Activity 1 1 real numbers
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Este documento explica la Ley de Bode, la cual predice las distancias de los planetas al sol. La ley utiliza una fórmula matemática simple que involucra números que se duplican sucesivamente para predecir estas distancias en unidades astronómicas. Aunque la ley no es completamente precisa, acertó en la predicción del planeta Urano y en un espacio vacío entre Marte y Júpiter, lo que le dio cierta validez. El documento también introduce la notación científica como una herramienta útil para expresar cantidades
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- 1. Actividad 1.1. La ley de Bode. G. Edgar Mata Ortiz
- 2. Números Reales y Notación Científica http://licmata-math.blogspot.mx/ 2 La astronomía ha sido, desde hace mucho tiempo, la fuente de numerosos avances científicos. Desde las Leyes de Kepler a las Leyes de Newton que dieron lugar a la invención del cálculo diferencial e integral. Este material toma como base el conocimiento astronómico para abordar el tema de los números reales y la notación científica. Contenido Introducción. ............................................................................................................................................................3 La unidad de medida: Unidad Astronómica (U. A.)..............................................................................................3 ¿Qué dice la Ley de Bode?........................................................................................................................................3 Comprobación de la Ley de Bode.........................................................................................................................4 Predicciones de la Ley de Bode. ...........................................................................................................................5 Notación científica....................................................................................................................................................5 Cantidades muy grandes en notación científica...................................................................................................6 Cantidades muy pequeñas en notación científica................................................................................................7 La nanotecnología y sus aplicaciones.......................................................................................................................8
- 3. Números Reales y Notación Científica http://licmata-math.blogspot.mx/ 3 Introducción. El nombre correcto de esta ley tal vez debería ser: Ley de Titius – Bode Con base en la información que se muestra a la izquierda acerca de las características de una teoría científica, consulta la historia de la Ley de Bode y escribe un ensayo de 600 palabras acerca del tema. La unidad de medida: Unidad Astronómica (U. A.) Con la finalidad de facilitar el manejo de distancias astronómicas se emplea, en lugar del metro o kilómetro, la U. A. El valor de esta unidad de medida es la distancia de la tierra al sol. Puesto que la órbita de la tierra alrededor del sol es elíptica, la distancia no es constante, por lo que se toma el promedio, y es igual a: 149’675,000 Km. ¿Qué dice la Ley de Bode? Esta “ley”, predice a qué distancia del sol se encuentran los planetas expresadas en unidades astronómicas. El procedimiento para determinar estas distancias es relativamente sencillo: 1. Se genera una sucesión de números que empieza en cero, tres, seis, … y luego se van duplicando los números: 0, 3, 6, 12, 24, 48, 96, 192, 384, … 2. Este es el valor de n en la fórmula: 𝑑 = 𝒏 + 4 10 3. Se sustituyen los valores de n en la fórmula y se obtiene: 𝑑 = 𝟎+4 10 = 4 10 = 0.4 Según la Ley de Bode, el planeta más cercano al sol debe encontrase a 0.4 U. A. del sol. Calcula las distancias de los demás planetas aplicando la misma fórmula y anota los resultados en la siguiente línea: 0.4, _________________________________________________________ Leyes científicas. Las leyes científicas son afirmaciones que se caracterizan porque pueden ser verificadas en la realidad. Se considera que una ley científica es válida mientras no se encuentre evidencia en contra. Las leyes de la ciencia, constantemente se someten a prueba mediante la observación de hechos naturales o experimentos diseñados especialmente para confirmar o refutar su validez. Una de las leyes científicas más conocidas por las personas es la ecuación de equivalencia masa – energía de Albert Einstein: E = mc2 También son conocidas las leyes de Newton sobre el movimiento de los cuerpos y la ley de la gravitación universal.
