![Universidad Centroccidental“Lisandro Alvarado”Decanato de AgronomíaPrograma de Ingeniería AgroindustrialNúcleo Obelisco<br /> <br />IntegrantesColmenares Ma. Lourdes.18.998.865.García, Ma. Vanessa.18.923.091.Computación Aplicada.Grupo C.<br />Barquisimeto, 29 de Abril del 2011.<br />INTRODUCCIÓN<br />MATLAB es un entorno de computación y desarrollo de aplicaciones totalmente integrado orientado para llevar a cabo proyectos en donde se encuentren implicados elevados cálculos matemáticos y la visualización gráfica de los mismos. MATLAB integra análisis numérico, cálculo matricial, proceso de señal y visualización gráfica en un entorno completo donde los problemas y sus soluciones son expresados del mismo modo en que se escribirían radicionalmente, sin necesidad de hacer uso de la programación tradicional. De forma coherente y sin ningún tipo de fisuras, integra los requisitos claves de un sistema de computación técnico: cálculo numérico, gráficos, herramientas para aplicaciones específicas y capacidad de ejecución en múltiples plataformas. Conjuntos de herramientas complementarios amplían el entorno, permitiendo resolver problemas especiales en estas áreas de aplicación. También contiene una serie de funciones para documentar y compartir su trabajo. Puede integrar el código con otros lenguajes y aplicaciones, y distribuir los algoritmos y aplicaciones que desarrollo<br />El nombre MATLAB viene de \"
matrix laboratory\"
(laboratorio matricial). MATLAB fue originalmente escrito para proveer acceso fácil al software matricial desarrollado por los proyectos LINPACK y EISPACK, que juntos representan el estado del arte e software para computación matricial. Hoy MATLAB es usado en una variedad de áreas de aplicación incluyendo procesamiento de señales e imágenes, diseño de sistemas de control, ingeniería financiera e investigación médica. La arquitectura abierta facilita usar MATLAB y los productos que lo acompañan para explorar datos y crear herramientas personalizadas que proveen visiones profundas tempranas y ventajas competitivas. (Brazales,García, Rodrigez, 2001).<br />MATLAB dispone también en la actualidad de un amplio abanico de programas de apoyo especializados, denominados Toolboxes, que extienden significativamente el número de funciones incorporadas en el programa principal. Estos Toolboxes cubren en la actualidad prácticamente casi todas las áreas principales en el mundo de la ingeniería y la simulación, destacando entre ellos el 'toolbox' de proceso de imágenes, señal, control robusto, estadística, análisis financiero, matemáticas simbólicas, redes neutrales, lógica difusa, identificación de sistemas, simulación de sistemas dinámicos, etc. es un entorno de cálculo técnico, que se ha convertido en estándar de la industria, con capacidades no superadas en computación y visualización numérica. Esta familia de productos proporciona al estudiante un medio de carácter único, para resolver los problemas más complejos y difíciles. (Rojas, Malavé)<br />¿QUÉ ES MATLAB.?<br />MATLAB es el nombre abreviado de “MATrix LABoratory”. MATLAB es un programa para realizar cálculos numéricos con vectores y matrices. Como caso particular puede también trabajar con números escalares -tanto reales como complejos-, con cadenas de caracteres y con otras estructuras de información más complejas. Una de las capacidades más atractivas es la de realizar una amplia variedad de gráficos en dos y tres dimensiones. MATLAB tiene también un lenguaje de programación propio(Brazales,García, Rodrigez, 2001). <br />Nace como una solución a la necesidad de mejores y más poderosas herramientas de cálculo para resolver problemas de cálculo complejos en los que es necesario aprovechar las amplias capacidades de proceso de datos de grandes computadores. Es una técnica de computación para cálculo numérico y operaciones de visualización de alta capacidad. Este avanzado programa matemático posee una poderosa interfase grafica utilizado para el análisis, diseño, simulación y control de complejos sistemas dinámico, además de permitir el análisis numérico de operaciones con matrices, procesamiento de señales; y sus soluciones son expresadas en la forma matemática usual, sin necesidad de utilizar los lenguajes de computación ampliamente conocidos. Por esta razón se ha convertido en la principal herramienta de los ingenieros de control de proceso.<br />Características: <br />Calidad científica.<br />Potencia.<br />Flexibilidad.<br />Facilidad de uso.<br />Interactividad.<br />Transparencia.<br />Gráficos.<br />Respuesta a escalón.<br />Diagramas del lugar de las raíces.<br />Diagramas de respuesta en frecuencia.<br />Conversión de Modelos de Sistemas Continuo a Sistemas Discretos.<br />FUNCIONALIDAD DE MATLAB<br />Las funciones en MATLAB son programas que toman las variables que se les pasan (variables de entrada), realiza unos cálculos y manipulaciones con ellas y devuelve unos resultados (variables de salida). La estructura general es:<br />Función [variables de salida] = nombrefuncion (variables de entrada) ORDENES<br />Las órdenes evaluadas por la función, así como las variables intermedias creadas por estas órdenes, están escondidas, sólo son visibles las variables de entrada y salida. Esto hace que las funciones sean muy adecuadas para encapsular funciones matemáticas útiles o secuencias de órdenes que aparezcan a menudo. MATLAB nos permite crear funciones propias en forma de archivos .m. Un archivo .m de función es similar a un archivo script, al igual que ellos son archivos de texto creados en un editor de texto. La diferencia entre ambos es que la función sólo se comunica con el espacio de trabajo a través de las variables de entrada y salida, las variables intermedias dentro de la función no aparecen ni interactúan con el espacio de trabajo de MATLAB.<br />Entre las funciones propias de MATLAB se tienen:<br />Transformación de sistemas de coordenadas.<br />Matriz identidad y otras matrices elementales.<br />Matrices de Hilbert, Toeplitz, Vandermonde, Hadamard, etc.<br />Partes reales, imaginarias y complejas conjugadas.<br />Funciones trigonométricas y de potencias.<br />Algebra lineal numérica<br />Valores propios y descomposición de matrices:<br />Funciones generales de evaluación de matrices.<br />Determinantes, normas, rangos, etc.<br />Matrices inversas y factorización de matrices.<br />Matriz exponencial, logarítmica y raíces cuadradas.<br />Polinomios e interpolación:<br />Interpolación 1-D y 2-D.<br />Construcción polinomial.<br />Interpolación por splines cúbicos.<br />Diferenciación de polinomios.<br />Evaluación de polinomios.<br />Multiplicación y división de polinomios.<br />Residuos de polinomios y residuos.<br />Métodos numéricos no lineales:<br />Búsqueda de ceros en funciones de una única variable.<br />Minimización de funciones de una o más variables.<br />Resolución numérica de integrales.<br />Solución numérica de ecuaciones diferenciales ordinarias.