V3.n1.claiman
- 1. i i “claiman” — 2005/11/2 — 11:14 — page 105 — #1 i i i i i i Teor´ıa general para flexi´on y corte (r´egimen el´astico) H´ector Claiman, Cristian Reppeto (Simplificaci´on del m´etodo propuesto por Gere-Timoshenko) En los cap´ıtulos 9.4 y 9.8 del libro Mec´anica de los Materiales de los autores (ver ap´endice en jpg) citados se aborda el problema general de la flexi´on y corte para el caso en que los ejes y y z no sean Principales de Inercia y por razones pr´acticas no se desea determinar los mismos y descomponer la flexi´on oblicua en dos flexiones normales como es habitual. Este es el caso para secciones abiertas (simples o compuestas) formadas, por ejem- plo, por perfiles donde no se disponen de los momentos de inercia principales y s´ı se cuenta (o es m´as f´acil calcularlos) con momentos de inercia respecto a ejes ortogonales no principales. Un ejemplo de ello son las secciones que se muestran en las figuras 9.13 y 9.15 del libro de Timoshenko. C z y 2 1 b h/2 t G z y C 1 y 2 z G z y Acta Nova; Vol. 3, N◦1, junio 2005 · 105
- 2. i i “claiman” — 2005/11/2 — 11:14 — page 106 — #2 i i i i i i 106 · H´ector Claiman, et al.: Teor´ıa general para flexi´on y corte (r´egimen el´astico) Siguiendo a Timoshenko y respetando la convenci´on por ´el adoptada, para una secci´on cualquiera sometida a flexi´on: My y ng ng Lf Lf z = zp b M v f Mz A y = yp z Resulta seg´un Timoshenko: x = (Mz · Jz +Mz · Jzy)z + (Mz · Jy +My · Jzy)y Jy · Jz − Jzy2 (1) F´ormula de dif´ıcil memorizaci´on, donde el eje neutro tiene por ecuaci´on: tg() = (My · Jz +Mz · Jzy) Mz · Jy +My · Jyz (2) m´as f´acil en cambio es de recordar la expresi´on general (Fliess-11.153) x = ± M Jg sin
- 3. · r (
- 4. menor ´angulo entre Lf y ng-ng) y aprovechar esta expresi´on que formalmente es id´entica a la ecuaci´on 2 para determinar en forma pr´actica las tensiones y para los casos planteados donde la misma sea de mayor utilidad. En efecto, para un par de ejes conjugados n y v cualesquiera siempre es posible de- terminar matem´aticamente el ´angulo que forman entre ellos (Lf y ng-ng son conjugados de inercia en el baricentro y para la figura dada): ng ng Lf Lf y = yp z = zp My Mz f = g g a b M
- 5. i i “claiman” — 2005/11/2 — 11:14 — page 107 — #3 i i i i i i Acta Nova; Vol. 3, N◦1, junio 2005 Apuntes · 107 En Fliess, 2do curso, figura 11.22. Los ejes z e y no son ejes principales. Donde b Lf’ tg() = z = n’ n’ Jz−tg()·Jzy y A’ M’ Jyz+tg()·Jy (Dato del problema) tg = Mz My b y = n’’ n’’ M’ Lf’’ z A’’ tg(
- 6. ) = tg( + ) = tg()+tg() 1−tg()·tg() sin
- 7. = tg
- 8. p1+tg2
- 9. Desarrollando se puede llegar a demostrar la igualdad de las expresiones 1 y 11.153. A nosotros nos interesa M no seg´un z e y sino asumir que z es un eje neutro n-n e y es eje neutro z-z en cuyo caso existen dos l´ıneas de fuerzas, conjugadas respectivamente de ellas: Lf’ z = n’ n’ y b A’ M’ x = ±M′ Jz sin
- 10. ′y = ±M′′ Jy sin
- 11. ′′z Resulta un c´alculo inmediato: b y = n’’ n’’ M’ Lf’’ z A’’ Jzy y tg
- 12. ′′ = Jy Jyz tg
- 13. ′ = Jz Donde Jy, Jz y Jzy son conocidos.
