Activity 3 2 linear inequalitites
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El documento describe las desigualdades lineales con una incógnita, incluyendo cómo modelar situaciones de la vida real como desigualdades, resolver desigualdades aplicando propiedades, y representar gráficamente las soluciones de desigualdades. Se proveen ejemplos para ilustrar cada tema y ejercicios prácticos al final.
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- 1. Actividad 3.2 Inecuaciones Lineales G. Edgar Mata Ortiz Desigualdades o inecuaciones lineales con una incógnita.
- 2. Desigualdades Lineales con una Incógnita. http://licmata-math.blogspot.mx/ 2 Estamos acostumbrados a estudiar las ecuaciones; desde nuestros estudios básicos hemos visto que la relación de igualdad entre dos cantidades es sumamente útil para resolver numerosos problemas. Sin embargo, en el mundo real, las relaciones existentes entre las magnitudes, no siempre son de igualdad. Es muy común que alguna sea cantidad sea diferente, mayor o menor que otra. Este tipo de expresiones también pueden traducirse al lenguaje algebraico, reciben el nombre de desigualdades o inecuaciones. En el presente material se aborda el tema de las desigualdades lineales con una incógnita; sus aplicaciones, cómo resolverlas, y su representación gráfica. Contenido Introducción. ............................................................................................................................................................3 Modelos matemáticos en las desigualdades........................................................................................................4 Resolución de desigualdades. ..................................................................................................................................4 Reglas empíricas y propiedades de la igualdad....................................................................................................4 Reglas empíricas y propiedades de las desigualdades.........................................................................................5 Representación gráfica de las desigualdades.......................................................................................................6 Representación gráfica de desigualdades que incluyen los extremos.............................................................7 Modelos Matemáticos que conducen a desigualdades lineales..............................................................................8 Práctica de resolución de desigualdades lineales con una incógnita...................................................................9 Pensamiento crítico........................................................................................................................................... 10 Observaciones. .................................................................................................................................................. 10
- 3. Desigualdades Lineales con una Incógnita. http://licmata-math.blogspot.mx/ 3 Introducción. Como vimos en el ejercicio 3.1, existen numerosas situaciones en las que podemos representar la realidad y resolver problemas mediante ecuaciones lineales con una incógnita. En esta ocasión veremos cómo utilizar otro tipo de modelos matemáticos: las desigualdades lineales con una incógnita. Veamos un ejemplo: En cierta planta metalúrgica las temperaturas y el ambiente corrosivo hacen necesario emplear aleaciones especiales, además es necesario que resistan una tensión de 105,000±5000 psi. Un proveedor ofrece una solución: La súper-aleación tipo C, llamada Hastelloy, puede resistir una tensión máxima de 110,600 psi incluso bajo condiciones de alta temperatura y ambientes corrosivos. Vamos cómo se traduce algebraicamente esta información: Los requerimientos de la planta están indicados como un valor deseado de 105,000 psi y una tolerancia de ±5000 psi, es decir, el metal debe resistir, al menos, 105,000 – 5,000 psi = 100,000 psi; y la máxima tensión a la que será sometido es 105,000 + 5,000 psi = 110,000 psi. Si expresamos la tensión a la que será sometido el material como x, ya que es desconocida, entonces: La resistencia del material debe ser: x >100,000 y x <110,000 Que se expresa: 100,000 < x <110,000 En cuanto a las especificaciones del material, sólo indica una resistencia máxima a la tensión: x <110,600 Explica si el material es adecuado para la necesidad: ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ Programación Lineal. Una de las áreas de mayor interés para la ingeniería de procesos es la optimización de los mismos, es decir, cómo obtener el máximo beneficio a partir de recursos limitados o cómo minimizar los costos de una operación o proceso. Los fundamentos teóricos de esta técnica son las desigualdades lineales, aunque posteriormente se emplean métodos algebraicos que no permiten visualizar la forma en que se utilizan las desigualdades. Un ejemplo de programación lineal se encuentra en: http://licmata- math.blogspot.mx/2014/06/mathe matical-models-linear- programming.html Como puedes observar en el problema planteado, en lugar de ecuaciones tenemos desigualdades: Una vez planteado el problema, se aplica el método simplex que va de solución factible en solución factible buscando el punto óptimo.
