Tema6 t fourier

5º Curso-Tratamiento Digital de Señal

Transformada Discreta de Fourier
(DFT)
Ì Transformada Discreta de Fourier
Ì FFT (Fast Fourier Transform)

17/11/99 Capítulo 6: Transformada Discreta de Fourier (DFT) 1


Ì Antes de definir la DFT, analizaremos primero la Transforma-
da de Fourier en tiempo discreto (DTFT).
Ì La DTFT describe el espectro de señales discretas. Deducire-
mos la DFT a partir de la convolución discreta explicada en el
Capítulo 2.
Ì Allí se definió la convolución discreta como
∞
y[n] = x[n]∗ h[n] = ∑ x [k ]h [n − k ]
k =−∞
s s

x Si tenemos una señal de entrada armónica x[n]=exp(j2πnfts), la
respuesta y[n] es ∞
y[n] = ∑ exp[ j 2π (n − k ) ft s ] ⋅ h[k ]
k =−∞
∞
= exp( j 2πnft s ) ∑ exp( − j 2πkft s ) ⋅ h[k ] = x[n]⋅ H ( f )
k =−∞

x H(f) es la DTFT de la señal discreta h[n]. Nótese que la función H(f)
es periódica, debido a que h[n] es una función discreta.


Ì Se define la DTFT de una señal discreta x[n] como
∞
X( f ) = ∑ x[k ]exp(− j 2πkfts )
k =−∞

Ì Dualidad entre las series de Fourier y la DTFT
x Tenemos una señal periódica continua xp(t). Mediante las series de
Fourier transformamos esa señal periódica continua en una función
aperiódica y discreta (los coeficientes espectrales XS[k]).
∞
1
X S [k ] = ∫ x p (t ) exp(− j 2πkf0 t )dt x p (t ) = ∑ X S [k ]exp( j 2πkf0 t )
T T
k =−∞
x De una manera dual, podemos intercambiar tiempo y frecuencia de
forma ∞
xS [k] = X P ( f )exp( j2πkfts )df XP ( f ) = ∑x [n]exp(− j2πkft )
1
SF ∫
SF
k =−∞
S s

donde SF=1/ts . Ahora tenemos una señal aperiódica discreta xs[k] y la
transformamos en una señal periódica continua (Xp(f)) mediante la
DTFT.



x El comportamiento dual entre las series de Fourier y la DTFT se
manifiesta en lo siguiente :
3 En las series de Fourier parto de una señal x(t), temporal, continua y perió-
dica (periodo T) y obtengo los coeficientes X[k], que es una función de la
frecuencia, aperiódica y discreta con una distancia entre dos valores
consecutivos de f0=1/T.
3 En la DTFT parto de una señal discreta en el tiempo x[n], con periodo de
muestreo ts=1/fs y aperiódica y obtengo una función X(f), que es función
continua de la frecuencia y periódica con periodo fs.
x Todas las propiedades que se vieron para las series de Fourier tienen su
correspondientes equivalencias en la DTFT.
x Ejemplo : DTFT de la ∞ secuencia x[n]=δ[n] :
X ( f ) = ∑ δ [k ] exp(− j 2πkft s ) = 1
k =−∞
Si tenemos una secuencia x[n]={1,0,3,-2}, a partir de la anterior ecuación
y aplicando la propiedad del desplazamiento,
X ( f ) = 1 + 3 exp(− j 4πft s ) − 2 exp(− j 6πft s )



Ì Sin embargo, a la hora de realizar operaciones tenemos los
mismos problemas que en las series de Fourier ya que
seguimos tratanto con señales continuas o con series de datos
de longitud infinita. La electrónica nos obliga a trabajar con
un número finito de datos discretos que además tienen una
precisión finita.
Ì De lo que se trata es de conseguir discretizar las variables
continuas y de limitar el números de muestras en los dos
dominios (temporal y frecuencial).
Ì Esto nos lleva a definir las series discretas de Fourier y la
Transformada Discreta de Fourier (DFT).



Ì De las Series de Fourier a las Series Discretas de Fourier
x Para las Series de Fourier se cumple (f0=1/T)
∞
xP (t ) = ∑ X S [k ]exp( j 2πkf0t ) X S [k ] = ∫ xP (t )⋅ exp(− j2πkf0t )⋅ dt
1
k =−∞ T T
x Para limitar xp(t), tomamos N muestras de xp(t) durante un periodo a
intervalos ts, de forma que N·ts=T. Al calcular los coeficientes X[k] me
queda, 1 N −1
X [k ] = ∑ x [n]⋅ exp(− j 2πkf nt )⋅ t
P 0 s s
Nt s n =0
N −1

∑ x [n]⋅ exp(− j 2πkn / N )
1
= P k = 0,1,2 , N − 1
N n =0

x La cantidad X[k] es la serie de Fourier Discreta de la señal periódica
muestreada xP[n].



