Edo 3 ejemplos steven
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1) El documento presenta tres ejemplos de resolución de ecuaciones diferenciales. 2) En el primer ejemplo se resuelve la ecuación diferencial 3' xyyx mediante una sustitución que permite separar variables. 3) Los ejemplos dos y tres también involucran sustituciones que permiten separar variables y así resolver las ecuaciones diferenciales.
Edo 3 ejemplos steven
- 1. Ejemplo 1: Resolver la siguiente ecuación diferencial 3 ' xyyx Esta ecuación puede escribirse como 21 ' xy x y con 0x Realizamos la sustitución vuy . de donde '..'' vuvuy y reemplazando en la ecuación diferencial dada tenemos: 22 ' 1 '. 1 '.'. xvuvu x uxvu x vuvu Hallamos una función u tal que 0 1 ' u x u . Esta es una ecuación diferencial a variables separables, resolviéndola obtenemos R CxCu , , como interesa una función u elegimos C = 1, entonces xu , con esta función hallamos v de manera que 2 ' xvx , se trata también de una ecuación diferencial a variables separables, cuya solución general es Cxv 2 2 1 con RC . Luego la solución general de la ecuación diferencial dada es xCxyCxxvuy 32 2 1 2 1 .. con RC . Ejemplo 2: Resolver la ecuación diferencial yx yx y 22 ' . x y g x y x y y x y y x y yx y yx x y yx yx y 1 '''' 2222 lo que demuestra que la ecuación diferencial dada es homogénea. Efectuamos la sustitución x y z entonces zxy . , de donde '' zxzy , reempazando obtenemos la ecuación diferencial z zxz z zxz 1 ' 1 ' : ecuación a variables separables. Resolvemos esta ecuación CxlnzCxlnz x dx dzz x dx dzz z zx 22 2 11 ' , de donde la solución general de la ecuación diferencial dada es Cxlnxy 2 .
- 2. Ejemplo 3: Resolver la siguiente ecuación diferencial 0')1(2 2 yxyx xyxPyxyxP y 2),(,2),( xyxQxyxQ x 2),(,1),( 2 de donde xy QP , además la funciones P y Q tienen derivadas parciales continuas en 2 R entonces por teorema anterior la ecuación dada es exacta en 2 RD y por definición existe una función ),( yxf diferenciable tal que yxyxf x 2),( y 1),( 2 xyxfy Veamos ahora como hallar la función f, para ello partimos de )(),(2),(2),( 2 yCyxyxfxdyxyxfyxyxf x al integrar con respecto a x, la y se mantiene constante, por lo que la constante de integración se puede considerar como una función de y. KyyCdyyCyCxyCxyxf y )()(1)('1)('),( 22 tomando K = 0 pues interesa una función f , obtenemos yyxyxf 2 ),( Luego la solución general está definida implícitamente por la ecuación x 2 y y = C