Tutorial
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Este documento explica cómo derivar funciones implícitas. Primero define una función implícita como una función donde la variable no está despejada. Luego, detalla los pasos para derivar una función implícita, como derivar ambos lados de la ecuación con respecto a x y y, despejar dy, y dividir el término resultante. Finalmente, explica cómo derivar cuando una función está dentro de otra, multiplicando las derivadas de cada función.
Tutorial
- 1. Universidad Estatal del Valle de Ecatepec“Ingeniería en Comunicación Multimedia”“Cálculo Diferencial e Integral”Alumno: Irving Israel Vargas CárdenasGrupo: 1441Profesor: Ing. Luis Gustavo García Flores
- 2. ¿Cómo resolver una derivada Implícita?
- 3. ¿Qué es una función Implícita?Definición: Es implícita una función cuando el valor de la variable no está despejada.
- 4. En la siguiente imagen determine cual es la función implícita.a) X + y = 2B) y= 3 x + 5Si observa las dos opciones son muy diferentes, y determinamos que la siguiente es una función implícita:X + y = 2
- 5. Una vez que hemos identificado una función implícita procederemos a la resolución paso a paso de una derivada. Pero a su vez tener en cuenta los siguientes puntos:Debemos derivar con respecto a “x” ambos lados de la ecuación, (“y” se considera como constante ).2. Debemos derivar con respecto a “y” ambos lados de la ecuación, (“x” se considera como constante).3. Cuando derivemos con respecto a “x” debemos colocar .dxdx4. Cuando derivemos con respecto a “y” debemos colocar. dydy5. Despejar dy del término izquierdo de la igualdad.dy6. El termino dx pasa dividiendo del otro lado de la igualdad.dx
- 6. Derivación ImplícitaTomemos como referencia la siguiente ecuación:3x2y+2y3x=x2Con la siguiente ecuación vamos a derivar con respecto a “x” y “y” , tomando en cuenta las notas que se colocaron en la anterior diapositiva:(3x2y+2y3x) dx(3x2y+2y3x) dy = (x2 ) dx(x2 ) dydxdydxdyPodemos notar que lo que esta de rojo se deriva con respecto a “x”, y de verde lo que se deriva con respecto a “y”
- 7. (3x2y+2y3x) dx(3x2y+2y3x) dy = (x2 ) dx(x2 ) dydxdydxdyAhora una vez acomodada nuestra función procedemos a derivar:(6xy+2y3 ) - - - - Este es el resultado de derivar con respecto a x, si observa la “y” fue tomada como una constante.(3x2+6xy2) - - - - Este es el resultado de derivar con respecto a y, si observa aquí la “x” es la constante.Del otro lado de la igualdad:(2x) - - - - Este es el resultado de derivar el otro lado de la igualdad con respecto a x.(0) - - - - Aquí podemos notar que cuando x es la constante y se deriva da como resultado O (cero) tal y como lo dice la formula.
- 8. Una vez que hemos derivado nuestra función, debemos de acomodarla y comenzar a despejar:(6xy+2y3 ) +(3x2+6xy2)dy =(2x) +(0)dyDespejamos dy del término izquierdo de la igualdad:dydy3x2+6xy2= (de este lado pasamos lo que teníamos en la derivada de x con dy signo contrario).dy3x2+6xy2= 2x +0 -6xy -2y3dy
- 9. Para que nos quede solo el termino dy solo falta pasar dividiendo del otro lado de la igualdaddydy3x2+6xy2= 2x +0 -6xy -2y3dydy = 2x + 0 - 6xy -2y3dy3x2+6xy2
- 10. Segundo tipo de Derivación Implícita
- 11. Otro tipo de derivación implícita, es por medio de la multiplicación de las derivadas de cada una de lasfunciones.Lo único que hay que hacer para derivar es determinar si hay una función dentro de la otra, ejemplo:y= 2n2n=3x2+2x+1Podemos observar que en la primera función tenemos 2n2, y que la n está en función de la otra función.
- 12. Resolviendo
- 13. 1.- Derivamos cada funcióny= 2n2Utilizamos las fórmulas de derivación según se necesiten:(2)(2)n= 4n- - - resultadon=3x2+2x+1Utilizamos las fórmulas de derivación según se necesiten:(2)(3)x+(2)(1)+0 = 6x+2 - - -resultado Ya hemos derivado cada función, lo único que falta es multiplicar cada derivada:(4n)(6x+2) =24nx+8n
- 14. Ya hemos analizado, la derivación implícita, elobjetivo fue dar una solución fácil a dichas funcionesque en ocasiones se nos dificultan.Con ello se pretende que usted haya encontrado la solución a dicho problema.Si usted desea consultar las referencias bibliográficas acerca del tema diríjase:Matemáticas Simplificadas vol. V “Calculo Diferencial” CONAMAT, 2003 pp.126-131