Ì De la DTFT a la DFT
x Tenemos una señal x[n] limitado a N muestras con un periodo de
muestreo ts. N −1

x La DTFT se define como X P ( f ) = ∑ x[ n] ⋅ exp(− j 2πnft s )
n=0
x XP(f) es periódica con periodo 1/ts. Muestreamos esta señal N veces
sobre un periodo, por tanto XT[k] será sustituir f por k/(Nts) :
[ ]
N −1
X T [ k ] = ∑ x[n] ⋅ exp − j 2πnkt s / ( Nt s )
n=0
N −1
= ∑ x[n] ⋅ exp[− j 2πnk / N ] k = 0,1,2, , N − 1
n=0

x Esta última expresión resultante es la Transformada Discreta de
Fourier de una señal x[n]. Excepto por el término 1/N es idéntica a la
Serie Discreta de Fourier.



Ì Transformada Discreta inversa (IDFT),
1 N −1
x[n] = ∑ X T [k ]exp( j 2πnk / N ) n = 0,1,2,, N − 1
N k =0

Ì Convolución Circular o Cíclica
x La convolución normal entre dos señales periódicas es cero o infinito. Para
este tipo de señales se define la convolución circular de dos secuencias xp[n] y
hp[n] con periodo N :
1 N −1
y p [n] = x p [n] • h p [n] = ∑ x p [k ]h p [n − k ]
N k =0
x La convolución circular requiere que las dos secuencias sean del mismo
tamaño. Si no fuera así habría que llenar de ceros la secuencia más corta.



Ì Propiedades de la DFT
Simetria Conjugada X T [− k ] = X T [k ] = X T [ N − k ]
∗

Linealidad αx[n] + βy[n] ↔ αX T [k ] + βYT [k ]
Desplazamiento x[n − m ] ↔ X T [k ] ⋅ exp(− j 2πkm / N ) = X T [k ] ⋅ WN
km

Modulacion WN nm ⋅ x[n] ↔ X T [k − m]
−

1
Producto x[n]y[n] ↔ X T [k ] • YT [k ]
N
Simetria x[− n] ↔ X T [− k ] = X T [k ]
∗

Conjugado x ∗ [n] ↔ X T [− k ]
∗

Convolucion Circular x[n] • y[n] ↔ X T [k ]YT [k ]
Correlacion x[n] • y ∗ [− n] ↔ X T [k ]YT∗ [k ]
1
∑ x[n] = ∑ X T [k ]
2 2
Ecuacion de Parseval
N



Ì Ejemplos
x x[n]={1,2,1,0}
k=0 XT [0] = ∑ x[n] = 1 + 2 + 1 + 0 = 4
k = 1 X T [1] = ∑ x[n]exp(− j 2π / 4) = 1 + 2 exp(− jπ / 2 ) + exp(− jπ ) = − j 2
k=2 X T [2] = ∑ x[n]exp(− j 2π 2 / 4) = 1 + 2 exp(− jπ ) + exp(− j 2π ) = 0
k=3 XT [3] = ∑ x[n]exp(− j 2π 3 / 4) = 1 + 2 exp(− j 3π / 2) + exp(− j 3π ) = j 2

por tanto la DFT de x[n] es XT[k]={4,-j2,0,j2} para k=0,1,2,3



Ì Podemos interpretar los resultados del DFT de una secuencia
xs[n] desde dos puntos de vista:
x Como los coeficientes espectrales (series de Fourier) de una señal
periódica discreta cuyos muestreos coinciden con la secuencia xs[n].
x Como el espectro de una señal aperiódica discreta cuyos muestreos
corresponden a la secuencia xs[n].
Ì EL DFT es una aproximación al espectro de la señal analógica
original. Su magnitud se ve influenciada por el intervalo de
muestreo, mientras que su fase depende de los instantes de
muestreo.



Ì Como hacer la DFT a partir de una señal x(t), muestreada
durante D segundos, con periodo de muestreo ts :
x Elegir el intervalo de muestreo ts de forma que se cumpla el Teorema
del muestreo.
x Crear la expensión periodica (xp(t)) de x(t) con periodo D.
x Tomar N muestras de xp(t) empezando en t=0.
x Si hay discontinuidades, los valores de muestreo los tomaremos en el
punto medio de la señal.
x(t) x p (t)

-3 -2 -1 0 1 2 3 T -3 -2 -1 0 1 2 3 T



Ì DFT de señales periódicas
x Siendo x(t)=sin(2πft), con f=1KHz, D=1ms y N=8 tenemos la siguien-
te secuencia de muestreos :
x[n]={0,0.7071,1,0.7071,0,-0.7071,-1,-0.7071}
Sinusoide 1KHz, D=1ms, N=8
1

0.5
Amplitud
0

-0.5

-1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 -3 1
Tiempo (s) x 10

El resultado de hacer el DFT es XT[k]={0,-4j,0,0,0,0,0,4j}.
XS[k]=1/8{0,-4j,0,0,0,0,0,4j}={0,-j/2,0,0,0,0,0,j/2}



