohne alle Würde und Hoheit vorstellen? Wer wollte sich einen Engel in unsauberem Hemd und ohne Hosenträger gefallen lassen? Und wer könnte einem Engel Ehrfurcht zollen, der wiehert, statt zu lachen, und aufschneidet wie ein Bukanier? Noch mehr solcher Schufte waren da – Kameraden des ersteren; außerdem auch ein anständig aussehender, großer wohlgewachsener junger Mann von vielleicht dreißig Jahren. Eine Schar schlampiger Weiber trippelte eilig mit Kaffeekannen, Tellern voll Brot und sonstigem Zubehör zum Abendessen hin und her, und das sollten die Frauen des Engels sein, oder wenigstens einige derselben. Und natürlich war es so; denn wären sie gemietete ›Aushilfen‹ gewesen, sie hätten sich dieses über sie Hineinwettern und Fluchen von dem himmlischen Engel gewiß nicht gefallen lassen. Dies war die erste Bekanntschaft, die wir mit der ›eigentümlichen Einrichtung‹ des Westens – wie der Mormonenstaat diplomatisch bezeichnet wird – machten, und dieselbe war nicht gerade einnehmender Art. Wir hielten uns mit deren Beobachtung auch nicht weiter auf, sondern eilten weiter, der Heimat der ›Heiligen des jüngsten Tages‹,[10] der Burg des Propheten, der Hauptstadt des einzigen absoluten Alleinherrschers in Amerika – der Großen Salzseestadt, zu. Da die Nacht hereinbrach, so nahmen wir Herberge im Salzseehotel und packten unsere Sachen aus. [10] ›Heilige des jüngsten Tages‹ – ein Beiname der Mormonen.
- 67. Dreizehntes Kapitel. nser Abendessen war sehr schmackhaft und bestand aus ganz frischem Fleisch, Geflügel und Gemüse – in großer Mannigfaltigkeit und ebenso großer Fülle. Später spazierten wir ein wenig durch die Straßen und blickten in Läden und Magazine, und dabei konnten wir es nicht lassen, ein jedes Geschöpf, das uns wie ein Mormone vorkam, verstohlenerweise zu mustern. Das Land war für uns in jeder Richtung ein Märchenland voll von Zauberspuk, Kobolden und schauerlichen Geheimnissen. Wir waren so neugierig, daß wir gerne ein jedes Kind gefragt hätten, wie viele Mütter es habe und ob es sie alle einzeln kenne; und so oft wir im Vorübergehen durch eine zufällig geöffnete Hausthür etwas von menschlichen Köpfen, Rücken und Schultern zu erspähen vermochten, bebten wir förmlich vor Erregung – so sehr brannten wir darauf, eine Mormonenfamilie in ihrer ganzen umfassenden Reichhaltigkeit, geordnet nach den üblichen konzentrischen Ringen ihres häuslichen Kreises, einmal ordentlich und gründlich in Augenschein nehmen zu dürfen. Bald darauf führte uns der Gouverneur des Territoriums bei andern ›Heiden‹ ein, mit denen wir eine gemütliche Stunde verbrachten. ›Heiden‹ sind nämlich alle Nicht-Mormonen. Unser Reisegefährte Bemis sorgte während dieser Abendstunden selbst für sich, hatte jedoch damit gerade keinen großartigen Erfolg; denn gegen elf Uhr erschien er auf unserem Zimmer im Gasthof in ungeheuer heiterer Stimmung, die sich in allerhand unzusammenhängenden, verrenkten und nicht zu einander passenden Reden äußerte, wobei er alle Augenblicke einmal ein Bruchstück von einem Wort herauswürgte, das mehr aus Schluchzern als aus Silben bestand. Dies zusammen mit dem Umstand, daß er seinen Rock am Fußboden neben einem Stuhle, seine Weste ebenfalls am Fußboden, nur auf der andern Seite aufhängte und seine Hosen nicht minder auf die Dielen vor eben jenem Stuhle hinlegte, um dann das Gesamtergebnis mit abergläubischer Scheu zu betrachten und schließlich mit den
