Doc2. magaña
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- 4. Viernes 7 de enero de 2005. Suena el teléfono de mi casa en Chicago. Es Diego Golombek desde Buenos Aires. –Adrián –me dice–. Como sabes, estoy dirigiendo una colección de libros que sirven para difundir la ciencia. Quiero publicar textos no acartonados, que acerquen la ciencia a la gente. ¿No tenéis ganas de escribir un volumen sobre matemática? Me quedé callado por un momento –que Diego entendió como vacilación– y arremetió nuevamente: –Mira: alcanzaría con que escribas las historias que contáis al final de cada uno de los programas –se refería a Científicos Industria Argentina. –Diego –le dije–, eso no le va a interesar a nadie –un visionario yo, evidentemente. –No importa. Eso déjalo por mi cuenta. No me contestes ahora. Pensadlo y nos hablamos el lunes. Obviamente, el diálogo fue más largo y no lo recuerdo con precisión, pero de lo que sí estoy seguro es de que –conceptualmente– fue así. Y me quedé pensando: si habíamos hecho dos años consecutivos de programas en Canal 7, a 52 por año, eran 104 historias. Teniendo en cuenta que sólo habíamos repetido un programa (el de Alberto Kornblihtt hablando de biología) y no se habían emitido los dos que correspondían a los respectivos fines de año (2003 y 2004),
- 5. Dos pintores y una pieza2 En una casa hay una habitación grande que hay que pintar. Un pintor, llamémoslo A, tarda 4 horas en pintarla solo. El otro, a quien llamaremos B, tarda 2 horas. ¿Cuánto tardarían si los dos se pusieran a pintarla juntos? (Antes de avanzar: la respuesta no es 3 horas.) Solución al problema de los dos pintores La tentación es decir que si trabajan los dos juntos van a tardar 3 horas en pintar la pieza. Sin embargo, uno contesta eso porque, en principio, no está pensando. Basta advertir que, si uno de los dos pintorestrabajando solo tardaría 2 horas, no es posible que con ayuda de otro ¡tarden más! Estoy seguro de que hay muchísimas maneras de llegar a la solución. Más aún: ni siquiera creo que las dos que voy a proponer sean las mejores. Es decir: lo invito a a que imagine una respuesta que sea atractiva por lo breve y contundente. Por eso es que creo que no vale la pena leer lo que figura más abajo… Pero, si aun así usted insiste, aquí va. Le propongo pensar lo siguiente. En una hora, el pintor que pinta más rápido, B, pinta la mitad de la pieza. El otro, A, mientras tanto, pintauna cuarta parte (ya que, como tarda 4 horas en pintar todo, en una hora pinta justo la cuarta parte de la pieza). Ahora bien, hasta acá, entre los dos pintaron las tres cuartas partes. Relea lo que acabo de escribir: tres cuartas partes. O sea, tres veces una cuarta parte (eso es lo que significa tres cuartos de algo). Y tardaron una hora en hacerlo. Por lo tanto, como queda una cuarta parte por pintar, les hace falta la tercera parte de una hora. Piénselo conmigo otra vez: si en una hora pintaron tres cuartos, para pintar un cuarto (que es la tercera parte de 3/4), les hace falta usar la tercera parte de una hora, o sea, 20 minutos. MORALEJA: los dos pintores juntos tardarán 1 hora y 20 minutos para pintar la pieza. También podemos pensar el problema usando lo que nos enseñaron en el colegio como ―regla de tres simple‖. Como hice en la solución 1, sabemos que en una hora pintan 3/4 partes de la pieza. La pregunta es, entonces, ¿cuánto tardarán en pintar toda la pieza? Y para eso escribimos: 3/4 pieza ———————- 60 minutos 1 pieza ———————- x minutos Para ―despejar‖ la x (o para ―calcular‖ la x), hacemos x = (1 · 60) / (3/4) = 60 / (3/4) = (4/3) x 60 = 80