DFT DFT
5 5

4 4
Magnitud DFT

Magnitud DFT
3 3

2 2

1 1
00 0
2 4 6 8
-4000 -2000 0 2000
Indice k
Frecuencia (Hz)

x x(t)=sin(2πft), con f=1KHz, D=0.5ms y N=8, tenemos la secuencia de
muestreos: x[n]={0,0.3827,0.7071,0.9239,1,0.9239,0.7071, 0.3827}.
Los coeficientes del DFT son
{5.0273,-1.7654,0.4142,-0.2346,-0.1989,-0.2346,-0.4142,-1.7654}
Y los coeficientes del DFS son
X[k]=1/8{5.0273,-1.7654,0.4142,-0.2346,-0.1989,-0.2346,-0.4142,-1.7654}



Sinusoide 1KHz, D=1ms, N=8 DFT
8 0.7
1
0.8 7 0.6
0.6 6
0.5
0.4
5

Magnitud DFT
0.2 0.4
Amplitud

0 4
0.3
-0.2 3
-0.4 0.2
2
-0.6
-0.8 1 0.1

-1 0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 0
0 1 2 3 4 5 -8000 -6000 -4000 -2000 0 2000 4000 6000
Tiempo (s) -4 Indice k
x 10

x En este nuevo ejemplo, la frecuencia de muestreo es 16KHz. Los X[k]
son reales, por lo que la función tiene simetría par. Para la onda dada,
los coeficientes exactos de Fourier son :
3 XS[0]=1/π XS[k]=2/π(1-4k2)
3 Comparando XS[0]≈X[0]
XS[1]≈X[1] dentro del 5% de precisión
3 Para los términos con k=2,3..., X[k] se desvía bastante del término exacto
debido a que la señal no tiene un espectro limitado, produciéndose aliasing.


x x(t)=sin(2πft), con f=1KHz, D=1.5ms y N=24.
Sinusoide 1KHz, D=1ms, N=8 DFT

1
0.8
20
0.6
0.4
15

Magnitud DFT
0.2
Amplitud

0
-0.2 10

-0.4
-0.6 5
-0.8
-1
0
0 0.5 1 1.5 0 5 10 15 20
Tiempo (s) -3 Indice k
x 10

DFT

20
Magnitud DFT

15

10

5

0
-5000 0 5000
Frecuencia (Hz)



3 En este ejemplo se ha producido el denominado “leakage”, que consiste
en que las componentes originales de la señal se derraman hacia las
nuevas componentes de la señal. Para evitarlo, se debe muestrear un
número entero de periodos, o bien utilizar alguna de las ventanas
espectrales (ventana de Hamming, etc).
x Podría ocurrir que no conocieramos el periodo de la señal de la cual
queremos calcular el DFT. En ese caso se muestrea una señal de
duración lo más larga posible. De esta forma, se reduce el “leakage” y
el espacio entre frecuencias obteniéndose una buena estimación del
espectro original. Sinusoide 1KHz
1

0.5
Amplitud

0

-0.5

-1
0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 0.009 0.01
Tiempo (s)



DFT
80

60
Magnitud DFT
40

20

0
-4000 -3000 -2000 -1000 0 1000 2000 3000
Frecuencia (Hz)

Ì DFT de señales aperiódicas
x La señal aperiódica x(t) debe ser muestreada durante un tiempo D. El
DFT produce los coeficientes espectrales correspondientes a la
extensión periódica de x(t) con periodo D. El espacio entre frecuencias
es f0=1/D. A f0 se le denomina resolución frecuencial. Esta depende
sólo de la duración. Si la señal está limitada en el tiempo, la forma de
aumentar la duración es añadir ceros.



Señal x(t)=exp(-t) Señal x(t)=exp(-t)
1.5 5

4.5

4

3.5
1
3
Magnitud

Magnitud
2.5

2
0.5
1.5

1

0.5

0 0
0 0.5 1 1.5 2 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
Tiempo (s) Frecuencia (Hz)

1.5 2.5

2

1
1.5
Magnitud

Magnitud
1
0.5

0.5

0 0
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2



Ì Tal y como se observa en las figuras de la páginas anteriores
hay varias formas de dibujar la gráfica de la DFT de una
secuencia de datos.
Ì Una de ellas es indicarlo directamente mediante el índice k. Se
puede observar que |XT[k]| es simétrico respecto a N/2.
Ì Otra forma es reordenando los datos en función de la frecuen-
cia. De la definición de DFT sabemos que cada intervalo de la
DFT es 1/(Nts). La DFT nos da la Transformada de Fourier
para las frecuencias
f -(N/2)/(Nts),...,-1/(Nts),0, 1/(Nts), 2/(Nts)...(N/2-1)/(Nts)
k (N/2) ,..., N-1 ,0, 1 , 2 ... (N/2-1)
Ì La máxima frecuencia detectable por la DFT es lógicamente
fs/2, de acuerdo con el Teorema del Muestreo.


