Derivadaimplicita
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Este documento explica cómo derivar funciones implícitas. Primero, se diferencia ambos lados de la ecuación implícita para obtener una nueva ecuación. Luego, se resuelve esta ecuación para derivar la variable dependiente con respecto a la independiente. Como ejemplo, se muestra el proceso para derivar la función implícita dada por la ecuación x cos y - y = 0.
Derivadaimplicita
- 2. En todo lo estudiado hasta ahora hemos supuesto una representación explícita de la función, es decir, hemos supuesto que y f x que la variable dependiente, y, está escrita en términos explicitos de la variable independiente x. *y x sin x 3 2x 2 *y x *y xe x sin x 8x 3
- 3. Sin embargo, no siempre es posible tener la representación explicita de una función y se tiene una representación implícita de la forma x, y x, y que determina a y como función de x. * x 2 y 2 1 * x y sin xy * xye xy ln x cos xy
- 4. Si tenemos una representación implícita de la forma x, y x, y lo que se hace para derivarla es: 1).- Diferenciar ambos lados de la ecuación para obtener una nueva ecuación d x, y dx d x, y dx dy 2).- Resolver la ecuación anterior para . dx La respuesta usualmente involucra a y y a x.
- 5. dy Dada la ecuación x xy 2 y, encontrar dx d x xy d 2y 1).dx dx dx d xy dy 2 dx dx dx dy dx dy 1 x y 2 dx dx dx dy dy 1 x y 2 dx dx
- 6. dy Dada la ecuación x xy 2 y, encontrar dx dy dy 2).- De la ecuación nueva 1 x y 2 dx dx dy despejamos , dx dy 1 y dx 2 x
- 7. Dada la ecuación x cos y y d x cos y y dx3 1).dx dx dx d cos y dy cos y x 3x 2 dx dx dx dy dy 2 cos y x sin y 3x dx dx dy x , encontrar dx 3
- 8. Dada la ecuación x cos y 2).- De la ecuación nueva dy dy cos y x sin y dx dx dy despejamos , dx 2 dy 3x cos y dx 1 x sin y 3x 2 y dy x , encontrar dx 3
- 9. Se deriva una función Lo que se obtiene es otra función, la función derivada La función derivada puede ser evaluada en cualquier punto de su dominio
- 10. La derivada de una combinación lineal de funciones es la combinación lineal de las derivadas d af g dx df a dx dg dx
- 11. La derivada de un producto es el primer factor por la derivada del segundo más el segundo factor por la derivada del primero d fg dx dg f dx df g dx
- 12. d x sin x dx d 2 x xe dx d dx x ln x d dx x sin x sin x x cos x sin x dx dx 2 d x x e dx dx 2 x e dx x 2e x 2 xe x d d x x ln x ln x dx dx 1 x xe x x 2 1 ln x 2 x 1 1 1 ln x 2 x
- 14. d f dx g d sin x dx x df g dx dg f dx g2 d sin x d x sin x x dx dx x2 x cos x sin x x2 cos x x sin x x2
- 15. d f g dx ó f g df dg dg dx x f g g x
- 16. d dx x2 d sin x 2 dx d exp dx 1 1 d 2 x 2 2 x 3 x 2 dx 3x 2 cos x x 2 exp d 2 x dx 3x 2 2 x cos x 2 d x x dx 1 exp x 2 x 1 2x 3 2 x 2 3x 2
- 17. Dado que la derivada de una función es a su vez una función, entonces podemos derivarla nuevamente. Esto da origen a las "derivadas de orden superior". D f x df x dx D d2 f x 3 dx D d3 f x ... 3 dx D dn f x n dx
- 18. x5 : f x d x5 dx d 2 x5 5x4 d 5x4 dx 2 d 3 x5 dx d 2 5x4 dx3 d 4 x5 dx 2 d 3 5x4 4 dx d 5 x5 5 dx d 6 x5 dx ..... 6 3 dx d 4 5x4 4 dx d 5 5x4 dx 5 20 x3 d 20 x 3 dx d 2 20 x 3 2 dx d 3 20 x 3 3 dx d 4 20 x 3 dx 4 60 x 2 d 60 x 2 dx d 2 60 x 2 120 x 2 dx d 3 60 x 2 dx 3 todas las derivadas que siguen son cero d 120 x dx d 2 120 x dx 2 120 d 120 dx 0
- 19. f x sin x 0 : sin x 1: cos x 2 : sin x 3 : cos x 4 : sin x 5 : cos x 6 : sin x 7 : cos x 8 : sin x
- 20. f x sin x 0 : sin x 1: cos x 2 : sin x 3 : cos x 4 : sin x 5 : cos x 6 : sin x 7 : cos x 8 : sin x f x sin x Para n dn sin x n dx 0,1, 2,... n 2 1 sin x 1 n 1 2 n par cos x n impar
- 21. exp x : R R n d x e n dx e x para todo n entero con n 0