Factorizacion
- 1. Factorización Consuelo Díaz Raquel Valdés & reeditado por Moisés Aranda
- 2. Factor común y Estrategia por agrupación Factorización Factorización de diferencia de cuadrados Factorización y cubos de trinomios
- 4. Factor Expresión algebraica que multiplica a una segunda expresión ( a − b )( x − z ) ( a − b) ( x − z) Son factores y a − b( x − z ) b y ( x − z) Factorización Operación necesaria para re-escribir una expresión algebraica como producto de factores simples 2 2 ma − mb = m(a + b)(a − b)
- 5. Caso I. Factor Común Aparece en todos los términos de la expresión algebraica, un término común 2 2 ma − mb • Identificar el máximo término común 2 3x y − x 2 2 2 4 • Dividir la expresión 24a xy − 36 x y algebraica original entre el máximo a ( x + 1) − b( x + 1) término común
- 6. Caso I. Factor Común Resolviendo los ejemplos: Ejemplo Máx. Segundo Factorización factor factor común ma − mb2 2 m 2 a −b 2 m( a 2 − b 2 ) 2 3 xy − 1 x(3xy − 1) 3x y − x x 2 2 24a xy − 36 x y 2 4 12xy 2 2 2a − 3 xy 2 12 xy 2 (2a 2 − 3 xy 2 ) a ( x + 1) − b( x + 1) x +1 a −b ( x + 1)(a − b)
- 7. Caso Ib. Factor Común por Agrupación de Términos Aparece un término común compuesto después de agrupar términos con factores comunes simples • Agrupar términos con ax + a − bx − b factores comunes, usando la propiedad asociativa • Factorizar (Caso I) en cada 2 grupo, los factores comunes 3m − 6mn + 4m − 8n • Identificar el máximo término común 2am + n − 1 − 2an + 2a − m • Dividir la expresión algebraica entre el máximo término común
- 8. Caso Ib. Factor Común por Agrupación de Términos Resolviendo los ejemplos: ax + a − bx − b (ax + a ) − (bx + b) (a − b)( x + 1) a ( x + 1) − b( x + 1) procedimiento
- 9. Caso Ib. Factor Común por Agrupación de Términos Resolviendo los ejemplos: 2 3m − 6mn + 4m − 8n (3m 2 − 6mn) + (4m − 8n) (3m + 4)(m − 2n) 3m(m − 2n) + 4(m − 2n) procedimiento
- 10. Caso Ib. Factor Común por Agrupación de Términos Resolviendo los ejemplos: 2am + n − 1 − 2an + 2a − m (2am − 2an + 2a) − (m − n + 1) (2a − 1)(m − n + 1) 2a (m − n + 1) − (m − n + 1) procedimiento
- 11. Caso II. Factorización de Trinomios Trinomio Cuadrado Perfecto • Determinar si es tcp 2 2 a + 2ab + b • Obtener la raíz cuadrada del primer y tercer términos 2 x − 2x +1 • Observar el signo del segundo término 2 2 • Escribir el binomio al 4a x − 12ax + 9 cuadrado
- 12. Caso II. Factorización de Trinomios Resolviendo ejemplos: a2 = a ¿ es tcp ? 2 2 a + 2ab + b Sí b2 = b + 2ab 2 ( a + b) procedimiento
- 13. Caso II. Factorización de Trinomios Resolviendo ejemplos: 4a 2 x 2 = 2ax ¿ es tcp ? 2 2 9 =3 4a x − 12ax + 9 Sí − 12ax 2 (2ax − 3) procedimiento
- 14. Caso IIb. Factorización de Trinomios 2 Trinomio de la forma x + cx + d •Obtener la raíz cuadrada 2 x − 12 x + 20 del primer término • Determinar dos números que sumados sean igual a c 2 2 9a x − 39ax + 30 y que multiplicados sean igual a d • Escribir el producto de binomios
- 15. Caso IIb. Factorización de Trinomios Resolviendo ejemplos: x2 = x 2 x − 12 x + 20 − 10 − 2 = −12 (−10)(−2) = 20 ( x − 10)( x − 2) procedimiento
- 16. Caso II. Factorización de Trinomios Resolviendo ejemplos: 9a 2 x 2 = 3ax 2 2 − 10 − 3 = −13 9a x − 39ax + 30 (−10)(−3) = 30 (3ax − 3)(3ax − 10) 3(ax − 1)(3ax − 10) procedimiento
- 17. Caso IIb. Factorización de Trinomios 2 Trinomio de la forma x + cx + d 2 Método general x − 12 x + 20 • Completar el tcp 2 2 • Factorizar la diferencia 9a x − 39ax + 30 de cuadrados resultantes
- 18. ( x + a) 2 = x 2 + 2ax + a 2 2 x − 12 x + 20 x2 = x 2ax = − 12 x 12 x a=− = −6 2x 2 (− 6) = 36 ( x − 2)( x − 10) 2 x − 12 x + 36 − 36 + 20 ( x − 6 + 4)( x − 6 − 4) 2 ( x − 6) − 16
- 19. Trinomio Cuadrado Perfecto Resultado del siguiente producto notable: 2 2 2 ( a + b) = a + 2ab + b o, 2 ( a − b) 2 = a − 2ab + b 2
- 20. Trinomio de la forma 2 x + cx + d Resultado del siguiente producto notable: 2 ( x + a )( x + b) = x + (a + b) x + ab Donde: c = a+b y d = ab
- 21. Caso III. Factorización de la Diferencia de Cuadrados 2 2 a −b 2 a −1 • Identificar la diferencia de cuadrados • Obtener la raíz cuadrada 6 9 − 16 x del primer y segundo términos • Escribir el producto de 2 2 x + 2x +1− y binomios conjugados
