Asintotas1
- 1. MATEMÁTICAS 1º BACHILLERATO SOCIALES EJERCICIOS ASÍNTOTAS Halla las asíntotas de las siguientes funciones y sitúa la curva respecto a ellas: 1) y = 2) y = x x+ 3 2x x2 − 1 3) y = 2 3x + 6 4) y = 2 ( x − 2) 2
- 2. MATEMÁTICAS 1º BACHILLERATO SOCIALES SOLUCIONES x 1) lim x→ = 1⇒ x+3 ∞ asíntota horizontal en y=1 , veamos ahora cómo se sitúa la curva respecto x = 1 y para valores grandes de x, p.ej. x+3 10000 x = 10000 ⇒ y = = 0'9997 vemos que la curva se acerca “por debajo de la recta y=1” 10003 de esta asíntota: lim x→ x lim =1 +∞ y para valores grandes de x, p.ej. x = − 10000 ⇒ y = x+3 vemos que la curva se acerca “por encima de la recta y=1” x→ −∞ − 10000 − 9997 = 1'0003 También tiene una asíntota vertical en x = -3 (cuando se anula el denominador) ya que: x lim x+3 x→ − 3 − 3 = ∞ pero, veamos los signos, por la izquierda y por la derecha: 0 = − 3,01 − = = + − 0,01 − A la izquierda p. Ej: x = − 3 − 0,01 = − 3,01 ⇒ A la derecha p. Ej: x = − 3 + 0,01 = − 2,99 ⇒ − 2,99 − = =− 0,01 + Por lo tanto, tenemos una A.V. de ramas divergentes. Gráficamente, tendremos por tanto, algo así 2x 2) lim x→ x2 − 1 ∞ = 0 ⇒ asíntota horizontal el eje OX, veamos el comportamiento al acercarse por ambos lados: lim x→ eje) ; lim x→ −∞ 2x 2 x −1 ⇒ +∞ 2x 2 x −1 ⇒ x = 10000 ⇒ y = x = − 10000 ⇒ y = − 20000 99999999 20000 = 0'0002 > 0 (por encima del 99999999 = − 0'0002 < 0 (por debajo del eje) Asíntota vertical cuando x 2 − 1 = 0 ⇒ x = ± 1 (tenemos, dos asíntotas verticales) lim x→ 1 2x = 2 x −1 2 1,98 + = ∞ , por la izquierda: 1 − 0,01 = 0,99 ⇒ y = = = − 0 − 0,0199 − por la derecha: 1 + 0,01 = 1,01 ⇒ y = lim x→ − 1 2x 2 x −1 = − 2,02 + = = + 0,0201 + 2 − 2,02 − = ∞ , por la izquierda: − 1 − 0,01 = − 1,01 ⇒ y = = =− 0 0,0201 +
- 3. MATEMÁTICAS 1º BACHILLERATO SOCIALES por la derecha: 1 + 0,01 = 1,01 ⇒ y = − 1,98 − 0,0199 = − − = + Luego, la gráfica será: 3) lim x→ ∞ 2 3x + 6 0 Asíntota horizontal el eje OX 2 > 0 (por encima del eje) ; 3x + 6 30006 2 2 lim ⇒ x = − 10000 ⇒ y = < 0 (por debajo del eje) x → −∞ 3x + 6 − 29994 lim x→ 2 = +∞ ⇒ x = 10000 ⇒ y = Asíntota vertical: 3x + 6 = 0 ⇒ x = − 2 lim x→ − 2 por la izquierda: − 2 − 0,01 = − 2,01 ⇒ y = por la derecha: − 2 + 0,01 = − 1,99 ⇒ y = 4) y = + + + − 2 3x + 6 = 2 =∞ 0 = − = + 2 2 Asíntota vertical en x = 2 ya que se verifica que lim = +∞ 2 x → 2 ( x − 2) 2 ( x − 2) y es siempre positivo , por estar el denominador elevado al cuadrado. (Asíntota de ramas 2 convergentes, por arriba)y además lim = 0 Asíntota horizontal el eje OX x → ∞ ( x − 2) 2 2 x→ +∞ 2 ⇒ x = 10000 ⇒ y = 2 > 0 (por encima del eje) ; ( x − 2) + 2 2 lim ⇒ x = − 10000 ⇒ y = > 0 (por encima del eje) x → −∞ 3x + 6 + lim