Ì En general, el DFT es una aproximación a las series o a la
transformada de Fourier. Es muy importante elegir
correctamente los parámetros del DFT (frecuencia de
muestreo fs=1/ts, resolución de frecuencia f0=1/D).
Ì La frecuencia de muestreo se determina a partir del teorema
de muestreo. Si queremos detectar el espectro de una señal
hasta una máxima frecuencia B , la frecuencia de muestreo
deberá ser 2B.
Ì La duración del muestreo se elige para una determinada
resolución de frecuencia.
Ì Una regla de diseño muy útil es: Si queremos los M primeros
armónicos de una señal con un error máximo del 5%, el
número de muestreos N=8M.


Ì Ejemplo: Queremos determinar mediante un algoritmo digital
el espectro de la señal x(t)=exp(-t). La máxima frecuencia de
la que pide su coeficiente es fB=1Hz. Además el armónico
correspondiente a f=0.3Hz debe tener un error menor que el
5%. Calcular fs,D y N.
x De acuerdo con el Teorema del Muestreo fs=2fB=2Hz.
x Escogemos una resolución frecuencial de f0=0.1Hz, de forma que
D=1/0.1=10s.
x La frecuencia 0.3Hz se corresponde con el índice k=3, por lo que
N=3· 8=24 muestreos. Esto me indica que fs=N/D=24/10=2.4 2.
x Si el objetivo es hacer que N sea lo menor posible (para facilitar los
cálculos del DFT), se puede elegir f0=0.3Hz, D=1/0.3=3.33s, k=1 y
N=1· 8=8.



1.5 1.2

1

1 0.8
Magnitud

Magnitud
0.6

0.5 0.4

0.2

0 0
0 2 4 6 8 10 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

1.5 1

0.9

0.8

0.7
1
0.6
Magnitud

Magnitud
0.5

0.4
0.5
0.3

0.2

0.1

0 0
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1



Ì Ventanas espectrales: Si tenemos señales truncadas, el
espectro de la señal muestra unos picos que no decaen lo
suficientemente rápido con la frecuencia. Para ello podemos
utilizar ventanas en el dominio temporal para suavizar esas
discontinuidades. Los picos serán menores aunque el ancho de
banda de cada lóbulo aumentará.



Resumen de Series y Transformadas de Fourier

Ì Series de Fourier
x Señal Continua Periódica (periodo T), Espectro Discreto Aperiódico
(intervalo de discretización 1/T)
Ì Transformada de Fourier
x Señal Continua Aperiódica, Espectro Continuo Aperiódico.
Ì Transformada de Fourier Discreta en el Tiempo
x Señal Discreta Aperiódica (intervalo de discretización ts), Espectro
Continuo Periódico (periodo 1/ ts)
Ì Transformada Discreta de Fourier
x Señal Discreta Periódica (intervalo de discretización ts, periodo T),
Espectro Discreto (intervalo de discretización 1/T)



FFT (Fast Fourier Transform)
Ì La importancia de DFT estriba en que es posible utilizar un
algoritmo, llamado FFT, que lo realiza de forma eficiente y
rápida.
Ì El DFT de una secuencia x[n] es :
N −1
X[ k ] = ∑ x[n]WNnk k = 0,1, , N − 1
n=0

donde WN = e − j 2π / N
Una primera aproximación al cálculo del DFT requeriría la suma
compleja de N multiplicaciones complejas para cada uno de las
salidas. En total, N2 multiplicaciones complejas y N2 sumas complejas
para realizar un DFT de N puntos.

Lo que consigue el algoritmo FFT es simplicar enormemente el
cálculo del DFT introduciendo “atajos” matemáticos para reducir
drasticamente el número de operaciones.


Ì La optimización del proceso de cálculo del DFT está basado
en las siguientes ideas :
x Simetría y Periodicidad de los términos WN.
WN + N = WN
n n
WNNk = 1
WN + N / 2 = − WN
n n
WN = WN / 2
2

x Elegimos el valor de N de forma que N=rm. Al factor r se le denomina
radix y su valor más habitual es 2, de forma que N=2m y algoritmo se
denomina FFT radix-2.
Ì Radix-2 FFT-Decimación en el Tiempo.
x Dividimos la secuencia de datos de entrada x[n] en dos grupos, uno de
índices par y el otro de índices impar. Con estas sub-secuencias se
realiza el DFT de N/2 puntos y sus resultados se combinan para formar
el DFT de N puntos.



N / 2 −1 N / 2 −1 N / 2 −1 N / 2 −1
X[k ] = ∑ x[2n]W 2 nk
N + ∑ x[2n + 1]W ( 2 n +1) k
N = ∑ x[2n]W 2 nk
N +Wk
N ∑ x[2n + 1]WN2 nk
n=0 n=0 n=0 n=0

