Factorizacion

¿Por qué necesitamos saber factorizar?

¿Cuáles de los siguientes polinomios están factorizados? (x 2 -1)(x+2) (x-2)(2x+3) + 1 3x+5 12(x 2 +9)(x-4) (x 3 -5)

Polinomio primo o irreductible Es el que no se puede escribir como producto de dos o más polinomios de grado mayor o igual a uno. De primer grado: 2x+3 ; x-2 ; 3x+8 ; 4x+12 De segundo grado: x 2 +1 ; x 2 +x+1 ; x 2 -2x+5

Conclusión En general, son polinomios primos: Cualquier polinomio de primer grado, es decir de la forma ax + b . Cualquier polinomio de segundo grado, de la forma ax 2 + bx + c , de discriminante (  = b 2 – 4ac) negativo . Es decir, si ax 2 + bx + c = 0 no tiene solución real.

Factorización de polinomios Factorizar un polinomio es el proceso mediante el cual el polinomio se transforma en un producto de polinomios primos, ( factores primos ) . x 2 + x - 6 = (x + 3) (x - 2) FACTORIZACIÓN MULTIPLICACIÓN

Factor común 3a 2 b 2 – 6a 2 b = 3a 2 b (b – 2) (3x-y)(x–y-1)+(x+y)(x–y-1)–(2z-3y)(x–y-1) = (3x-y) (x–y-1) +(x+y) (x–y-1) –(2z-3y) (x–y-1) = (x–y-1) (4x+3y-2z) 1. 2.

Factor común polinomio 2x (x – 1) + y (1 - x) + 2 (x - 1) = 2x (x – 1) + y (1 - x) + 2 (x - 1) = 2x (x – 1) - y (x - 1) + 2 (x - 1) = (x – 1) (2x - y + 2) 1.

Factor común por agrupación de términos x 3 + x 2 + x + 1 = x 3 + x 2 + x + 1 = x 3 + x 2 + x + 1 = x 3 + x 2 + x + 1 = Forma 3 Forma 2 Forma 1

Aspa simple: P(x) = ax 2m +bx m y n +cy 2n 2x 2 + 13xy – 15y 2 2x x +15y -1y = ( 2x + 15y )( x - y ) -2xy 15xy

Reconstruir el proceso: (x 2 – 1)(x+2) (x 2 – 1)(x+2) (x – 1)(x+1)(x+2) (x – 1)(x+1)(x+2) x(x 2 – 1) + 2(x 2 -1) x(x 2 – 1) + 2(x 2 -1) x 3 – x +2x 2 - 2 x 3 – x +2x 2 - 2 1 2 4 3 4 3 2 1

Forma Factorización Productos notables x 2 - y 2 = x 2 + 2xy + y 2 = x 3 + y 3 = x 3 – y 3 = x 3 + 3x 2 y+3xy 2 + y 3 = (x + y)(x - y) (x + y) 2 (x + y)(x 2 - xy+y 2 ) (x - y)(x 2 + xy + y 2 ) (x + y) 3

Completando cuadrados Recordemos el desarrollo del producto notable se denomina trinomio cuadrado perfecto: Cualquier trinomio de la forma Se puede escribir como un trinomio cuadrado perfecto, sumanando y restando un mismo número Remplazando el trinomio por el binomio al cuadrado, queda: Finalmente se factoriza como una diferencia de cuadrados Ejemplo 1:

Ejemplo 2. P(x) = x 2 + 5x + 1 Este coeficiente se descompone en el doble producto de x por 5/2 Se sume y se reste el cuadrado de este número Factorice el trinomio cuadrado perfecto Factorice esta diferencia de cuadrados

Ejemplo 3 P(x) = 2x 2 - 43x + 221 = (x – 13)(2x -17) Primero factorice 2 y luego dentro de los paréntesis, siga como en los casos anteriores. Sume y reste el cuadrado de (43/4), factorice el trinomio cuadrado perfecto, simplifique y factorice una diferencia de cuadrados si es posible. Nota: Si despues de factorizar el trinomio cuadrado perfecto y simplificar no qued una diferencia sono una suma, esto quiere decir que no es posible factorizar el trinomio.

Aplicaciones de factorización de polinomios : Resolución de ecuaciones polinómicas x 3 + 2x 2 – x – 2 = 0 (x–1)(x+1)(x+2)=0 x–1=0 ó x+1=0 ó x+2=0 x = 1 ó x = -1 ó x = -2 C.S. =  1; -1; -2  Determinar los valores de x y escribir el conjunto solución. Igualar cada uno de los factores a cero Factorizar el polinomio Ecuación Ejemplo Procedimiento

Reconstruir el proceso: 6 1 7 2 5 3 4 Se muestran siete pasos en un proceso para factorizar una expresión. Identifique el orden secuencial del proceso de factorización Haciendo a = 5x + 4y 7 (5x+4y) 3 + (10x +8y) 2 + 15x + 12y 6 a (a 2 +4a +3) 5 (5x+4y).(5x+4y+3).(5x+4y+1) 4 a (a+3) (a+1) 3 a 3 + 4a 2 + 3a 2 (5x+4y) 3 + [ 2(5x+4y)] 2 + 3(5x+4y) 1

Métodos de factorización Factor común (por agrupación de términos) Factorizar trinomios : Aspa simple. PN: (x+y) 2 ; (x-y) 2 Completando cuadrados Factorizar binomios : PN: x 2 - y 2 ; x 3 – y 3 ; x 3 + y 3

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