<br />Estadística y análisis de Fourier<br />Convolución 1-D y 2-D.<br />Filtros digitales 1-D y 2-D.<br />Transformadas de Fourier 1-D y 2-D y su inversa.<br />Coeficientes de correlación y matrices de covarianza. Deconvolución.<br />Magnitudes y ángulos de fase.<br />Funciones máx., min., sum, mean y otras funciones de estadística básica.<br />Operaciones algebráicas y lógicas:<br />Suma, resta, multiplicación, división y potencias de matrices.<br />Matrix traspuesta.<br />Operadores lógicos AND, OR, NOT y XOR.<br />Utilidades:<br />Gestión y mantenimiento de errores.<br />Conversión de tipos de datos Fortran.<br />Funciones de fecha y hora.<br />Clasificación de matrices.<br />Conversión de números a cadenas y viceversa.<br />COMO REALIZAR OPERACIONES MATEMÁTICAS, LÓGICAS Y RELACIONALES EN MATLAB. (PLANTEAR EJEMPLOS DE SUMAS, RESTAS, COMPARACIONES CON DESIGUALDADES, OPERACIONES LÓGICAS AND, OR, ETC ENTRE DOS VALORES)-.<br />Antes de comenzar a realizar las operaciones básicas o elementales de la matemática en el programa es necesario conocer la notación de dichas operaciones y el orden que llevan las mismas en la ejecución de este:<br />^exponenciación*multiplicación/división+suma-resta<br />El orden en que se realizan las operaciones de una línea es el siguiente: primero, la exponenciación; luego, las multiplicaciones y divisiones; y finalmente, las sumas y las restas. Si se quiere forzar un determinado orden, se deben utilizar paréntesis, que se evalúan siempre al principio. <br />Ejemplo de Suma con MATLAB:<br />I. Cuando los cálculos que se hacen no se asignan a una variable determinada se asignan por defecto a la variable de respuesta ans. (Del inglés, answer). <br />EDU>> 5+3ans = 8En cambio, cuando el cálculo se asigna a una variable en concreto, el resultado queda guardado en ella. EDU>> x=8+7x =15II. Ejemplo<br />>>2+3 <br />ans = 5 <br />Ejemplo de resta con MATLAB<br />Sin asignan a una variable determinada:<br />EDU>> 5-3ans = 2<br />Asignando a una variable:<br />EDU>> y=9-6<br />y =3<br />Si queremos conocer el valor de una variable, es suficiente con escribir su nombre. Ejemplo. <br />EDU>> x <br />x = 15 <br />Cuando añadimos un punto y coma (;) al final de una instrucción, entonces no se muestra la respuesta en la ventana de órdenes. Ejemplo. <br />EDU>> y=6*8; <br />pero no por ello deja de realizarse el cálculo. <br />EDU>> y <br />y = 48 <br />EDU>> 2/4*3 <br />ans = 1.5000 <br />EDU>> 2/(4*3) <br />ans = 0<br />Polinomios<br />Raíces.<br />En MATLAB un polinomio se representa por un vector fila con sus coeficientes en orden descendente.<br />Por ejemplo, el polinomio:<br />x^4 - 12x^3 + 25x + 116 se introduce como: <br />>> p = [1 -12 0 25 116]<br />p = <br />1 -12 0 25 116 <br />Observe que se deben incluir los términos con coeficientes nulos. <br />Dada esta forma, las raíces de un polinomio se encuentran utilizando la función \"
roots\"
<br />>> r = roots(p)<br />r = <br />11.7473<br />2.7028<br />-1.2251 + 1.4672i<br />-1.2251 - 1.4672i <br />Como el polinomio y las raíces son vectores, MATLAB adopta el convenio de que los polinomios son vectores fila y las raíces son vectores columna. <br />Multiplicación<br />La multiplicación de polinomios se realiza mediante la función conv<br />El producto de los dos polinomios <br />a(x)= x^3 + 2x^2 + 3x + 4 <br />b(x)= x^3 + 4x^2 + 9x + 16<br />>> a=[1 2 3 4]; b=[1 4 9 16];<br />>> c=conv(a,b)<br />c = <br />1 6 20 50 75 84 64 <br />División<br />La división se consigue con la función deconv.<br />Utilizando los polinomios b y c anteriores: <br />>> [q,r] = deconv(c,b)<br />q = <br />1 2 3 4<br />r = <br />0 0 0 0 0 0 0 1667<br />Además de las operaciones mátemáticas tradicionales, MATLAB nos permite realizar operaciones relacionales y lógicas. El objetivo de estos operadores es proporcionar respuestas a cuestiones verdadero/falso. MATLAB responde a este tipo de preguntas con 1 (verdadero) ó 0 (falso).<br />Combinaciones:<br />PQ~ PP |QP&QFalsoFalsoVerdaderoFalsofalsoFalsoverdaderoVerdaderoVerdaderofalsoVerdaderoFalsoFalsoVerdaderofalsoVerdaderoverdaderoFalsoverdaderoverdadero<br /><Menor que <= Menor o igual<= Mayor que >=Mayor o igual==Igual a ~= Distinto a <br />Operadores Relacionales<br /> <br />Podemos usar estos operadores para comparar arrays del mismo tamaño o comparar un array con un escalar (entonces se compara cada elemento del array con el escalar).<br />Ejemplos: operadores racionales <br />EDU» A=[[1:2:8] [0 3 -2 5 1 -7]] A = 1 3 5 7 0 3 -2 5 1 -7 EDU» B=round(-5+10*rand(1,length(A))) B = -3 1 -2 5 2 -1 2 -2 -1 4 EDU» x=A>5 % Buscamos los elementos de A mayores que 5 x = 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 EDU» x=A==B % Buscamos los elementos de A iguales a los correspondientes de B x = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 EDU» x=A+2*(B<0) x = 3 3 7 7 0 5 -2 7 3 -7 EDU» %Sustituimos los valores nulos de A por el valor eps. EDU» %Puede ser útil para evitar divisiones por 0 EDU» A=A+eps*(A==0) A = Columns 1 through 7 1.0000 3.0000 5.0000 7.0000 0.0000 3.0000 -2.0000 Columns 8 through 10 5.0000 1.0000 -7.0000<br />Operadores lógicos.<br /> Los operadores lógicos que proporciona MATLAB son:<br />&AND| OR~ NOT<br /> Ejemplo: operador lógico<br />EDU» x=(A>2)|(B<0) x = 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 EDU» y=~(A>4) y = 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 EDU» xor(x,y) ans = 0 0 1 1 1 0 1 1 0 1<br />Ejemplo de cómo usar estas técnicas para representar señales discontinuas o compuestas, la idea básica es multiplicar los valores que deseamos que permanezcan 1 y el resto por 0. <br />x=linspace(0,10,100); EDU» y=sin(x); EDU» z=(y>=0).*y; %Fijamos los valores negativos a cero EDU» z=z+0.5*(y<0); %Sumamos 0.5 a los valores negativos de sin(x) EDU» z=(x<=8).*z; %Hacemos cero los valores mayores que x=8 EDU» plot(x,z) EDU» xlabel('Eje x'),ylabel('z=f(x)') EDU» title('Una señal discontinua')<br />INGRESAR UNA MATRIZ.<br />Ya se ha comentado que MATLAB es fundamentalmente un programa para cálculo matricial. Inicialmente se utilizará MATLAB como programa interactivo, en el que se irán definiendo las matrices, los vectores y las expresiones que los combinan y obteniendo los resultados sobre la marcha. Si estos resultados son asignados a otras variables podrán ser utilizados posteriormente en otras expresiones. En este sentido MATLAB sería como una potente calculadora matricial (en realidad es esto y mucho más.).