- 68. Worten: »das geht mir doch über den Verstand«, samt den Stiefeln ins Bett stieg, brachte uns auf die Befürchtung, er möchte etwas gegessen haben, was ihm nicht bekommen sei. Später stellte sich jedoch heraus, daß es etwas gewesen war, was er getrunken hatte. Es war der ausschließliche Erfrischungstrank der Mormonen, ›Valley Tan‹. Valley Tan, oder wenigstens eine Sorte desselben, ist eine Art Whiskey oder nächstverwandt mit diesem; er ist eine Erfindung der Mormonen und wird nur in Utah hergestellt. Der Sage zufolge wird er aus (importiertem) Feuer und Schwefel bereitet. Wenn ich mich recht erinnere, so gestattete Brigham Young keine öffentlichen Trinkhäuser in seinem Reiche, und erlaubte den Gläubigen auch keine Privatkneipereien, außer sie beschränkten sich auf Valley Tan. Am folgenden Tage strolchten wir allenthalben in den breiten, geraden und ebenen Straßen umher und genossen das ebenso seltene als angenehme Schauspiel einer Stadt von fünfzehntausend Einwohnern, in der sich weder Bummler noch Betrunkene oder lärmendes Volk bemerkbar machten; wo an Stelle einer unflätigen Gosse ein klarer Bach durch jede Straße perlte; wo ein Häuserviertel von netten Gebäuden aus Balkenwerk und an der Sonne getrockneten Backsteinen auf das andere folgte – und dazu anscheinend hinter jedem Hause ein großer reichtragender Obstgarten. Verzweigungen des Stadtbaches schlängelten sich zwischen den Beeten und Obstbäumen hin und alles weit und breit trug das Gepräge der Sauberkeit, der Ordentlichkeit, des Gedeihens und Behagens. Ueberall ringsum waren Werkstätten, Fabriken und sonstige Gewerbszweige in Thätigkeit, geschäftige Mienen und regsame Hände zeigten sich dem Auge, wohin man blickte, und unaufhörlich tönte einem der Klang von Hämmern, das Summen des Geschäftsverkehrs und das vergnügliche Schnurren von Rädern aller Art ins Ohr. Das Wappenbild meines Heimatstaates waren zwei lüderliche Bären, die sich an einem ausgestochenen Fasse aufrecht hielten und dazu die passende Bemerkung machten: »Vereint stehen – (ha, ha!)
- 69. – getrennt fallen wir.« Für den Verfasser dieses Buches war dasselbe stets zu bildlich. Dagegen war das mormonische Wappenbild leicht zu deuten. Einfach und anspruchslos, paßte es wie ein Handschuh. Es stellte einen goldenen Bienenkorb dar, dessen Insassen sämtlich an der Arbeit waren. Die Stadt liegt am Rande einer ebenen Fläche von der Größe des Staates Connecticut und schmiegt sich dicht an den Boden unter einer schrägen Wand mächtiger Berge, die ihre Häupter in den Wolken verbergen und auf ihren Schultern den ganzen Sommer durch Reste des Winterschnees tragen. Von einer dieser schwindelnden Höhen auf zwölf bis fünfzehn Meilen Entfernung gesehen, nimmt sich die große Salzseestadt immer bescheidener und kleiner aus, bis sie zuletzt an ein Kinderspielwaren-Dörfchen unter dem Schutze der gewaltigen chinesischen Mauer erinnert. Auf einigen dieser Berge im Südwesten hatte es zwei Wochen lang Tag für Tag geregnet, ohne daß in der Stadt ein Tropfen gefallen wäre. Und an heißen Tagen gegen Ende des Frühjahrs und in den ersten Herbstwochen konnten die Einwohner, wenn sie sich zu Hause genug gefächelt und genug gebrummt hatten, sich draußen vor der Stadt durch den genußreichen Anblick eines großartigen Schneesturms im Gebirge Kühlung verschaffen. Jeden Tag konnten sie sich zu den erwähnten Jahreszeiten aus der Ferne dieses Vergnügen gönnen, obwohl in der Stadt selbst und der Umgegend kein Schnee fiel.