- 4. Números Reales y Notación Científica http://licmata-math.blogspot.mx/ 4 Comprobación de la Ley de Bode. Pero, esta Ley de Bode, ¿realmente funciona? En la siguiente tabla se encuentran las distancias de cada uno de los planetas, al sol. Convierte las distancias a unidades astronómicas y compara los resultados de la fórmula de Bode con las distancias reales. Nombre del planeta Distancia al sol en km Distancia al sol en U.A. Predicción de la Ley de Bode Mercurio 57’910,000 Venus 108’200,000 Tierra 149’675,000 Marte 227’940,000 ¿? Júpiter 778’330,000 Saturno 1,429’400,000 Urano 2,870’990,000 Neptuno 4,504’300,000 Plutón 5,913’520,000 Escribe, en el siguiente espacio, tu opinión acerca de la Ley de Bode. Argumenta tu respuesta. __________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________
- 5. Números Reales y Notación Científica http://licmata-math.blogspot.mx/ 5 Predicciones de la Ley de Bode. Cuando se publicó esta ley, el planeta Urano no se había descubierto, de modo que cuando se descubre y su distancia al sol coincide con la predicción de Bode, esta ley ganó cierta notoriedad. Lo mismo podemos decir del espacio en blanco identificado con signos de interrogación entre Marte y Júpiter. Según Bode, ahí debería existir un planeta; posteriormente se confirmó que tenía razón, aproximadamente a esa distancia se encuentran los asteroides que, según ciertas teorías, son los restos de un planeta que fue destruido. Por otro lado, la predicción “falla” con Neptuno, que parece ser una anomalía, y Plutón se encuentra a la distancia “correcta”. ¿Qué explicaciones existen acerca de los aciertos de Bode? __________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________ Notación científica. El uso de la unidad astronómica fue una forma de facilitar el manejo de distancias muy grandes, sin embargo, actualmente contamos con una mejor herramienta: la notación científica. Por ejemplo; uno de los prefijos empleados en el sistema internacional de unidades es Tera, que significa billones, 5.8 Terámetros son 5.8 billones de metros. Este es el nombre correcto que se da a esta unidad de medida, sin embargo, actualmente se prefiere expresar como 5.8x1012 metros. También las calculadoras, cuando se obtiene un resultado muy grande, lo expresan en notación científica. Es muy útil, solamente debemos aprender a interpretar esta notación mediante una sencilla regla: Si el exponente del 10 es positivo, significa que debemos recorrer el punto decimal hacia la derecha tantos lugares como indique la potencia del diez, y si es negativo, entonces el punto se recorre hacia la izquierda. Ejemplos: 1.5x1015 significa recorrer el punto decimal 15 lugares hacia la derecha, rellenando con ceros los lugares que se van generando: 1,500’000,000’000,000 3.1x10-12 significa recorrer el punto decimal 12 lugares hacia la izquierda, rellenando con ceros los lugares que se van generando: 0.000 000 000 0031 15 lugares hacia la derecha desde donde estaba originalmente. 12 lugares hacia la izquierda desde donde estaba originalmente.