<br />Como en casi todos los lenguajes de programación, en MATLAB las matrices y vectores son variables que tienen nombres. Por el momento se sugiere que se utilicen letras mayúsculas para matrices y minúsculas para vectores y escalares (MATLAB no exige esto, pero puede resultar útil). Para definir una matriz no hace falta establecer de antemano su tamaño (de hecho, se puede definir un tamaño y cambiarlo posteriormente). MATLAB determina el número de filas y de columnas en función del número de elementos que se proporcionan (o se utilizan). Las matrices se definen por filas; los elementos de una misma fila están separados por blancos o comas, mientras que las filas están separadas por pulsaciones intro o por caracteres punto y coma (;). Por ejemplo, el siguiente comando define una matriz A de dimensión (3x3):<br />>> A=[1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]<br />La respuesta del programa es la siguiente:<br />A =<br />1 2 3<br />4 5 6<br />7 8 9<br />A partir de este momento la matriz A está disponible para hacer cualquier tipo de operación con ella (además de valores numéricos, en la definición de una matriz o vector se pueden utilizar expresiones y funciones matemáticas). Por ejemplo, una sencilla operación con A es hallar su matriz traspuesta. En MATLAB el apóstrofo (') es el símbolo de trasposición matricial. Para calcular A' (traspuesta de A) basta teclear lo siguiente (se añade a continuación la respuesta del programa):<br />>> A'<br />ans =<br />1 4 7<br />2 5 8<br />3 6 9<br />Como el resultado de la operación no ha sido asignado a ninguna otra matriz, MATLAB utiliza un nombre de variable por defecto (ans, de answer), que contiene el resultado de la última operación. La variable ans puede ser utilizada como operando en la siguiente expresión que se introduzca. También podría haberse asignado el resultado a otra matriz llamada B:<br />>> B=A'<br />B =<br />1 4 7<br />2 5 8<br />3 6 9<br />Ahora ya están definidas las matrices A y B, y es posible seguir operando con ellas. Por ejemplo, se puede hacer el producto B*A (deberá resultar una matriz simétrica):<br />>> B*A<br />ans =<br />66 78 90<br />78 93 108<br />90 108 126<br />En MATLAB se accede a los elementos de un vector poniendo el índice entre paréntesis (por ejemplo x(3) ó x(i)). Los elementos de las matrices se acceden poniendo los dos índices entre paréntesis, separados por una coma (por ejemplo A(1,2) ó A(i,j)). Las matrices se almacenan por columnas (aunque se introduzcan por filas, como se ha dicho antes), y teniendo en cuenta esto puede accederse a cualquier elemento de una matriz con un sólo subíndice. Por ejemplo, si A es una matriz (3x3) se obtiene el mismo valor escribiendo A (1,2) que escribiendo A (4)<br />Caracteres Especiales:<br />CARACTERESDESCRIPCIÓN[ ]Se utilizan para formar vectores y matrices( )Define precedencia en expresiones aritméticas. Encierra argumentos de funciones en forma usual,Separador de elementos de una matriz, argumentos de funciones y declaraciones en líneas con declaraciones múltiples;Separador de declaraciones, termina renglones de una matriz<br />OPERACIONES CON MATRICES.<br />Matlab, permite realizar varias operaciones aritméticas con matrices o vectores tales como <br />-Matriz Transpuesta.<br />-Sumas de restas y matrices.<br />-Multiplicación.<br />-División.<br />-Potenciación.<br />-Operación elemento con elemento.<br />Matrices Transpuestas<br />El caracter ' (apóstrofe) denota la transpuesta de la matriz. Si tenemos la matriz A y llamamos B = A', B es la transpuesta de la matriz A.<br />Sumando y Restando Matrices <br />Las operaciones suma (+) y resta (-) son definidas para las matrices siempre y cuando éstas tengan la misma dimensión. Es decir, si A y B son matrices 3 x 3, entonces A + B se puede calcular.<br />Suma y resta también está definidos si uno de los operandos es un escalar, es decir, una matriz 1 x 1.<br />Ejemplo: <br />x = <br />-102<br />y = x - 1<br />resultaría en<br />y = -2-11<br />Multiplicando Matrices <br />La operación de multiplicación de matrices está definida siempre que el número de columnas de la primera matriz sea igual a el número de filas de la segunda matriz. El producto interior (producto escalar ó producto punto) se consigue de la siguiente manera:<br />x' * y<br />Asumiendo que x y y son vectores columnas. Note que y' * x produce el mismo resultado. El producto de una matriz y un vector es un caso especial del producto matriz-matriz y naturalmente, un escalar como pi, puede multiplicar, ó ser multiplicado por, cualquier matriz. <br />Dividiendo Matrices<br />En división de matrices, si A es una matriz cuadrada no-singular, entonces A\B y B/A corresponden a la multiplicación izquierda y derecha de B por el inverso de A, esto es, inv(A) * B y B * inv(A) respectivamente. El resultado es obtenido directamente sin la computación del inverso. <br />X = A\B es una solución a A * X = B <br />X = B/A es una solución a X * A = B<br />A\B es definido cuando B tiene la misma cantidad de filas que A. Si A es cuadrada, el método usado es Eliminación Gaussiana. El resultado es una matriz X con las mismas dimensiones que B. Si A no es cuadrada, se factoriza utilizando la ortogonalización de Householder con pivoteo de columnas. Los factores son usados para resolver sistemas de ecuaciones sub-determinados y sobre-determinados. El resultado es una matriz X m-por-n donde m es el número de columnas de A y n es el número de columnas de B. Cada columna de X tiene, al menos, k componentes diferentes de cero, donde k es el rango efectivo de A. B/A esta definido en términos de A\B por B/A = (A'\B') '.<br />Potenciación de matrices.<br />Las operaciones representadas por A^P significa que A es elevado a la P. Esta operación se define si A es una matriz cuadrada y P es un escalar, o si P es una matriz y A es un escalar. Si ambas son matrices dará error <br />Operaciones elementales con por elemento.<br />Las operaciones elementales por elemento se realizan con la ayuda del símbolo (.) precediendo a un operador matemático. La suma y resta se debe realizar con matrices de igual dimensiones.<br />ACCEDER A UNA POSICIÓN DE LA MATRIZ.<br />Se explicará mediante un ejemplo:<br />>> a= [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]<br />a=<br /> 1 2 3<br /> 4 5 6<br /> 7 8 9<br />Para posicionarse en el valor 6 de la variable Matriz determinada en el ejemplo anterior y que corresponde a la segunda fila con tercera columna, se indica entre paréntesis la posición. En el siguiente ejemplo se asigna el valor de la posición indicada a la variable posición.<br />>>posición=Matriz(2,3) <br />ans = 6<br />Si se deseara asignar toda la tercera fila como un solo vector entonces se cambiaría el parámetro correspondiente a la columna por el carácter: con lo cual se indica que corresponde a todas las columnas.<br />>> fila=Matriz(3,:) <br />ans = 7 8 9<br />Similar al caso anterior, si se desea la tercera columna en su totalidad entonces se reemplaza el parámetro de la fila por el carácter: con lo cual se indica que corresponde a todas las filas.<br />>> columna=Matriz(:,3) <br />ans = <br /> 3 <br /> 6 <br /> 9 <br />CAMBIAR UN VALOR DE UNA POSICIÓN ESPECIFICA EN UNA MATRIZ.<br />Para Cambiar el valor de una posición especifica en la matriz debemos de indicar la posición de la columna y la fila donde se encuentre el valor a cambiar entre paréntesis y luego el valor que deseamos.