- 70. Die Salzseestadt war ein gesunder – ein ganz außerordentlich gesunder Ort. Es heißt, es sei nur ein einziger Arzt in der Stadt, der regelmäßig jede Woche wegen Subsistenzlosigkeit zur Verantwortung gezogen werde. (Im Punkte der Wahrheit erhält man am Salzsee allezeit gute, reelle Ware und so reichliches Maß und Gewicht, daß man zur Abwägung ihrer Behauptungen eine Heuwage brauchen könnte.) Wir hätten gar gern das berühmte Binnenmeer, das ›Tote Meer Amerikas‹, den Großen Salzsee, besucht, der nur zu Pferde zu erreichen und siebzehn Meilen von der Stadt entfernt ist, hatten wir doch die ganze Anfangszeit unsrer Reise hindurch unaufhörlich von ihm geträumt, an ihn gedacht und nach ihm geschmachtet – aber jetzt, wo er auf Armslänge vor uns lag, hatten wir das Interesse für ihn fast gänzlich verloren. So verschoben wir denn den Ausflug auf den nächsten Tag und damit war der Plan begraben. Wir speisten in Gesellschaft einiger gastfreien ›Heiden‹ zu Mittag; wir besichtigten die Fundamente des großartigen Tempels und hatten eine lange Unterredung mit dem geriebenen Yankee aus Connecticut, dem inzwischen verstorbenen Heber C. Kimball, einem Heiligen von hohem Ansehen und mächtigen Handelsherrn. Wir sahen das ›Zehnthaus‹ und das ›Löwenhaus‹ und ich weiß selbst nicht mehr wie viele sonstige Kirchen und Staatsgebäude verschiedener Art mit absonderlichen Namen. Wir huschten hierhin und dorthin, genossen jede Stunde, schnappten sehr viel nützliche Belehrung und unterhaltenden Unsinn auf und legten uns am Abend befriedigt zur Ruhe. Am zweiten Tage machten wir die Bekanntschaft des großen Telegraphenunternehmers, Herrn Street, zu dem wir uns im Schmucke weißer Hemden begaben, um ihm einen Staatsbesuch abzustatten. Dieser machte den Eindruck eines ruhigen, freundlichen, behaglichen, würdigen, gesetzten, alten Herrn von fünfundfünfzig bis sechzig Jahren, dessen Blick eine ganz eigentümliche Mischung von Sanftmut und Schlauheit ausdrückte. Er war höchst einfach gekleidet und nahm bei unserem Eintritt eben einen Strohhut vom Kopfe. Er sprach mit unserem Sekretär und
- 71. einigen in unserer Gesellschaft erschienenen Regierungsbeamten über Utah, die Indianer, Nevada und über allgemeine amerikanische Angelegenheiten und Fragen. Mir dagegen schenkte er nicht die mindeste Aufmerksamkeit, obwohl ich verschiedentlich versuchte, ihn über die Politik der Bundesregierung und seinen hochmütigen Standpunkt gegenüber dem Kongreß auszuholen. Soviel ich meinte, hatte ich dabei ein paar Bemerkungen gemacht, die gar nicht übel waren. Allein er schaute sich bloß von Zeit zu Zeit nach mir um, so wie ich es wohl schon bei einer freundlichen alten Katze gesehen hatte, die gerne wissen wollte, welches Kätzchen mit ihrem Schwanz spiele. So versank ich nach und nach in ein entrüstetes Schweigen, in dem ich bis zum Schlusse heiß und rot dasaß, während ich ihn in meinem Herzen als einen unwissenden Wilden verwünschte. Er dagegen kam nicht aus seiner Ruhe. Seine Unterhaltung mit den andern Herren floß so sanft und friedlich dahin, wie ein Bächlein, das im Sommer durch die Fluren murmelt. Als wir uns nach Schluß der Audienz zurückzogen, legte er mir die Hand aufs Haupt und ließ seine Blicke wie verwundernd auf mich herabstrahlen, indem er zu meinem Bruder sagte: »Ah – vermutlich Ihr Kind, – Knabe oder Mädchen?«
