Representacionfunciones
- 1. Julián Moreno Mestre www.juliweb.es tlf. 629381836 Ejercicios de representación de funciones: Primer ejemplo: f ( x) = 1º) Dominio. Dom f ( x) = ℜ − { } 1 2º) Simetrías. f (− x) = 1 x −1 No es par 1 ⎧ ≠ f ( x) ⎨ − x − 1 ⎩≠ − f ( x) No es impar No hay simetría. 3º) Puntos de corte. Eje x: f ( x) = 0 ⇒ Eje y: f (0) = 1 ≠ 0 ⇒ No corta el eje x. x −1 1 = −1 ⇒ (0,−1) 0 −1 4º) Asíntotas 1 = ±∞ ⇒ x = 1 x→1 x→1 x − 1 1 Asíntota horizontal: lim f ( x) = lim =0⇒ y =0 x→ ±∞ x→±∞ x − 1 Asíntota oblicua: no tiene por tener asuntota horizontal. 5º) Crecimiento y decrecimiento. Máximos y mínimos. Calculamos e igualamos a cero su primera derivada. −1 −1 f ' ( x) = → f ' ( x) = 0 ⇒ ≠0 2 ( x − 1) ( x − 1) 2 No tiene puntos candidatos a máximos y mínimos. Hacemos un estudio de los signos de la derivada primera: x=1 -1 – – 2 + + ( x − 1) f ' ( x) – – Siempre es decreciente excepto en x = 1. 6º) Concavidad y convexidad. Puntos de inflexión. Calculamos e igualamos a cero su primera derivada. 2 2 f ' ' ( x) = → f ' ' ( x) = 0 ⇒ ≠0 ( x − 1) 3 ( x − 1) 3 No tiene puntos candidatos a puntos inflexión. Hacemos un estudio de los signos de la derivada segunda: x=1 2 + + 3 – + ( x − 1) f ' ' ( x) – + Convexa en (1, ∞) y cóncava en (−∞,1) Asíntota vertical: lim f ( x) = lim 1
- 2. Julián Moreno Mestre www.juliweb.es tlf. 629381836 7º) Representación gráfica: Segundo ejemplo: f ( x) = 1º) Dominio. Dom f ( x) = ℜ 2º) Simetrías. f (− x) = −x =− x x x2 + 1 = − f ( x) Simetría impar (− x) 2 + 1 x2 +1 Eje de simetría perpendicular a los ejes x e y. 3º) Puntos de corte. x Eje x: f ( x) = 0 ⇒ 2 = 0 ⇒ x = 0 ⇒ (0,0) x +1 0 = 0 ⇒ (0,0) Eje y: f (0) = 0 +1 4º) Asíntotas Asíntota vertical: Al ser siempre continua, carece de asuntotas verticales. x Asíntota horizontal: lim f ( x) = lim 2 =0⇒ y =0 x →∞ x→±∞ x + 1 Asíntota oblicua: no tiene por tener asuntota horizontal. 5º) Crecimiento y decrecimiento. Máximos y mínimos. Calculamos e igualamos a cero su primera derivada. ( x 2 + 1) − 2 x· x 1− x2 1− x2 f ' ( x) = = 2 → f ' ( x) = 0 ⇒ 2 = 0 → x = ±1 ( x 2 + 1) 2 ( x + 1) 2 ( x + 1) 2 x = ±1 Son puntos candidatos a máximos y a mínimos. 2
- 3. Julián Moreno Mestre www.juliweb.es tlf. 629381836 Hacemos un estudio de los signos de la derivada primera: x=–1 x=1 2 – + 1− x – + + + ( x + 1) f ' ( x) – + – Decreciente en (−∞,−1) ∪ (1, ∞) . Creciente en (−1, 1) . 1 1 ⎛ 1⎞ Máximo por tanto en x = 1 ⇒ f (1) = 2 = ⇒ ⎜1, ⎟ ⎝ 2⎠ 1 +1 2 −1 1⎞ 1 ⎛ Mínimo en x = – 1 ⇒ f (−1) = 2 = − ⇒ ⎜1, − ⎟ 2 2⎠ ⎝ 1 +1 6º) Concavidad y convexidad. Puntos de inflexión. Calculamos e igualamos a cero su primera derivada. − 2 x( x 2 + 1) 2 − 2·2 x( x 2 + 1)(1 − x 2 ) 2 x 3 − 6 x 2x3 − 6x f ' ' ( x) = = 2 → f ' ' ( x) = 0 ⇒ 2 =0 ( x 2 + 1) 4 ( x + 1) 3 ( x + 1) 3 2 2 x=0 x=± 6 Tres puntos candidatos a puntos inflexión, . Hacemos un estudio de los signos de la derivada segunda: x=0 x= x= − 6 3 – + – 2x − 6x ( x 2 + 1)3 f ' ' ( x) + + + 6 + + – + – + Cóncava en (−∞,− 6 ) ∪ (0, 6 ) y convexa en (− 6 ,0) ∪ ( 6 , ∞) Los puntos candidatos, son por tanto puntos de inflexión con coordenadas: 0 x = 0 ⇒ f (0) = 2 = 0 ⇒ (0,0) 0 +1 ⎛ 6 6⎞ ± 6 ⎟ x = ± 6 ⇒ f (± 6 ) = =± ⇒ ⎜ ± 6 ,± ⎜ 6 +1 7 7 ⎟ ⎝ ⎠ 7º) Representación gráfica: 3