- 14. i i “claiman” — 2005/11/2 — 11:14 — page 108 — #4 i i i i i i 108 · H´ector Claiman, et al.: Teor´ıa general para flexi´on y corte (r´egimen el´astico) En efecto, lo ´unico que hemos hecho es aplicar la f´ormula de la flexi´on oblicua descomponiendo la flexi´on tambi´en en coordenadas oblicuas para aprovechar el conoci- miento de Jy, Jz y Jzy de c´alculo r´apido en los casos que nos interesa. b b y = yp z = zp M’’ M’ M=M’+M’’ z Lf’’ Lf’ A’ M cos = M′ cos
- 15. ′ +M′′ sin
- 16. ′′ M sin = M′ sin
- 17. ′ +M′′ cos
- 18. ′′ De donde se pueden encontrar M’ y M” ya que todos los datos son conocidos. Las direc- ciones de M’ y M” o de sus respectivas l´ıneas de fuerzas son tambi´en las coordenadas obli- cuas del problema. Esto resulta de utilidad no tanto en fle- xi´on sino cuando quiere determinarse tensio- nes de corte en perfiles donde se conoce por la propiedad de los mismos (espesor delgado y distribuci´on constante en el ancho) que la xresultante resulta tangente a la l´ınea media del perfil, no conoci´endose su valor, pero conoci´endose Jy, Jz y Jzy siendo z e y no principales. t s t Resultantes Plano de Fuerzas de Q G c Qz 1(p) Qy z = zp Q y = yp El plano de corte puede no coincidir con la l´ınea de fuerza (intersecci´on del plano de momentos con la secci´on). En lugar de descomponer seg´un 1 y 2 (zp e yp) se puede en forma general (Timoshenko, 9.8): x(Qy) = Qy t(JyJz − Jzy2) Jzy Z s 0 z da − Jy Z s 0 y da (3) x(Qz) = Qz t(JyJz − Jzy2) Jzy Z s 0 y da − Jz Z s 0 z da (4) xResultantes = x(Qy) + x(Qy) (Suma algebraica porque se conocen las direcciones y todas son coincidentes).
- 19. i i “claiman” — 2005/11/2 — 11:14 — page 109 — #5 i i i i i i Acta Nova; Vol. 3, N◦1, junio 2005 Apuntes · 109 Este procedimiento permite tambi´en, conocida la ley de distribuci´on de las xresultante determinar la posici´on del centro de corte, C, planteando la equivalencia de los momen- tos de las fuerzas Qy y Qz, respectivamente en los momentos seg´un x de las fuerzas interiores de Corte que nos dan la abcisa y la ordenada de C. Sin embargo, son de dif´ıcil memorizaci´on y se debe ser cuidadoso con los signos, por lo que tambi´en es ´util el procedimiento anterior para determinar la posici´on del centro de corte y las tensiones r resultantes, plantearnos para Qy solamente: (para Qz similarmente). t·Jz + Qy′′·Sy·sin(
- 20. ′′) xR(Qy) = Qy′·Sz·sin(
- 21. ′) t·Jy Qy = Qy′ cos
- 22. ′ + Qy′′ sin
- 23. ′′ 0 = Qy′ sin
- 24. ′ + Qy′′ cos
- 25. ′′ Jzy y tg
- 26. ′′ = Jy Jzy tg
- 27. ′ = Jz Se debe tener presente siempre, y para cualquiera de los procedimientos a utilizar, que las f´ormulas nacen de suponer dM/dx = Q, s´olo participan entonces aquellos M variables con x. Las fuerzas de resbalamiento son las originadas por ellos. Por ejemplo, si existieran pares constantes en una direcci´on y flexi´on variable en otra, la l´ınea de fuerza (que resulta de componer todos los momentos) no coincide con la traza del plano de corte que es la que se utiliza). G Msen LC(*) Q(*) (b) g−g b M(*) Figura 1: (*)LC debe ser producida por flexi´on y corte (flexi´on variable). No adicionar si hay casos de flexi´on sin corte (flexi´on constante).