Sustituimos x1 [n] = x[2 n]
x 2 [n] = x[2 n + 1]
WN nk = WN / 2
2 nk

N / 2 −1 N / 2 −1
X[k ] = ∑ x1 [n]W nk
N /2 +W k
N ∑ x 2 [n]WNnk/ 2 = Y[k ] + WNk Z[k ] k = 0,1,2,, N − 1
n=0 n=0

x Esta última ecuación muestra que el DFT de N puntos es la suma de dos
DFTs de N/2 puntos (Y[k], Z[k]) realizadas con las secuencias par e impar
de la secuencia original x[n]. Cada término Z[k] es multiplicado por un
factor WNk, llamado “twiddle factor”. Ya que WNk+N/2=-WNk y debido a la
periodicidad de Y[k] y Z[k] (periodo N/2) podemos poner X[k] como
X [ k ] = Y [ k ] + WN [ k ] ⋅ Z [ k ]
k

X [ k + N / 2] = Y [ k ] − WN [ k ] ⋅ Z [ k ]
k

Para k = 0,1, , N / 2 − 1



Y[0]

x[0]
+ X[0]

Y[1]

x[2]
+ X[1]

DFT
N/2 Puntos
Y[N/2-1]

x[N-2]
+ X[N/2-1]

W0
x[1]
Z[0]

x -1 + X[N/2]

W1
x[3]
Z[1]

x -1 + X[N/2+1]

DFT
N/2 Puntos
WN / 2 - 1
x[N-1]
Z[N/2-1]

x -1 + X[N-1]

x Los dos DFT de N/2 puntos se puede a su vez dividir para formar 4 DFTs
de N/4 puntos, lo que produce las siguientes ecuaciones
Y [k ] = U[k ] + WN k V [k ]
2
Z[k ] = R[k ] + WN k S[k ]
2

Y [k + N / 4] = U[k ] − WN k V [k ]
2
Z[k + N / 4] = R[k ] − WN k S[k ]
2

Para k = 0,1,, N / 4 − 1 Para k = 0,1,, N / 4 − 1


x El proceso puede repetirse sucesivamente hasta llegar a computar el
DFT de dos valores x[n], en concreto x[k] y x[k+N/2], para
k=0,1,...,N/2-1. Para una DFT de N=8 puntos tenemos el siguiente
esquema Butterfly
x[0] + + + X[0]
0
W

x[4] x -1
+ + + X[1]
0
W

x[2] + x -1
+ + X[2]
0 2
W W

x[6] x -1
+ x -1
+ + X[3]

0
W

x[1] + + x -1
+ X[4]
0 1
W W

x[5] x -1
+ + x -1
+ X[5]
0 2
W W

x[3] + x -1
+ x -1
+ X[6]
0 2 3
W W W

x[7] x -1
+ x -1
+ x -1
+ X[7]

Etapa 1 Etapa 2 Etapa 3



x Las características de una FFT de N puntos decimada en el tiempo se
sumarizan en la siguiente tabla :
Etapa 1 Etapa 2 Etapa 3 Etapa log2N
Número de N/2 N/4 N/8 1
Grupos
Butterflies por 1 2 4 N/2
Grupo
Exponentes (N/2)k, (N/4)k, (N/8)k, k,
Twiddle Factors k=0 k=0,1 k=0,1,2,3 k=0,1,...,N/2-1

x Por cada butterfly tenemos una multiplicación y dos sumas complejas.
Hay N/2 butterflies por etapa y log2N etapas.
3 El número total de multiplicaciones es ½N·log2N .
3 El número total de sumas es N·log2N .



x Para pequeños valores de N, la diferencia puede parecer pequeña, pero
para valores grandes la diferencia es enorme. Para un DFT de 1024
puntos, el número de multiplicaciones en un FFT es aprox. 5000
mientras que para un DFT normal es de aprox. 106.
Ì Radix-2 FFT-Decimación en Frecuencia
x Expresaremos el FFT como suma de los FFT de dos secuencias, la
primera con los N/2 primeros datos y la segunda con los N/2 últimos.
N −1 N / 2 −1 N −1
X[k ] = ∑ x[n]W nk
N = ∑ x[n]W nk
N + ∑ x[n]WNnk
n=0 n=0 n= N / 2
N / 2 −1 N / 2 −1
= ∑ x[n]W nk
N + ∑ x[n + N / 2]WN( n+ N / 2 )k
n=0 n=0
N / 2 −1 N / 2 −1
= ∑ x[n]W nk
N + (−1) k
∑ x[n + N / 2]WNnk
n=0 n=0
N / 2 −1
= ∑ [x[n] + (−1)k x[n + N / 2]]WNnk k = 0,1,2, , N − 1
n=0



x La decimación en frecuencia se obtiene dividiendo la secuencia de
salida (X[k]) en dos ecuaciones, una para los índices pares y otro para
los impares.
N / 2 −1
X[2 k ] = ∑ [ x[n] + x[n + N / 2]]WN2 nk
n=0
N / 2 −1
= ∑ [ x[n] + x[n + N / 2]]WNnk/ 2 k = 0,1, , N / 2 − 1
n=0

N / 2 −1
X[2 k + 1] = ∑ [ x[n] − x[n + N / 2]]WNn(2 k +1)
n=0
N / 2 −1
= ∑ [[ x[n] − x[n + N / 2]]WNn ]WNnk/ 2 k = 0,1, , N / 2 − 1
n=0

x X[2k] y X[2k+1] son los resultados del DFT de N/2 puntos realizado
con las suma y la diferencia entre la primera y segunda mitades de la
secuencia de entrada.



