Clase 06 CDI
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Este documento introduce conceptos básicos de cálculo diferencial e integral como funciones, límites, derivadas, rectas tangentes y velocidad instantánea. Explica la definición formal de derivada como un límite y presenta reglas para calcular derivadas de funciones como potencias, sumas, productos y diferencias. Finalmente, muestra la relación entre derivabilidad y continuidad de funciones.
Clase 06 CDI
- 2. CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL UNIDAD 1: FUNCIONES, LÍMITES Y DERIVADAS Marcelo Fernando Valdiviezo Condolo Primero ‘B’ Carrera de Telecomunicaciones
- 3. DERIVADAS
- 4. INTRODUCCIÓN ARQUÍMEDES KEPLER, NEWTON, GALILEO PENDIENTE DE LA RECTA TANGENTE VELOCIDAD INSTANTÁNEA
- 5. LA RECTA TANGENTE Recta que toca a una curva sin cortarla. Recta trazada por una circunferencia y que formaba un ángulo de 90º con su diámetro y con solo un punto de la circunferencia.
- 6. DEFINICIÓN DE LA RECTA TANGENTE La recta tangente a la curva en el punto es aquella recta que pasa por P con pendiente siempre y cuando este límite exista y no sea −∞ 𝑜 ∞ ( )y f x= ( ), ( )P c f c tan sec 0 0 ( ) ( ) lim lim h h f c h f c m m h→ → + − = =
- 7. EJEMPLO 1 Encuentre la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto (2, 4)2 ( )y f x x= = tan 0 (2 ) (2) lim h f h f m h→ + − = 2 2 0 (2 ) (2) lim h h h→ + − = 2 0 4 4 4 lim h h h h→ + + − = ( ) 0 4 lim h h h h → + = 4=
- 8. EJEMPLO 2 Encuentre las pendientes de las rectas tangentes a la curva en los puntos con abscisas -1, ½, 2 y 3 2 ( ) 2 2y f x x x= = − + + tan 0 ( ) ( ) lim h f c h f c m h→ + − = 2 2 0 ( ) 2( ) 2 ( 2 2) lim h c h c h c c h→ − + + + + − − + + = 2 2 2 0 2 2 2 2 2 2 lim h c ch h c h c c h→ − − − + + + + − − = ( ) 0 2 2 lim h c hh h→ − − + = 2 2c= − +
- 9. EJEMPLO 3 Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva en 1 ( )y f x x = = tan 0 (2 ) (2) lim h f h f m h→ + − = 0 1 1 2 2lim h h h→ − += 1 2, 2 ( ) ( ) 0 2 2 2 2 2 2 lim h h h h h→ + − + + = 0 2 (2 ) lim 2(2 )h h h h→ − + = + tan 0 lim 2(2 )h h h m h→ − = + 0 1 lim 2(2 )h h→ − = + 1 4 = −
- 10. VELOCIDAD PROMEDIO Y VELOCIDAD INSTANTÁNEA Intervalo de tiempo de t = 1 a t = 2 P cayó 16(4) – 16(1) = 48 cm. 64 16 48 2 1 promV cms seg − = = − Intervalo de tiempo de t = 1 a t = 1.5 P cayó 16(2.25) – 16(1) = 20 cm. 36 16 20 40 1.5 1 0.5 promV cms seg − = = = − Intervalo de tiempo de t = 1 a t = 1.1 P cayó 16(1.21) – 16(1) = 3.36 cm. 19.36 16 3.36 33.6 1.1 1 0.1 promV cms seg − = = = − Intervalo de tiempo de t = 1 a t = 1.01 P cayó 16(1.0201) – 16(1) = 0,3216 cm. 16.3216 16 0.3216 32.16 1.01 1 0.01 promV cms seg − = = = −
- 11. VELOCIDAD PROMEDIO Y VELOCIDAD INSTANTÁNEA Instante Posición t s = f(t) c c + h f(c) f(c + h) ( ) ( ) prom f c h f c v h + − = DEFINICIÓN: Velocidad Instantánea Si un objeto se mueve a lo largo de un eje coordenado con función de posición f(t), entonces su velocidad instantánea en el instante c es siempre que el límite exista y no sea −∞ 𝑜 ∞ 0 0 ( ) ( ) lim limprom h h f c h f c v v h→ → + − = =
- 12. EJEMPLO 4 En el caso donde , la velocidad instantánea en t = 1 es 0 (1 ) (1) lim h f h f v h→ + − = 2 ( ) 16f t t= 2 0 16(1 ) 16 lim h h v h→ + − = 2 0 16 32 16 16 lim h h h v h→ + + − = ( )0 lim 32 16 32 h v h → = + =
- 13. EJEMPLO 5 Un objeto inicialmente en reposo, cae debido a la acción de la gravedad. Determine su velocidad instantánea en segundos y en segundos. 0 ( ) ( ) lim h f c h f c v h→ + − = 3.8t = 2 2 0 16( ) 16 lim h c h c v h→ + − = 2 2 2 0 16 32 16 16 lim h c ch h c v h→ + + − = ( )0 lim 32 16 32 h v c h c → = + = 5.4t = 3.8t = 32(3.8) 121.6v m seg= = 5.4t = 32(5.4) 172.8v m seg= =
- 14. LA DERIVADA DEFINICIÓN: La Derivada La derivada de una función f es otra función f’ cuyo valor en cualquier número x es Si el límite existe y no es −∞ 𝑜 ∞ decimos que f es derivable en x. 0 ( ) ( ) '( ) lim h f x h f x f x h→ + − =
- 15. CÁLCULO DE DERIVADAS Sea ( ) 13 6. Encuentre '(4)f x x f= − 0 (4 ) (4) '(4) lim h f h f f h→ + − = ( ) ( ) 0 13 4 6 13 4 6 '(4) lim h h f h→ + − − − = 0 13 '(4) lim h h f h→ = 0 '(4) lim13 h f → = '(4) 13f =