- 4. Desigualdades Lineales con una Incógnita. http://licmata-math.blogspot.mx/ 4 Modelos matemáticos en las desigualdades. Las dos expresiones algebraicas generadas en el ejemplo son el modelo matemático que podemos utilizar para decidir si el material es adecuado para la necesidad. Requerimientos: 100,000 < x <110,000 Especificaciones: x <110,600 Con base en el método de solución de problemas ahora debemos resolver las desigualdades y responder a la pregunta que plantea el problema. En el resto del material veremos cómo se resuelven las desigualdades. Resolución de desigualdades. El proceso de solución de las desigualdades es similar al de las ecuaciones, ya que tiene propiedades análogas. Sin embargo, debemos recordar que el procedimiento correcto para resolver ecuaciones son las propiedades de la igualdad, y las reglas empíricas son solamente una forma de facilitar el proceso. Reglas empíricas y propiedades de la igualdad. Para resolver la ecuación: 𝟐𝒙 + 𝟑 = −𝟏𝟓 El proceso, aplicando reglas empíricas, consiste en: “El 3 que está sumando, pasa del otro lado del signo igual, restando” 𝟐𝒙 = −𝟏𝟓 − 𝟑 “Se efectúa la operación indicada, una suma algebraica” 𝟐𝒙 = −𝟏𝟖 “El dos que está multiplicando, pasa dividiendo” 𝒙 = −𝟏𝟖 𝟐 “Se efectúan operaciones, en este caso, una división” 𝒙 = −𝟗 Este procedimiento funciona correctamente, pero debemos recordar que las reglas empíricas, cuando se intenta generalizarlas, suelen fallar. El procedimiento correcto consiste en la aplicación de las propiedades de la igualdad: “Si a cantidades iguales, se restan cantidades iguales, la igualdad no se altera” 𝟐𝒙 + 𝟑 − 𝟑 = −𝟏𝟓 − 𝟑 “Se efectúan las operaciones indicadas” 𝟐𝒙 = −𝟏𝟖 “Si cantidades iguales, se dividen por cantidades iguales, la igualdad persiste” 𝟐𝒙 𝟐 = −𝟏𝟖 𝟐 “Se efectúan las operaciones indicadas” 𝒙 = −𝟗 El resultado es el mismo, hasta ahora, las reglas empíricas están funcionando adecuadamente. Pero no olvidemos que, por muchos casos en los que una regla empírica funcione, siempre existe la posibilidad de que se presente alguna situación en la que estas reglas no funcionen adecuadamente. Al resolver desigualdades se aplican las propiedades de las desigualdades, que son similares a las propiedades de la igualdad, con algunas diferencias.
- 5. Desigualdades Lineales con una Incógnita. http://licmata-math.blogspot.mx/ 5 Reglas empíricas y propiedades de las desigualdades. Como se mencionó anteriormente, para resolver desigualdades se aplican reglas similares a las ecuaciones. Ejemplo: Para resolver la desigualdad: 𝟐𝒙 + 𝟑 < −𝟏𝟓 El proceso, aplicando reglas empíricas, consiste en: “El 3 que está sumando, pasa del otro lado del signo igual, restando” 𝟐𝒙 < −𝟏𝟓 − 𝟑 “Se efectúa la operación indicada, una suma algebraica” 𝟐𝒙 < −𝟏𝟖 “El dos que está multiplicando, pasa dividiendo” 𝒙 < −𝟏𝟖 𝟐 “Se efectúan operaciones, en este caso, una división” 𝒙 < −𝟗 El resultado significa que, si se toma cualquier valor de equis menor a menos 9, y se sustituye en la desigualdad original, obtendremos una afirmación verdadera; y si se toma cualquier valor, que no sea menor a menos nueve, y se sustituye en la desigualdad, obtendremos una afirmación falsa, por ejemplo: Si tomamos 𝒙 = −𝟏𝟎, la desigualdad queda: 𝟐(−𝟏𝟎) + 𝟑 < −𝟏𝟓 −𝟐𝟎 + 𝟑 < −𝟏𝟓 −𝟏𝟕 < −𝟏𝟓 Como se puede observar, la afirmación es verdadera; menos diecisiete, es menor que menos quince, y esto se debe a que tomamos un valor de equis que es menor que menos nueve. Si tomamos 𝒙 = −𝟓, la desigualdad queda: 𝟐(−𝟓) + 𝟑 < −𝟏𝟓 −𝟏𝟎 + 𝟑 < −𝟏𝟓 −𝟕 < −𝟏𝟓 Como se puede observar, la afirmación es falsa; menos siete, es mayor que menos quince, y esto se debe a que tomamos un valor de equis que es mayor que menos nueve. _____________________________________________________________ _____________________________________________________________ _____________________________________________________________ _____________________________________________________________ _____________________________________________________________ _____________________________________________________________ Consulta las propiedades de las desigualdades y, en las líneas que se encuentran a un lado de este texto, resuelve el ejemplo anterior aplicando dichas propiedades.