x[0] + X[0]

x[1] + X[2]
DFT
N/2 Puntos

x[N/2-1] + X[N-2]

0
W

x[N/2] -1
+ x X[1]
1
W

x[N/2+1] -1
+ x X[3]
DFT
N/2 Puntos
N/2-1
W

x[N-1] -1
+ x X[N-1]



Butterfly

x[0] + + + X[0]
W0
x[1] + + -1 + x X[4]
W0
-1
x[2] + + x + X[2]
W2 W0
x[3] + -1 + x -1 + x X[6]

W0
x[4] -1 + x + + X[1]
W1 W0
x[5] -1 + x +
-1 + x X[5]
W2 W0
-1 + x -1 + x + X[3]
x[6]
W3 W2 W0
x[7] -1 + x -1 + x -1 + x X[7]

Etapa 1 Etapa 2 Etapa 3



x Las característica del FFT decimado en frecuencia son
Etapa 1 Etapa 2 Etapa 3 Etapa log2N
Número de
1 2 4 N/2
Grupos
Butterflies por
N/2 N/4 N/8 1
Grupo
Exponentes n, 2n, 4n, (N/2)n,
Twiddle Factors n=0,...,N/2-1 n=0,...,N/4-1 k=0,...,N/8-1 n=0

Ì Se puede observar que en el caso de decimación en el tiempo, la secuencia
de entrada debe ser reordenada mientras que la salida aparece en el orden
correcto.
Ì Para la decimación en frecuencia, la secuencia está en orden mientras que
la salida habrá que reordenarla.
Ì Se da la circunstancia que esa reordenación es simplemente invertir el
índice en binario. Por ejemplo, en la misma posición que x[1] aparece
X[4], y 001 invertido es 100.


Ì DFT en 2 dimensiones
x En aplicaciones como procesamiento de imagen, las señales dependen
de dos variables n1 y n2 (el eje x y el eje y en una imagen bidimensio-
nal). Por tanto necesitamos extender el concepto de DFT a dos dimen-
siones.
x Dada una secuencia x(n1,n2), se define la DFT como
 N1 −1N 2 −1 − j (2 π ) ( )
 = =
(
 ∑ ∑ x n1 , n2 e ) N1 k1 n1
e
− j 2 π N 2 k 2 n2
0 ≤ n1 ≤ N 1 − 1, 0 ≤ n2 ≤ N 2 − 1
(
X k1 , k 2 ) =  n1 0 n2 0
0 , en otro caso



x La IDFT de X(k1,k2) se define como
 1 N1 −1N1 −1 j (2 π ) ( )
 ∑∑ ( )
X k1 , k 2 e
N1 k1 n1
e
j 2 π N 2 k2 n2
0 ≤ n1 ≤ N 1 − 1, 0 ≤ n2 ≤ N 2 − 1
 N 1 N 2 k1 = 0 k2 = 0
(
x n1 , n2 ) =
0 , en otro caso





Ì FFT-2D
x Al igual que en el caso de señales unidimensionales, disponemos de un
eficiente algoritmo para realizar el DFT.
x Descomposición Fila-Columna
3 Reescribimos la ecuación anterior
N −1N −1
− j ( 2 π N ) k n − j (2 π N )k n
( ) ∑∑ ( )
1 2

X k ,k =
1 2 x n ,n e 1 2 e 1 1 1 2 2 2

n1 = 0 n2 = 0

N1 −1 N 2 −1
= ∑ f (k1 , n2 )e
( ) ( )
− j 2 π N 2 k 2 n2
(
, donde f k1 , n2 = ) ∑ x (n )
1 , n2 e
− j 2 π N1 k1 n1

n1 = 0 n2 = 0

3 Si consideramos n2 fijo (pe, n2 =0), f(k1,n2) es el DFT unidimensional de
x(n1,n2)|n2=0 con respecto a la variable n1. De esta forma obtenemos una
matriz f(k1,n2) para todos los posibles valores de n2 (Figura).
3 Ahora podemos calcular X(k1,k2) a partir de f(k1,n2),
N 2 −1
( )
(
X k1 , k 2 =) ∑ f (k 1 , n2 e) − j 2 π N 2 k2 n2

n2 = 0



3 Fijamos k1 (pe, k1=0), por lo que f(k1,n2)|k1=0 es una columna de f(k1,n2) y
X(0,k2) es la DFT unidimensional de f(k1,n2)|k1=0 con respecto a la variable
n2. Obtendremos X(k1,k2) haciendo N1 DFT 1D para cada valor de k1
(Figura).