- 28. i i “claiman” — 2005/11/2 — 11:14 — page 110 — #6 i i i i i i 110 · H´ector Claiman, et al.: Teor´ıa general para flexi´on y corte (r´egimen el´astico) Ejemplo: En forma gen´erica 2 G b t 1 Q y Y t a Z b Jz = Jy Jzy 0 J1 J2 J1 + J2 = Jz + Jy J1 = Jz cos2 + Jy sin2 − Jzy sin(2) 2 Como = 45o J1 = 1 2 (Jz + Jy − Jzy) J1 = 1 2 (J1 + J2 − Jzy) ) −1 2 Jzy = 1 2 (J1 − J2) −Jzy = J1 − J2 (En este caso particular) Si se da Q=Qy, Jy, Jz y Jzy, Calcular txy* txy(max) txy(max) h2 h2 G Q y Y Z y1 h1 xy(Qy)eny1 xy = Qy t(JyJz − Jzy2) Jzy t y1 h2 − t 2 − Jy t y1 h1 − y 2 f´ormula general (muy engorrosa) Otra forma: Cl´asica Qy = Q1 + Q2 2 Q1 = Qy.cos(45) = Q2 G 1 Q y Q2 xy(Q1) = Q1SF∗ 2 J2t ) Q′v = R xy(Q1)dF xy(Q2) = Q2SF∗ 1 J1t ) Q′′v = R xy(Q2)dF Q′v = Q1 √2 2 = Qy 2 Q′′h = Q1 √2 2 = Qy 2
- 29. i i “claiman” — 2005/11/2 — 11:14 — page 111 — #7 i i i i i i Acta Nova; Vol. 3, N◦1, junio 2005 Apuntes · 111 Los Qh se anulan (Q′h + Q′′h ), los Qv se suman) Qy = Q′v + Q′v′ 2 Z G Q1 Q’ h Y Q’ v Q1 1 G Y Z Q ’’ h Q2 Q2 Q’’ v Otra forma: Propuesta del Ing. H´ector Claiman, para este ejemplo simple conviene el m´etodo cl´asico txy(max) Z Y Q’’ Q’ c p y1 G b b Jz = Jy Jzy 0 tg
- 30. ′ = Jz Jzy tg
- 31. ′′ Jy Jzy
- 32. ′ =
- 33. ′′ en este caso Jz = Jy S´olo para xy por sencillez, pero v´alido para cual- quier . Q’ QY Q’’ xy = Q′y sin
- 34. ′ t Jz Sz + Q′′y sin
- 35. ′′ t Jy Sy Q′y = Q′ Q′′y = Q′′
- 36. i i “claiman” — 2005/11/2 — 11:14 — page 112 — #8 i i i i i i 112 · H´ector Claiman, et al.: Teor´ıa general para flexi´on y corte (r´egimen el´astico) 1) Qy = Q′ sin
- 37. ′ + Q′′ cos
- 38. ′′ = Q′ sin
- 39. ′ + Q′′ cos
- 40. ′ 2) 0 = Q′ cos
- 41. ′ + Q′′ sin
- 42. ′′ = Q′ cos
- 43. ′ + Q′′ sin
- 44. ′ Q′ = −Q′′ sin
- 45. ′ cos
- 46. ′ cos
- 47. ′ + Q′′ cos
- 48. ′ = Q′′(cos
- 49. ′ − sin2
- 50. ′ Q = −Q′′ sin
- 51. ′ cos
- 52. ′ ) Q′′ = Qy cos
- 53. ′− sin2
- 54. ′ cos
- 55. ′ Q′ = −Qy sin
- 56. ′ cos
- 57. cos
- 58. ′− sin2
- 59. ′ cos
- 60. ′ xy = Qy Jz·t · −sin(
- 61. ′)2 cos(
- 62. ′)· cos(
- 63. ′)− sin(
- 64. ′)2 cos() · Sz + Qy Jy·t · sin(
- 65. ′) cos(
- 66. ′)− sin(
- 67. ′)2 cos(
- 68. ′) · Sy El mismo ejemplo: En forma num´erica. Determinaci´on de xy−max para el perfil de la figura, Angulo 100- 100-10 F = 19.2 cm3 Jy=Jz = 177 cm4 Jy+Jz= 354 cm4 J1 = 280 cm4 J2 = 73.3 cm4 J1 + J2= 353.3 cm4 -Jyz = (J1 − J2)/2 = 103.35 cm4 F´ormula General, xy−m´ax: xy = Qy 1·(1,772−103,352) · 103,35 · 1 · 7,18 · 2,82 − 1 2 − 177 · 1 · 7,18 · 7,18 − 7,18 2 xy = 0,13758 · Qy Por descomposici´on de Qy en Q1 y Q2, xym´ax: txy*txy(max) txy(max) 1 2 2.28 Qy 2.32 Q1 2.82 G Q2 7.18 Q1 = Qy · √2 2 Q2 = Qy · √2 2 xymax = Q1·SF F 2 + Q2·S1 J2·t J1·t S2max = 1 · 7,18 · (3,59 − 2,32) · p2 2 = 9,1186 · p2 2 · cm3 (5) S1max = 1 · 7,18 · (3,59 + 2,32) · p2 2 = 42,4338 · p2 2 · cm3 (6)
- 69. i i “claiman” — 2005/11/2 — 11:14 — page 113 — #9 i i i i i i Acta Nova; Vol. 3, N◦1, junio 2005 Apuntes · 113 xy(Q1) = Qy √2 2 ∗9,1186 1∗73,3 + √2 2 ∗ √2 2 ∗ √2 2 ∗42,4338 1∗280 ! xy(Q1) = 0,13797 Qy (Por descomposici´on) Por el m´etodo simplificado de suponer que trabaja el alma solamente,xymedia: xymax = Qy Fo = Qy 1·9 = 0,1111 · Qy xymax = 0,1111 · Qy Vemos que la aproximaci´on da un error 20% con xy en defecto. Por descomposici´on seg´un Q’ y Q” (Respectivos conjugados de z e y), xym´ax: b’’ b’ txy G 2.82 Z 1 Qy Y Q’ (conj. de z) 7.18 Q’’ (conj. de y)