- 6. Números Reales y Notación Científica http://licmata-math.blogspot.mx/ 6 Cantidades muy grandes en notación científica. Vamos a practicar la notación científica realizando algunas operaciones relacionadas con la velocidad de la luz. ¿Sabes lo que es un año luz? Se le llama así a la distancia que recorre la luz en un año. Si la velocidad de la luz en el vacío es de: 299,792.458 Km/s determina las siguientes distancias: Distancia que recorre la luz en un segundo: _______________________________________________ Km. Distancia que recorre la luz en un minuto: _______________________________________________ Km. Distancia que recorre la luz en una hora: _______________________________________________ Km. Distancia que recorre la luz en un día: _______________________________________________ Km. Distancia que recorre la luz en un año: _______________________________________________ Km. Seguramente algunos de estos resultados fueron presentados por la calculadora empleando notación científica. El último resultado es la equivalencia, en kilómetros, de un año luz. Consulta el valor exacto y explica por qué existe diferencia con el valor que calculamos. __________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________ ¿A cuántas unidades astronómicas equivale un año luz? ____________________________________________ ¿Qué prefijo del sistema internacional de unidades conviene emplear para expresar la equivalencia de un año luz, en metros? _____________________________________________________________________________ ¿A qué distancia se encuentra la estrella más cercana a la tierra (después del sol)? Anota esta distancia en kilómetros empleando la notación normal y la notación científica. Después, convierte a unidades astronómicas y finalmente utiliza el prefijo más adecuado para expresar la distancia en metros: Distancia en kilómetros, notación común: ____________________________________________________ Distancia en kilómetros, notación científica: ____________________________________________________ Distancia en unidades astronómicas: ____________________________________________________ Distancia en metros con el prefijo adecuado: ____________________________________________________ El factorial de un número es el resultado de multiplicar todos los enteros hasta el número indicado, por ejemplo, el factorial de 5 es: 1×2×3×4×5 = 120. Utiliza tu calculadora para obtener los siguientes factoriales: 20! = ______________________________________________________________________________________ 30! = ______________________________________________________________________________________ 40! = ______________________________________________________________________________________ 50! = ______________________________________________________________________________________ ¿Cuál es el máximo factorial que puedes obtener con una calculadora científica? Anótalo en seguida: __________________________________________________________________________________________
- 7. Números Reales y Notación Científica http://licmata-math.blogspot.mx/ 7 Este factorial máximo que, generalmente puede obtenerse en una calculadora científica, es muy cercano al valor de un número llamado Gúgol o Googol. Consulta el significado y el valor de estos números, anótalos y escribe un comentario sobre el tema en las líneas siguientes: __________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________ Cantidades muy pequeñas en notación científica. El átomo más ligero, el de hidrógeno, tiene un diámetro de aproximadamente 10-10 metros y una masa de alrededor de 1.7x10-27 gramos. Escribe estos números en la notación decimal común e indica el prefijo del sistema internacional (SI) de unidades que es conveniente emplear con cada uno de ellos. Diámetro del átomo de hidrógeno en notación común: __________________________________________________________________________________________ Prefijo del SI que es conveniente emplear para expresar esta cantidad en metros: _______________________ Masa del átomo de hidrógeno en notación común: __________________________________________________________________________________________ Prefijo del SI que es conveniente emplear para expresar esta cantidad en gramos: _______________________ El electrón tiene una masa, en reposo, de 9.11x10-31 Kg y su carga es de 1.6x10-19 Coulomb. Escribe estos números en la notación decimal común e indica el prefijo del sistema internacional (SI) de unidades que es conveniente emplear con cada uno de ellos. Masa del electrón en notación común: __________________________________________________________________________________________ Prefijo del SI que es conveniente emplear para expresar esta cantidad en gramos: _______________________ Carga del electrón en notación común: __________________________________________________________________________________________ Prefijo del SI que es conveniente emplear para expresar esta cantidad en Coulomb: ______________________ Realiza un ejercicio similar para la carga y masa del protón. __________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________
- 8. Números Reales y Notación Científica http://licmata-math.blogspot.mx/ 8 La nanotecnología y sus aplicaciones. Esta disciplina científica ha producido, en los últimos años, sorprendentes e interesantes resultados y aplicaciones en diferentes ámbitos de la investigación científica y tecnológica. Realiza una investigación y explica las magnitudes empleadas en esta disciplina científica. Selecciona tres resultados de investigación que te llamen la atención y sus aplicaciones y anótalos en las siguientes líneas: Magnitudes empleadas en la nanotecnología: __________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________ Resultado de investigación y aplicaciones (1): __________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________ Resultado de investigación y aplicaciones (2): __________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________ Resultado de investigación y aplicaciones (3): __________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________ Lecturas complementarias recomendadas.