n2 x(n 1,n 2) n2 f(k 1,n 2)
N 2-1 N 2-1

FFT 1D
N 1 puntos

n1 k1
N 1-1 N 1-1



n2 f(k 1 ,n 2 ) k2 X(k 1 ,k 2 )
N 2 -1 N 2 -1

FFT 1D
N 2 puntos

k1 k1
N 1 -1 N 1 -1

Número de Número de
Multiplicaciones Sumas
Calculo Directo N12 N 2
2
N12 N 2
2

Descomposición
Fila-Columna con
N1 N 2
(
log2 N1 N 2 ) (
N1 N 2 log2 N1 N 2 )
2
FFT 1D



FFT con MATLAB
X = fft(x)
Hace la FFT del vector x. “X” es un vector de números complejos
ordenados desde k=0...N-1. Se recomienda que la longitud del vector
x sea una potencia de 2. Lo que no se recomienda es que la longitud
de x sea un número primo.
Otra opción del la FFT es especificar el número de puntos con el
que se quiere hacer la FFT.
X = fft(x,N)
Si la longitud de x es menor que N, el vector se rellena con
ceros. Si es mayor, el vector es truncado.
x = ifft(X)
Hace la FFT inversa del vector X. También se puede especificar el
número de puntos N con el que quiero hacer la IFFT.
x = ifft(X,N)

X = fftshift(X)
Reordena el vector X en orden creciente de frecuencia. Si “X” es el
vector resultante de hacer una FFT, utilizando esta función
reordenamos los puntos en función de la frecuencia.

Ì A continuación tienen unos ejemplos del uso de las FFT. Los programas de
MATLAB utilizados los pueden conseguir en el Web de la asignatura.



FFT con MATLAB: fftej1.m → x(t)=sin(2· π·20·t)+chirp(5-40)
N=128 D=1 s
x(t)
2
1.5
1
0.5
0
x(t)

-0.5
-1
-1.5
-2
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Tiempo (s)

Módulo de Coeficientes Espectrales |X[k]|
0.6

0.5

0.4
|X[k]|

0.3
0.2

0.1
0
-80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80
Frecuencia (Hz)


N=128 D=1 s
Fase de Coeficientes Espectrales X[k]
2000

1500
Fase (º) 1000

500

0

-500

-1000-80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80
Frecuencia (Hz)

Comparación entre x(t) y su reconstrucción a partir de X[k]
2.5
2
1.5
1
0.5
x(t)

0
-0.5
-1
-1.5
-2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Tiempo (t)



N=128 D=1 s


2

1.5

1

0.5
x(t)

0

-0.5

-1

-1.5
0.91 0.92 0.93 0.94 0.95 0.96 0.97 0.98 0.99
Tiempo (t)


N=32 D=1 s
Módulo de Coeficientes Espectrales |X[k]|
0.6
Aliasing 32-20=12 Hz
0.5

|X[k]| 0.4

0.3

0.2

0.1

0
-20 -15 -10 -5 0 5 10 15
Frecuencia (Hz)
2.5
2
1.5
1
0.5
x(t)

0
-0.5
-1
-1.5
-2
-2.5 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Tiempo (t)


FFT con MATLAB: fftej2.m → x(t)=exp(-2·t)+0.2·chirp(60-100)
N=256 D=1 s
x(t)=exp(-2t)+0.2·chirp(60-100)
1.2
1
0.8
0.6
x(t)
0.4
0.2
0
-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Tiempo (s)

Módulo de los coeficientes espectrales |X[k]|
0.45
0.4
0.35
0.3
0.25
|X[k]|

0.2
0.15
0.1
0.05
0
-150 -100 -50 0 50 100 150
Frecuencia (Hz)


N=256 D=1 s
Fase de los coeficientes espectrales X[k]
1500

1000

Fase(X[k]) (º)
500

0

-500

-1000

-1500
-150 -100 -50 0 50 100 150
Frecuencia (Hz)

1.4
1.2
1
0.8
x(t)

0.6
0.4
0.2
0
-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Tiempo (t)



N=256 D=1 s

1

0.8

0.6
x(t)

0.4

0.2

0

0.96 0.97 0.98 0.99 1
Tiempo (t)


N=64 D=0.1 s
Módulo de los coeficientes espectrales |X[k]|
0.1
0.09
0.08
0.07
0.06
|X[k]|

0.05
0.04
0.03
0.02
0.01
0
-400 -300 -200 -100 0 100 200 300 400
Frecuencia (Hz)
1.2

1.1

1
x(t)

0.9

0.8

0.7

0.6
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1
Tiempo (t)


FFT con MATLAB: fftej3.m → x(t)=exp(-2·t)·sin(2· π·200·t)
N=128 D=0.2 s
x(t)=exp(-2t)·sin(2· p·200· t)
1
0.8
0.6
0.4
0.2

x(t)
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1 0 0.05 0.1 0.15 0.2
Tiempo (t)

Módulo de los coeficientes espectrales de x(t)
0.09
0.08
0.07
0.06
0.05
|X[k]|

0.04
0.03
0.02
0.01
0
-400 -300 -200 -100 0 100 200 300 400
Frecuencia (Hz)


N=128 D=0.2 s

200

150
100

50
Fase X[k]

0
-50

-100
-150

-200
-400 -300 -200 -100 0 100 200 300 400
Frecuencia (Hz)