<br />Ejemplo:<br />>> a= [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]<br />a=<br /> 1 2 3<br /> 4 5 6<br /> 7 8 9<br />Para Cambiar el valor realizamos lo siguiente:<br />a(2,2)= - 9<br />a=<br />1 2 3<br />4 -9 6<br />7 8 9<br />MULTIPLICACIÓN DE MATRICES.<br />Matlab permite la multiplicación de matrices siempre que la segunda dimensión de la primera matriz, sea igual a la primera dimensión de la segunda matriz Ejemplo:<br />>>a=PRODUCTO= M1(m,n)*M2(n,p) VALIDO<br />PRODUCTO= MATRIZ 1(3*2) * MATRIZ 2 (2* 4)<br />VALIDO<br />PRODUCTO= MATRIZ 1 (2*3) * MATRIZ 2 (2*4)<br />NO VALIDO<br />Ejemplo de multiplicación de matrices:<br />>>a <br />a=<br />.<br />112233<br />>>WhosNameSizeElementsBytesDensityComplexa3 by 2648FullNob2 by 3648Full.Noc3 by 2616FullNod2 by 1216FullNo<br />>>b<br />b= <br />444555<br />>>c<br />c=<br />454545<br />>>d<br />d=<br />56<br /> <br />>>a*b >>b*a<br />ans= ans=<br />999181818272727<br />24243030<br /> <br />>>c*a>>a*c<br />???Error using * ???Error using *<br />Inner matrix dimensión must agreeInner matrix dimensión must agree<br />>> d*a???Error using *Inner matrix dimensión must agree>>a*d<br />Ans=<br />112233<br />>>b*d >>d*b<br />???Error using * ???Error using *<br />Inner matrix dimensión must agreeI Inner matrix dimensión must agree<br />>>b*c>>c*b<br />ans= ans=<br />414141414141<br />48606075<br />>>c*d>>d*c<br />ans=ans=<br />505050<br /> ???Error using * <br />Inner matrix dimensión must agree<br />>>a*a>>b*b<br />ans= ans=<br />???Error using * ???Error using * <br />Inner matrix dimensión must agree Inner matrix dimensión must agree<br />>>cc >>d*d<br />ans= ans=<br />???Error using * ???Error using *<br />Inner matrix dimensión must agreeInner matrix dimensión must agree<br />Para la matriz (3 por 3)>>e*e <br /> ans=<br />486486486972972972145814581458<br />>>e=a*b <br />e=<br />999181818272727<br />DETERMINAR UNA MATRIZ TRANSPUESTA.<br />La transpuesta de una matriz se obtiene intercambiando las filas en el lugar de las columnas y las columnas en el lugar de las filas.<br />Siendo,<br />>>a=[2 7 8; 1 4 7; 8 6 3]<br />a=<br />278147863<br /> <br />La matriz transpuesta de (a) es (a´ ) notar el símbolo<br />>>b=<br />218746873<br />>>a= b`<br />a=<br />278147863<br />EJEMPLOS DE OPERACIONES CON MATRICES.<br />Suma y Resta de matrices.<br />Siendo,<br />>>a= [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]<br />a=<br />123456789<br />>>b= [ 11 22 33; 44 55 66; 77 88 99]<br />b=<br />112233445566778899<br />>>c= [9 8 7¸ 6 5 4]<br />c=<br />987654<br />>>d=[11 11 11; 22 22 22]<br />d=<br />111111222233<br /> <br />Entonces,<br />>> a +b<br />ans=<br />1224364860728496108<br />>>d+c<br />ans=<br />201918282726<br />>>b-a<br />ans=<br />102030405060708090<br />>>d-c<br />ans=<br />234161718<br />Multiplicación<br />Siendo,<br />>>a >>b<br />444555<br />a= b=<br />112233<br />>>c>>d<br />56<br />c= d=<br />454545<br />Entonces,<br />>>a*b<br />999181818272727<br />>>WhosNameSizeElementsBytesDensityComplexa3 by 2648FullNob2 by 3648Full.Noc3 by 2616FullNod2 by 1216FullNo<br />>>a*b >>b*a<br />ans= ans=<br />999181818272727<br />24243030<br /> <br />>>b*c>>c*b<br />ans= ans=<br />414141414141<br />48606075<br />>>c*d<br />ans=<br />505050<br />Division de Matrices.<br />SI se tiene,<br />222333<br />>>a= >>f=<br />112233<br />Multiplicando a*f = g<br />>>a*f<br />ans=<br />555101010151515<br />Esto es válido ya que la matriz [a de (3 * 2)] multiplica la matriz [f de (2*3)]. Despejando la matriz f:<br />f=a\g VALIDO<br />f=g/a INVALIDO<br />>> a\g<br />ans=VALIDO<br />555000<br />>>g/a<br />??? Error using /<br />Matriz dimensions must agree. <br />Esto ocurre debido a que las matrices son de diferentes dimensiones, ósea el orden de sus elementos es diferente en cada matriz.<br />Potenciación.<br />>> a=[2 4; 5 8]<br />2458<br />a=<br />Elevando la matriz a al cuadrado,<br />>>a^2<br />ans=<br />24405084<br />Ahora,<br />>>6^a <br />ans=<br />1.0e+0.007*<br />2.67004.47785.59729.3867<br />Operaciones elementales con por elemento.<br />Suma<br />Siendo,<br />>>A=[2 3]<br />A=<br />2 3<br />>>B=[4 5]<br />>> A+B<br />ans=<br />6 8<br />Siendo,<br />>>C=[2;3;4;5]<br />C=<br />2<br />3<br />4<br />5<br />>>D=[5;6;7;8]<br />D=<br />5<br />6<br />7<br />8<br />Entonces,<br />>>C+D<br />ans=<br />7<br />9<br />11<br />13<br />Multiplicación.<br />La multiplicación y la división se realiza con el símbolo (.*)<br />Siendo,<br />>>z=[8 1 6;3 5 7;4 9 2] >>q=[3 5 7; 1 3 2;7 8 9]<br />z= q=<br />816357492<br />357132789<br />>>q.*Z<br />2454231514287218<br />Potenciación elemento por elemento<br />>>a>>q<br />a= q=<br />357132789<br />2 3<br />5 4<br />>>q.^3<br />ans=<br />271253431278343512729<br />>>a^2<br />Ans=<br />492516<br /> <br />CONCLUSIONES.<br />Matlab es un programa de mucha utilidad para aplicar métodos numéricos indispensables para distintas áreas de la ingeniería. Por ser una herramienta de alto nivel, el desarrollo de programas numéricos con el mismo, puede requerir hasta un orden de magnitud menos de esfuerzo, que con lenguajes de programación convencionales como Pascal, Java o Visual Basic. (Brazales,García, Rodrigez, 2001).<br />En base a la investigación monográfica acerca de MATLAB se concluye lo siguiente,<br />Es fundamentalmente un programa de cálculo matricial. Al mismo tiempo es muy interactivo, ya que permite al usuario ir definiendo las matrices, los vectores y las expresiones que los combinan obteniendo los resultados sobre la marcha.<br />Las matrices y los vectores son variables que tienen nombres. Para definir las matrices no es necesario establecer su tamaño, ya que el programa determina el número de filas y de columnas en función del número de elementos que se proporcionan. <br />Matlab, opera con las matrices por medio de los operadores y funciones mencionados, los cuales se aplican también a variables o valores escalares. Cuenta con la posibilidad de operar elemento a elemento los operadores matriciales.<br />Cuenta con un gran número de funciones incorporadas, las cuales son consideras como rápidas y eficientes.<br />Es diseñado para resolver problemas en ingeniería, por ser un avanzado programa matemático y contar con una poderosa interfase gráfica de gran utilidad para los mismos. <br />BIBLIOGRAFÍA.<br />(Brazales,García, Rodrigez, 2001). APRENDA MATLAB 6.1. Como si estuviera en primero. Madrid, España.<br />(Rojas, Malave). INTRODUCCIÓN A MATLAB.<br />Páginas Web<br />http://www.nebrija.es/~abustind/tutorial_matlab.htm<br />http://www.monografias.com/trabajos36/matlab-programacion/matlab-programacion3.shtml<br />http://antiguo.itson.mx/die/aambrosi/Agosto-Diciembre%202004/SEP%20II/curso_matlab_pdf/Cap02MatLab.pdf<br />http://www.tecnun.es/asignaturas/Informat1/AyudaInf/aprendainf/matlab60/matlab60.pdf<br />http://canal.etsin.upm.es/web_cnum/main_matlab.pdf<br />](https://image.slidesharecdn.com/asignacioncomputacionaplicada-110429120904-phpapp02/85/Asignacion-computacion-aplicada-1-320.jpg)