- 4. Julián Moreno Mestre www.juliweb.es tlf. 629381836 Tercer ejemplo: f ( x) = 1 x −1 1º) Dominio. Dom f ( x) = ℜ − {± 1} 2º) Simetrías. 1 1 f (− x) = = 2 = f ( x) Simetría par 2 (− x) − 1 x − 1 Eje de simetría y. 3º) Puntos de corte. 1 Eje x: f ( x) = 0 ⇒ 2 ≠ 0 No tiene. x −1 1 Eje y: f (0) = = 1 ⇒ (0,1) 0 −1 4º) Asíntotas. 1 = ±∞ ⇒ x = 1 Asíntotas verticales: lim f ( x) = lim 2 x→1 x→1 x − 1 1 lim f ( x) = lim 2 = ±∞ ⇒ x = −1 x→ −1 x → −1 x − 1 1 Asíntota horizontal: lim f ( x) = lim 2 =0⇒ y =0 x →∞ x→±∞ x − 1 Asíntota oblicua: no tiene por tener asuntota horizontal. 5º) Crecimiento y decrecimiento. Máximos y mínimos. Calculamos e igualamos a cero su primera derivada. − 2x − 2x f ' ( x) = 2 → f ' ( x) = 0 ⇒ 2 =0→x=0 2 ( x − 1) ( x − 1) 2 x = 0 Punto candidato a máximo o a mínimo. Hacemos un estudio de los signos de la derivada primera: x=–1 x=0 x=1 − 2x + + – – 2 2 + + + + ( x − 1) f ' ( x) + + – – Decreciente en (0, ∞) − { }. Creciente en (−∞,0) − {− 1}. Y como se puede ver, hay un 1 máximo en x = 0, cuyas coordenadas son: 1 x = 0 ⇒ f (0) = 2 = −1 ⇒ (0, − 1) 0 −1 6º) Concavidad y convexidad. Puntos de inflexión. Calculamos e igualamos a cero su primera derivada. − 2( x 2 − 1) 2 + 2 x·2 x·2( x 2 − 1) 6 x 2 + 2 6x2 + 2 = 2 → f ' ' ( x) = 0 ⇒ 2 ≠0 f ' ' ( x) = ( x 2 − 1) 4 ( x − 1)3 ( x − 1)3 No hay puntos candidatos a puntos inflexión. 4 2
- 5. Julián Moreno Mestre www.juliweb.es tlf. 629381836 Hacemos un estudio de los signos de la derivada segunda: x = –1 x=1 2 + + 6x + 2 + – ( x − 1) f ' ' ( x) + – Cóncava en (−1, 1) y convexa en (−∞,−1) ∪ (1, ∞) 7º) Representación gráfica: 2 3 + + + Cuarto ejemplo: f ( x) = x2 x +1 1º) Dominio. Dom f ( x) = ℜ − {− 1} 2º) Simetrías. No es par (− x) 2 x 2 ⎧ ≠ f ( x) f ( − x) = = ⎨ − x + 1 1 − x ⎩≠ − f ( x) No es impar No hay simetría. 3º) Puntos de corte. x2 = 0 ⇒ (0,0) Eje x: f ( x) = 0 ⇒ x +1 0 = 1 ⇒ (0,0) Eje y: f (0) = 0 +1 4º) Asíntotas. x2 = ±∞ ⇒ x = −1 Asíntotas verticales: lim f ( x) = lim x→ −1 x → −1 x + 1 x2 = ±∞ ⇒ No tiene asíntota horizontal. x→±∞ x + 1 Asíntota horizontal: lim f ( x) = lim x→∞ 5
- 6. Julián Moreno Mestre www.juliweb.es tlf. 629381836 f ( x) x2 = lim 2 =1 x→±∞ x x→±∞ x + 1 x2 −x n = lim ( f ( x) − mx) = lim − x = lim = −1 x→±∞ x→±∞ x + 1 x→±∞ x + 1 La asíntota oblicua es y = x – 1. 5º) Crecimiento y decrecimiento. Máximos y mínimos. Calculamos e igualamos a cero su primera derivada. ⎧ x=0 2 x( x + 1) − x 2 x 2 + 2 x x 2 + 2x = → f ' ( x) = 0 ⇒ f ' ( x) = =0⇒⎨ 2 2 2 ( x + 1) ( x + 1) ( x + 1) ⎩ x = −2 Dos puntos candidatos a máximo o a mínimo. Hacemos un estudio de los signos de la derivada primera: x=–2 x=–1 x=0 2 – – + + x + 2x 2 + + + + ( x + 1) Asíntota oblicua: m = lim f ' ( x) – – + + Creciente en (−∞,−2) ∪ (0, ∞) y decreciente en (−2, 0) − {− 1}. Por tanto: Máximo x = – 2 ⇒ f (−2) = Mínimo x = 0 ⇒ f (0) = (−2) 2 = −4 ⇒ (−2,−4) − 2 +1 02 = 0 ⇒ (0,0) 0 +1 6º) Concavidad y convexidad. Puntos de inflexión. Calculamos e igualamos a cero su primera derivada. (2 x + 2)( x + 1) 2 − ( x 2 + 2 x)·2( x + 1) 2 2 f ' ' ( x) = = → f ' ' ( x) = 0 ⇒ ≠0 ( x + 1) 4 ( x + 1) 3 ( x + 1) 3 No tiene puntos candidatos a puntos de inflexión. Hacemos un estudio de los signos de la derivada segunda: x = –1 + + 2 3 – + ( x + 1) f ' ' ( x) – + Cóncava en (−∞, − 1) y convexa en (−1, ∞) . 7º) Representación gráfica: 6