FFT con MATLAB: fftej4.m → x(t)=sin(2· π·200·t+5·sin(2· π·2· t))
N=256 D=0.5 s
x(t)=sin(2·pi·200·t+5·sin(2· pi·2· t)
1
0.8
0.6
0.4
0.2

x(t)
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
Tiempo (t)

0.1
0.09
0.08
0.07
0.06
|X[k]|

0.05
0.04
0.03
0.02
0.01
0
-300 -200 -100 0 100 200 300
Frecuencia (Hz)


N=256 D=0.5 s

7000

6000
5000

4000
Fase X[k]

3000
2000

1000
0

-1000
-300 -200 -100 0 100 200 300
Frecuencia (Hz)


N=128 D=0.2 s
x(t)=sin(2·pi·200·t+5·sin(2· pi·2· t)
1
0.8
0.6
0.4
0.2
x(t) 0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1 0 0.05 0.1 0.15 0.2
Tiempo (t)
0.06

0.05

0.04
|X[k]|

0.03

0.02

0.01

0
-400 -300 -200 -100 0 100 200 300 400
Frecuencia (Hz)


N=128 D=0.2 s

700

600

500

400
Fase X[k]

300

200

100

0
-400 -300 -200 -100 0 100 200 300 400
Frecuencia (Hz)


FFT con MATLAB: fftej5.m → x(t)=sin(2· π·200·t-5· exp(-2·t))
N=256 D=0.5 s
x(t)=sin(2·pi·200·t-5·exp(-2t))
1
0.8
0.6
0.4
0.2
x(t) 0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
Tiempo (t)
0.18
0.16
0.14
0.12
|X[k]|

0.1
0.08
0.06
0.04
0.02
0
-300 -200 -100 0 100 200 300
Frecuencia (Hz)


FFT con MATLAB: fftej5.m → x(t)=sin(2· π·200·t-5· exp(-2·t))
N=256 D=0.5 s
150 Fase de los coeficientes espectrales X[k]

100

50

Fase X[k]
0

-50

-100

-150
-300 -200 -100 0 100 200 300
Frecuencia (Hz)
Comparación entre el espectro de señales moduladas
en amplitud (x) y moduladas en frecuencia (o)
80
70
60
50
40
30
20
10
0
160 170 180 190 200 210 220 230 240


N=16 D=1 s
1 Puntos de muestreo (--) y Reconstrucción a partir de X[k] (o)
0.8
0.6
0.4
0.2

x(t)
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Tiempo (s)

0.25 Módulo de los coeficientes espectrales de x(t)

0.2

0.15
|X[k]|

0.1

0.05

0
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
Frecuencia (Hz)


N=16 D=1 s
200
150
100
50

Fase X[k]
0
-50
-100
-150
-200-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
Frecuencia (Hz)

1
0.8
0.6
0.4
0.2
x(t)

0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8 0 0.5 1 1.5 2
Tiempo (t)


FFT con MATLAB: fftej7.m → x(t)= (1+t2/2)·sin(2· π·5·t)+ 0.2·chirp(20-60)
N=128 D=1 s
Módulo de los coeficientes espectrales de x(t) |X[k]|
0.6

0.5

0.4

|X[k]|
0.3

0.2

0.1

0
-80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80
Frecuencia (Hz)

2000
1500
1000
Fase X[k]

500
0
-500
-1000
-1500
-80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80
Frecuencia (Hz)


FFT con MATLAB: fftej8.m → x(t)= (1+t2/2)·sin(2· π·5·t)+ 0.2·chirp(20-60)
N=128 D=1 s

2.5
2
1.5
1
0.5
x(t)

0
-0.5
-1
-1.5
-2
-2.5
0 0.5 1 1.5
Tiempo (t)


FFT con MATLAB: goodbye.m
N=4096 Fs=22050 Hz Nh=1000
goodbye.au
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
-0.05
-0.1
-0.15
-0.2
-0.25 0 0.05 0.1 0.15 0.2
Tiempo (s)
-4
9 x 10 Espectro de goodbye.au
8
7
|X[k]|

6
5
4
3
2
1
0
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5
4
Frecuencia (Hz) x 10


FFT con MATLAB: goodbye.m
N=4096 Fs=22050 Hz Nh=1000
-4
x 10 Espectro de goodbye.au filtrado
9
8
7
6

|X[k] 5
4
3
2
1
0
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5
4
x 10


FFT con MATLAB: good_wnd.m
Ni=1245 Nw=128 Nh=10 Fs=22050 Hz
Señal (--) y Recontrucción con 10 armónicos (--)
0.03
0.02
0.01

Amplitud y(t)
0
-0.01
-0.02
-0.03
-0.04
0.056 0.057 0.058 0.059 0.06 0.061 0.062 0.063
Tiempo (s)

Espectro de la señal (--) y filtrado (--)
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
|Y[k]|

0.4
0.3
0.2
0.1
0
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5
Frecuencia (Hz) 4
x 10


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