Asignacion computacion aplicada
- 1. Universidad Centroccidental“Lisandro Alvarado”Decanato de AgronomíaPrograma de Ingeniería AgroindustrialNúcleo Obelisco<br /> <br />IntegrantesColmenares Ma. Lourdes.18.998.865.García, Ma. Vanessa.18.923.091.Computación Aplicada.Grupo C.<br />Barquisimeto, 29 de Abril del 2011.<br />INTRODUCCIÓN<br />MATLAB es un entorno de computación y desarrollo de aplicaciones totalmente integrado orientado para llevar a cabo proyectos en donde se encuentren implicados elevados cálculos matemáticos y la visualización gráfica de los mismos. MATLAB integra análisis numérico, cálculo matricial, proceso de señal y visualización gráfica en un entorno completo donde los problemas y sus soluciones son expresados del mismo modo en que se escribirían radicionalmente, sin necesidad de hacer uso de la programación tradicional. De forma coherente y sin ningún tipo de fisuras, integra los requisitos claves de un sistema de computación técnico: cálculo numérico, gráficos, herramientas para aplicaciones específicas y capacidad de ejecución en múltiples plataformas. Conjuntos de herramientas complementarios amplían el entorno, permitiendo resolver problemas especiales en estas áreas de aplicación. También contiene una serie de funciones para documentar y compartir su trabajo. Puede integrar el código con otros lenguajes y aplicaciones, y distribuir los algoritmos y aplicaciones que desarrollo<br />El nombre MATLAB viene de \" matrix laboratory\" (laboratorio matricial). MATLAB fue originalmente escrito para proveer acceso fácil al software matricial desarrollado por los proyectos LINPACK y EISPACK, que juntos representan el estado del arte e software para computación matricial. Hoy MATLAB es usado en una variedad de áreas de aplicación incluyendo procesamiento de señales e imágenes, diseño de sistemas de control, ingeniería financiera e investigación médica. La arquitectura abierta facilita usar MATLAB y los productos que lo acompañan para explorar datos y crear herramientas personalizadas que proveen visiones profundas tempranas y ventajas competitivas. (Brazales,García, Rodrigez, 2001).<br />MATLAB dispone también en la actualidad de un amplio abanico de programas de apoyo especializados, denominados Toolboxes, que extienden significativamente el número de funciones incorporadas en el programa principal. Estos Toolboxes cubren en la actualidad prácticamente casi todas las áreas principales en el mundo de la ingeniería y la simulación, destacando entre ellos el 'toolbox' de proceso de imágenes, señal, control robusto, estadística, análisis financiero, matemáticas simbólicas, redes neutrales, lógica difusa, identificación de sistemas, simulación de sistemas dinámicos, etc. es un entorno de cálculo técnico, que se ha convertido en estándar de la industria, con capacidades no superadas en computación y visualización numérica. Esta familia de productos proporciona al estudiante un medio de carácter único, para resolver los problemas más complejos y difíciles. (Rojas, Malavé)<br />¿QUÉ ES MATLAB.?<br />MATLAB es el nombre abreviado de “MATrix LABoratory”. MATLAB es un programa para realizar cálculos numéricos con vectores y matrices. Como caso particular puede también trabajar con números escalares -tanto reales como complejos-, con cadenas de caracteres y con otras estructuras de información más complejas. Una de las capacidades más atractivas es la de realizar una amplia variedad de gráficos en dos y tres dimensiones. MATLAB tiene también un lenguaje de programación propio(Brazales,García, Rodrigez, 2001). <br />Nace como una solución a la necesidad de mejores y más poderosas herramientas de cálculo para resolver problemas de cálculo complejos en los que es necesario aprovechar las amplias capacidades de proceso de datos de grandes computadores. Es una técnica de computación para cálculo numérico y operaciones de visualización de alta capacidad. Este avanzado programa matemático posee una poderosa interfase grafica utilizado para el análisis, diseño, simulación y control de complejos sistemas dinámico, además de permitir el análisis numérico de operaciones con matrices, procesamiento de señales; y sus soluciones son expresadas en la forma matemática usual, sin necesidad de utilizar los lenguajes de computación ampliamente conocidos. Por esta razón se ha convertido en la principal herramienta de los ingenieros de control de proceso.<br />Características: <br />Calidad científica.<br />Potencia.<br />Flexibilidad.<br />Facilidad de uso.<br />Interactividad.<br />Transparencia.<br />Gráficos.<br />Respuesta a escalón.<br />Diagramas del lugar de las raíces.<br />Diagramas de respuesta en frecuencia.<br />Conversión de Modelos de Sistemas Continuo a Sistemas Discretos.<br />FUNCIONALIDAD DE MATLAB<br />Las funciones en MATLAB son programas que toman las variables que se les pasan (variables de entrada), realiza unos cálculos y manipulaciones con ellas y devuelve unos resultados (variables de salida). La estructura general es:<br />Función [variables de salida] = nombrefuncion (variables de entrada) ORDENES<br />Las órdenes evaluadas por la función, así como las variables intermedias creadas por estas órdenes, están escondidas, sólo son visibles las variables de entrada y salida. Esto hace que las funciones sean muy adecuadas para encapsular funciones matemáticas útiles o secuencias de órdenes que aparezcan a menudo. MATLAB nos permite crear funciones propias en forma de archivos .m. Un archivo .m de función es similar a un archivo script, al igual que ellos son archivos de texto creados en un editor de texto. La diferencia entre ambos es que la función sólo se comunica con el espacio de trabajo a través de las variables de entrada y salida, las variables intermedias dentro de la función no aparecen ni interactúan con el espacio de trabajo de MATLAB.<br />Entre las funciones propias de MATLAB se tienen:<br />Transformación de sistemas de coordenadas.<br />Matriz identidad y otras matrices elementales.<br />Matrices de Hilbert, Toeplitz, Vandermonde, Hadamard, etc.<br />Partes reales, imaginarias y complejas conjugadas.<br />Funciones trigonométricas y de potencias.<br />Algebra lineal numérica<br />Valores propios y descomposición de matrices:<br />Funciones generales de evaluación de matrices.<br />Determinantes, normas, rangos, etc.<br />Matrices inversas y factorización de matrices.<br />Matriz exponencial, logarítmica y raíces cuadradas.<br />Polinomios e interpolación:<br />Interpolación 1-D y 2-D.<br />Construcción polinomial.<br />Interpolación por splines cúbicos.<br />Diferenciación de polinomios.<br />Evaluación de polinomios.<br />Multiplicación y división de polinomios.<br />Residuos de polinomios y residuos.<br />Métodos numéricos no lineales:<br />Búsqueda de ceros en funciones de una única variable.<br />Minimización de funciones de una o más variables.