- 72. Vierzehntes Kapitel. err Street widmete sich mit dem größten Eifer seinen Telegraphenangelegenheiten – und wenn man bedenkt, daß er seinen Draht über acht- bis neunhundert Meilen wildzerklüfteten, schneebedeckten, unbewohnten Gebirgslandes und wasser- und baumloser trübseliger Wüsten zu führen hatte, so wird man seinen Eifer begreiflich finden. Er konnte seine Stangen nicht einfach in aller Bequemlichkeit am Wege schneiden, sondern er mußte sie mit Ochsengespannen durch diese erschöpfenden Wüsten schleppen lassen – und dabei war es dort zwei Tagereisen weit von einer Wasserstelle zur andern. Herrn Streets Kontrakt war etwas Gewaltiges in jedem Betracht, und doch mußte man, um die Bedeutung der allgemeinen Bezeichnung ›achthundert Meilen wilden Gebirgslandes und trostloser Wüsten‹ richtig würdigen zu können, selber an Ort und Stelle gewesen sein – Feder und Tinte vermögen dem Leser niemals die ganze traurige Wirklichkeit vor Augen zu führen. Und schließlich stellte sich noch eine Schwierigkeit, die Herr S. gar nicht in Rechnung genommen, als die gewaltigste heraus. Die härteste und schwierigste Hälfte seines Unternehmens hatte er an Mormonen vergeben, die ganz plötzlich auf den Gedanken kamen, daß sie wenig oder nichts bei der Sache verdienen würden, und nun in dem Augenblick, wo ihnen dies klar wurde, in aller Ruhe ihre Stangen im Gebirge oder in der Wüste liegen ließen, wo es gerade war, um nach Hause zu fahren und ihre gewohnten Geschäfte wieder aufzunehmen. Sie hatten zwar mit Herrn S. einen schriftlichen Vertrag abgeschlossen, allein das focht sie nicht an. Sie meinten, das wäre ›etwas Verwunderliches‹, wenn ein ›Heide‹ in Utah einen Mormonen zur Erfüllung eines Vertrages zwingen könnte, bei dem der letztere in Nachteil käme. Und sie machten sich sehr lustig über die Sache. »Ich befand mich« – so erzählte uns Herr S. selbst – »in großer Not. Ich war bei schwerer Strafe zur Erfüllung meines Kontraktes verpflichtet und dies war ein Mißgeschick, das dem Ruin ganz
- 73. ähnlich sah. Ich war wie vor den Kopf geschlagen; die Schwierigkeit war eine so ganz unvorhergesehene, daß ich wirklich nicht mehr weiter wußte. »Ich bin Geschäftsmann – ich war nie etwas sonst als Geschäftsmann – ich kenne nichts als Geschäft – nun können Sie sich vorstellen, daß ich wie vom Donner gerührt war, mich in einem Lande zu sehen, wo ein schriftlicher Kontrakt wertlos war, – diese Hauptsicherheit, dieser Notanker, diese unbedingte Notwendigkeit für das Geschäft. Ich verlor den Mut. Neue Verträge abzuschließen, hatte keinen Wert – das war klar. Ich sprach zuerst mit einem hervorragenden Mormonen, dann mit noch einem. Beide waren voll Teilnahme für mich, wußten jedoch nicht, wie mir zu helfen sei. Zuletzt meinte ein Heide: ›Gehen Sie zu Brigham Young! – diese unbedeutenden Knirpse können Ihnen nichts nützen‹. Ich hielt nicht viel von dieser Idee, denn wenn das Gesetz mir nicht helfen konnte, was vermochte dann ein einzelner, der die Gesetze weder zu geben noch auszuführen hatte? Er mochte ja ein ganz guter Kirchenvater und Prediger auf seiner Kanzel sein, aber um mit einem ganzen Hundert widerspenstiger, halbwilder Unterakkordanten fertig zu werden, dazu brauchte es strengerer Mittel als Religion und moralischen Zuspruch. Indes, was sollte man machen? Ich dachte, wenn Herr Young auch sonst nichts könnte, so vermöchte er mir doch wohl irgend einen Rat oder ein paar wertvolle Winke zu geben, und so ging ich denn geradeswegs zu ihm und legte ihm die ganze Angelegenheit vor. Er sprach nur ganz wenig, zeigte aber fortwährend lebhaftes Interesse. Er prüfte sämtliche Papiere eingehend, und wo er meinte, daß in den Papieren oder in meiner Darstellung irgend ein Anstand obwalte, ging er zurück, nahm den Faden auf und verfolgte denselben geduldig, bis er zu einem vernünftigen und befriedigenden Ergebnis gelangte. Dann nahm er ein Verzeichnis der Namen der Unternehmer auf. Schließlich sagte er: »›Herr Street, das ist alles vollkommen klar. Diese Verträge sind deutlich und gesetzmäßig abgefaßt und gehörig unterzeichnet und
