Reduccion de orden

[ECUACIONES DIFERENCIALES] Unidad 1
Ecuaciones Diferenciales Página 1
Reducción de Orden
Uno de los hechos matemáticos mas interesantes al estudiar
ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden es que podemos
formar una segunda solución, 2y , de la ecuación homogénea:
2 1 0( ) '' ( ) ' ( ) 0a x y a x y a x   (1.1)
En un intervalo I siempre que se conozca una solución 1y no trivial en
I. El concepto básico en la explicación que sigue es que la ecuación
diferencial anterior, se puede reducir a una ecuación diferencial lineal
de primer orden mediante una sustitución en la que interviene 1y . Una
segunda solución 2y de (1.1) aparece entonces, después de resolver
esta ecuación diferencial de primer orden.
Método de Solución
Suponga que 1y representa una solución no trivial de la ecuación (1.1)
y que 1y esta definida en un intervalo I, se trata de encontrar una
segunda solución 2y tal que 1y y 2y sea un conjunto linealmente
independiente en I. La función ( )u x se puede determinar sustituyendo
     2 1y x u x y x en la ecuación diferencial dada. A este método se le
llama reducción de orden porque solo hay que resolver una ecuación
diferencial lineal de primer orden para determinar u .
Por lo tanto un método alternativo para encontrar una segunda
solución sería:
   
 
( )
2 1 2
1
p x dx
e
y x y x dx
y x

  (1.2)
Ejercicios
La función 1( )y x indica que es una solución de la ecuación homogénea
asociada. Aplique el método de reducción de orden para determinar

una segunda solución  2y x , de la ecuación homogénea y una
solución particular de la ecuación no homogénea dada.
Ejercicio 1
2
1'' 4 2; x
y y y e
  
Solución
Consideramos '' 4 0y y  y proseguimos
Si 2
1( ) ( ) ( ) x
y u x y x u x e
  , según la regla del producto
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2
' ( )( 2)( ) ( ) '( ) ' 2 ( ) '( )
'' 4 ( ) 2 '( ) 2 '( ) ''( )
'' 4 ( ) 4 '( ) ''( )
x x x x
x x x x
x x x
y u x e e u x y e u x e u x
y e u x e u x e u x e u x
y e u x e u x e u x
   
   
  
      
    
  
Por lo tanto sustituimos '' yy y en la ecuación diferencial y tenemos lo
siguiente:
2
4 x
e u 2 2 2
4 ' '' 4x x x
e u e u ue  
  
 2 2 2
0
'' 4 ' 2 '' 4 ' 0x x x
u e e u e u u  
 
    
Puesto que 2
0x
e
 para que esta ultima ecuación se requiere que
'' 4 ' 0u u  al efectuar la sustitución 'w u esta ecuación lineal de
primer orden en w . Usamos el factor integrante 4x
e
y así podemos
escribir
4 4
0 0x xd d
e w e w dx dx
dx dx
 
         
Por lo tanto tenemos
4 4
4
1 2
' '
1
4
x x
x
u ce u dx ce dx
u c e c
   
 
 

Por consiguiente tenemos:
2 4 2
1 2
2 2
1 2
1
( )
4
1
4
x x x
x x
y u x e y c e c e
y c e c e
 

 
     
 
Si suponemos que 2 0C  y 1 4C  , obtenemos la segunda solución que
buscamos la cual es la siguiente:
2
2
x
y e
Ahora encontramos una solución particular de la ecuación homogénea
dada.
Nuestra ecuación diferencial es la siguiente:
'' 4 2y y  , del lado derecho tenemos una constante, por lo tanto la
solución particular que propondremos será la siguiente:
' 0
'' 0
p
p
p
y A
y
y
 


Por lo tanto sustituyendo la segunda derivada de nuestra solución
particular y la solución particular propuesta en la ecuación diferencial
no homogénea tenemos:
1
0 4 2
2
A A    
Entonces nuestra solución general formada por la solución
complementaria y particular sería la siguiente:
2 2
1 2
1 1
4 2
x x
c py y y y c e c e
     

Ejercicio 2
 2
11 '' 2 ' 0; 0x y xy y   
Solución
Partimos de la forma estándar de la ecuación y tenemos lo siguiente:
 
 
 
2
2
2
1
1 '' 2 ' 0
1
2
'' ' 0
1
x y xy
x
x
y y
x
     
 

Sustituyendo los valores de 1y y ( )p x , tenemos:
 
 
2
2
( )
2 1 2
1
2
221
1
2 2
2
2
2
1
1
1 2
2
2 1
ln ln 1 ln
2 1
p x dx
x
dx xx dx
x
e
y y dx
y
u x
e
y dx y e dx du
du xdx dx
x
x du du
u x
u x u x
y e



  


 
   
   
    

        



 
 
2
1
ln
1
2 2
1
x
dx
dx y
x
  
 
Resolviendo la integral por fracciones parciales tenemos:
   
 
2 2
1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
1
A B
dx
x x x x
A x B x A Ax B Bx
x A B A B
  
   
          
   

Por lo tanto tenemos un sistema de ecuaciones que es el siguiente:

0 1 1
,
1 2 2
A B
A B
A B
  
   
  
Además nuestras integrales dados los valores de A y B se denotan
como se muestra a continuación:
   
1 1 1 1
ln 1 ln 1
2 1 2 1 2 2
1 1
ln
2 1
dx dx
x x
x x
x
x
      
 



 
La solución general esta definida por 1 1 2 2 1
1 1
ln
2 1
x
y c y c y y c
x

    

,
hacemos 1 20 y 2C C  y tenemos lo siguiente:
2
1
ln
1
x
y
x




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