<br />Resolución numérica de integrales.<br />Solución numérica de ecuaciones diferenciales ordinarias.<br />Estadística y análisis de Fourier<br />Convolución 1-D y 2-D.<br />Filtros digitales 1-D y 2-D.<br />Transformadas de Fourier 1-D y 2-D y su inversa.<br />Coeficientes de correlación y matrices de covarianza. Deconvolución.<br />Magnitudes y ángulos de fase.<br />Funciones máx., min., sum, mean y otras funciones de estadística básica.<br />Operaciones algebráicas y lógicas:<br />Suma, resta, multiplicación, división y potencias de matrices.<br />Matrix traspuesta.<br />Operadores lógicos AND, OR, NOT y XOR.<br />Utilidades:<br />Gestión y mantenimiento de errores.<br />Conversión de tipos de datos Fortran.<br />Funciones de fecha y hora.<br />Clasificación de matrices.<br />Conversión de números a cadenas y viceversa.<br />COMO REALIZAR OPERACIONES MATEMÁTICAS, LÓGICAS Y RELACIONALES EN MATLAB. (PLANTEAR EJEMPLOS DE SUMAS, RESTAS, COMPARACIONES CON DESIGUALDADES, OPERACIONES LÓGICAS AND, OR, ETC ENTRE DOS VALORES)-.<br />Antes de comenzar a realizar las operaciones básicas o elementales de la matemática en el programa es necesario conocer la notación de dichas operaciones y el orden que llevan las mismas en la ejecución de este:<br />^exponenciación*multiplicación/división+suma-resta<br />El orden en que se realizan las operaciones de una línea es el siguiente: primero, la exponenciación; luego, las multiplicaciones y divisiones; y finalmente, las sumas y las restas. Si se quiere forzar un determinado orden, se deben utilizar paréntesis, que se evalúan siempre al principio. <br />Ejemplo de Suma con MATLAB:<br />I. Cuando los cálculos que se hacen no se asignan a una variable determinada se asignan por defecto a la variable de respuesta ans. (Del inglés, answer). <br />EDU>> 5+3ans = 8En cambio, cuando el cálculo se asigna a una variable en concreto, el resultado queda guardado en ella. EDU>> x=8+7x =15II. Ejemplo<br />>>2+3 <br />ans = 5 <br />Ejemplo de resta con MATLAB<br />Sin asignan a una variable determinada:<br />EDU>> 5-3ans = 2<br />Asignando a una variable:<br />EDU>> y=9-6<br />y =3<br />Si queremos conocer el valor de una variable, es suficiente con escribir su nombre. Ejemplo. <br />EDU>> x <br />x = 15 <br />Cuando añadimos un punto y coma (;) al final de una instrucción, entonces no se muestra la respuesta en la ventana de órdenes. Ejemplo. <br />EDU>> y=6*8; <br />pero no por ello deja de realizarse el cálculo. <br />EDU>> y <br />y = 48 <br />EDU>> 2/4*3 <br />ans = 1.5000 <br />EDU>> 2/(4*3) <br />ans = 0<br />Polinomios<br />Raíces.<br />En MATLAB un polinomio se representa por un vector fila con sus coeficientes en orden descendente.<br />Por ejemplo, el polinomio:<br />x^4 - 12x^3 + 25x + 116 se introduce como: <br />>> p = [1 -12 0 25 116]<br />p = <br />1 -12 0 25 116 <br />Observe que se deben incluir los términos con coeficientes nulos. <br />Dada esta forma, las raíces de un polinomio se encuentran utilizando la función \" roots\" <br />>> r = roots(p)<br />r = <br />11.7473<br />2.7028<br />-1.2251 + 1.4672i<br />-1.2251 - 1.4672i <br />Como el polinomio y las raíces son vectores, MATLAB adopta el convenio de que los polinomios son vectores fila y las raíces son vectores columna. <br />Multiplicación<br />La multiplicación de polinomios se realiza mediante la función conv<br />El producto de los dos polinomios <br />a(x)= x^3 + 2x^2 + 3x + 4 <br />b(x)= x^3 + 4x^2 + 9x + 16<br />>> a=[1 2 3 4]; b=[1 4 9 16];<br />>> c=conv(a,b)<br />c = <br />1 6 20 50 75 84 64 <br />División<br />La división se consigue con la función deconv.<br />Utilizando los polinomios b y c anteriores: <br />>> [q,r] = deconv(c,b)<br />q = <br />1 2 3 4<br />r = <br />0 0 0 0 0 0 0 1667<br />Además de las operaciones mátemáticas tradicionales, MATLAB nos permite realizar operaciones relacionales y lógicas. El objetivo de estos operadores es proporcionar respuestas a cuestiones verdadero/falso. MATLAB responde a este tipo de preguntas con 1 (verdadero) ó 0 (falso).<br />Combinaciones:<br />PQ~ PP |QP&QFalsoFalsoVerdaderoFalsofalsoFalsoverdaderoVerdaderoVerdaderofalsoVerdaderoFalsoFalsoVerdaderofalsoVerdaderoverdaderoFalsoverdaderoverdadero<br /><Menor que <= Menor o igual<= Mayor que >=Mayor o igual==Igual a ~= Distinto a <br />Operadores Relacionales<br /> <br />Podemos usar estos operadores para comparar arrays del mismo tamaño o comparar un array con un escalar (entonces se compara cada elemento del array con el escalar).<br />Ejemplos: operadores racionales <br />EDU» A=[[1:2:8] [0 3 -2 5 1 -7]] A = 1 3 5 7 0 3 -2 5 1 -7 EDU» B=round(-5+10*rand(1,length(A))) B = -3 1 -2 5 2 -1 2 -2 -1 4 EDU» x=A>5 % Buscamos los elementos de A mayores que 5 x = 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 EDU» x=A==B % Buscamos los elementos de A iguales a los correspondientes de B x = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 EDU» x=A+2*(B<0) x = 3 3 7 7 0 5 -2 7 3 -7 EDU» %Sustituimos los valores nulos de A por el valor eps. EDU» %Puede ser útil para evitar divisiones por 0 EDU» A=A+eps*(A==0) A = Columns 1 through 7 1.0000 3.0000 5.0000 7.0000 0.0000 3.0000 -2.0000 Columns 8 through 10 5.0000 1.0000 -7.0000<br />Operadores lógicos.<br /> Los operadores lógicos que proporciona MATLAB son:<br />&AND| OR~ NOT<br /> Ejemplo: operador lógico<br />EDU» x=(A>2)|(B<0) x = 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 EDU» y=~(A>4) y = 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 EDU» xor(x,y) ans = 0 0 1 1 1 0 1 1 0 1<br />Ejemplo de cómo usar estas técnicas para representar señales discontinuas o compuestas, la idea básica es multiplicar los valores que deseamos que permanezcan 1 y el resto por 0. <br />x=linspace(0,10,100); EDU» y=sin(x); EDU» z=(y>=0).*y; %Fijamos los valores negativos a cero EDU» z=z+0.5*(y<0); %Sumamos 0.5 a los valores negativos de sin(x) EDU» z=(x<=8).*z; %Hacemos cero los valores mayores que x=8 EDU» plot(x,z) EDU» xlabel('Eje x'),ylabel('z=f(x)') EDU» title('Una señal discontinua')<br />INGRESAR UNA MATRIZ.<br />Ya se ha comentado que MATLAB es fundamentalmente un programa para cálculo matricial. Inicialmente se utilizará MATLAB como programa interactivo, en el que se irán definiendo las matrices, los vectores y las expresiones que los combinan y obteniendo los resultados sobre la marcha. Si estos resultados son asignados a otras variables podrán ser utilizados posteriormente en otras expresiones. En este sentido MATLAB sería como una potente calculadora matricial (en realidad es esto y mucho más.).<br />Como en casi todos los lenguajes de programación, en MATLAB las matrices y vectores son variables que tienen nombres. Por el momento se sugiere que se utilicen letras mayúsculas para matrices y minúsculas para vectores y escalares (MATLAB no exige esto, pero puede resultar útil). Para definir una matriz no hace falta establecer de antemano su tamaño (de hecho, se puede definir un tamaño y cambiarlo posteriormente). MATLAB determina el número de filas y de columnas en función del número de elementos que se proporcionan (o se utilizan). Las matrices se definen por filas; los elementos de una misma fila están separados por blancos o comas, mientras que las filas están separadas por pulsaciones intro o por caracteres punto y coma (;). Por ejemplo, el siguiente comando define una matriz A de dimensión (3x3):<br />>> A=[1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]<br />La respuesta del programa es la siguiente:<br />A =<br />1 2 3<br />4 5 6<br />7 8 9<br />A partir de este momento la matriz A está disponible para hacer cualquier tipo de operación con ella (además de valores numéricos, en la definición de una matriz o vector se pueden utilizar expresiones y funciones matemáticas). Por ejemplo, una sencilla operación con A es hallar su matriz traspuesta. En MATLAB el apóstrofo (') es el símbolo de trasposición matricial. Para calcular A' (traspuesta de A) basta teclear lo siguiente (se añade a continuación la respuesta del programa):<br />>> A'<br />ans =<br />1 4 7<br />2 5 8<br />3 6 9<br />Como el resultado de la operación no ha sido asignado a ninguna otra matriz, MATLAB utiliza un nombre de variable por defecto (ans, de answer), que contiene el resultado de la última operación. La variable ans puede ser utilizada como operando en la siguiente expresión que se introduzca. También podría haberse asignado el resultado a otra matriz llamada B:<br />>> B=A'<br />B =<br />1 4 7<br />2 5 8<br />3 6 9<br />Ahora ya están definidas las matrices A y B, y es posible seguir operando con ellas. Por ejemplo, se puede hacer el producto B*A (deberá resultar una matriz simétrica):<br />>> B*A<br />ans =<br />66 78 90<br />78 93 108<br />90 108 126<br />En MATLAB se accede a los elementos de un vector poniendo el índice entre paréntesis (por ejemplo x(3) ó x(i)). Los elementos de las matrices se acceden poniendo los dos índices entre paréntesis, separados por una coma (por ejemplo A(1,2) ó A(i,j)). Las matrices se almacenan por columnas (aunque se introduzcan por filas, como se ha dicho antes), y teniendo en cuenta esto puede accederse a cualquier elemento de una matriz con un sólo subíndice. Por ejemplo, si A es una matriz (3x3) se obtiene el mismo valor escribiendo A (1,2) que escribiendo A (4)<br />Caracteres Especiales:<br />CARACTERESDESCRIPCIÓN[ ]Se utilizan para formar vectores y matrices( )Define precedencia en expresiones aritméticas. Encierra argumentos de funciones en forma usual,Separador de elementos de una matriz, argumentos de funciones y declaraciones en líneas con declaraciones múltiples;Separador de declaraciones, termina renglones de una matriz<br />OPERACIONES CON MATRICES.<br />Matlab, permite realizar varias operaciones aritméticas con matrices o vectores tales como <br />-Matriz Transpuesta.<br />-Sumas de restas y matrices.<br />-Multiplicación.<br />-División.<br />-Potenciación.<br />-Operación elemento con elemento.<br />Matrices Transpuestas<br />El caracter ' (apóstrofe) denota la transpuesta de la matriz. Si tenemos la matriz A y llamamos B = A', B es la transpuesta de la matriz A.<br />Sumando y Restando Matrices <br />Las operaciones suma (+) y resta (-) son definidas para las matrices siempre y cuando éstas tengan la misma dimensión. Es decir, si A y B son matrices 3 x 3, entonces A + B se puede calcular.<br />Suma y resta también está definidos si uno de los operandos es un escalar, es decir, una matriz 1 x 1.<br />Ejemplo: <br />x = <br />-102<br />y = x - 1<br />resultaría en<br />y = -2-11<br />Multiplicando Matrices <br />La operación de multiplicación de matrices está definida siempre que el número de columnas de la primera matriz sea igual a el número de filas de la segunda matriz. El producto interior (producto escalar ó producto punto) se consigue de la siguiente manera:<br />x' * y<br />Asumiendo que x y y son vectores columnas. Note que y' * x produce el mismo resultado. El producto de una matriz y un vector es un caso especial del producto matriz-matriz y naturalmente, un escalar como pi, puede multiplicar, ó ser multiplicado por, cualquier matriz. <br />Dividiendo Matrices<br />En división de matrices, si A es una matriz cuadrada no-singular, entonces A\B y B/A corresponden a la multiplicación izquierda y derecha de B por el inverso de A, esto es, inv(A) * B y B * inv(A) respectivamente. El resultado es obtenido directamente sin la computación del inverso. <br />X = A\B es una solución a A * X = B <br />X = B/A es una solución a X * A = B<br />A\B es definido cuando B tiene la misma cantidad de filas que A. Si A es cuadrada, el método usado es Eliminación Gaussiana. El resultado es una matriz X con las mismas dimensiones que B. Si A no es cuadrada, se factoriza utilizando la ortogonalización de Householder con pivoteo de columnas. Los factores son usados para resolver sistemas de ecuaciones sub-determinados y sobre-determinados. El resultado es una matriz X m-por-n donde m es el número de columnas de A y n es el número de columnas de B. Cada columna de X tiene, al menos, k componentes diferentes de cero, donde k es el rango efectivo de A. B/A esta definido en términos de A\B por B/A = (A'\B') '.<br />Potenciación de matrices.<br />Las operaciones representadas por A^P significa que A es elevado a la P. Esta operación se define si A es una matriz cuadrada y P es un escalar, o si P es una matriz y A es un escalar. Si ambas son matrices dará error <br />Operaciones elementales con por elemento.<br />Las operaciones elementales por elemento se realizan con la ayuda del símbolo (.) precediendo a un operador matemático. La suma y resta se debe realizar con matrices de igual dimensiones.<br />ACCEDER A UNA POSICIÓN DE LA MATRIZ.<br />Se explicará mediante un ejemplo:<br />>> a= [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]<br />a=<br /> 1 2 3<br /> 4 5 6<br /> 7 8 9<br />Para posicionarse en el valor 6 de la variable Matriz determinada en el ejemplo anterior y que corresponde a la segunda fila con tercera columna, se indica entre paréntesis la posición. En el siguiente ejemplo se asigna el valor de la posición indicada a la variable posición.<br />>>posición=Matriz(2,3) <br />ans = 6<br />Si se deseara asignar toda la tercera fila como un solo vector entonces se cambiaría el parámetro correspondiente a la columna por el carácter: con lo cual se indica que corresponde a todas las columnas.<br />>> fila=Matriz(3,:) <br />ans = 7 8 9<br />Similar al caso anterior, si se desea la tercera columna en su totalidad entonces se reemplaza el parámetro de la fila por el carácter: con lo cual se indica que corresponde a todas las filas.<br />>> columna=Matriz(:,3) <br />ans = <br /> 3 <br /> 6 <br /> 9 <br />CAMBIAR UN VALOR DE UNA POSICIÓN ESPECIFICA EN UNA MATRIZ.<br />Para Cambiar el valor de una posición especifica en la matriz debemos de indicar la posición de la columna y la fila donde se encuentre el valor a cambiar entre paréntesis y luego el valor que deseamos.