- 74. beglaubigt. Diese Leute sind offenbar mit sehenden Augen darauf eingegangen. Ich finde nirgends einen Fehler oder eine Lücke!‹ »Darauf wandte sich Herr Young an einen Mann, der am andern Ende des Zimmers wartete, mit den Worten: ›Nehmen Sie dieses Namensverzeichnis mit zu dem und dem und heißen Sie ihn diese Leute auf die und die Stunde hierherbestellen.‹ Auf die Minute fanden sie sich ein. Ich gleichfalls. Young richtete eine Reihe von Fragen an sie, die Antworten fielen zu meinen Gunsten aus. Darauf sagte er zu ihnen: »›Ihr habt mit eurem freien Willen und Einverständnis diese Verträge unterzeichnet und diese Verpflichtungen übernommen?‹ »›Jawohl.‹ »›Dann führt sie buchstäblich aus, und wenn ihr darüber zu Bettlern werdet! Geht!‹ »Und sie gingen auch wirklich! Sie sitzen jetzt überall draußen in der Wüste herum und arbeiten wie die Bienen. Und sie sagen kein Wort mehr. Da ist ein ganzer Pack Gouverneure, Richter und sonstige Beamte, die man von Washington aus hierher spediert, um den Schein einer republikanischen Regierungsform zu wahren, – aber felsenfest steht es, daß Utah eine absolute Monarchie und Brigham Young der König ist.« Herr Street war ein solider Mann und ich glaube, was er erzählte. Einige Jahre nachher lernte ich ihn in S. Francisco genauer kennen. Unser Aufenthalt in der Salzseestadt dauerte nur zwei Tage und wir hatten deshalb keine Zeit, die übliche Untersuchung über die Wirkungen der Vielweiberei anzustellen, und die gebräuchlichsten statistischen Notizen und Schlüsse zu sammeln, deren es bedarf, um die Aufmerksamkeit der Nation nochmals auf diese Angelegenheit zu lenken. Ich hatte die Absicht, es zu thun. Mit dem übersprudelnden
- 75. Selbstvertrauen der Jugend brannte ich vor Ungeduld, mich kopfüber in großartige umwälzende Unternehmungen auf diesem Gebiete zu stürzen, – bis ich die mormonischen Frauen gesehen hatte. Da war ich gerührt. Mein Herz war verständiger als mein Kopf. Es erwärmte sich für diese armen linkischen und hervorragend häßlichen Geschöpfe; und während ich mich abwandte, um eine großmütige Thräne zu verbergen, die mir ins Auge getreten war, sagte ich: »Nein, der Mann, der eine von ihnen heiratet, übt eine That christlicher Barmherzigkeit, die den freundlichen Beifall, und nicht den harten Tadel der Menschheit verdient – und der Mann, der sechzig von ihnen heiratet, vollbringt eine That erhabenster Großherzigkeit, so erhaben, daß die Völker in stummer Verehrung vor ihm das Haupt entblößen sollten.«
- 76. Fünfzehntes Kapitel. n diesem Lande sind haarsträubende Geschichten von Ermordungen querköpfiger Heiden ein beliebtes Thema. Ich erinnere mich mit Vergnügen des gemütlichen Abends, den wir in dem Lokal eines Heiden verbrachten, wo wir uns bei einer Pfeife erzählen ließen, wie Burton unter die um Gnade flehenden wehrlosen ›Morisiten‹ hineinsprengte und sie sämtlich, Männer und Weiber, wie Hunde niederschoß, oder wie Bill Hickmann, ein Würgengel, D. u. A. totschoß, weil sie eine Schuld gegen ihn eingeklagt hatten; oder wie Porter Rockwell diese oder jene grause That verübte; und wie oft Leute so unvorsichtig seien, nach Utah zu kommen und Bemerkungen über Brigham