- 70. i i “claiman” — 2005/11/2 — 11:14 — page 114 — #10 i i i i i i 114 · H´ector Claiman, et al.: Teor´ıa general para flexi´on y corte (r´egimen el´astico) Jzy = 177 tg(
- 71. ′′) = tg(
- 72. ′) = Jz −103,35 = −1,712626
- 73. ′′ =
- 74. ′ = 59,7194167 grados sin(
- 75. ′) = 0,863566478 cos(
- 76. ′) = 0,504235002 sin(
- 77. ′)2 cos(
- 78. ′) = 1,478967265 Q′′ = Qy cos(
- 79. ′)− sin(
- 80. ′)2 cos(
- 81. ′) = −1,025922748 · Qy Q′ = −Qy·sin(
- 82. ′) cos(
- 83. ′)· cos(
- 84. ′)− sin(
- 85. ′)2 cos(
- 86. ′) = 1,757022973 · Qy Q = Q′ + Q′′ Sz = 1·7·182 2 = 25,7762 · cm3 Sy = 1 · 7 · 18 · (2,82 − 0,5) = 16,6576 · cm3 xy = 25,7762·1,757021973 1·177 − [16,6576·(−1,025922748)] 1·177 · 0,863566478 xy = 0,13758487 · Qy Resumen (la unidad de = [Q]/cm2) Exacta ! xy m´a x Observaciones 0.1376 Qy F´ormula General de la Flexi´on y Corte oblicuo (Timoshenko) 0.1380 Qy Descomposici´on de la oblicuidad seg´un dos direcciones prncipales 0.1111 Qy Aproximaci´on seg´un las reglas de la pr´actica m´as general 0.1376 Qy Seg´un m´etodo de descomponer en dos direcciones, respectivamente conjugadas, de los ejes ortogonales sencillos no principales. Cuadro 1: Propuesta del Ing. H´ector Claiman: ´util para figuras complejas de peque˜no espesor con ejes ortogonales sencillos, para determinar tensiones tangenciales y centros de corte.
- 87. i i “claiman” — 2005/11/2 — 11:14 — page 115 — #11 i i i i i i Acta Nova; Vol. 3, N◦1, junio 2005 Apuntes · 115 Ejemplo: Con el m´etodo propuesto para perfiles compuestos. (Gen´erico). G1 . .c2 G.2 .c1 b’’ b’ Qy Q’’ Q’ Q’ G Z Y Q’’ Qy P a Coordenadas Oblicuas. Q” direcci´on conjugada de y Q’ direcci´on conjugada de z tg
- 88. ′ = Jz Jzy tg
- 89. ′′ = Jy Jzy Q · sin() = Q′ · sin(
- 90. ′) + Q′′ · cos(
- 91. ′′) Q · cos() = Q′ · cos(
- 92. ′) + Q′′ · sin(
- 93. ′′) xy(Q′) = Q′·sin(
- 94. ′)·Sz t·Jz Para la misma secci´on. (Los signos seg´un el flujo.) xy(Q′′) = Q′′ sin(
- 95. ′′)·Sy t·Jy xy(Q) = xy(Q′) + xy(Q′′)
- 96. i i “claiman” — 2005/11/2 — 11:14 — page 116 — #12 i i i i i i 116 · H´ector Claiman, et al.: Teor´ıa general para flexi´on y corte (r´egimen el´astico) Caso Particular: Q = Qy se resuelve (similar). G.2 b ’ .G1 Y Z Q = Qy Q2 G c2 . c1 Q1 g−g g−g txy(Qy) = txy(Q2) g-g conjugada de “y”
- 97. ´angulo entre g-g e “y” c1 y c2 centro de corte de los perfiles simples (son dato o se calculan previamente) Comentario: Existe otra f´ormula general m´as complicada xy(Qy) = Qy · sin(
- 98. ) · Sgg Jgg · t o bi´en xy(Qy) = txy(Q2) simplificando ya que se conoce Q2 en C2. Ejemplo Gen´erico: Determinar la posici´on del centro de corte seg´un z (de la misma forma que seg´un y). Ver la sencillez del m´etodo. Mediante la descomposici´on de Qtotal en Qparciales para cada perfil proporcional a sus rigideces flexionales respecto del eje z(eje de referencia respecto del que se calcula la coordenada del centro de corte total, ver p´ag 10).