- 6. Luego, en total, entre los dos tardarán 80 minutos, o sea, 1 hora y 20 minutos. ¿Da lo mismo subir que bajar un 40%? Algunas preguntas sobre porcentajes. 1. Si uno empieza con un número cualquiera, digamos 100, y le quita el 40%, y al resultado lo incrementa un 40%, ¿se llega otra vez a 100? 2. Al revés ahora: si uno empieza con el número 100, le agrega un 40%, y al resultado le descuenta ahora un 40%, ¿se llega otra vez a 100? 3. Las respuestas que dio para las dos preguntas anteriores, ¿dependieron de que empezara con el número 100, o habría dado lo mismo si hubiera empezado con cualquier otro número? Soluciones al problema de subir y bajar un 40% 1) Si usted hizo las cuentas, habrá advertido que ¡no da lo mismo! Es decir, si al número 100 uno le descuenta un 40%, se obtiene el número 60. Si ahora, uno incrementa un 40% al número 60, se obtiene el número 84. Es decir, no da lo mismo deducir un 40% del número 100 y luego aumentárselo. 2) De la misma forma, si uno empieza primero agregando un 40% al número 100, obtiene el número 140. Si luego a este número (140) ledescuenta un 40% (haga la cuenta acá antes de seguir leyendo), el resultado es 84. Es decir, tampoco se vuelve al número 100 de partida. Por un instante, quiero hacer una cuenta que abarque MÁS que al número 100. Si uno empieza con un número A cualquiera, si primero le aumenta un 40% y luego, al número que obtuvo, le deduce un 40%, no vuelve al mismo número. Y lo mismo sucede al revés, si uno empiezadeduciendo primero y aumentando después. ¿Cómo se puede demostrar esto en general? a) Para descontar el 40% de un número A lo que hay que hacer es: (0,6) · A (1) Esto, en realidad, calcula el 60% de A, pero es exactamente lo que uno quiere, porque queremos saber a qué número se llega primero cuando uno descuenta el 40% del número A. b) Para incrementar un 40% a un número B cualquiera, lo que hay que hacer es: (1,4) · B (2) Luego, usando los resultados de (1) y (2), se tiene: Situación inicial A Descuento el 40% (0,6) · A Aumento el 40% a este número (1,4) · (0,6) · A Y este último número es (1,4) · (0,6) · A = (0,84) · A (3) Luego, no se vuelve al número A original, sino a (0,84) x A, que es 16% menor que el que había al principio. Si uno va para el otro lado, es decir, comienza incrementando
- 7. un 40%, se tiene: Situación inicial A Incremento el 40% (1,4) · A Descuento el 40% a ese número (0,6) · (1,4) · A Este último número es el mismo que teníamos en (3), pero uno descubre que no se obtiene A sino un 84% de A. O sea, (0,6) · (1,4) · A = (0,84) · A (4) Luego, la respuesta a las dos primeras preguntas es que no se vuelve al número original. Lo que sí sucede (interesante) es que, si uno ganara en el casino un 40% del dinero que llevó y luego pierde un 40%, si bien no llegará al mismo número con el que empezó (porque perdió un 16%), llegará al mismo número que si hubiera empezado perdiendo un 40% y luego recuperando el 40%. Para contestar a la tercera pregunta, es fácil comprender que, si en lugar de haber usado el 40% hubiera tomado cualquier otro porcentaje, el resultado sería el mismo. El número 40 es un número cualquiera que elegí para hacer la pregunta, pero habría servido cualquier otro. Lo invito a pensar en algo más: si al final del proceso uno termina descontando el 100%, el resultado final tiene que ser ¡cero! Luego, si uno empieza con cualquier número A y lo incrementa en un 100% (o sea, lo multiplica por dos), y luego, al resultado (que es 2A) le descuenta el 100%, lo que se obtiene es… ¡cero! Y lo mismo pasa para el otro lado. Incluso más rápido. Porque si uno empieza con A y le descuenta el 100%, se queda con cero. Aunque ahora uno pretenda aumentar el 100%, lo que tendrá seguirá siendo cero. Sin embargo, el número A no se recupera más. ¿No resulta interesante todo esto? ¿Cómo hacer para pesar diez kilos con una balanza desbalanceada?3 Mucha gente cree que tiene mala suerte y lo expresa de distintas Maneras. Por ejemplo: “El día que llueva sopa, yo voy a estar con un Tenedor en la mano”. O algo equivalente. El hecho es que si Murphy Viviera, diría que uno siempre tiene un destornillador cuando necesita un martillo (o al revés). Pero con el tiempo y con paciencia, al Final, nos ingeniamos para salir del paso. Es posible que usted nunca tenga que enfrentar el problema que viene a continuación. Sin embargo, estoy seguro de que, el haber pensado en cómo resolverlo, lo ayudará a tener una llave extra en su arsenal, que uno nunca sabe cuándo necesitará utilizar. Azúcar. Para lograrlo, se tienen dos pesas de cinco kilos cada una, y una balanza con dos platillos. La dificultad reside en que la balanza está desbalanceada. Esto significa que, sin que haya ningún peso en ninguno de los dos platillos, hay uno que está más arriba que el otro. ¿Cómo hacer? Solución al problema de la balanza desbalanceada