- 6. Desigualdades Lineales con una Incógnita. http://licmata-math.blogspot.mx/ 6 Representación gráfica de las desigualdades. Como sucede en muchos temas de matemáticas, la representación gráfica puede ayudarnos a comprender mejor el concepto y la solución de las desigualdades. Las desigualdades lineales con una incógnita se representan sobre la recta numérica. Existen diferentes formas de representación, aquí mostraremos una de las más usuales. La desigualdad: 𝟐𝒙 + 𝟑 < −𝟏𝟓, tiene como solución: 𝒙 < −𝟗 La representación gráfica de esta solución es: El símbolo con forma de paréntesis se coloca en el valor que se obtuvo en la solución, en este caso, −𝟗, con la abertura hacia la izquierda ya que se trata de una relación “menor que”. Las líneas inclinadas actúan como un sombreado que identifica la dirección en la que se encuentran los valores que son la solución de la ecuación, ya que, a diferencia de las ecuaciones, la solución no es un valor único, sino un conjunto de valores llamado intervalo. Cuando se trata de una relación “mayor que”, entonces el símbolo similar a un paréntesis aparece con la abertura hacia la derecha y el sombreado en esa misma dirección: Una pregunta interesante es: ¿Qué sucede exactamente en el valor de equis que es la solución de la igualdad? ¿Es parte de la solución? ¿O no es parte de la solución? Realiza una investigación y explica, en las siguientes líneas, qué sucede en estos puntos extremos. ___________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________
- 7. Desigualdades Lineales con una Incógnita. http://licmata-math.blogspot.mx/ 7 Representación gráfica de desigualdades que incluyen los extremos. De acuerdo con la investigación realizada, existen desigualdades que sí incluyen los extremos, en cuyo caso el paréntesis se sustituye con un paréntesis rectangular como se muestra en los siguientes ejemplos: Este tipo de desigualdades se expresan verbalmente como: Equis es menor o igual a 2.5 En el otro sentido es: Equis es mayor o igual a 2.5 También es posible que existan desigualdades como la del ejemplo inicial: Equis es mayor a 100,000 y menor a 110,000 Los paréntesis circulares indican que los extremos no están incluidos, es decir, la solución es cualquier número mayor a 100,000 (no igual), y menor a 110,000 (no igual).
- 8. Desigualdades Lineales con una Incógnita. http://licmata-math.blogspot.mx/ 8 Estas desigualdades que tienen límites en ambos extremos también se presentan con relaciones de “mayor o igual” y “menor o igual”, por ejemplo: Equis es mayor o igual a 0.5 y menor o igual a 2.5 Modelos Matemáticos que conducen a desigualdades lineales. Como hemos visto hasta ahora, el álgebra es una herramienta. Las desigualdades constituyen otro recurso para modelar matemáticamente la realidad. Lo que en esta ocasión será diferente es la formulación del plan; en lugar de obtener una ecuación, se elaborará una desigualdad. Resuelve los siguientes problemas siguiendo un procedimiento similar al que se utilizó en las ecuaciones. No olvides representar gráficamente la solución. 1. Una máquina tiene un costo fijo de operación de $1420 por turno. Debido a el largo tiempo que toma para estar en condiciones de operación, una vez que se enciende, no se apaga hasta el final del turno. El costo variable de operación de la máquina es de $12.25 por pieza. Debido a problemas financieros se ha decidido fabricar, por turno, un número de piezas que mantenga el costo total de operación de la máquina por debajo de $2150. ¿Cuántas piezas es posible fabricar por turno sin exceder el límite indicado? 2. La producción artesanal de joyería es un proceso que sólo permite elaborar unas pocas piezas por turno. Si un artesano puede fabricar entre 3 y 4 piezas por hora, y trabaja turnos de 8 horas diarias. ¿Cuántas piezas puede fabricar en los 6 turnos que trabaja a la semana? Si su ganancia por pieza es de $45, ¿Cuántos artesanos deben trabajar, en una semana, para tener un beneficio mínimo de $15,000?