- 22. Caso III. Factorización de la Diferencia de Cuadrados Resolviendo ejemplos: 9 =3 6 9 − 16 x 16 x 6 = 4 x 3 3 3 (3 + 4 x )(3 − 4 x ) procedimiento
- 23. Caso III. Factorización de la Diferencia de Cuadrados Resolviendo ejemplos: ( x + 1) 2 = x + 1 2 2 x + 2x +1− y 2 y =y ( x + 1 + y )( x + 1 − y ) procedimiento
- 24. Caso IV. Factorización de la Suma o Diferencia de Cubos 3 3 a −b • Identificar si es suma o 3 diferencia de cubos a −1 • Obtener la raíz cúbica del primer y segundo términos 6 27 + 64 x • Escribir el producto del binomios por trinomio correspondiente
- 25. Caso IV. Factorización de la Suma o Diferencia de Cubos Resolviendo ejemplos: diferencia 3 a −1 3 3 a =a 3 1 =1 2 (a − 1)(a + a + 1) procedimiento
- 26. Caso IV. Factorización de la Suma o Diferencia de Cubos Resolviendo ejemplos: suma 6 3 − 27 = −3 − 27 + 64 x 3 64 x 6 = 4 x 2 2 2 4 (−3 + 4 x )(9 + 12 x + 16 x ) procedimiento
- 27. Diferencia de Cuadrados Resultado del siguiente producto notable: (a + b)(a − b) = a − b 2 2
- 28. Suma y Diferencia de Cubos Resultado del siguiente producto notable: 2 2 3 3 (a + b)(a − ab + b ) = a + b o bien, 2 2 3 3 (a − b)(a + ab + b ) = a −b
- 29. Estrategia General 1. Factorizar todos los factores comunes. 2. Observar el número de términos entre paréntesis (o en la expresión original). Si hay: – Cuatro términos: factorizar por agrupación. – Tres términos: probar si es tcp y factorizar así; si no es tcp, emplear el caso general. – Dos términos y cuadrados: buscar la diferencia de cuadrados y factorizarla. – Dos términos y cubos: buscar la suma o diferenica de cubos y factorizar. 3. Asegurarse de que la expresión está factorizada completamente.
Notas del editor
- #6: Durante la presentación, que los alumnos respondan en cada uno de los ejemplos cuál es el término común
- #7: El primer ejemplo se hace con todo detalle, explicando de dónde sale el segundo factor y haciendo énfasis en la expresión final. Los siguientes ejemplos son ejercicios que los alumnos resuelven.
- #8: Igual que el Caso I, sólo identificar a quiénes agrupar
- #9: Que el grupo resuelva cada paso siguiendo el procedimiento y regresar a él cuando es necesario
- #10: Igual al anterior
- #11: Dar tiempo para que se resuelva individualmente y después comprobar los resultados´o que alguien lo explique
- #12: Si es necesario ir a la descripción de un tcp. En los ejemplos preguntar si son tcp y por qué
- #13: Llevar paso a paso el procedimiento, el grupo responde si es tcp, las raíces cuadradas ... El signo del doble producto, el resultado. Si es necesario regresar al procedimiento.
- #14: Dar tiempo para que los alumnos lo resuelvan individualmente, alguien explicará el procedimiento y resultado
- #15: Si es necesario describir o recordar de dónde vienen estos trinomios. Evaluar si los ejemplos son o no tcp. Si cumplen la forma descrita.
- #16: Explicar el procedimiento paso a paso, que el grupo calcule los valores.
- #17: Dar tiempo para que los alumnos lo resuelvan individualmente, alguien explicará el procedimiento y resultado
- #18: Si es necesario describir o recordar de dónde vienen estos trinomios. Evaluar si los ejemplos son o no tcp.
- #19: Completando el tcp. Explicar cada paso del procedimiento. Pedir que el segundo ejemplo lo resuelvan individualmente
- #22: Si es necesario describir o recordar de dónde viene la diferencia de cuadrados. Evaluar si los ejemplos son diferencia de los cuadrados de quién
- #23: Explicar el procedimiento paso a paso, que el grupo calcule los valores.
- #24: Dar tiempo para que los alumnos lo resuelvan individualmente, alguien explicará el procedimiento y resultado
- #25: Si es necesario describir o recordar de dónde viene la diferencia o suma de cubos. Evaluar si los ejemplos son diferencia o suma de los cubos de quién
- #26: Explicar el procedimiento paso a paso, que el grupo calcule los valores
- #27: Dar tiempo para que los alumnos lo resuelvan individualmente, alguien explicará el procedimiento y resultado
- #30: Tener listos un par de ejemplos para seguir la estrategia general.