- 8. Primero, ponga las dos pesas (5 kilos + 5 kilos) sobre uno de los platillos. Ponga azúcar en el otro hasta que los dos platillos queden a la misma altura. Cuando lo logró, retire las dos pesas y reemplácelas con azúcar hasta que los platillos queden otra vez a la misma altura. Obviamente, el azúcar que le hizo falta poner en el platillo en donde estaban las dos pesas cumple con lo que usted quería: ¡pesa 10 kilos! Los tres recipientes con dos tipos de monedas que tienen las etiquetas cambiadas Supongamos que tiene tres recipientes iguales que contienen monedas. Y no se puede ver lo que hay en el interior de cada uno. Lo que sí se puede ver es que en la parte de afuera de cada recipiente hay pegada una etiqueta. Una dice: “Monedas de 10 centavos”. Otra dice: “Monedas de 5 centavos”. Y la tercera dice: “Mezcla”. Un señor que pasó por el lugar antes que usted, despegó todas las etiquetas que había y las puso, a propósito, en recipientes que no correspondían. ¿Alcanza con elegir una sola moneda de un solo recipiente para tener suficiente información para reordenar las etiquetas y poner cada una en el lugar que le corresponde? Solución al problema de los tres recipientes con monedas Sí, se puede. Uno retira una moneda del recipiente que dice “Mezcla”. Se fija qué tipo de moneda es. Puede ser o bien de 5 centavos o de 10. Supongamos que es una moneda de 5. Como la etiqueta de la que sacó la moneda decía “Mezcla”, está claro que ese recipiente no es el de la mezcla. Entonces significa que ya encontró el recipiente al cual ponerle la etiqueta que diga “Monedas de 5 centavos”. Por otro lado, el recipiente que tiene la etiqueta que dice “Monedas de 10 centavos” tiene que ser el que contenga la “mezcla”. ¿Por qué? Porque, por un lado, no puede ser el de las monedas de 10 ya que, si no, tendría la etiqueta correcta. Luego, sólo puede ser el de las monedas de 5 o el de la mezcla. Pero el de las monedas de 5 tampoco puede ser, porque ésa fue la primera que sacamos. Luego, allí debería decir “Mezcla”. Listo. En el primer recipiente va la etiqueta que dice “Monedas de 5 centavos”, en el que dice “Monedas de 10 centavos” va la que dice “Mezcla” y en el que queda va la etiqueta que dice “Monedas de 10 centavos”. MORALEJA: uno escuchó muchas veces decir “hay que leer bien el enunciado”, o lo que en la vida cotidiana significa “estar muy atento a todos los detalles y no pasar nada por alto”. El problema anterior es un buen ejemplo de esto ya que si uno nopresta atención a la parte del enunciado que dice “en recipientes que no correspondían”, no puede resolver bien el problema.
- 9. muy interesante. Problema de las 10 monedas Se tienen 10 monedas arriba de una mesa. ¿Es posible distribuirlas en cinco segmentos, de manera tal que quedenexactamente cuatro en cada uno de ellos? Si se puede, exhiba una forma de hacerlo. Si no se puede, explique por qué. Solución al problema de las 10 monedas Lecturas y los comentarios Menos por menos es mas Menos por menos es más… ¿Seguro? Una de las ―verdades‖ que nos enseñan en la escuela o en el colegio es que ―Menos por menos es más‖. Uno anota. Piensa. No entiende. Vuelve a pensar. Sigue sin entender.
- 10. Mira al compañero de al lado. Él tampoco entiende. Y de pronto se oye a la maestra o el profesor, que otra vez nos taladran con: ―Menos por menos es más‖. Comentario: La lectura al fin y al cabo dice que menos + menos es mas y te dan ejemplos para hacerte entender que eso es cierto. ¿Es verdad que 0,99999… = 1?13 Lo que esto sugiere es que el número 1 admite dos escrituras distintas, Pero, obviamente, es un solo número. La invitación al lector es que trate de descubrir que éste no es el Único caso dentro del conjunto de números reales, sino que sucede Con infinitos otros casos. Velocidad del crecimiento del pelo Quiere decir que si calculas cuanto crece tu pelo aproximadamente es 1 centímetro cada cada 3 semanas. Estrategia para ganar siempre Da a entender que existe una manera para ganar siempre pero no explica la manera de ganar.