Young oder die Vielweiberei oder sonst etwas Heiliges zu machen, und dann die Betreffenden sich fest darauf verlassen dürften, gleich beim nächsten Morgengrauen irgendwo in einem Hintergäßchen aufgefunden zu werden, wo sie geduldig auf ihr Begräbnis harren. Nächst diesem bietet es das größte Interesse, diesen ›Heiden‹ zuzuhören, wenn sie über die Vielweiberei reden, und sich erzählen zu lassen, wie so ein dickbäuchiger alter Frosch von einem Aeltesten oder Bischof ein Mädchen heiratet, – sie gern hat und ihre Schwester dazu nimmt, – sie gern hat und noch eine Schwester von ihr heiratet, – sie gern hat und eine dritte nimmt – sie gern hat und deren Mutter ehelicht und schließlich deren Vater, Groß- und Urgroßvater heiratet und dann immer noch nicht genug hat. Und wie dann vielleicht das junge schnippische Ding von elf Jahren sein Lieblingsweib wird, und ihre würdige alte Großmutter nun in ihres gemeinsamen Eheherrn Wertschätzung nach D 4 hinunterrückt und in der Küche schlafen muß. Und wie die mormonischen Frauen dieses entsetzliche Zusammenpferchen von Mutter und Töchtern in demselben faulen Neste, die Erhebung einer jungen Tochter an Rang und Einfluß über ihre leibliche Mutter sich geduldig gefallen lassen, weil nach den Lehren ihrer Religion je mehr Frauen ein Mann auf Erden hat und je größer die Zahl der Kinder ist, die er aufzieht, um
- 77. so höher der Platz sein soll, den er mit den Seinigen in der zukünftigen Welt einnehmen werde – vielleicht auch um so wärmer; doch sprechen sie sich, wie es scheint, darüber nicht genauer aus. Nach Aussage dieser unserer heidnischen Freunde enthält Brigham Youngs Harem zwanzig bis dreißig Weiber. Einige derselben, so sagten sie, seien alt geworden und aus dem aktiven Dienst getreten, seien aber ganz gut untergebracht und versorgt im Hühnerhause oder ›Löwenhaus‹, wie es seltsamerweise bezeichnet wird. Jede Frau habe ihre Kinder bei sich – fünfzig im ganzen. Es gehe ganz ordentlich und ruhig im Hause zu – wenn die Kinder sich still verhalten. Sie nehmen ihre Mahlzeiten alle zusammen in demselben Saale ein, was als ein äußerst glückliches und anheimelndes Bild gerühmt wird. Von unserer Gesellschaft hatte niemand das Vergnügen, bei Herrn Young zu speisen, aber ein Heide Namens Johnson erklärte, einmal im Löwenhause an dem gemeinsamen Frühstück teilgenommen zu haben. Er gab uns eine verrückte Schilderung von dem ›Verlesen der Präsenzliste‹ und andern Präliminarien und von dem Blutbad, das angerichtet worden sei, als die Buchweizenkuchen erschienen. Aber er trug doch etwas zu stark auf. Herr Young habe ihm, so berichtete er, verschiedene gescheite Aeußerungen von einigen seiner ›Zweijährigen‹ erzählt und dabei mit einigem Stolze hervorgehoben, daß er in diesem Fache jahrelang der gewichtigste Mitarbeiter für eine der Zeitschriften des Ostens gewesen; darauf wollte er Herrn Johnson eines von den Püppchen zeigen, das die letzte hübsche Aeußerung gethan hätte, er vermochte jedoch das Kind nicht herauszufinden. Er sah sich die Gesichter sämtlicher Kinder genau an, konnte aber nicht bestimmt sagen, welches es gewesen war. Endlich gab er es mit einem Seufzer auf und sagte: »Ich dachte, ich würde das kleine Ferkel wiedererkennen, aber es ist nichts damit.« Weiter hätte Herr Young die Bemerkung gemacht, »es sei doch etwas gar zu Trauriges um das Leben, denn die Freude über einen neu eingegangenen Ehebund werde einem so leicht in ungelegener Weise durch die Leichenfeier für eine frühere Braut gestört.«
- 78. Sodann erzählte Herr Johnson, während er mit Herrn Young sich ganz gemütlich unterhalten hätte, sei eine von dessen Frauen hereingekommen und habe eine Busennadel verlangt; sie hätte nämlich herausgebracht, daß er der Nr. 6 eine solche gegeben, und sie gedenke ihm eine solche Parteilichkeit nicht hingehen zu lassen, ohne ganz gehörigen Lärm darüber zu schlagen. Herr Young machte sie darauf aufmerksam, daß ein Fremder zugegen sei, worauf Frau Young meinte, wenn dem Fremden nicht behage, was im Hause vorgehe, so könne er ja draußen Platz finden. Herr Young versprach ihr die Busennadel, worauf sie sich entfernte. Aber nach ein paar Minuten erschien schon wieder eine andere Frau Young, die ebenfalls eine Busennadel haben wollte. Herr Young suchte ihr Vorstellungen zu machen, allein sie schnitt ihm einfach das Wort ab. Nr. 6 habe eine bekommen, meinte sie, und der Nr. 11 sei eine versprochen, er solle es nur aufgeben, sie einschüchtern zu wollen, – sie kenne ihre Rechte. Er gab sein Versprechen und sie ging. Nun kamen gleich drei Frauen Young mit einander herein und ließen einen Sturm von Thränen, Schmähungen und Bitten auf ihren Eheherrn los. Sie hatten alles vernommen, was mit Nr. 6, 11 und 14 vorgekommen war. Drei weitere Busennadeln wurden zugesagt. Kaum waren jene fort, als neun weitere Ehehälften des Herrn Young auf einmal im Gänsemarsch anrückten und ein neues Gewitter losbrach und über den Propheten und seinen Gast hintobte. Neun weitere Busennadeln wurden zugesagt, worauf die Schicksalsschwestern im Gänsemarsch wieder abzogen. Und herein kamen nochmals elf mit Heulen, Wehklagen und Zähneknirschen. Mit dem Versprechen weiterer elf Busennadeln wurde noch einmal der Frieden erkauft. »Da haben Sie eine Probe,« sagte Herr Young. »Sie sehen, wie es steht. Sie sehen, was für ein Leben ich führe. Man kann eben nicht immer vernünftig sein. In einem unbedachten Augenblick gab ich meinem Liebling Nr. 6 – entschuldigen Sie, daß ich sie so nenne, aber ihr anderer Name ist mir augenblicklich entfallen – eine Busennadel. Sie kostete nicht über fünfundzwanzig Dollars – d. h. das war der scheinbare Preis – aber das, was sie mich schließlich
- 79. unvermeidlich kosten wird, beläuft sich weit höher. Sie haben selbst mitangesehen, wie die Summe bis auf sechshundertfünfzig Dollars angewachsen ist – und ach, das ist noch lange nicht das Ende! Ich habe ja Frauen hier im ganzen Territorium Utah herum. Ich habe Dutzende von Frauen, deren Nummern ich nicht einmal weiß, ohne in die Familienbibel zu blicken. Sie sind weit und breit über Berg und Thal in meinem Reiche zerstreut. Und merken Sie wohl, jede einzelne derselben wird von dieser unglückseligen Busennadel hören und bis auf die letzte werden sie sämtlich auch eine haben müssen oder sterben. Die Busennadel meiner Nr. 6 wird mich auf fünfundzwanzighundert Dollars kommen, ehe ich das Ende der Geschichte absehe. Und dann werden diese Geschöpfe ihre Nadeln mit einander vergleichen, und wenn eine einzige um eine Idee schöner ist als die andern, so werden sie mir sämtlich vor die Füße gelegt und ich darf eine neue Bestellung machen, wenn ich Frieden in meiner Familie behalten will. Sie haben es wahrscheinlich nicht gewußt, aber die ganze Zeit über, so lange Sie mit meinen Kindern zusammen waren, wurde jede Ihrer Bewegungen von wachsamen Dienern meines Hauses beobachtet. Hätten Sie einem Kind ein Zehncentsstück angeboten oder ein Stück Kandiszucker oder sonst eine Kleinigkeit der Art, – augenblicklich
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