- 16. CÁLCULO DE DERIVADAS 3 Sea ( ) 7 . Encuentre '( )f x x x f x= + 0 ( ) ( ) '( ) lim h f x h f x f x h→ + − = ( ) ( )3 3 0 7 7 '( ) lim h x h x h x x f x h→ + − + − + = 2 2 3 0 3 3 7 '( ) lim h x h xh h h f x h→ + + + = ( )2 2 0 '( ) lim 3 3 7 h f x x xh h → = + + + 2 '( ) 3 7f x x= +
- 17. CÁLCULO DE DERIVADAS 1 Sea ( ) . Encuentre '( )f x f x x = 0 ( ) ( ) '( ) lim h f x h f x f x h→ + − = 0 1 1 '( ) lim h x h xf x h→ − += 2 1 '( )f x x = − ( ) ( )0 1 '( ) lim h x x h f x x h x h→ − + = + ( )0 1 '( ) lim h h f x x h x h→ − = + ( )0 1 '( ) lim h f x x h x→ − = +
- 18. LA DERIVADA TEOREMA: Derivabilidad implica continuidad Si f’(c) existe, entonces f es continua en c. lim ( ) ( ) x c f x f c → =DEMOSTRAR: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , f x f c f x f c x c x c x c − = + − − ( ) ( ) ( ) lim ( ) lim ( ) , x c x c f x f c f x f c x c x c x c→ → − = + − − ( ) ( ) ( ) lim ( ) lim ( ) lim lim x c x c x c x c f x f c f x f c x c x c→ → → → − = + − − lim ( ) ( ) '( ) 0 x c f x f c f c → = + lim ( ) ( ) x c f x f c → =
- 19. INCREMENTOS Si el valor de x cambia de x1 a x2, entonces x2 – x1 es el cambio de x y se denomina incremento de x y por lo regular se denota por ∆x. Si x1 = c y x2 = c + h, entonces 2 1x x x c h c h = − = + − = Ahora suponga que y = f(x) determina una función, si x cambia de x1 a x2, entonces y cambia de y1 = f(x1) a y2 = f(x2). Así al incremento en x, le corresponde un incremento en y dado por 2 1x x x = − 2 1 2 1( ) ( )y y y f x f x = − = −
- 20. EJEMPLO 6 2 Sea ( ) 2 . Encuentre cuando cambiade 0.4 a 1.3y f x x y x= = − ( ) ( )y f x x f x = + − ( ) ( )y f x x f x x x + − = La Razón Representa la pendiente de una recta secante que pasa por (x, f(x)). Cuando ∆x→0, la pendiente de esta recta secante tiende a la recta tangente, y utilizamos el símbolo ( ) 0 0 ( ) lim lim '( ) x x f x x f xdy y f x dx x x → → + − = = =
- 21. GRÁFICA DE LA DERIVADA
- 22. REGLAS PARA DERIVAR '( )f x ( )xD f x dy dx
- 23. REGLAS PARA LA FUNCIÓN CONSTANTE 0 0 ( ) ( ) '( ) lim lim 0 h h f x h f x k k f x h h→ → + − − = = =
- 24. REGLAS PARA LA FUNCIÓN IDENTIDAD 0 0 0 ( ) ( ) '( ) lim lim lim 1 h h h f x h f x x h x h f x h h h→ → → + − + − = = = =
- 25. REGLAS PARA LA FUNCIÓN POTENCIA ( ) 0 0 ( ) ( ) '( ) lim lim n n h h x h xf x h f x f x h h→ → + −+ − = = 1 2 2 1 0 ( 1) ... 2'( ) lim n n n n n n h n n x nx h x h nxh h x f x h − − − → − + + + + + − = 1 2 2 1 1 0 ( 1) ... 2 '( ) lim n n n n n h n n h nx x h nxh h f x nx h − − − − − → − + + + + = =
- 26. REGLAS PARA MULTIPLO CONSTANTE ( ) ( )F x k f x= 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) '( ) lim lim h h F x h F x k f x h k f x F x h h→ → + − + − = = 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) '( ) lim lim h h f x h f x f x h f x F x k k h h→ → + − + − = = '( ) '( )F x k f x=
- 27. REGLAS PARA LA SUMA ( ) ( ) ( )F x f x g x= + 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) '( ) lim lim h h f x h g x h f x g x f x h f x g x h g x F x h h h→ → + + + − + + − + − = = + 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) '( ) lim lim '( ) '( ) h h f x h f x g x h g x F x f x g x h h→ → + − + − = + = +
- 28. REGLAS PARA LA DIFERENCIA
- 29. ( ) ( ) ( )F x f x g x= 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) '( ) lim lim h h F x h F x f x h g x h f x g x F x h h→ → + − + + − = = 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) '( ) lim h f x h g x h f x h g x f x h g x f x g x F x h→ + + − + + + − = REGLA PARA EL PRODUCTO (I)
- 30. ( ) ( ) ( )F x f x g x= 0 ( ) ( ) ( ) ( ) '( ) lim ( ) ( ) h g x h g x f x h f x F x f x h g x h h→ + − + − = + + 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) '( ) lim ( ) lim ( ) lim h h h g x h g x f x h f x F x f x h g x h h→ → → + − + − = + + '( ) ( ) '( ) ( ) '( )F x f x g x g x f x= + REGLA PARA EL PRODUCTO (II)
- 31. REGLA DEL COCIENTE (I)
- 32. REGLA DEL COCIENTE (II) ( ) ( ) ( ) f x F x g x =
- 33. REGLA DEL COCIENTE (III)
- 34. PREGUNTAS