Fundamentos del Calculo Integral CII ccesa007
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El documento resume brevemente la historia del cálculo integral. Explica que fue introducido por los creadores del cálculo infinitesimal para resolver problemas inversos de cálculo. Menciona que figuras clave como Newton, Leibniz, Bernoulli y Euler hicieron importantes contribuciones a la construcción inicial del cálculo integral.
![Sea un intervalo cerrado [a,b], al conjunto de
puntos Pn = { xo,x1,x2,⋅⋅⋅,xn } contenidos en
dicho intervalo se le conoce como partición del
intervalo [a,b].](https://image.slidesharecdn.com/fundamentosdelcalculointegralciiccesa007-190303003342/85/Fundamentos-del-Calculo-Integral-CII-ccesa007-12-320.jpg)
![Teorema de existencia para
Integrales Definidas.
Sea una función real y = f (x), que es continua en un intervalo
[a, b]. Entonces se puede afirmar que existe al menos un
punto c perteneciente a dicho intervalo, para el que se
verifica: Que el valor de f (c) es el valor medio de la función f
(x) en el intervalo [a, b].Quizá sea interesante hacer varias
observaciones:1) El punto c puede no ser único. El teorema
asegura la existencia de por lo menos un punto con esa
propiedad.2) El valor medio de la función f (x) no se refiere a
la tasa de variación media en el intervalo considerado. Se
trata de un concepto diferente.3) El cálculo de dicho valor
medio y el del punto c en el que se alcanza, presupone el
cálculo de una integral definida.](https://image.slidesharecdn.com/fundamentosdelcalculointegralciiccesa007-190303003342/85/Fundamentos-del-Calculo-Integral-CII-ccesa007-15-320.jpg)
Fundamentos del Calculo Integral CII ccesa007
- 2. HISTORIADEL CALCULO INTEGRAL Los creadores del Análisis Infinitesimal introdujeron el Cálculo Integral, considerando los problemas inversos de sus cálculos.
- 3. HISTORIADEL CALCULO INTEGRAL En la teoría de fluxiones de Newton la mutua inversibilidad de los problemas del cálculo de fluxiones y fluentes se evidenciaba claramente. Para Leibniz el problema era más complejo: la integral surgía inicialmente como definida. No obstante, la integración se reducía prácticamente a la búsqueda de funciones primitivas. La idea de la integración indefinida fue inicialmente la dominante.
- 4. HISTORIADEL CALCULO INTEGRAL El Cálculo Integral incluía además de la integración de funciones, los problemas y la teoría de las ecuaciones diferenciales, el cálculo variacional, la teoría de funciones especiales, etc. Tal formulación general creció inusualmente rápido. Euler necesitó en los años 1768 y 1770 tres grandes volúmenes para dar una exposición sistemática de él.
- 5. HISTORIADEL CALCULO INTEGRAL Los logros principales en la construcción del Cálculo Integral inicialmente pertenecieron a J. Bernoulli y después a Euler, cuyo aporte fue inusitadamente grande.
- 6. Sus principales objetivos a estudiar son: * Área de una región plana * Cambio de variable * Integrales indefinidas * Integrales definidas * Integrales impropias * Integrales múltiples (dobles o triples) * Integrales trigonométricas, logarítmicas y exponenciales * Métodos de integración * Teorema fundamental del cálculo * Volumen de un sólido de revolución
- 8. DEFINICION El teorema nos dice que la derivación y la integración (definida) son operaciones inversas, en forma parecida a como lo son la división y la multiplicación. Los procesos de límite (usados para definir la derivada y la integral definida) conservan esta relación de inversas.
- 9. Si una función F es continua en el intervalo (A,B) , entonces
- 10. Es la función F(x) de la cual proviene f(x). Se le conoce como antiderivada o función primitiva y se obtiene al aplicar la regla de derivación al revés (al final se le agrega una constante C de integración)
- 11. Es la región bajo la curva de f(x) definida por la función integrada y evaluada con los limites superior (b) e inferior (a)
- 12. Sea un intervalo cerrado [a,b], al conjunto de puntos Pn = { xo,x1,x2,⋅⋅⋅,xn } contenidos en dicho intervalo se le conoce como partición del intervalo [a,b].
- 14. TEOREMA DE EXISTENCIA Es un teorema con un enunciado que comienza 'existe(n)...', o más generalmente 'para todo x ,y ,...existe(n)...'.Esto, en términos más formales de lógica simbólica, es un teorema con un enunciado involucrando el cuantificador existencial. Muchos teoremas no lo hacen explícitamente, como es usual en el lenguaje matemático estándar, por ejemplo, el enunciado de que la función seno es continua.
- 15. Teorema de existencia para Integrales Definidas. Sea una función real y = f (x), que es continua en un intervalo [a, b]. Entonces se puede afirmar que existe al menos un punto c perteneciente a dicho intervalo, para el que se verifica: Que el valor de f (c) es el valor medio de la función f (x) en el intervalo [a, b].Quizá sea interesante hacer varias observaciones:1) El punto c puede no ser único. El teorema asegura la existencia de por lo menos un punto con esa propiedad.2) El valor medio de la función f (x) no se refiere a la tasa de variación media en el intervalo considerado. Se trata de un concepto diferente.3) El cálculo de dicho valor medio y el del punto c en el que se alcanza, presupone el cálculo de una integral definida.
- 16. FUNCION PRIMITIVA El concepto de primitiva es el recíproco al de derivada. Se llama función primitiva de otra dada a la original que al derivarla nos da esa otra. “se dice que una función F es una antiderivada o primitiva de f, en un intervalo I si F´(x)=f(x) para todo x en I” Si F es una antiderivada f en un intervalo I, entonces la antiderivada más general de f en I es: F(x) + C función primitiva una función primitiva es aquella que después de haber sido derivada pasando por su diferencial y por el proceso de integración no vuelve exactamente a su función original