Funcion inversa
- 1. E S T U D I A N T E : A D R I Á N R A M Í R E Z P R O F E S O R : D O M I N G O M É N D E Z S E C C I Ó N : M I - 3 1 Universidad “Fermín Toro”
- 2. Función Inversa Se llama función inversa o recíproca de una función f a una nueva función cuyo dominio es la imagen de la función inicial, y su imagen es el dominio de la función inicial. Es decir, si la función g es la función inversa de f, entonces se cumple que si f (b) = a, entonces g(a)=b.
- 3. Propiedades La primera propiedad coincide con la que habíamos visto anteriormente en la función compuesta. Si realizamos la función inversa de una composición de funciones obtenemos la composición de sus inversas permutando el orden de la composición Ej:
- 4. Si hacemos la inversa de la inversa de una función, obtenemos la función inicial. Ej: La composición de una función y su inversa nos da la función identidad. La función inversa no siempre existe. Si una función es continua también lo es su inversa y viceversa, si la inversa es derivable también lo será la función inicial. Análogamente, si una función es derivable su inversa también lo es y viceversa.
- 5. Grafica de una función inversa La gráfica de una función f, y la de su inversa g, son simétricas respecto a la bisectriz del primer y tercer cuadrante, es decir la recta y = x, como podemos ver en la siguiente imagen: Ej:
- 6. El ejemplo más conocido e importante de funciones inversas es la función exponencial y la función logarítmica. Y como podemos ver sus representaciones gráficas son simétricos respecto de la bisectriz del primer y tercer cuadrante: Ej:
- 7. Pasos para calcular la función inversa Para poder calcular la función inversa de una dada debemos seguir unos pasos: 1º. Realizamos un cambio de variable, cambiando y por x, y viceversa. Recordad que y=f(x). 2º. Una vez que ya hemos cambiado las variables, tenemos que despejar la variable y en función de x. 3º. El resultado final, es la función inversa que hemos buscado.
- 8. Ejemplos Calcular la siguiente función inversa: Hacemos el cambio de y por x: Despejamos la y: Finalmente, la función inversa es: