Factorizacion

Factorización

Consuelo Díaz
Raquel Valdés

Factor común y
Estrategia por agrupación

Factorización

Factorización de
diferencia de
cuadrados Factorización
y cubos de trinomios

Factor
Expresión algebraica que multiplica a una segunda expresión

( a − b )( x − z ) ( a − b) ( x − z)

Son factores
y

a − b( x − z ) b y ( x − z)

Factorización
Operación necesaria para re-escribir una expresión
algebraica como producto de factores simples
2 2
ma − mb = m(a + b)(a − b)

Caso I. Factor Común
Aparece en todos los términos de la expresión
algebraica, un término común

2 2
ma − mb • Identificar el máximo
término común
2
3x y − x
2 2 2 4 • Dividir la expresión
24a xy − 36 x y algebraica original
entre el máximo
a ( x + 1) − b( x + 1) término común

Caso I. Factor Común
Resolviendo los ejemplos:

Ejemplo Máx. Segundo Factorización
factor factor
común

ma − mb2 2 m 2
a −b 2 m( a 2 − b 2 )
2 3 xy − 1 x(3xy − 1)
3x y − x x
2 2
24a xy − 36 x y 2 4 12xy 2 2
2a − 3 xy 2 12 xy 2 (2a 2 − 3 xy 2 )

a ( x + 1) − b( x + 1) x +1 a −b ( x + 1)(a − b)

Caso Ib. Factor Común por
Agrupación de Términos
Aparece un término común compuesto después
de agrupar términos con factores comunes simples

• Agrupar términos con

ax + a − bx − b factores comunes, usando
la propiedad asociativa

• Factorizar (Caso I) en cada
2 grupo, los factores comunes
3m − 6mn + 4m − 8n
• Identificar el máximo
término común

2am + n − 1 − 2an + 2a − m • Dividir la expresión
algebraica entre el máximo
término común


ax + a − bx − b (ax + a ) − (bx + b)

(a − b)( x + 1) a ( x + 1) − b( x + 1)

procedimiento


2
3m − 6mn + 4m − 8n (3m 2 − 6mn) + (4m − 8n)

(3m + 4)(m − 2n) 3m(m − 2n) + 4(m − 2n)

procedimiento


2am + n − 1 − 2an + 2a − m (2am − 2an + 2a) − (m − n + 1)

(2a − 1)(m − n + 1) 2a (m − n + 1) − (m − n + 1)

procedimiento

Caso II. Factorización de
Trinomios
Trinomio Cuadrado Perfecto

• Determinar si es tcp
2 2
a + 2ab + b • Obtener la raíz cuadrada
del primer y tercer
términos
2
x − 2x +1 • Observar el signo del
segundo término

2 2 • Escribir el binomio al
4a x − 12ax + 9 cuadrado

Trinomios
Resolviendo ejemplos:
a2 = a
¿ es tcp ?
2 2
a + 2ab + b Sí
b2 = b

+ 2ab

2
( a + b)

procedimiento

Trinomios
4a 2 x 2 = 2ax
¿ es tcp ?
2 2 9 =3
4a x − 12ax + 9 Sí

− 12ax

2
(2ax − 3)

procedimiento

Caso IIb. Factorización de
Trinomios
2
Trinomio de la forma x + cx + d
•Obtener la raíz cuadrada
2
x − 12 x + 20 del primer término

• Determinar dos números
que sumados sean igual a c
2 2
9a x − 39ax + 30 y que multiplicados sean
igual a d

• Escribir el producto de
binomios

Trinomios
x2 = x
2
x − 12 x + 20 − 10 − 2 = −12
(−10)(−2) = 20

( x − 10)( x − 2)

procedimiento

Trinomios
9a 2 x 2 = 3ax
2 2 − 10 − 3 = −13
9a x − 39ax + 30
(−10)(−3) = 30

(3ax − 3)(3ax − 10)
3(ax − 1)(3ax − 10) procedimiento

Trinomios
2
Trinomio de la forma x + cx + d

2 Método general
x − 12 x + 20
• Completar el tcp

2 2 • Factorizar la diferencia
9a x − 39ax + 30 de cuadrados resultantes

( x + a) 2 = x 2 + 2ax + a 2

2
x − 12 x + 20 x2 = x
2ax = − 12 x
12 x
a=− = −6
2x
2
(− 6) = 36
( x − 2)( x − 10)
2
x − 12 x + 36 − 36 + 20

( x − 6 + 4)( x − 6 − 4) 2
( x − 6) − 16

Trinomio Cuadrado Perfecto
Resultado del siguiente producto notable:

2 2 2
( a + b) = a + 2ab + b
o,

2
( a − b) 2
= a − 2ab + b 2

Trinomio de la forma
2
x + cx + d

2
( x + a )( x + b) = x + (a + b) x + ab
Donde:

c = a+b y d = ab

Caso III. Factorización de la
Diferencia de Cuadrados
2 2
a −b
2
a −1 • Identificar la diferencia
de cuadrados

• Obtener la raíz cuadrada
6
9 − 16 x del primer y segundo
términos

• Escribir el producto de
2 2
x + 2x +1− y binomios conjugados

9 =3
6
9 − 16 x
16 x 6 = 4 x 3

3 3
(3 + 4 x )(3 − 4 x )

procedimiento

( x + 1) 2 = x + 1
2 2
x + 2x +1− y 2
y =y

( x + 1 + y )( x + 1 − y )

procedimiento

Caso IV. Factorización de la
Suma o Diferencia de Cubos
3 3
a −b
• Identificar si es suma o
3 diferencia de cubos
a −1
• Obtener la raíz cúbica
del primer y segundo
términos
6
27 + 64 x • Escribir el producto del
binomios por trinomio
correspondiente

diferencia

3
a −1 3 3
a =a
3 1 =1

2
(a − 1)(a + a + 1)

procedimiento

suma

6 3 − 27 = −3
− 27 + 64 x
3
64 x 6 = 4 x 2

2 2 4
(−3 + 4 x )(9 + 12 x + 16 x )

procedimiento


(a + b)(a − b) = a − b 2 2

Suma y Diferencia de Cubos
2 2 3 3
(a + b)(a − ab + b ) = a + b

o bien,

2 2 3 3
(a − b)(a + ab + b ) = a −b

Estrategia General
1. Factorizar todos los factores comunes.
2. Observar el número de términos entre
paréntesis (o en la expresión original). Si
hay:
– Cuatro términos: factorizar por agrupación.
– Tres términos: probar si es tcp y factorizar
así; si no es tcp, emplear el caso general.
– Dos términos y cuadrados: buscar la
diferencia de cuadrados y factorizarla.
– Dos términos y cubos: buscar la suma o
diferenica de cubos y factorizar.
3. Asegurarse de que la expresión está
factorizada completamente.

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Notas del editor