<br />Ejemplo:<br />>> a= [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]<br />a=<br /> 1 2 3<br /> 4 5 6<br /> 7 8 9<br />Para Cambiar el valor realizamos lo siguiente:<br />a(2,2)= - 9<br />a=<br />1 2 3<br />4 -9 6<br />7 8 9<br />MULTIPLICACIÓN DE MATRICES.<br />Matlab permite la multiplicación de matrices siempre que la segunda dimensión de la primera matriz, sea igual a la primera dimensión de la segunda matriz Ejemplo:<br />>>a=PRODUCTO= M1(m,n)*M2(n,p) VALIDO<br />PRODUCTO= MATRIZ 1(3*2) * MATRIZ 2 (2* 4)<br />VALIDO<br />PRODUCTO= MATRIZ 1 (2*3) * MATRIZ 2 (2*4)<br />NO VALIDO<br />Ejemplo de multiplicación de matrices:<br />>>a <br />a=<br />.<br />112233<br />>>WhosNameSizeElementsBytesDensityComplexa3 by 2648FullNob2 by 3648Full.Noc3 by 2616FullNod2 by 1216FullNo<br />>>b<br />b= <br />444555<br />>>c<br />c=<br />454545<br />>>d<br />d=<br />56<br /> <br />>>a*b >>b*a<br />ans= ans=<br />999181818272727<br />24243030<br /> <br />>>c*a>>a*c<br />???Error using * ???Error using *<br />Inner matrix dimensión must agreeInner matrix dimensión must agree<br />>> d*a???Error using *Inner matrix dimensión must agree>>a*d<br />Ans=<br />112233<br />>>b*d >>d*b<br />???Error using * ???Error using *<br />Inner matrix dimensión must agreeI Inner matrix dimensión must agree<br />>>b*c>>c*b<br />ans= ans=<br />414141414141<br />48606075<br />>>c*d>>d*c<br />ans=ans=<br />505050<br /> ???Error using * <br />Inner matrix dimensión must agree<br />>>a*a>>b*b<br />ans= ans=<br />???Error using * ???Error using * <br />Inner matrix dimensión must agree Inner matrix dimensión must agree<br />>>cc >>d*d<br />ans= ans=<br />???Error using * ???Error using *<br />Inner matrix dimensión must agreeInner matrix dimensión must agree<br />Para la matriz (3 por 3)>>e*e <br /> ans=<br />486486486972972972145814581458<br />>>e=a*b <br />e=<br />999181818272727<br />DETERMINAR UNA MATRIZ TRANSPUESTA.<br />La transpuesta de una matriz se obtiene intercambiando las filas en el lugar de las columnas y las columnas en el lugar de las filas.<br />Siendo,<br />>>a=[2 7 8; 1 4 7; 8 6 3]<br />a=<br />278147863<br /> <br />La matriz transpuesta de (a) es (a´ ) notar el símbolo<br />>>b=<br />218746873<br />>>a= b`<br />a=<br />278147863<br />EJEMPLOS DE OPERACIONES CON MATRICES.<br />Suma y Resta de matrices.<br />Siendo,<br />>>a= [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]<br />a=<br />123456789<br />>>b= [ 11 22 33; 44 55 66; 77 88 99]<br />b=<br />112233445566778899<br />>>c= [9 8 7¸ 6 5 4]<br />c=<br />987654<br />>>d=[11 11 11; 22 22 22]<br />d=<br />111111222233<br /> <br />Entonces,<br />>> a +b<br />ans=<br />1224364860728496108<br />>>d+c<br />ans=<br />201918282726<br />>>b-a<br />ans=<br />102030405060708090<br />>>d-c<br />ans=<br />234161718<br />Multiplicación<br />Siendo,<br />>>a >>b<br />444555<br />a= b=<br />112233<br />>>c>>d<br />56<br />c= d=<br />454545<br />Entonces,<br />>>a*b<br />999181818272727<br />>>WhosNameSizeElementsBytesDensityComplexa3 by 2648FullNob2 by 3648Full.Noc3 by 2616FullNod2 by 1216FullNo<br />>>a*b >>b*a<br />ans= ans=<br />999181818272727<br />24243030<br /> <br />>>b*c>>c*b<br />ans= ans=<br />414141414141<br />48606075<br />>>c*d<br />ans=<br />505050<br />Division de Matrices.<br />SI se tiene,<br />222333<br />>>a= >>f=<br />112233<br />Multiplicando a*f = g<br />>>a*f<br />ans=<br />555101010151515<br />Esto es válido ya que la matriz [a de (3 * 2)] multiplica la matriz [f de (2*3)]. Despejando la matriz f:<br />f=a\g VALIDO<br />f=g/a INVALIDO<br />>> a\g<br />ans=VALIDO<br />555000<br />>>g/a<br />??? Error using /<br />Matriz dimensions must agree. <br />Esto ocurre debido a que las matrices son de diferentes dimensiones, ósea el orden de sus elementos es diferente en cada matriz.<br />Potenciación.<br />>> a=[2 4; 5 8]<br />2458<br />a=<br />Elevando la matriz a al cuadrado,<br />>>a^2<br />ans=<br />24405084<br />Ahora,<br />>>6^a <br />ans=<br />1.0e+0.007*<br />2.67004.47785.59729.3867<br />Operaciones elementales con por elemento.<br />Suma<br />Siendo,<br />>>A=[2 3]<br />A=<br />2 3<br />>>B=[4 5]<br />>> A+B<br />ans=<br />6 8<br />Siendo,<br />>>C=[2;3;4;5]<br />C=<br />2<br />3<br />4<br />5<br />>>D=[5;6;7;8]<br />D=<br />5<br />6<br />7<br />8<br />Entonces,<br />>>C+D<br />ans=<br />7<br />9<br />11<br />13<br />Multiplicación.<br />La multiplicación y la división se realiza con el símbolo (.*)<br />Siendo,<br />>>z=[8 1 6;3 5 7;4 9 2] >>q=[3 5 7; 1 3 2;7 8 9]<br />z= q=<br />816357492<br />357132789<br />>>q.*Z<br />2454231514287218<br />Potenciación elemento por elemento<br />>>a>>q<br />a= q=<br />357132789<br />2 3<br />5 4<br />>>q.^3<br />ans=<br />271253431278343512729<br />>>a^2<br />Ans=<br />492516<br /> <br />CONCLUSIONES.<br />Matlab es un programa de mucha utilidad para aplicar métodos numéricos indispensables para distintas áreas de la ingeniería. Por ser una herramienta de alto nivel, el desarrollo de programas numéricos con el mismo, puede requerir hasta un orden de magnitud menos de esfuerzo, que con lenguajes de programación convencionales como Pascal, Java o Visual Basic. (Brazales,García, Rodrigez, 2001).<br />En base a la investigación monográfica acerca de MATLAB se concluye lo siguiente,<br />Es fundamentalmente un programa de cálculo matricial. Al mismo tiempo es muy interactivo, ya que permite al usuario ir definiendo las matrices, los vectores y las expresiones que los combinan obteniendo los resultados sobre la marcha.<br />Las matrices y los vectores son variables que tienen nombres. Para definir las matrices no es necesario establecer su tamaño, ya que el programa determina el número de filas y de columnas en función del número de elementos que se proporcionan. <br />Matlab, opera con las matrices por medio de los operadores y funciones mencionados, los cuales se aplican también a variables o valores escalares. Cuenta con la posibilidad de operar elemento a elemento los operadores matriciales.<br />Cuenta con un gran número de funciones incorporadas, las cuales son consideras como rápidas y eficientes.<br />Es diseñado para resolver problemas en ingeniería, por ser un avanzado programa matemático y contar con una poderosa interfase gráfica de gran utilidad para los mismos. <br />BIBLIOGRAFÍA.<br />(Brazales,García, Rodrigez, 2001). APRENDA MATLAB 6.1. Como si estuviera en primero. Madrid, España.<br />(Rojas, Malave). INTRODUCCIÓN A MATLAB.<br />Páginas Web<br />http://www.nebrija.es/~abustind/tutorial_matlab.htm<br />http://www.monografias.com/trabajos36/matlab-programacion/matlab-programacion3.shtml<br />http://antiguo.itson.mx/die/aambrosi/Agosto-Diciembre%202004/SEP%20II/curso_matlab_pdf/Cap02MatLab.pdf<br />http://www.tecnun.es/asignaturas/Informat1/AyudaInf/aprendainf/matlab60/matlab60.pdf<br />http://canal.etsin.upm.es/web_cnum/main_matlab.pdf<br />