- 9. Desigualdades Lineales con una Incógnita. http://licmata-math.blogspot.mx/ 9 3. Araceli tiene una oferta de empleo como vendedora. Le proponen dos alternativas de salario: Un salario base de $4000 mensuales y comisiones sobre sus ventas del 6%, o un salario base de $6000 mensuales con comisiones del 4%. ¿De cuánto deberían ser sus ventas mensuales mínimas para que le convenga elegir la primera opción? Justifica tu respuesta. 4. Se desea cercar un terreno triangular de modo que el lado a mida el doble que el lado b. La suma de los tres lados debe ser, como máximo, de 165 metros. ¿Cuál debe ser la longitud máxima del lado c? ¿Y la longitud mínima? 5. El cobre tiene propiedades que resultan sumamente útiles, como la de su resistencia a la corrosión, por ello es ampliamente usado en aleaciones. Se requiere una aleación que contenga entre el 46% y el 52% de cobre. Determina la mínima y la máxima cantidad de aleación de cobre al 60% que debe mezclarse con otra aleación de cobre al 40% para preparar 15 libras de una aleación que contenga el porcentaje de cobre señalado. Práctica de resolución de desigualdades lineales con una incógnita. En estas aplicaciones de las desigualdades lineales, es necesario resolver los modelos matemáticos obtenidos, sin embargo, existen muchos otros casos que debe practicarse para desarrollar las habilidades algebraicas y aplicar las propiedades adecuadas en cada problema. Resuelve las siguientes desigualdades y representa gráficamente la solución. Identifica los casos en los que se aplican propiedades de las desigualdades que son diferentes a las propiedades de la igualdad. 1. 2𝑥 − 3 ≤ 𝑥 − 5 2. 5𝑦 − 1 ≫ 7𝑦 − 9 3. 6𝑎 + 2 < 4𝑎−5 −2 4. −2𝑏 + 7 > 3𝑏+5 3 5. 6𝑤−5 3 < 4𝑤−7 −2
- 10. Desigualdades Lineales con una Incógnita. http://licmata-math.blogspot.mx/ 10 Pensamiento crítico. La resolución de problemas es una forma de mejorar la capacidad de análisis del estudiante, pero existen otras formas de agudizar las habilidades del pensamiento, como las siguientes preguntas. Contesta las siguientes preguntas desarrollando las operaciones algebraicas necesarias para argumentar tu respuesta. 1. ¿Por qué cuando un número negativo “está multiplicando y pasa dividiendo”, la dirección de la desigualdad cambia? 2. Un estudiante afirma que la solución de la desigualdad: 𝒙 𝟐 < 𝟒 es: 𝒙 < 𝟐 ¿Tiene razón? 3. Si tenemos dos números p y q diferentes de cero tales que: 𝒑 < 𝒒, escribe el signo de desigualdad que corresponde en cada caso: a. 𝑝 + 𝑟 ______ 𝑞 + 𝑟, si sabemos que r es positivo b. 𝑝 + 𝑟 ______ 𝑞 + 𝑟, si sabemos que r es negativo c. 𝑝 × 𝑟 ______ 𝑞 × 𝑟, si sabemos que r es positivo d. 𝑝 × 𝑟 ______ 𝑞 × 𝑟, si sabemos que r es negativo e. 𝑝 𝑟 ______ 𝑞 𝑟 , si sabemos que r es positivo f. 𝑝 𝑟 ______ 𝑞 𝑟 , si sabemos que r es negativo Observaciones. En este material se ha trabajado solamente con desigualdades lineales con una incógnita, no olvides que muchos modelos matemáticos requieren de más de una incógnita y, frecuentemente, las relaciones entre las variables no son lineales, de modo que es posible encontrara sistemas de desigualdades lineales con dos o más incógnitas, así como desigualdades no lineales. Lecturas recomendadas.