- 99. i i “claiman” — 2005/11/2 — 11:14 — page 117 — #13 i i i i i i Acta Nova; Vol. 3, N◦1, junio 2005 Apuntes · 117 Q′ sin
- 100. ′ = Q′1 sin
- 101. ′ + Q′2 sin
- 102. ′ Q′ = Q′1 + Q′2 Q′1v = Q′1 = Q′1 sin
- 103. ′ Q′2v = Q′2 = Q′2 sin
- 104. ′ Q′1 = Q′ J1z Jzt Q′2 = Q′ J2z Jzt Q1 = QJ1z Jzt = Q′1v Q2 = QJ1z Jzt = Q′2v Q = Qy = Q1 + Q2 (para el ejemplo) No interesa la direcci´on ni el valor de Q para el centro de corte, si, como se reparte entre perfiles, es un concepto geom´etrico independiente de las solicitaciones. Depende de la distribuci´on interna, relaci´on entre las partes, de las tensiones tangenciales. Ejemplo: Determinar la posici´on de Qy (la abcisa seg´un Z solamente) para que no haya torsiones en la secci´on compuesta. Suponemos 2 UPN 200. Aqu´ı es muy f´acil el c´alculo de los momentos de inercia respecto de z e y. F1 = F2 = 32,2cm4 JzG2 = JyG1 = 1910.cm4 JzG1 = JyG2 = 148.cm4 Posici´on de G: u = 32,2·2,01+32,2·10,85 64,4 = 6,43 · cm v = 32,3·10,0+32,2·(2,01+1,15) 64,4 = 6,58 · cm Jz1 = 148 + 32,2 · (6,43 − 2,01)2 = 777,07208 · cm4 Jz2 = 1910 + 32,2 · (10,85 − 6,43)2 = 2539,07208 · cm4 JzT = Jz1 + Jz2 = 2359,14416 · cm4
- 105. i i “claiman” — 2005/11/2 — 11:14 — page 118 — #14 i i i i i i 118 · H´ector Claiman, et al.: Teor´ıa general para flexi´on y corte (r´egimen el´astico) Posici´on de e2: tf = 1,15cm tw = 0,85cm b = 7,5 − 0,5 085 = 7,075cm h = 20 − 1,15 = 18,85cm xmax = Q1·(7,5−0,5·0,85)·1,15 2·Jz2·1,15 e2 = 3·b2 ·tf h·tw+6·b·tf = 2,66 · cm Otra forma(Timoshenko) e2 = b2 ·h2 ·tf 4·Jzg2 = 7,0752 ·18,852 ·1,15 4,1910 = 2,68 · cm ftotal = 1 = 2 = cte (Bernoulli - Navier) 1ftotal = M·sin(
- 106. ) Jgg·E (Flexi´on y Corte Oblicua) Jgg = Jgg1 + Jgg2 1 = M1·sin(
- 107. ) = 2 = M2·sin(
- 108. ) Jgg1·E Jgg2·E Jgg: Momento de inercia respecto de g1 − g1 (conjugados de LC1) de la secci´on 1. Luego como M = M1 + M2, M1 = (Jgg1/JggT ) M y M2 = (Jgg2/JggT ) M, distribuci´on de M seg´un rigideces a flexi´on de los perfiles. Posici´on de s: (por donde debe pasar Qy respecto de G). Ver Timoshenko 9.5 - p´ag 521. Como Q = dM dx surge: Q1 = Jz1 JzT · Q = 0,2343 · Q Q2 = Jz2 JzT · Q = 0,7657 · Q Q = Q1 + Q2 Q · s′ = Q1 · (10 − 1,15 + 2,255)
- 109. i i “claiman” — 2005/11/2 — 11:14 — page 119 — #15 i i i i i i Acta Nova; Vol. 3, N◦1, junio 2005 Apuntes · 119 b Yg2 tw h tf Zg2 e2 G2 c2. 2.01 Zg2 G2 1.15 Zg1 C 2.01 Zg Yg QY: Posicion hallada s=5.96cm 3.42 2.68 Q1 2.01 0.62 Q2 2.68 Yg1 s ’ c1 G G1 u c2 v . Yg2 s′ = 9,378cm, desde G1, o sea, s = 5,96cm desde G. Similarmente respecto de “y” nos dar´ıa la otra coordenada del centro de corte del perfil compuesto.